| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Явная деформация орисферического многообразия типа А. Г. Кузнецов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9897e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть G – простая алгебраическая группа дынкинского типа G2. Если V1 и V2 – фундаментальные представления группы G размерностей 7 и 14 соответственно, то орбиты векторов старшего веса в P(V1) и P(V2) – это
На самом деле X2 может быть реализовано как подмногообразие в Gr(2,V1) (детали можно найти ниже в лемме 2.1), и если UX2 – ограничение на X2 тавтологического подрасслоения ранга 2 с грассманиана, то – многообразие флагов группы G; в частности, расслоение UX2 и P1-расслоение p2 являются G-эквивариантными.Аналогично существует G-эквивариантное векторное расслоение CX1 ранга 2 на квадрике X1 такое, что проективизация является G-эквивариантным P1-расслоением; CX1 известно как расслоение Кэли, см. [2; лемма 8.3] и [6].Орисферическое многообразие X типа G2 может быть построено с помощью этих данных несколькими способами. Ниже мы даем набросок трех взаимосвязанных конструкций, подробности можно найти в работах [7], [1]. Пусть H1 и H2 – классы гиперплоскостей в P(V1) и P(V2); в дальнейшем мы будем тем же способом обозначать их обратные образы на X1 и X2 соответственно, а также на ˜X. Рассмотрим проективные расслоения над X1, X2, ˜X соответственно. Заметим, что слагаемые ранга 1 индуцируют сечения первых двух проективных расслоений и пару сечений последнего. Несложно доказать, что относительный класс гиперплоскости каждого из этих проективных расслоений не имеет базисных точек и индуцирует G-эквивариантный морфизм в P(V1⊕V2). Образ каждого из этих морфизмов – орисферическое многообразие X⊂P(V1⊕V2), образы сечений – непересекающиеся подмногообразия и, таким образом, возникают изоморфизмы Все эти изоморфизмы G-эквивариантны.Описанные выше конструкции являются достаточно общими и могут быть применены к орисферическим многообразиям с числом Пикара 1 других типов (их классификация приведена в [7; теорема 0.1]). Специальным свойством орисферического многообразия типа G2 является его связь с другим гладким проективным G-многообразием – ортогональным изотропным грассманианом т.е. подмногообразием в Gr(2,V1), которое параметризует двумерные подпространства, изотропные относительно квадратичного уравнения X1⊂P(V1).Можно заметить, что X и Y имеют одинаковые численные инварианты; в частности, они имеют одинаковые ранги групп Гротендика (равные 12), одинаковые индексы Фано (равные 4), одинаковые размерности пространств глобальных сечений пучков O(1) (равные 21) и т.д. Замечательное объяснение этим совпадениям было дано в [8; предложение 2.3], где было построено гладкое вырождение многообразия Y к X, т.е. гладкое проективное многообразие над A1 с центральным слоем, изоморфным X, и всеми остальными слоями изоморфными Y. Это вырождение было построено в [8] как некоторое замыкание орбиты, что делает его несколько неявным и сложным в использовании. Цель настоящей работы – дать две геометрические конструкции такого семейства, которые более удобны для применений; эти конструкции работают над любой гладкой пунктированной кривой (C,0). Теорема 1.1. Пусть (C,0) – гладкая пунктированная кривая и Y:=Y×C. Существует коммутативная диаграмма где
Теорема 1.2. Существует векторное расслоение ˜W ранга 3 на X1×C и коммутативная диаграмма над C, где X такое же, как в теореме 1.1, а ρ – раздутие X2×C⊂X.Ключевое наблюдение (предложение 2.3), на которое опираются доказательства обеих теорем, состоит в том, что есть естественное вложение X2↪Y и что раздутие BlX2(Y) обладает структурой проективного расслоения над X1, аналогичного расслоению (1.3). § 2. Ключевое наблюдениеНапомним, что через V1 обозначается фундаментальное семимерное представление группы G, а многообразие Y определено равенством (1.6). Обозначим через U⊂V1⊗O и U⊥⊂V∨1⊗O тавтологические подрасслоения рангов 2 и 5 на Gr(2,V1) соответственно, а через O(1) – линейное расслоение Плюккера. Также обозначим через S спинорное расслоение на Y, пользуясь противоположным по сравнению с [3; § 6] соглашением, так что ∧2S≅O(−1). Лемма 2.1. Имеется цепочка вложений причем
Доказательство. Описание многообразия X2 как схемы нулей в Gr(2,V1) было обнаружено Мукаи (глобальное сечение расслоения U⊥(1) задается 3-формой λ∈∧3V∨1, стабилизатором которой является группа G). Ограничение расслоения O(1) на X2 порождает группу Pic(X2), линейная оболочка X2 в P(∧2V1) – это пространство P(V2), а соответствующее вложение V2↪∧2V1 продолжается до точной последовательности представлений группы G. Заметим, что действие G на V1 сохраняет невырожденную квадратичную форму (уравнение квадрики X1⊂P(V1)), следовательно, имеется цепочка вложений групп Более того, вектор старшего веса в V2 относительно G также является вектором старшего веса в ∧2V1 относительно SO(V1) и GL(V1), поэтому имеется цепочка орбит векторов старшего веса относительно соответствующих групп.
Описание многообразия Y⊂Gr(2,V1) как схемы нулей тавтологично (сечение соответствует квадратичной форме на V1 сохраняемой группой SO(V1)), а описание многообразия X2⊂Y как схемы нулей сечения расслоения S∨ и изоморфизм S|X2≅U|X2 установлены в [2; лемма 8.3]. □ Пересечение в правой части, конечно же, совсем не трансверсально. Доказательство. Пусть IX2 – идеал подсхемы X2⊂Y=OGr(2,V1). Согласно лемме 2.1 имеем точную последовательность Пространство глобальных сечений расслоения S∨ на Y – это спинорное восьмимерное представление S группы Spin(V1); после ограничения на G оно раскладывается в прямую сумму V1⊕k, причем второе слагаемое соответствует сечению расслоения S∨, определяющему подсхему X2⊂Y. Поскольку, кроме того, расслоение S∨ глобально порождено, приведенная выше точная последовательность индуцирует эпиморфизм V1⊗OY↠. Это означает, что подсхема X_2 \subset \operatorname{Gr}(2,V_1) теоретико-схемно высекается гиперплоскостями, соответствующими подпространству
\begin{equation*}
V_1 \subset \mathrm{H}^0(Y, \mathcal{O}_Y(1)) = \wedge^2V_1^\vee.
\end{equation*}
\notag
Данное вложение, очевидно, \mathbf{G}-эквивариантно, значит оно задается отображением, двойственным ко второму отображению в (2.1), и, значит, выполнено равенство X_2 = Y \cap \mathbb{P}(V_2). \Box Следующее предложение дает аналог изоморфизма (1.3); оно является ключевым для доказательства теорем 1.1 и 1.2. Предложение 2.3. Существует \mathbf{G}-эквивариантный изоморфизм
\begin{equation}
\operatorname{Bl}_{X_2}(Y) \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}_{X_1}),
\end{equation}
\tag{2.2}
в котором \mathcal{W}_{X_1} – \mathbf{G}-эквивариантное векторное расслоение на X_1 ранга 3; оно включается в точную последовательность Доказательство. Рассмотрим многообразие частичных ортогональных изотропных флагов с его двумя проекциями Слои первой проекции – невырожденные коники; на самом деле эта проекция – \mathbb{P}^1-расслоение, а соответствующее векторное расслоение на \operatorname{OGr}(2,V_1) – это в точности спинорное расслоение \mathcal{S}, и, следовательно, имеем изоморфизм
\begin{equation*}
\operatorname{OFl}(2,3;V_1) \cong \mathbb{P}_{\operatorname{OGr}(2,V_1)}(\mathcal{S}) = \mathbb{P}_Y(\mathcal{S}).
\end{equation*}
\notag
Аналогично, вторая проекция – \mathbb{P}^2-расслоение. Обозначив соответствующее \operatorname{SO}(V_1)-эквивариантное расслоение ранга 3 на \operatorname{OGr}(3,V_1) через \mathcal{W}, получим изоморфизм
Заметим, что \operatorname{OGr}(3,V_1) – гладкая шестимерная квадрика в проективизации восьмимерного спинорного представления \mathbb{S} группы \operatorname{Spin}(V_1) (универсальной накрывающей группы \operatorname{SO}(V_1)). Ограничение этого представления на группу \mathbf{G} раскладывается как \mathbb{S} = V_1 \oplus \Bbbk, а гиперплоское сечения \operatorname{OGr}(3,V_1) \subset \mathbb{P}(\mathbb{S}) с помощью \mathbb{P}(V_1) является квадрикой X_1. Его прообраз
\begin{equation*}
\operatorname{OFl}(2,3;V_1) \times_{\operatorname{OGr}(3,V_1)} X_1 \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}\vert_{X_1})
\end{equation*}
\notag
является относительным (над Y = \operatorname{OGr}(2,V_1)) гиперплоским сечением \mathbb{P}_Y(\mathcal{S}); следовательно, он изоморфен раздутию Y вдоль схемы нулей соответствующего сечения \mathcal{S}^\vee. Согласно лемме 2.1 эта схема нулей равна X_2 \subset Y, откуда получаем требуемый изоморфизм (2.2), в котором \mathcal{W}_{X_1} := \mathcal{W}\vert_{X_1}.
Чтобы построить точную последовательность (2.3), заметим, что в силу леммы 2.1 нормальное расслоение подсхемы X_2 \subset Y изоморфно
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{X_2/Y} \cong \mathcal{S}\vert_{X_2}^\vee \cong \mathcal{U}_{X_2}^\vee,
\end{equation*}
\notag
и, значит, пользуясь изоморфизмами (1.1) и (1.2), заключаем, что исключительный дивизор раздутия изоморфен
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{N}_{X_2/Y}) \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}^\vee_{X_2}) \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2}) = \widetilde X = \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}).
\end{equation*}
\notag
Более того, индуцированное вложение \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}) \hookrightarrow \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}_{X_1}) согласовано с проекцией на X_1, а также с классами относительных гиперплоскостей, и, значит, оно индуцирует вложение векторных расслоений \mathcal{C}_{X_1} \hookrightarrow \mathcal{W}_{X_1}. Фактор является линейным расслоением, поэтому его можно отождествить с \mathcal{O}_{X_1}(-H_1) вычисляя детерминанты и пользуясь изоморфизмами
\begin{equation*}
\det(\mathcal{C}_{X_1}) \cong \mathcal{O}_{X_1}(-3H_1)\quad\text{и}\quad \det(\mathcal{W}_{X_1}) \cong \mathcal{O}_{X_1}(-4H_1),
\end{equation*}
\notag
которые следуют из (1.2) и (2.4) с помощью вычисления канонического класса. \Box Замечание 2.4. Основным отличием формулы (2.2) от (1.3) является то, что расширение (2.3), определяющее векторное расслоение \mathcal{W}_{X_1}, нетривиально. Это можно увидеть так: если бы последовательность (2.3) расщеплялась, то вложение \mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \hookrightarrow \mathcal{W}_{X_1} индуцировало бы вложение X_1 \hookrightarrow Y пятимерной квадрики X_1, однако хорошо известно, что Y = \operatorname{OGr}(2,V_1) (и даже объемлющий грассманиан \operatorname{Gr}(2,V_1)) не содержит квадрик размерности большей 4. § 3. Доказательство теоремы 1.1Напомним, что \mathcal{Y} = Y \times C и что отображение f_\mathcal{Y} \colon \mathcal{Y} \to C является проекцией. Рассмотрим подмногообразие
\begin{equation*}
X_2 \hookrightarrow Y = \mathcal{Y}_0 \hookrightarrow \mathcal{Y}
\end{equation*}
\notag
(при этом напомним, что \mathcal{Y}_0 \subset \mathcal{Y} обозначает центральный слой), а также его раздутие \pi_\mathcal{Y} \colon \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}. Тем самым мы построили правую половину диаграммы (1.7). Чтобы построить левую половину, нам понадобятся две леммы. Лемма 3.1. Схемный центральный слой морфизма \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \xrightarrow{\pi_\mathcal{Y}} \mathcal{Y} \xrightarrow{f_\mathcal{Y}} C является дивизором с нормальными пересечениями
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2)) \ \bigcup_{\widetilde X}\ \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}_{X_1}),
\end{equation*}
\notag
где первая компонента является исключительным дивизором раздутия \pi_\mathcal{Y}, а вторая – собственным прообразом \mathcal{Y}_0 \cong Y. Доказательство. Поскольку \mathcal{Y} является произведением Y \times C, пользуясь леммой 2.1, вычисляем нормальное расслоение
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{X_2/\mathcal{Y}} \cong \mathcal{N}_{X_2/Y} \oplus \mathcal{O}_{X_2} \cong \mathcal{U}_{X_2}^\vee \oplus \mathcal{O}_{X_2}.
\end{equation*}
\notag
Оно является подкруткой расслоения \mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2), откуда мы получаем описание первой компоненты центрального слоя раздутия \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}). Вторая компонента изоморфна раздутию \operatorname{Bl}_{X_2}(Y), поэтому здесь применимо предложение 2.3. Наконец, пересечение компонент есть проективизация расслоения \mathcal{N}_{X_2/Y} \cong \mathcal{U}_{X_2}^\vee, и формула (1.1) показывает, что оно изоморфно \widetilde X. \Box Теперь рассмотрим тривиальное векторное расслоение \wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C и фильтрацию (2.1) его центрального слоя. В результате возникает векторное расслоение \mathcal{V} на C и морфизм \alpha \colon \wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C \to \mathcal{V}, достраивающийся до точной последовательности
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \mathcal{V} \longrightarrow V_2 \otimes \mathcal{O}_{\{0\}} \longrightarrow 0,
\end{equation*}
\notag
в которой \mathcal{O}_{\{0\}} – структурный пучок точки \{0\} \in C, центральный слой расслоения \mathcal{V} канонически является расширением
\begin{equation}
0 \longrightarrow V_1^\vee \longrightarrow \mathcal{V}_{\{0\}} \longrightarrow V_2 \longrightarrow 0
\end{equation}
\tag{3.1}
(противоположным к (2.1)), а морфизм \alpha_{\{0\}} раскладывается в композицию как \wedge^2V_1 \stackrel{\lambda}{\longrightarrow} V_1^\vee \longrightarrow \mathcal{V}_{\{0\}}. Заметим, что \alpha является изоморфизмом над C \setminus \{0\} и поэтому индуцирует бирациональное отображение \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C) \dashrightarrow \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V}) проективных расслоений над C. Лемма 3.2. Рассмотрим вложения
\begin{equation*}
\mathbb{P}(V_2) \subset \mathbb{P}(\wedge^2V_1) \hookrightarrow \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C) \quad\textit{и}\quad \mathbb{P}(V_1^\vee) \subset \mathbb{P}(\mathcal{V}_{\{0\}}) \hookrightarrow \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})
\end{equation*}
\notag
в центральные слои проективных расслоений. Бирациональное отображение \alpha индуцирует изоморфизм раздутий
\begin{equation*}
\operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \cong \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_1^\vee)}(\mathbb{P}_{C}(\mathcal{V}))
\end{equation*}
\notag
над C, так что исключительный дивизор каждой из сторон совпадает с собственным прообразом центрального слоя проективного расслоения другой стороны. Это элементарное преобразование проективных расслоений, поэтому доказательство утверждения является стандартным. Теперь построим левую половину диаграммы (1.7). Рассмотрим естественное вложение
\begin{equation*}
\mathcal{Y} = Y \times C = \operatorname{OGr}(2,V_1) \times C \hookrightarrow \mathbb{P}(\wedge^2V_1) \times C = \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C).
\end{equation*}
\notag
Согласно следствию 2.2 собственный прообраз многообразия \mathcal{Y} относительно морфизма раздутия \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \to \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C) из леммы 3.2 изоморфен \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}). Рассмотрим композицию
\begin{equation*}
\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \hookrightarrow \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \cong \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_1^\vee)}(\mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})) \to \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})
\end{equation*}
\notag
индуцированного вложения с изоморфизмом из леммы 3.2 и очевидным стягиванием. Обозначим через \mathcal{X} \subset \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V}) ее образ и рассмотрим полученные морфизмы
\begin{equation*}
\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \stackrel{\pi_\mathcal{X}}{\longrightarrow} \mathcal{X} \stackrel{f_\mathcal{X}}{\longrightarrow} C.
\end{equation*}
\notag
Остается показать, что отображение f_\mathcal{X} гладко, его центральный слой изоморфен X, а \pi_\mathcal{X} – раздутие с центром в X_1 \subset \mathcal{X}. Согласно лемме 3.2 морфизм \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \to \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V}) стягивает собственный прообраз центрального слоя \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C), а на его дополнении является изоморфизмом. Отсюда следует, что \pi_\mathcal{X} стягивает собственный прообраз центрального слоя \mathcal{Y}, а на его дополнении также является изоморфизмом. Заметим далее, что ограничение морфизма \pi_\mathcal{X} на исключительный дивизор \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2)) раздутия \pi_\mathcal{Y} (см. лемму 3.1) – это морфизм, заданный классом относительной гиперплоскости, поэтому ввиду изоморфизма (1.4) его образ является орисферическим многообразием X. Оно является центральным слоем морфизма f_\mathcal{X}, поэтому из гладкости X следует гладкость f_\mathcal{X}. Ограничение морфизма \pi_\mathcal{X} на собственный прообраз \operatorname{Bl}_{X_2}(Y) \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}_{X_1}) центрального слоя \mathcal{Y} над C совпадает по построению с морфизмом из предложения 2.3, следовательно, \pi_\mathcal{X}(\operatorname{Bl}_{X_2}(Y)) = X_1 \subset X. Наконец, тот факт, что \pi_\mathcal{X} есть раздутие X_1 \subset X = \mathcal{X}_0 \subset \mathcal{X}, следует из [5; лемма 2.5]. § 4. Доказательство теоремы 1.2Напомним точную последовательность (2.3). Пусть
\begin{equation*}
\epsilon \in \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1), \mathcal{C}_{X_1})
\end{equation*}
\notag
обозначает класс этого расширения; заметим, что \epsilon \ne 0 в силу замечания 2.4. Пусть \mathcal{L} – линейное расслоение степени 1 на кривой C, соответствующее точке \{0\} \in C, и пусть s_0 \in \mathrm{H}^0(C,\mathcal{L}) – соответствующее глобальное сечение. Определим векторное расслоение \widetilde{\mathcal{W}} на X_1 \times C как расширение
\begin{equation}
0 \longrightarrow \mathcal{C}_{X_1} \boxtimes \mathcal{L} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{W}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \boxtimes \mathcal{O}_{C} \longrightarrow 0,
\end{equation}
\tag{4.1}
класс которого равен
\begin{equation*}
\epsilon \otimes s_0 \in \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1), \mathcal{C}_{X_1}) \otimes \mathrm{H}^0(C, \mathcal{L}) \cong \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \boxtimes \mathcal{O}_{C}, \mathcal{C}_{X_1} \boxtimes \mathcal{L}).
\end{equation*}
\notag
Тогда над точкой \{0\} расширение расщепляется, так что
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{W}}\vert_{X_1 \times \{0\}} \cong \mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \oplus \mathcal{C}_{X_1},\\
\end{equation}
\tag{4.2}
в то время как для каждого 0 \ne t \in C расширение изоморфно (2.3), и поэтому
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{W}}\vert_{X_1 \times (C \setminus \{0\})} \cong \mathcal{W}_{X_1} \boxtimes \mathcal{O}_{C \setminus \{0\}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
Рассмотрим теперь проективное расслоение \mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) и его относительный класс гиперплоскости H. Поскольку оба векторных расслоения \mathcal{C}_{X_1}^\vee и \mathcal{O}_{X_1}(H_1) глобально порождены, линейная система |H| не имеет базисных точек на каждом слое над C, и, следовательно, задает морфизм
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) \to \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V}')
\end{equation*}
\notag
в некоторое проективное расслоение над C (на самом деле это расслоение можно отождествить с расслоением \mathbb{P}_C(\mathcal{V}), построенным в доказательстве теоремы 1.1). Обозначим его образ через \mathcal{X} и покажем, что он гладок над C и имеет слои X и Y над \{0\} \in C и C \setminus \{0\} соответственно и что
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) \cong \operatorname{Bl}_{X_2 \times C}(\mathcal{X}).
\end{equation*}
\notag
В самом деле, слой \mathcal{X}_t многообразия \mathcal{X} над точкой t \in C является образом \mathbb{P}_{X_1}(\widetilde{\mathcal{W}}_t) при морфизме, заданном относительным классом гиперплоскости. При t = 0 в силу (4.2) это согласуется с определением (1.3) орисферического многообразия, поэтому С другой стороны, при t \ne 0, применяя (4.3) и предложение 2.3, получаем, что Наконец, исключительное множество морфизма \rho \colon \mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) \to \mathcal{X} является проективным подрасслоением
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\mathcal{C}_{X_1} \boxtimes \mathcal{L}) \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}) \times C \cong \widetilde X \times C \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2}) \times C,
\end{equation*}
\notag
и оно стягивается морфизмом \rho на подмногообразие X_2 \times C \subset \mathcal{X}. Замечание 4.1. Можно получить векторное расслоение \widetilde{\mathcal{W}} на X_1 \times C из (тривиального над C) векторного расслоения \mathcal{W}_{X_1} \boxtimes \mathcal{O}_{C} и фильтрации (2.3) его центрального слоя с помощью элементарного преобразования, аналогичного использованному в лемме 3.2. Пользуясь этим, можно объединить конструкции теорем 1.1 и 1.2. § 5. Производные категорииКонструкции теорем 1.1 и 1.2 можно применять разными способами. Например, можно с их помощью установить связь между производными категориями X и Y. Напомним, что обе эти категории обладают полными исключительными наборами: в случае X это было доказано в [1; теорема 8.20], а в случае Y – в [3; теорема 7.1]. Более того, [1; замечание 8.22] указывает на то, что наборы имеют одинаковую структуру. Оказывается, эти два набора можно “склеить”. Точнее говоря, можно построить относительный исключительный набор на \mathcal{X} над C, который совпадает с набором из [3; теорема 7.1] над C \setminus \{0\} и с набором из [1; теорема 8.20] в центральном слое. Напомним обозначения диаграммы (1.7) и обозначим дополнительно
Напомним, что согласно лемме 3.1 морфизмы E_1 \to X_1 и E_2 \to X_2 являются \mathbb{P}^2-расслоениями, а пересечение трансверсально. Обозначим \mathcal{U}_\mathcal{Y} := \mathcal{U} \boxtimes \mathcal{O}_C и \mathcal{S}_\mathcal{Y} := \mathcal{S} \boxtimes \mathcal{O}_C. Тогда можно проверить, что на многообразии \operatorname{Bl}_{X_1}(\mathcal{X}) \cong \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) имеются выделенные треугольники
\begin{equation}
\pi_\mathcal{X}^*\mathcal{S}_\mathcal{X} \to \pi_\mathcal{Y}^*\mathcal{S}_\mathcal{Y} \to i_{1*}\mathcal{O}_{E_1}(-E), \qquad \pi_\mathcal{Y}^*\mathcal{U}_\mathcal{Y} \to \pi_\mathcal{X}^*\mathcal{U}_\mathcal{X} \to i_{2*}\mathcal{O}_{E_2}(-H_2 - 2E),
\end{equation}
\tag{5.1}
определяющие объекты \mathcal{S}_\mathcal{X} и \mathcal{U}_\mathcal{X} в \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(\mathcal{X}). Заметим, что оба дивизора E_1 и E_2 сосредоточены над точкой \{0\} \in C, следовательно, над C \setminus \{0\} эти треугольники превращаются в изоморфизмы между ограничениями \mathcal{S}_\mathcal{X} и \mathcal{S}_\mathcal{Y}, а также \mathcal{U}_\mathcal{X} и \mathcal{U}_\mathcal{Y} соответственно. С другой стороны, ограничения на центральный слой \mathcal{X}_0 \cong X могут быть отождествлены следующим образом:
\begin{equation*}
\mathcal{S}_\mathcal{X}\vert_X \cong \mathbb{U}, \qquad \mathcal{U}_\mathcal{X}\vert_X \cong \widehat{\mathbb{S}},
\end{equation*}
\notag
где правые части равенств определяются в [1; предложения 8.4, 8.7 и лемма 8.12]. Можно также доказать, что имеется C-линейное полуортогональное разложение
\begin{equation*}
\mathbf{D}^{\mathrm{b}}(\mathcal{X}) = \langle \mathcal{A}, \mathcal{A}(H), \mathcal{A}(2H), \mathcal{A}(3H) \rangle,
\end{equation*}
\notag
где H – относительный класс гиперплоскости для \mathcal{X} над C, а
\begin{equation*}
\mathcal{A} = \langle \mathcal{S}_\mathcal{X} \otimes \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(C), \mathcal{U}_\mathcal{X} \otimes \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(C), \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(C) \rangle.
\end{equation*}
\notag
Более того, можно проверить, что после замены базы на \{0\} и C \setminus \{0\} (в смысле статьи [4]) эти разложения совпадают с соответствующими разложениями категорий \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(X) и \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(Y \times (C \setminus \{0\})). БлагодарностиАвтор благодарит Сашу Самохина за обсуждение, в ходе которого была обнаружена теорема 1.1, а Джунмука Хванга и Николя Перрена за полезные замечания касательно предварительной версии этой заметки. Автор также благодарен анонимному рецензенту за внимательное прочтение статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|