Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике

Пусть $D$ – выпуклое замкнутое центрально симметричное тело в пространстве $\mathbb R^d$, $d\ge1$. Через $KE(D)$ обозначим класс функций $f$, обладающих следующими тремя свойствами: (i) $f$ определена, непрерывна на всем пространстве $\mathbb R^d$ и равна нулю вне множества $D$; (ii) преобразование Фурье функции $f$ есть функция, суммируемая на $\mathbb R^d$ и неотрицательная; (iii) $f(0)\le1$. Нас интересует задача об исследовании величины
$$\begin{equation} AE(D)=\sup\biggl\{\int_{\mathbb R^d}f(x)\,dx:f\in KE(D)\biggr\}. \tag{1} \end{equation}$$
В 1970 г. П. Туран в беседе с С. Б. Стечкиным поставил задачу о том, сколь большой может быть величина интеграла $\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx$ по классу всех четных $2\pi$-периодических функций $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k\cos kx$ с неотрицательными коэффициентами Фурье таких, что $f(0)=\sum_{k=0}^\infty a_k=1$ и носитель $f$ сосредоточен на отрезке $[-h,h]$, $h>0$. С. Б. Стечкин решил эту задачу в 1972 г. для $h=2\pi/N$, $N=2,3,\dots$. Этот результат был перенесен в 1997 г. Н. Н. Андреевым на случай многомерного куба $D=[-h,h]^d$, $d\ge1$; Н. Н. Андреев одновременно нашел решение задачи при $d=2$ и нетривиальные оценки при $d=3,4$ для октаэдра $D=\{t\in\mathbb T^d:|t_1|+\dots+|t_d|\le h\}$. В 2000 г. Д. В. Горбачев решил задачу Турана для $d$-мерных евклидовых шаров. Описанные результаты для тригонометрических рядов переносятся на задачу (1) для соответствующих множеств $D$. В данной работе дано решение задачи Гурана (1) в случае, когда $D$ есть правильный шестиугольник на плоскости. Показано, что для декартова произведения $D=D'\times D''\subset\mathbb R^d$ множеств $D'\subset\mathbb R^{d'}$, $D''\subset\mathbb R^{d''}$, $d=d'+d''$, $d',d''\ge1$, имеет место равенство $AE(D)=AE(D')\cdot AE(D'')$. Приведены следствия этих двух результатов.