Внутренние множители аналитических функций переменной гладкости в замкнутом круге

Пусть $p(\zeta)$ положительная функция, заданная на единичной окружности $\mathbb{T}$ и удовлетворяющая условию
$$|p(\zeta_2)-p(\zeta_1)|\le \frac{c_0}{\log \frac{e} {|\zeta_2-\zeta_1|}}, \ \zeta_1,\zeta_2\in \mathbb{T},$$
$p_-=\min_{\zeta\in \mathbb{T}}p(\zeta)$. Пусть, далее, $0<\alpha<1$, $r\ge 0$, $r\in \mathbb{Z}$ и выполняется условие $p_->\frac{1}{\alpha}$. Определим класс аналитических в единичном круге $\mathbb{D}$ функций следующим образом: $f\in H^{p( \cdot )}_{r+\alpha}$, если справедливо неравенство
$$\sup\limits_{0<\rho<1} \ \sup\limits_{0<|\theta|<\pi} \int\limits^{2\pi}_0 \bigg|\frac{f^{(r)}(\rho e^{i(\lambda+\theta)})-f^{(r)}(\rho e^{i\lambda})} {|\theta|^{\alpha}}\bigg|^{p(e^{i\lambda)}}d\lambda<\infty.$$
В работе доказаны следующие основные результаты.
Теорема 1. Пусть $f\in H^{p( \cdot )}_{r+\alpha},$ $I$ — внутренняя функция, $f/I\in H^1$. Тогда $f/I\in H^{p( \cdot )}_{r+\alpha}$.
Теорема 2. Пусть $f\in H^{p( \cdot )}_{r+\alpha},$ $I$ — внутренняя функция $f/I\in H^{\infty}$. Предположим, что кратность любого нуля $z_0\in \mathbb{D}$ функции $f$ в $\mathbb{D}$ не меньше $r+1$. Тогда $fI\in H^{p( \cdot )}_{r+\alpha}$.