С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго, А. Мелье-Эрнандез, “Кольцо Гротендика пар квазипроективных множеств”, Функц. анализ и его прил., 58:1 (2024), 42–49; Funct. Anal. Appl., 58:1 (2024), 33

Мы рассматриваем кольцо Гротендика

$K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ пар комплексных квазипроективных множеств¹ и определяем естественные

$\lambda$ -структуры на этом кольце и степенную структуру над ним. Мотивировка для этого возникла из желания определить кольцо Гротендика комплексных (квазипроективных) орбифолдов (и изучить

$\lambda$ -структуры на нем и степенные структуры над ним). Простейшим (нетривиальным) орбифолдом является комплексная кривая

$C$ с несколькими орбифолдными точками

$a_1,\dots,a_s$ , которая может рассматриваться как пара

$(C,\{a_1,\dots, a_s\})$ (квазипроективных) множеств (размерностей

$1$ и

$0$ соответственно). Поэтому приведенная здесь конструкция может рассматриваться как возможный шаг в направлении определения кольца Гротендика комплексных (квазипроективных) орбифолдов. (Можно сказать, что другой шаг в этом направлении был сделан в [5].) Подмногообразия в аффинных или проективных пространствах также могут рассматриваться как пары. Мы показываем, что предполагаемая симметрическая степень проективной прямой с несколькими орбифолдными точками, описанная А. В. Фонаревым в [1], соответствует симметрической степени этой прямой с набором отмеченных точек как пары множеств.

Кольца Гротендика (квазипроективных) множеств (с дополнительными структурами) часто снабжены

$\lambda$ -структурами. Естественные

$\lambda$ -структуры на них определены аналогами дзета-функции Капранова (производящего ряда классов симметрических степеней) и производящего ряда классов конфигурационных пространств наборов различных точек. Мы рассматриваем естественные аналоги этих рядов для пар множеств.

$\lambda$ -структура на кольце определяет степенную структуру над ним (см. [2]). Поэтому

$\lambda$ -структуры на кольцах Гротендика (квазипроективных) множеств с дополнительными структурами, задаваемые аналогами дзета-функции Капранова и производящего ряда классов конфигурационных пространств, определяют степенные структуры над ними. (Для кольца Гротендика квазипроективных множеств (без дополнительных структур) эти степенные структуры совпадают. В некоторых других случаях, например, для кольца Гротендика квазипроективных множеств с действиями конечных групп (см. [5; утверждение 6]), они различны.) Степенные структуры над кольцами Гротендика квазипроективных множеств (в том числе с дополнительными структурами) оказываются полезными для формулировки и/или доказательства утверждений о производящих рядах классов некоторых (квазипроективных) множеств, см., например, [3], [4], [7]. Мы показываем, что две естественные

$\lambda$ -структуры на

$K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ определяют одну и ту же степенную структуру над ним, и даем ее геометрическое описание.

§ 2. Кольцо Гротендика пар множеств

Пара (комплексных квазипроективных) множеств — это пара

$(X,Y)$ , состоящая из комплексного квазипроективного множества

$X$ и локально замкнутого по Зарискому подмножества

$Y$ в нем. Множество

$X$ будет называться объемлющим множеством, а

$Y$ — подмножеством пары.

Полукольцо Гротендика

$S_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ пар комплексных квазипроективных множеств — это полугруппа, порожденная классами изоморфизма

$[(X,Y)]$ пар по модулю соотношения

Кольцо Гротендика

$K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ (пар комплексных квазипроективных множеств) — это (абелева) группа, порожденная классами изоморфизма пар с тем же соотношением и с тем же умножением. Единица

$1$ в этом кольце (а также и в полукольце) представлена парой

$({\rm pt},\varnothing)$ , где

${\rm pt}$ — одноточечное множество (

$\operatorname {Spec}\mathbb{C}$ ).

§ 3.

$\lambda$ -структуры на

$K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$

$\lambda$ -структура на кольце

$R$ (часто называемая пре-

$\lambda$ -структурой) определяется рядом

$\lambda_a(t)\in 1+t\cdot R[[t]]$ , заданным для всех

$a\in R$ , таким, что

$\lambda_a(t)=1+at+$ члены более высокого порядка,

$\lambda_{a+b}(t)=\lambda_a(t)\cdot\lambda_b(t)$ (см., например, [6]).

Пусть

$(X,Y)$ — пара (квазипроективных) множеств.

$n$ -я симметрическая степень пары

$(X,Y)$ — это

$S^n(X,Y)=(X,Y)^n/S_n$ , т. е. — пара, состоящая из симметрической степени

$S^nX$ объемлющего множества

$X$ и подмножества (неупорядоченных) наборов

$\{x_1,\dots, x_n\}$ из

$n$ точек множества

$X$ , таких, что (как минимум) одна из этих точек принадлежит

$Y$ . (Здесь и далее под декартовой степенью

$(X,Y)^n$ пары подразумевается

$(X,Y)\widehat{\times}\cdots\widehat{\times}(X,Y)$ ,

$n$ раз;

$S_n$ — группа перестановок

$n$ элементов). Пример:

$S^n1=1$ , где

$1=[({\rm pt},\varnothing)]$ . (

$(X,Y)^0=({\rm pt},\varnothing)$ и поэтому

$[S^0(X,Y)]=1$ .)

$n$ -е (неупорядоченное) конфигурационное пространство пары

$(X,Y)$ — это

$\Lambda^n(X,Y)=((X,Y)^n\setminus\Delta)/S_n$ , где

$\Delta$ — большая диагональ, состоящая из наборов

$n$ точек с по крайней мере двумя совпадающими. Другими словами,

$\Lambda^n(X,Y)$ — пара, состоящая из обыкновенного конфигурационного пространства

$\Lambda^nX=(X^n\setminus\Delta)/S_n)$ объемлющего множества

$X$ и подмножества (неупорядоченных) наборов

$\{x_1,\dots, x_n\}$ из

$n$ различных точек пространства

$X$ , таких, что (как минимум) одна из этих точек принадлежит

$Y$ . Пример:

$\Lambda^n1=0$ для

$n\geqslant 2$ .

Доказательство дословно такое же, как и доказательство утверждения 1, с единственным отличием, что рассматриваемые наборы должны состоять из различных точек.

§ 4. Пример: симметрическая степень проективной прямой с несколькими выделенными точками

Рассмотрим пару

$(\mathbb C\mathbb P^1, \{a_1,\dots, a_s\})$ (

$a_i\ne a_j$ при

$i\ne j$ ), состоящую из проективной прямой и ее

$s$ -точечного подмножества. Опишем ее

$n$ -ю симметрическую степень.

$n$ -я симметрическая степень проективной прямой

$\mathbb C\mathbb P^1$ с координатами

$(u\,{:}\,v)$ — это

$n$ -мерное проективное пространство

$\mathbb C\mathbb P^n$ . Изоморфизм между

$S^n(\mathbb C\mathbb P^1)$ и

$\mathbb C\mathbb P^n$ может быть определен следующим отображением. Пусть

$(p_0\,{:}\,p_1\,{:}\,\cdots\,{:}\,p_n)$ — координаты на

$\mathbb C\mathbb P^n$ . Точка из

$S^n(\mathbb C\mathbb P^1)$ представлена набором

$\{x_1,\dots,x_n)$ из

$n$ точек прямой

$\mathbb C\mathbb P^1$ ,

$x_i=(u_i\,{:}\,v_i)$ . Точка в

$\mathbb C\mathbb P^n$ , соответствующая этому набору из

$n$ точек, имеет координаты

§ 5. Геометрическая степенная структура над кольцом

$K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$

Степенная структура над кольцом

$R$ — это способ придать смысл выражению вида

$(A(t))^m$ , где

$A(t)=1+a_1t+a_2t^2+\cdots\in 1+t\cdot R[[t]]$ (т. е.

$a_i\in R$ ) и

$m\in R$ , как ряду из

$1+t\cdot R[[t]]$ (другими словами, это отображение из

$(1+t\cdot R[[t]])\times R$ в

$1+t\cdot R[[t]]$ :

$(A(t),m)\mapsto (A(t))^m$ ) так, чтобы выполнялись все обычные свойства степенной функции, основные из которых (те, что перечислены в [2]; позже были добавлены еще некоторые требования (очевидные в рассматриваемом случае) [4]) — это

$\lambda$ -структура на кольце

$R$ определяет степенную структуру над ним следующим образом. Ряд

$A(t)=1+a_1t+a_2t^2+\ldots$ единственным образом представим в виде

$A(t)=\prod_{i=1}^\infty\lambda_{b_i}(t^i)$ . Тогда

$(A(t))^m=\prod_{i=1}^\infty\lambda_{mb_i}(t^i)$ . С другой стороны, вообще говоря, имеется много

$\lambda$ -структур, соответствующих одной и той же степенной структуре.

Степенная структура над кольцом

$K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ называется эффективной, если, по сути, она определена над полукольцом

$S_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ . Это означает, что если коэффициенты

$a_i$ ряда

$A(t)$ и показатель степени

$m$ — классы пар квазипроективных множеств (не разности таковых), то все коэффициенты ряда

$(A(t))^m$ также представлены классами пар.

Доказательство. Чтобы это доказать, дадим геометрическое описание этой степенной структуры. Это означает, что мы опишем коэффициент при

$t^n$ в ряде

$(A(t))^{[(M,N)]}$ , где

$A(t)=1+\sum_{k=1}^{\infty} [(A_k,B_k)]\cdot t^k$ , как класс пары квазипроективных множеств. Это будет означать, что степенная структура эффективна (после того как будет доказано, что описание действительно дает степенную структуру). Тот факт, что эта степенная структура соответствует и дзета-функции Капранова

$\zeta_{X,Y}(t)$ , и производящему ряду

$\lambda_{X,Y}(t)$ классов конфигурационных пространств, будет следовать из равенств

$\begin{equation} \zeta_{X,Y}(t) =(1-t)^{-[(X,Y)]}, \end{equation} \tag{2}$

$\begin{equation} \lambda_{X,Y}(t) =(1+t)^{[(X,Y)]} \end{equation} \tag{3}$

(в смысле этой степенной структуры).

Приведем описание. Пусть $\mathcal{A}^*=\bigsqcup_{i=1}^{\infty}A_i$ , $\mathcal{A}:=\mathcal{A}^*\sqcup\{{\rm pt}\}$ , $\mathcal{B}=\mathcal{B}^*=\bigsqcup_{i=1}^{\infty}B_i$ . Пусть $i$ — тавтологическая (целочисленная) функция на $\mathcal{A}$ и на $\mathcal{B}$ , которая равна $i$ на $A_i$ и $B_i$ ( $i>0$ ) и нулю в точке ${\rm pt}\in \mathcal{A}$ .

Коэффициент при $t^{n}$ в ряде ${A}(t)^{[(M,N)]}$ представлен следующей парой множеств. Объемлющее множество — это конфигурационное пространство пар $(K,\varphi)$ , где $K$ — конечное подмножество квазипроективного множества $M$ , а $\varphi$ — отображение из $K$ в $\mathcal{A}^*$ , такое, что $\sum_{x\in K}i(\varphi(x))=n$ . Подмножество пары — множество точек объемлющего пространства, таких, что либо (как минимум) одна из точек множества $K$ лежит в $N$ , либо образ (как минимум) одной точки из $K$ лежит в $B^*$ .

Это конфигурационное пространство как квазипроективное множество можно описать следующим образом:

$\begin{equation} \sum_{{\mathbf k}:\,\sum ik_i=n} \bigg[\bigg(\bigg(\bigg(\prod_{i} (M,N)^{k_i}\bigg)\setminus\Delta\bigg)\widehat{\times}\prod_i (A_i,B_i)^{k_i}\bigg)\bigg/\prod_i S_{k_i}\bigg], \end{equation} \tag{4}$

где

$k_i\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ ,

${\mathbf k}=\{k_1, k_2,\dots\}$ — разбиение целого числа

$n$ ,

$\Delta$ — <<большая диагональ>> в

$(M,N)^{\Sigma k_i}$ , которая состоит из наборов из

$\sum k_i$ точек множества

$M$ с по крайней мере двумя совпадающими, группа

$S_{k_i}$ перестановок

$k_i$ элементов действует, переставляя соответствующие

$k_i$ сомножителей в

$\prod_i (M,N)^{k_i}\supset (\prod_{i} (M,N)^{k_i})\setminus\Delta$ и пары

$(A_i,B_i)$ в

$(A_i,B_i)^{k_i}$ одновременно. (Соотношение между этой формулой и приведенным выше описанием представляется ясным.)

Чтобы доказать, что описанная конструкция действительно дает степенную структуру над кольцом $K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ , надо проверить условия 1)–5) выше. Первые два очевидны. Объемлющие пространства в слагаемых формулы (4) совпадают с соответствующими слагаемыми для выражения $(1+\sum_i[A_i]\cdot t^i)^{[M]}$ в [2; формула (1)] (т. е. для (обычной) степенной структуры над кольцом Гротендика $K_0(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$ комплексных квазипроективных множеств). Поэтому доказательство соответствующих равенств для них содержится в [2]. Таким образом, необходимо проверить условия 3)–5) только для подмножеств в парах.

Условие 3) ( $A^{(j)}(t)=1+\sum_{i=1}^{\infty}[(A^{(j)}_i,B^{(j)}_i)]\cdot t^i$ , $j=1,2$ , $m=[(M,N)]$ ). Отображение (изоморфизм) из правой части равенства в левую часть на объемлющих пространствах имеет следующий вид. Если $A(t)=A^{(1)}(t)\widehat{\times} A^{(2)}(t) =1+\sum_{i=1}^{\infty}(A_i,B_i)$ , то $\mathcal{A}=\mathcal{A}^{(1)}\times \mathcal{A}^{(2)}$ . Если $K_1$ и $K_2$ — конечные подмножества в $M$ с отображениями $\psi_1$ и $\psi_2$ в $A^{(1)}$ и в $A^{(2)}$ соответственно (эти данные определяют точку из объединения коэффициентов в правой части равенства), то соответствующее (конечное) подмножество $K$ является объединением $K_1\cup K_2$ с отображением $\psi$ в $A^*$ , определенным формулой $\psi(x)=(\psi_1(x),\psi_2(x))$ , где, если $x\notin K_1$ (соответственно если $x\notin K_2$ ), предполагается, что $\psi_1(x)={\rm pt}$ ( $\psi_2(x)={\rm pt}$ соответственно). Если точка из $K$ лежит в $N$ , то либо точка из $K_1$ , либо точка из $K_2$ лежит там. Если ни одна точка из $K$ не лежит в $N$ , но одна из его точек отображается в $\mathcal{B}=(\mathcal{A}^{(1)}\times\mathcal{B}^{(2)})\cup (\mathcal{B}^{(1)}\times \mathcal{A}^{(2)})$ , то либо ее образ под действием $\psi_1$ лежит в $\mathcal{B}^{(1)}$ , либо ее образ под действием $\psi_2$ лежит в $\mathcal{B}^{(2)}$ . Это означает, что соответствующая точка из объединения коэффициентов ряда $(A(t))^{[(M,N)]}$ лежит в образе подпространства произведения объединений коэффициентов ряда $(A^{(1)}(t))^{[(M,N)]}$ и ряда $(A^{(2)}(t))^{[(M,N)]}$ и наоборот.

Условие 4) ( $m_1=[(M_1,N_1)]$ , $m_2=[(M_2,N_2)]$ ). Отображение (изоморфизм) из правой части равенства в левую часть на объемлющих пространствах имеет следующий вид. Если $K_1$ (соответственно $K_2$ ) — конечное подмножество в $M_1$ (соответственно в $M_2$ ) с отображениями $\psi_1\colon K_1\to\mathcal{A}^*$ и $\psi_2\colon K_2\to\mathcal{A}^*$ (эти данные определяют точку из объединения коэффициентов в правой части равенства), то $K\subset M_1\sqcup M_2$ — объединение (несвязных) множеств $K_1$ и $K_2$ с естественным отображением в $\mathcal{A}^*$ . Если точка подмножества $K$ лежит в $N_1\sqcup N_2$ , то либо точка из $K_1$ лежит в $N_1$ , либо точка из $K_2$ лежит в $N_2$ . Если все точки подмножества $K$ находятся вне $N_1\sqcup N_2$ , но образ одной из них лежит в $\mathcal{B}$ , то либо точка из $K_1$ , либо точка из $K_2$ отображается в $\mathcal{B}$ . Это означает, что соответствующая точка объединения коэффициентов ряда $(A(t))^{[(M_1\cup M_2,N_1\cup N_2)]}$ лежит в образе подпространства произведения объединений коэффициентов ряда $(A(t))^{[(M_1,N_1)]}$ и коэффициентов ряда $(A(t))^{[(M_2,N_2)]}$ и наоборот.

Условие 5) ( $m_1=[(M_1,N_1)]$ , $m_2=[(M_2,N_2)]$ ). Отображение (изоморфизм) из левой части равенства в правую часть на объемлющих пространствах (в этом случае более удобно описывать отображение в этом направлении) имеет следующий вид. Если $K$ — конечное подмножество в $M_1\times M_2$ с отображением $\psi$ в $\mathcal{A}^*$ (эти данные определяют точку из объединения коэффициентов в левой части равенства), то соответствующее (конечное) подмножество $K_1$ в $M_1$ — проекция $\pi_1(K)$ на первый сомножитель. Для каждой точки $y$ из $K_1$ соответствующая точка объединения коэффициентов ряда $(A(t))^{[M_2]}$ (т. е. точка, в которую $y$ отображается) представлена подмножеством $\pi_2\pi_1^{-1}(y)$ в $M_2$ вместе с отображением в $\mathcal{A}^*$ , являющимся соответствующим ограничением. Если точка $x\in K$ лежит в $(M_1\times N_2)\sqcup (N_1\times M_2)$ , то либо ее проекция в $M_1$ лежит в $N_1$ , либо ее проекция в $M_2$ лежит в $N_2$ . Если это не так, но $\psi(x)$ лежит в $\mathcal{B}$ , то соответствующая точка $\pi_1(x)\in M_2$ отображается в подпространство объединения коэффициентов ряда $(A(t))^{[(M_2,N_2)]}$ . Это означает, что соответствующая точка объединения коэффициентов ряда $((A(t))^{[(M_2,N_2)]}))^{[(M_1,N_1)]}$ лежит в образе подпространства объединения коэффициентов ряда $(A(t))^{[(M_1,N_1)]\widehat{\times}[(M_1,N_1)]}$ и наоборот. $\Box$

§ 1. Введение

§ 2. Кольцо Гротендика пар множеств

§ 3. $\lambda$ -структуры на $K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$

§ 4. Пример: симметрическая степень проективной прямой с несколькими выделенными точками

§ 5. Геометрическая степенная структура над кольцом $K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$

Литература

§ 1. Введение

§ 2. Кольцо Гротендика пар множеств

§ 3. λ\lambda-структуры на Kpairs0(VarC)K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )

§ 4. Пример: симметрическая степень проективной прямой с несколькими выделенными точками

§ 5. Геометрическая степенная структура над кольцом K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )

Литература

§ 3. $\lambda$ -структуры на $K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$

§ 5. Геометрическая степенная структура над кольцом $K_0^{\rm pairs}(\operatorname{Var}_{\mathbb{C}} )$