| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Краткие сообщения Об интегральных операторах с однородными ядрами в весовых пространствах Лебега на группе Гейзенберга О. Г. Авсянкин Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук, г. Ростов-на-Дону
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462307012X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ настоящее время имеется весьма развитая теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами (см., например, [1]–[4] и цитированные в них источники). Для таких операторов были получены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости, исследованы порождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены критерии применимости проекционных методов. Отметим, что во всех упомянутых работах операторы с однородными ядрами рассматривались в пространствах Lp(Rn). Однако, в современной математике и в приложениях все большее значение приобретает анализ на некоммутативных группах, в частности, на группе Гейзенберга (см., например, [5]–[7] и библиографию в них). В работах [8] и [9] впервые были исследованы операторы с однородными ядрами на группе Гейзенберга. Данная работа продолжает исследования, начатые в [8]–[9]. В ней рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами в Lp-пространствах со степенным весом на группе Гейзенберга. Получены достаточные условия ограниченности таких операторов, действующих из пространства Lp c одним степенным весом в пространство Lq с другим степенным весом. Кроме того получена формула, связывающая показатели степенных весов со значениями p и q. 2. Предварительные сведенияСледуя [5; § 9.8], приведем основные сведения о группе Гейзенберга. Пусть Cn – n-мерное комплексное арифметическое пространство векторов z=(z1,…,zn) со скалярным произведением z⋅w=z1¯w1+⋯+zn¯wn. Группа Гейзенберга – это множество Hn=Cn×R, наделенное групповой операцией Определим на группе Hn (параболическое) растяжение δλ, где λ>0, равенством Норму элемента x=(z,t)∈Hn определим формулой Эту норму называют нормой Кораньи. Очевидно, что ‖δλ(x)‖=λ‖x‖ для любого x∈Hn.Введем сферические координаты на группе Hn. Рассмотрим в Hn единичную сферу Sn={x∈Hn:‖x‖=1}. Для любого x∈Hn, x≠0, положим r=‖x‖ и σ=δ1/r(x). Ясно, что σ∈Sn. Пару (r,σ) будем называть сферическими координатами точки x. Тогда x=δr(σ). Обычная мера Лебега на R2n+1 индуцирует на группе Hn биинвариантную меру Хаара (см. [5; с. 192]). Пусть 1⩽ и \alpha\in\mathbb R. Обозначим через L_{p,\alpha}(\mathbb H_n) – пространство (классов) измеримых комплекснозначных функций с нормой
\begin{equation*}
\|f\|_{p,\alpha} =\biggl(\int_{\mathbb H_n}|f(x)|^p\,\|x\|^\alpha\,dx\biggr)^{1/p},\quad 1\leqslant p<\infty, \qquad \|f\|_\infty=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in\mathbb H_n}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
В случае \alpha=0 будем писать \|\cdot\|_p вместо \|\cdot\|_{p,0}. Положим p'=p/(p-1).
3. Основные результатыРассмотрим оператор
\begin{equation}
(K\varphi)(x)=\int_{\mathbb H_n}k(x,y)\varphi(y)\,dy,\qquad x\in\mathbb H_n,
\end{equation}
\tag{1}
где функция k(x,y), заданная на \mathbb H_n\times\mathbb H_n, измерима и однородна степени (-2n-2), т.е.
\begin{equation}
k(\delta_\lambda(x),\delta_\lambda(y))=\lambda^{-2n-2}k(x,y)\qquad \forall\,\lambda>0.
\end{equation}
\tag{2}
Основная цель данной работы – исследовать ограниченность оператора K, действующего из пространства L_{p,\alpha}(\mathbb H_n) в L_{q,\beta}(\mathbb H_n). В пространстве L_{p,\alpha}(\mathbb H_n) определим оператор весового мультипликативного сдвига U_{\lambda,p,\alpha}, где \lambda>0, формулой
\begin{equation*}
(U_{\lambda,p,\alpha}\varphi)(x) =\lambda^{(2n+2+\alpha)/p}\varphi(\delta_\lambda(x)).
\end{equation*}
\notag
Непосредственно проверяется, что
\begin{equation}
\|U_{\lambda,p,\alpha}\varphi\|_{p,\alpha}=\|\varphi\|_{p,\alpha}.
\end{equation}
\tag{3}
Теорема 1. Пусть 1\leqslant p\leqslant q <\infty, K – оператор вида (1), ядро которого удовлетворяет условию (2). Тогда Доказательство. 1) Покажем, что справедливо равенство где В самом деле, с помощью замены y=\delta_\lambda(t), dy=\lambda^{2n+2}\,dt получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (U_{\lambda,q,\beta}K\varphi)(x) &=\lambda^{(2n+2+\beta)/q} \int_{\mathbb H_n} k\bigl(\delta_\lambda(x),y\bigr)\varphi(y)\,dy \\ &=\lambda^{(2n+2+\beta)/q+2n+2} \int_{\mathbb H_n}k\bigl(\delta_\lambda(x),\delta_\lambda(t)\bigr) \varphi(\delta_\lambda(t))\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Используя условие (2), имеем
\begin{equation*}
(U_{\lambda,q,\beta}K \varphi)(x) =\lambda^{(2n+2+\beta)/q} \int_{\mathbb H_n}k(x,t)\varphi(\delta_\lambda(t))\,dt =\lambda^\nu(K U_{\lambda,p,\alpha}\varphi)(x).
\end{equation*}
\notag
Учитывая равенства (3) и (5), получаем
\begin{equation*}
\|K\varphi\|_{q,\beta}=\|U_{\lambda,q,\beta}K\varphi\|_{q,\beta} =\lambda^\nu\|KU_{\lambda,p,\alpha}\varphi\|_{q,\beta} \leqslant\lambda^\nu\|K\|\,\|U_{\lambda,p,\alpha}\varphi\|_{p,\alpha} =\lambda^\nu\|K\|\,\|\varphi\|_{p,\alpha}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \|K\|\leqslant\lambda^\nu\|K\|. Так как \|K\|\ne 0, то \lambda^\nu\geqslant 1. Отсюда при \lambda>1 вытекает, что \nu\geqslant 0, а при 0<\lambda<1 получаем, что \nu\leqslant 0. Таким образом, \nu=0. Тогда формула (4) сразу следует из формулы (6).
2) По аналогии с формулой (5) устанавливается равенство
\begin{equation*}
U_{\lambda,\infty}K=\lambda^{-(2n+2+\alpha)/p}KU_{\lambda,p,\alpha},
\end{equation*}
\notag
из которого следует, что \|K\|\leqslant\lambda^\nu\|K\|, где \nu=-(2n+2+\alpha)/p. Отсюда \nu=0, т.е. \alpha=-2n-2. Теорема 2. Пусть 1\leqslant p\leqslant q<\infty, K – оператор вида (1), ядро которого удовлетворяет условию (2), а также условиям
\begin{equation}
\kappa_1 =\operatorname*{ess\,sup}_{\sigma\in\mathbb S_n} \int_{\mathbb H_n}|k(\sigma,y)|^r\,\|y\|^{(2n+2)(r/p'-1)-\alpha r/p}\,dy<\infty,
\end{equation}
\tag{7}
\begin{equation}
\kappa_2 =\operatorname*{ess\,sup}_{\sigma\in\mathbb S_n} \int_{\mathbb H_n}|k(x,\sigma)|^r\,\|x\|^{(2n+2)(r/p-1)+\alpha r/p}\,dx<\infty,
\end{equation}
\tag{8}
где \alpha\in\mathbb R, 1\leqslant r<\infty, причем выполнено равенство Тогда оператор K ограничен из L_{p,\alpha}(\mathbb H_n) в L_{q,\beta}(\mathbb H_n), где \beta определяется равенством (4). При этом справедливо неравенство Доказательство. Рассмотрим два случая.
1) Пусть r=1. Тогда в силу формул (9) и (4) получаем, что q=p и \beta=\alpha. Тогда данная теорема совпадает с теоремой 1 работы [8]. 2) Пусть r>1. Заметим, что справедливо равенство где \psi(y)=\varphi(y)\|y\|^{\alpha/p}, а K_1 – оператор вида (1), ядром которого является функция Из равенства (11) следует, что оператор K ограничен из L_{p,\alpha}(\mathbb H_n) в L_{q,\beta}(\mathbb H_n) тогда и только тогда, когда оператор K_1 ограничен из L_p(\mathbb H_n) в L_{q,\gamma}(\mathbb H_n), где \gamma=\beta-\alpha q/p.Докажем ограниченность оператора K_1. Учитывая, что r/q=1-r/p', запишем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(K_1\psi)(x)| &\leqslant\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|\,|\psi(y)|\,dy \\ &=\int_{\mathbb H_n}(|\psi(y)|^{1-p/q}) \bigl(|k_{1}(x,y)|^{r/q}\,|\psi(y)|^{p/q}\,\|y\|^{(2n+2)r/(p'q)}\bigr) \\ &\qquad\times \bigl(|k_{1}(x,y)|^{1-r/q}\,\|y\|^{((2n+2)/p')(r/p'-1)}\bigr)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применим неравенство Гёльдера с показателями p/(1-p/q), q и p' соответственно. Принимая во внимание равенство (1-r/q)p'=r, имеем
\begin{equation*}
|(K_1\psi)(x)|\leqslant\|\psi\|_p^{1-p/q}\mathscr I(x) \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,\|y\|^{(2n+2)(r/p'-1)}\,dy\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\mathscr I(x)=\biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,|\psi(y)|^p\, \|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
Сделаем замену y=\delta_{\|x\|}(t), dy=\|x\|^{2n+2}\,dt. Тогда, используя условие (2), получим
\begin{equation*}
|(K_1\psi)(x)| \leqslant\|\psi\|_p^{1-p/q}\mathscr I(x)\|x\|^{-(2n+2)r/(pp')} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(\sigma,t)|^r\, \|t\|^{(2n+2)(r/p'-1)}\,dt\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
где \sigma=\delta_{1/\|x\|}(x). Теперь, последовательно применив (12) и (7), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(K_1\psi)(x)| &\leqslant\|\psi\|_p^{1-p/q}\mathscr I(x)\|x\|^{-(2n+2)r/(pp')} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k(\sigma,t)|^r\, \|t\|^{(2n+2)(r/p'-1)-\alpha r/p}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant\kappa_1^{1/p'}\|\psi\|_p^{1-p/q}\,\|x\|^{-(2n+2)r/(pp')} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,|\psi(y)|^p\,\|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy\biggr)^{1/q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тогда
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} \leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p} \int_{\mathbb H_n}\|x\|^{\gamma-(2n+2)rq/(pp')}\,dx \int_{\mathbb H_n}|k_{1}(x,y)|^r\,|\psi(y)|^p\,\|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy.
\end{equation*}
\notag
Пользуясь равенствами (4) и (9), легко проверить, что \gamma-(2n+2)rq/(pp')=(2n+2)(r/p-1). Тогда, меняя порядок интегрирования, получим
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} \leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p} \int_{\mathbb H_n}|\psi(y)|^p\,\|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy \int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,\|x\|^{(2n+2)(r/p-1)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
Во внутреннем интеграле сделаем замену x=\delta_{\|y\|}(t), dx=\|y\|^{2n+2}\,dt. Тогда, используя условие однородности (2), а затем формулу (12), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} &\leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p} \int_{\mathbb H_n}|\psi(y)|^p\,dy \int_{\mathbb H_n}|k_1(t,\theta)|^r\,\|t\|^{(2n+2)(r/p-1)}\,dt \\ &=\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|^{q-p}_p \int_{\mathbb H_n}|\psi(y)|^p\,dy \int_{\mathbb H_n}|k(t,\theta)|^r\,\|t\|^{(2n+2)(r/p-1)+\alpha r/p}\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \theta=\delta_{1/\|y\|}(y). Учитывая (8), окончательно получаем
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} \leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p}\kappa_2\|\psi\|^p_p =\kappa_1^{q/p'}\kappa_2\|\psi\|^q_p.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|_{q,\gamma}\leqslant\kappa_1^{1/p'}\kappa_2^{1/q}\|\psi\|_p.
\end{equation*}
\notag
Так как \|\psi\|_p=\|\varphi\|_{p,\alpha} и \|K_1\psi\|_{q,\gamma}=\|K\varphi\|_{q,\beta}, то получаем неравенство (11). Теорема доказана. Замечание 1. При p=1 достаточно одного условия (8). Точнее, если выполнено только условие (8), где p=1, то оператор K ограничен из L_{1,\alpha}(\mathbb H_n) в L_{r,\beta}(\mathbb H_n), причем Приведем пример функции k(x,y), удовлетворяющей условиям (2), (7) и (8). Для простоты ограничимся случаем \alpha=0. Рассмотрим функцию
\begin{equation}
k(x,y)=\frac{1}{\|x\|^{2n+2}+\|y\|^{2n+2}} \exp(i(\delta_{1/\|x\|}(x)+\delta_{1/\|y\|}(y))),
\end{equation}
\tag{13}
где i^2=-1. Ясно, что условие (2) выполнено. Проверим условие (7). Переходя к сферическим координатам y=\delta_\rho(\theta) и учитывая, что dy=\rho^{2n+1}\,d\rho\,d\theta [5; с. 211], получаем
\begin{equation*}
\kappa_1=\int_{\mathbb H_n}\frac{1}{(1+\|y\|^{2n+2})^r} \|y\|^{(2n+2)(r/p'-1)}\,dy =|\mathbb S_n|\int_0^\infty\frac{1}{(1+\rho^{2n+2})^r}\rho^{(2n+2)r/p'-1}\,d\rho,
\end{equation*}
\notag
где |\mathbb S_n| – площадь сферы \mathbb S_n. Если 1\leqslant r<\infty и 1<p<\infty, то этот интеграл сходится. Аналогично проверяется, что при указанных значениях r и p выполняется условие (8). Рассмотрим вопрос об ограниченности оператора K, действующего из пространства L_{p,(-2n-2)}(\mathbb H_n) в L_\infty(\mathbb H_n). Напомним, что по теореме 1 условие \alpha=-2n-2 является необходимым. Достаточные условия ограниченности дает следующая Теорема 3. Пусть 1<p<\infty, K – оператор вида (1), ядро которого удовлетворяет условию (2), а также условию
\begin{equation}
\kappa=\operatorname*{ess\,sup}_{\sigma\in\mathbb S_n} \int_{\mathbb H_n}|k(\sigma,y)|^{p'}\|y\|^{(2n+2)p'/p}\,dy<\infty.
\end{equation}
\tag{14}
Тогда оператор K ограничен из L_{p,(-2n-2)}(\mathbb H_n) в L_\infty(\mathbb H_n), причем Доказательство. Используя неравенство Гёльдера, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(K\varphi)(x)| &\leqslant\int_{\mathbb H_n}(|k(x,y)|\,\|y\|^{(2n+2)/p}) (|\varphi(y)|\,\|y\|^{-(2n+2)/p})\,dy \\ &\leqslant\biggl(\int_{\mathbb H_n}|k(x,y)|^{p'} \|y\|^{(2n+2)p'/p}\,dy\biggr)^{1/p'}\|\varphi\|_{p,(-2n-2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Сделаем замену y=\delta_{\|x\|}(t). Тогда, пользуясь однородностью функции k(x,y), получим
\begin{equation*}
|(K\varphi)(x)|\leqslant\|\varphi\|_{p,(-2n-2)} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k(\sigma,t)|^{p'}\|t\|^{(2n+2)p'/p}\,dt\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
где \sigma=\delta_{1/\|x\|}(x). Отсюда, с учетом условия (14), следует неравенство (15). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Avs23}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|