Об одном классе нелинейных уравнений в пространстве измеримых функций

Рассматривается класс уравнений в пространстве измеримых функций, в который входит большое количество уравнений относительно цены игры из теории оптимального управления стохастическими процессами. Доказывается следующая
Теорема. {\it Пусть $L$ есть $B$-пространство, состоящее из измеримых функций, $W\subset L,$ $W$ с некоторой нормой является $B$-пространством со слабо компактной сферой, $V_0$ – подпространство $W,$ всюду плотное в $L,$ $v_0\in W,$ $V=V_0+v_0$.
Пусть $L^{\alpha\beta}$ $(\alpha\in\mathfrak U,$ $\beta\in\mathfrak B(\alpha))$ – семейство операторов, заданных на $W,$ с положительными резольвентами $R_\lambda^{\alpha\beta}$ $(R_\lambda^{\alpha\beta}f\in V_0$ при $f\in L),$ $f^{\alpha\beta}$ $(\alpha\in\mathfrak U,$ $\beta\in\mathfrak B(\alpha))$ – семейство функций, $|f^{\alpha\beta}|\leqslant g\in L$ для всех $\alpha,\beta$.
Тогда $($при некоторых дополнительных предположениях о $L,$ $W,$ $L^{\alpha\beta},$ $R_\lambda^{\alpha\beta})$ уравнение $\lambda u-\inf_{\alpha\in\mathfrak U}\sup_{\beta\in\mathfrak B(\alpha)}(L^{\alpha\beta}u+f^{\alpha\beta})=f$ при $\lambda\geqslant0,$ $f\in L$ имеет (и притом единственное) решение в $V$. Это решение имеет вид}
$$u=\inf_{\alpha\in\mathfrak U}\sup_{\beta\in\mathfrak B(\alpha)}R_\lambda^{\alpha\beta}(f^{\alpha\beta}+f+\lambda v_0-L^{\alpha\beta}v_0)+v_0.$$

Библиография: 6 названий.