Варьирование нормы в задаче о наилучшем приближении

Пусть $M$ – множество из линейного нормированного пространства $X$, $x\in X$, $t\geqslant0$, $n(x)=\|x\|$,
$$P_M^t(x,n)=\Bigl\{m\in M:n(x-m)\leqslant t+\operatornamewithlimits{int}_{\zeta\in M}n(x-\zeta)\Bigr\}.$$
Изучается устойчивость множества $P_M^t(x,n)$ относительно $n$, $t$, $M$ и $x$. В частности, для $M'\subset X$, $x'\in X$, $t'\geqslant0$ и нормы $n'$ на $X$, удовлетворяющей условию
$$(1/(1+\tau))n(x)\leqslant n'(x)\leqslant(1+\tau)n(x)\quad \forall\,x\in X\quad (\tau\geqslant0)$$
установлена оценка сверху хаусдорфова расстояния между проекциями $P_M^t(x,n)$, $P_{M'}^{t'}(x',n')$.
Доказано, что импликация
$$(G\subset X\text{ открыто},\ P_M(x,n)\subset G)\ \Rightarrow\ (P_M(x,n_k)\subset G\ \ \forall\,k\geqslant k_G)$$
имеет место для любого $x\in X$ и любой последовательности порм $n_k$, удовлетворяющей условию $\sup_{n(x)=1}|n_k(x)-1|\to0$ $(k\to\infty)$, тогда и только тогда, когда множество $M$ аппроксимативно компактно. Библ. 14 назв.