В. И. Богачев, С. Н. Попова, “Расстояния Хаусдорфа между каплингами и оптимальная транспортировка с параметром”, Матем. сб., 215:1 (2024), 33–58; V. I. Bogachev, S. N. Popova, “Hausdorff distances between couplings and optimal transportation”, Sb. Math., 215:1 (2024), 28

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2024, том 215, номер 1, страницы 33–58
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9920 (Mi sm9920)

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Расстояния Хаусдорфа между каплингами и оптимальная транспортировка с параметром

В. И. Богачев^ab, С. Н. Попова^cb

^a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
^b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
^c Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.

PDF полного текста (683 kB) PDF английской версии (538 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9920

Аннотация: Рассматривается оптимальная транспортировка мер на метрических и топологических пространствах в случае, когда функция стоимости и маргинальные распределения зависят от параметра со значениями в метрическом пространстве. Расстояние Хаусдорфа между множествами вероятностных мер с заданными проекциями оценивается через расстояния между самими проекциями. Эта оценка используется для доказательства непрерывности стоимости оптимальной транспортировки относительно параметра в случае непрерывной зависимости функции стоимости и маргинальных распределений от этого параметра. Установлено существование приближенных оптимальных планов, непрерывных относительно параметра. Показано, что оптимальный план непрерывен по параметру в случае единственности. Однако построены примеры, когда не существует непрерывного выбора оптимальных планов. Другое применение оценки для расстояния Хаусдорфа связано с дискретными приближениями транспортных задач. Наконец, доказан общий результат о сходимости оптимальных отображений Монжа.
Библиография: 46 названий.

Ключевые слова: задача Канторовича, задача Монжа, расстояние Хаусдорфа, каплинг, слабая сходимость, непрерывность по параметру.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-11-00015
Исследование выполнено в МГУ имени М. В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00015, https://rscf.ru/project/22-11-00015/.

Поступила в редакцию: 05.04.2023 и 30.09.2023

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages 28–51
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9920e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: Primary 49Q22; Secondary 60A10

§ 1. Введение

Напомним, что задача Канторовича оптимальной транспортировки имеет дело с тройкой $(\mu,\nu, h)$ , где $\mu$ и $\nu$ – борелевские вероятностные меры на топологических пространствах $X$ и $Y$ соответственно и $h\geqslant 0$ – борелевская функция на $X\times Y$ . Задача заключается в минимизации интеграла

$\begin{equation*} \int h\, d\sigma \end{equation*} \notag$

по всем мерам

$\sigma$ из множества

$\Pi(\mu,\nu)$ , состоящего из борелевских вероятностных мер на

$X\times Y$ с проекциями

$\mu$ и

$\nu$ на сомножители, т.е.

$\sigma (A\times Y)=\mu(A)$ и

$\sigma (X\times B)=\nu(B)$ для всех борелевских множеств

$A\subset X$ и

$B\subset Y$ . Меры

$\mu$ и

$\nu$ называются маргинальными распределениями или маргиналами, а функция

$h$ называется функцией стоимости. Меры из

$\Pi(\mu,\nu)$ называют каплингами мер

$\mu$ и

$\nu$ или транспортными планами Канторовича. В общем случае имеется лишь инфимум

$K_h(\mu,\nu)$ (который может быть бесконечным), но если функция

$h$ непрерывна (или полунепрерывна снизу) и ограниченна, а меры

$\mu$ и

$\nu$ радоновы, то достигается минимум, а меры, на которых он достигается, называются оптимальными мерами или оптимальными планами Канторовича. Более того, ограниченность

$h$ можно заменить предположением, что существует мера из

$\Pi(\mu,\nu)$ , относительно которой функция

$h$ интегрируема. Задача имеет смысл также и в чисто теоретико-множественной постановке, но здесь мы рассматриваем топологический случай, более того, рассматриваемые пространства будут вполне регулярными, в некоторых результатах метрическими. Аналогично вводится мультимаргинальная задача Канторовича с маргиналами

$\mu_1, \dots,\mu_n$ на пространствах

$X_1,\dots,X_n$ . Общую информацию о задачах Монжа и Канторовича можно найти в работах [3], [4], [12], [17], [25], [36], [39], [42], [43].

Мы изучаем оптимальную транспортировку мер на метрических и топологических пространствах в случае, когда функция стоимости $h_t$ и маргинальные распределения $\mu_t$ и $\nu_t$ зависят от параметра $t$ со значениями в метрическом пространстве. Здесь естественно возникают вопросы о непрерывности по $t$ оптимальной стоимости $K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$ , а также о возможности выбора оптимального плана в $\Pi(\mu_t,\nu_t)$ , непрерывного по параметру. Кроме того, множество всех транспортных планов $\Pi(\mu_t,\nu_t)$ также зависит от параметра, так что можно задать вопрос о его непрерывности, когда пространство множеств мер наделяется метрикой Хаусдорфа, порожденной некоторой метрикой на пространстве мер. Наш первый основной результат дает простую оценку для расстояния Хаусдорфа между множествами каплингов через расстояния Хаусдорфа между их маргиналами. Качественный результат такого рода был установлен в [9], позже другой подход был развит в [40]; в недавней работе [26] более короткое обоснование непрерывности соответствия $(\mu, \nu)\mapsto \Pi(\mu,\nu)$ было предложено с помощью метрики Прохорова (см. [26; теорема 1]). Мы показываем, что расстояние Канторовича позволяет получить более простую и информативную оценку.

Задачи Канторовича, зависящие от параметра, исследовались в ряде работ, см. [13]–[15], [18], [23], [30], [32], [43], [46], где рассматривались вопросы измеримости. Свойства непрерывности также представляют большой интерес и имеют фундаментальное значение; в частности, они могут быть полезны в изучении дифференциальных уравнений и включений в пространствах мер (см. [21]), в регуляризации оптимальных транспортировок (см. [22] и [31]), в построении приближений дискретными транспортными задачами (см. [6], результат такого рода дан ниже), а также в других приложениях (см., например, [1], [10], [41], [45]). Как уже было упомянуто, непрерывная зависимость от маргиналов рассматривалась в [9], [40] и [26]. Близкие задачи возникают для нелинейных функционалов стоимости, так называемых слабых транспортных стоимостей, рассмотренных в [27], [2], [7], [8].

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем.

1. Расстояние Хаусдорфа между множествами вероятностных мер $\Pi(\mu_1,\nu_1)$ и $\Pi(\mu_2,\nu_2)$ оценено через расстояния между $\mu_1$ и $\mu_2$ и между $\nu_1$ и $\nu_2$ (см. теорему 1). Аналогичный результат верен для $p$ -метрики Канторовича $W_p$ . Эта оценка применяется для построения дискретных приближений задач транспортировки. Фактически установлена более общая оценка для псевдометрик Канторовича и Хаусдорфа в случае общих вполне регулярных пространств.

2. Стоимость оптимальной транспортировки непрерывна по параметру в случае непрерывной зависимости функции стоимости и маргинальных распределений от этого параметра (см. теорему 2 и теорему 5 в случае нелинейного функционала стоимости).

3. Оптимальный план непрерывен по параметру в случае единственности (см. следствие 2).

4. Существуют приближенные оптимальные планы, непрерывные по параметру (см. теорему 3).

5. Построены примеры, когда нет непрерывного выбора оптимальных планов на $[0,1]^2$ с функцией стоимости, непрерывной по параметру, и маргинальными распределениями, равными мере Лебега.

Наконец, доказан общий результат о сходимости оптимальных отображений Монжа в духе известных результатов из [5] и [24]: согласно следствию 4 оптимальные отображения Монжа, переводящие $\mu_n$ в $\nu_n$ , сходятся по мере $\mu_0$ , если $\mu_n\to\mu_0$ по вариации, $\nu_n\to\nu_0$ слабо, функции стоимости $h_n$ сходятся к функции стоимости $h_0$ равномерно на компактах, а соответствующие оптимальные отображения Монжа и оптимальные планы Канторовича единственны. Часть этих результатов была анонсирована в заметке [19].

§ 2. Обозначения и терминология

Напомним, что неотрицательная радоновская мера на топологическом пространстве $X$ есть ограниченная борелевская мера $\mu\geqslant 0$ такая, что для каждого борелевского множества $B$ и каждого $\varepsilon>0$ найдется компакт $K\subset B$ , для которого $\mu(B\setminus K)<\varepsilon$ (см. [11]). Если $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, то все борелевские меры радоновы. Ограниченная знакопеременная борелевская мера $\mu$ называется радоновской, если ее полная вариация $|\mu|$ радонова.

Пространство $\mathcal{M}_r(X)$ знакопеременных ограниченных радоновских мер на $X$ может быть наделено слабой топологией, порожденной полунормами

$\begin{equation*} \mu\mapsto \biggl|\int f\, d\mu\biggr|, \end{equation*} \notag$

где

$f$ – ограниченная непрерывная функция. Подмножество

$\mathcal{P}_r(X)$ вероятностных радоновских мер наделяется индуцированной топологией.

Для двух заданных мер $\mu\in \mathcal{P}_r(X)$ и $\nu\in \mathcal{P}_r(Y)$ множество $\Pi(\mu,\nu)$ состоит из всех мер $\sigma\in \mathcal{P}_r(X\times Y)$ с проекциями $\mu$ и $\nu$ на сомножители.

Если $h\geqslant 0$ – борелевская функция на $X\times Y$ (называемая функцией стоимости), то для мер $\mu\in \mathcal{P}_r(X)$ и $\nu\in \mathcal{P}_r(Y)$ стоимость по Канторовичу определяется равенством

$\begin{equation*} K_h(\mu,\nu)=\inf_{\sigma\in \Pi(\mu,\nu)} \int_{X\times Y} h\, d\sigma, \end{equation*} \notag$

где возможно также значение

$+\infty$ .

Множество $\mathcal{M}$ неотрицательных радоновских мер на пространстве $X$ называется равномерно плотным, если для всякого $\varepsilon>0$ существует такой компакт $K\subset X$ , что $\mu(X\setminus K)<\varepsilon$ для всех $\mu\in\mathcal{M}$ .

Пусть $(X, d_X)$ и $(Y, d_Y)$ – метрические пространства. Пространство $X\times Y$ наделяется метрикой

$\begin{equation*} d((x_1,y_1),(x_2,y_2))= d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2). \end{equation*} \notag$

Слабая топология на пространствах радоновских вероятностных мер

$\mathcal{P}_r(X)$ ,

$\mathcal{P}_r(Y)$ ,

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ метризуема соответствующими метриками Канторовича–Рубинштейна

$d_{\mathrm{KR}}$ (называемыми также метриками Форте–Мурье, см. [12]), определенными формулой

$\begin{equation*} d_{\mathrm{KR}}(\mu,\nu)=\sup \biggl\{\int f\, d(\mu - \nu)\colon f\in \mathrm{Lip}_1,\ |f|\leqslant 1\biggr\}, \end{equation*} \notag$

где

$\mathrm{Lip}_1$ – множество

$1$ -липшицевых функций. Если

$X$ полно, то

$(\mathcal{P}_r(X), d_{\mathrm{KR}})$ также полно, а если

$X$ – польское пространство, то

$\mathcal{P}_r(X)$ также оказывается польским.

Подмножества $\mathcal{P}_r^1(X)$ , $\mathcal{P}_r^1(Y)$ , $\mathcal{P}_r^1(X\times Y)$ , состоящие из мер, относительно которых все функции вида $x\mapsto d(x,x_0)$ интегрируемы, наделяются метрикой Канторовича

$\begin{equation*} d_{\mathrm K}(\mu,\nu)=\sup \biggl\{\int f\, d(\mu - \nu)\colon f\in \mathrm{Lip}_1 \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Для этой метрики используется также термин “Wasserstein distance”, но мы не будем использовать это исторически некорректное название.

Поскольку мы рассматриваем вероятностные меры, в формуле для $d_{\mathrm K}$ супремум может вычисляться по функциям $f$ с дополнительным условием $f(x_0)=0$ для фиксированной точки $x_0$ . Значит, для пространства, содержащегося в шаре радиуса $1$ , выполнено равенство $d_{\mathrm K}=d_{\mathrm{KR}}$ .

Заметим, что неограниченное метрическое пространство $(X,d)$ может быть наделено ограниченной метрикой $\widetilde{d}=\min(d,1)$ , порождающей исходную топологию. Для новой метрики имеем $\widetilde{d}_{\mathrm K}=\widetilde{d}_{\mathrm{KR}}$ . Более того,

$\begin{equation} 2^{-1}\widetilde{d}_{\mathrm K} \leqslant d_{\mathrm{KR}} \leqslant 2\widetilde{d}_{\mathrm K}. \end{equation} \tag{2.1}$

В самом деле, если

$|f|\leqslant 1$ и

$f$ –

$1$ -липшицева функция по исходной метрике, то относительно новой метрики

$f$ является

$2$ -липшицевой. С другой стороны, всякая функция

$f$ , которая

$1$ -липшицева по новой метрике и равна нулю в точке

$x_0$ , удовлетворяет оценке

$|f|\leqslant 1$ и является

$2$ -липшицевой по исходной метрике, поскольку

$\widetilde{d}(x,y)= d(x,y)$ при

$d(x,y)\leqslant 1$ , а при

$d(x,y)>1$ нужное неравенство вытекает из оценки

$|f|\leqslant 1$ .

Стоит отметить, что если $X=Y$ и в качестве функции стоимости взято расстояние, то выполнено равенство $K_d(\mu,\nu)=d_{\mathrm K}(\mu,\nu)$ на $\mathcal{P}_r^1(X)$ , называемое формулой двойственности Канторовича.

Аналогично для всякого $p\in [1,+\infty)$ подпространство $\mathcal{P}_r^p(X)$ в $\mathcal{P}_r(X)$ , состоящее из мер, относительно которых функция $x\mapsto d(x,x_0)^p$ интегрируема для некоторой (тогда и для всякой) фиксированной точки $x_0$ , может быть наделено $p$ -метрикой Канторовича

$\begin{equation*} W_p(\mu,\nu)=K_{d^p}(\mu, \nu)^{1/p}. \end{equation*} \notag$

Напомним, что расстояние Хаусдорфа между ограниченными замкнутыми подмножествами $A$ и $B$ метрического пространства $(M,d)$ определяется формулой

$\begin{equation*} H(A,B)=\max \Bigl\{\sup_{x\in A} d(x,B), \,\sup_{y\in B} d(y,A)\Bigr\}. \end{equation*} \notag$

Это расстояние будет рассматриваться для подмножеств пространства вероятностных мер

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ с метрикой Канторовича–Рубинштейна

$d_{\mathrm{KR}}$ (порожденной метрикой на

$X\times Y$ , введенной выше) или его подпространства

$\mathcal{P}_r^1(X\times Y)$ с метрикой Канторовича

$d_{\mathrm K}$ , что дает соответствующие расстояния Хаусдорфа

$H_{\mathrm{KR}}$ и

$H_{\mathrm K}$ . Благодаря оценке (2.1) можно иметь дело с последним случаем.

Когда $\mathcal{P}_r^p(X\times Y)$ наделено метрикой $W_p$ , получаем соответствующее расстояние Хаусдорфа $H_p$ на пространстве замкнутых подмножеств $\mathcal{P}_r^p(X\times Y)$ .

Аналогичные конструкции вводятся в более общем случае вполне регулярных пространств $X$ и $Y$ . Топологии таких пространств можно задать семействами псевдометрик $\Psi_X$ и $\Psi_Y$ (напомним, что псевдометрика $d$ отличается от метрики тем, что разрешается равенство $d(x,y)=0$ при $x\ne y$ ). Тогда топология произведения $X\times Y$ порождается псевдометриками

$\begin{equation*} ((x_1,y_1), (x_2,y_2))\mapsto d_1(x_1,x_2)+d_2(y_1,y_2), \qquad d_1\in \Psi_X, \quad d_2\in \Psi_Y. \end{equation*} \notag$

Для псевдометрики

$d\in \Psi_X$ указанным выше способом определяются псевдометрики Канторовича и Канторовича–Рубинштейна

$d_{\mathrm K,d}$ и

$d_{\mathrm{KR},d}$ на пространствах

$\mathcal{P}_r^\Psi(X)$ и

$\mathcal{P}_r(X)$ , где первое состоит из мер, относительно которых функции

$x\mapsto d(x,x_0)$ интегрируемы для всех псевдометрик из

$\Psi_X$ . Легко проверить, что слабая топология на

$\mathcal{P}_r(X)$ порождается семейством таких псевдометрик

$d_{\mathrm{KR},d}$ (см. работу [1], где изучаются топологии Канторовича и Канторовича–Рубинштейна на пространствах мер на вполне регулярных пространствах).

Двойственность Канторовича $K_d(\mu,\nu)=d_{\mathrm K}(\mu,\nu)$ имеет место также для псевдометрик (см. [37] или [17; теорема 1.3.1]).

Задача Монжа для той же самой тройки $(\mu, \nu, h)$ состоит в нахождении борелевского отображения $T\colon X\to Y$ , переводящего $\mu$ в $\nu$ , т.е. удовлетворяющего равенству $\nu=\mu\circ T^{-1}$ , где $(\mu\circ T^{-1})(B)=\mu(T^{-1}(B))$ для всех борелевских множеств $B \subset Y$ , для которого минимален интеграл

$\begin{equation*} \int h(x, T(x))\, \mu(dx). \end{equation*} \notag$

Опять в общем случае есть только инфимум

$h(\mu, \nu)$ этого интеграла (возможно, бесконечный), но во многих интересных случаях существуют оптимальные отображения Монжа. В любом случае

$K_h(\mu,\nu)\leqslant M_h(\mu, \nu)$ , но для безатомических сепарабельных радоновских мер и непрерывной функции стоимости верно равенство

$K_h(\mu,\nu)= M_h(\mu, \nu)$ ; см. [16], [35]. Из этого равенства вытекает, что если есть единственное решение

$T$ задачи Монжа, то образ

$\mu$ при отображении

$x\mapsto (x,T(x))$ является оптимальным планом Канторовича.

Нам понадобится ниже так называемая лемма о склейке, см., например, лемму 1.1.6 в [17] или лемму 3.3.1 в [12] (в последней формулировка дана для метрических пространств, но доказательство фактически приведено для радоновских мер на вполне регулярных пространствах). Пусть $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ – вполне регулярные пространства и $\mu_{1,2}$ , $\mu_{2,3}$ – радоновские вероятностные меры на $X_1\times X_2$ и $X_2\times X_3$ соответственно, причем их проекции на $X_2$ совпадают. Тогда существует такая радоновская вероятностная мера $\mu$ на $X_1\times X_2\times X_3$ , что ее проекция на $X_1\times X_2$ есть $\mu_{1,2}$ и проекция на $X_2\times X_3$ есть $\mu_{2,3}$ .

§ 3. Основные результаты

Мы начнем со следующей общей оценки для мер на вполне регулярных пространствах. Для функций $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ на пространствах $X_1^2,\dots, X_n^2$ (где $X_i^2=X_i\times X_i$ ) положим

$\begin{equation*} (\alpha_1\oplus \dots \oplus \alpha_n)((x_1, \dots, x_n), (x_1', \dots, x_n')) =\alpha_1(x_1,x_1')+\dots+\alpha_n(x_n,x_n'), \end{equation*} \notag$

где

$x_1, x'_1 \in X_1$ , …,

$x_n, x'_n \in X_n$ .

Теорема 1. Пусть $\mu_1, \mu_2\in \mathcal{P}_r(X)$ , $\nu\in \mathcal{P}_r(Y)$ , и пусть $\alpha$ и $\beta$ – непрерывные неотрицательные функции на $X^2$ и $Y^2$ соответственно, где $\beta(y,y)=0$ . Тогда для всякой меры $\sigma_1\in \Pi(\mu_1,\nu)$ найдется такая мера $\sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu)$ , что

$\begin{equation} K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_2)\leqslant K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2). \end{equation} \tag{3.1}$

Если

$\nu_1, \nu_2\in \mathcal{P}_r(Y)$ и

$\alpha, \beta$ – псевдометрики, то для всякой меры

$\sigma_1\in \Pi(\mu_1,\nu_1)$ найдется такая мера

$\sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu_2)$ , что

$\begin{equation} d_{\mathrm K, \alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_2)\leqslant d_{\mathrm K, \alpha}(\mu_1,\mu_2)+d_{\mathrm K, \beta}(\nu_1,\nu_2). \end{equation} \tag{3.2}$

Значит, для соответствующих псевдометрик Канторовича и Хаусдорфа имеем

$\begin{equation} H_{\mathrm K, \alpha\oplus \beta}(\Pi(\mu_1,\nu_1), \Pi(\mu_2,\nu_2))\leqslant d_{\mathrm K, \alpha}(\mu_1,\mu_2)+d_{\mathrm K, \beta}(\nu_1,\nu_2). \end{equation} \tag{3.3}$

Аналогичное утверждение верно для $n$ маргиналов: если $\mu_i, \nu_i\in\mathcal{P}_r(X_i)$ , $i=1,\dots,n$ , $\alpha_i$ – непрерывные псевдометрики на $X_i$ , $\sigma \in \Pi(\mu_1, \dots, \mu_n)$ , то существует такая мера $\pi \in \Pi(\nu_1, \dots, \nu_n)$ , что

$\begin{equation*} d_{\mathrm K, \alpha_1\oplus \dots\oplus \alpha_n}(\pi, \sigma) \leqslant d_{\mathrm K, \alpha_1}(\mu_1,\nu_1)+ \dots + d_{\mathrm K, \alpha_n}(\mu_n,\nu_n). \end{equation*} \notag$

Доказательство. Возьмем такую меру

$\eta \in \Pi(\mu_1, \mu_2)$ , что

$\begin{equation*} \int_{X\times X} \alpha(x_1, x_2) \, \eta(dx_1\, dx_2) = K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2). \end{equation*} \notag$

Согласно упомянутой выше лемме о склейке, применяемой к

$X_1=X_2=X$ , существует такая мера

$\lambda\in \mathcal{P}_r(X_1\times X_2\times Y)$ , что ее проекция на

$X_1\times Y$ есть

$\sigma_1$ и ее проекция на

$X_1\times X_2$ есть

$\eta$ . В качестве

$\sigma_2$ возьмем проекцию меры

$\lambda$ на произведение

$X_2\times Y$ . Проекции меры

$\sigma_2$ на

$X$ и

$Y$ равны

$\mu_2$ и

$\nu$ соответственно. В самом деле, проекция на

$X$ получается проектированием меры

$\lambda$ сначала на

$X_2\times Y$ , затем на

$X_2$ , что совпадает с композицией операторов проектирования на

$X_1\times X_2$ и

$X_2$ , но эта композиция переводит

$\lambda$ в

$\mu_2$ , поскольку

$\lambda$ сначала отображается в

$\eta$ и затем в

$\mu_2$ . Проекция меры

$\sigma_2$ на

$Y$ получается проектированием на

$X_1\times Y$ и затем на

$Y$ , т.е. равна проекции меры

$\sigma_1$ на

$Y$ .

Для доказательства желаемой оценки рассмотрим меру $\zeta$ , равную образу $\lambda$ при отображении

$\begin{equation*} X_1\times X_2\times Y\to X_1\times Y_1\times X_2\times Y_2, \qquad Y_1=Y_2=Y, \quad (x_1, x_2,y)\mapsto (x_1, y, x_2, y). \end{equation*} \notag$

Тогда

$\zeta\in \Pi(\sigma_1,\sigma_2)$ , поскольку проекция меры

$\lambda$ на

$X_1\times Y$ есть

$\sigma_1$ и проекция на

$X_2\times Y$ есть

$\sigma_2$ . Боле того,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_2) &\leqslant\int_{X_1\times Y_1\times X_2\times Y_2}\alpha\oplus \beta\, d\zeta \\ &=\int_{X_1\times X_2\times Y} (\alpha\oplus \beta)((x_1,y), (x_2,y))\, \lambda(dx_1\, dx_2\, dy) \\ &=\int_{X_1\times X_2\times Y} \alpha(x_1,x_2)\, \lambda(dx_1\, dx_2\, dy) \\ &=\int_{X_1\times X_2} \alpha(x_1,x_2)\, \eta(dx_1\, dx_2)= K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

В случае псевдометрик мы сначала выберем меру

$\sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu_1)$ , удовлетворяющую оценке

$\begin{equation*} K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_2)\leqslant d_{\mathrm K}(\mu_1,\mu_2), \end{equation*} \notag$

и затем выберем меру

$\sigma_3\in \Pi(\mu_2,\nu_2)$ , удовлетворяющую оценке

$\begin{equation*} K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_2,\sigma_3)\leqslant d_{\mathrm K}(\nu_1,\nu_2). \end{equation*} \notag$

Остается воспользоваться неравенством треугольника

$\begin{equation*} K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_3)\leqslant K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_2)+K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_2,\sigma_3). \end{equation*} \notag$

Перейдем к случаю $n$ маргиналов. Здесь достаточно доказать, что существует такая мера $\pi \in \Pi(\nu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)$ , что

$\begin{equation*} d_{\mathrm K, \alpha_1 \oplus \dots \oplus \alpha_n}(\pi,\sigma) \leqslant d_{\mathrm K, \alpha_1}(\mu_1,\nu_1). \end{equation*} \notag$

Пусть

$\sigma_1$ – проекция меры

$\sigma$ на

$X_2 \times \dots \times X_n$ . Тогда

$\sigma \in \Pi(\mu_1, \sigma_1)$ . Как показано выше, существует мера

$\pi \in \Pi(\nu_1, \sigma_1)$ , для которой

$\begin{equation*} d_{\mathrm K, \alpha_1 \oplus \dots \oplus \alpha_n}(\pi,\sigma) \leqslant d_{\mathrm K, \alpha_1}(\mu_1,\nu_1). \end{equation*} \notag$

Кроме того, имеет место включение

$\pi \in \Pi(\nu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)$ , что завершает доказательство.

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Если вместо непрерывности $\alpha$ и $\beta$ потребовать только их борелевскую измеримость (или универсальную измеримость), то рассуждение, использованное выше, покажет, что для всякого $\varepsilon>0$ найдется мера $\sigma_2^\varepsilon$ , для которой

$\begin{equation*} K_{\alpha\oplus \beta}(\sigma_1,\sigma_2^\varepsilon)\leqslant K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2)+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Для этого возьмем такую меру

$\eta^\varepsilon \in \Pi(\mu_1, \mu_2)$ , что

$\begin{equation*} \int_{X\times X} \alpha(x_1, x_2) \, \eta^\varepsilon(dx_1\, dx_2) \leqslant K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2)+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Тогда последнее равенство в доказательстве с величиной

$K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2)$ заменится на неравенство с величиной

$K_{\alpha}(\mu_1,\mu_2)+\varepsilon$ в правой части.

Непосредственная модификация доказательства дает следующее утверждение для $p$ -метрики Канторовича $W_p$ .

Следствие 1. Предположим, что $X$ – метрическое пространство, $p\in [1,+\infty)$ и $\mu_1, \mu_2, \nu_1, \nu_2\in \mathcal{P}_r^p(X)$ . Тогда для всякой меры $\sigma_1\in \Pi(\mu_1,\nu_1)$ существует такая мера $\sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu_2)$ , что

$\begin{equation*} W_p(\sigma_1,\sigma_2)\leqslant W_p(\mu_1,\mu_2)+ W_p(\nu_1,\nu_2). \end{equation*} \notag$

Значит, для расстояния Хаусдорфа

$H_p$ имеем

$\begin{equation*} H_{p}(\Pi(\mu_1,\nu_1), \Pi(\mu_2,\nu_2))\leqslant W_p(\mu_1,\mu_2)+ W_p(\nu_1,\nu_2). \end{equation*} \notag$

Доказательство. Повторяя приведенные выше рассуждения с

$h=d^p$ , сначала найдем меру

$\sigma_0\in \Pi(\mu_2,\nu_1)$ с

$W_p(\sigma_1,\sigma_0)\leqslant W_p(\mu_1,\mu_2)$ , а затем возьмем меру

$\sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu_2)$ с

$W_p(\sigma_0,\sigma_2)\leqslant W_p(\nu_1,\nu_2)$ .

Напомним, что вполне регулярное пространство называется секвенциально прохоровским, если всякая последовательность вероятностных радоновских мер на этом пространстве, слабо сходящаяся к радоновской мере, равномерно плотна. Например, полные метрические пространства секвенциально прохоровские (см. [11] или [12] об этом свойстве).

Теорема 2. Пусть $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства. Предположим, что последовательность мер $\mu_n\in \mathcal{P}_r(X)$ слабо сходится к мере $\mu\in \mathcal{P}_r(X)$ , последовательность мер $\nu_n\in \mathcal{P}_r(Y)$ слабо сходится к мере $\nu \in \mathcal{P}_r(Y)$ , обе последовательности равномерно плотны (что выполнено автоматически, если оба пространства секвенциально прохоровские), а непрерывные функции $h_n\colon X\times Y\to [0,+\infty)$ сходятся к функции $h\colon X\times Y\to [0,+\infty)$ равномерно на компактах. Предположим также, что даны такие неотрицательные борелевские функции $a_n\in L^1(\mu_n)$ и $b_n\in L^1(\nu_n)$ , что

$\begin{equation} h_n(x,y)\leqslant a_n(x)+b_n(y), \qquad \lim_{R\to+\infty} \sup_n \biggl(\int_{\{a_n\geqslant R\}} a_n\, d\mu_n+ \int_{\{b_n\geqslant R\}} b_n\, d\nu_n\biggr)=0. \end{equation} \tag{3.4}$

Тогда

$\begin{equation*} K_h(\mu,\nu)=\lim_{n\to\infty} K_{h_n}(\mu_n,\nu_n). \end{equation*} \notag$

В частности, это верно, если

$\sup_n (\|a_n\|_{L^p(\mu_n)}+\|b_n\|_{L^p(\nu_n)})<\infty$ для некоторого

$p>1$ .

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда

$h_n\equiv h\leqslant 1$ . Поскольку функция

$h$ непрерывна на компактах (на всем пространстве она не обязательно является непрерывной), то существуют оптимальные меры

$\sigma_n\in \Pi(\mu_n,\nu_n)$ для функции

$h$ (см. [17; комментарии после теоремы 1.2.1]). По нашему предположению последовательности мер

$\mu_n$ и

$\nu_n$ равномерно плотны, что влечет равномерную плотность последовательности мер

$\sigma_n$ . Перейдем к подпоследовательности индексов

$n_i$ , для которой числа

$K_h(\mu_{n_i},\nu_{n_i})$ стремятся к

$\liminf_{n\to\infty} K_h(\mu_n,\nu_n)$ . Эта последовательность имеет некоторую предельную точку

$\sigma$ в слабой топологии, более того,

$\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$ . Интеграл от

$h$ относительно меры

$\sigma$ является предельной точкой интегралов по мерам

$\sigma_{n_i}$ , т.е. чисел

$K_h(\mu_{n_i},\nu_{n_i})$ . Значит, выполнено неравенство

$K_h(\mu,\nu)\leqslant \liminf_{n\to\infty} K_h(\mu_n,\nu_n)$ .

Покажем, что $K_h(\mu,\nu)\geqslant \limsup_{n\to\infty} K_h(\mu_n,\nu_n)$ . Пусть $\varepsilon>0$ . Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что

$\begin{equation*} K_h(\mu_n,\nu_n)\to \limsup_{n\to\infty} K_h(\mu_n,\nu_n). \end{equation*} \notag$

Возьмем такие компакты

$S_1\subset X$ ,

$S_2\subset Y$ , что

$\begin{equation*} \mu_n(X\setminus S_1)+\nu_n(Y\setminus S_2) <\varepsilon \quad \forall\, n. \end{equation*} \notag$

Множество

$S=S_1\times S_2$ компактно в

$X\times Y$ и

$\begin{equation} \zeta((X\times Y)\setminus S)<\varepsilon \quad \forall\, \zeta\in \Pi(\mu_n, \nu_n), \quad \forall\, n. \end{equation} \tag{3.5}$

Можно найти такие ограниченные непрерывные псевдометрики

$\alpha$ и

$\beta$ на пространствах

$X$ и

$Y$ и функцию

$g\colon X\times Y\to [0,1]$ , что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, |g(x,y)-g(x_1,y_1)|\leqslant \alpha(x,x_1)+\beta(y,y_1) \quad \forall\, x,x_1\in X, \quad y,y_1\in Y, \\ g(x,y)=h(x,y) \quad \forall\, (x,y)\in S. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Есть несколько известных способов это сделать. Один таков. Вложим наши пространства

$X$ и

$Y$ гомеоморфно в локально выпуклые пространства

$X_1$ и

$Y_1$ (или просто наделим их равномерностями, порождающими исходные топологии). Тогда функция

$h$ равномерно непрерывна на

$S$ . Она имеет равномерно непрерывное продолжение

$g\colon X_1\times Y_1\to [0,1]$ (это верно для всякого подмножества, см. [29]; но для компактного подмножества достаточно взять непрерывное продолжение на компактификацию Стоуна–Чеха пространства

$X_1\times Y_1$ ). Функция

$\begin{equation*} \alpha(x_1,x_2)=\sup_y |g(x_1,y)-g(x_2,y)| \end{equation*} \notag$

является равномерно непрерывной псевдометрикой на

$X$ , а функция

$\begin{equation*} \beta(y_1,y_2)=\sup_x |g(x,y_1)-g(x,y_2)| \end{equation*} \notag$

является равномерно непрерывной псевдометрикой на

$Y$ . Кроме того,

$\begin{equation*} |g(x,y)-g(x_1,y_1)|\leqslant |g(x,y)-g(x_1,y)|+|g(x_1,y)-g(x_1,y_1)|, \end{equation*} \notag$

поэтому

$|g(x,y)-g(x_1,y_1)|\leqslant \alpha(x,x_1)+\beta(y,y_1)$ .

Рассмотрим псевдометрики Канторовича $d_{\mathrm K,\alpha}$ и $d_{\mathrm K,\beta}$ на $X$ и $Y$ , порожденные этими псевдометриками $\alpha$ и $\beta$ . Для всех достаточно больших $n$ имеем

$\begin{equation*} d_{\mathrm K,\alpha}(\mu_n,\mu)+d_{\mathrm K,\beta}(\nu_n,\nu)< \varepsilon. \end{equation*} \notag$

По теореме 1 существуют такие меры

$\zeta_n\in \Pi(\mu_n,\nu_n)$ , что

$\begin{equation*} d_{\mathrm K, \alpha\oplus\beta}(\sigma,\zeta_n)< \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Следовательно, в силу (3.5) имеем

$\begin{equation*} \int g\, d\sigma \geqslant \int g\, d\zeta_n-\varepsilon \geqslant \int h\, d\zeta_n - 2\varepsilon \geqslant K_h(\mu_n,\nu_n)-2\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\varepsilon$ было произвольным, получаем оценку

$\begin{equation*} K_h(\mu,\nu)\geqslant \limsup_{n\to\infty} K_h(\mu_n,\nu_n). \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим случай различных $h_n$ , но с общей оценкой $h_n\leqslant 1$ . Пусть $\varepsilon>0$ . Используя то же самое компактное множество $S$ , что и выше, найдем такое $N$ , что $|h_n-h|\leqslant \varepsilon$ для всех $(x,y)\in S$ и $n\geqslant N$ . Тогда

$\begin{equation*} |K_h(\mu_n,\nu_n)- K_{h_n}(\mu_n,\nu_n)|\leqslant 2\varepsilon, \end{equation*} \notag$

так как в силу (3.5) для всякой меры

$\eta\in \Pi(\mu_n,\nu_n)$ имеет место оценка

$\begin{equation*} \eta((X\times Y)\setminus S)<\varepsilon, \end{equation*} \notag$

поэтому разность между интегралами от

$h_n$ и

$h$ относительно меры

$\eta$ не превосходит

$2\varepsilon$ . Это дает наше утверждение в случае равномерно ограниченных

$h_n$ . Общий случай легко сводится к этому случаю, так как для функций

$\min (h_n,R)$ имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int [h_n -\min (h_n,R)] \, d\eta &\leqslant \int h_n I_{\{h_n\geqslant R\}}\, d\eta\leqslant \int [2a_n I_{\{a_n\geqslant R/2\}} +2b_n I_{\{b_n\geqslant R/2\}}]\, d\eta \\ &=2 \int_{\{a_n\geqslant R/2\}} a_n\, d\mu_n + 2\int_{\{b_n\geqslant R/2\}} b_n\, d\nu_n \end{aligned} \end{equation*} \notag$

для всех мер

$\eta\in\Pi(\mu_n,\nu_n)$ и аналогично для тройки

$(h,\mu,\nu)$ . Благодаря этой оценке и (3.4) можно выбрать

$R$ столь большим, что правая часть предыдущего неравенства будет меньше заданного числа

$\varepsilon$ . Следовательно,

$\begin{equation*} |K_{h_n}(\mu_n,\nu_n)-K_{\min(h_n,R)}(\mu_n,\nu_n)|\leqslant \varepsilon, \qquad |K_{h}(\mu,\nu)-K_{\min(h,R)}(\mu,\nu)|\leqslant \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Остается использовать установленный факт, что

$\begin{equation*} |K_{\min(h_n,R)}(\mu_n,\nu_n)|-K_{\min(h,R)}(\mu,\nu)|\leqslant \varepsilon \end{equation*} \notag$

для всех достаточно больших

$n$ .

Теорема 2 доказана.

Теорему 2 можно сравнить с теоремой 5.20 из [43], где пространства польские, маргиналы $\mu_n$ и $\nu_n$ слабо сходятся к $\mu$ и $\nu$ соответственно, функции стоимости $h_n$ равномерно сходятся к $h$ , а заключение состоит в том, что последовательность оптимальных планов $\pi_n$ для $(\mu_n,\nu_n,h_n)$ содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к оптимальному плану для $(\mu,\nu,h)$ .

Следствие 2. Если в ситуации теоремы 2 оптимальные планы $\sigma_n$ и $\sigma$ для троек $(\mu_n,\nu_n,h_n)$ и $(\mu,\nu,h)$ единственны, то меры $\sigma_n$ слабо сходятся к $\sigma$ .

Доказательство. Последовательность мер

$\sigma_{n}$ равномерно плотна в силу равномерной плотности маргиналов этих мер. Значит, она имеет слабо сходящуюся поднаправленность (но не обязательно подпоследовательность, ибо пространства не предполагаются метризуемыми). Заметим, что если ее поднаправленность

$\{\sigma_\alpha\}$ слабо сходится к мере

$\sigma_0$ , то

$\sigma_0$ оптимальна для

$h$ . В самом деле, покажем, что

$\begin{equation} \int h\, d\sigma_0 \leqslant \lim_{n\to\infty} K_{h_n}(\mu_{n},\nu_{n}). \end{equation} \tag{3.6}$

В противном случае найдутся такие числа

$\varepsilon>0$ и

$R>1$ , что

$\begin{equation*} \int \min(h,R)\, d\sigma_0 > \lim_{n\to\infty} K_{h_n}(\mu_{n},\nu_{n})+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

В силу слабой сходимости

$\begin{equation*} \int \min(h,R)\, d\sigma_0 = \lim_{\alpha} \int \min(h,R)\, d\sigma_{\alpha}. \end{equation*} \notag$

Значит, можно считать, что

$\begin{equation*} \int \min(h,R)\, d\sigma_{\alpha}\geqslant \lim_{n\to\infty} K_{h_n}(\mu_{n},\nu_{n})+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Тогда найдется бесконечно много индексов

$n$ таких, что для соответствующих элементов исходной последовательности будем иметь

$\begin{equation*} \int \min(h,R)\, d\sigma_{n}\geqslant \int h_n\, d\sigma_n +\frac{\varepsilon}2. \end{equation*} \notag$

Однако ясно, что для всех достаточно больших

$n$ верна оценка

$\begin{equation*} \int \min(h,R)\, d\sigma_{n}\leqslant \int \min(h_n,R)\, d\sigma_n +\frac{\varepsilon}4, \end{equation*} \notag$

так как меры

$\sigma_n$ равномерно плотны и функции

$\min(h_n,R)$ сходятся к

$\min(h,R)$ равномерно на компактах.

Правая часть (3.6) равна $K_{h}(\mu,\nu)$ по теореме 2. Значит, мера $\sigma_0$ оптимальна, а тогда $\sigma_0=\sigma$ в силу единственности. Таким образом, последовательность $\{\sigma_n\}$ не имеет отличных от $\sigma$ предельных точек. Следовательно, меры $\sigma_{n}$ слабо сходятся к $\sigma$ .

Следствие доказано.

Для несчетных семейств мер $\mu_t, \nu_t$ и функций $a_t\in L^1(\mu_t)$ , $b_t\in L^1(\nu_t)$ аналог (3.4) записывается как

$\begin{equation} h_t(x,y)\leqslant a_t(x)\,{+}\,b_t(y), \qquad \lim_{R\to+\infty} \sup_t \biggl(\int_{\{a_t\geqslant R\}} a_t\, d\mu_t+ \int_{\{b_t\geqslant R\}} b_t\, d\nu_t\biggr)=0. \end{equation} \tag{3.7}$

В частности, это выполнено, если

$\begin{equation*} \sup_t \bigl[\|a_t\|_{L^p(\mu_t)}+\|a_t\|_{L^p(\nu_t)}\bigr]<\infty \end{equation*} \notag$

для некоторого

$p>1$ . Более общее достаточное условие таково: найдется неограниченная возрастающая функция

$V>0$ на

$[0,\infty)$ , для которой интегралы от

$a_t V(a_t)$ относительно

$\mu_t$ и интегралы от

$b_t V(b_t)$ относительно

$\nu_t$ равномерно ограничены.

Следствие 3. Пусть $X$ и $Y$ – секвенциально прохоровские вполне регулярные пространства и $T$ – топологическое пространство. Предположим, что отображения

$\begin{equation*} t\mapsto \mu_t\in \mathcal{P}_r(X), \qquad t\mapsto \nu_t\in \mathcal{P}_r(Y) \end{equation*} \notag$

секвенциально непрерывны и

$(t,x,y)\mapsto h_t(x,y)$ ,

$T\times X\times Y\to [0,+\infty)$ является непрерывной функцией. Предположим также, что существуют такие неотрицательные борелевские функции

$a_t\in L^1(\mu_t)$ и

$b_t\in L^1(\nu_t)$ , что выполнено (3.7). Тогда функция

$t\mapsto K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$ секвенциально непрерывна.

Для доказательства достаточно воспользоваться тем, что $h_{t_n}(x,y)\to h_t(x,y)$ равномерно на компактах, если $t_n\to t$ .

Ясно, что прохоровское свойство можно заменить равномерной плотностью семейств $\{\mu_t\}$ и $\{\nu_t\}$ .

Предположим теперь, что $X, Y, T$ – метрические пространства, $X$ и $Y$ полны и для каждого $t\in T$ даны меры $\mu_t\in \mathcal{P}_r(X)$ и $\nu_t\in \mathcal{P}_r(Y)$ , причем отображения $t\mapsto \mu_t$ и $t\mapsto \nu_t$ непрерывны в слабой топологии (что равносильно непрерывности по метрике Канторовича–Рубинштейна). Предположим также, что имеется непрерывная неотрицательная функция $(t,x,y)\mapsto h_t(x,y)$ . Возникает вопрос: можно ли выбрать оптимальный план, непрерывно зависящий от параметра $t$ ? Оказывается, что такой выбор не всегда возможен, как показывают примеры ниже. Однако положение улучшается для приближенных оптимальных планов или в случае единственных оптимальных планов. Для заданного $\varepsilon>0$ меру $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$ будем называть $\varepsilon$ -оптимальной для функции стоимости $h$ , если

$\begin{equation*} \int h\, d\sigma \leqslant K_h(\mu,\nu)+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Теорема 3. Предположим, что для каждого $t$ существуют такие неотрицательные борелевские функции $a_t\in L^1(\mu_t)$ и $b_t\in L^1(\nu_t)$ , что выполнено (3.7). Тогда можно выбрать $\varepsilon$ -оптимальные меры $\sigma_t^\varepsilon\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ для функций стоимости $h_t$ так, что они будут непрерывными по $t$ в слабой топологии для всякого фиксированного $\varepsilon>0$ .

Если для каждого $t$ имеется единственный оптимальный план $\sigma_t$ , то он непрерывен по $t$ .

Доказательство. Наше предположение влечет включение

$h_t\in L^1(\sigma)$ для всех

$\sigma\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ . Множество

$\begin{equation*} M_t=\biggl\{\sigma\in \Pi(\mu_t,\nu_t)\colon \int h_t\, d\sigma=K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)\biggr\} \end{equation*} \notag$

выпукло и компактно в

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ . В самом деле, выпуклость очевидна, а компактность вытекает из того факта, что

$M_t$ замкнуто в компактном множестве

$\Pi(\mu_t,\nu_t)$ , что проверяется следующим образом. Предположим, что меры

$\pi_n\in M_t$ слабо сходятся к мере

$\pi$ . Для сходимости интегралов от непрерывных функций

$h_t$ по мерам

$\pi_n$ к интегралам по мере

$\pi$ достаточно проверить (см. [12; теорема 2.7.1]), что

$\begin{equation*} \lim_{R\to\infty} \sup_n \int_{\{h_t\geqslant R\}} h_t\, d\pi_n =0. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\pi_n\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ , это равенство вытекает из оценки

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\{h_t\geqslant R\}} h_t\, d\pi_n &\leqslant \int_{X\times Y} \bigl[2a_tI_{\{a_t\geqslant R/2\}} + 2b_tI_{\{b_t\geqslant R/2\}}\bigr] \, d\pi_n \\ & =2\int_{\{a_t\geqslant R/2\}} a_t\, d\mu_t+ 2\int_{\{b_t\geqslant R/2\}} b_t\, d\nu_t. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} \Psi(t) = \biggl\{\pi \in \Pi(\mu_t, \nu_t)\colon \int h_t\, d\pi \leqslant K_{h_t}(\mu_t, \nu_t) + \varepsilon \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Чтобы найти непрерывную выборку, мы проверим предположения классической теоремы Майкла о селекции, применяемой к многозначному отображению

$t\mapsto \Psi_t$ с выпуклыми компактными значениями в полном метризуемом подмножестве

$M=\mathcal{P}_r(X\times Y)$ локально выпуклого пространства

$\mathcal{M}_r(X\times Y)$ . В статье [33] соответствующий результат установлен для множества

$M$ в метризуемом локально выпуклом пространстве (см. также [38; с. 41, теорема 1.5] про такой случай), его можно применить, если пространство

$\mathcal{M}_r(X\times Y)$ наделить нормой Канторовича–Рубинштейна. Однако теорема 1.2 из [34] покрывает случай, когда

$M$ лежит в полном локально выпуклом пространстве, что в нашей ситуации можно применить к пополнению пространства

$\mathcal{M}_r(X\times Y)$ со слабой топологией. Для проверки выполнения условий теоремы Майкла нам надо еще показать, что для каждого открытого множества

$U$ в

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ множество

$\begin{equation*} W=\{t\in T\colon \Psi_t\cap U\ne \varnothing \} \end{equation*} \notag$

открыто в

$T$ . Пусть

$w\in W$ . Тогда найдется мера

$\sigma\in \Psi_{w} \,{\cap}\, U$ , т.е.

$\sigma \in \Pi(\mu_{w}, \nu_{w})$ и

$\begin{equation*} \int h_w\, d\sigma \leqslant K_{h_w}(\mu_w, \nu_w) + \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Можно считать, что это неравенство строгое, поскольку в противном случае можно взять выпуклую линейную комбинацию с оптимальной мерой

$\sigma_0\in M_w$ , что для

$\alpha\in (0,1)$ даст меру

$(1-\alpha) \sigma + \alpha \sigma_0\in U$ с меньшим интегралом от функции

$h_w$ . Итак,

$\begin{equation*} \int h_w\, d\sigma \leqslant K_{h_w}(\mu_w, \nu_w) + \varepsilon -\delta, \quad \text{где } \ \delta>0. \end{equation*} \notag$

Покажем, что существует такая окрестность

$V$ точки

$w$ , что для всякого

$v\in V$ найдется мера

$\sigma_v \in \Pi(\mu_v, \nu_v)$ , для которой

$\begin{equation*} \int h_v\, d\sigma_v \leqslant K_{h_v}(\mu_v, \nu_v) + \varepsilon . \end{equation*} \notag$

В самом деле, в противном случае существует такая последовательность точек

$w_n$ , сходящаяся к

$w$ , что

$\begin{equation} \int h_{w_n}\, d\zeta > K_{h_{w_n}}(\mu_{w_n}, \nu_{w_n}) + \varepsilon \quad \forall\, \zeta\in \Pi(\mu_{w_n}, \nu_{w_n}). \end{equation} \tag{3.8}$

Из (3.7) вытекает, что имеется такое

$R>1$ , что

$\begin{equation} \int [h_t -\min(h_t,R)]\, d\zeta \leqslant \frac\delta8 \quad \forall\, t\in T, \quad \forall \, \zeta\in \Pi(\mu_t,\nu_t). \end{equation} \tag{3.9}$

Далее, из слабой непрерывности

$\mu_t$ и

$\nu_t$ по

$t$ следует, что последовательности

$\{\mu_{w_n}\}$ и

$\{\nu_{w_n}\}$ равномерно плотны (напомним, что здесь пространства метризуемы). Это влечет равномерную плотность объединения множеств

$\Pi(\mu_{w_n}, \nu_{w_n})$ . Значит, имеется такой компакт

$S\subset X\times Y$ , что

$\begin{equation} (\zeta+\sigma)((X\times Y)\setminus S)< \frac{\delta}{32R} \quad \forall\, n, \quad \forall\, \zeta\in \Pi(\mu_{w_n}, \nu_{w_n}). \end{equation} \tag{3.10}$

Положим

$\begin{equation*} g_t=\min(h_t,R). \end{equation*} \notag$

В силу непрерывности

$h$ на компактном множестве

$(\{w_n\}\cup \{w\})\times S$ существует липшицева функция

$(t,x,y)\mapsto L_t(x,y)$ на

$T\times X\times Y$ со значениями в

$[0,R]$ , для которой

$\begin{equation} |g_{w_n}(x,y)-L_{w_n}(x,y)|\leqslant \frac{\delta}{32} \quad \forall\, n\geqslant 1, \quad (x,y)\in S. \end{equation} \tag{3.11}$

Пусть

$L>0$ – постоянная Липшица этой функции. Поскольку компактное множество

$\Pi(\mu_t, \nu_t)$ зависит от

$t$ непрерывно в метрике Хаусдорфа, то для всех достаточно больших

$n$ имеем

$\begin{equation*} H_{\mathrm K}(\Pi(\mu_{w_n}, \nu_{w_n}),\Pi(\mu_{w}, \nu_{w}))\leqslant \frac{\delta}{16 L}. \end{equation*} \notag$

Значит, для каждого такого

$n$ есть мера

$\zeta_n\in \Pi(\mu_{w_n}, \nu_{w_n})$ , удовлетворяющая неравенству

$\begin{equation*} d_{\mathrm K}(\sigma,\zeta_n)\leqslant \frac{\delta}{16 L}, \end{equation*} \notag$

что дает оценку

$\begin{equation*} \biggl|\int L_w\, d\sigma - \int L_w\, d\zeta_n\biggr| \leqslant \frac{\delta}{16}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\begin{equation*} \sup_{(x,y)\in S} |L_w(x,y)-L_{w_n}(x,y)|\to 0, \qquad L_t\leqslant R, \quad (\zeta_n+\sigma)((X\times Y)\setminus S)< \frac{\delta}{32R}, \end{equation*} \notag$

то для всех достаточно больших

$n$ имеем

$\begin{equation*} \biggl|\int L_w\, d\sigma - \int L_{w_n}\, d\zeta_n\biggr| \leqslant \frac{\delta}{8}. \end{equation*} \notag$

Следовательно, в силу (3.10) и (3.11) получаем

$\begin{equation*} \biggl|\int g_w\, d\sigma - \int g_{w_n}\, d\zeta_n\biggr| \leqslant \frac{\delta}{4}, \end{equation*} \notag$

что ввиду (3.9) дает оценку

$\begin{equation*} \biggl|\int h_w\, d\sigma - \int h_{w_n}\, d\zeta_n\biggr| \leqslant \frac{\delta}{2}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$K_{h_{w_n}}(\mu_{w_n},\nu_{w_n})\to K_{h_{w}}(\mu_{w},\nu_{w})$ , приходим к противоречию с (3.8). Итак, множество

$\{t\colon \Psi(t) \cap U \ne \varnothing\}$ открыто.

Наконец, в случае единственности оптимальных планов наш результат вытекает из следствия 2.

Теорема 3 доказана.

Можно было бы сказать, что непрерывность оптимальной стоимости по параметру есть нечто ожидаемое, но как насчет непрерывности оптимальных планов? В общем случае нет непрерывной выборки оптимальных планов.

Пример. Пусть $\mu$ и $\nu$ – такие борелевские вероятностные меры на полном сепарабельном метрическом пространстве $X$ , что существуют по крайней мере два непрерывных отображения $f, g\colon X\to X$ , переводящих $\mu$ в $\nu$ , для которых образы $\mu$ при отображениях $x\mapsto (x,f(x))$ и $x\mapsto (x,g(x))$ различны. Например, в качестве $\mu$ и $\nu$ можно взять меру Лебега на $[0,1]$ . В качестве пространства $T$ возьмем последовательность точек $1/n$ и $0$ . Положим

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, h_0=0, \qquad h_t(x,y)=t |y-f(x)|^2 \quad \text{при } \ t=(2n-1)^{-1}, \\ h_t(x,y)=t |y-g(x)|^2 \quad \text{при }\ t=(2n)^{-1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Пусть

$\mu_t=\mu$ ,

$\nu_t=\nu$ . При

$t=0$ все меры в

$\Pi(\mu,\nu)$ оптимальны для функции стоимости

$h_0$ . При

$t=(2n-1)^{-1}$ единственная оптимальная мера для функции стоимости

$h_t$ равна образу меры

$\mu$ при отображении

$x\mapsto (x,f(x))$ , а для

$t=(2n)^{-1}$ единственная оптимальная мера для функции стоимости

$h_t$ равна образу

$\mu$ при отображении

$x\mapsto (x,g(x))$ . Тогда указанные оптимальные меры не имеют предела при

$t\to 0$ . Например, если

$\mu=\nu$ есть мера Лебега на

$[0,1]$ , то можно взять

$f(x)=x$ ,

$g(x)=1-x$ . Вот другой явный пример с теми же самыми мерами на

$[0, 1]$ :

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, h_t(x, y) = \min(|x-y|, |x+y-1| + t), \qquad t \geqslant 0, \\ h_t(x, y) = \min(|x-y| - t, |x+y-1|), \qquad t < 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Тогда при

$t>0$ оптимальный план сосредоточен на диагонали

$x=y$ , при

$t<0$ оптимальный план сосредоточен на диагонали

$x+y=1$ , во всех случаях он является нормированной линейной мерой Лебега. При

$t=0$ нет единственности: имеется много оптимальных планов, сосредоточенных на объединении диагоналей, некоторые из них не порождаются отображениями Монжа. Однако левые и правые пределы оптимальных планов порождаются отображениями Монжа.

Стоит отметить, что близкая, но не эквивалентная задача была рассмотрена в [5] и [24] (см. также [42]), где была доказана сходимость по мере оптимальных отображений Монжа $T_\varepsilon\to T_0$ при $\varepsilon\to 0$ для некоторой специальной функции стоимости $h_\varepsilon$ . В нашей ситуации соответствующий вопрос ставился бы о некотором виде непрерывности оптимальных отображений Монжа $T_t$ в случае, когда мера $\mu_t$ не зависит от $t$ или все меры $\mu_t$ абсолютно непрерывны относительно некоторой базовой меры $\lambda$ . Конечно, в случае неединственности $T_t$ вопрос возникает о непрерывных выборках оптимальных отображений. Приведем общий результат в духе цитированных работ в случае, когда оптимальные планы порождены отображениями. Частная ситуация, рассмотренная в цитированных работах (см. также [42; теорема 2.53]), имеет дело с постоянными маргиналами и функцией стоимости $h_t(x,y)=|x-y|+t |x-y|^2$ или более общим семейством функций с тем свойством, что $h_t(x,y)=|x-y|+t \varphi(|x-y|)+o(t)$ со строго выпуклой функцией $\varphi$ . Однако эта специальная структура нужна, чтобы гарантировать существование и единственность решения Монжа. В следующем абстрактном результате существование “отображений Монжа” является частью предположений.

Напомним, что сходимость по мере для отображений во вполне регулярные пространства определяется следующим образом. Пусть $\{d_\alpha\}$ – семейство псевдометрик, задающих топологию вполне регулярного пространств $X$ и $\mu\in\mathcal{P}_r(X)$ . Борелевские отображения $T_n\colon X\to X$ сходятся по мере $\mu$ к борелевскому отображению $T\colon X\to X$ , если для каждого $\alpha$ и каждого $\delta>0$ имеем $\mu(x\colon d_\alpha(T_n(x),T(x))\geqslant \delta)\to 0$ при $n\to \infty$ .

Предложение. Пусть $X$ – вполне регулярное пространство, $\mu_n\in\mathcal{P}_r(X)$ для $n\in \mathbb{Z}^+$ и $\mu_n\to\mu_0$ по вариации. Предположим, что имеются такие борелевские отображения $T_n\colon X\to X$ , $n\geqslant 0$ , что меры $\sigma_n$ , равные образам мер $\mu_n$ при отображениях $x\mapsto (x,T_n(x))$ , слабо сходятся к $\sigma_0$ . Кроме того, предположим, что меры $\mu_0$ и $\nu_0:=\mu_0\circ T_0^{-1}$ сосредоточены на счетных объединениях метризуемых компактов (что выполнено автоматически, если $X$ – суслинское пространство). Тогда отображения $T_n$ сходятся к $T_0$ по мере относительно $\mu_0$ .

Доказательство. Пусть

$\psi$ – непрерывная псевдометрика на

$X$ . Можно считать, что

$0\leqslant \psi\leqslant 1$ . Предположим сначала, что

$T_{0}$ непрерывно. Тогда функция

$\psi(T_{0}(x),y)$ непрерывна на произведении

$X^2$ , значит, в силу слабой сходимости

$\sigma_n\to \sigma_{0}$ имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, & \int \psi(T_0(x),T_n(x)) \, \mu_n(dx)=\int \psi(T_{0}(x),y)\, \sigma_{n}(dx\, dy) \\ &\qquad \to \int \psi(T_{0}(x),y)\, \sigma_{0}(dx\, dy)=\int \psi(T_0(x),T_{0}(x)) \, \mu_0(dx)= 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тогда ввиду сходимости по вариации

$\begin{equation*} \int \psi(T_0(x),T_n(x)) \, \mu_0(dx)\to 0. \end{equation*} \notag$

Значит, по определению

$T_n\to T_{0}$ по мере

$\mu_0$ .

В общем случае можно вложить $X$ гомеоморфно в подходящую степень прямой и считать, что $X=\mathbb{R}^\tau$ . Для заданного $\varepsilon>0$ можно найти компакт $K$ с $\mu_0(K)>1-\varepsilon$ , на котором $T_{0}$ непрерывно. Для этого найдем метризуемый компакт $Q$ с $\nu_0(Q)>1-\varepsilon$ и в борелевском множестве $T_0^{-1}(Q)$ выберем метризуемое компактное множество $Q_1$ с $\mu_0(Q_1)>1-\varepsilon$ , что возможно, так как $\mu_0(T_0^{-1}(Q))=\nu_0(Q)>1\,{-}\,\varepsilon$ . Остается применить теорему Лузина к борелевскому отображению $T_0$ между метризуемыми компактами $Q_1$ и $Q$ . На самом деле для применения обобщения теоремы Лузина достаточно, чтобы только мера $\nu_0$ была сконцентрирована на метризуемых компактах (см. [11; теорема 7.1.13]). Далее, существует непрерывное отображение $S$ , которое совпадает с $T_{0}$ на $K$ (здесь используется, что $X=\mathbb{R}^\tau$ , поэтому достаточно продолжать компоненты $T_0$ ). Повторяя то же самое рассуждение с функцией $\psi(S(x),y)$ , получаем, что интегралы от $\psi(S(x),T_n(x))$ относительно $\mu_0$ стремятся к интегралу от $\psi(S(x), T_0(x))$ , который оценивается через $\varepsilon$ , поскольку $\psi(S(x),T_{0}(x))=0$ на $K$ . Это дает сходимость по мере в общем случае.

Предложение доказано.

Заметим, что сходимость отображений $T_n$ к $T_0$ по мере $\mu_0$ также достаточна для слабой сходимости мер $\sigma_n$ .

Следствие 4. Предположим, что $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, меры $\mu_n\in \mathcal{P}_r(X)$ сходятся по вариации к мере $\mu_0$ , меры $\nu_n\in \mathcal{P}_r(X)$ слабо сходятся к мере $\nu_0$ , непрерывные функции $h_n\geqslant 0$ на $X\times X$ сходятся к функции $h$ равномерно на компактах и выполнено (3.4). Предположим также, что для троек $(\mu_n,\nu_n,h_n)$ , $n\geqslant 0$ , существуют единственные оптимальные планы Канторовича $\sigma_n$ , которые порождаются единственными оптимальными отображениями Монжа $T_n$ . Тогда отображения $T_n$ сходятся к $T_0$ по мере $\mu_0$ .

Заметим, что следствие 5.20 в [43] содержит аналогичный результат в случае, когда все меры $\mu_n$ совпадают с $\mu_0$ и $X$ локально компактно.

Замечание 2. Как показано выше, в ситуации, когда мы имеем дело с задачей оптимальной транспортировки для троек $(\mu_n,\nu_n,h_n)$ , предположение, что оптимальные планы $\sigma_n$ слабо сходятся к $\sigma_0$ , выполнено, если оптимальные меры единственны, меры $\nu_n$ сходятся слабо к $\nu_0$ и равномерно плотны, а функции $h_n$ непрерывны и сходятся к $h_0$ равномерно на компактах.

Если не предполагается слабая сходимость оптимальных планов, но последовательность $\{\nu_n\}$ слабо сходится и равномерно плотна, то заключение остается в силе для подпоследовательности в $\{T_n\}$ , выбранной так, что соответствующие планы сходятся, если известно, что все оптимальные планы для $h_0$ (или хотя бы лежащие в замыкании рассматриваемой подпоследовательности планов) порождаются отображениями Монжа.

Частный случай постоянных маргиналов $\mu$ и $\nu$ не намного проще, так как в любом случае надо обеспечить сходимость планов и нужно существование отображений Монжа. Было бы интересно изучить приближенные решения Монжа, непрерывно зависящие от параметра. Для этого можно было бы проанализировать конструкции из работ [16] и [35].

§ 4. Нелинейные функционалы стоимости

Рассмотрим нелинейный функционал стоимости вида

$\begin{equation*} J_H(\sigma) =\int_{X\times Y} H(x,y,\sigma)\, \sigma(dx\, dy), \end{equation*} \notag$

где

$H$ – борелевская функция на

$X\times Y\times \mathcal{P}_r(X\times Y)$ или на

$X\times Y\times \Pi(\mu,\nu)$ . Функционалы такого типа недавно изучались рядом авторов; см., например, [27], [2], [7], где можно найти дополнительные ссылки. Для упрощения можно предполагать, что функция

$H$ ограниченна, более того, поскольку мы обсуждаем свойства непрерывности, можно также считать, что функция

$H$ непрерывна. При таких предположениях для всех мер

$\mu\in\mathcal{P}_r(X)$ и

$\nu\in\mathcal{P}_r(Y)$ существует решение нелинейной задачи Канторовича для функционала

$J_H$ , т.е. план

$\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$ , для которой величина

$J_H(\sigma)$ достигает минимума

$K_H(\mu,\nu)$ на

$\Pi(\mu,\nu)$ ; см. [20], [13].

Однако следует отметить, что непрерывность по $\sigma$ не выполняется в типичных примерах из цитированных работ, где $H(x,y,\sigma)=H(x,\sigma^x)$ и $(\sigma^x)_{x\in X}$ есть дезинтегрирование меры $\sigma$ относительно ее проекции $\sigma_X$ на $X$ (равной $\mu$ , если $\sigma\in\Pi(\mu,\nu)$ ). Напомним, что дезинтегрирование есть такое борелевское отображение $x\mapsto \sigma^x$ из $X$ в $\mathcal{P}_r(Y)$ , что $\sigma (dx\, dy)=\sigma^x(dy)\, \sigma_X(dx)$ в смысле равенства

$\begin{equation*} \sigma(B)=\int_X \sigma^x(B^x)\, \sigma_X(dx), \qquad B^x=\{y\in Y\colon (x,y)\in B\}. \end{equation*} \notag$

Общие нелинейные функционалы стоимости с параметром будут изучаться в другой работе, а здесь мы представим лишь следующий результат о непрерывности по параметру.

Пусть $T$ – топологическое пространство, $X, Y$ – секвенциально прохоровские пространства (скажем, метрические пространства). Предположим, что

$\begin{equation*} H\colon T\times X\times Y\times \mathcal{P}_r(X\times Y)\to \mathbb{R} \end{equation*} \notag$

является ограниченной непрерывной функцией. Пусть

$H_t(x,y,\sigma)\,{:=}\,H(x,y,\sigma,t)$ . Для заданных мер

$\mu\in \mathcal{P}_r(X)$ и

$\nu\in \mathcal{P}_r(Y)$ положим

$\begin{equation*} K(t,\mu,\nu)=K_{H_t}(\mu,\nu)=\inf_{\sigma\in \Pi(\mu,\nu)} \int_{X\times Y} H_t(x,y,\sigma)\, \sigma(dx\, dy). \end{equation*} \notag$

Сначала рассмотрим случай, когда функция $H$ не зависит от $t$ .

Теорема 4. Предположим, что меры $\mu_n\in\mathcal{P}_r(X)$ слабо сходятся к мере $\mu\in\mathcal{P}_r(X)$ , меры $\nu_n\in\mathcal{P}_r(Y)$ слабо сходятся к мере $\nu\in\mathcal{P}_r(Y)$ . Тогда $K_H(\mu,\nu)=\lim_{n\to\infty} K_H(\mu_n,\nu_n)$ .

Кроме того, всякая мера $\sigma_0\in \mathcal{P}_r(X\times Y)$ , являющаяся предельной точкой последовательности оптимальных мер $\sigma_n$ для маргиналов $\mu_n, \nu_n$ , служит оптимальной для маргиналов $\mu,\nu$ .

Доказательство. Можно считать, что

$0\leqslant H\leqslant 1$ . Так как по предположению имеет место слабая сходимость

$\mu_{n}\to\mu$ и

$\nu_{n}\to\nu$ , а пространства

$X$ и

$Y$ секвенциально прохоровские, то обе последовательности равномерно плотны. Поэтому равномерно плотно объединение всех множеств

$\Pi(\mu_{n}, \nu_{n})$ и

$\Pi(\mu, \nu)$ . Значит, оно содержится в компактном равномерно плотном множестве

$S$ в

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ . Возьмем оптимальные меры

$\sigma_n$ для пар

$(\mu_n,\nu_n)$ и какую-либо предельную меру

$\sigma_0$ последовательности

$\{\sigma_n\}$ в компакте

$S$ . Ясно, что

$\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$ . Покажем, что

$J_H(\sigma_0)=K_H(\mu,\nu)=\lim_{n\to\infty}K_H(\mu_n,\nu_n)$ . Сначала проверим последнее равенство.

Пусть $\varepsilon>0$ . Возьмем такой компакт $K$ в $X\times Y$ , что

$\begin{equation*} \sigma(K)>1-\varepsilon \quad \forall\, \sigma\in S. \end{equation*} \notag$

Найдутся такие ограниченные непрерывные псевдометрики

$d_1$ на

$X$ и

$d_2$ на

$Y$ , что существует функция

$G\colon X\times Y\times \mathcal{P}_r(X\times Y)\to [0,1]$ , липшицева с некоторой постоянной

$L$ относительно псевдометрики

${d_1\oplus d_2\oplus d_{\mathrm K}}$ , где

$d_{\mathrm K}$ – псевдометрика Канторовича, порожденная

$d_1\oplus d_2$ , что

$\begin{equation*} |H(x,y,\sigma)- G(x,y,\sigma)|\leqslant \varepsilon \quad \forall\, (x,y)\in K, \quad \sigma\in S. \end{equation*} \notag$

Это можно сделать с помощью теоремы Вейерштрасса, ибо класс функций такого вида есть алгебра, разделяющая точки компакта

$K\times S$ . В силу слабой сходимости имеем

$d_{\mathrm K,d_1}(\mu_n,\mu)\to 0$ ,

$d_{\mathrm K,d_2}(\nu_n,\nu)\to 0$ . Поэтому при некотором

$N$ для всех

$n\geqslant N$ справедливы неравенства

$\begin{equation*} d_{\mathrm K,d_1}(\mu_n,\mu)+d_{\mathrm K,d_2}(\nu_n,\nu)\leqslant \frac{\varepsilon}{L+1}. \end{equation*} \notag$

В силу нашего неравенства имеем

$\begin{equation*} H_{\mathrm K, d_1\oplus d_2}(\Pi(\mu_n,\nu_n),\Pi(\mu,\nu))\leqslant \frac{\varepsilon}{L+1}. \end{equation*} \notag$

Из этого следует, что для

$L$ -липшицевой функции стоимости

$G$ верно неравенство

$\begin{equation*} |K_G(\mu,\nu)-K_G(\mu_n,\nu_n)|\leqslant 2\varepsilon, \quad n\geqslant N. \end{equation*} \notag$

В самом деле, если

$\pi\in\Pi(\mu,\nu)$ – оптимальная мера для тройки

$(\mu,\nu,G)$ , то найдется план

$\pi_n\in \Pi(\mu_n,\nu_n)$ , для которого

$\begin{equation*} d_{\mathrm K, d_1\oplus d_2}(\pi,\pi_n)\leqslant \frac{\varepsilon}{L+1}. \end{equation*} \notag$

Тогда в силу

$L$ -липшицевости

$G$ имеем

$\begin{equation*} \biggl|\int G(x,y, \pi)\, d\pi - \int G(x,y, \pi)\, d\pi_n\biggr|\leqslant \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Кроме того,

$\begin{equation*} \biggl|\int G(x,y, \pi_n)\, d\pi_n - \int G(x,y, \pi)\, d\pi_n\biggr|\leqslant \varepsilon, \end{equation*} \notag$

ибо

$|G(x,y, \pi_n)-G(x,y, \pi)|\leqslant Ld_{\mathrm K,d_1\oplus d_2}(\pi_n,\pi) \leqslant L\varepsilon /(L+1)<\varepsilon$ . Значит,

$\begin{equation*} \biggl|\int G(x,y, \pi)\, d\pi - \int G(x,y, \pi_n)\, d\pi_n\biggr|\leqslant 2\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Поэтому

$K_G(\mu_n,\nu_n) \leqslant K_G(\mu,\nu)+2\varepsilon$ . Аналогично получаем оценку

$K_G(\mu,\nu) \leqslant K_G(\mu_n,\nu_n)+2\varepsilon$ , взяв оптимальный план

$\pi_n'$ для тройки

$(G,\mu_n,\nu_n)$ и подобрав

$\pi'\in \Pi(\mu,\nu)$ с

$d_{\mathrm K, d_1\oplus d_2}(\pi',\pi_n')\leqslant \varepsilon/(L+1)$ .

Для исходной функции $H$ выполнены оценки $|J_H(\sigma)-J_G(\sigma)|\leqslant 3\varepsilon$ для всех $\sigma\in S$ , поэтому

$\begin{equation*} |K_H(\mu_n,\nu_n)-K_G(\mu_n,\nu_n)|\leqslant 3\varepsilon, \qquad |K_H(\mu,\nu)-K_G(\mu,\nu)|\leqslant 3\varepsilon \end{equation*} \notag$

при

$n\geqslant N$ . Итак,

$|K_H(\mu,\nu)-K_H(\mu_n,\nu_n)|\leqslant 8\varepsilon$ , что в силу произвольности

$\varepsilon$ доказывает равенство

$K_H(\mu,\nu)=\lim_{n\to\infty} K_H(\mu_n,\nu_n)$ .

Теперь покажем, что $\sigma_0$ – оптимальный план для маргиналов $\mu, \nu$ . Пусть $\varepsilon>0$ . Возьмем тот же компакт $K\subset X\times Y$ , что и выше, а также те же псевдометрику $d_1\oplus d_2$ и $L$ -липшицеву по этой псевдометрике функцию стоимости $G$ . Мера $\sigma_0$ является предельной для последовательности $\{\sigma_n\}$ в слабой топологии, следовательно, есть подпоследовательность $\sigma_{n_k}$ , сходящаяся к $\sigma_0$ по указанной псевдометрике. Без потери общности можно считать, что такова вся исходная последовательность. Значит, найдется такое $N$ , что $d_{\mathrm K,d_1\oplus d_2}(\sigma_{n},\sigma_0)\leqslant \varepsilon/(L+1)$ при $n\geqslant N$ . Тогда при таких $n$ имеем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \biggl|\int G(x,y, \sigma_n)\, d\sigma_n - \int G(x,y, \sigma_n)\, d\sigma_0\biggr|\leqslant \varepsilon, \\ \biggl|\int G(x,y, \sigma_n)\, d\sigma_0 - \int G(x,y, \sigma_0)\, d\sigma_0\biggr|\leqslant \varepsilon, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

откуда получаем

$\begin{equation*} \biggl|\int G(x,y, \sigma_n)\, d\sigma_n - \int G(x,y, \sigma_0)\, d\sigma_0\biggr|\leqslant 2\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Как и выше, сравнивая эти интегралы с интегралами от исходной функции

$H$ , приходим к оценке

$\begin{equation*} \biggl|\int H(x,y, \sigma_n)\, d\sigma_n - \int H(x,y, \sigma_0)\, d\sigma_0\biggr|\leqslant 8\varepsilon, \end{equation*} \notag$

т.е.

$|K_H(\mu_n,\nu_n)\,{-}\,J_H(\sigma_0)|\leqslant 8\varepsilon$ . Поэтому

$|K_H(\mu,\nu)\,{-}\,J_H(\sigma_0)|\leqslant 8\varepsilon$ , что завершает доказательство.

Теорема 4 доказана.

Вернемся к рассмотрению функции стоимости $H$ , зависящей от $t$ .

Теорема 5. Предположим, что $t\mapsto \mu_t$ и $t\mapsto \nu_t$ есть непрерывные отображения со значениями в $\mathcal{P}_r(X)$ и $\mathcal{P}_r(Y)$ соответственно. Тогда функция $t\mapsto K(t,\mu_t,\nu_t)$ секвенциально непрерывна.

Доказательство. Сведем наше утверждение к теореме 4. При этом воспользуемся тем же начальным построением. Можно считать, что

$0\leqslant H\leqslant 1$ . Пусть

$t_n\to t_0$ . Так как по предположению имеет место слабая сходимость

$\mu_{t_n}\to\mu_{t_0}$ и

$\nu_{t_n}\to\nu_{t_0}$ , а пространства

$X$ и

$Y$ секвенциально прохоровские, то обе последовательности равномерно плотны. Поэтому равномерно плотно объединение множеств мер

$\Pi(\mu_{t_n}, \nu_{t_n})$ ,

$n\geqslant 0$ . Значит, оно содержится в компактном равномерно плотном множестве

$S$ в

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ . Пусть

$\varepsilon>0$ . Опять возьмем такой компакт

$K$ в

$X\times Y$ , что

$\begin{equation*} \sigma(K)>1-\varepsilon \quad \forall\, \sigma\in S. \end{equation*} \notag$

В силу непрерывности

$H$ и компактности

$K\times S$ найдется такое

$N$ , что

$\begin{equation*} |H(t_n,x,y,\sigma)-H(t_0,x,y,\sigma)|\leqslant \varepsilon \quad \forall\, (x,y)\in K, \quad \sigma\in S, \quad n\geqslant N. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} |J_{H_{t_n}}(\sigma)-J_{H_{t_0}}(\sigma)|\leqslant 3\varepsilon \quad \forall\, \sigma\in S, \quad n\geqslant N, \end{equation*} \notag$

что дает оценку

$\begin{equation*} |K(t_n,\mu_{t_n},\nu_{t_n})-K(t_0,\mu_{t_n},\nu_{t_n})|\leqslant 3\varepsilon \quad \forall\, n\geqslant N. \end{equation*} \notag$

Согласно теореме 4 найдется такое

$N_1\geqslant N$ , что

$\begin{equation*} |K(t_0,\mu_{t_n},\nu_{t_n})-K(t_0,\mu_{t_0},\nu_{t_0})|\leqslant \varepsilon \quad \forall\, n\geqslant N_1. \end{equation*} \notag$

Для таких

$n$ получаем

$|K(t_n,\mu_{t_n},\nu_{t_n})-K(t_0,\mu_{t_0},\nu_{t_0})|\leqslant 4\varepsilon$ , что завершает доказательство.

Теорема 5 доказана.

Как и выше, этот результат легко переносится на случай неограниченных неотрицательных функций стоимости с подходящей равномерной интегрируемостью. Например, достаточно иметь оценку

$\begin{equation*} G(t,x,y,\sigma)\leqslant a_t(x)+b_t(y), \end{equation*} \notag$

где

$a_t$ и

$b_t$ удовлетворяют (3.7).

Заметим, что в случае функционала стоимости, порожденного функцией вида $H(x,\sigma_x)$ (упомянутого выше), в работе [7] доказано, что функционал $J_H(\sigma)$ полунепрерывен снизу по $\sigma$ при условии, что функция $H$ совместно полунепрерывна снизу и выпукла по второму аргументу. Как показано в [2] (см. также [13]), это может быть неверно без выпуклости.

§ 5. Приложение к дискретным приближениям

Пусть $X$ и $Y$ – компактные метрические пространства с борелевскими вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$ и $h$ – липшицева функция на $X\times Y$ . Пусть $L$ – ее постоянная Липшица. Полученная выше оценка может быть использована для изучения дискретных приближений задачи Канторовича для тройки $(\mu,\nu,h)$ . Рассмотрим дискретные приближения маргиналов $\mu$ и $\nu$ мерами вида

$\begin{equation*} \mu_n=\sum_{i=1}^n \mu(A_i)\delta_{a_i}, \qquad \nu_n=\sum_{i=1}^n \nu(B_i)\delta_{b_i} \end{equation*} \notag$

соответственно, где

$A_1,\dots,A_n$ и

$B_1,\dots,B_n$ – разбиения

$X$ и

$Y$ на дизъюнктные борелевские множества диаметра не более заданного числа

$\varepsilon$ ,

$a_i\in A_i$ ,

$b_i\in B_i$ . Поскольку для всяких функций

$f\in \mathrm{Lip}_1(X)$ ,

$g\in \mathrm{Lip}_1(Y)$ справедливы неравенства

$|f(x)-f(a_i)|\leqslant \varepsilon$ для всех

$x\in A_i$ и

$|g(y)-g(b_i)|\leqslant \varepsilon$ для всех

$y\in B_i$ , то получаем оценки

$\begin{equation*} \|\mu-\mu_n\|_{\mathrm K} \leqslant \varepsilon, \qquad \|\nu-\nu_n\|_{\mathrm K} \leqslant \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Если

$\sigma_1\in \Pi(\mu,\nu)$ и

$\sigma_2\in \Pi(\mu_n,\nu_n)$ таковы, что

$\|\sigma_1-\sigma_2\|_{\mathrm K}\leqslant 2\varepsilon$ , то имеем

$\begin{equation*} \biggl|\int h\, d(\sigma_1-\sigma_2)\biggr|\leqslant 2L \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Взяв в качестве

$\sigma_2$ оптимальную меру для тройки

$(h,\mu_n,\nu_n)$ и найдя с помощью нашей оценки каплинг

$\sigma_1\in \Pi(\mu,\nu)$ с

$\|\sigma_1-\sigma_2\|_{\mathrm K}\leqslant 2\varepsilon$ , получаем

$\begin{equation*} K_h(\mu,\nu)- K_h(\mu_n,\nu_n)\leqslant 2L \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Аналогично доказываем, что

$K_h(\mu_n,\nu_n)-K_h(\mu,\nu)\leqslant 2L \varepsilon$ , взяв сначала план

$\sigma_1$ оптимальным для тройки

$(h,\mu,\nu)$ и найдя подходящий каплинг

$\sigma_2\in \Pi(\mu_n,\nu_n)$ . Следовательно,

$\begin{equation*} |K_h(\mu,\nu)- K_h(\mu_n,\nu_n)|\leqslant 2L \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Задача Канторовича для

$(\mu_n,\nu_n,h)$ конечномерна. Соответствующая матрица есть

$(h(a_i,b_j))_{i,j\leqslant n}$ . Если

$\sigma_n$ – оптимальный план для этой задачи, то наша оценка показывает, что имеется каплинг

$\pi_n\in \Pi(\mu,\nu)$ для исходной задачи с

$\|\sigma_n-\pi_n\|_{\mathrm K}\leqslant 2\varepsilon$ . Непосредственно проверяется, что каплинг

$\pi_n$ является

$4L\varepsilon$ -приближенным для исходной задачи. Конечно, важно контролировать

$n$ : наименьшее возможное

$n$ зависит от метрической энтропии

$X$ и

$Y$ . Например, если

$X$ и

$Y$ лежат в

$\mathbb{R}^d$ , то

$n$ имеет порядок

$\varepsilon^{-d}$ . Скорость приближения мер

$\mu$ и

$\nu$ дискретными мерами есть, конечно, отдельный вопрос (см. [28]). Если

$h$ не липшицева, то аналогичная оценка может быть получена в терминах модуля непрерывности

$h$ . Наш результат может быть использован в аппроксимационных схемах, обсуждаемых в [6].

Наконец, случай некомпактных пространств в принципе сводится к рассмотренному, если имеется некоторая информация о компактных множествах, на которых $\varepsilon$ -сосредоточены маргиналы. Компактность была нужна лишь для того, чтобы получить унифицированные дискретные приближения маргиналов и использовать расстояние $d_{\mathrm K}$ вместо $d_{\mathrm{KR}}$ . Дискретные приближения мультимаргинальной задачи Канторовича строятся аналогично, наше неравенство дает довольно универсальные оценки соответствующих стоимостей и оптимальных планов. Недавние результаты о дискретных мультимаргинальных задачах Канторовича см. в работе [44].

Такой же подход работает для нелинейного функционала стоимости, рассмотренного нами в § 4. Предположим, что $h$ – неотрицательная функция на $X\times Y\times \mathcal{P}_r(X\times Y)$ , липшицева с постоянной $L$ . Тогда нелинейный функционал

$\begin{equation*} J_h(\sigma)=\int_{X\times Y} h(x,y,\sigma)\, \sigma(dx\, dy) \end{equation*} \notag$

является

$2L$ -липшицевым на

$\mathcal{P}_r(X\times Y)$ , поскольку

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |J_h(\sigma_1)-J_h(\sigma_2)| &\leqslant \int_{X\times Y} |h(x,y,\sigma_1)-h(x,y,\sigma_2)|\, \sigma_1(dx\, dy) \\ &\qquad+ \biggl|\int_{X\times Y} h(x,y,\sigma_2)\, (\sigma_1-\sigma_2)(dx\, dy)\biggr| \leqslant 2L d_{\mathrm K}(\sigma_1,\sigma_2). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, используя те же самые дискретные

$\varepsilon$ -приближения маргиналов

$\mu$ и

$\nu$ , что и выше, получаем оценку

$|K_h(\mu,\nu)-K_h(\mu_n,\nu_n)|\leqslant 4\varepsilon L$ .

Этот же метод работает для некомпактных метрических пространств $X$ и $Y$ при условии, что имеются дискретные $\varepsilon$ -приближения маргиналов в метрике Канторовича–Рубинштейна $d_{\mathrm{KR}}$ и функция $h$ является $L$ -липшицевой и ограничена числом $L$ . Тогда заключительная оценка остается той же самой. Если $\sigma_n$ – оптимальный план для $(\mu_n,\nu_n)$ , то наша оценка обеспечивает план $\pi_n\in \Pi(\mu,\nu)$ с $d_{\mathrm{KR}}(\sigma_n, \pi_n)\leqslant 2\varepsilon$ . Этот план является $8L\varepsilon$ -приближенным для пары $(\mu,\nu)$ .

Благодарность

Благодарим рецензента за полезные замечания.



Список литературы

1.	K. A. Afonin, V. I. Bogachev, “Kantorovich type topologies on spaces of measures and convergence of barycenters”, Commun. Pure Appl. Anal., 22:2 (2023), 597–612
2.	J.-J. Alibert, G. Bouchitté, T. Champion, “A new class of costs for optimal transport planning”, European J. Appl. Math., 30:6 (2019), 1229–1263
3.	L. Ambrosio, E. Brué, D. Semola, Lectures on optimal transport, Unitext, 130, La Mat. per il 3+2, Springer, Cham, 2021, ix+250 pp.
4.	L. Ambrosio, N. Gigli, “A user's guide to optimal transport”, Modelling and optimisation of flows on networks, Lecture Notes in Math., 2062, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Heidelberg, 2013, 1–155
5.	L. Ambrosio, A. Pratelli, “Existence and stability results in the $L^1$ theory of optimal transportation”, Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), Lecture Notes in Math., 1813, Springer, Berlin, 2003, 123–160
6.	M. L. Avendaño-Garrido, J. R. Gabriel-Argüelles, L.-T. Quintana, J. González-Hernández, “An approximation scheme for the Kantorovich–Rubinstein problem on compact spaces”, J. Numer. Math., 26:2 (2018), 63–75
7.	J. Backhoff-Veraguas, M. Beiglböck, G. Pammer, “Existence, duality, and cyclical monotonicity for weak transport costs”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:6 (2019), 203, 28 pp.
8.	J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Applications of weak transport theory”, Bernoulli, 28:1 (2022), 370–394
9.	J. Bergin, “On the continuity of correspondences on sets of measures with restricted marginals”, Econom. Theory, 13:2 (1999), 471–481
10.	S. Bobkov, M. Ledoux, One-dimensional empirical measures, order statistics, and Kantorovich transport distances, Mem. Amer. Math. Soc., 261, no. 1259, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, v+126 pp.
11.	В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 1, 2, изд. 3-е, испр. и доп., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2021, 584 с., 688 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, Measure theory, т. I, II, Springer-Verlag, Berlin, 2007, xviii+500 pp., xiv+575 с.
12.	V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
13.	В. И. Богачев, “Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований”, УМН, 77:5(467) (2022), 3–52 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, “Kantorovich problem of optimal transportation of measures: new directions of research”, Russian Math. Surveys, 77:5 (2022), 769–817
14.	В. И. Богачев, “Задачи Канторовича с параметром и ограничениями на плотности”, Сиб. матем. журн., 63:1 (2022), 42–57 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, “Kantorovich problems with a parameter and density constraints”, Siberian Math. J., 63:1 (2022), 34–47
15.	В. И. Богачев, А. Н. Доледенок, И. И. Малофеев, “Задача Канторовича с параметром и ограничениями на плотность”, Матем. заметки, 110:6 (2021), 922–926 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Doledenok, I. I. Malofeev, “The Kantorovich problem with a parameter and density constraints”, Math. Notes, 110:6 (2021), 952–955
16.	В. И. Богачев, А. Н. Калинин, С. Н. Попова, “О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича”, Вероятность и статистика. 25, Посвящается памяти Владимира Николаевича Судакова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 457, ПОМИ, СПб., 2017, 53–73 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Kalinin, S. N. Popova, “On the equality of values in the Monge and Kantorovich problems”, J. Math. Sci. (N.Y.), 238:4 (2019), 377–389
17.	В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”, УМН, 67:5(407) (2012), 3–110 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Kolesnikov, “The Monge–Kantorovich problem: achievements, connections, and perspectives”, Russian Math. Surveys, 67:5 (2012), 785–890
18.	V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Kantorovich problems and conditional measures depending on a parameter”, J. Math. Anal. Appl., 486:1 (2020), 123883, 30 pp.
19.	В. И. Богачев, С. Н. Попова, “О задаче Канторовича с параметром”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 507 (2022), 26–28 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, S. N. Popova, “On Kantorovich problems with a parameter”, Dokl. Math., 106:3 (2022), 426–428
20.	В. И. Богачев, А. В. Резбаев, “Существование решений нелинейной задачи Канторовича оптимальной транспортировки”, Матем. заметки, 112:3 (2022), 360–370 ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Rezbaev, “Existence of solutions to the nonlinear Kantorovich transportation problem”, Math. Notes, 112:3 (2022), 369–377
21.	B. Bonnet, H. Frankowska, “Differential inclusions in Wasserstein spaces: the Cauchy–Lipschitz framework”, J. Differential Equations, 271 (2021), 594–637
22.	C. Clason, D. A. Lorenz, H. Mahler, B. Wirth, “Entropic regularization of continuous optimal transport problems”, J. Math. Anal. Appl., 494:1 (2021), 124432, 22 pp.
23.	J. Dedecker, C. Prieur, P. Raynaud De Fitte, “Parametrized Kantorovich–Rubinštein theorem and application to the coupling of random variables”, Dependence in probability and statistics, Lect. Notes Stat., 187, Springer, New York, 2006, 105–121
24.	L. De Pascale, J. Louet, F. Santambrogio, “The Monge problem with vanishing gradient penalization: vortices and asymptotic profile”, J. Math. Pures Appl. (9), 106:2 (2016), 237–279
25.	A. Figalli, F. Glaudo, An invitation to optimal transport, Wasserstein distances, and gradient flows, EMS Textbk. Math., EMS Press, Berlin, 2021, vi+136 pp.
26.	M. Ghossoub, D. Saunders, “On the continuity of the feasible set mapping in optimal transport”, Econ. Theory Bull., 9:1 (2021), 113–117
27.	N. Gozlan, C. Roberto, P.-M. Samson, P. Tetali, “Kantorovich duality for general transport costs and applications”, J. Funct. Anal., 273:11 (2017), 3327–3405
28.	S. Graf, H. Luschgy, Foundations of quantization for probability distributions, Lecture Notes in Math., 1730, Springer-Verlag, Berlin, 2000, x+230 pp.
29.	M. Katětov, “On real-valued functions in topological spaces”, Fund. Math., 38 (1951), 85–91 ; “Correction”, 40 (1953), 203–205
30.	S. Kuksin, V. Nersesyan, A. Shirikyan, “Exponential mixing for a class of dissipative PDEs with bounded degenerate noise”, Geom. Funct. Anal., 30:1 (2020), 126–187
31.	D. A. Lorenz, P. Manns, C. Meyer, “Quadratically regularized optimal transport”, Appl. Math. Optim., 83:3 (2021), 1919–1949
32.	И. И. Малофеев, “Измеримая зависимость условных мер от параметра”, Докл. РАН, 470:1 (2016), 13–17 ; англ. пер.: I. I. Malofeev, “Measurable dependence of conditional measures on a parameter”, Dokl. Math., 94:2 (2016), 493–497
33.	E. Michael, “Continuous selections. I”, Ann. of Math. (2), 63:2 (1956), 361–382
34.	E. Michael, “A selection theorem”, Proc. Amer. Math. Soc., 17 (1966), 1404–1406
35.	A. Pratelli, “On the equality between Monge's infimum and Kantorovich's minimum in optimal mass transportation”, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 43:1 (2007), 1–13
36.	S. T. Rachev, L. Rüschendorf, Mass transportation problems, v. I, Probab. Appl. (N.Y.), Theory, Springer-Verlag, New York, 1998, xxvi+508 pp. ; v. II, Applications, xxvi+430 pp.
37.	D. Ramachandran, L. Rüschendorf, “A general duality theorem for marginal problems”, Probab. Theory Related Fields, 101:3 (1995), 311–319
38.	D. Repovš, P. V. Semenov, Continuous selections of multivalued mappings, Math. Appl., 455, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, viii+356 pp.
39.	F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 87, Birkhäuser/Springer, Cham, 2015, xxvii+353 pp.
40.	A. Savchenko, M. Zarichnyi, “Correspondences of probability measures with restricted marginals”, Proc. Intern. Geom. Center, 7:4 (2014), 34–39
41.	A. M. Vershik, P. B. Zatitskiy, F. V. Petrov, “Geometry and dynamics of admissible metrics in measure spaces”, Cent. Eur. J. Math., 11:3 (2013), 379–400
42.	C. Villani, Topics in optimal transportation, Grad. Stud. Math., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xvi+370 pp.
43.	C. Villani, Optimal transport. Old and new, Grundlehren Math. Wiss., 338, Springer, New York, 2009, xxii+973 pp.
44.	D. Vögler, “Geometry of Kantorovich polytopes and support of optimizers for repulsive multi-marginal optimal transport on finite state spaces”, J. Math. Anal. Appl., 502:1 (2021), 125147, 31 pp.
45.	Feng-Yu Wang, Jie-Xiang Zhu, “Limit theorems in Wasserstein distance for empirical measures of diffusion processes on Riemannian manifolds”, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 59:1 (2023), 437–475
46.	Xicheng Zhang, “Stochastic Monge–Kantorovich problem and its duality”, Stochastics, 85:1 (2013), 71–84

Образец цитирования: В. И. Богачев, С. Н. Попова, “Расстояния Хаусдорфа между каплингами и оптимальная транспортировка с параметром”, Матем. сб., 215:1 (2024), 33–58; V. I. Bogachev, S. N. Popova, “Hausdorff distances between couplings and optimal transportation”, Sb. Math., 215:1 (2024), 28–51

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BogPop24}

\by В.~И.~Богачев, С.~Н.~Попова

\paper Расстояния Хаусдорфа между каплингами и оптимальная транспортировка с параметром

\jour Матем. сб.

\yr 2024

\vol 215

\issue 1

\pages 33--58

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9920}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9920}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4741221}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1543.49037}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024SbMat.215...28B}

\transl

\by V.~I.~Bogachev, S.~N.~Popova

\paper Hausdorff distances between couplings and optimal transportation

\jour Sb. Math.

\yr 2024

\vol 215

\issue 1

\pages 28--51

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9920e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001224793300002}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85193420317}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9920

https://doi.org/10.4213/sm9920

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v215/i1/p33

Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:

Светлана Попова, “Непрерывная выборка приближенных решений Монжа в задаче Канторовича с параметром”, Функц. анализ и его прил., 58:2 (2024), 137–156 ; Svetlana Popova, “Continuous selection of approximate Monge solutions in the Kantorovich problem with a parameter”, Funct. Anal. Appl., 58:2 (2024), 212–227
С. Н. Попова, “О нелинейных задачах Канторовича для функций стоимости специального вида”, Алгебра и анализ, 36:4 (2024), 165–194
А. Г. Ченцов, Д. А. Серков, “Непрерывная зависимость множеств в пространстве мер и задача на программный минимакс”, Тр. ИММ УрО РАН, 30, № 2, 2024, 277–299 ; A. G. Chentsov, D. A. Serkov, “Continuous dependence of sets in a space of measures and a program minimax problem”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 325, suppl. 1 (2024), S76–S98

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	638
PDF русской версии:	27
PDF английской версии:	102
HTML русской версии:	78
HTML английской версии:	208
Список литературы:	62
Первая страница:	20

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы