А. В. Фонарёв, “Производная категория пространства модулей параболических расслоений на $\mathbb{P}^1$”, УМН, 78:3(471) (2023), 177–178; Russian Math. Surveys, 78:3 (2023), 563

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Успехи математических наук

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 3(471), страницы 177–178
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10116 (Mi rm10116)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Краткие сообщения

Производная категория пространства модулей параболических расслоений на

$\mathbb{P}^1$

А. В. Фонарёв^ab

^a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
^b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

PDF полного текста (364 kB) PDF английской версии (429 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10116

Поступила в редакцию: 12.05.2023

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages 563–565
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10116e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 14F05, 14H60

1. Модули расслоений на кривых

Для простоты все многообразия будут рассматриваться над полем комплексных чисел. Пусть $C$ – гладкая проективная кривая рода $g\geqslant 2$ . В работе [1] было показано, что для общей $C$ ее ограниченная производная категория когерентных пучков, $D(C)$ , вкладывается в производную категорию $D(M)$ , где $M$ – многообразие модулей стабильных расслоений ранга $2$ на $C$ с фиксированным детерминантом нечетной степени. Данный результат был независимо получен в работе [2]. Общее утверждение, которое, по-видимому, было окончательно доказано в [3], состоит в том, что имеется полуортогональное разложение

$\begin{equation} D(M) =\bigl\langle \mathcal{O}, \mathcal{O}(1), D(C), D(C)(1), \ldots, D(S^{g-2}C), D(S^{g-2}C)(1), D(S^{g-1}C) \bigr\rangle, \end{equation} \tag{1}$

где

$S^iC$ обозначает

$i$ -ю симметрическую степень кривой.

В работе [1] использовалось явное геометрическое описание многообразия $M$ для гиперэллиптической кривой. Пусть $C$ – гиперэллиптическая кривая рода $g$ . Выберем однородные координаты на $\mathbb{P}^1$ так, чтобы точки ветвления гиперэллиптической проекции $p_i=(1:a_i)$ , $i=1,\dots,2g+2$ , не попали на бесконечность. С кривой $C$ ассоциирована связка квадрик, порожденная квадриками

$\begin{equation} q_0=a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdots+a_{d}x_{d}^2, \qquad q_\infty=-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{d}^2), \end{equation} \tag{2}$

где

$d=2g+2$ , а

$x_i$ ,

$i=1,\dots,d$ , – координаты в фиксированном

$d$ -мерном векторном пространстве

$V$ . Оказывается, что

$M$ изоморфно многообразию

$(g-1)$ -мерных подпространств в

$V$ , изотропных относительно

$q_0$ и

$q_\infty$ (см. [4]).

2. Модули параболических расслоений на $\mathbb{P}^1$

Естественно попробовать обобщить предыдущие результаты на случай пространства $V$ размерности $d=2g+1$ , где $g>1$ . Вновь рассмотрим связку квадрик (2), где $a_1,\dots,a_{2g+1}$ – различные числа. Оказывается, что многообразие подпространств размерности $g-1$ в $V$ , изотропных относительно $q_0$ и $q_\infty$ , изоморфно многообразию модулей $\mathcal{M}$ стабильных квазипараболических расслоений ранга $2$ и степени $0$ на $\mathbb{P}^1$ с весами $1/2$ в отмеченных точках $p_i=(1:a_i)$ (см. [5]). В то же время $\mathcal{M}$ изоморфно многообразию модулей расслоений ранга $2$ на $\mathbb{P}^1$ со стековой $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -структурой в точках $p_i$ (см. [6]); обозначим последний стек символом $\mathcal{C}$ . Следующая гипотеза дает обобщение разложения (1).

Гипотеза. Имеется полуортогональное разложение

$\begin{equation} D(\mathcal{M}) =\big\langle \mathcal{O}, D(\mathcal{C}), D(\widetilde{S^2\mathcal{C}}), \dots, D(\widetilde{S^{g-1}\mathcal{C}}) \big\rangle, \end{equation} \tag{3}$

где

$\widetilde{S^k\mathcal{C}}$ обозначает корневой стек, получающийся из

$\mathbb{P}^k$ извлечением квадратного корня из объединения

$2g+1$ гиперплоскости в общем положении.

Из [7; теорема 4.9] следует, что в производной категории $D(\widetilde{S^k\mathcal{C}})$ имеется полный исключительный набор. В частности, то же должно быть верно для $D(\mathcal{M})$ .

3. Вычисление ранга группы $K_0(\mathcal{M})$

В качестве свидетельства в пользу справедливости гипотезы вычислим ранг группы Гротендика левой и правой частей (3). Согласно [7; теорема 4.9], в производной категории $\widetilde{S^k\mathcal{C}}$ имеется полуортогональное разложение, индексированное подмножествами $I\subseteq\{1,\dots,2g+1\}$ , компоненты которого суть производные категории пересечения $\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\mathbb{P}^{k-|I|}$ , где $H_i$ – соответствующая гиперплоскость. Получаем, что ранг группы Гротендика правой части (3) равен

$\begin{equation*} l_g=\displaystyle\sum_{k=0}^{g-1}\displaystyle\sum_{t=0}^k(t+1) \begin{pmatrix} 2g+1 \\ k-t\end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Воспользуемся интерпретацией $\mathcal{M}$ как многообразия модулей параболических расслоений. В работе [8] была построена цепочка многообразий $\mathcal{M}_0, \mathcal{M}_1,\dots,\mathcal{M}_{g-1}$ таких, что $\mathcal{M}_0=\mathbb{P}^{2g-2}$ , $\mathcal{M}_1$ есть раздутие $\mathcal{M}_0$ в $(2g+1)$ -й точке, $\mathcal{M}_{g-1}\simeq\mathcal{M}$ , а $\mathcal{M}_{i+1}$ получается из $\mathcal{M}_i$ антифлипом: в $\mathcal{M}_i$ нужно раздуть

$\begin{equation*} n_i=\begin{pmatrix} 2g+1 \\ i+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2g+1 \\ i-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2g+1 \\ i-3 \end{pmatrix} + \cdots \end{equation*} \notag$

подмногообразий, изоморфных

$\mathbb{P}^i$ , после чего исключительные дивизоры стягиваются в

$\mathcal{M}_{i+1}$ на подмногообразия, изоморфные

$\mathbb{P}^{2g-3-i}$ . Далее,

$\operatorname{rk}K_0(\mathcal{M}_0)$ равен

$2g-1$ , в то время как из формулы раздутия имеем

$\operatorname{rk} K_0(\mathcal{M}_{i+1})-\operatorname{rk} K_0(\mathcal{M}_i)=n_i(2g-3-2i)$ . Таким образом можно вычислить

$r_g=\operatorname{rk}\mathcal{M}=\operatorname{rk}\mathcal{M}_{g-1}$ . Приводя коэффициенты при

$\begin{pmatrix} 2g+1 \\ i \end{pmatrix}$ , получаем равенство

$l_g=r_g$ . Оказывается, обе величины можно выразить замкнутой формулой.

Предложение. Справедливо равенство $l_g=r_g=g \cdot 4^{g-1}$ .

Автор благодарен А. Г. Кузнецову и П. Белмансу за интересные беседы.



References

1.	A. Fonarev, A. Kuznetsov, J. Lond. Math. Soc. (2), 97:1 (2018), 24–46
2.	M. S. Narasimhan, J. Geom. Phys., 122 (2017), 53–58
3.	J. Tevelev, Braid and phantom, 2023, 39 pp., arXiv: 2304.01825
4.	U. V. Desale, S. Ramanan, Invent. Math., 38:2 (1976), 161–185
5.	C. Casagrande, Math. Z., 280:3-4 (2015), 981–988
6.	I. Biswas, Duke Math. J., 88:2 (1997), 305–325
7.	D. Bergh, V. A. Lunts, O. M. Schnürer, Selecta Math. (N. S.), 22:4 (2016), 2535–2568
8.	S. Bauer, Math. Ann., 290:3 (1991), 509–526

Образец цитирования: А. В. Фонарёв, “Производная категория пространства модулей параболических расслоений на

$\mathbb{P}^1$ ”, УМН, 78:3(471) (2023), 177–178; Russian Math. Surveys, 78:3 (2023), 563–565

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Fon23}

\by А.~В.~Фонарёв

\paper Производная категория пространства модулей параболических расслоений на $\mathbb{P}^1$

\jour УМН

\yr 2023

\vol 78

\issue 3(471)

\pages 177--178

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10116}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10116}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4673249}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1541.14028}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..563F}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2023

\vol 78

\issue 3

\pages 563--565

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10116e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146055900006}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85179941650}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm10116

https://doi.org/10.4213/rm10116

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v78/i3/p177

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго, А. Мелье-Эрнандез, “Кольцо Гротендика пар квазипроективных множеств”, Функц. анализ и его прил., 58:1 (2024), 42–49 ; Sabir Gusein-Zade, Ignacio Luengo, Alejandro Melle-Hernández, “Grothendieck ring of pairs of quasi-projective varieties”, Funct. Anal. Appl., 58:1 (2024), 33–38

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	335
PDF русской версии:	41
PDF английской версии:	58
HTML русской версии:	165
HTML английской версии:	130
Список литературы:	46
Первая страница:	9

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Модули расслоений на кривых

2. Модули параболических расслоений на P1\mathbb{P}^1

3. Вычисление ранга группы K0(M)K_0(\mathcal{M})

References

2. Модули параболических расслоений на $\mathbb{P}^1$

3. Вычисление ранга группы $K_0(\mathcal{M})$