О тотально глобальной разрешимости управляемого уравнения типа Гаммерштейна с варьируемым линейным оператором

Пусть $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ — заданные числа, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ — измеримое ограниченное множество, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ — банаховы идеальные пространства измеримых на $\Pi$ функций, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ — выпуклое множество, $\mathcal{A}$ — некоторый класс линейных ограниченных операторов $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. Изучается управляемое функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна:
$$\begin{equation} x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[ f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \tag{1} \label{eq1} \end{equation}$$
где набор параметров $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ — управляющий; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ — заданная функция, измеримая по $t\in\Pi$, непрерывная по $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ и удовлетворяющая некоторым естественным предположениям. Уравнение $\eqref{eq1}$ является удобной формой описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказывается теорема о достаточных условиях глобальной разрешимости для всех $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ и $\theta$ из поточечно ограниченного множества. Для исходного уравнения определяются мажорантное и минорантное неравенства, получаемые из уравнения $\eqref{eq1}$ оценкой правой части соответственно сверху и снизу. Теорема доказывается при условии глобальной разрешимости мажорантного и минорантного неравенств. В качестве приложения полученных общих результатов доказывается теорема о тотальной (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости смешанной задачи для системы гиперболических уравнений первого порядка с управляемыми старшими коэффициентами.