| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Непрерывные дроби и проблема классификации эллиптических полей над квадратичными полями констант Г. В. Федоров Научно-технологический университет "Сириус", г. Сочи
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110512 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть f(x) \in K[x] – свободный от квадратов многочлен над полем K характеристики отличной от 2. Дополнительно предположим, что свободный член многочлена f является полным квадратом в мультипликативной группе K^{\ast} поля K. Тогда гиперэллиптическое поле L=K(x)(\sqrt{f}) вкладывается в поле формальных степенных рядов K((x)), которое состоит из элементов вида
\begin{equation*}
\alpha=\sum_{j=s}^{+\infty} b_j x^j, \qquad s \in \mathbb{Z}, \quad b_j \in K, \quad b_s \ne 0.
\end{equation*}
\notag
В K((x)) определено нормирование v_x(\alpha)=s, которое индуцируется на поле L двумя способами v_x^- и v_x^+, зависящими от вложения L в K((x)). Определим целую часть элемента \alpha \in K((x)) как тогда для элементов поля K((x)) корректно определено разложение в непрерывную дробь путем следующих операций (см. [1], [2]):
\begin{equation*}
\alpha_0=\alpha, \qquad a_j=[\alpha_j], \quad \alpha_{j+1}=\frac{1}{\alpha_j-a_j},\quad j \in \mathbb{N}_0.
\end{equation*}
\notag
Сама непрерывная дробь в кратком виде записывается так: Зафиксируем одно из вложений поля L в K((x)) и для определенности обозначим соответствующее ему нормирование v_x^-. Тогда для элементов \alpha \in L определена соответствующая целая часть [\alpha]_x^- и корректно определено разложение в непрерывную дробь, которую мы будем обозначать так же, как в (1.1). Будем писать, что разложение элементов поля L в непрерывную дробь построено в поле K((x)), когда необходимо подчеркнуть, что соответствующее построение индуцировано из вложения L в K((x)). Для более подробного знакомства с функциональными непрерывными дробями в гиперэллиптических полях, их связью с фундаментальными единицами и S-единицами, определениями степеней фундаментальных единиц и S-единиц, и их связью с порядками точек кручения в якобианах гиперэллиптических кривых отсылаем читателя к работам [1]–[4]. В статьях [2], [5] сформулирована задача описания эллиптических и гиперэллиптических полей L=K(x)(\sqrt{f}), в которых соответствующие элементы \sqrt{f} имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, построенную в поле K((x)). Интерес к этой задаче объясняется следующими обстоятельствами. Во-первых, постановка этой задачи по формулировке почти идентична классической проблеме периодичности, впервые появившейся в работах Абеля и Чебышева, и в дальнейшем получившей достаточно широкое внимание в математических работах вплоть до настоящего времени (см. [6]–[10]). Классическая проблема периодичности заключается в определении эллиптических и гиперэллиптических полей L=K(x)(\sqrt{f}), в которых соответствующие элементы \sqrt{f} имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, построенную в поле K((x^{-1})). Эта проблема имеет глубокую связь с такими проблемами как проблема поиска и построения фундаментальных единиц и S-единиц гиперэллиптических полей, проблема поиска рациональных точек кручения в якобиане гиперэллиптической кривой (см. [1], [2], [11], [12]). Во-вторых, изучение элементов вида \sqrt{f}, имеющих периодическое разложение в непрерывную дробь, построенную в поле K((x)), важно для решения проблемы описания всех периодических и квазипериодических элементов в эллиптических и гиперэллиптических полях. В статье [13] была высказана гипотеза (гипотеза № 2) о том, что элементы вида \sqrt{f} являются “пограничными” в следующем смысле: для полей алгебраических чисел K не существует элементов вида x\sqrt{f}, обладающих периодическим разложением в непрерывную дробь в K((x)). Кроме того, известно (см. [14], [15]), что из периодичности непрерывной дроби элемента \sqrt{f} следует периодичность непрерывных дробей всех элементов вида
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{f}}{x^s}, \qquad 0 \leqslant s \leqslant \deg f.
\end{equation*}
\notag
В настоящей статье найдено полное описание троек [m,f(x),K] соответствующих K-точкам на рациональных модулярных кривых X_1(m), где m – порядок кручения, 2 \leqslant m \leqslant 12, m \ne 11, K – квадратичное расширение \mathbb{Q}, f \in K[x] – свободный от квадратов многочлен степени 4, для которого элемент \sqrt{f} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле K((x)). В статье [16] при 4 \leqslant m \leqslant 12, m \ne 11, было анонсировано описание таких троек без подробных рассуждений. Отметим, что случаи 2 \leqslant m \leqslant 3 вызывают особый интерес над квадратичными числовыми полями K, поскольку в этих случаях возникает половина всех примеров многочленов f, для которых \sqrt{f} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в K((x)). Поиск элементов вида \sqrt{f}, обладающих периодическим разложением в непрерывную дробь в поле K((x)), имеет смысл осуществлять с точностью до отношения эквивалентности, определенного допустимыми заменами многочлена f(x) на a^2 f(bx^n) для a,b \in K^{\ast}, n \in \mathbb{N}, и заменой f(x) на f^{\sigma}(x), где \sigma – автоморфизм группы Галуа \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}). Гипотеза № 1 в [13] утверждает, что над числовыми полями K для заданного числа N \in \mathbb{N} с точностью до указанной выше эквивалентности существует лишь конечное число свободных от квадратов многочленов f(x), \deg f \leqslant N, для которых \sqrt{f} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в K((x)). Мы будем говорить, что многочлен f определен с точностью до указанной эквивалентности с минимальным представлением степени \deg f=k, если нельзя сделать замену x^n на x для некоторого n \in \mathbb{N} так, чтобы степень многочлена f стала меньше k. В статьях [2] и [13] полностью решена задача описания эллиптических полей L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f}), в которых соответствующие элементы \sqrt{f} имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, построенную в поле \mathbb{Q}((x)) над полем \mathbb{Q} рациональных чисел. Тем самым доказана гипотеза № 1 для K=\mathbb{Q} и N=4, а также показано, что в этом случае справедлива гипотеза № 2. В статьях [17]–[19] доказана гипотеза № 1 для кубических многочленов f(x), определенных над полями K, [K: \mathbb{Q}] \leqslant 6, а в случае [K: \mathbb{Q}] \leqslant 3 в [18]–[20] дано явное описание таких пар [K,f(x)], что \deg f=3 и \sqrt{f} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле K((x)). Обозначим через \mathcal{U}_0^{(4)} множество пар [f(x),K], состоящих из числового поля K и свободного от квадратов многочлена f \in K[x] с минимальным представлением степени 4, имеющего периодическое разложение \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле K((x)), с точностью до отношения эквивалентности, определенного допустимыми заменами многочлена f(x) на a^2f(bx) для a,b \in K^{\ast} и заменой f(x) на f^{\sigma}(x), где \sigma \in \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}). Для [f(x),K] \in \mathcal{U}_0^{(4)} в силу критерия из статьи [2] (теорема 1) эллиптическое поле L=K(x)(\sqrt{f}) обладает фундаментальной S-единицей некоторой степени m, где множество S=\{v_x^-,v_x^+\}. Отсюда следует, что класс дивизора (x)^--(x)^+ имеет конечный порядок m в группе классов дивизоров \Delta^{\circ}(L), причем в случае K=\mathbb{Q} из статьи [21] следует, что m \leqslant 12, m \ne 11, а в случае [K: \mathbb{Q}]=2 из статьи [22] следует, что m \leqslant 18, m \ne 17. Обозначим через] \mathcal{U}^{(4)} множество троек [m,f(x),K], где [f(x),K] \in \mathcal{U}_0^{(4)} и m – степень соответствующей фундаментальной S-единицы поля L=K(x)(\sqrt{f}). Теорема 1. Множество троек [m,f(x),K] \in \mathcal{U}^{(4)} таких, что [K: \mathbb{Q}] \leqslant 2, m \leqslant 12, m \ne 11, описывается следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} m&=3, &\quad f_1&=-4x^{4}-4x^{3}-3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=3, &\quad f_2&=-12x^{4}-12x^{3}-3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=3, &\quad f_3&=-\frac{4x^{4}}{3}-\frac{4x^{3}}{3}-3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=3, &\quad f_4&=-4 x^{4}(3-2\sqrt{2})-4x^{3}(3-2\sqrt{2})- 3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{2}), \\ m&=3, &\quad f_5&=-4x^{4}(7-4\sqrt{3})-4x^{3}(7-4\sqrt{3})- 3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{3}), \\ m&=3, &\quad f_6&=-4x^{4}(5-2\sqrt{5})-4 x^{3}(5-2\sqrt{5})- 3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{5}), \\ m&=3, &\quad f_7&=-\frac{4x^{4}(5-2\sqrt{5})}{5}- \frac{4x^{3}(5-2\sqrt{5})}{5}-3x^{2}-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{5}), \\ m&=4, &\quad f_8&=-\frac{3x^{4}}{4}-3x^{3}-2x^{2}-2x+1, &\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=4, &\quad f_9&=\frac{36-21\sqrt{3}}{2}x^4+(15-9\sqrt{3}) x^3+ (4-3\sqrt{3})x^2-2x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{3}), \\ m&=5, &\quad f_{10}&=-5x^{4}-3x^{3}-\frac{7x^{2}}{4}-x+1,&\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=6, &\quad f_{11}&=\frac{108x^{4}}{5}+\frac{324x^{3}}{25}+ \frac{69x^{2}}{25}-\frac{6x}{5}+1,&\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=7, &\quad f_{12}&=-\frac{28x^{4}}{5}-\frac{84x^{3}}{25}+ \frac{21x^{2}}{25}-\frac{2x}{5}+1,&\quad K&=\mathbb{Q}, \\ m&=7, &\quad f_{13}&=\frac{(35-9\sqrt{-7})x^{4}}{2}+ \frac{(33-3\sqrt{-7})x^{3}}{2}&& \\ &&&\qquad+\frac{(41+5\sqrt{-7})x^{2}}{8}- \frac{(3+\sqrt{-7})x}{2}+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{-7}), \\ m&=7, &\quad f_{14}&=-\frac{x^{4}(32\sqrt{21}+147)}{15}- \frac{x^{3}(621+136\sqrt{21})}{75}&& \\ &&&\qquad-\frac{x^{2}(304\sqrt{21}+1469)}{300}- \frac{x(33+8\sqrt{21})}{15}+1,&\quad K&=\mathbb{Q}(\sqrt{21}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Все многочлены в теореме 1 лежат в разных классах относительно указанного выше отношения эквивалентности и имеют минимальное представление степени 4. Более того, соответствующие эллиптические поля L=K(x)(\sqrt{f}) попарно неизоморфны, а эллиптические кривые, определяемые уравнениями y^2=f(x), попарно бирационально неэквивалентны. Примеры f_1, f_2, f_3, f_8, f_{10}, f_{11}, f_{12}, определенные над \mathbb{Q}, были найдены в [13]. Примеры f_9, f_{13}, f_{14}, определенные соответственно над полями \mathbb{Q}(\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{-7}), \mathbb{Q}(\sqrt{21}), были найдены в [16]. Оставшиеся примеры f_4, f_5, f_6, f_7 являются новыми и приводятся в этой статье впервые. С помощью теоремы 1 и непосредственной вычислительной проверки получаем следующий результат, который подтверждает гипотезу № 2 из [13] в случае \deg f=4, [K: \mathbb{Q}] \leqslant 2. Теорема 2. В случае s<0 или s>4 не существует троек [m,f(x),K] таких, что K – квадратичное расширение поля \mathbb{Q}, многочлен f \in K[x] свободен от квадратов, элемент \sqrt{f}/x^s имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле K((x)), поле L=K(x)(\sqrt{f}) содержит фундаментальную S-единицу степени m, m \leqslant 12, m \ne 11. 2. Вспомогательные утвержденияДля натуральных n определим две последовательности многочленов T_n, Q_n \in \mathbb{Z}[x]:
\begin{equation}
T_n(x)=\sum_{0 \leqslant j \leqslant n/2} \begin{pmatrix} n \\ 2j\end{pmatrix} x^j, \qquad Q_n(x)=\sum_{0 \leqslant j < n/2} \begin{pmatrix} n \\ 2j+1\end{pmatrix} x^j.
\end{equation}
\tag{2.1}
Мультипликативная структура этих двух последовательностей была изучена в статье [15] в связи с задачей о верхних оценках длин периодов и квазипериодов функциональных непрерывных дробей над полем рациональных чисел \mathbb{Q}, а в дальнейшем в статье [23] были получены верхние оценки длин периодов и квазипериодов над полями алгебраических чисел. Напомним некоторые сведения о последовательностях многочленов T_n, Q_n, необходимые в настоящей работе. Из определения следует, что \deg T_n=[n/2], \deg Q_n=[(n-1)/2]. Положим x=y^2, тогда справедливо тождество
\begin{equation}
T_n(y^2)+y Q_n(y^2)=\sum_{0 \leqslant k \leqslant n} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} y^k=(1+y)^n.
\end{equation}
\tag{2.2}
Если подставить вместо y значение -y, то имеем T_n(y^2)-y Q_n(y^2)=(1-y)^n. Отсюда получаем формулы, которые можно использовать как альтернативное определение многочленов T_n, Q_n:
\begin{equation*}
T_n(y^2)=\frac{1}{2}\bigl((1+y)^n+(1-y)^n\bigr), \qquad Q_n(y^2)=\frac{1}{2y}\bigl((1+y)^n-(1-y)^n\bigr).
\end{equation*}
\notag
При любом n \in \mathbb{N} многочлены T_n(x) и Q_n(x) взаимно просты и не имеют кратных корней. Из (2.2) следует, что для любых n,m \in \mathbb{N} справедливы тождества
\begin{equation}
T_{n m}(x)=(T_n(x))^m T_m(z), \qquad Q_{n m}(x)=(T_n(x))^{m-1} Q_n(x) Q_m(z),
\end{equation}
\tag{2.3}
где z=x (Q_n(x)/T_n(x))^2. В частности, Пусть K – числовое поле, и даны числа n,m \in \mathbb{N}. Из формул (2.3) следует, что если у многочленов T_n(x), Q_n(x), T_m(x) и Q_m(x) нет корней в поле K, то у многочленов T_{nm}(x) и Q_{nm}(x) также нет корней в поле K. В статье [15] были найдены все рациональные корни многочленов T_n(x) и Q_n(x) при всех натуральных n: для многочленов T_n(x), n \in \mathbb{N}, корнями могут быть только x \in \{-1,-1/3\}; более точно,
\begin{equation*}
T_{2(2k-1)}(-1)=0, \quad T_{3(2k-1)}\biggl(-\frac13\biggr)=0 \qquad\text{при всех}\quad k \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
причем указанные корни имеют кратность один и других рациональных корней нет. Для многочленов Q_n(x), n \in \mathbb{N}, корнями могут быть только x \in \{-3,-1,-1/3\}; более точно,
\begin{equation*}
Q_{3k}(-3)=0, \quad Q_{4k}(-1)=0, \quad Q_{6k}\biggl(-\frac13\biggr)=0 \qquad\text{при всех}\quad k \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
причем указанные корни имеют кратность один и других рациональных корней нет. Запишем явные выражения для многочленов T_n(x) и Q_n(x) при n \leqslant 6:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T_1(x)=1, \qquad Q_1(x)=1, \qquad T_2(x)=x+1, \qquad Q_2(x)=2, \\ T_3(x)=3x+1, \qquad Q_3(x)=x+3, \qquad T_4(x)=x^2+6x+1, \qquad Q_4(x)=4(x+1), \\ T_5(x)=5x^2+10x+1, \qquad Q_5(x)=x^2+10x+5, \\ T_6(x)=(x+1)(x^{2}+14 x+1), \qquad Q_6(x)=2 (x+3)(3 x+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
При простых n по критерию Эйзенштейна из (2.1) легко видно, что многочлены T_n(x) и Q_n(x) неприводимы, причем при n \geqslant 7 степени многочленов T_n(x) и Q_n(x) больше 3, поэтому при простых n многочлены T_n(x) и Q_n(x) корней в квадратичных полях не имеют. Обозначим множество различных корней многочленов T_n(x) и Q_n(x) при n \leqslant 6 через M:
\begin{equation}
M=\biggl\{-1,\,-\frac{1}{3},\, -3,\, -3 \pm 2\sqrt{2},\, \frac{-5 \pm 2\sqrt{5}}{5},\, -5 \pm 2\sqrt{5},\, -7 \pm 4\sqrt{3}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.5}
Обозначим элементы множества M, записанные в том же порядке, как в (2.5), следующим образом:
\begin{equation}
M=\{c_3,c_4,c_5,c_6^{\pm},c_8^{\pm},c_{10}^{\pm},c_{12}^{\pm}\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
Для краткости верхние индексы у c_n^{\pm} опускаем. Нижние индексы в (2.6) означают соответственно минимальные номера n, для которых Q_n(c_n)=0. В [16] доказано, что других корней в квадратичных полях кроме корней из множества M многочлены T_n(x) и Q_n(x), n \in \mathbb{N}, не имеют. Теорема 3 [16]. Множество корней последовательности многочленов T_n(x) и Q_n(x), принадлежащих квадратичным полям, исчерпывается множеством M, определенном в (2.5). 3. Схема доказательства основных результатовОбозначим через X_1(m) модулярную кривую, K-точки которой с точностью до изоморфизма отвечают парам (E,P_m), где E – эллиптическая кривая, определенная над K, P_m – K-точка порядка m на E. Ограничение в теореме 1 на степень m фундаментальной S-единицы обусловлено тем фактом, что в случае m \leqslant 12, m \ne 11 кривые X_1(m) рациональны и дают так называемую рациональную параметризацию множества пар (E,P_m) с зависимостью от единственного параметра t (явное представление см., например, в [24]). Для m=11 и m \geqslant 13 кривые X_1(m) перестают быть рациональными, что существенно увеличивает вычислительную сложность используемого нами метода, поскольку возникают дополнительные параметры и нелинейные условия. В связи с этим для дальнейших существенных продвижений нужны кардинально новые идеи. Доказательство теоремы 1 является обобщением доказательства основных результатов статьи [13], проведенных над полем \mathbb{Q}, на случай квадратичных полей констант. Отметим, что рассуждения нельзя назвать аналогичными [13], поскольку при расширениях поля \mathbb{Q} существенным образом изменяется множество M корней многочленов T_n(x) и Q_n(x), определенных в (2.1). Для квадратичных расширений в теореме 3 явно найдены элементы множества M – их конечное число (см. (2.5)), что дает конечное число вариантов уравнений, связывающих параметры семейств эллиптических кривых, имеющих точку порядка m, m \leqslant 12, m \ne 11. Указанная связь возникает из условия периодичности разложения \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле K((x)), и явно представлена в теореме 4 [13]. Кроме того, ввиду необходимости объемных символьных компьютерных вычислений над квадратичными полями, была значительно изменена программная реализация используемых алгоритмов. Приведем схему доказательства теоремы 1. Схема доказательства теоремы 1. Пусть K – числовое поле. Для каждого 4 \leqslant m \leqslant 12, m \ne 11, в [7], [25], [13] явно выписано параметрическое семейство всех приведенных многочленов F=F(X,c) \in \mathbb{Q}[X] четвертой степени с параметром c \in K таких, что класс дивизора \infty^{-}-\infty^{+} имеет порядок m в группе классов дивизоров степени ноль \Delta^{\circ}(\mathcal{L}) поля \mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F(X,c)}). Для 2 \leqslant m \leqslant 3 в [13], [25] также выписано параметрическое семейство всех приведенных многочленов F=F(X, b, c) \in \mathbb{Q}[X] четвертой степени с двумя параметрами b,c \in K таких, что класс дивизора \infty^{-}-\infty^{+} имеет порядок m в группе классов дивизоров степени нуль \Delta^{\circ}(\mathcal{L}). Здесь приведенность многочлена F понимается в смысле дополнительных ограничений: коэффициент при X^3 равен нулю, коэффициент при X^4 равен 1. Для 2 \leqslant m \leqslant 3 при всевозможных значениях параметров b,c \in K, для которых дискриминант F(X) не обращается в нуль, указанные параметрические семейства содержат все приведенные многочлены F(X) четвертой степени над полем K такие, что выполнено одно из следующих равносильных условий:
Опишем схему доказательства теоремы 1 при 4 \leqslant m \leqslant 12, m \ne 11, когда параметрическое семейство приведенных многочленов F(X)=F(X,c) зависит от одного параметра c. Обозначим через p_j/q_j, j \in \mathbb{N}_0, подходящие дроби к \sqrt{F(X, c)}, причем p_j=p_j(X, c), q_j=q_j(X, c) \in \mathbb{Q}(c)[X]. Положим K=\mathbb{Q}(c). Тогда фундаментальная единица поля \mathcal{L}=K(X)(\sqrt{F}) имеет вид p_n+ q_n \sqrt{F} для некоторого минимального n \in \mathbb{N} такого, что p_n^2-q_n^2 F \in K^{\ast} (см. [1]). Обозначим
\begin{equation*}
\Omega_1^{(j)}+\Omega_2^{(j)}\sqrt{F}=(p_n+ q_n \sqrt{F})^{j}, \qquad\text{где}\quad\Omega_1^{(j)},\Omega_2^{(j)} \in K[X], \quad j \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Тогда справедливо представление (см. [23; § 5])
\begin{equation}
\Omega_1^{(j)}+\Omega_2^{(j)}\sqrt{F}= p_n^j(T_j(Z)+Q_j(Z)\sqrt{Z}), \qquad\text{где}\quad Z=\frac{q_n^2F}{p_n^2}.
\end{equation}
\tag{3.2}
Положим r_j=v_{X}(\Omega_2^{(j)}), тогда согласно теореме 3 возможны только следующие девять случаев: r_k > 0 при том, что r_j=0, если 1 \leqslant j < k, для каждого k \in \Lambda=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12\}. Отметим, что если для некоторого k \in \mathbb{N} выполнено r_k > 0, то непрерывная дробь элемента \sqrt{F}/X^{r_k}, построенная в поле K((1/X)), периодическая (см. [13; теорема 4]).
Замена X на X+t соответствует изоморфизму (“сдвигу”) кривых C\colon Y^2=F(X) и C_t\colon Y^2=F(X+t), причем непрерывная дробь элемента \sqrt{F(X+t)} периодична тогда и только тогда, когда непрерывная дробь \sqrt{F(X)} периодична, поскольку указанная замена не меняет структуру норменного уравнения (3.1). Однако для элементов вида X^s \sqrt{F(X+t)}, s \ne 0, свойство периодичности, вообще говоря, не сохраняется при различных значениях параметра t, поэтому в дальнейшем мы будем искать те значения t, для которых разложение X^s \sqrt{F(X+t)} в непрерывную дробь периодично. Заметим, что опять в силу структуры норменного уравнения (3.1) для a, b \in K^{\ast} непрерывная дробь вида (bX)^s \sqrt{a^2 F(bX)} периодична тогда и только тогда, когда непрерывная дробь X^s\sqrt{F(X)} периодична. Поэтому дальнейшие рассуждения о поиске периодических непрерывных дробей элементов вида X^s \sqrt{F(X)}, s \in \mathbb{N}, будут проводиться с точностью до указанной замены для некоторых a, b \in K^{\ast}. Как было отмечено, в [7], [25] выписаны параметрические семейства всех приведенных многочленов F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X], которые задают соответствующие эллиптические кривые с точками конечного порядка. Замена вида F(X) на F(X+t) из указанных параметрических семейств приведенных многочленов позволяет получить описание всех многочленов F=F(c,t) \in \mathbb{Q}[X], \deg F=4, со старшим коэффициентом 1, для которых разложение \sqrt{F} в непрерывную дробь в поле \mathbb{Q}(c,t)((1/X)) периодично. Наша задача сводится к поиску всех значений параметров c,t \in K для каждого из случаев v_{X}(\Omega_2^{(k)})>0, k \in \Lambda, причем по постановке задачи мы ограничиваемся квадратичными расширениями, K=\mathbb{Q}(c, t), [K : \mathbb{Q}] \leqslant 2. Заметим, что необходимым и достаточным условием периодичности непрерывной дроби \sqrt{F(X+t,c)}/X в K((1/X)) является \Omega_2^{(k)}(t)=0 хотя бы для одного из k \in \Lambda. Для того, чтобы непрерывная дробь \sqrt{F(X+t,c)}/X^2 была периодической, необходимо и достаточно, чтобы r_k=v_{X}(\Omega_2^{(k)}) \geqslant 2 для некоторого k \in \Lambda. Будем вычислять последовательно значения r_k=v_{X}(\Omega_2^{(k)}), k \in \Lambda, причем, вычисляя очередное r_k, считаем, что r_j=0 при j \in \Lambda, j < k, поскольку нас интересует минимальный номер k \in \Lambda, для которого r_k > 0. Согласно (3.2) значения r_k можно вычислить следующим образом:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r_1&=v_{X}(q_n), \nonumber \\ r_2&=v_{X}(p_n) \quad\text{при условии, что}\quad r_1=0, \nonumber \\ r_k&=v_{X}\biggl(\frac{q_n^2F}{p_n^2}-c_k\biggr), \quad c_k \in M, \quad\text{при условии, что}\quad r_j=0 \quad \text{при} \ \ j \in \Lambda, \ j < k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
причем в случае сопряженных квадратичных иррациональностей, входящих в множество M, в качестве c_k нужно рассматривать каждое значение c_k^{\pm}. Таким образом, мы приходим к необходимости изучения значений v_{X} на следующем множестве:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Theta&=\bigl\{q_n,\,p_n,\,3 p_n^2+q_n^2 F,\,p_n^2+q_n^2 F,\, p_n^2+3 q_n^2 F,\,p_n^4+6 p_n^2 q_n^2 F+q_n^4 F^2, \\ &\qquad 5 p_n^4+10 p_n^2 q_n^2 F+q_n^4 F^2,\, p_n^4+10 p_n^2 q_n^2 F+5 q_n^4 F^2,\, p_n^4+14 p_n^2 q_n^2 F+q_n^4 F^2\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для краткости обозначим элементы множества \Theta через \theta_k, k \in \Lambda, в указанном порядке следования.
Итак, наша задача состоит в поиске всех значений параметров t, c, определенных в некотором квадратичном поле K, для которых r_k=v_{X}(\theta_k) \geqslant 2, где k – минимальный номер из \Lambda (см. [16]). Так как X=0 должен быть корнем \theta_k кратности не менее 2, то дискриминант D_k многочлена \theta_k(X) должен обращаться в нуль. Дискриминант D_k=D_k(c) многочлена \theta_k(X)=\theta_k(X,c,t) зависит только от параметра c, поскольку “сдвиг” t на дискриминант не влияет. По корням дискриминанта D_k(c) находим значения параметра t такие, что r_k \geqslant 2. Если найдены все подходящие значения параметров c, t, то для доказательства теоремы 1 достаточно положить f(x)=x^4 F(1/x+t,c) \in K[x] и отобрать представителей с точностью до указанного в определении множества \mathcal{U}_0^{(4)} отношения эквивалентности. В случаях 2 \leqslant m \leqslant 3 параметрическое семейство многочленов F(X) зависит от двух параметров b, c, а также от параметра “сдвига” t. Тогда дискриминанты D_k=D_k(b,c) многочленов \theta_k(X) также зависят от двух параметров b, c, поскольку “сдвиг” t на дискриминант не влияет. По корням дискриминанта D_k относительно переменных b, c находим значения параметра t такие, что r_k \geqslant 2. Изложенная схема доказательства существенным образом опирается на большие символьные компьютерные вычисления. Отметим, что схема доказательства позволяет проводить все операции над полем \mathbb{Q}, за исключением финального поиска корней над квадратичными расширениями. С вычислительной точки зрения это обстоятельство существенно оптимизирует работу алгоритмов. Программный код был реализован на языке программирования Python с использованием библиотеки Sympy [27], [28]. В частности, использовались базовые арифметические функции над кольцом многочленов \mathbb{Q}[X], а также встроенные алгоритмы символьного вычисления дискриминанта многочлена относительно переменной X и с параметрами b, c, разложения многочлена на множители, анализ и решение систем алгебраических уравнений с помощью базисов Гребнера. Без подобных вычислений получить заявленные результаты не представляется возможным. Далее необходимо рассмотреть все возможные степени m фундаментальных единиц эллиптических полей \mathcal{L} и соответствующие параметрические семейства многочленов F(X). Как было указано выше, в настоящей работе мы рассматриваем значения m \leqslant 12, m \ne 11, для которых семейства эллиптических кривых, содержащих точку порядка m, имеют рациональную параметризацию. 4. Описание для S-единиц степени 2При m=2 имеем множество многочленов F(X), для которых \sqrt{F} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в K((X^{-1})), а поле \mathcal{L}=K(X)(\sqrt{F}) обладает фундаментальной единицей степени m=2: за исключением тех значений t, b, c, для которых многочлен F перестает быть свободным от квадратов. С учетом последнего замечания, вычисляя дискриминант многочлена F, зависящий от параметров t, b, c, находим ограничения b \ne 0, b \ne-c^2. В данном случае мы считаем, что поле K есть расширение поля \mathbb{Q} элементами t, b, c.Разложение \sqrt{F(X)} в непрерывную дробь в K((X^{-1})) имеет вид
\begin{equation*}
\sqrt{F(X)}=\biggl[c+X^{2};\, \overline{\frac{2c}{b}+\frac{2X^{2}}{b},\,2c+2X^{2}}\,\biggr].
\end{equation*}
\notag
Фундаментальная единица имеет вид
\begin{equation*}
U=\frac{b+2c^{2}+4cX^{2}+2X^{4}}{b}+ \frac{2c+2X^{2}}{b}\sqrt{F(X)}.
\end{equation*}
\notag
Находим с точностью до постоянного множителя D_1=c, откуда F(X)=X^4+b, что соответствует известной серии решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K – любое квадратичное поле. Найденная серия эквивалентна единственному многочленуС точностью до постоянного множителя D_2=b^{2}(b+2 c^{2}), откуда находим b=-2c^{2}, поскольку ранее мы получили условие b \ne 0. Подставляя b=-2c^{2} в \theta_2(t,b,c) \in \mathbb{Q}(b,c)[t], находим единственный кратный корень t=0, откуда получаем известную серию решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(c) – любое квадратичное поле. Найденная серия эквивалентна единственному многочленуС точностью до постоянного множителя откуда находим b=-4c^{2} или b=-4c^{2}/3. При b=-4c^{2} находим единственное значение t=0, откуда получаем известную серию решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(c) – любое квадратичное поле. Найденная серия эквивалентна единственному многочлену При b=-4c^{2}/3 находим единственное значение t=0, откуда получаем известную серию решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(c) – любое квадратичное поле. Эта серия эквивалентна единственному многочленуС точностью до постоянного множителя откуда находим b=-2c^{2}(2\pm\sqrt{2}), причем в силу выше определенной эквивалентности достаточно рассмотреть только один из этих сопряженных корней. При b=-2c^{2}(2+\sqrt{2}) находим единственное значение t=0, откуда получаем новую серию решений где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f(x)=-(3+2\sqrt{2})x^{2}+2 x+1, \qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,x^{-1}+\sqrt{2}+2;\, \overline{-\frac{(4-3\sqrt{2})}{2}x^{-1}-\frac{5-3\sqrt{2}}{2},} \\ &\qquad \overline{2(2+\sqrt{2})x^{-1}+2(5+3\sqrt{2}),\, \frac{(3-2\sqrt{2})}{2}x^{-2}+\frac{(3-2\sqrt{2})}{2}x^{-1}- \frac{2-\sqrt{2}}{2},} \\ &\qquad \overline{2(2+\sqrt{2})x^{-1}+2(5+3\sqrt{2}),\, -\frac{(4-3\sqrt{2})}{2}x^{-1}-\frac{5-3\sqrt{2}}{2}, \:} \\ &\qquad \overline{x^{-1}+\frac{5+2\sqrt{2}}{2},\, -4x^{-1}-2(5+2\sqrt{2})}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 7, длина периода равна 14, коэффициент квазипериода равен -1/4. С точностью до постоянного множителя откуда находим b=-4c^{2}(2\pm \sqrt{3}), причем в силу выше определенной эквивалентности достаточно рассмотреть только один из этих сопряженных корней. При b=-4c^{2}(2+\sqrt{3}) находим единственное значение t=0, откуда получаем новую серию решений где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{3},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f(x)=-(7+4\sqrt{3})x^{2}+2x+1, \qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{3}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,x^{-1}+2(\sqrt{3}+2); \\ &\qquad \overline{-\frac{(12-7\sqrt{3})}{6}x^{-1}- \frac{13-7\sqrt{3}}{6},\,3(9+5\sqrt{3})x^{-1}+15(7+4\sqrt{3}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(19-11\sqrt{3})}{9}x^{-1}- \frac{7-4\sqrt{3}}{3},\,\frac{9(2+\sqrt{3})}{2}x^{-1}+ \frac{9(9+5\sqrt{3})}{2},} \\ &\qquad \overline{\frac{2(7-4\sqrt{3})}{9}x^{-2}+ \frac{2(7-4\sqrt{3})}{9}x^{-1}-\frac{4(2-\sqrt{3})}{9},} \\ &\qquad \overline{\frac{9(2+\sqrt{3})}{2}x^{-1}+ \frac{9(9+5\sqrt{3})}{2},\,-\frac{(19-11\sqrt{3})}{9}x^{-1}- \frac{7+4\sqrt{3}}{3},} \\ &\qquad \overline{3(9+5\sqrt{3})x^{-1}+15(7+4\sqrt{3}),\, -\frac{(12-7\sqrt{3})}{6}x^{-1}-\frac{13-7\sqrt{3}}{6},} \\ &\qquad \overline{x^{-1}+\frac{9+4\sqrt{3}}{2},\, -4x^{-1}-2(9+4\sqrt{3})}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 11, длина периода равна 22, коэффициент квазипериода равен -1/4. С точностью до постоянного множителя
\begin{equation*}
D_6=b^{56}(b^{4}+32b^{3}c^{2}+160b^{2}c^{4}+256bc^{6}+128c^{8}),
\end{equation*}
\notag
откуда получаем, что над квадратичными полями решений нет. С точностью до постоянного множителя
\begin{equation*}
D_8=b^{56}(b^{2}+12bc^{2}+16c^{4})(5b^{2}+20bc^{2}+16c^{4}),
\end{equation*}
\notag
откуда b=-c^{2}(6 \pm 2\sqrt{5}) или b=-c^{2}(2 \pm 2\sqrt{5}/5), причем в силу выше определенной эквивалентности достаточно рассмотреть только один из этих сопряженных корней. При b=-c^{2}(6+2\sqrt{5}) находим единственное значение t=0, откуда получаем новую серию решений где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{5},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f(x)=-(5+2\sqrt{5})x^2+2 x+1, \qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{5}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,x^{-1}+\sqrt{5}+3;\, \overline{-\frac{(11-5\sqrt{5})}{4} x^{-1}- \frac{3(7-3 \sqrt{5})}{4},} \\ &\qquad \overline{(11+5\sqrt{5})x^{-1}+4(9+4\sqrt{5}),\, -\frac{(11-5\sqrt{5})}{4}x^{-1}-\frac{3(7-3\sqrt{5})}{4},} \\ &\qquad \overline{x^{-1}+\frac{7+2\sqrt{5}}{2},\, -4x^{-1}-2(7+2\sqrt{5})}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 5, длина периода равна 10, коэффициент квазипериода равен -1/4. При b=-c^{2}(2+2\sqrt{5}/5) находим единственное значение t=0, откуда получаем новую серию решений где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{5},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f(x)=-\biggl(1+\frac{2 \sqrt{5}}{5}\biggr)x^2+2 x+1, \qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{5}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,x^{-1}+\frac{\sqrt{5}+5}{5}\,; \overline{-\frac{5(1-\sqrt{5})}{4}x^{-1}-\frac{15-\sqrt{5}}{4},} \\ &\qquad \overline{\frac{(3-\sqrt{5})}{5}x^{-1}+ \frac{4(5-\sqrt{5})}{25},\,-\frac{25(3+\sqrt{5})}{4}x^{-1}- \frac{5(25+9\sqrt{5})}{4},} \\ &\qquad \overline{-\frac{2(5-2\sqrt{5})}{25}x^{-2}- \frac{2(5-2\sqrt{5})}{25}x^{-1}+\frac{2(3-\sqrt{5})}{25},} \\ &\qquad \overline{-\frac{25(3+\sqrt{5})}{4}x^{-1}- \frac{5(25+9\sqrt{5})}{4},\,\frac{(3-\sqrt{5})}{5}x^{-1}+ \frac{4(5-\sqrt{5})}{25},} \\ &\qquad \overline{-\frac{5(1-\sqrt{5})}{4}x^{-1}- \frac{15-\sqrt{5}}{4},\, x^{-1}+\frac{15+2\sqrt{5}}{10},\,-4 x^{-1}- \frac{2(15+2\sqrt{5})}{5}}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 9, длина периода равна 18, коэффициент квазипериода равен -1/4. С точностью до постоянного множителя
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{10}&=b^{56}(b^{4}+48b^{3}c^{2}+304b^{2}c^{4}+512bc^{6}+256c^{8}), \\ D_{12}&=b^{56}(b^{4}+64b^{3}c^{2}+320b^{2}c^{4}+512bc^{6}+256c^{8}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда получаем, что над квадратичными полями решений нет.
5. Описание для S-единиц степени 3При m=3 имеем множество многочленов F(X), для которых \sqrt{F} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в K((X^{-1})), а поле \mathcal{L}=K(X)(\sqrt{F}) обладает фундаментальной единицей степени m=3: за исключением тех значений t, b, c, для которых многочлен F перестает быть свободным от квадратов. С учетом последнего замечания, вычисляя дискриминант многочлена F, зависящий от параметров t, b, c, находим ограничения b \ne 0, b \ne 32 c^{3}/27. В данном случае мы считаем, что поле K есть расширение поля \mathbb{Q} элементами t, b, c.Разложение \sqrt{F(X)} в непрерывную дробь в K((X^{-1})) имеет вид
\begin{equation*}
\sqrt{F(X)}=\biggl[-c^{2}+X^{2};\,\overline{\frac{2c}{b}+ \frac{2X}{b},\,-2c^{2}+2X^{2}}\biggr].
\end{equation*}
\notag
Фундаментальная единица имеет вид
\begin{equation*}
U=\frac{b-2c^{3}-2c^{2}X+2cX^{2}+2X^{3}}{b}+ \frac{2c+2X}{b}\sqrt{F(X)}.
\end{equation*}
\notag
Находим с точностью до постоянного множителя D_1=1, поэтому в этом случае решений нет. С точностью до постоянного множителя D_2=b(27b-64c^{3}), откуда находим b=64c^{3}/27, поскольку ранее мы получили условие b \ne 0. При b=64c^{3}/27 находим единственное значение t=c/3, откуда получаем известную серию решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(c) – любое квадратичное поле. Найденная серия эквивалентна единственному многочленуС точностью до постоянного множителя откуда находим b=128 c^{3}/27 или b=128 c^{3}/81. При b=128 c^{3}/27 находим единственное значение t=c/3, откуда получаем известную серию решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(c) – любое квадратичное поле. Найденная серия эквивалентна единственному многочленуПри b=128c^{3}/81 находим единственное значение t=c/3, откуда получаем известную серию решений (см. [13]) где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(c) – любое квадратичное поле. Найденная серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f_3(x)=-\frac{4x^{4}}{3}-\frac{4x^{3}}{3}-3 x^{2}-2x+1, \qquad K=\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
С точностью до постоянного множителя откуда причем в силу выше определенной эквивалентности достаточно рассмотреть только один из этих сопряженных корней. При находим единственное значение t=c/3, откуда получаем новую серию решений
\begin{equation*}
\frac{(2cx-3)(-96c^{3}x^{3}+64\sqrt{2}\,c^{3}x^{3}-54cx-27)}{81},
\end{equation*}
\notag
где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f_4(x)=-4x^{4}(3-2\sqrt{2})- 4x^{3}(3-2\sqrt{2})-3x^{2}-2x+1,\qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f_4(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f_4(x)}&=\biggl[1,\,-x^{-1}+2;\, \overline{-\frac{(1+\sqrt{2})}{4}x^{-1}-\frac{1+\sqrt{2}}{2},} \\ &\qquad \overline{-\frac{\sqrt{2}}{2}x^{-1}+\frac{1+2\sqrt{2}}{2},\, 2(2+2\sqrt{2})x^{-1}-2(5+2\sqrt{2}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{x^{-4}}{32}+\frac{x^{-3}}{32}+ \frac{x^{-2}}{16}+ \frac{(2-\sqrt{2})}{8}x^{-1}+\frac{2-\sqrt{2}}{4},} \\ &\qquad \overline{2(2+\sqrt{2})x^{-1}-2(5+2\sqrt{2}),\, -\frac{\sqrt{2}}{2}x^{-1}+\frac{1+2\sqrt{2}}{2},} \\ &\qquad \overline{-\frac{(1+\sqrt{2})}{4}x^{-1}- \frac{1+\sqrt{2}}{2},\, -x^{-1}+\frac{5}{2},4x^{-1}-10}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 9, длина периода равна 18, коэффициент квазипериода равен -1/4. С точностью до постоянного множителя откуда причем в силу выше определенной эквивалентности достаточно рассмотреть только один из этих сопряженных корней. При находим единственное значение t=c/3, откуда получаем новую серию решений
\begin{equation*}
\frac{(2cx-3)(-224c^{3}x^{3}+128\sqrt{3}\,c^{3}x^{3}- 54cx-27)}{81},
\end{equation*}
\notag
где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{3},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f_5(x)=-4x^{4}(7-4\sqrt{3})- 4x^{3}(7-4\sqrt{3})-3x^{2}-2x+1,\qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{3}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f_5(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f_5(x)}&=\biggl[1,\,-x^{-1}+2;\, \overline{-\frac{(3+2\sqrt{3})}{12}x^{-1}- \frac{3+2\sqrt{3}}{6},\,-\frac{\sqrt{3}}{2}x^{-1}+ \frac{1+2\sqrt{3}}{2},} \\ &\qquad \overline{(3+\sqrt{3})x^{-1}-2(4+\sqrt{3}),\, \frac{\sqrt{3}}{12}x^{-1}+ \frac{\sqrt{3}}{6},(1+\sqrt{3})x^{-1}-2(2+\sqrt{3}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(2+\sqrt{3})}{2}x^{-1}+ \frac{5\,{+}\,2\sqrt{3}}{2},\, \frac{x^{-4}}{8}\,{-}\,\frac{x^{-3}}{8}- \frac{x^{-2}}{4}\,{-}\,(2\,{-}\,\sqrt{3})x^{-1}\,{-}\,2(2\,{-}\,\sqrt{3}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(2+\sqrt{3})}{2}x^{-1}+ \frac{5+2\sqrt{3}}{2},\, (1+\sqrt{3})x^{-1}-2(2+\sqrt{3}),\, \frac{\sqrt{3}}{12}x^{-1}+\frac{\sqrt{3}}{6},} \\ &\qquad \overline{(3+\sqrt{3})x^{-1}-2(4+\sqrt{3}),\, -\frac{\sqrt{3}}{2}x^{-1}+\frac{1+2\sqrt{3}}{2},} \\ &\qquad \overline{-\frac{(3+2\sqrt{3})}{12}x^{-1}- \frac{3+2\sqrt{3}}{6},\,-x^{-1}+ \frac{5}{2},\,4x^{-1}-10}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 15, длина периода равна 30, коэффициент квазипериода равен -1/4. С точностью до постоянного множителя
\begin{equation*}
D_6=b^{40}(531441b^{4}-20155392b^{3}c^{3}+119439360b^{2}c^{6}- 226492416bc^{9}+134217728c^{12}),
\end{equation*}
\notag
откуда получаем, что над квадратичными полями решений нет. С точностью до постоянного множителя
\begin{equation*}
D_8=b^{40} (729 b^{2}-10368 b c^{3}+16384 c^{6}) (3645 b^{2}-17280 b c^{3}+16384 c^{6}),
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
b=c^{3}\biggl(\frac{64}9 \pm 64 \frac{\sqrt{5}}{27}\biggr) \qquad\text{или}\qquad b=c^{3}\biggl(\frac{64}{27} \pm 64 \frac{\sqrt{5}}{135}\biggr),
\end{equation*}
\notag
причем в силу выше определенной эквивалентности достаточно рассмотреть только по одному из сопряженных корней. При находим единственное значение t=c/3, откуда получаем новую серию решений
\begin{equation*}
\frac{(2cx-3)(-160c^{3}x^{3}+64\sqrt{5}\,c^{3}x^{3}-54cx-27)}{81},
\end{equation*}
\notag
где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{5},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f_6(x)=-4x^{4}(5-2\sqrt{5})- 4x^{3}(5-2\sqrt{5})-3x^{2}-2x+1,\qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{5}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f_6(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f_6(x)}&=\biggl[1,\,-x^{-1}+2;\, \overline{-\frac{(2+\sqrt{5})}{4}x^{-1}- \frac{2+\sqrt{5}}{2},} \\ &\qquad \overline{\frac{(1-\sqrt{5})}{4}x^{-1}+ \frac{\sqrt{5}}{2},\, -(1+\sqrt{5})x^{-1}+2\sqrt{5},} \\ &\qquad \overline{-\frac{(3-\sqrt{5})}{16}x^{-1}- \frac{3-\sqrt{5}}{8},\,2(2+\sqrt{5})x^{-1}-2(5+2\sqrt{5}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(3+\sqrt{5})}{8}x^{-1}+ \frac{5+\sqrt{5}}{4},\,-(3-\sqrt{5})x^{-1}-2(3-\sqrt{5}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(3+\sqrt{5})}{8}x^{-1}+ \frac{5+\sqrt{5}}{4},\, 2(2+\sqrt{5})x^{-1}-2(5+2\sqrt{5}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(3-\sqrt{5})}{16}x^{-1}- \frac{3-\sqrt{5}}{8},\,-(1+\sqrt{5})x^{-1}+2\sqrt{5},} \\ &\qquad \overline{\frac{(1-\sqrt{5})}{4}x^{-1}+ \frac{\sqrt{5}}{2},\,-\frac{(2+\sqrt{5})}{4}x^{-1}- \frac{2+\sqrt{5}}{2},\,-x^{-1}+ \frac{5}{2},\,4x^{-1}-10}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 15, длина периода равна 30, коэффициент квазипериода равен -1/4. При находим единственное значение t=c/3, откуда получаем новую серию решений
\begin{equation*}
\frac{(2cx-3)(-160c^{3}x^{3}+ 64\sqrt{5}\,c^{3}x^{3}-270cx-135)}{405},
\end{equation*}
\notag
где в нашей постановке задачи K=\mathbb{Q}(\sqrt{5},c) – любое квадратичное поле. Заметим, что эта серия эквивалентна единственному многочлену
\begin{equation*}
f_7(x)=\frac{4x^{4}(-5+2\sqrt{5})}{5}+ \frac{4x^{3}(-5+2\sqrt{5})}{5}-3x^{2}-2x+1,\qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{5}).
\end{equation*}
\notag
Непрерывная дробь элемента \sqrt{f_7(x)} в поле K((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f_7(x)}&=\biggl[1,\,-x^{-1}+2;\, \overline{-\frac{\sqrt{5}}{4}x^{-1}- \frac{\sqrt{5}}{2},} \\ &\qquad \overline{-\frac{(1+\sqrt{5})}{4}x^{-1}+ \frac{2+\sqrt{5}}{2},\,(3+\sqrt{5})x^{-1}-2(4+\sqrt{5}),} \\ &\qquad \overline{\frac{(5-\sqrt{5})}{16}x^{-1}+ \frac{5-\sqrt{5}}{8},\,2x^{-1}-6,\,-\frac{(5+\sqrt{5})}{16}x^{-3}+ \frac{(5+\sqrt{5})}{8}x^{-2}+1,} \\ &\qquad \overline{2x^{-1}-6,\,\frac{(5-\sqrt{5})}{16}x^{-1}+ \frac{5-\sqrt{5}}{8},\,(3+\sqrt{5})x^{-1}-2(4+\sqrt{5}),} \\ &\qquad \overline{-\frac{(1+\sqrt{5})}{4}x^{-1}+ \frac{2+\sqrt{5}}{2},\,-\frac{\sqrt{5}}{4}x^{-1}- \frac{\sqrt{5}}{2},\,-x^{-1}+\frac{5}{2},\,4x-10}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 13, длина периода равна 26, коэффициент квазипериода равен -1/4. С точностью до постоянного множителя
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{10}&=b^{40}(531441b^{4}-30233088b^{3}c^{3}+226934784b^{2}c^{6}- 452984832bc^{9}+268435456c^{12}), \\ D_{12}&=b^{40}(531441b^{4}-40310784b^{3}c^{3}+238878720b^{2}c^{6}- 452984832bc^{9}+268435456c^{12}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда получаем, что над квадратичными полями решений нет. В заключение этого пункта отметим, что для полей K таких, что [K:\mathbb{Q}]=3, новых решений для m=2 и m=3 не будет, а вот для [K:\mathbb{Q}]=4 такие решения есть, но все они имеют достаточно объемное представление, поэтому в данной статье мы их не приводим. 6. Описание в остальных случаяхСлучаи 4 \leqslant m \leqslant 10 и m=12 были рассмотрены в [13] над полем констант \mathbb{Q}. Поскольку в этих случаях общий параметрический вид семейства многочленов F(X)=F(X,c,t) сохраняется, то по сравнению с [13] достаточно дополнительно искать корни дискриминантов D_k(c) многочленов \theta_k(X) над квадратичными полями K, а также дополнительно к k \in \{1,2,3,4,6\} рассмотреть случаи k \in \{8,10,12\}. Данные обстоятельства увеличивают вычислительную сложность поставленной задачи. Схема вычислений подробна описана в п. 3. В связи с большим объемом в этой статье не представляется возможным дать более подробное описание результатов вычислений над квадратичными полями K, чем это сделано в [13] над полем \mathbb{Q}. Далее приведем лишь найденные новые примеры многочленов f(x), определенных над полями K, [K:\mathbb{Q}]=2, для которых \sqrt{f} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь (см. для сравнения теорему 1 настоящей статьи, теорему 1 [13] и теорему 2 [16]). Пример 1. Рассмотрим K=\mathbb{Q}(\sqrt{3}) и
\begin{equation*}
f(x)=\frac{36-21\sqrt{3}}{2}x^4+(15-9\sqrt{3})x^3+ (4-3\sqrt{3})x^2-2x+1.
\end{equation*}
\notag
Этот многочлен соответствует f_{9} из теоремы 1. Непрерывная дробь \sqrt{f(x)} в поле \mathbb{Q}(\sqrt{3})((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,-x^{-1}-\frac{3(1-\sqrt{3})}{2}\,;\, \overline{\frac{2(12+7\sqrt{3})}{9}x^{-1}-5-3\sqrt{3},} \\ &\quad \overline{\frac{2(3\,{-}\,2\sqrt{3})}{9}x^{-4}\,{-}\, \frac{2(3\,{-}\,2\sqrt{3})}{9}x^{-3} \,{+}\,\frac{9\,{-}\,5\sqrt{3}}{3}x^{-2}\,{+}\, 2(7\,{-}\,4\sqrt{3})x^{-1}\,{+}\,3(7\,{-}\,4\sqrt{3}),} \\ &\quad \overline{\frac{2(12+7\sqrt{3})}{9}x^{-1}-5-3\sqrt{3},\, -x^{-1}-\frac{2-3\sqrt{3}}{2},\, 4x^{-1}+2(2-3\sqrt{3})}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 5, коэффициент квазиперода равен -1/4, длина периода равна 10. Степень фундаментальной S-единицы равна 4. Пример 2. Рассмотрим K=\mathbb{Q}(\sqrt{-7}) и
\begin{equation*}
f(x)=\frac{(35-9\sqrt{-7})x^{4}}{2}+ \frac{(33-3\sqrt{-7})x^{3}}{2}+\frac{(41+5\sqrt{-7})x^{2}}{8}- \frac{(3+\sqrt{-7})x}{2}+1.
\end{equation*}
\notag
Этот многочлен соответствует f_{13} из теоремы 1. Непрерывная дробь \sqrt{f(x)} в поле \mathbb{Q}(\sqrt{-7})((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,-\frac{3+\sqrt{-7}}{4}x^{-1}+1-\sqrt{-7}\,;\, \overline{\frac{1+\sqrt{-7}}{32}x^{-1}+ \frac{3(1-3\sqrt{-7})}{64},} \\ &\qquad \overline{\frac{47+45\sqrt{-7}}{128}x^{-3} -\frac{67-23\sqrt{-7}}{32}x^{-2}- \frac{31-3\sqrt{-7}}{4}x^{-1}+11-\sqrt{-7},} \\ &\qquad \overline{\frac{1+\sqrt{-7}}{32}x^{-1}+ \frac{3(1-3\sqrt{-7})}{64},\,-\frac{3+\sqrt{-7}}{4}x^{-1}+ \frac{(3-2\sqrt{-7})}{2},} \\ &\qquad \overline{(3+\sqrt{-7})x^{-1}- 2(3-2\sqrt{-7})}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 5, коэффициент квазиперода равен -1/4, длина периода равна 10. Степень фундаментальной S-единицы равна 7. Пример 3. Рассмотрим K=\mathbb{Q}(\sqrt{21}) и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(x)&=-\frac{x^{4}(32\sqrt{21}+147)}{15} -\frac{x^{3}(621+136\sqrt{21})}{75} \\ &\qquad -\frac{x^{2}(304\sqrt{21}+1469)}{300} -\frac{x(33+8\sqrt{21})}{15}+1,\qquad K=\mathbb{Q}(\sqrt{21}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Этот многочлен соответствует f_{14} из теоремы 1. Непрерывная дробь \sqrt{f} в поле \mathbb{Q}(\sqrt{21})((x)) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f(x)}&=\biggl[1,\,\frac{2x(33-8\sqrt{21})}{17}+ \frac{60(25-4\sqrt{21})}{289}\,; \\ &\ \ \overline{\frac{x(167\sqrt{21}+827)}{480} -\frac{3(45\sqrt{21}+209)}{64},\, \frac{32x^{3}(1608977-351107\sqrt{21})}{83521}} \\ &\ \ \overline{+\frac{64 x^{2}(456123\,{-}\,99533\sqrt{21})}{83521} \,{+}\,\frac{64x(95211\,{-}\,20771\sqrt{21})}{83521} \,{+}\,\frac{480(9005\,{-}\,1961\sqrt{21})}{83521},} \\ &\ \ \overline{\frac{x(167\sqrt{21}+827)}{480} -\frac{3(45\sqrt{21}+209)}{64},\, \frac{2x(33-8\sqrt{21})}{17}+\frac{3289-480\sqrt{21}}{578},} \\ &\ \ \overline{-\frac{8x(33-8\sqrt{21})}{17} -\frac{2(3289-480\sqrt{21})}{289}}^{-1/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Длина квазипериода равна 5, коэффициент квазиперода равен -1/4, длина периода равна 10. Степень фундаментальной S-единицы равна 7.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fed23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|