Аннотация:
Рассматриваются дифференциальные уравнения с квадратичными правыми частями, допускающие два квадратичных первых интеграла, один из которых – положительно определенная квадратичная форма. Указаны условия общего характера, при которых линейной заменой переменных эта система приводится к некоторому “каноническому” виду. При этих условиях система оказывается бездивергентной и приводится к гамильтоновой форме, однако соответствующая линейная скобка Ли–Пуассона не всегда удовлетворяет
тождеству Якоби. В трехмерном случае уравнения приводятся к классическим уравнениям волчка Эйлера, а в четырехмерном пространстве система оказывается суперинтегрируемой и совпадает с уравнениями
Эйлера–Пуанкаре на некоторой алгебре Ли. В пятимерном случае найден приводящий множитель, после умножения на который скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби. В общем случае при n>5 доказано
отсутствие приводящего множителя. В качестве примера рассмотрена система типа Лотки–Вольтерра с квадратичными правыми частями, изучавшаяся еще Ковалевской с точки зрения условий однозначности ее решений как функций комплексного времени.
Библиография: 38 названий.
Ключевые слова:
первые интегралы, конформно-гамильтонова система, скобка Пуассона, система Ковалевской, динамические системы с квадратичными правыми частями.
Образец цитирования:
И. А. Бизяев, В. В. Козлов, “Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли–Пуассона и метод Ковалевской”, Матем. сб., 206:12 (2015), 29–54; I. A. Bizyaev, V. V. Kozlov, “Homogeneous systems with quadratic integrals, Lie-Poisson quasibrackets, and Kovalevskaya's method”, Sb. Math., 206:12 (2015), 1682–1706
А. В. Цыганов, “О тензорных инвариантах для интегрируемых случаев движения твердого тела Эйлера, Лагранжа и Ковалевской”, Изв. РАН. Сер. матем., 89:2 (2025), 161–188
Peter H. van der Kamp, David I. McLaren, G. R. W. Quispel, “On a Quadratic Poisson Algebra and Integrable Lotka – Volterra Systems with Solutions in Terms of Lambert's W Function”, Regul. Chaot. Dyn., 2024
Valery V. Kozlov, “Integrals of Circulatory Systems Which are Quadratic
in Momenta”, Regul. Chaotic Dyn., 26:6 (2021), 647–657
Kozlov V.V., “On the Ergodic Theory of Equations of Mathematical Physics”, Russ. J. Math. Phys., 28:1 (2021), 73–83
В. В. Козлов, “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148; V. V. Kozlov, “Tensor invariants and integration of differential equations”, Russian Math. Surveys, 74:1 (2019), 111–140
В. В. Козлов, “Мультигамильтоновость линейной системы с квадратичным инвариантом”, Алгебра и анализ, 30:5 (2018), 159–168; V. V. Kozlov, “Multi-Hamiltonian property of a linear system with quadratic invariant”, St. Petersburg Mathematical Journal, 30:5 (2019), 877–883
А. В. Борисов, И. С. Мамаев, И. А. Бизяев, “Динамические системы с неинтегрируемыми связями: вакономная механика, субриманова геометрия и неголономная механика”, УМН, 72:5(437) (2017), 3–62; A. V. Borisov, I. S. Mamaev, I. A. Bizyaev, “Dynamical systems with non-integrable constraints, vakonomic mechanics, sub-Riemannian geometry, and non-holonomic mechanics”, Russian Math. Surveys, 72:5 (2017), 783–840
Ivan A. Bizyaev, Alexey V. Borisov, Ivan S. Mamaev, “The Hojman Construction and Hamiltonization of Nonholonomic Systems”, SIGMA, 12 (2016), 012, 19 pp.
А. В. Борисов, П. Е. Рябов, С. В. Соколов, “Бифуркационный анализ задачи о движении цилиндра и точечного вихря в идеальной жидкости”, Матем. заметки, 99:6 (2016), 848–854; A. V. Borisov, P. E. Ryabov, S. V. Sokolov, “Bifurcation Analysis of the Motion of a Cylinder and a Point Vortex in an Ideal Fluid”, Math. Notes, 99:6 (2016), 834–839
В. В. Козлов, “Об уравнениях гидродинамического типа”, ПММ, 80:3 (2016), 294–303; V. V. Kozlov, “On the equations of the hydrodynamic type”, J. Appl. Math. Mech., 80:3 (2016), 209–214
И. А. Бизяев, А. В. Болсинов, А. В. Борисов, И. С. Мамаев, “Топология и бифуркации в неголономной механике”, Нелинейная динам., 11:4 (2015), 735–762
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: