Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 1, страницы 149–153 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13866 (Mi mzm13866)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13866

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages 122–126
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070131

Реферативные базы данных:

1. Введение

Классическая работа Александрова [1] положила начало исследованию связей между дискретной и непрерывной топологиями. В качестве дискретных объектов выступают, как правило, объекты различных категорий графов и симплициальных либо кубических множеств, а методами исследования являются методы классической алгебраической топологии. Теория сингулярных кубических гомологий графов (орграфов, колчанов, мультиграфов) [2] аналогична сингулярной кубической теории гомологий топологических пространств [3], [4], а теория гомологий путей [5], [6] является естественным обобщением гомологий Александрова дискретных пространств [7]. Теория кубических (симплициальных) множеств является одним из эффективных методов исследования топологических пространств. Для топологического пространства $X$ определен кубический (симплициальный) комплекс $S^{\Box}(X)$ ($S^{\Delta}(X)$), задаваемый сингулярными кубами (симплексами) пространства $X$ [8], [9]. Определены также топологические реализации: $|K|_{\mathrm{Top}}$ для кубического множества $K$, $|S|_{\mathrm{Top}}$ для симплициального множества $S$. Пространства $|K|_{\mathrm{Top}}$ и $|S|_{\mathrm{Top}}$ являются $CW$-комплексами, и имеют место слабые гомотопические эквивалентности топологических пространств $|S^{\Box}(X)|_{\mathrm{Top}}\sim X$, $|S^{\Delta}(X)|_{\mathrm{Top}}\sim X$. В данной работе мы описываем аналогичные связи между кубическими (симплициальными) множествами и их реализациями в категориях колчанов и орграфов. Полученные в работе результаты могут также представлять интерес при применении кубических структур в теоретической физике [10], [11] и в теории колчанов и их представлений [12], [13].

2. Предварительные сведения

В данном разделе мы приводим необходимые сведения из алгебраической топологии [4], [8] и теории графов [2], [6].

Пусть $T=[0,1]$ – еденичный отрезок, $T^0=\{0\}$ – точка, а $T^n$, $n\geqslant 1$, – стандартный $n$-мерный куб. Определено отображение $\delta_i^{\alpha}\colon T^{n-1}\to T^{n}$, $\alpha\in\{0,1\}$, вложения на грань с $i$-й координатой $\alpha$, и определена проекция $\sigma_i\colon T^{n}\to T^{n-1}$ на $i$-ю грань.

Сингулярное кубическое множество $S^{\Box}(X)=\{S^{\Box}_n(X)\}$ топологического пространства $X$ задается множествами отображений $S^{\Box}_n(X)=\{\varphi \colon T^n\to X\}$ и отображениями $\partial_i(\varphi)=\varphi \delta_i$, $\varepsilon_i(\varphi)= \varphi \sigma_i$. Для любого топологического пространства $X$ имеет место слабая гомотопическая эквивалентность $|S^{\Box}(X)|_{\mathrm{Top}}\sim X$.

Пусть $D^n=\{(t_0,\dots,t_n)\mid 0\leqslant t_i\leqslant 1,\ \sum t_i=1\}\subset \mathbb R^{n+1}$ – топологический $n$-мерный симплекс. Определим отображения $\delta_i\colon D^{n-1}\to D^{n}$, $\sigma_i\colon D^{n+1}\to D^{n}$, где $\delta_i(t_0,\dots,t_{n-1})= (t_0,\dots,t_{i-1},0,t_{i},\dots,t_{n-1})$, $\sigma_i(t_0,\dots,t_{n+1})= (t_0,\dots,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},\dots,t_{n+1})$.

Сингулярное симплициальное множество $S^{\Delta}(X)=\{S^{\Delta}_n(X)\}$ топологического пространства $X$ задается множествами отображений $S^{\Delta}_n(X)=\{\varphi \colon D^n\to X\}$ и отображениями $\partial_i(\varphi)=\varphi \delta_i$, $\varepsilon_i(\varphi)= \varphi \sigma_i$. Для любого топологического пространства $X$ имеет место слабая гомотопическая эквивалентность $|S^{\Delta}(X)|_{\mathrm{Top}}\sim X$.

3. Кубические множества и колчаны

Определим категорию колчанов $\mathcal Q$ так, чтобы имело место вложение $\mathcal D\subset \mathcal Q$. Следовательно, мы можем рассматривать вырожденные сингулярные кубы и вырожденные сингулярные симплексы в категории $\mathcal Q$.

Орграф $G=(V, E)$ задает колчан $Q=(V,E,s,t)$, где $s(v\to w)=v$, $t(v\to w)= w$. Отображение орграфов $f\colon G\to G'$ задает очевидно отображение колчанов: $f_V$ на множестве вершин совпадает с отображением вершин орграфов, а на множестве ребер $f_E(v\to w)=f(v)\to f(w)$ для $f_V(v)\ne f_V(w)$, и $f_E(v\to w)=f_V(v)=f_V(w)$ для $f_V(v)= f_V(w)$. Таким образом, имеет место вложение категорий $\mathcal D\subset \mathcal Q$.

Положим $I=(0\to 1)$. Для $n\geqslant 1$ пусть $I^n=I\,\Box\, \dotsb\, \Box\, I$ – $n$-кратное прямое произведение, и $I^0=\{0\}$ – орграф с одной вершиной. Мы будем называть $I^n$ $n$-мерным кубическим орграфом. Отметим, что $V_{I^n}=\{(c_1,\dots,c_n)\mid c_i\in \{0,1\}\}$ при $n\geqslant 1$. Для $n\geqslant 1$, $1\leqslant i\leqslant n$, $\alpha=0,1$ мы определим вложения $\delta_{i}^{\alpha}\colon I^{n-1}\to I^{n}$, полагая на множестве вершин $\delta_{i}^{\alpha }(c_{1},\dots,c_{n}) =(c_{1},\dots,c_{i-1},\alpha,c_{i},\dots,c_n)$. Пусть $\delta_1^{\alpha}\colon I^0\to I^1$ задано условием $\delta_{1}^{\alpha }(0)=(\alpha)$. Пусть $\sigma_i\colon I^{n}\to I^{n-1}$ – проекция, заданная на множестве вершин формулой $\sigma_i(c_1,\dots,c_{n})= (c_1,\dots,c_{i-1},c_{i+1},\dots,c_{n-1})$ для $n\geqslant 2$, и $\sigma_1(c_1)=0$ для $c_1\in V_{I}=\{0,1\}$.

Пусть $f\colon Q\to Q'$ – отображение колчанов. Определим колчан $\gamma=(V_{\gamma},E_{\gamma},s_{\gamma},t_{\gamma})$, полагая $V_{\gamma}=V\coprod V'/\!\sim$ ($v\sim v'$, если $f_V(v)=v'$), и

Пусть $K$ – кубическое множество. Произведение орграфа $G$ на одноточечное множество естественно отождествляется с $G$. Пусть $x\in K_n$ и $y=\partial_i^{\alpha}(x)\in K_{n-1}$. Определено отображение $\Gamma(x,i,\alpha)\colon y \times I^{n-1}\to x\times I^n$, заданное $\delta_i^{\alpha}\colon I^{n-1}\to I^{n}$. Пусть $\sim_{(\delta, x,i,\alpha)}$ – отношение эквивалентности на $(y \times I^{n-1})\coprod (x\times I^n)$, заданное отображением $\Gamma(x,i,\alpha)$. Аналогично, для $y\in K_{n-1}$ и $x=\varepsilon_i(y)\in K_{n}$ определено отображение $\Theta(y,i)\colon x \times I^{n}\to y\times I^{n-1}$, заданное $\sigma_i\colon I^{n}\to I^{n-1}$. Пусть $\sim_{(\sigma,y,i)}$ – отношение эквивалентности на $(x \times I^{n})\coprod (y\times I^{n-1})$, заданное отображением $\Theta(y,i)$.

Сингулярным $n$-кубом колчана $Q$ называется отображение колчанов $\phi\colon I^n \to Q$. Обозначим через $S^{\Box}(Q)=\{S^{\Box}_n(Q)\}$ множество всех сингулярных кубов колчана $Q$. Определим отображения $\partial_i^{\alpha} \colon S^{\Box}_n(Q)\to S^{\Box}_{n-1}(Q)$, где $\partial_i^{\alpha}(\phi)=\phi \delta^{\alpha}_i$, и $\varepsilon_i\colon S^{\Box}_{n-1}(Q)\to S^{\Box}_{n}(Q)$, где $\varepsilon(\phi)= \phi\sigma_i$. Доказательство следующего результата стандартно.

4. Симплициальные множества и колчаны

В этом разделе, мы применяем конструкции предыдущего раздела для случая симплициальных множеств. Основные результаты и доказательства аналогичны результатам предыдущего раздела.

Для $n\geqslant 1$ определим орграф симплекс $\Delta^n=(V,E)$, полагая

Как и выше, реализация $|K|_{\mathcal Q}$ определяется невырожденными симплексами из $K$.

Сингулярным $n$-симплексом колчана $Q$ называется отображение колчанов $\phi\colon \Delta^n \to Q$. Пусть $S^{\Delta}(Q)=\{S^{\Delta}_n(Q)\}$ – множество всех сингулярных симплексов колчана $Q$. Положим $\partial_i \colon S^{\Delta}_n(Q)\to S^{\Delta}_{n-1}(Q)$, где $\partial_i(\phi)=\phi \delta_i$, и $\varepsilon_i\colon S^{\Delta}_{n-1}(Q)\to S^{\Delta}_{n}(Q)$, где $\varepsilon(\phi)= \phi\sigma_i$.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	P. Alexandroff, Матем. сб., 2 (44):3 (1937), 501–519
2.	А. А. Григорьян, Ю. В. Муранов, Р. Хименес, Матем. заметки, 109:5 (2021), 705–722
3.	Ж.-П. Серр, Собрание сочинений, Т. 1, НМУ: МЦНМО, М., 2002, 75–165
4.	D. M. Kan, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 41 (1955), 1092–1096
5.	A. A. Grigor'yan, R. Jimenez, Y. V. Muranov, S.-T. Yau, Homology Homotopy Appl., 20:2 (2018), 179–205
6.	A. A. Grigor'yan, Y. V. Muranov, V. V. Vershinin, S.-T. Yau, Forum Math., 30:5 (2018), 1319–1337
7.	Ю. В. Муранов, Матем. заметки, 112:1 (2022), 148–152
8.	R. Brown, P. J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian Algebraic Topology. Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids, EMS Tracts in Math., 15, European Math. Soc., Zürich, 2007
9.	J. P. May, Simplicial Objects in Algebraic Topology, Van Nostrand, Chicago–London, 1967
10.	Н. П. Долбилин, Ю. М. Зиновьев, А. С. Мищенко, М. А. Штанько, М. И. Штогрин, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 19–33
11.	Н. П. Долбилин, М. А. Штанько, М. И. Штогрин, Изв. РАН. Сер. матем., 58:2 (1994), 93–107
12.	И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, В. А. Пономарев, УМН, 28:2 (170) (1973), 19–33
13.	E. E. Enochs, I. Herzog, Canad. J. Math., 51:2 (1999), 294–308

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{VerMur23}
\by В.~В.~Вершинин, Ю.~В.~Муранов
\paper Кубические и симплициальные множества в~категории колчанов
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 1
\pages 149--153
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13866}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13866}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634779}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 1
\pages 122--126
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070131}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168616740}