| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Гомологии транзитивных орграфов и дискретных пространств Ю. В. Мурановa, Р. Хименесb a University of Warmia and Mazury in Olsztyn, Olsztyn, Poland b Institute of Mathematics, National Autonomous University of Mexico, Oaxaca, Mexico
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9842e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ последнее время стала актуальной задача переноса результатов дифференциальной геометрии и топологии на дискретные объекты и, в частности, на категорию орграфов. Это связано с задачами некоммутативной геометрии и развитием дискретных методов в задачах математической физики, см. [1]–[3]. Одним из основных инструментов исследования является теория дифференциальных форм на алгебре функций, заданных на дискретных множествах. Соответствующая теория когомологий на категории орграфов была построена в работе [4]. Когомологии орграфов тесно связаны с когомологиями симплициальных комплексов и когомологиями Хохшильда, см. [5]–[7]. В работе [5] построен функтор, сопоставляющий локально конечному симплексу S ассоциативную алгебру A(S) с единицей, и доказано, что этот функтор индуцирует сохраняющий умножение изоморфизм между симплициальными когомологиями S и когомологиями Хохшильда алгебры A(S). Использование когомологий орграфов дает, в частности, новое доказательство изоморфизма между когомологиями симплициального комплекса S и когомологиями Хохшильда алгебры A(S), см. [7]. В дальнейшем (см. [8], [9]) была построена теория гомологий путей на произвольных дискретных множествах, которая на категории орграфов является двойственной теории когомологий, построенной в работе [4]. Гомологии путей обладают многими свойствами, аналогичными классическим теориям гомологий, включая функториальность и гомотопическую инвариантность (см. [10], [11]), однако эта теория не имеет аналогов в классической алгебраической топологии. На категории орграфов определена также гомотопически инвариантная и функториальная теория сингулярных кубических гомологий, которая аналогична сингулярной кубической теории гомологий топологических пространств (см. [12]). Сингулярные кубические гомологии строятся на основе орграфов-кубов, являющихся аналогом топологических кубов. На категории орграфов сингулярные кубические гомологии в общем случае не изоморфны гомологиям путей. Пример такого орграфа и вычисление его гомологий даны в [12; предложения 12, 13]. Несмотря на то, что гомологии путей не имеют прямых аналогов в непрерывной алгебраической топологии, они тесно связаны с гомологиями Александрова дискретных топологических пространств, см. [13], [14]. Дискретные топологические пространства, определенные П. Александровым в работе [14], имеют естественную структуру частично упорядоченного множества на множестве своих элементов, см. [15; § 4.2, § 6.2]. Поскольку частично упорядоченные множества естественно отождествляются с транзитивными орграфами, см. [16], [17], мы получаем эквивалентность между дискретными топологическими пространствами и транзитивными орграфами. В силу этой эквивалентности теория гомологий Александрова дискретных топологических пространств переносится на транзитивные орграфы. Более того, как показано в работе [13], на категории транзитивных орграфов гомологии путей совпадают с гомологиями Александрова. Отметим также, что гомологии Александрова дискретного пространства X реализуются как симплициальные гомологии функториально определяемого пространством X симплициального комплекса (см. [18]). В дальнейшем алгебраическая топология на дискретных пространствах развивалась в работах многих авторов (см., например, [19]–[21]). В настоящей работе доказано, что сингулярные кубические гомологии на категории транзитивных орграфов совпадают с гомологиями путей (и, следовательно, с гомологиями Александрова). В работе также построены новые теории сингулярных кубических гомологий на категории орграфов и на категории дискретных пространств следующим образом. Каждый орграф-куб можно однозначно дополнить до транзитивного орграфа, имеющего натуральную кубическую структуру. Таким образом, мы получаем новую сингулярную теорию гомологий орграфов на базе таких транзитивных орграфов-кубов. Из определения пополненного куба следует, что полученные сингулярные гомологии на транзитивных орграфах совпадают с определенными ранее сингулярными гомологиями. Однако в общем случае эти сингулярные группы гомологий различны, как следует из приведенного в работе примера. Используя эквивалентность между транзитивными орграфами и дискретными топологическими пространствами, мы получаем определение дискретного топологического пространства, представляющего n-мерный куб в категории дискретных топологических пространств. Отсюда следует естественное определение сингулярных кубических гомологий в категории дискретных топологических пространств на базе кубов, являющихся дискретными пространствами. Мы используем обозначения работы [12]. Необходимые сведения о симплициальных комплексах и их гомологиях можно найти в работах [22]–[24]. § 2. Дискретные пространства, частично упорядоченные множества и орграфыВ этом параграфе мы напомним основные определения, используемые в работе (см. [14]–[17]). Определение 1. Дискретным топологическим пространством называется топологическое пространство с аксиомой отделимости T0, т.е. для любых двух различных точек x,y∈X по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку, в котором пересечение любого числа открытых множеств открыто. Определение 2. Множество X называется частично упорядоченным, если на множестве его элементов задано отношение порядка x<y, которое транзитивно (x<y и y<z влечет x<z), асимметрично (отношения x<y и y<x несовместимы) и антирефлексивно (отношение x<x несовместимо). Частично упорядоченное множество является локально конечным, если для каждого элемента x∈X число элементов каждого из множеств {y∈X∣x<y} и {y∈X∣y<x} конечно. Напомним, как устанавливается эквивалентность между дискретными пространствами и частично упорядоченными множествами (см. [14; § 3.2]). Для двух разных точек x,y дискретного пространства X положим x<y тогда и только тогда, когда точка x лежит в замыкании множества, состоящего из точки y. Обратно, частично упорядоченное множество X задает дискретное пространство следующим образом. Для любой точки y∈X определим замыкание ¯{y} множества {y}, полагая Замыкание произвольного непустого подмножества M⊂X определяется как объединение замыканий всех его точек, а замыкание пустого множества является пустым множеством. Отметим, что из определения 1 следует, что в дискретном топологическом пространстве объединение любого числа замкнутых множеств является замкнутым.В настоящей работе мы рассматриваем только локально конечные частично упорядоченные множества и соответствующие им локально конечные дискретные пространства. Определение 3. Орграф G=(VG,EG) задается множеством VG, элементы которого называются вершинами, и некоторым подмножеством EG⊂{VG×VG} упорядоченных пар (x,y)=x→y различных вершин, которые называются ориентированными ребрами Орграф G=(VG,EG) называется транзитивным, если из условия ((x→y)∈EG)&((y→z)∈EG) следует, что (x→z)∈EG. Орграф называется локально конечным, если для каждой вершины x∈VG число элементов каждого из множеств {y∈VG∣(x→y)∈EG} и {y∈VG∣(y→x)∈EG} конечно. Каждое частично упорядоченное множество (X,<) можно рассматривать как транзитивный орграф G=(VG,EG), в котором множество вершин VG совпадает с множеством X и (x→y)∈EG, если x<y. Обратно, каждый транзитивный орграф G=(VG,EG) можно рассматривать как частично упорядоченное множество (VG,<), где x<y, если (x→y)∈EG. Это соответствие и определенная выше эквивалентность между дискретными пространствами и частично упорядоченными множествами (см. [14; § 3.2]) задает эквивалентность между локально конечными дискретными пространствами и локально конечными транзитивными орграфами. В настоящей работе мы будем использовать терминологию орграфов во всех случаях, где переход к дискретным пространствам или частично упорядоченным множествам следует непосредственно из результатов этого параграфа. § 3. Сингулярные гомологии и гомологии путей орграфовВ этом параграфе мы напомним определение сингулярных кубических гомологий и гомологий путей орграфов (см. [8]–[12]). Определение 4. Для двух орграфов G, H их прямое произведение Π=G□H является орграфом с множеством вершин VΠ=VG×VH и множеством ориентированных ребер, заданных условием [(x,y)→(x′,y′)]∈EΠ тогда и только тогда, когда x=x′ и y→y′ или x→x′ и y=y′. Обозначим через I0 орграф, состоящий из одной вершины 0. Рассмотрим орграф I=(0→1) и для n⩾ определим n-мерный графический куб I^n =\underbrace{I\Box \dots \Box I}_{n}. Отметим, что для n\geqslant 1 каждая вершина куба I^n задается последовательностью длины n, состоящей из нулей и единиц. Ориентированное ребро a\to b в таком кубе существует только в случае, когда вершина b получается из вершины a заменой “0” на “1” ровно в одной позиции. Для произвольного орграфа G на основе кубов I^n в работе [12] определены сингулярные кубические группы гомологий H_*^{\mathrm{c}}(G,R) с коэффициентами в унитарном кольце R. Напомним определение отображения в категории орграфов. Определение 5. Пусть G и H – два орграфа. Отображение орграфов f\colon G\to H задается отображением вершин f\colon V_{G}\to V_{H}, для которого условие (v\to w)\in E_G влечет, что f(v)=f(w) либо (f(v)\to f(w))\in E_H. Для n\geqslant 0 сингулярным n-мерным кубом в орграфе G называется произвольное отображение \phi\colon I^n\to G. Определим следующие R-модули. Положим Q_{-1}=0 и для n\geqslant 0 Q_n=Q_n(G) – свободный R-модуль с образующими, заданными сингулярными n-мерными кубами в орграфе G. Для сингулярного n-куба \phi обозначим через \phi^{\Box} задаваемую им образующую модуля Q_n. Зададим вложения F_{1\varepsilon}^{0}(0)\colon I^0\to I^1 на вершинах формулой F_{1\varepsilon}^{0}(0)=( \varepsilon ). Для n\geqslant 2, 1\leqslant j\leqslant n и \varepsilon =0,1 зададим вложения F_{j\varepsilon}^{n-1}\colon I^{n-1}\to I^{n} формулой
\begin{equation}
F_{j\varepsilon}^{n-1}(c_{1},\dots ,c_{n-1})=(c_{1},\dots ,c_{j-1},\varepsilon ,c_{j},\dots ,c_{n-1}).
\end{equation}
\tag{3.1}
В дальнейшем мы пишем F_{j\varepsilon} вместо F_{j\varepsilon }^{n-1}, если размерность ясна из контекста. Обозначим через I_{j\varepsilon}=I_{j\varepsilon}^{n-1} (n-1)-мерную грань, являющуюся образом морфизма F_{j\varepsilon}^{n-1}. Для любого сингулярного n-куба \phi\colon I^n\to G, n\geqslant 1, 1\leqslant j\leqslant n, определены сингулярные кубы \phi_{j\varepsilon}, 1\leqslant j\leqslant n, \varepsilon =0,1, размерности n-1 следующим образом:
\begin{equation}
\phi_{j\varepsilon}=\phi_{j\varepsilon}^{n-1}=( \phi \circ F_{j\varepsilon})\colon I^{n-1}\to G.
\end{equation}
\tag{3.2}
Пусть \partial^{\mathrm{c}}=0\colon Q_0\to Q_{-1}. Для n\geqslant 1 гомоморфизм \partial^{\mathrm{c}}\colon Q_{n}\to Q_{n-1} определим на базисных элементах \phi^{\Box} равенством
\begin{equation}
\partial^{\mathrm{c}}(\phi^{\Box})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}( \phi_{j0}^{\Box }-\phi_{j1}^{\Box}).
\end{equation}
\tag{3.3}
Пусть T^j\colon I^n\to I^{n-1}, n\geqslant 1, 1\leqslant j \leqslant n, обозначает стандартную проекцию на j-ю грань. Сингулярный n-куб \phi\colon I^n\to G, n\geqslant 1, называется вырожденным, если существуют (n-1)-мерный сингулярный куб \psi\colon I^{n-1}\to G и проекция T^j\colon I^n\to I^{n-1} такие, что \phi=\psi \circ T^j. Мы получаем подкомплекс B_*(G)\subset Q_*(G), порожденный вырожденными сингулярными кубами, и фактор комплекс \Omega_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)= Q_{\ast}(G)/B_{\ast}(G). Группа гомологий H_{k}(\Omega_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)) называется сингулярной кубической группой гомологий размерности k орграфа G и обозначается H_{k}^{\mathrm{c}}(G)= H_{k}^{\mathrm{c}}(G,R) . Добавлением ориентированных ребер орграф I^n может быть дополнен до транзитивного кубического орграфа, который мы обозначим \widehat I^n. Вложение орграфов F_{j\varepsilon}^{n-1}\colon I^{n-1}\to I^{n}, определенное для 1\leqslant j\leqslant n и \varepsilon =0,1, продолжается до вложения
\begin{equation*}
\widehat F_{j\varepsilon}^{n-1}\colon \widehat I^{n-1}\to \widehat I^{n}.
\end{equation*}
\notag
Для орграфа G и n\geqslant 0 обозначим через \widehat Q_{n}=\widehat Q_{n}(G) свободный R-модуль, порожденный всеми морфизмами \widehat I^n\to G, которые мы будем называть сингулярными транзитивными n-кубами. Пусть \widehat{\phi}^{\,\Box} – образующая модуля \widehat Q_{n}, заданная морфизмом \widehat{\phi}. Положим \widehat Q_{-1}=0. Гомоморфизм \widehat {\partial}^{\mathrm{c}}\colon \widehat Q_{n}\to \widehat Q_{n-1} определяется на базисных элементах \widehat{\phi}^{\,\Box} модуля \widehat Q_n с использованием вложения граней \widehat F_{j\varepsilon} стандартным образом, см. [23]. Таким образом, определен цепной комплекс \widehat Q_{\ast}(G). Для n\geqslant 1 проекция T^j\colon I^n\to I^{n-1} на j-ю грань продолжается до отображения \widehat T^j\colon \widehat I^n\to \widehat I^{n-1}. Теперь понятие вырожденного транзитивного n-куба определяется аналогично работе [23], и мы получаем подкомплекс \widehat B_*(G)\subset \widehat Q_*(G), порожденный вырожденными транзитивными кубами, и фактор комплекс \widehat{\Omega}_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)=\widehat Q_{\ast }(G)/\widehat B_{\ast}(G). Группа гомологий H_{k}(\widehat{\Omega}_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)) называется сингулярной транзитивной кубической группой гомологий размерности k орграфа G и обозначается \widehat H_{k}^{\mathrm{c}}(G)=\widehat H_{k}^{\mathrm{c}}(G,R) . Предложение 1. Пусть G – транзитивный орграф. Тогда группы гомологий \widehat H_{*}^{\mathrm{c}}(G) и H_{*}^{\mathrm{c}}(G) естественно изоморфны для любого кольца коэффициентов. Доказательство. Операции проекции на грань и вложения грани согласованы для транзитивного куба \widehat I^n и его подграфа I^n. Для произвольного транзитивного орграфа G имеет место взаимно однозначное соответствие между сингулярными кубами \varphi\colon I^n\to G и транзитивными сингулярными кубами. Это соответствие естественно по отношению к морфизмам транзитивных орграфов. Предложение доказано. В следующем примере мы используем понятие гомотопии в категории орграфов, см. [10], [11]. Для n\geqslant 0 определим линейный орграф I_{n}=(V_{I_n}, G_{I_n}) следующим образом. Положим V_{I_n}=\{0,1,\dots ,n\}, и пусть для каждого i=0,1,\dots n-1 существует ровно одно ориентированное ребро i\to i+1 или i+1\to i. Тогда, в частности, I – линейный орграф 0\to 1. Два отображения орграфов f,g\colon G\to H называются гомотопными, если существуют линейный орграф I_{n} и такое отображение F\colon G\,{\Box}\, I_{n}\to H, что F|_{G\Box \{0\}}=f и F|_{G\Box \{n\}}=g, где G\,{\Box}\, \{ i\} отождествляется с G. В этом случае мы пишем f\simeq g, а отображение F называется гомотопией между f и g . Орграф называется стягиваемым, если он гомотопически эквивалентен орграфу, состоящему из одной вершины. Приведем пример орграфа G, для которого группы гомологий \widehat{H}^{\mathrm{c}}_*(G) и {H}^{\mathrm{c}}_*(G) различны. Примеры 1. Пусть R=\mathbb Z. Рассмотрим орграф G\cong I^2, имеющий вид В этом случае согласно [10; пример 3.12] орграф G стягиваем и {H}^{\mathrm{c}}_0(G)=\mathbb Z, а остальные группы гомологий {H}^{\mathrm{c}}_i(G) тривиальны. Вычислим группу \widehat{H}^{\mathrm{c}}_1(G). Пусть \psi_i, i=0,1,2,3, обозначает сингулярный невырожденный нульмерный куб \psi_i(0)=i\in V_G, 0\in V_{\widehat{I}^0}. Тогда
\begin{equation*}
\widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_0(G)=\langle \psi_0^{\Box}, \psi_1^{\Box},\psi_2^{\Box},\psi_3^{\Box}\rangle.
\end{equation*}
\notag
Существуют только четыре невырожденных отображения \phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4 орграфа \widehat{I}^1=I^1=(0\to 1) в орграф G. Они задаются на множестве вершин следующим образом: \phi_1(0)=0, \phi_1(1)=1; \phi_2(0)=0, \phi_2(1)=2; \phi_3(0)=1, \phi_3(1)=3; \phi_4(0)=2, \phi_4(1)=3. Следовательно, \widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_1(G)=\langle \phi_1^{\Box}, \phi_2^{\Box},\phi_3^{\Box},\phi_4^{\Box}\rangle. Пусть a=\phi_1^{\Box}-\phi_2^{\Box}+ \phi_3^{\Box}-\phi_4^{\Box}. Мы получаем
\begin{equation*}
\partial^1(a)=(\psi_1^{\Box}- \psi_0^{\Box}) -(\psi_2^{\Box}-\psi_0^{\Box}) + (\psi_3^{\Box}-\psi_1^{\Box}) -(\psi_3^{\Box}-\psi_2^{\Box})=0.
\end{equation*}
\notag
Легко убедиться, что ядро \operatorname{Ker}[ \partial^1 \colon \widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_1(G)\to \widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_0(G)] порождено элементом a, т.е. \operatorname{Ker} \partial^1=\mathbb Z. Рассмотрим транзитивный орграф квадрат \widehat{I}^2, представленный ниже: Если ограничение \gamma\colon \widehat{I}^2\to G на ориентированное ребро (00\to 11) является вырожденным отображением, то отображение \gamma вырождено. В противном случае, выполняется только одно из следующих условий:1) \gamma(00\to 01)= \gamma(00\to 10)=\gamma(00\to 11), \gamma(01\to 11)= \gamma(10\to 11)=\gamma(11); 2) \gamma(10\to 11)= \gamma(01\to 11)=\gamma(00\to 11), \gamma(00\to 01)= \gamma(00\to 10)=\gamma(11). Теперь из определения дифференциала следует, что \partial^2=0. Следовательно, \widehat{H}_1^{\mathrm{c}}(G, \mathbb Z)=\mathbb Z. Отметим, что из полученного результата следует, что группы \widehat{H}_*^{\mathrm{c}} не являются гомотопически инвариантными. Напомним определение гомологий путей орграфа с коэффициентами в коммутативном кольце R с единицей (см. [8], [11]). Регулярным путем на множестве V называется произвольная конечная последовательность i_0,i_1, \dots , i_n элементов V, где i_k\ne i_{k+1}. Для орграфа G=(V,E) и n\geqslant 0 рассмотрим модуль \mathcal R_n=\mathcal R_n(V), порожденный элементами e_p=e_{i_0\dots i_n}, где p=(i_0,\dots , i_n) – регулярный путь на V. Пусть \mathcal R_{-1}=0. Тогда граничный гомоморфизм \partial\colon \mathcal R_{p}\to \mathcal R_{p-1} определен равенством
\begin{equation*}
\partial e_{i_{0}\dots i_{p}}=\sum_{q=0}^{p}( -1) ^{q}e_{i_{0}\dots \widehat{i_{q}}\dots i_{p}}
\end{equation*}
\notag
для p\geqslant 1, и \partial\colon \mathcal R_0\to \mathcal R_{-1} – нулевое отображение. Тогда \partial^{2}=0, и, следовательно, \mathcal R_{\ast} является цепным комплексом. Рассмотрим подмодули \mathcal{A}_{p}=\mathcal{A}_{p}(G)\subset \mathcal{R}_{p}, порожденные элементами e_{i_0\dots i_p}, в которых путь i_0,\dots i_n является допустимым, т.е. i_j\to i_{j+1} для 0\leqslant j\leqslant p-1. Положим \mathcal{A}_{-1}=0. Тогда модули
\begin{equation*}
\Omega_{p}=\Omega_{p}( G) =\{ v\in \mathcal{A} _{p}\colon \partial v\in \mathcal{A}_{p-1}\}
\end{equation*}
\notag
с индуцированным дифференциалом задают цепной комплекс \Omega_*, гомологии которого называются гомологиями путей орграфа G и обозначаются H_*(G)=H_*(G,R)=H_*(\Omega_*). Пусть X – конечное дискретное T_0-пространство и, следовательно, строго частично упорядоченное множество. Определим симплициальный комплекс K(X), вершинами которого являются точки X, а симплексами – полностью упорядоченные подмножества точек из X, см. [14]. Определим орграф G(X), вершинами которого являются точки X, и для двух вершин x,y орграфа существует ориентированное ребро x\to y тогда и только тогда, когда x< y (см. [15], [16]). Заметим, что таким образом мы получаем транзитивный орграф без циклов. Следующий результат является переформулировкой результата Александрова из [14]. Теорема 1. Имеет место изоморфизм между симплициальными гомологиями комплекса K(X) и гомологиями путей орграфа G(X). Аналогичным образом для конечного транзитивного орграфа G без циклов определим симплициальный комплекс K(G), вершинами которого являются вершины орграфа G, а p-симплексами – регулярные допустимые ориентированные пути длины p орграфа. Следствие 1. Пусть G – конечный транзитивный орграф. Имеет место изоморфизм между симплициальными гомологиями комплекса K(G) и гомологиями путей орграфа G. § 4. Изоморфизм групп гомологий транзитивных орграфовВ этом параграфе мы будем рассматривать конечные транзитивные ациклические орграфы. Заметим, что для орграфа G группы \Omega_n^{\mathrm{c}}(G) и \Omega_n(G) конечно порождены для всех n\geqslant 0. Сингулярный куб \phi\colon I^n\to G задает образующую, которую мы обозначим \phi^{\Box}, группы \Omega_{n}^{\mathrm{c}}(G). Комплексы \Omega_{*}^{\mathrm{c}}(G) и \Omega_{*}(G) снабжены естественными аугментациями \epsilon^{\mathrm{c}}\colon\Omega_{0}^{\mathrm{c}}(G)\to \mathbb Z и \epsilon\colon\Omega_{0}(G)\to \mathbb Z, где
\begin{equation*}
\epsilon^{\mathrm{c}}\Bigl(\sum k_i \phi_i\Bigr)=\sum k_i, \quad \epsilon\Bigl(\sum k_i p_i\Bigr)=\sum k_i, \qquad k_i\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
Определим цепное отображение следующим образом. Для сингулярного нульмерного куба \phi\colon I^0=0\to i\in V_G мы положим \tau_0(\phi^{\Box})=e_i\in \Omega_0(G). Таким образом, мы получаем сохраняющее аугментацию отображение в (4.1) в размерности нуль.Для n\geqslant 1 вершины орграфа I^n занумерованы последовательностями длины n, состоящими из нулей и единиц. Ориентированное ребро i\to j для двух вершин существует тогда и только тогда, когда вершина j получается из i заменой нуля на единицу ровно в одном месте. Будем называть вершину (0,\dots, 0) куба начальной, а вершину (1, \dots, 1) – конечной. Запишем ориентированный путь p из начальной вершины в конечную в следующем виде: где для 1\leqslant j\leqslant n вершина i_{j} получается из i_{j-1} изменением координаты \pi(j), 1\leqslant \pi(j)\leqslant n, с “0” на “1”. Обозначим через \sigma(p) знак перестановки
\begin{equation*}
\pi(p)=\begin{pmatrix} 1& 2& \dots & n\\ \pi(1)&\pi(2)&\dots &\pi(n) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим элемент где сумма берется по всем путям в кубе, идущим из начальной вершины в конечную. Элемент \omega_n является образующим модуля \Omega_n(I^n), см. [12]. В кубе I^n, n\geqslant 1, рассмотрим путь
\begin{equation}
p_{\#}=p_{\#}^n= ((0\dots 0)\to (10\dots 0)\to (110\dots 0)\cdots \to \cdots (1\dots1))
\end{equation}
\tag{4.4}
длины n из начальной вершины куба в конечную. Отметим, что \sigma(p_{\#})=+1. Для любого n-мерного сингулярного куба \phi\colon I^n\to G определен морфизм цепных комплексов
\begin{equation}
\tau_{\ast}\colon \Omega_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)\to \Omega_{\ast}(G), \qquad \tau_{n}(\phi^{\Box}):=\phi_{\ast}(\omega_n),
\end{equation}
\tag{4.5}
где \phi_*\colon \Omega_{\ast}(I^n)\to \Omega_{\ast}(G) – индуцированный \phi морфизм цепных комплексов (см. [12]). Для n\geqslant 0 определим n-мерный орграф-симплекс \Delta_n с множеством вершин V_{\Delta_n}=\{0,\dots , n\} и множеством направленных ребер E_{\Delta_n}=\{i\to j\mid i, j\in V_{\Delta^n}: i<j\}. В этом орграфе естественным образом задан тотальный порядок на множестве вершин и существует единственный допустимый регулярный путь длины n, а именно путь p_{\Delta}= p_{\Delta}^n=(0\to 1\to \dots \to n). Имеют место естественные вложение граней
\begin{equation*}
\sigma^i_{n-1}=\lambda_{n-1}^{01\dots\widehat{i}\dots n}\colon \Delta_{n-1}\to \Delta_{n}, \qquad \lambda_{n-1}^{01\dots\widehat{i}\dots n}(k)= \begin{cases} k & \text{для} \ k< i, \\ k+1 & \text{для} \ k\geqslant i. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
В частности, морфизм \sigma^n_{n-1}=\lambda_{n-1}^{01\dots (n-1)} переводит вершины орграфа \Delta_{n-1} в вершины орграфа \Delta_{n}, заданные теми же числами. Для n\geqslant 0 определим индуктивно морфизм орграфов \pi^n\colon I^n\to \Delta_n следующим образом. Пусть \pi^0\colon (0)\to (0) и \pi^1\colon (0\to 1)\to (0\to 1) – естественные изоморфизмы. Предположим, что морфизм \pi^k\colon I^k\to \Delta_k уже определен для 1\leqslant k<n. Рассмотрим вложение F_{n0}\colon I^{n-1}\to I^n в (3.1), которое задает изоморфизм между орграфом I^{n-1} и гранью куба I_{n0}^{n-1}\subset I^n, заданной условием, что на последнем n-м месте стоит нуль. Определим теперь морфизм \pi^n\colon I^n\to \Delta_n на множестве вершин, полагая
\begin{equation}
\pi^n(w)= \begin{cases} \sigma^n_{n-1} \pi^{n-1}F_{n0}^{-1}(w),&w\in V_{I_{n0}^{n-1}}, \\ n,& w\notin V_{I_{n0}^{n-1}}, \end{cases}=\begin{cases} \sigma^n_{n-1}\pi^{n-1}(v), & w=(v0)\in V_{I^n}, \\ n, & w=(v1)\in V_{I^n}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.6}
где v\in V_{I^{n-1}} и n\in V_{\Delta_n} – максимальная вершина \Delta_n. Вершины n-мерного куба I^n заданы последовательностями длины n из нулей и единиц при n\geqslant 1, а куб I^0 состоит из одной вершины 0. Отображение \pi^n в (4.6) в этих координатах строится индуктивно по отображению \pi^{n-1} следующим образом. На вершине (v0) куба I^{n}, которая получена из вершины (v) куба I^{n-1} добавлением нуля на последней позиции, мы имеем \pi^n(v0)=\sigma^n_{n-1}\pi^{n-1}(v), а на каждой вершине (v1) куба I^{n}, которая получена из вершины (v) куба I^{n-1} добавлением единицы на последней позиции, мы имеем \pi^n(v1)=n. Таким образом, отображение \pi^n продолжено с грани I^{n-1}_{n0}, отождествляемой с I^{n-1}, на весь куб I^{n}. Лемма 1. i) Сингулярный куб \pi^n\colon I^n\to \Delta_{n} невырожден для n\geqslant 0. ii) Пусть v\in V_{I^n} – вершина орграфа I^n, n\geqslant 1. Тогда \pi^n(v)=0\in V_{\Delta_n} для v=(0\dots 0)\in V_{I^n}. Для 1\leqslant k\leqslant n и вершины v, которая имеет вид
\begin{equation*}
v=(\,\underbrace{c_{1}c_{2}\dots c_{k-1}}_{k-1}\underbrace{1}_{k}\underbrace{0\dots 0}_{n-k}\,), \qquad c_i\in \{0,1\},
\end{equation*}
\notag
мы имеем \pi^n(v)=k\in V_{\Delta_n}. Доказательство. Первое утверждение легко доказывается индукцией по n от противного. Второе утверждение следует непосредственно из определения \pi^n. Лемма доказана. Предложение 2. Морфизм \pi^n\colon I^n\,{\to}\, \Delta_n отображает путь p_{\#} на путь p_{\Delta} взаимно однозначно. Любой другой допустимый регулярный путь длины n в кубе I^n переходит в нерегулярный путь. То есть для любого регулярного пути длины n, отличного от пути p_{\#}, найдутся две последовательные вершины i_{j}, i_{j+1}, для которых \pi^n(i_j)=\pi^n(i_{j+1}). Доказательство. Из определения пути p_{\#}^n, морфизма \pi^n и леммы 1 следует, что Первое утверждение доказано.
По индукции докажем, что любой другой допустимый регулярный путь длины n отображается в нерегулярный путь. Для n=0,1 не существует других допустимых регулярных путей из начальной вершины I^n в конечную вершину кроме p_{\#}^n. Для n=2 существует только один такой путь p_2=(00\to 01\to 11), который переходит в нерегулярный путь \pi^2(p_2)=(0\to 2\to 2). Пусть n\geqslant 3. Предположим, что мы доказали утверждение для всех k < n. Рассмотрим допустимый регулярный путь p длины n в I^n, идущий из начальной вершины в конечную, такой, что p\ne p_{\#}^n. Запишем его в виде (4.2) p=(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1}\to i_n). Возможны два случая. В первом случае путь (i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1}) длины n-1 лежит в грани I_{n0}^{n-1}, задаваемой условием, что последняя координата всех вершин этого пути есть нуль. В этом случае ровно одна последняя вершина i_n=(1\dots 1) пути p не лежит в I_{n0}^{n-1} и последнее ребро имеет вид
\begin{equation*}
(i_{n-1}\to i_n)=((\underbrace{1\dots 1}_{n-1}0)\to (\underbrace{1\dots 1}_{n-1}1)).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, путь (i_0\to i_1\to \dots \to i_{n-1}) не совпадает с путем p_{\#}^{n-1} и по предположению индукции путь \pi^{n-1}(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1}) является нерегулярным. Следовательно, путь \pi^{n}(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1}\to i_n) также является нерегулярным в этом случае.
Во втором случае существует такое m\geqslant 1, что вершины i_{n-m}, i_{n-m+1}, \dots, i_n не лежат в грани I_{10}^{n-1}, а предыдущие вершины i_0,\dots ,i_{n-m-1} лежат в I_{10}^{n-1}. По определению
\begin{equation*}
p_{\#}^{n}(i_{n-m})= p_{\#}^{n}(i_{n-m+1})= \dots =p_{\#}^{n}(i_n)=n.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, \pi^{n}(i_0\to \dots\to i_n) является нерегулярным во втором случае. Предложение доказано. Пусть G – транзитивный орграф без циклов. Любой допустимый регулярный путь p=(i_0\to \dots \to i_n) в G задает индуцированный подграф \Delta_n^p=\Delta_n^{i_0\dots i_n}\subset G с вершинами i_0, \dots i_n\in V_{\Delta^p_n}\subset V_G, который изоморфен \Delta_n посредством изоморфизма \lambda_n^p= \lambda^{i_0\dots i_n}_n\colon \Delta_n\to \Delta_n^p, заданного на множестве вершин формулой \lambda_n(j)=i_j для 0\leqslant j \leqslant n, j\in V_{\Delta_n}. Для n\geqslant 0 зададим гомоморфизм \theta_n\colon \Omega_n(G)\to \Omega_n^{\mathrm{c}}(G) следующим образом. Для n=0 мы положим
\begin{equation*}
\theta_0(e_i)=[\lambda^i\pi^0]^{\Box}, \quad \text{где }\ \lambda^i\pi^0\colon I^0=0\to i\in V_G.
\end{equation*}
\notag
Для n\geqslant 1 на базисном элементе e_p=e_{i_0\dots i_n}, который соответствует допустимому регулярному пути p=(i_0\to\dots\to i_n) длины n, мы положим
\begin{equation}
\theta_n(e_{i_0\dots i_n})\colon = [\lambda_n^p\circ \pi^n]^{\Box}=[\lambda_n^{i_0\dots i_n}\circ \pi^n]^{\Box}.
\end{equation}
\tag{4.7}
Напомним, что для элемента \phi^{\Box}\in Q_n(G), заданного сингулярным кубом \phi\colon I^n\to G, n\geqslant 1, 1\leqslant j\leqslant n, определены его грани
\begin{equation*}
\phi_{j\varepsilon}^{\Box}=( \phi \circ F_{j\varepsilon})^{\Box }\in Q_{n-1}(G),
\end{equation*}
\notag
где вложения F_{j\varepsilon} определены в (3.1). Пусть Q_{-1}=0. Для n\geqslant 1 гомоморфизм \partial^{\mathrm{c}}\colon Q_{n}\to Q_{n-1} определен на базисных элементах \phi^{\Box} равенством
\begin{equation*}
\partial^{\mathrm{c}}(\phi^{\Box})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}( \phi_{j0}^{\Box }-\phi_{j1}^{\Box})
\end{equation*}
\notag
и, значит, задает индуцированный граничный морфизм \partial^{\mathrm{c}}\colon \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_{n-1}(G). Индекс j, 1\leqslant j\leqslant n, обозначает номер грани, а 0 или 1 обозначает фиксированную координату на этой грани. Докажем техническую лемму. Лемма 2. Пусть \pi^n\colon I^n\to \Delta_n – определенный выше морфизм орграфов. Для n\geqslant 1, 1\leqslant j\leqslant n и \varepsilon =0,1 определен морфизм
\begin{equation*}
\pi_{j\varepsilon}^n= \pi^n\circ F_{j\varepsilon}\colon I^{n-1}\to \Delta_n,
\end{equation*}
\notag
задающий сингулярный (n-1)-мерный куб в \Delta_n. Имеют место следующие формулы:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \pi^n_{11}(v) =\lambda^{1\dots n}_{n-1}\pi^{n-1}(v), \\ \pi^n_{j0}(v) =\lambda^{01\dots \widehat{j}\dots n}_{n-1}\pi^{n-1}(v), \qquad 1\leqslant j\leqslant n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.8}
Среди сингулярных кубов \pi_{j\varepsilon}^n невырожденными являются сингулярные кубы в (4.8) и только они. Доказательство. Для n=1 и j=1 сингулярные кубы
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi_{10}^1=\pi^1\circ F_{10}=\lambda^0_0\pi^0\colon 0\to 0, \\ \pi_{11}^1=\pi^1\circ F_{11}=\lambda_0^1\pi^0\colon 0\to 1 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
являются невырожденными, и других сингулярных кубов для n=1 не существует. Докажем коммутативность диаграммы для n\geqslant 2 Мы получим первое равенство в (4.8). Пусть v=(c_1\dots c_{n-1})\in V_{I^{n-1}}. Рассмотрим два случая. В первом случае пусть c_{n-1}=0, v=(c_1\dots c_{n-2} 0)= (w0)\in V_{I^{n-1}}. Тогда
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{11}(v)= \pi^n(1c_1\dots c_{n-2}0) \stackrel{(4.6)}{=} \pi^{n-1}(1c_1\dots c_{n-2}).
\end{equation}
\tag{4.10}
Последнее выражение по лемме 1 дает:
С другой стороны, найдем \sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}c_{n-1})\,{=}\,\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0). Аналогично предыдущему вычислению мы получаем, что \pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0) равно:
Теперь из определения \sigma^0_{n-1} следует коммутативность диаграммы (4.9) для первого случая. Во втором случае пусть c_{n-1}=1, v=(c_1\dots c_{n-2} 1)= (w1)\in V_{I^{n-1}}. По определению \pi^n получаем С другой стороны, вычислим
\begin{equation*}
\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}c_{n-1})=\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}1)=\sigma^0_{n-1}(n-1)=n.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, первое равенство в (4.8) доказано.
Для доказательства второго равенства в (4.8) для n\geqslant 2 рассмотрим диаграмму и докажем ее коммутативность для 1\leqslant j\leqslant n Пусть v=(c_1\dots c_{n-1})\in V_{I^{n-1}}. Рассмотрим два случая. Аналогично предыдущему в первом случае пусть c_{n-1}=0, v=(c_1\dots c_{n-2} 0)= (w0)\in V_{I^{n-1}}. Тогда
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{j0}(v)= \pi^n(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}0) =\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}).
\end{equation}
\tag{4.13}
Последнее выражение по лемме 1 дает:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \pi^n\circ F_{j0}(v) &= \pi^n(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}0) =\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}) \\ &=\begin{cases} 0, & c_k=0, \ 0\leqslant k\leqslant n-2, \\ k, & 1\leqslant k \leqslant j-1,\ c_k=1,\ c_m=0,\ m>k, \\ k+1, & j\leqslant k \leqslant n-2, \ c_k=1,\ c_m=0,\ m>k. \\ \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
С другой стороны, вычислим \lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}c_j c_{n-2}0). Аналогично предыдущему мы получаем, что \pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}c_j c_{n-2}0) равно:
Таким образом,
\begin{equation}
\pi^{n-1}(v)=\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0) =\begin{cases} 0, & c_k=0,\ 0\leqslant k\leqslant n-2, \\ k, & c_k=1,\ c_m=0,\ 1\leqslant k \leqslant n-2,\ m>k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.15}
Теперь, применяя \lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n} к (4.15), где 1\leqslant j\leqslant n, получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0) \\ &\qquad=\begin{cases} 0, & c_k=0,\ 0\leqslant k\leqslant n-2, \\ k, & c_k=1,\ c_m=0,\ 1\leqslant k \leqslant n-2,\ m>k,\ 1\leqslant k\leqslant j-1, \\ k+1, & c_k=1,\ c_m=0,\ 1\leqslant k \leqslant n-2,\ m>k,\ k\geqslant j . \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
Из равенств (4.14) и (4.16) следует коммутативность диаграммы (4.12) для первого случая.
Во втором случае пусть c_{n-1}=1, v=(c_1\dots c_{n-2} 1)= (w1)\in V_{I^{n-1}}. Рассмотрим два подслучая. 1) Пусть j=n. Тогда по определению \pi^n получаем
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{n0}(v)=\pi^n(c_1\dots c_{j-1}0 c_jc_{n-2}10)=n-1.
\end{equation}
\tag{4.17}
С другой стороны,
\begin{equation*}
\lambda_{n-1}^{01\dots (n-1)}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}1)=\lambda_{n-1}^{01\dots n}(n-1)=n-1.
\end{equation*}
\notag
То есть в этом подслучае коммутативность (4.12) доказана.
2) Пусть j\ne n. По определению \pi^n получаем
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{j0}(v)=\pi^n(c_1\dots c_{j-1}0 c_jc_{n-2}1)=n.
\end{equation}
\tag{4.18}
С другой стороны, вычислим для 1\leqslant j < n:
\begin{equation*}
\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}c_{n-1})=\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}1)=\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}(n-1)=n.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, диаграмма (4.12) коммутативна, и второе равенство в (4.8) доказано. Поскольку сингулярный куб \pi^{n-1}\colon I^{n-1}\colon \Delta_{n-1} невырожден по лемме 1, а отображения \lambda в (4.8) являются изоморфизмами, то и сингулярные кубы в (4.8) невырождены.
Докажем, что сингулярные кубы \pi^{n}_{j1} являются вырожденными для 1\,{<}\, j\,{\leqslant}\, n. Для n=2 мы имеем один такой куб \pi^2_{21}\colon I^1\to \Delta_2, который является вырожденным.Пусть сингулярные кубы \pi^{n-1}_{j1} являются вырожденными для 1<j\leqslant n-1. Это значит, что при каждом из морфизмов
\begin{equation}
\pi^{n-1}_{j1}\colon I^{n-2}\to \Delta_{n-1}, \qquad 1<j\leqslant n-1,
\end{equation}
\tag{4.19}
найдутся две противоположные грани куба I^{n-2}, которые склеиваются естественным образом посредством \pi^{n-1}_{j1}.
Рассмотрим \pi^n_{j1}\colon I^{n-1}\to \Delta_n, 1< j\leqslant n. Возможны следующие случаи. (1) Пусть j=n. Тогда согласно (4.6)
\begin{equation}
\pi_{n1}^n(v)= \pi^n\circ F_{n1}(v)=\pi^n(v1)=n\in \Delta_n, \qquad v\in V_{I^{n-1}}.
\end{equation}
\tag{4.20}
То есть \pi_{n1}^n вырождено.
(2) Пусть 2\leqslant j\leqslant n-1. Тогда, как и выше, для v=(c_1\dots c_{n-1})\in V_{I^{n-1}} имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \pi_{j1}^n(v) &= \pi^n\circ F_{j1}(v)=\pi^n(c_1\dots c_{j-1}1c_j\dots c_{n-1}) \\ \notag &=\begin{cases} \pi^{n-1}(c_1c_2\dots c_{j-1}1c_j\dots c_{n-2}) &\text{для}\ c_{n-1}=0, \\ n & \text{для}\ c_{n-1}=1, \end{cases} \\ \notag &=\begin{cases} \pi^{n-1}\circ F_{j1}(c_1c_2\dots c_{j-1}c_j\dots c_{n-2}) &\text{для}\ c_{n-1}=0, \\ n & \text{для}\ c_{n-1}=1, \end{cases} \\ &=\begin{cases} \pi^{n-1}_{j1}(c_1c_2\dots c_{j-1}c_j\dots c_{n-2}) &\text{для}\ c_{n-1}=0, \\ n & \text{для}\ c_{n-1}=1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
Для отображения \pi^{n-1}_{j1} мы имеем 2\leqslant j \leqslant n-1. Следовательно, по предположению индукции это отображение вырождено. Таким образом, из (4.21) следует, что ограничение отображения \pi^n_{j1} на (n-1)-грань куба I^n, заданную условием c_{n-1}=0, является вырожденным, а ограничение отображения \pi^n_{j1} на (n-1)-грань куба I^n, заданную условием c_{n-1}=1, является тривиальным отображением в вершину n\in \Delta_n. Следовательно, \pi^n_{j1} вырождено для 2\leqslant j\leqslant n, а ограничение отображения \pi^n_{j0} на (n-1)-грань куба I^n, заданную условием c_1=1, является тривиальным отображением в вершину n\in \Delta_n. Следовательно, \pi^n_{j0} невырождено для 1\leqslant j\leqslant n. Лемма 2 доказана. Предложение 3. Пусть G – транзитивный орграф без циклов. Для n\geqslant 1 имеет место коммутативная диаграмма модулей и гомоморфизмов Следовательно, \theta_* – морфизм цепных комплексов \Omega_*(G)\to \Omega_*^{\mathrm{c}}(G). Доказательство. Из определения гомоморфизма \theta_n следует, что достаточно доказать коммутативность диаграммы в которой модуль \Omega_n(\Delta_n) порожден одним базисным элементом e_{01\dots n}. Для n\geqslant 1 по определению \theta_{n-1} в (4.7) и определению \partial мы имеем
С другой стороны, по определению \partial^{\mathrm{c}} в (3.3) и \theta_n получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \partial^{\mathrm{c}}\circ \theta_{n} (e_{0\dots n}) &=\partial^{\mathrm{c}}[(\lambda_{n}^{0\dots n}\pi^n)^{\Box}]= \partial^{\mathrm{c}}[\pi^n]^{\Box} =\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}( [\pi^n_{j0}]^{\Box }-[\pi^n_{j1}]^{\Box}) \\ \notag &\!\!\!\!\!\!\stackrel{\text{лемма }2}{=}\biggl(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j} [\pi^n_{j0}]^{\Box}\biggr) + [\pi^n_{11}]^{\Box} \\ \notag &=\biggl(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j} [\lambda^{01\dots \widehat{j}\dots n}_{n-1}\pi^{n-1}]^{\Box} \biggr) + [\lambda^{1\dots n}_{n-1}\pi^{n-1}]^{\Box} \\ &=\sum_{j=0}^{n} (-1)^j [\lambda_{n-1}^{(0\dots \widehat j\dots n)}\circ \pi^{n-1}]^{\Box}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
Из (4.24) и (4.25) следует утверждение предложения. Теорема 2. Гомоморфизм \theta_0 сохраняет аугментацию. Гомоморфизмы \theta_n задают морфизм цепных комплексов \theta_*\colon \Omega_*(G)\to \Omega_*^{\mathrm{c}}(G), который является правым обратными к \tau_*, т.е. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Рассмотрим для n\geqslant 1 следующую диаграмму модулей и гомоморфизмов в которой левый квадрат коммутативен по предложению 3, а правый квадрат коммутативен согласно [12].
Для n\geqslant 1 получаем
\begin{equation}
\tau_n\theta_n(e_{i_0\dots i_n})=\tau_n[(\lambda_n^{i_0\dots i_n}\pi^n)^{\Box}]=e_{i_0\dots i_n},
\end{equation}
\tag{4.27}
поскольку по лемме 2 только образ \lambda_n^{i_0\dots i_n}\pi^n(p_{\#}) пути p_{\#} является невырожденным путем, лежащим в образе \lambda_n^{i_0\dots i_n}\pi^n(I^n). Причем этот путь совпадает по определению с путем i_0\to i_1\to \dots \to i_n. Теорема доказана. Напомним теорему об ацикличных носителях, которая нам потребуется в дальнейшем, см. [22; § 3.4], [24; § 1.2.1]. Пусть C_* – цепной комплекс конечно порожденных свободных абелевых групп и C_p=0 для p< 0. В этом случае C_* называется геометрическим цепным комплексом. Зафиксируем базис в каждой группе C_p. Для двух базисных элементов b\in C_{p-1}, b' \in C_p будем писать b\prec b', если b входит с ненулевым коэффициентом в разложение \partial (b') по базису. Комплекс C_* с гомоморфизмом аугментации \varepsilon \colon C_0\to \mathbb Z, заданным формулой
\begin{equation*}
\varepsilon \biggl(\sum_i k_ib_i\biggr)= \sum_i k_i, \qquad k_i\in \mathbb Z, \quad b_i -\text{базисные элементы} \ C_0,
\end{equation*}
\notag
обозначим \widetilde{C}_*. Комплекс C_* называется ацикличным, если все группы гомологий комплекса \widetilde{C}_* равны нулю. Цепное отображение \phi_*\colon C_*\to C'_* сохраняет аугментацию, если \varepsilon' \phi_0 (c)=\varepsilon (c) для любого элемента c\in C_0. Определение 6. i) Алгебраическая функция носитель E из геометрического цепного комплекса C_* в цепной комплекс D_* задает для каждого базисного элемента b\in C_n, n\geqslant 0, цепной подкомплекс E(b)=E_*(b)\subset D_* такой, что условие b\prec b' влечет E_*(b) \subset E_*(b'). ii) Функция E называется ацикличной, если каждый подкомплекс E(b) является ацикличным. iii) Цепное отображение f_*\colon C_*\to D_* переносится посредством алгебраической функции носителя E, если f_n(b)\in E_*(b) для любого базисного элемента b\in C_n. Теорема 3 (об ацикличных носителях). Пусть f_*,g_*\colon C_*\to D_* – цепные отображения геометрических цепных комплексов, сохраняющие аугментацию, и пусть эти отображения переносятся ацикличной функцией носителем E. Тогда отображения f_* и g_* являются цепно гомотопными. Пусть G – транзитивный орграф без циклов. Рассмотрим сингулярный куб \phi\colon I^n\to G. Каждый путь p длины n, идущий из начальной вершины (0,\dots,0) куба I^n в конечную (1,\dots,1), отображается посредством \phi в некоторый путь \phi(p) длины меньше или равной n. Пусть \phi(p)=(i_0\dots i_{m}), где m\leqslant n. Поскольку G – транзитивный орграф, определен подграф симплекс \Delta_m^{\phi(p)}=\Delta_m^{i_0\dots i_m}\subset G, в котором лежит данный путь. Рассмотрим подграф \Upsilon(\phi) орграфа G, являющийся объединением всех таких симплексов в орграфе G
\begin{equation}
\Upsilon(\phi)= \bigcup_{p\in \mathbf P} \Delta_m^{\phi(p)},
\end{equation}
\tag{4.28}
где \mathbf P – множество путей в I^n, идущих из начальной вершины (0,\dots,0) куба I^n в конечную (1,\dots,1). Заметим, что образ \phi(I^n) лежит в орграфе \Upsilon(\phi). Лемма 3. Орграф \Upsilon(\phi) стягиваем (гомотопически эквивалентен точечному орграфу) для любого сингулярного куба \phi\colon I^n\to G в транзитивном орграфе G без циклов. Доказательство. Из определения следует, что орграф \Upsilon(\phi) является объединением орграфов симплексов, которые имеют начальную вершину \phi(0,\dots,0) и конечную вершину a=\phi(1,\dots, 1). Из определения орграфа симплекса следует, что для любой вершины x\in V_{\Upsilon(\phi)} имеется ребро (x\to a)\in E_{\Upsilon(\phi)}. Следовательно, \Upsilon(\phi) в (4.28) стягиваем согласно [10; следствие 3.7]. Лемма доказана. Предложение 4. Пусть G – транзитивный орграф без циклов. Тогда цепные отображения \theta_*\circ \tau_* \colon \Omega^{\mathrm{c}}_*(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_*(G) и тождественное отображение \operatorname{Id}\colon \Omega^{\mathrm{c}}_*(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_*(G) цепно гомотопны. Доказательство. Цепной комплекс \Omega_*^{\mathrm{c}}(G) является геометрическим, и цепные отображения \theta_*\circ \tau_* и \operatorname{Id} сохраняют аугментацию. Для сингулярного куба \phi\colon I^n\to G рассмотрим подграф \Upsilon(\phi)\subset G в (4.28). Для каждого базисного сингулярного куба \phi^{\Box}\in \Omega_*^{\mathrm{c}}(G) определим подкомплекс E_*(\phi^{\Box}) цепного комплекса \Omega_*^{\mathrm{c}}(G), полагая
\begin{equation}
E_*(\phi^{\Box})\overset{\mathrm{def}}={\Omega}_*^{\mathrm{c}}(\Upsilon(\phi))\subset \Omega_*^{\mathrm{c}}(G).
\end{equation}
\tag{4.29}
Чтобы доказать, что полученный комплекс E_*(\phi^{\Box}) является ацикличным, достаточно проверить, что орграф \Upsilon(\phi) стягиваем, а это верно по лемме 3.
Проверим, что E является алгебраической функцией носителем, т.е. условие (i) определения 6 выполняется. Рассмотрим базисный элемент \phi^{\Box}\in \Omega_*^{\mathrm{c}}(G), заданный \phi\colon I^n\to G, n\geqslant 0. Тогда \partial(\phi^{\Box}) является суммой базисных элементов (\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box} с коэффициентами \pm 1, где отображения F_{j\epsilon}\colon I^{n-1}\to I^n – вложения. Согласно (4.28) и (4.29) орграф \Upsilon(\phi\circ F_{j\epsilon}) является подграфом \Upsilon(\phi). Значит, цепной комплекс E_*((\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box})=\Omega^{\mathrm{c}}_*(\Upsilon(\phi\circ F_{j\epsilon})) является подкомплексом E_*(\phi^{\Box}). Для b\in \Omega^{\mathrm{c}}_{n-1}(G) и b\prec \phi^{\Box} мы имеем b = (\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box},
\begin{equation*}
E_*(b)=E_*((\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box})\prec E_*(\phi^{\Box}).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, E – ациклическая функция носитель из \Omega_*^{\mathrm{c}}(G) в \Omega_*^{\mathrm{c}}(G) .
Проверим, что цепные отображения \theta_*\circ \tau_* и \operatorname{Id} переносятся алгебраической функцией носителем E. Пусть \phi^{\Box}\in \Omega^{\mathrm{c}}_n(G) – базисный элемент. Тогда
\begin{equation}
\operatorname{Id}(\phi^{\Box})=\phi^{\Box}\in {\Omega}_*^{\mathrm{c}}(\Upsilon(\phi))=E_*(\phi^{\Box}),
\end{equation}
\tag{4.30}
поскольку образ \phi(I^n) лежит в \Upsilon(\phi). То есть цепное отображение \operatorname{Id}\colon \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_n(G) переносится E.
Согласно определению (4.5) и (4.7) мы имеем
\begin{equation}
\theta_n\circ \tau_n(\phi^{\Box})=\theta_n(\phi_*(w_n)), \qquad \phi\colon I^n\to G.
\end{equation}
\tag{4.31}
Элемент \phi_*(w_n) является тривиальным элементом в \Omega_n(G), либо он является суммой базисных элементов \pm e_{i_0\dots i_n}, для которых путь (i_0\dots i_n)=\phi(p), p\in \mathbf P, имеет длину n, i_0 =\phi(0,\dots,0) и i_n=\phi(1,\dots, 1). Каждый из этих путей \phi(p) лежит в \Upsilon(\phi) согласно (4.28). Следовательно, применяя отображение \theta_n к указанной сумме путей, мы получим сумму сингулярных кубов, образ каждого из которых совпадает с одним из симплексов размерности n в (4.28). Таким образом,
\begin{equation}
\theta_n\circ \tau_n(\phi^{\Box})\in {\Omega}_*^{\mathrm{c}}(\Upsilon(\phi)) =E_*(\phi^{\Box}).
\end{equation}
\tag{4.32}
То есть цепное отображение \theta_n\circ \tau_n\colon \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_n(G) переносится E.
Теперь утверждение предложения 4 следует из теоремы об ацикличных носителях 3. Теорема 4. Для любого транзитивного орграфа G без циклов цепные отображения \tau_* и \theta_* являются гомотопически обратными и, следовательно, индуцируют изоморфизм групп гомологий Доказательство следует из предложения 4 и теоремы 2. Доказательство следует из предложения 1 и теоремы 4. Орграф \widehat{I}^n является транзитивным орграфом без циклов и соответствует некоторому дискретному пространству кубу D^n. Морфизмы \phi\colon I^n\to G транзитивных орграфов задают морфизмы соответствующих дискретных пространств. Операции ограничения морфизма на грань \widehat{I}^n, проекция на грань и вложение граней задают аналогичные операции на дискретном кубе. Таким образом, определена сингулярная кубическая теория гомологий H^d(X) в категории дискретных пространств T_0. Роль сингулярных кубов при этом играют непрерывные отображения \phi\colon D^n\to X. Следствие 3. Для любого дискретного T_0-пространства X имеет место изоморфизм групп гомологий где H_*(X) – группы гомологий Александрова.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MurJim23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|