О тотально глобальной разрешимости эволюционного уравнения с неограниченным оператором

Пусть $X$ — гильбертово пространство, $U$ — банахово пространство, $G\colon X\to X$ — линейный оператор такой, что оператор $B_\lambda=\lambda I-G$ является максимальным монотонным при некотором (произвольно заданном) $\lambda\in\mathbb{R}$. Для задачи Коши, связанной с управляемым полулинейным эволюционным уравнением вида
$$\begin{gather*} x^\prime(t)=Gx(t)+f\bigl( t,x(t),u(t)\bigr), t\in[0;T]; x(0)=x_0\in X, \end{gather*}$$
где $u=u(t)\colon[0;T]\to U$ — управление, $x(t)$ — неизвестная функция со значениями в $X$, доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости задачи Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве $\mathbb{R}$. Решение $x$ понимается в слабом смысле и ищется в пространстве $\mathbb{C}_w\bigl([0;T];X\bigr)$ слабо непрерывных функций. Фактически, обобщается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая ограниченного оператора $G$. Суть указанного обобщения заключается в том, что постулируемые свойства оператора $B_\lambda$ позволяют построить для него аппроксимации Иосиды линейными ограниченными операторами, распространив необходимые нам оценки с «ограниченного» на «неограниченный» случай. В качестве примеров рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.