| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Полиномиальная эйлерова характеристика нильмногообразий В. М. Бухштабер Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324010039 
Реферативные базы данных:
   ВведениеСтатья посвящена вопросам на пересечении ряда разделов математики, в которых А. М. Вершиком получены фундаментальные результаты. Нильпотентные группы, нильпотентные алгебры Ли и нильмногообразия — это широкая область исследований, тесно связанная с актуальными задачами теории динамических систем, теории представлений групп Ли, комплексной и симплектической геометрий, гомологической алгебры, комбинаторики, см. [1], [16], [13], [4], [2], [5]. В работе [6] была открыта связь алгебры Ли формальных векторных полей на вещественной прямой R1 c алгеброй Ландвебера–Новикова в теории комплексных кобордизмов. Развитие этой связи привело к построению квантовой группы в комплексных кобордизмах, см. [7]. В [6] была введена обратная последовательность групп ⋯→Ln→Ln−1→⋯→L1≈R1, где Ln≈Rn — нильпотентная группа полиномиальных преобразований прямой R1. Известные вопросы теории и приложений нильмногообразий привели к задаче исследования башен расслоений Mn→Mn−1→⋯→M1=S1 со слоем S1, где Mn=Ln/Γn — компактное гладкое нильмногообразие и Γn — кокомпактная подгруппа в Ln преобразований решетки Zn, см. [8]. В центре внимания данной статьи — задача вычисления колец когомологий с рациональными коэффициентами многообразий Mn. В первой части статьи собраны необходимые факты о дифференциальной геометрии и алгебраической топологии многообразий Mn=Ln/Γn. Во второй части исследован биградуированный комплекс де Рама этих многообразий. Используя тот факт, что дифференциал биградуированного комплекса де Рама многообразий Mn не меняет вторую градуировку, мы показываем, что этот комплекс разлагается в прямую сумму 1+n(n+1)/2 дифференциальных подкомплексов. На основе этого результата введена полиномиальная эйлерова характеристика нильмногообразий Mn. Получено описание гомоморфизмов точных когомологических последовательностей Гизина расслоений Mn+1→Mn и доказано, что полиномиальная эйлерова характеристика, как и классическая эйлерова характеристика, мультипликативна для этих расслоений. Как известно, классическая эйлерова характеристика нильмногообразий Mn равна нулю. Основным результатом работы является вычисление полиномиальной эйлеровой характеристики нильмногообразий Mn, которая нетривиальна и несет важную информацию о биградуированных кольцах H∗,∗(Mn) и гомоморфизмах H∗,∗(Mn−1)→H∗,∗(Mn). § 1. Нильпотентные группы и нильпотентные алгебры ЛиПусть A и B — подгруппы группы G. Определим [A,B] как подгруппу в G, порожденную множеством всех коммутаторов Нижним центральным рядом группы G называется последовательностьНижним центральным рядом алгебры Ли G со скобкой Ли [⋅,⋅] называется последовательность Алгебра Ли является нильпотентной, если и только если она может быть получена из абелевых алгебр Ли при помощи центральных расширений. Определение 1.3. Нильмногобразием называется компактное однородное пространство нильпотентной группы Ли. Следующие две теоремы — это результаты А. И. Мальцева, см. [18]: Теорема 1.4. Пусть M — нильмногообразие. ∙ Тогда M=G/Γ, где G — односвязная нильпотентная группа Ли и Γ — ее дискретная подгруппа G. ∙ Пусть M=G/Γ и G — алгебра Ли группы G. Тогда G имеет базис, в котором все структурные константы рациональны. Теорема 1.5. Для каждой нильпотентной алгебры Ли G с рациональными структурными константами существует нильмногообразие M=G/Γ. § 2. Группа ГейзенбергаРассмотрим одну из наиболее известных нильпотентных групп. Определение 2.1. Непрерывной группой Гейзенберга H3(R) называется топологическая группа, состоящая из всех матриц вида Умножение матриц H(u)H(v)=H(w) в H3(R) задает некоммутативное умножение в R3 с координатами u=(u1,u2,u3): Алгебра Ли H3 группы H3(R) называется алгеброй Ли–Гейзенберга. Она задает такую структуру алгебры Ли в R3 с базисом H3,k=H(ek)−I, k=1,2,3, где e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e1=(0,0,1) и I — единичная матрица, что Легко проверить, что группа Ли H3(R) и алгебра Ли H3 являются нильпотентными.Определение 2.2. Дискретной группой Гейзенберга H3(Z) называется подгруппа в H3(R)≈R3 с целыми координатами. Многообразие Кодаиры–Тёрстона является первым широко известным примером симплектического, но не кэлерова многообразия. Подробно об этом многообразии см. в [3], [12]. § 3. Группы полиномиальных преобразований вещественной прямой3.1. Конструкция группы LnПоложим Имеем Будем рассматривать Ln как n-мерную группу полиномиальных преобразований вещественной прямой с единицей p0(t)=t и умножением x∗y=z, где Таким образом мы получим на Rn структуру алгебраической группы Ли.Пусть — ряды, связанные соотношением (px∗py)(t)=py(px(t))=pz(t). В этом случае коэффициенты zk ряда pz(t) являются полиномами zk(x1,…,xk;y1,…,yk). Формула для zk=zk(x1,…,xk;y1,…,yk) известна как формула Фаа ди Бруно (1855), см. [21].3.2. Связь с группой Гейзенберга Доказательство. Пусть x∗y=z и u⋅v=w. Положим deguk=degxk=2k, k=1,2,3. Гомеоморфизм f индуцирует однородный изоморфизм градуированных колец Умножение μL в группе L3 задает кольцевой гомоморфизм
μ∗L:R[z1,z2,z3]→R[x1,x2,x3]⊗R[y1,y2,y3]=R[x1,x2,x3;y1,y2,y3],μ∗L(z1)=x1+y1,μ∗L(z2)=x2+2x1y1+y2,μ∗L(z3)=x3+(2x2+x21)y1+3x1y2+y3.
Умножение μH в группе H3(R) задает кольцевой гомоморфизм
μ∗H:R[w1,w2,w3]→R[u1,u2,u3]⊗R[v1,v2,v3]=R[u1,u2,u3;v1,v2,v3],μ∗H(w1)=u1+v1,μ∗H(w2)=u2+v2,μ∗H(w3)=u3+u1v2+v3.
Используя формулы для кольцевых гомоморфизмов f∗, μ∗L и μ∗H, получаем соотношение 3.3. Формула для обратного элементаПусть (p_x * p_y)(t) = p_0(t). Формула для коэффициентов y_k=y_k(x_1,\dots,x_k) ряда p_y(t) известна как формула Лагранжа (1770), см. [21]. Мы используем полученную в работе [17] формулу
\begin{equation*}
y_k = \frac{1}{(k+1)!}\sum_{\|\lambda\|=k}(-1)^{|\lambda|}(k+|\lambda|)!\,\frac{x^\lambda}{\lambda!}
\end{equation*}
\notag
функционального обращения степенного ряда где \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_s), \lambda_i\geqslant 0, |\lambda|=\lambda_1+\cdots+\lambda_s, \|\lambda\|=\lambda_1+\cdots+s\lambda_s, \lambda!=\lambda_1!\cdots\lambda_s!, x^\lambda=x_1^{\lambda_1}\cdots x_s^{\lambda_s}. Теорема 3.2 (Лодей [17]). Пусть p_y(p_x(t)) = t. Тогда y_k = As^{k-1}(-x_1,\dots, -x_k), k=1,2,\dots, — полином, перечисляющий грани (k-1)-мерного ассоциэдра As^{k-1}, реализующего многогранник Сташефа St^{k-1}. Теорию ассоциэдров (многогранников Сташефа) см. в [11]. \bullet y_4 = -x_4 + 6x_3 x_1 + 3x_2^2 - 21 x_2x_1^2 + 14 x_1^4. Грани ассоциэдра As^3: 6 пятиугольников, 3 четырехугольника, 21 ребро, 14 вершин. \bullet Коэффициент при x_1^k полинома (-1)^ky_k равен числу вершин ассоциэдра As^{k-1} — числу Каталана C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}, см. [17]. § 4. Структура и матричное представление группы L^n4.1. Нижний центральный рядПоложим
\begin{equation*}
L^n_q =\bigg\{ p_x(t) = t + \sum_{k=q}^n x_k t^{k+1}\bigg\},\qquad q = 1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
\bullet L^n_{q} \approx\mathbb{R}^{n+1-q} — нормальная подгруппа в L^n_{q-1}. \bullet L^n_{q-1}/L^n_{q} \approx\mathbb{R} — центр группы L^n/L^n_{q}, q = 2,\dots,n. \bullet [L^n_{p},L^n_{q}]\subseteq L^n_{p+q}. \bullet L^n — нильпотентная группа с нижним центральным рядом
\begin{equation*}
L^n = \gamma_0(L^n)\supseteq \gamma_1(L^n)\supseteq \cdots \supseteq \gamma_{n-1}(L^n)\supseteq \gamma_n(L^n),
\end{equation*}
\notag
где \gamma_{q+1}(L^n) = [L^n,\gamma_{q}(L^n)], q =0,\dots,n-1. \bullet \gamma_{q}(L^n)\subseteq L^n_{q+1}. \bullet [L^n]_q\subseteq L^n_{2^q}, где [L^n]_0 = L^n и [L^n]_{q+1} = [[L^n]_{q},[L^n]_{q}]. 4.2. Матричное представлениеЛевое умножение * задает каноническое матричное представление
\begin{equation*}
\rho\colon L^n \to SLT(n+1,\mathbb{R}),\qquad\rho(p_x(t)) \begin{pmatrix} 1 \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ x * v \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
группы L^n со значениями в группе SLT(n+1,\mathbb{R}) нижних унитреугольных матриц где x_{i,k} = [p_x(t)^{k+1}]_{i+1} — коэффициент при t^{i+1} полинома p_x(t)^k. Пример. Пусть v\in L^{4}. Тогда
\begin{equation*}
\rho(p_x(t)) \begin{pmatrix} 1 \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ x_1 & 1 \\ x_2 & 2 x_1 & 1 \\ x_3 & 2 x_2 + x_1^2 & 3 x_1 & 1 \\ x_4 & 2 (x_3 + x_1 x_2) & 3 (x_2 + x_1^2)& 4 x_1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ x*v \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Умножение * в L^n может быть записано в виде где A(x) = (a_{ik}(x)) — нижняя треугольная (n\times n)-матрица с нулями на диагонали и
\begin{equation*}
a_{ik}(x) = x_{i,k} = [p_x(t)^{k+1}]_{i+1}, \qquad i \ne k.
\end{equation*}
\notag
4.3. Деформация умножения * к стандартному сложению в \mathbb{R}^nЛюбое линейное преобразование B\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, где B \in GL(n,\mathbb{R}), задает преобразованное умножение в L^n:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x *_B y \stackrel{\text{def}}{=} B^{-1}((B x) * (B y))&=B^{-1} (B x + B y + A (B x) B y)\\ &= x + y + (B^{-1} A (B x) B) y. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В случае скалярной матрицы B = \tau E мы получаем формулу определяющую деформацию умножения * (\tau = 1) к стандартному сложению (\tau = 0) в \mathbb{R}^n. где
§ 5. Однопараметрические подгруппы и нильмногообразия5.1. Функциональное уравнение переносаРассмотрим вещественную прямую \mathbb{R}^1 с координатой s. Отображение \varphi\colon\mathbb{R}^1\to L^n определяется функцией Функция \varphi(t;s) задает однопараметрическую подгруппу в L^n с началом в точке t\in L^n, если и только если она является решением функционального уравнения переноса
\begin{equation*}
\varphi(t;s_1+s_2) = \varphi(\varphi(t;s_1);s_2)\mod t^{n+2}
\end{equation*}
\notag
с начальным условием \varphi(t;0) = t. Решение этого уравнения однозначно определяется как решение дифференциального уравнения
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial s} = \pi(\varphi(t;s))\mod t^{n+2}, \quad\text{где }\,\pi(t) = \sum_{k=1}^{n}u_kt^{k+1},
\end{equation*}
\notag
с начальным условием \varphi(t;0) = t. Пусть g(t;s) = t + \sum_{k=1}^{n}x_k(s)t^{k+1} — путь в L^n с началом в единице группы L^n, т. е. g(t;0) = t. Полином
\begin{equation*}
\pi_g(t) = \sum_{k=1}^{n}x_k'(0)t^{k+1} = \frac{\partial g(t;s)}{\partial s}\bigg|_{s=0}
\end{equation*}
\notag
задает касательный вектор пути g(t;s) в единице группы L^n. Из функциональных уравнений
\begin{equation*}
\varphi(t;s_1+s_2) = \varphi(\varphi(t;s_1),s_2) = \varphi(\varphi(t;s_2),s_1)\mod t^{n+2}
\end{equation*}
\notag
следует уравнение в частных производных
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial s} = \pi_\varphi(t)\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial t}\mod t^{n+2}.
\end{equation*}
\notag
Это уравнение тесно связано с уравнением Бюргерса–Хопфа
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial s} = \pi(\varphi(t;s))\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial t},
\end{equation*}
\notag
которое является фундаментальным в гидродинамике и в теории ударных волн, см. [14]. Связь многогранников Сташефа (ассоциэдров As^n) с уравнением Бюргерса– Хопфа была открыта в 2007 г., см. [9]. Развитие этой связи см. в [10]. Уравнение Э. Хопфа
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial s} = \varphi(t;s)\,\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial t}
\end{equation*}
\notag
для производящего ряда граней многогранников As^n, n=1,2,\dots, получено в [11; теорема 1.8.3]. 5.2. Алгебра Ли группы Ли L^nПусть
\begin{equation*}
\mathcal{G}(L^n) = \bigg\{ \pi(t) = \sum_{k=1}^{n}u_k t^{k+1}, \, u_k\in\mathbb{R}\bigg\}
\end{equation*}
\notag
со сложением \pi_1(t)\oplus\pi_2(t) = \pi_1(t)+\pi_2(t). Тогда \mathcal{G}(L^n) как векторное пространство над \mathbb{R} изоморфно пространству \mathbb{R}^n со стандартным сложением. Сопоставим полиному \pi(t)\in\mathcal{G}(L^n) однопараметрическую подгруппу \varphi(t;s), определенную дифференциальным уравнением
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi(t;s)}{\partial s} = \pi(\varphi(t;s))\mod t^{n+2}
\end{equation*}
\notag
с начальным условием \varphi(t;0) = t. Положим
\begin{equation*}
\exp_L\colon \mathcal{G}(L^n)\rightarrow L^n,\qquad\exp_L(\pi(t))=\varphi(t;1)\mod t^{n+2}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, \exp_L определяет алгебраический гомеоморфизм \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n. Пример. Полином \pi(t)=u_1t^2 определяет однопараметрическую подгруппу \varphi(t;s) = \frac{t}{1-u_1st}\mod t^{n+2}. Следовательно, \exp_L(u_1t^2) = t+u_1t^2+\cdots+u_1^nt^{n+1}. 5.3. Касательное расслоения многообразия M^nУмножение * задает свободные действия группы L^n на \mathbb{R}^n:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}3 &\text{левый сдвиг}&\quad &v \to x * v &\quad &\text{дает линейное действие }\,\rho,\\ &\text{правый сдвиг}&\quad&v \to v * x &\quad &\text{дает нелинейное действие}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим каноническую решетку с нижним центральным рядом:
\begin{equation*}
\Gamma_n^n \subset \dots \subset \Gamma_q^n \subset \dots \subset \Gamma_0^n = \Gamma^n.
\end{equation*}
\notag
Эта решетка \Gamma^n \approx\mathbb{Z}^n является кокомпактной (равномерной) решеткой. Относительно правых сдвигов пространство орбит M^n = \mathbb{R}^n\!/\Gamma^n является гладким замкнутым компактным нильмногообразием. Относительно линейного действия \rho (левого сдвига) на слое \mathbb{R}^n касательное расслоение многообразия M^n имеет вид
\begin{equation*}
T(M^n) = \mathbb{R}^n \times_{\Gamma^n} \mathbb{R}^n \to M^n = \mathbb{R}^n\!/ \Gamma^n.
\end{equation*}
\notag
Лемма 5.1. Пусть e_1,\dots,e_n — арифметический базис в \mathbb{R}^n. Рассмотрим изоморфизм алгебры Ли \mathcal{G}(L^n) с \mathbb{R}^n, при котором t^{k+1} переходит в e_k, k=1,\dots,n. Тогда где e_m = 0, если m>n.Многообразие M^n = L^n\!/\Gamma^n, n\geqslant 1, является фактором нильпотентной группы Ли L^n по дискретной подгруппе \Gamma. Таким образом, отображение \exp_L индуцирует гомеоморфизм расслоений с базой M^n.5.4. Башни расслоений и группа \mathbb{R}^\inftyИспользуя проекции
\begin{equation*}
\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n-1}\colon(x_1,\dots,x_n)\to (x_1,\dots,x_{n-1}),\qquad n\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
получаем две башни групп
\begin{equation*}
L^n \to L^{n-1} \to \dots \to L^1, \qquad \Gamma^n \to \Gamma^{n-1} \to \dots \to \Gamma^1
\end{equation*}
\notag
и индуцированную башню расслоений со слоем S^1. Определим \mathbb{R}^\infty= \varprojlim_n \mathbb{R}^n как группу в топологии обратного предела с операцией x*y подстановки ряда x(t) = t+\sum_{k=1}^{\infty} x_kt^{k+1} в ряд y(t) = t+\sum_{k=1}^{\infty} y_kt^{k+1}. Эта группа отождествляется с группой \operatorname {Diff}^\infty формальных диффеоморфизмов прямой \mathbb{R}^1, см. [8]. Алгебре, геометрии и топологии группы \mathbb{R}^\infty= \operatorname {Diff}^\infty, а также задачам, в которых она играет важную роль, посвящен обзор [5]. Получаем бесконечную башню
\begin{equation*}
M^\infty \to \dots \to M^n \to \dots \to M^1 = S^1,\quad\text{где }\,M^\infty = \varprojlim_n M^n.
\end{equation*}
\notag
§ 6. Алгебра левоинвариантных операторовЗафиксируем кольцо полиномов \mathbb{R}[x_1,\dots,x_n] как кольцо функций на группе L^n \approx\mathbb{R}^n. Для f(x) \in \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n], положим
\begin{equation*}
R_x^y f(x) \stackrel{\text{def}}{=} f(x*y) = \sum_{|I| \geqslant 0} \mathcal{D}_I(f(x)) y^I,
\end{equation*}
\notag
где R_x^y — оператор правого сдвига, I = (i_1, \dots, i_n)\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}^n и y^I = y_1^{i_1} \cdots y_n^{i_n}. Таким образом, мы получаем множество линейных дифференциальных операторов
\begin{equation*}
\mathcal{D}_I\colon \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]\to \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n].
\end{equation*}
\notag
Пример. Для \underline{n=3} мы имеем \mathcal{D}_0 f(x) = f(x),
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{D}_{(1,0,0)} &=\frac{\partial}{\partial x_1} + 2 x_1\frac{\partial}{\partial x_2} + (2 x_2 + x_1^2)\frac{\partial}{\partial x_3},\\ \mathcal{D}_{(0,1,0)} &=\frac{\partial}{\partial x_2} + 3 x_1\frac{\partial}{\partial x_3}, \\ \mathcal{D}_{(0,0,1)} &=\frac{\partial}{\partial x_3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Используя уравнение ассоциативности R_x^y R_x^z = R_y^z R_x^y, получаем закон композиции операторов \mathcal{D}_I
\begin{equation*}
\sum_{|I| \geqslant 0} \sum_{|J| \geqslant 0} \mathcal{D}_I \mathcal{D}_J f(x) y^J z^I = \sum_{|K| \geqslant 0} \mathcal{D}_K f(x) (y * z)^K.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим оператор левого сдвига L_x^z: Операторы R_x^y и L_x^z коммутируют, поэтому операторы \mathcal{D}_I являются левоинвариантными для всех I, т. е. для любого z\in L^n.Алгебра \mathcal{A}^n, порожденная операторами \mathcal{D}_I, является алгеброй всех левоинвариантных дифференциальных операторов на \mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]. Лемма 6.1. Алгебра \mathcal{A}^n мультипликативно порождается операторами
\begin{equation*}
\xi_i = \partial_i + \sum_{q=i+1}^n x_{iq} \partial_q, \qquad i = 1, \dots, n,
\end{equation*}
\notag
где \partial_i = \partial/\partial x_i и x_{iq} — коэффициент при t^{q+1} в полиноме p_x(t)^{i+1}, как и раньше. Коммутаторы этих операторов имеют вид где \xi_m = 0, если m > n.Доказательство вытекает непосредственно из определения операторов \xi_k = \mathcal{D}_{I_k}, где I_k — вектор, у которого k-я координата равна 1, а остальные координаты равны нулю.
\begin{equation*}
\mathcal{A}^3 = \mathbb{R}[\xi_1, \xi_2, \xi_3] / ([\xi_1, \xi_2] = \xi_3, [\xi_1, \xi_3] = [\xi_2, \xi_3] = 0).
\end{equation*}
\notag
\bullet Операторы \{\xi_i,\, i=1,\dots,n\} образуют базис в алгебре Ли \mathcal{L}^n левоинвариантных векторных полей на группе L^n. \bullet Оператор \xi_m соответствует 1-параметрической подгруппе
\begin{equation*}
\varphi_m(s)=\{\varphi_m(t;s) = t(1 - mst^m)^{-1/m} \operatorname {mod}t^{n+2}\}\subset L^n,\qquad s\in\mathbb{R}^1,\;m=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_m(t;s)= t + s t^{m +1}+ \sum_{k \geqslant 2} (1 + m) (1 + 2 m) \cdots (1 + (k-1) m)\frac{s^k}{k!}\,t^{k m +1}\mod t^{n+2},\\ \varphi_m(t;s_1+s_2)= \varphi_m(t;s_1)*\varphi_m(t;s_2) = \varphi_m(\varphi_m(t;s_1);s_2)\mod t^{n+2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
\bullet При 1<m\leqslant[\frac{n}{2}] имеем \varphi_m(t;1) \notin \Gamma^n, но \varphi_m(t; m) = \varphi_m(t; 1)^{*m} \in \Gamma^n. \bullet При m>[\frac{n}{2}] имеем \varphi_m(t;1) \in \Gamma^n. Пример. Для \underline{n = 4}:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_1(t; s) &= t + s t^2 + s^2 t^3 + s^3 t^4 + s^4 t^5,\\ \varphi_2(t; s) &= t + s t^3 + \tfrac32s^2 t^5,\\ \varphi_3(t; s) &= t + s t^4,\\ \varphi_4(t; s) &= t + s t^5,\\ \varphi_2(t; 1) &= t + t^3 + \tfrac32t^5 \notin \Gamma^4, \\ \varphi_2(t; 2) &= \varphi_2(\varphi_2(t;1);1) = t + 2t^3 + 6t^5 \in \Gamma^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Положим e_k(t)=e_k=t+t^{k+1}, тогда где e_3^{-1}(e_3(t)) = t.§ 7. Комплекс де Рама гладкого многообразияДифференциальной градуированной алгеброй (d.g.a.) (C, d) называется градуированная алгебра C = \sum_{p \geqslant 0} C^p, где C^p\subset C — подгруппа элементов степени p, с дифференциалом d\colon C \to C степени 1, т. е. d(C^p)\subset C^{p+1} и d^2 = 0, так что
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 a \cdot b &= (-1)^{pq}ba&\qquad&\text{для }\,a\in C^p,\; b \in C^q,\\ d(ab)&= (d a) b + (-1)^p a (d b)&\qquad&\text{для }\,a \in C^p. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
По определению
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\kern-20pt C^p\,-\text{ группа коцепей}, \\ Z^p C&= \operatorname {ker}(d\colon C^p \to C^{p+1})\,-\text{ группа коциклов}, \\ B^p C&= \operatorname {Im}(d\colon C^{p-1} \to C^{p})\,-\text{ группа кограниц}, \\ H^p C&=Z^p C / B^p C\,-\text{ группа когомологий}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тогда H^* C = \sum_{p \geqslant 0} H^p C является d.g.a. (с d=0) и называется кольцом когомологий алгебры C. Определение 7.1. Пусть X — гладкое n-мерное компактное многообразие. Комплексом де Рама многообразия X называется d.g.a. гладких вещественных дифференциальных форм В координатах x=(x^1,\dots,x^n) окрестности U \subset X форма \omega \in C^p(X) записывается в виде
\begin{equation*}
\omega = \sum u_{i_1 \dots i_p} (x) d x^{i_1} \wedge \dots \wedge d x^{i_p}, \qquad x\in U ,
\end{equation*}
\notag
а дифференциал d\omega — в виде
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d\omega&= \sum_{i_1 < \dots < i_p} d u_{i_1 \dots i_p} \wedge d x^{i_1} \wedge \dots \wedge d x^{i_p}\\ &= \sum_{i_1 < \dots < i_p} \frac{\partial}{\partial x^{i_0}}\,u_{i_1 \dots i_p} d x^{i_0} \wedge d x^{i_1} \wedge \dots \wedge d x^{i_p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
§ 8. Классические результатыПусть M^n — замкнутое ориентированное многообразие с фундаментальным циклом [M^n]\in H_{n}(M^n;\mathbb{R}). На кольце H^*(M^n;\mathbb{R}) оператор двойственности Пуанкаре
\begin{equation*}
D\colon H^k(M^n;\mathbb{R})\rightarrow H_{n-k}(M^n;\mathbb{R})
\end{equation*}
\notag
однозначно определяется условием, что для \alpha\in H^k(M^n;\mathbb{R}) класс D(\alpha)\in H_{n-k}(M^n;\mathbb{R}) удовлетворяет равенству для любого \beta\in H^{n-k}(M^n;\mathbb{R}). Здесь (a,b) — значение коцикла b на цикле a. Для любого топологического пространства X определяется n-е число Бетти b_n как ранг группы H^n(X;\mathbb{R}). Эйлеровой характеристикой \chi(X) называется знакопеременная сумма Теорема 8.3. Пусть X\to Y — локально тривиальное расслоение со слоем F. Тогда \chi(X) = \chi(Y)\chi(F). Следствие 8.4. Пусть M^{n+1}\to M^n — локально тривиальное расслоение со слоем S^1. Тогда \chi(M^{n+1})=0. § 9. Биградуированный комплекс де РамаПусть \omega_1, \dots, \omega_n — базис левоинвариантных дифференциальных 1-форм на L^n, двойственный базису векторных полей \{ \xi_i\}. На алгебре Ли \mathcal{L}^n = \mathcal{G}(L^n) с базисом \xi_i, i = 1,\dots,n, определена форма Маурера–Картана
\begin{equation*}
\omega=\sum_{i=1}^n \omega_i\xi_i\colon\mathcal{L}^n\to\mathcal{L}^n,\qquad\omega(\zeta)=\sum_{i=1}^n \omega_i(\zeta)\xi_i.
\end{equation*}
\notag
Уравнение Маурера–Картана
\begin{equation*}
d \omega = - \tfrac12[\omega, \omega], \quad \text{где }\,[\omega, \omega](\zeta_1, \zeta_2) = [\omega(\zeta_1), \omega(\zeta_2)],
\end{equation*}
\notag
в нашем случае принимает вид
\begin{equation}
d\omega_q = \sum_{\{(k,l): \,k>l>0, \,k+l=q\}} (k - l)\omega_k \wedge \omega_l, \qquad q=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1}
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d \omega_1 &= d \omega_2 = 0, \\ d \omega_3 &= \omega_2 \wedge \omega_1, \\ d \omega_4 &= 2 \omega_3 \wedge \omega_1, \\ d \omega_5 &= 3 \omega_4 \wedge \omega_1 + \omega_3 \wedge \omega_2, \\ d \omega_6 &= 4\omega_5 \wedge \omega_1 + 2\omega_4 \wedge \omega_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее H^*(M) обозначает H^*(M;\mathbb{R}). Теорема 9.2 (Номидзу [20]). где \Lambda^n = \Lambda(\omega_1,\dots,\omega_n) — внешняя алгебра над \mathbb{R} и d задается формулой (1).Следуя подходу работы [6], положим \operatorname {bideg}\omega_k = (1,-2k). Тогда, согласно (1), \operatorname {bideg}d = (1,0). Обозначим через \Lambda_{s,-2q}^n\subset\Lambda^n подгруппу с базисом
\begin{equation*}
\omega_{i_1} \wedge \cdots \wedge \omega_{i_s},\qquad s = 1,\dots,n,\;i_1 > \cdots > i_s > 0,\;i_1 + \dots + i_s = q.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что для фиксированного n мы имеем неравенства 1\leqslant q\leqslant n(n+1)/2 и s(s+1)\leqslant 2q\leqslant 2s(2n+1-s) . Положим
\begin{equation*}
\Lambda_{0}^n = \mathbb{R}\quad\text{и}\quad\Lambda_{-2q}^n = \sum_{s\geqslant 1}^{s(s+1)\leqslant 2q} \Lambda_{s,-2q},\qquad 1\leqslant q\leqslant \frac{n(n+1)}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
Лемма 9.3. 1. Определены дифференциальные комплексы (\Lambda_{-2q}^n,d), 1\leqslant q\leqslant n(n+1)/2, в которых оператор d действует по формуле (1). 2. Стандартное вложение \Lambda^{n-1}\subset\Lambda^n\colon\omega_k\to \omega_k, k=1,\dots,n-1, n\geqslant 2, задает вложение дифференциальных комплексов (\Lambda^{n-1},d)\to (\Lambda^{n},d), n\geqslant 2. Доказательство. Согласно формуле (1), имеем d\colon \Lambda_{s,-2q}\to \Lambda_{s+1,-2q}, откуда следует утверждение п. 1. Утверждение п. 2 вытекает из следствия 9.1. \Box Следствие 9.4. Дифференциальный комплекс (\Lambda^n,d), n\geqslant 0, разлагается в прямую сумму дифференциальных подкомплексов (\Lambda_{-2q}^n;d). Теорема 9.5. Кольцо H^*(M^n) имеет структуру биградуированного кольца
\begin{equation*}
\mathbb{R} + \sum_{s=1}^n \sum_{2q=s(s+1)}^{s(2n+1-s)} H^{s,-2q}(M^n),
\end{equation*}
\notag
где H^{s,-2q}(M^n) = H^{s}(\Lambda_{-2q}^n), q=1,\dots,n(n+1)/2. Класс [\omega_n\wedge\cdots\wedge\omega_2\wedge\omega_1]\in H^{n}(\Lambda_{-n(n+1)}^n) = \mathbb{R} является образующим группы H^{n}(M^n) = H^{n,-n(n+1)}(M^n). Оператор двойственности Пуанкаре \mathcal{D} задает изоморфизм Лемма 9.6. Для любого n \geqslant 2 имеет место разложение
\begin{equation*}
H^1(M^n) = H^{1,-2}(M^n) + H^{1,-4}(M^n) = \mathbb{R}\oplus\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
где [\omega_1] и [\omega_2] — образующие слагаемых. Для n>2, согласно изоморфизму Пуанкаре, Доказательство вытекает непосредственно из предыдущих утверждений этого параграфа. Примеры. Для \underline{n=3}: H^*(M^3) = H^*(\Lambda^3;d), где \Lambda^3 = \mathbb{R}\langle\omega_1,\omega_2,\omega_3\rangle и d\omega_1 = d\omega_2 = 0, d\omega_3 = \omega_2\wedge\omega_1. Группы \Lambda_{-2q}^3, q=1,\dots,6, и H^{s,-2q}(M^3), s=1,2,3, с образующими (указаны в скобках):
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 \Lambda_{-2}^3&=\mathbb{R} = H^{1,-2}(M^3)&\quad&(\omega_1), \\ \Lambda_{-4}^3&=\mathbb{R} = H^{1,-4}(M^3)&\quad&(\omega_2), \\ \Lambda_{-6}^3&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&(\omega_2\wedge\omega_1,\omega_3),\; H^{s,-6}(M^3)=0,\; s=1,2, \\ \Lambda_{-8}^3&=\mathbb{R} = H^{2,-8}(M^3)&\quad&(\omega_3\wedge\omega_1), \\ \Lambda_{-10}^3&=\mathbb{R} = H^{2,-10}(M^3)&\quad&(\omega_3\wedge\omega_2), \\ \Lambda_{-12}^3&=\mathbb{R} = H^{3,-12}(M^3)&\quad&(\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Двойственность Пуанкаре:
\begin{equation*}
[\omega_1] \leftrightarrow [\omega_3\wedge\omega_2], \qquad [\omega_2] \leftrightarrow [\omega_3\wedge\omega_1].
\end{equation*}
\notag
Для \underline{n=4}: H^*(M^4) = H^*(\Lambda^4;d), где \Lambda^4 = \mathbb{R}\langle\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\rangle и d\omega_1 = d\omega_2 = 0, d\omega_3 = \omega_2\wedge\omega_1, d\omega_4 = 2\omega_3\wedge\omega_1. Дифференциальные комплексы (\Lambda_{-2q}^3;d) и (\Lambda_{-2q}^4;d) совпадают для q=1,2,3. Группы \Lambda_{-2q}^4, q=4,\dots,10, и H^{s,-2q}(M^4), s=1,2,3,4, с образующими (указаны в скобках):
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 \Lambda_{-8}^4&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&(\omega_4,\omega_3\wedge\omega_1),\; H^{s,-8}(M^4)=0,\; s=1,2, \\ \Lambda_{-10}^4&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R} = H^{2,-10}(M^4)&\quad&(\omega_4\wedge\omega_1,\omega_3\wedge\omega_2), \\ \Lambda_{-12}^4&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&(\omega_4\wedge\omega_2,\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1),\; H^{s,-12}(M^4)=0,\; s=2,3, \\ \Lambda_{-14}^4&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&(\omega_4\wedge\omega_3,\omega_4\wedge\omega_2\wedge\omega_1),\; H^{s,-14}(M^4)=0,\; s=2,3, \\ \Lambda_{-16}^4&=\mathbb{R} = H^{3,-16}(M^4)&\quad&(\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1), \\ \Lambda_{-18}^4&=\mathbb{R} = H^{3,-18}(M^4)&\quad&(\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2), \\ \Lambda_{-20}^4&=\mathbb{R} = H^{4,-20}(M^4)&\quad&(\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Двойственность Пуанкаре:
\begin{equation*}
[\omega_1] \leftrightarrow [\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2], \quad [\omega_2] \leftrightarrow [\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1], \quad [\omega_4\wedge\omega_1] \leftrightarrow [\omega_3\wedge\omega_2].
\end{equation*}
\notag
§ 10. Полиномиальная эйлерова характеристикаПоложим
\begin{equation*}
b_k(s) = \sum_{q=0}^{q(n)} b_{k,-2q}s^{2q},\quad\text{где $2q(n)=n(n+1)$ и $b_{k,-2q} = \dim H^k(\Lambda_{-2q}^n)$.}
\end{equation*}
\notag
Доказательство. Согласно определению,
\begin{equation*}
\chi(s;M^n) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^kb_k(s) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \sum_{q=0}^{q(n)}b_{k,-2q}s^{2q} = \sum_{q=0}^{q(n)}\chi(\Lambda_{-2q}^n)s^{2q}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, надо доказать формулу
\begin{equation*}
\sum_{q=0}^{q(n)}\chi(\Lambda_{-2q}^n)s^{2q} = \sum_{q=0}^{q(n-1)}\chi(\Lambda_{-2q}^{n-1})s^{2q} - \sum_{q=0}^{q(n-1)}\chi(\Lambda_{-2q}^{n-1})s^{2q+2n}.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что q(n) = q(n-1)+n. Таким образом, слева и справа в этой формуле стоят полиномы степени q(n). Сравним коэффициенты этих полиномов при одинаковых степенях s^q:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 q&=0:&\quad&\chi(\Lambda_{0}^n) = 1 = \chi(\Lambda_{0}^{n-1}), \\ q&=q(n):&\quad&\chi(\Lambda_{-2q(n)}^{n}) = (-1)^n = -\chi(\Lambda_{-2q(n-1)}^{n-1}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Из точной когомологической последовательности Гизина расслоения \pi_n\colon M^n\to M^{n-1} (см. §12) с использованием изоморфизмов H^{s,-2q}(M^n) = H^s(\Lambda_{-2q}^n) из теоремы 9.5 получаем доказательство для всех q. \Box
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi(s;M^3)&=1-(s^2+s^4)+(s^8+s^{10})-s^{12}, \\ \chi(s;M^4)&=1-(s^2+s^4)+2s^{10}-(s^{16}+s^{18})+s^{20}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
См. описание групп \Lambda_{-2q}^n, 0\leqslant q\leqslant q(n), для n=3 и n=4 в §9. Следующую теорему Эйлер представил в 1741 г., а доказал в 1755, см. [22]. Рассмотрим прямую \mathbb{R} с координатой t и бесконечномерную алгебру Ли \mathcal{L} векторных полей на прямой с базисом e_k = t^{k+1}\,d/dt, k=1,2,\dots. Коммутационные соотношения в \mathcal{L}: Теорема 10.6 (Гончарова [15]). Доказательство этой теоремы см. в [15], [19]. § 11. Симплектические многообразияГладкое многообразие M^{2n} называется симплектическим, если определена невырожденная замкнутая 2-форма \Omega\in H^2(M^{2n}), которая называется симплектической. Условие невырожденности эквивалентно условию, что n-я внешняя степень [\Omega]^n является формой объема и определяет ориентацию многообразия M^{2n}. Возьмем риманову метрику (\,\boldsymbol\cdot\, , \,\boldsymbol\cdot\, ) на симплектическом многообразии M^{2n} и определим оператор A на касательном расслоении T(M^{2n}) условием (Au,v)=\Omega(u,v). Так как A является кососимметричным, то оператор A*A=-A^2 симметричный и положительный. Возьмем положительный симметричный корень из A*A, Q=\sqrt{-A^2}>0, и положим J=AQ^{-1}. Тогда J^2=-1. Таким образом, оператор J определяет почти комплексную структуру и скобку \langle \,\boldsymbol\cdot\, , \,\boldsymbol\cdot\, \rangle, такую, что \langle u,v\rangle = \Omega(u,Jv) является эрмитовой метрикой на M^{2n}, т. е. римановой метрикой, относительно которой оператор J кососимметричен. Таким образом, на симплектическом многообразии M^{2n} вводится почти комплексная структура. Рассмотрим гладкое расслоение \pi_n\colon M^{n+1} \to M^{n} со слоем S^1. Левоинвариантная 1-форма \omega_{n+1} является связностью в расслоении \pi_n. Форма кривизны этого расслоения имеет вид
\begin{equation}
\Omega_{n} = \sum_{\{(k,l): \, k+l = n+1, \, k>l>0 \}} (k-l) \omega_k \wedge \omega_l,
\end{equation}
\tag{2}
и мы получаем \pi_n^* \Omega_n = d \omega_{n+1}. Пример. Пусть 1-форма \tau задает образующую группы H^1(S^1). Тогда 2-форма \Omega_3 + \omega_2\wedge\tau = 2\omega_3\wedge\omega_1 + \omega_2\wedge\tau задает симплектическую структуру на многообразии M^3\times S^1. Теорема 11.1. Левоинвариантная 2-форма \Omega_{2n} задает на L^{2n} левоинвариантную симплектическую структуру, которая индуцирует симплектическую структуру на M^{2n} с 2-формой [\Omega_{2n}]\in H^{2,-2(2n+1)}(M^{2n}). Доказательство. Согласно формуле (2), получаем [\Omega_{2n}]^n = \lambda[\omega_{2n}\wedge\cdots\wedge\omega_2\wedge\omega_1], где \lambda = \prod_{k=1}^n (2k-1) \neq 0. \Box Согласно этой же формуле,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_5&=4\omega_5\wedge\omega_1 + 2\omega_4\wedge\omega_2, \\ \Omega_{2n+1}&=2n\omega_{2n+1}\wedge\omega_1 + (2n-2)\omega_{2n}\wedge\omega_2 + \cdots + 2\omega_{n+2}\wedge\omega_n,\qquad n>2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, согласно лемме 9.6, Таким образом, 2-форма \Omega_{2n+1}+\omega_{n+1}\wedge\tau при n>1 не задает симплектическую структуру на многообразии M^{2n+1}\times S^1.
§ 12. Гомоморфизм ГизинаГомоморфизмы двойственности Пуанкаре
\begin{equation*}
D^n\colon H^m(M^n) \to H_{n-m}(M^n), \quad D_n\colon H_m(M^n) \to H^{n-m}(M^n),\qquad m=0,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
задают гомоморфизм Гизина f^! в когомологиях для любого непрерывного отображения f\colon M^{n+1} \rightarrow M^n, где
\begin{equation*}
f^!\colon H^m(M^{n+1}) \rightarrow H^{m-1}(M^n),\qquad f^!(a) = D_n f_{*} D^{n+1}(a).
\end{equation*}
\notag
Здесь f_*\colon H_{n+1-m}(M^{n+1}) \to H_{n+1-m}(M^{n}). В случае расслоения \pi_{n+1} \colon M^{n+1} \to M^{n} эти кольца связывает точная последовательность Гизина
\begin{equation*}
\ldots \to H^m(M^{n+1}) \stackrel{\pi_{n+1}^!}{\longrightarrow} H^{m-1}(M^n) \stackrel{\wedge\Omega_n}{\longrightarrow} H^{m+1}(M^n) \stackrel{\pi_{n+1}^*}{\longrightarrow} H^{m+1}(M^{n+1})\to \dots,
\end{equation*}
\notag
где \pi_{n+1}^! — гомоморфизм интегрирования формы \omega, [\omega]\in H^m(M^{n+1}), вдоль слоя S^1 расслоения \pi_{n+1}. 12.1. Точная последовательность Гизина для n=4Для расслоения \pi_4\colon M^4\to M^3 получаем точную последовательность
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 \to H^0(M^3) &\stackrel{\wedge\Omega_3}{\longrightarrow} H^2(M^3) \stackrel{\pi_4^*}{\longrightarrow} H^2(M^4) \stackrel{\pi_4^!}{\longrightarrow} H^1(M^3) \stackrel{\wedge\Omega_3}{\longrightarrow} \\ &\stackrel{\wedge\Omega_3}{\longrightarrow} H^3(M^3) \stackrel{\pi_4^*}{\longrightarrow} H^3(M^4) \stackrel{\pi_4^!}{\longrightarrow} H^2(M^3) \stackrel{\wedge\Omega_3}{\longrightarrow} H^4(M^3) = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Группы когомологий с образующими (указаны в скобках):
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 H^1(M^4) = H^1(M^3)&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_1],[\omega_2]),\\ H^2(M^3)&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_3\wedge\omega_1],[\omega_3\wedge\omega_2]),\\ H^3(M^3)&=\mathbb{R}&\quad&([\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1]),\\ H^2(M^4)&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_3\wedge\omega_2],[\omega_4\wedge\omega_1]),\\ H^3(M^4)&=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2],[\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1]). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Так как \Omega_3 = 2[\omega_3\wedge\omega_1] и \pi_4^! — оператор деления на коцепь \omega_4, получаем описание связи колец H^*(M^3) и H^*(M^4). Заметим, что \omega_4 не является коциклом. 12.2. Точная последовательность Гизина для n=5Для расслоения \pi_5\colon M^5\to M^4 получаем точную последовательность
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 \to H^0(M^4) &\stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} H^2(M^4) \stackrel{\pi_5^*}{\longrightarrow} H^2(M^5) \stackrel{\pi_5^!}{\longrightarrow} H^1(M^4) \stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \\ &\stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} H^3(M^4) \stackrel{\pi_5^*}{\longrightarrow} H^3(M^5) \stackrel{\pi_5^!}{\longrightarrow} H^2(M^4) \stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \\ &\stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} H^4(M^4) \stackrel{\pi_5^*}{\longrightarrow} H^4(M^5) \stackrel{\pi_5^!}{\longrightarrow} H^3(M^4) \stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} H^5(M^4)= 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Группы когомологий с образующими (указаны в скобках):
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 H^1(M^4) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_1],[\omega_2]),\\ H^2(M^4) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_3\wedge\omega_2],[\omega_4\wedge\omega_1]),\\ H^3(M^4) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2],[\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1]),\\ H^4(M^4) &= \mathbb{R}&\quad&([\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1]),\\ H^1(M^5) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_1],[\omega_2]),\\ H^2(M^5) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([4\omega_5\wedge\omega_1+2\omega_4\wedge\omega_2],[\omega_4\wedge\omega_1], [\omega_5\wedge\omega_2-3\omega_4\wedge\omega_3]),\\ H^3(M^5) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_5\wedge\omega_2\wedge\omega_1],[\omega_5\wedge\omega_3\wedge\omega_1], [\omega_5\wedge(3\omega_1\wedge\omega_1-\omega_3\wedge\omega_2)]),\\ H^4(M^5) &= \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}&\quad&([\omega_5\wedge\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1], [\omega_5\wedge\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2]). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, имеем точную последовательность групп
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 \rightarrow \mathbb{R} &\stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\pi_5^*}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\pi_5^!}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \\ &\stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\pi_5^*}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\pi_5^!}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \\ &\stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} \mathbb{R}\qquad \stackrel{\pi_5^*}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\qquad \stackrel{\pi_5^!}{\longrightarrow} \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \stackrel{\wedge\Omega_4}{\longrightarrow} 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для вычисления гомоморфизмов в этой точной последовательности используем формулы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_4 &= [3\omega_4\wedge\omega_1+\omega_3\wedge\omega_2)], \\ d([\omega_5\wedge\omega_1]) &= [\Omega_4\wedge\omega_1] = [\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1], \\ d([\omega_5\wedge\omega_2]) &= [\Omega_4\wedge\omega_2] = -3[\omega_4\wedge\omega_2\wedge\omega_1], \\ d([\omega_5\wedge\omega_3]) &= [\Omega_4\wedge\omega_3]+[\omega_5\wedge\omega_2\wedge\omega_1] = -3[\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1]+[\omega_5\wedge\omega_2\wedge\omega_1], \\ d([\omega_5\wedge\omega_4]) &= [\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2 + 2\omega_5\wedge\omega_3\wedge\omega_1]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Так как в группе коцепей \pi^*(\omega_k) = \omega_k, k=1,\dots,4, и \pi_5^! — оператор деления на \omega_5, получаем описание точной последовательности Гизина для n=5.
БлагодарностиВыражаю благодарность Денису Антоновичу Голицыну, Дмитрию Владимировичу Миллионщикову и Федору Юрьевичу Попеленскому за полезные обсуждения в ходе работы над этой статьей. Особая благодарность Анатолию Моисеевичу Вершику за стимулирующее обсуждение результатов этой статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Buc24}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|