Аннотация:
Классическая теорема Лузина утверждает, что измеримая функция одной переменной “почти” непрерывна. Для измеримых функций нескольких переменных аналогичное утверждение (непрерывность на произведении множеств почти полной меры) уже не всегда имеет место. Поиск правильного аналога этой теоремы приводит к понятию виртуально непрерывных функций нескольких переменных. Это, по-видимому, новое понятие неявно присутствует в утверждениях типа теорем вложения и теорем о следах для пространств Соболева и фактически вскрывает их природу как теорем о виртуальной непрерывности. Из наших результатов следует, что в условиях теорем Соболева интегрирование функции возможно по очень широкому классу сингулярных мер, включая как частный случай меры, сосредоточенные на подмногообразиях. Понятие виртуальной непрерывности используется и для классификации измеримых функций нескольких переменных, а также в ряде вопросов теории динамических систем, теории полиморфизмов и бистохастических мер. В этой работе мы напоминаем необходимые определение и свойства допустимых метрик, приводим ряд определений виртуальной непрерывности и обсуждаем некоторые приложения. Сокращенная версия (без доказательств) опубликована в [22].
Библиография: 24 названия.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 14-01-00373-а и 13-01-12422-офи-м), гранта Президента РФ MK-6133.2013.1, Исследовательской лаборатории им. П.Л. Чебышёва СПбГУ (грант Правительства РФ, дог. № 11.G34.31.0026), ОАО «Газпром нефть» и СПбГУ (грант № 6.38.223.2014).
Образец цитирования:
А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и ее приложения”, УМН, 69:6(420) (2014), 81–114; Russian Math. Surveys, 69:6 (2014), 1031–1063
А. М. Вершик, Г. А. Вепрев, П. Б. Затицкий, “Динамика метрик в пространствах с мерой и масштабированная энтропия”, УМН, 78:3(471) (2023), 53–114; A. M. Vershik, G. A. Veprev, P. B. Zatitskii, “Dynamics of metrics in measure spaces and scaling entropy”, Russian Math. Surveys, 78:3 (2023), 443–499
А. М. Вершик, М. А. Лифшиц, “О mm-энтропии банахова пространства с гауссовской мерой”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023), 532–543; A. M. Vershik, M. A. Lifshits, “On mm-entropy of a Banach space with a Gaussian measure”, Theory Probab. Appl., 68:3 (2023), 431–439
Gladkov N.A. Kolesnikov V A. Zimin A.P., “The Multistochastic Monge-Kantorovich Problem”, J. Math. Anal. Appl., 506:2 (2022), 125666
В. И. Богачев, “Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований”, УМН, 77:5(467) (2022), 3–52; V. I. Bogachev, “Kantorovich problem of optimal transportation of measures: new directions of research”, Russian Math. Surveys, 77:5 (2022), 769–817
А. М. Вершик, “Теория фильтраций подалгебр, стандартность и независимость”, УМН, 72:2(434) (2017), 67–146; A. M. Vershik, “The theory of filtrations of subalgebras, standardness, and independence”, Russian Math. Surveys, 72:2 (2017), 257–333
В. И. Богачев, А. Н. Калинин, С. Н. Попова, “О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича”, Вероятность и статистика. 25, Посвящается памяти Владимира Николаевича СУДАКОВА, Зап. научн. сем. ПОМИ, 457, ПОМИ, СПб., 2017, 53–73; V. I. Bogachev, A. N. Kalinin, S. N. Popova, “On the equality of values in the Monge and Kantorovich problems”, J. Math. Sci. (N. Y.), 238:4 (2019), 377–389
A. M. Vershik, “Asymptotic theory of path spaces of graded graphs and its applications”, Jap. J. Math., 11:2 (2016), 151–218
А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Интегрирование виртуально непрерывных функций по бистохастическим мерам и формула следа ядерных операторов”, Алгебра и анализ, 27:3 (2015), 66–74; St. Petersburg Math. J., 27:3 (2016), 393–398
П. Б. Затицкий, “Масштабирующая энтропийная последовательность: инвариантность и примеры”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 432 (2015), 128–161; P. B. Zatitskiy, “Scaling entropy sequence: invariance and examples”, J. Math. Sci. (N. Y.), 209:6 (2015), 890–909
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: