И. Г. Царьков, “Чебышевские множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 905–917; Math. Notes, 113:6 (2023), 840

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 6, страницы 905–917
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13628 (Mi mzm13628)

Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях)

Чебышевские множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией

И. Г. Царьков^ab

^a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
^b Московский центр фундаментальной и прикладной математики

PDF полного текста (585 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (7)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13628

Аннотация: Изучаются свойства чебышевских множеств, составленных из не более чем счетного числа множеств с непрерывной метрической проекцией. Устанавливается локальная солнечность на окрестностях, на которых метрическая проекция однозначна и непрерывна, в равномерно выпуклых пространствах. В качестве примеров приложений полученных результатов рассматриваются обобщенные дроби и произведения, а также ридж-функции.
Библиография: 15 названий.

Ключевые слова: равномерно выпуклые пространства, метрическая проекция, чебышевские множества, локальная солнечность.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-21-00204
Исследование выполнено в МГУ им. М. В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00204), https://rscf.ru/project/22-21-00204/.

Поступило: 23.06.2022
Исправленный вариант: 27.10.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages 840–849
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050255

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.982.256

MSC: 41A65

1. Введение

Нам понадобятся следующие обозначения. Для произвольного множества $M$ в некотором линейном нормированном пространстве $X$ через $\varrho(y,M)$ обозначим расстояние до множества $M$ , т.е. величину

$\begin{equation*} \inf_{z\in M}\|z-y\|,\qquad y\in X. \end{equation*} \notag$

Через

$P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из

$M$ для

$x\in X,$ т.е. множество

$\begin{equation*} \bigl\{y\in M\mid\|y-x\|=\varrho(x,M)\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Отображение

$P_M$ называют метрической проекцией на множество

$M$ . Через

$\begin{equation*} B(x,r)=\bigl\{y\in X\mid \|y-x\|\le r\bigr\} \qquad\text{и}\qquad S(x,r)=\bigl\{y\in X\mid \|y-x\|= r\bigr\} \end{equation*} \notag$

обозначим соответственно шар и сферу с центром

$x$ радиуса

$r\ge 0$ . В случае

$x=0$ и

$r=1$ будем вместо указанных обозначений писать единичные шар и сферу:

$B$ и

$S$ соответственно. Через

$\mathring {B}(x,r)$ обозначим открытый шар в линейном нормированном пространстве

$(X,\|\cdot\|)$ с центром

$x$ радиуса

$r$ , т.е. множество

$\{y\in X\mid\|y-x\|<r\}$ . Для произвольных

$x\in X$ и

$\delta>0$ рассмотрим также метрические

$\delta$ -проекции

$P_M^\delta x$ и

$\mathring {P}_M^\delta x$ , представляющие собой соответственно множества

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl\{y\in M\mid \|y-x\| &\le\varrho(x,M)+\delta\bigr\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)+\delta), \\ \bigl\{y\in M\mid\|y-x\| &<\varrho(x,M)+\delta\bigr\}=M\cap \mathring {B}(x,\varrho(x,M)+\delta). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для произвольного множества

$M\subset X$ через

$\operatorname{diam}M$ обозначим диаметр множества

$M$ , т.е. величину

$\begin{equation*} \sup_{a,b\in M}\|a-b\|. \end{equation*} \notag$

Целью этой работы является изучение геометрической структуры чебышевских множеств и связанных с этим понятием свойств устойчивости метрической проекции, а также свойств локальной и глобальной солнечности. Последние понятия значимы не только в теории аппроксимации (см. [1]–[10]), но и полезны в других областях математики. В частности, эти свойства играют особую роль в задачах геометрической оптики и в вопросах гладкости решений уравнения эйконала (см. [11]–[14]). В самой теории приближения они играют не только техническую роль, но и дают возможность получать характеризации элементов наилучших приближений для дальнейшего использования в алгоритмах численной аппроксимации.

2. Свойства регулярности и солнечности

В работе [10] из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема A. Пусть $(X,\|\cdot\|)$ – банахово пространство, $\varepsilon>0$ , и пусть для всех точек $x\in B(z,R+\varepsilon)$ : $r(x):=\varrho(x,M)>a$ выполнено неравенство

$\begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\ge 1. \end{equation*} \notag$

Тогда если

$R>r(z)\ge a$ , то верна оценка

$\begin{equation*} \inf\bigl\{\|x_R-z\|\mid r(x_R)=R\bigr\}\le R-{r(z)}. \end{equation*} \notag$

Определение 1. Пусть $M$ – множество в линейном нормированном пространстве $X=(X,\|\cdot\|)$ . Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой $\gamma_r$ -солнечности, если для любого $\delta>0$ шар $B(x,\varrho(x,M)-\delta)$ можно поместить в некоторый шар $B(z,r)$ , $r>\varrho(x,M)$ , не пересекающийся с множеством $M$ .

Замечание 1. Теорема 1 утверждает на самом деле, что точка $x$ является точкой $\gamma_R$ -солнечности для множества $M$ .

Из работы [9; следствие 2.1] вытекает следующее утверждение.

Теорема B. Пусть $(X,\|\cdot\|)$ – линейное нормированное пространство, $M\subset X$ , метрическая проекция однозначна на некоторой окрестности и непрерывна в точке $x_0\in X$ : $\varrho(x_0,M)>0$ . Тогда

$\begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x\|\to 0}\frac{\varrho(x_0+\Delta x,M)-\varrho(x_0,M)}{\|\Delta x\|}\ge 1. \end{equation*} \notag$

Определение 2. Линейное нормированное проcтранство $X=(X,\|\cdot\|)$ назовем равномерно выпуклым, если для всех $\varepsilon>0$ и $a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|<\delta$ вытекает, что $\|f-g\|<\varepsilon$ .

Определение 3. Точка $x_0\in X\setminus M$ называется точкой локальной чебышевской солнечности (см. обзоры [2]–[4]), если существует единственная ближайшая точка $y_0$ из $M$ , которая является ближайшей в $M$ для всех точек из пересечения некоторой окрестности $O(x_0)$ и луча $\ell_{y_0}$ , выходящего из $y_0$ и проходящего через $x_0$ .

Точка $x_0\in X\setminus M$ называется точкой локальной солнечности, если $P_Mx_0\ne\varnothing$ и существует ближайшая точка $y_0$ из $M$ , которая является ближайшей в $M$ для всех точек из пересечения некоторой окрестности $O(x_0)$ и луча $\ell_{y_0}$ , выходящего из $y_0$ и проходящего через $x_0$ . Если любая ближайшая точка из $M$ обладает этим свойством, то точка $x_0$ назывется точкой локальной строгой солнечности.

Теорема 1. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – равномерно выпуклое пространство, $M\subset X$ , и пусть точка $x\in X\setminus M$ является точкой $\gamma_{R'}$ -солнечности и существования (т.е. $P_Mx\ne \varnothing$ ), $R'>\varrho(x,M)$ . Тогда любая ближайшая точка $y\in M$ для $x$ является локальной точкой светимости, точнее для каждой точки пересечения луча $\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\ge 0\}$ с шаром ${B}(y,R')$ точка $y$ является ближайшей. Более того, $P_Mz=\{y\}$ для всех точек $z$ пересечения $\ell\cap\mathring {B}(x,R')$ .

Доказательство. Докажем сначала, что

$x$ – точка строгой локальной солнечности

$M$ . Рассмотрим произвольную точку

$y\in P_Mx$ . Пусть число

$R>\varrho(x,M)$ ,

$R'>R+3\delta$ , где

$\delta>0$ – достаточно малое число, которое будет выбрано далее и затем будет устремлено к нулю (вместе с числом

$\varepsilon>0$ ). Докажем, что все точки луча

$\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\ge 0\}$ , для которых расстояние до точки

$y$ не превосходит

$R$ , имеют точку

$y$ в качестве ближайшей в

$M$ . Предположим противное, что существует точка

$z\in\ell$ такая, что

$\|y-z\|=R$ , и точка

$q\in M$ такая, что

$\|q-z\|=R-\sigma$ для некоторого

$\sigma>0$ . Без потери общности будем считать, что

$\varrho(x,M)=1$ ,

$x=0$ . В этом случае

$R>1$ .

Пусть $\varepsilon\in(0,\sigma/(4R^2))$ . В силу локальной равномерной выпуклости проcтранства $X$ для всех $g\in S$ , $\varepsilon>0$ и $a\in(0,1]$ существует $\delta(\varepsilon,a)=\delta(\varepsilon,a,g)>0$ такое, что для любых $f\in S$ из условия $\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|<\delta(\varepsilon,a)$ вытекает, что $\|g-f\|<\varepsilon$ . Пусть

$\begin{equation*} a\ge\frac{1}{2R}\,,\qquad \delta=\min\biggl\{\frac{1}{2}\,\delta\biggl(\varepsilon,\frac{1}{2R}\biggr), \frac{\sigma}{4R}\,,\frac{1}{2}\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Из

$\gamma_{R'}$ -солнечности

$M$ вытекает, что для

$R'>R+3\delta$ найдутся

$z_\delta\in X$ такие, что

$B(z_\delta,R')\cap M=\varnothing$ и

$B(z_\delta,R')\supset B(0,1-\delta)$ . Напомним, что условие

$B(u_1,r_1)\subset B(u_2,r_2)$ равносильно условию

$\|u_1-u_2\|\le r_2-r_1$ .

Пусть $w$ – точка пересечения $S(0,1-\delta)$ и луча $\{ t(0-z_\delta)\mid t\ge 0\}$ . Тогда

$\begin{equation*} B(z_\delta,R')\supset B(z_\delta,\|w-z_\delta\|)\supset B(0,1-\delta) \end{equation*} \notag$

и, следовательно,

$\begin{equation*} B(z_\delta,\|w-z_\delta\|)\cap M=\varnothing. \end{equation*} \notag$

Возьмем точку $z'\in[z_\delta,w]$ такую, что $R-\delta=\|w-z'\|$ ; в этом случае

$\begin{equation*} B(z_\delta,\|w-z_\delta\|)\supset B(z',\|w-z'\|)\supset B(0,1-\delta) \qquad\text{и}\qquad \|-z'\|=R-1. \end{equation*} \notag$

Кроме того,

$\begin{equation*} R-\delta<\|y-z'\|\le\|-z'\|+\|y\|=R. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим точки

$y',y''\in [0,y]$ такие, что

$\|y'\|=1-\delta$ и

$y''\in S(z',R-\delta)$ ; тогда

$y''\in [y',y]$ .

Возьмем в качестве $f$ элемент $(y''-z')/(R-\delta)$ , а в качестве $g$ возьмем элемент $(w-z')/(R-\delta)$ ( $f$ и $g$ упомянуты выше). Так как $0-z'=a(w-z')$ при $a=(R-1)/(R-\delta)$ , то $ag=-z'/(R-\delta)$ , и

$\begin{equation*} \|f-ag\|=\frac{1}{R-\delta}\|(y''-z')-(-z')\| =\frac{\|y''\|}{R-\delta}\le\frac{1}{R-\delta}\,. \end{equation*} \notag$

Учитывая, что

$\|ag\|=(R-1)/(R-\delta)$ , мы получим, что

$\begin{equation*} \|f-ag\|+\|ag\|-\|f\|\le\frac{\delta}{R-\delta}<2\delta. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \varepsilon>\|g-f\|=\frac{\|y''-w\|}{R-\delta} \qquad\text{и}\qquad \|w-y'\|\le\|y''-y'\|+\|w-y''\|<\delta+\varepsilon(R-\delta). \end{equation*} \notag$

В силу подобия треугольников

$\triangle 0y'w$ и

$\triangle z'0z$ верно равенство

$\begin{equation*} \frac{(R-1)(w-y')}{R-\delta}=z-z', \end{equation*} \notag$

поэтому

$\begin{equation*} \|z-z'\|\le\frac{R-1}{R-\delta}(\delta+\varepsilon(R-\delta))<\frac{\sigma}{2}\,. \end{equation*} \notag$

Отсюда

$\begin{equation*} \|q-z'\|\le\|z-z'\|+\|q-z\|<\frac{\sigma}{2}+R-\sigma=R-\frac{\sigma}{2}<R-\delta, \end{equation*} \notag$

чего не может быть, так как шар

$B(z',R-\delta)$ не пересекается с

$M$ . Таким образом, мы доказали, что для точки

$z\in \ell$ такой, что

$\|y-z\|=R$ , точка

$y$ является ближайшей для

$z$ . Из произвольной малости числа

$\delta$ вытекает, что число

$R$ можно считать сколь угодно близким к

$R'$ , откуда следует, что для любой точки

$z\in \ell$ такой, что

$\|y-z\|\le R$ , точка

$y$ является ближайшей для

$z$ . И поэтому шар

$B(z,R')$ ,

$\|y-z\|=R'$ , является опорным в точке

$y$ к множеству

$M$ , и поскольку сфера

$S(z,R')$ не содержит невырожденных отрезков, то

$\mathring {B}(z,R')\supset B(0,1)\setminus\{y\}$ . Более того,

$\mathring {B}(z,R')\supset B(y+t(x-y),t)\setminus\{y\}$ для всех

$t\in[0,R')$ . Поэтому точка

$y$ является единственной ближайшей для каждой точки пересечения луча

$\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\ge 0\}$ с шаром

$\mathring {B}(x,R')$ . Теорема доказана.

Определение 4. Пусть $\varnothing\ne M\subset X$ . Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne\varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\ge 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч (солнечный луч), проходящий через $x$ , для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$ .

Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $K\subset X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем) относительно множества $K$ . В случае, когда $K=X\setminus M$ , говорят, что $M$ – солнце (строгое солнце). Чебышевским множеством называется такое множество, для которого каждая точка пространства $X$ имеет единственную ближайшую в этом множестве. Чебышевским солнцем называется чебышевское множество, являющееся строгим солнцем.

Замечание 2. Если множество $M$ является чебышевским и каждая точка $X\setminus M$ является точкой локальной чебышевской солнечности, то $M$ – чебышевское солнце (см. обзоры [2]–[4]). Отметим также, что всякое ограниченно компактное чебышевского множества $M$ является солнцем. Для случая равномерно выпуклых пространств неизвестно, является ли чебышевское множество солнцем. Для гильбертовых бесконечномерных пространств этот вопрос равносилен до сих пор нерешенной задаче о выпуклости (или невыпуклости) чебышевских множеств.

Определение 5. Точка $x_0\in X\setminus M$ называется точкой регулярности, если существует ее окрестность $O_\delta(x_0)$ , на которой метрическая проекция однозначна и непрерывна. Точки из $X\setminus M$ , не являющиеся регулярными, будем называть особыми. Отметим, что множество всех особых точек, объединенное с множеством $M$ , является замкнутым в пространстве $X$ .

Замечание 3. Из теорем 1, A и B вытекает, что окрестность $O_\delta(x_0)$ из определения 5 состоит из точек локальной строгой солнечности в случае равномерно выпуклого пространства $X$ .

Замечание 4. Отметим, что утверждение теоремы 1, в частности, состоит в том, что точка $x$ является точкой локальной чебышевской солнечности для множества $M$ .

Нам понадобится одно из эквивалентных определений равномерно выпуклого пространства.

Определение 6. Линейное нормированное проcтранство $X=(X,\|\cdot\|)$ назовем равномерно выпуклым, если для всех $r\in(0,1]$ существует функция $\omega=\omega_r\colon[0,2]\to[0,2]$ , $\omega(\delta)\to 0$ при $\delta\to 0$ , такая, что

$\begin{equation*} \operatorname{diam}\bigl(B(x,1-\|x\|+\delta)\bigr)\setminus\mathring {B}(0,1)\le\omega(\delta) \end{equation*} \notag$

для всех

$x\in B(0,1)$ :

$\|x\|\in[r,1]$ и

$\delta\in[0,1]$ .

Нам понадобится только то, что из определения 2 вытекает утверждение определения 6. Зафиксируем произвольное число $r\in(0,1]$ и рассмотрим произвольный элемент $x\in B(0,1)$ : $\|x\|\in[r,1]$ . Для произвольного $\varepsilon>0$ найдется $\delta':=\delta/(1+\delta)$ (для некоторого $\delta\in(0,1)$ , т.е. $\delta=\delta'/(1-\delta')$ ) такое, что для всех $a\in[r/(1+\delta),1]$ верно неравенство $\|f-g\|<\varepsilon$ , если $\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|\le \delta'$ .

Пусть $g=x/\|x\|$ , рассмотрим произвольную точку $f'\in B(x,1-\|x\|+\delta))\setminus \mathring {B}(0,1)$ и положим $f:=f'/\|f'\|$ . В этом случае $1\le \|f'\|\le 1+\delta$ и верно неравенство

$\begin{equation*} \|f'-x\|+\|x\|-\|f'\|\le 1-\|x\|+\delta+\|x\|-1=\delta. \end{equation*} \notag$

Отсюда

$\begin{equation*} \|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|\le\frac{\delta}{\|f'\|}\le\frac{\delta}{1+\delta}=\delta', \end{equation*} \notag$

где

$a=\|x\|/\|f'\|\in[r/(1+\delta),1]$ и поэтому

$\|f'-g\|\le\|f'-f\|+\|f-g\|\le\delta+ \varepsilon$ . Таким образом,

$\begin{equation*} \operatorname{diam}\bigl(B(x,1-\|x\|+\delta)\bigr)\setminus \mathring {B}(0,1)\le\varepsilon+\delta. \end{equation*} \notag$

Тем самым доказана необходимость условия из определения 6.

Замечание 5. Отметим, что если $a\in(0,R]$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{diam}\bigl(B(x,R-\|x\|+\delta)\bigr)\setminus\mathring {B}(0,R) \le R\omega_{a/R}\biggl(\frac{\delta}{R}\biggr) \end{equation*} \notag$

для всех

$x\in B(0,R)$ таких, что

$\|x\|\in[a,R]$ , и

$\delta\in[0,R]$ .

Следствие 1. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – равномерно выпуклое пространство, $M\subset X$ , $x\in X\setminus M$ , $y\in P_Mx$ , и $\{x_n\}$ – некоторая последовательность, сходящаяся к точке $x$ . Предположим, что $\{y_n\}\subset M$ – последовательность, для которой найдется последовательность точек $\{z_n\}$ такая, что $y_n\in P_Mz_n$ , $n\in\mathbb N$ , и такая, что $x_n\in[y_n,z_n)$ , $n\in\mathbb N$ , и $\|z_n-x_n\|\ge\delta$ для некоторого $\delta>0$ . Тогда

$\begin{equation*} \|y-y_n\|\to 0\qquad \textit{при}\quad n\to\infty. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Без потери общности можно считать, что

$\|z_n-x_n\|=\delta$ . Пусть

$\omega(\,\cdot\,)$ – функция для

$X$ из замечания 5. Учитывая, что

$y\in P_M^{\varepsilon_n}x_n$ для

$\varepsilon_n:=\|x-x_n\|$ в силу замечания 1 мы получим, что

$\begin{equation*} \|y-y_n\|\le R_n\omega_{r_n}\biggl(\frac{\varepsilon_n}{R_n}\biggr)\to 0,\qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} r_n:=\frac{\delta}{R_n}\,,\qquad R_n:=\|y_n-z_n\|=\|y_n-x_n\|+\delta\to\varrho(x,M)+\delta,\qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag$

Следствие доказано.

Из теорем A, B и 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 2. В равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$ для любого множества $M\subset X$ , обладающего непрерывной однозначной метрической проекцией на некоторой окрестности $O(x_0)$ некоторой точки $x_0\in X\setminus M$ , выполняется свойство локальной чебышевской солнечности, т.е. для любой точки $x\in O(x_0)$ существует (единственная ближайшая) $y$ из $M$ такая, что $y$ будет ближайшей в $M$ для всех точек из пересечения окрестности $O(x_0)$ и луча $\ell_y$ , выходящего из $y$ и проходящего через $x$ .

Теорема 2. Пусть $X$ – равномерно выпуклое линейное нормированное пространство, $M\subset X$ , точка $x_0\in X\setminus M$ является точкой регулярности, $P_Mx_0=\{y_0\}$ . Тогда все точки полуинтервала $(y_0,x_0]$ являются точками регулярности.

Доказательство. Зафиксируем произвольное

$\lambda\in[0,1)$ . Пусть

$\varphi(x):=x+\lambda(P_Mx-x)$ , тогда это отображение непрерывно на некоторой окрестности

$O_\delta(x_0)$ по свойству регулярности точки

$x_0$ . Положим

$\begin{equation*} \psi(y):=\frac{1}{1-\lambda}(y-\lambda P_My). \end{equation*} \notag$

Учитывая равенство

$P_Mx=P_Mz_\lambda$ для

$z_\lambda=x+\lambda(P_Mx-x)=\varphi(x)$ и равенство

$P_My=P_M\psi(y)$ , мы получим, что отображения

$\begin{equation*} \varphi\colon O_\delta(x_0)\to U_\lambda:=\varphi(O_\delta(x_0))\qquad \text{и}\qquad \psi\colon U_\lambda\to O_\delta(x_0) \end{equation*} \notag$

взаимно обратны.

Докажем от противного, что отображение $\psi$ непрерывно. Предположим, что существует последовательность $\{x_n\}\in O_\delta(x_0)$ такая, что $\|x_n-x_m\|\ge\varepsilon$ для любых различных $m,n\in\mathbb{N}$ для некоторого $\varepsilon>0$ , и последовательность $\{z_n:=x_n+\lambda(y_n- x_n)\}$ сходится к $z=z_\lambda=x+\lambda(P_Mx-x)$ при $n\to\infty$ , где $P_Mx_n=\{y_n\}$ , $P_Mx=\{y\}$ , $n\in\mathbb{N}$ . В силу следствия 1 $\|y-y_n\|\to 0$ при $n\to\infty$ , тогда

$\begin{equation*} 0\leftarrow\|z-z_n\|+\lambda\|y-y_n\|\ge(1-\lambda)\|x-x_n\|, \qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag$

что противоречит выбору последовательности

$\{x_n\}$ .

Таким образом, функция $\psi$ непрерывна, и функция $\varphi$ гомеоморфизм, а, следовательно, множество $U_\lambda$ – топологическая окрестность точки $z_\lambda$ . Для каждой точки $z\in U_\lambda$ верно $P_Mz=P_M\psi(z)$ , поэтому метрическая проекция $P_M$ непрерывна на $U_\lambda$ и, следовательно, точка $z_\lambda^0:=x_0+\lambda(y_0-x_0)$ является регулярной. Теорема доказана.

Для каждой регулярной точки $x\in X\setminus M$ для множества $M$ на луче

$\begin{equation*} \ell_x:=\bigl\{y+t(x-y)\mid t>0\bigr\}, \end{equation*} \notag$

где

$P_Mx=\{y\}$ , через

$\varpi=\varpi_x\in\ell_x$ обозначим особую точку (возможно бесконечную) такую, что

$x\in (y,\varpi)$ и на интервале

$(y,\varpi)$ нет других особых точек.

3. Множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией

Определение 7. Всякое множество существования $M\subset X$ , представленное в виде не более чем счетного объединения множеств семейства $\{M_j\}$ , имеющих непрерывную метрическую проекцию $P_j=P_{M_j}$ в пространстве $X$ , назовем множеством с кусочно-непрерывной метрической проекцией. Отметим, что

$\begin{equation*} P_Mx=\bigcup_{j\colon \varrho(x,M)=\varrho(x,M_j)}P_j(x). \end{equation*} \notag$

Теорема 3. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, $M\subset X$ – чебышевское множество с кусочно-непрерывной метрической проекцией. Тогда множество $M$ обладает непрерывной метрической проекцией.

Доказательство. Через

$E_j$ обозначим множества всех точек

$x\in X$ таких, что

$\varrho(x,M_j)=\varrho(x,M)$ . Тогда

$P_Mz=P_j(z)$ для всех точек множества

$z\in E_j$ и

$P_j(z)$ одноточечно, а само множество

$E_j$ замкнуто в

$X$ . Покажем, что если некоторый шар

$B(x_0,r)$ ,

$r>0$ , содержится в объединении

$\bigcup_{j=1}^NE_j$ , то все точки внутренности этого шара являются точками непрерывности метрической проекции

$P_M$ . Действительно, возьмем произвольные точку

$x\in\mathring {B}(x_0,r)$ и последовательность

$\{x_n\}\subset\mathring {B}(x_0,r)$ , сходящуюся к точке

$x$ ; тогда начиная с некоторого номера эта последовательность будет состоять из конечного числа последовательностей

$\{y^j_{n_k}\}\subset E_j$ для некоторых индексов

$j$ из диапазона

$1,\dots,N$ . Тогда

$\begin{equation*} P_My^j_{n_k}=P_j(y^j_{n_k})\to P_j(x)=P_Mx,\qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag$

Отсюда следует, что

$P_Mx_n\to P_Mx$ при

$n\to\infty$ , что влечет непрерывность метрической проекции в любой точке

$x\in\mathring {B}(x_0,r)$ .

Пусть $\mathscr R$ – множество всех регулярных точек для $M$ , тогда на этом открытом множестве метрическая проекция $P_M$ непрерывна по определению. Рассмотрим замкнутое множество $T:=X\setminus(\mathscr R\cup M)$ относительно множества $X\setminus M$ . Покажем методом от противного, что множества $F_j:=E_j\cap T$ являются нигде не плотными подмножествами в $T$ .

Предположим, что существует точка $x_0\in T$ и шар $\mathring {B}(x_0,r)$ , для которых $V:=T\cap \mathring {B}(x_0,r)\subset E_j$ для некоторого индекса $j$ . Тогда метрическая проекция $P_M=P_j$ , суженная на $V$ , непрерывна в каждой точке $V$ . На множестве $W:=\mathscr R\cap\mathring {B}(x_0,r)$ метрическая проекция непрерывна по определению, поэтому для доказательства непрерывности метрической проекции в шаре $\mathring {B}(x_0,r)$ достаточно показать, что для любых точки $x\in V$ и последовательности $\{x_n\}\subset W$ , сходящейся к точке $x$ , выполнено условие $P_Mx_n\to P_Mx=P_j(x)$ .

Докажем это методом от противного. Предположим, что есть последовательность $\{x_n\}\subset W$ , сходящаяся к точке $x$ , для которой $P_Mx_n\nrightarrow P_Mx=P_j(x)$ , $n\to\infty$ . Для каждой точки $x_n$ , $n\in\mathbb N$ , есть особая точка $\varpi_n:=\varpi_{x_n}$ (см. обозначение перед определением 7) на луче $\ell_{x_n}:=\{y_n+t(x_n-y_n)\mid t>0\}$ , где $P_Mx_n=\{y_n\}$ , такая, что $x_n\in (y_n,\varpi_n)$ и все точки интервала $(y_n,\varpi_n)$ являются регулярными. Возможны две ситуации: или расстояние от $x_n$ до $\varpi_n$ стремиться к нулю при $n\to\infty$ , или найдется подпоследовательность (будем ее также обозначать через $\{x_n\}$ ), для которой это расстояние отделено снизу некоторым числом $\delta>0$ .

Рассмотрим первый случай. В этом случае $\varpi_n\in V$ , начиная с некоторого номера $N$ . Тогда $P_M\varpi_n=P_j(\varpi_n)$ , $n\ge N$ , а следовательно, и $P_Mx_n=P_j(x_n)$ , $n\ge N$ . Поэтому $P_Mx_n\to P_Mx=P_j(x)$ , $n\to\infty$ , противоречие.

Рассмотрим второй случай. В этом случае из следствия 1 вытекает, что $y_n\to y$ , $n\to\infty$ , где $P_Mx_n=\{y_n\}$ , $P_Mx=\{y\}$ , противоречие.

Таким образом, для любых точки $x\in V$ и последовательности $\{x_n\}\subset W$ , сходящейся к точке $x$ , выполнено условие $P_Mx_n\to P_Mx=P_j(x)$ . Отсюда метрическая проекция $P_M$ непрерывна на шаре $\mathring {B}(x_0,r)$ , что противоречит определению точки $x_0\in T$ . Тем самым, мы доказали, что множества $F_j:=E_j\cap T$ являются нигде не плотными подмножествами в $T$ . Но поскольку $T\subset\bigcup_jE_j$ , то последнее утверждение противоречит теореме Бэра. Отсюда следует, что $T=\varnothing$ , а следовательно, все точки из $X\setminus M$ регулярны. Учитывая, что все точки замкнутого множества $M$ являются точками непрерывности метрической проекции, мы получим, что отображение $P_M$ непрерывно на всем $X$ . Теорема доказана.

Из теорем 1 и 3, следствия 2 и замечаний 3 и 4 вытекает

Следствие 3. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, и пусть $M\subset X$ – чебышевское множество с кусочно-непрерывной метрической проекцией. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество.

Отметим, что без дополнительных условий на метрическую проекцию чебышевских множеств в бесконечномерных равномерно выпуклых (и гладких) пространствах соответствующие утверждения из следствия 3 до сих пор не доказаны и не опровергнуты.

Для произвольных непустых множеств $A,B\subset X$ через $\rho(A,B)$ обозначим величину

$\begin{equation*} \inf_{a\in A,b\in B}\|a-b\|. \end{equation*} \notag$

Замечание 6. На самом деле, из доказательства теоремы 3 видно, что для случая, когда $M$ – чебышевское множество, условия на все $M_j$ можно ослабить. Достаточно предполагать, что метрическая проекция $\rho$ -непрерывна, т.е.

$\begin{equation*} \lim_{x\to x_0}\rho(P_{M_j}(x),P_{M_j}(x_0))=0 \end{equation*} \notag$

для всех

$x_0\in X$ и

$j$ .

Определение 8. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – линейное нормированное пространство, $M\subset X$ , точка $x\in X$ называется точкой аппроксимативной компактности для множества $M$ , если всякая минимизирующая последовательность $\{y_n\}\subset M$ (т.е. такая, что $\|x -y_n\|\to\varrho(x,M)$ , $n\to\infty$ ) имеет подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$ , сходящуюся к некоторой точке $y\in M$ при $k\to\infty$ . Если все точки $x\in X$ являются точками аппроксимативной компактности для множества $M$ , то множество $M$ называется аппроксимативно компактным.

Следствие 4. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, и пусть $M\subset X$ – чебышевское множество, представляющее собой не более чем счетное объединение аппроксимативно компактных множеств. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество.

Определение 9. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – линейное нормированное пространство, множество $M\subset X$ называется локально аппроксимативно компактным (соответственно локально слабо компактным), если для любой точки $x\in M$ существует ее замкнутая окрестность $U\subset X$ , для которой множество $M\cap U$ является аппроксимативно компактным (соответственно слабо компактным).

Отметим, что слабо компактное множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве является аппроксимативно компактным. Поэтому локально слабо компактное множество является локальным аппроксимативно компактным в равномерно выпуклом банаховом пространстве (см. [15]).

Следствие 5. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, и пусть $M\subset X$ – сепарабельное локально аппроксимативно компактное чебышевское множество. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество.

Доказательство. Множество

$M$ покрывается набором замкнутых окрестностей, пересечение каждой из которых с

$M$ является аппроксимативно компактным множеством. Из сепарабельности множества

$M$ вытекает, что найдется счетное подпокрытие

$\{U_{x_i}\}_{i\in\mathbb N}$ . Положим

$M_i:=U_{x_i}\cap M$ ,

$i\in\mathbb N$ . Тогда

$M=\bigcup_{i\in \mathbb N}M_i$ – чебышевское множество, представляющее собой не более чем счетное объединение аппроксимативно компактных множеств. Из следствия 4 вытекает требуемое утверждение. Следствие доказано.

Для произвольных непустых множеств $A,B\subset X$ через $d(A,B)$ обозначим одностороннее расстояние, т.е.

$\begin{equation*} d(A,B)=\sup_{b\in B}\varrho(b,A). \end{equation*} \notag$

Будем по определению полагать, что

$d(A,B)=0$ в случае

$B=\varnothing$ .

Определение 10. Пусть $(E,\tau)$ – произвольное топологическое пространство. Отображение $F\colon E\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ назовем устойчивым в точке $v\in E$ , если для любых $\varepsilon,R>0$ и $y\in X$ : $F(v)\cap B(y,R)\ne\varnothing$ найдется окрестность $O(v)$ , для всех точек $w$ которой верно неравенство

$\begin{equation*} d\bigl(F(v)\cap B(y,R),F(w)\cap B(y,R)\bigr)<\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Лемма 1. Пусть $(E,\tau)$ – топологическое пространство, отображение $F\colon E\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ устойчиво в точке $t\in E$ , точка $x\in X$ является точкой аппроксимативной компактности множества $F(t)$ и $\{t_n\}\subset E$ такая, что $t_n\to t$ , $n\in\mathbb N$ . Тогда для любой бесконечно малой последовательности неотрицательных чисел $\{\theta_n\}$

$\begin{equation*} d\bigl(P_{F(t)}x,F(t_n)\cap B(x,\varrho(x,F(t))+\theta_n)\bigr)\to 0,\qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Пусть

$\begin{equation*} N=P_{F(t)}x \qquad\text{и}\qquad N_n=F(t_n)\cap B(x,\varrho(x,F(t))+\theta_n), \quad n\in\mathbb N. \end{equation*} \notag$

Достаточно считать, что

$N_n\ne \varnothing$ . Предположим противное, что утверждение леммы не верно и, следовательно, найдется некоторое

$\delta>0$ , для которого существует последовательность

$\{y_n\}$ такая, что

$y_n\in N_n$ ,

$n\in\mathbb N$ , и такая, что

$\varrho(y_n,N)\ge\delta$ , начиная с некоторого номера

$m$ . По свойству аппроксимативной компактности (см. [3]) найдется столь малое

$\theta>0$ , что

$\begin{equation*} B\bigl(x,\varrho(x,F(t))+\theta\bigr)\cap F(t)\subset O_{\delta/3}(N). \end{equation*} \notag$

Учитывая, что

$\begin{equation*} d\bigl({F(t)}\cap B(x,\varrho(x,F(t))+\theta),F(t_n) \cap B(x,\varrho(x,F(t))+\theta)\bigr)\to 0,\qquad n\in\mathbb N, \end{equation*} \notag$

мы получим, что с некоторого номера

$\begin{equation*} N_n\subset F(t_n)\cap B\bigl(x,\varrho(x,F(t))+\theta\bigr)\subset O_{2\delta/3}(N), \end{equation*} \notag$

что противоречит построению последовательности

$\{y_n\}$ . Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть $(E,\tau)$ – компактное топологическое пространство, отображение $F\colon E\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ устойчиво в каждой точке $t\in E$ и $F(t)$ – аппроксимативно компактное множество в $X$ для всех $t\in E$ . Тогда множество $M:=F(E)$ аппроксимативно компактно в $X$ .

Доказательство. Пусть

$x\in X$ – произвольная точка,

$r=\varrho(x,M)$ . В силу устойчивости отображения

$F$ в каждой точке множества

$E$ множество

$\begin{equation*} T:=\bigl\{t\in E\mid\varrho(x,F(t))=\varrho(x,M)\bigr\} \end{equation*} \notag$

замкнуто в

$E$ , поскольку множество

$\{t\in E\mid\varrho(x,F(t))>\varrho(x,M)\}$ открыто в

$E$ . Следовательно,

$T$ компактно (как замкнутое подмножество компакта). Возьмем произвольную последовательность

$\{y_n\}\subset M$ такую, что

$\|y_n-x\|\to\varrho(x,M)$ при

$n\to\infty$ . Пусть

$t_n\in E$ такова, что

$y_n\in F(t_n)$ ,

$n\in\mathbb N$ . В силу компактности множества

$E$ найдется частичный предел

$t\in E$ последовательности

$\{t_n\}$ . Для произвольных

$\varepsilon,\theta>0$ найдется окрестность

$O(t)$ такая, что для всех точек

$u\in O(t)$ верно неравенство

$\begin{equation*} d\bigl(F(t)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta),F(u)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta)\bigr)<\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Существует сколь угодно большой номер

$N$ , для которого

$t_N\in O(t)$ и выполнена оценка

$\|y_N-x\|<\varrho(x,M)+\theta$ ; следовательно,

$\begin{equation*} \varrho(x,F(t))\le\varrho(x,F(t_N))+\varepsilon\le\|y_N-x\|+\varepsilon <\varrho(x,M)+\theta+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Отсюда

$t\in T$ . В силу леммы 1

$\begin{equation*} d\bigl(P_{F(t)}x,F(t_n)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta_n)\bigr)\to 0,\qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag$

где

$\theta_n:=\|y_n-x\|-\varrho(x,M)\to 0$ ,

$n\to\infty$ . Поэтому, учитывая, что

$y_n\in F(t_n)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta_n)$ ,

$n\in\mathbb N$ , мы получим

$\varrho(y_n,P_{F(t)}x)\to 0$ при

$n\to\infty$ . Поэтому

$P_{F(t)}x\subset P_Mx$ , и в силу того, что

$x$ – точка аппроксимативной компактности, мы получим, что

$P_{F(t)}x$ компактно. Отсюда и из условия

$\varrho(y_n,P_{F(t)}x)\to 0$ при

$n\to\infty$ вытекает, что последовательность

$\{y_{n}\}$ имеет сходящуюся подпоследовательность

$\{y_{n_k}\}$ к некоторой точке

$y_0\in P_{F(t)}x\subset P_Mx\subset M$ . Из произвольности выбора последовательности

$\{y_n\}$ следует, что

$x$ – точка аппроксимативной компактности множества

$M$ . Из произвольности выбора точки

$x$ следует аппроксимативная компактность

$M$ . Теорема доказана.

Из следствия 4 и теоремы 4 вытекает следующее утверждение.

Следствие 6. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, $(E_j,\tau_j)$ – компактные топологические пространства, $j\in\mathbb N$ , отображения $F_j$ : $E_j\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ устойчивы в каждой точке $t\in E_j$ и $F_j(t)$ – аппроксимативно компактные множества в $X$ для всех $t\in E_j$ , $j\in\mathbb N$ . Пусть $M=\bigcup_jF_j(E_j)$ – чебышевское множество. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество.

Далее мы рассмотрим множества обобщенных дробей и произведений и применим к этим множествам полученные выше результаты. При этом мы будем использовать известный факт, что всякое замкнутое выпуклое непустое множество является аппроксимативно компактным в равномерно выпуклом пространстве (см. [3]). Здесь также надо отметить, что большинство классических нелинейных объектов, использующихся для аппроксимации, являются невыпуклыми.

Пример 1 (приближение произведениями). Пусть $G$ – непустое ограниченно компактное подмножество $L_\infty=L_\infty(\Omega,\mu)$ , $V_j\subset L_p=L_p(\Omega,\mu)$ – выпуклое замкнутое множество, $1<p<\infty$ , $j\in\mathbb N$ . Рассмотрим множества

$\begin{equation*} G_j:=\{g\in G\mid\|g\|_{L_\infty}\le j\},\qquad j\in\mathbb N. \end{equation*} \notag$

Отображения

$F_j(g):=g\cdot V_j$ ,

$g\in G_j$ ,

$j\in\mathbb N$ , удовлетворяют следствию 6, так как

$F_j(g)$ – выпуклое и замкнутое множество, а следовательно, в равномерно выпуклом пространстве подпространство

$L_p$ ,

$1<p<\infty$ , аппроксимативно компактно. Пусть

$V:=\bigcup_jV_j$ ,

$\begin{equation*} \mathscr M:=\{gv\mid g\in G,\,v\in V\}. \end{equation*} \notag$

В силу следствия 6 множество

$\mathscr M$ не является чебышевским множеством в

$L_p$ , если не является выпуклым. Отметим, что в пространствах

$L_p$ всякое выпуклое и замкнутое множество является чебышевским; при этом замкнутость множества является также и необходимым условием.

Пример 2 (приближение обобщенными дробями). Пусть

$\begin{equation*} G:=\bigcup_jG_j,\qquad V:=\bigcup_jV_j,\qquad G_0\subset L_\infty, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} G_j=\biggl\{g\in G_0 \Bigm| \frac{1}{j}\le g(\,\cdot\,)\le j\text{ почти всюду}\biggr\} \end{equation*} \notag$

– непустой компакт в

$L_\infty$ ,

$j\in \mathbb N$ ,

$V_j\subset L_p$ – выпуклое замкнутое множество,

$1<p< \infty$ ,

$j\in\mathbb N$ .

Через $\mathscr R$ обозначим множество дробей

$\begin{equation*} \biggl\{\frac{v}{g}\Bigm| v\in V,\,g\in G\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Так же, как и в предыдущем примере, из следствия 6 можно доказать, что множество $\mathscr R$ является чебышевским множеством в $L_p$ тогда и только тогда, когда оно является замкнутым и выпуклым.

Пример 3 (приближение ридж-функциями). Пусть $\mathscr A$ – подмножество в $\mathbb R^m$ , допускающее исчерпание компактами (т.е. представляющее собой счетное объединение компактов). Рассмотрим множество функций из $L_p(\mathbb R^m)$ , $1<p<\infty$ ,

$\begin{equation*} \mathfrak R=\bigl\{f((a,x))\mid f\in L_p(\mathbb R),\,a\in\mathscr A,\,x\in\mathbb R^m\bigr\} \end{equation*} \notag$

(в вышеприведенным обозначении

$(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ – скалярное произведение в

$\mathbb R^m$ ). Так же, как и в предыдущих примерах, доказывается, что для того, чтобы множество

$\mathfrak R$ было чебышевским в

$L_p(\mathbb R^m)$ необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и выпуклым. Аналогичное утверждение можно получить и для множеств вида

$\begin{equation*} \mathfrak R_n=\biggl\{\sum_{k=1}^nf_k((a_k,x))\Bigm| f_k\in L_p(\mathbb R),\, a_k\in\mathscr A,\,x\in\mathbb R^m\biggr\}, \end{equation*} \notag$

или даже более общего вида

$\begin{equation*} \widehat{\mathfrak R}_n=\biggl\{\sum_{k=1}^nf_k((a_k,x)+c_k)\Bigm| f_k\in L_p(\mathbb R),\, a_k\in\mathscr A,\,c_k\in\mathscr C,\,x\in\mathbb R^m\biggr\}, \end{equation*} \notag$

где

$\mathscr C$ – множество из

$\mathbb R$ , допускающее исчерпание компактами.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	I. G. Tsar'kov, “Properties of suns in the spaces $L^1$ and $C(Q)$ ”, Russ. J. Math. Phys., 28:3 (2021), 398–405
2.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1 (427) (2016), 3–84
3.	В. С. Балаганский, Л. П. Власов, “Проблема выпуклости чебышёвских множеств”, УМН, 51:6 (312) (1996), 125–188
4.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышёвских множеств”, Фундамент. и прикл. матем., 19:4 (2014), 21–91
5.	A R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Ball-complete sets and solar properties of sets in asymmetric spaces”, Results Math., 77:2 (2022), 86
6.	A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, Geometric Approximation Theory, Springer-Verlag, Cham, 2021
7.	A R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Suns, moons, and $\mathring B$ -complete sets in asymmetric spaces”, Set-Valued Var. Anal., 30:3 (2022), 1233–1245
8.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “ $B$ -полные множества и их аппроксимативные и структурные свойства”, Сиб. матем. журн., 63:3 (2022), 500–509
9.	И. Г. Царьков, “Непрерывность метрической проекции, структурные и аппроксимативные свойства множеств”, Матем. заметки, 47:2 (1990), 137–148
10.	I. G. Tsar'kov, “The distance function and boundedness of diameters of the nearest elements”, Modern Methods in Operator Theory and Harmonic Analysis, Springer Proc. Math. Stat., 291, Springer-Verlag, Cham, 2019, 263–272
11.	И. Г. Царьков, “Аппроксимативная компактность и неединственность в вариационных задачах и их приложения к дифференциальным уравнениям”, Матем. сб., 202:6 (2011), 133–158
12.	И. Г. Царьков, “Неединственность решений некоторых дифференциальных уравнений и их связь с геометрической теорией приближения”, Матем. заметки, 75:2 (2004), 287–301
13.	I. G. Tsar'kov, “Singular sets of surfaces”, Russ. J. Math. Phys., 24:2 (2017), 263–271
14.	I. G. Tsar'kov, “Geometry of the singular set of hypersurfaces and the eikonal equation”, Russ. J. Math. Phys., 29:2 (2022), 240–248
15.	Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Аппроксимативная компактность и чебышевские множества”, Докл. АН СССР, 140:3 (1961), 522–524

Образец цитирования: И. Г. Царьков, “Чебышевские множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 905–917; Math. Notes, 113:6 (2023), 840–849

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Tsa23}

\by И.~Г.~Царьков

\paper Чебышевские множества с~кусочно-непрерывной метрической проекцией

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 6

\pages 905--917

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13628}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13628}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 6

\pages 840--849

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623050255}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85163199180}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13628

https://doi.org/10.4213/mzm13628

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i6/p905

Эта публикация цитируется в следующих 7 статьяx:

A. R. Alimov, “Hereditary properties of lower semicontinuous metric projection and solar properties of sets”, J Anal, 2025
А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Чебышёвские множества, являющиеся объединением плоскостей”, УМН, 79:2(476) (2024), 183–184 ; A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Chebyshev sets that are unions of planes”, Russian Math. Surveys, 79:2 (2024), 361–362
A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Chebyshev unions of planes, and their approximative and geometric properties”, J. Approx. Theory, 298 (2024), 106009–12
А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Классические понятия теории приближений в несимметричных CLUR-пространствах”, Матем. заметки, 116:3 (2024), 339–354 ; A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Classical concepts of approximation theory in asymmetric CLUR-spaces”, Math. Notes, 116:3 (2024), 408–420
А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Чебышёвские множества, составленные из объединения подпространств в несимметрично нормированных пространствах”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:6 (2024), 23–43 ; A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Chebyshev sets composed of subspaces in asymmetric normed spaces”, Izv. Math., 88:6 (2024), 1032–1049
А. Р. Алимов, “Строгие солнца, составленные из плоскостей”, Тр. ИММ УрО РАН, 30, № 4, 2024, 27–36
A. R. Alimov, “Strict Suns Composed of Planes”, Proc. Steklov Inst. Math., 327:S1 (2024), S1

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	195
PDF полного текста:	9
HTML русской версии:	92
Список литературы:	38
Первая страница:	11

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Свойства регулярности и солнечности

3. Множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ