| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Точность по Ландвеберу формальной группы Г. С. Черныхabc a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва c Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050267 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеСпециальные унитарные бордизмы, или $SU$-бордизмы, – это теория бордизмов стабильно комплексных многообразий со специальной унитарной структурой, где под $SU$-структурой на многообразии $M$ подразумевается редукция структурной группы стабильного касательного расслоения к группе $SU(N)$ (или, что равносильно, тривиализация одномерного комплексного расслоения $\det TM$). Детали построения теории $SU$-бордизмов и описание ее кольца коэффициентов $\varOmega^{SU}_*$ можно найти в [1]–[3]. Все известные вычисления кольца коэффициентов $\varOmega^{SU}_*$ опираются на группы $c_1$-сферических бордизмов $\varOmega^W_*$, которые занимают промежуточное место между $\varOmega^{SU}_*$ и комплексными бордизмами $\varOmega^U_*$ (многообразий со стабильно комплексной структурой). Исторически группы $\varOmega_*^W$ возникли в работе Коннера и Флойда [4] как ядро некоторой операции $\Delta$ на комплексных бордизмах (см. также [2], [3]), и именно в таком виде они возникают, например, при вычислении групп специальных унитарных бордизмов $\varOmega_*^{SU}$ методом спектральной последовательности Адамса–Новикова [1], [3]. Группы $\varOmega^W_*$ являются группами коэффициентов теории $c_1$-сферических бордизмов $W_*$, введенной Стонгом [2]. А именно, $c_1$-сферическая стабильно комплексная структура на многообразии $M$ задается редукцией классифицирующего отображения $M \to {\mathbb C}P^{\infty}$ расслоения $\det TM$ к отображению в “сферу” ${\mathbb C} P^1 \subset {\mathbb C} P^{\infty}$. (Заметим, что стабильно комплексная структура является $SU$-структурой тогда и только тогда, когда расслоение $\det T M$ тривиально, т.е. его классифицирующее отображение редуцируется к отображению в точку, “${\mathbb C} P^0$”.) Детали определения и свойства теории $c_1$-сферических бордизмов $W_*$ можно найти в [2]–[5]. В работе Бухштабера [6] были введены комплексные ориентации теории кобордизмов $W^*$ и рассмотрены соответствующие формальные группы, которые были подробно изучены в работе [5]. Теория $W^*$ является модулем над теорией $SU$-бордизмов, и в работе [5] были описаны все $SU$-билинейные умножения на $W^*$. В данной работе мы описываем структуру кольца коэффициентов $W^*(pt)=\varOmega_W^*$ для произвольного $SU$-билинейного умножения (теорема 2), доказываем точность по Ландвеберу формальной группы в теории $W^*$ для произвольного $SU$-билинейного умножения (теорема 3), а также показываем, что после обращения простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида $2^{2^n}+1$, существует комплексная ориентация, для которой коэффициенты формальной группы порождают все локализованное кольцо $\varOmega_W^*$. Последнее утверждение было сформулировано в работе [6]. Мы приводим доказательство этого факта (см. теорему 4). Заметим, что неизвестно, существуют ли простые числа Ферма, кроме чисел 3, 5, 17, 257 и 65537. 2. Предварительные сведенияОбозначим через $m_k$ наибольший общий делитель биномиальных коэффициентов $\binom{k+1}{i}$, $1 \leqslant i \leqslant k$. Тогда хорошо известно равенство
$$
\begin{equation*}
m_k=\begin{cases} p, &\text{если } k+1=p^s \text{ для некоторого простого } p, \\ 1 &\text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним [7], что кольцо коэффициентов комплексных кобордизмов имеет вид $\varOmega_U^*=\mathbb{Z}[a_1,a_2,\dots]$, $|a_k|=-2k$, и полиномиальные образующие $a_i$ характеризуются тем, что их старшие $s$-числа равны $s_k(a_k)=\pm m_k$. Через $J$ мы будем обозначать идеал элементов ненулевой степени в кольце $\varOmega_U^*$. Соответственно, $J^2$ будет идеалом разложимых элементов. Стандартной комплексной ориентации теории комплексных кобордизмов $MU^*$ соответствует формальная группа $F(u,v)=u+v+\sum \alpha_{ij}u^i v^j$ в комплексных кобордизмах. Это формальная группа является универсальной формальной группой в смысле Лазара [8], т.е. для любой формальной группы $F_R$ над любым кольцом $R$ существует единственный кольцевой гомоморфизм $\psi \colon \varOmega^*_U \to R$, переводящий формальную группу $F$ в $F_R$. В таком случае мы будем говорить, что гомоморфизм $\psi$ классифицирует формальную группу $F_R$. Лемма 1. Для любой (градуированной) формальной группы $F_R(u,v)$ над неположительно градуированным кольцом $R$ существуют такие элементы $r_k \in R^{-2k}$, что выполнено следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
F_R(u, v)=u+v+\sum_{k\geqslant 1}r_k \frac{((u+v)^{k+1}-u^{k+1}-v^{k+1})}{m_k} \ \operatorname{mod} J_R^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $J_R =R^{<0}$ и $J_R^2$ – идеал разложимых элементов. При этом ряд $n$-й степени в формальной группе $F_R(u,v)$ удовлетворяет равенству Доказательство. Имеет место следующее равенство для универсальной формальной группы по модулю разложимых элементов:
$$
\begin{equation*}
F(u,v)=u+v+\sum_{k \geqslant 1}a_k \frac{(u+v)^{k+1}-u^{k+1}-v^{k+1}}{m_k}\ \operatorname{mod} {J^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_k$ – полиномиальная образующая кольца $\varOmega^*_U$ с $s$-числом $s_k(a_k)=-m_k$ (см. [9] или [2; добавление]). Тогда для ряда $n$-й степени имеем Требуемые формулы получаются, если к равенствам выше применить гомоморфизм $\psi\colon\varOmega^*_U\to R^*$, классифицирующий $F_R$, и воспользоваться тем, что $\psi(J^2) \subset J_R^2$. Заметим, что $r_k=\psi(a_k)$. Для теории $c_1$-сферических кобордизмов $W^*$ имеет место естественное вложение $W^* \hookrightarrow MU^*$ в теорию комплексных кобордизмов. Это вложение является вложением на прямое слагаемое, выделяемое естественными проекторами, например, классическим проектором Стонга $\pi_0 \colon MU^* \to W^*$. На коэффициентах теорий проектор Стонга отображает класс бордизмов стабильно комплексного многообразия $M$ в класс бордизмов многообразия $N$, двойственного в $M \times {\mathbb C} P^1$ к одномерному комплексному расслоению $\det T M \otimes \mathcal O(1)$. С помощью проектора Стонга можно определить умножение на $W^*$ по формуле $a* b=\pi_0 (ab)$, где справа имеется в виду стандартное умножение в $MU^*$, относительно которого подгруппа $W^*$ не замкнута. В терминах стандартного умножения в комплексных кобордизмах умножение $*$ на $W^*$ имеет вид где $\alpha_{12}$ – соответствующий коэффициент формальной группы в комплексных кобордизмах, а $\partial$ – операция в комплексных кобордизмах, на коэффициентах отображающая класс бордизмов многообразия $M$ в класс бордизмов подмногообразия $N$, двойственного к $\det TM$. Детали см. в [2], [5].Относительно умножения $a*b=\pi_0(ab)$, задаваемого проектором Стонга $\pi_0$, кольцо коэффициентов теории $W^*$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\varOmega_W^*=\mathbb{Z}[x_1,x_{k \geqslant 3}], \qquad |x_k|=-2k,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где полиномиальные образующие характеризуются тем, что $s_k(x_k)=\pm m_k m_{k-1}$, и их можно выбрать так, что $\partial(x_{2i})=x_{2i-1}$ при $i>1$ (и следовательно, $\partial(x_{2i-1})= 0$) [2; гл. X], [3; теорема 6.10]. Отметим, что $x_1=a_1=\pm[{\mathbb C}P^1]$. Мы имеем забывающий гомоморфизм из $SU$-бордизмов в $c_1$-сферические бордизмы $\varOmega^*_{SU} \to \varOmega^*_W$. После обращения $2$ этот гомоморфизм становится инъективным и, более того,
$$
\begin{equation}
\varOmega^*_W\biggl[\frac{1}{2}\biggr]= \varOmega^*_{SU}\biggl[\frac{1}{2}\biggr] \oplus x_1 \varOmega^*_{SU}\biggl[\frac{1}{2}\biggr].
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
\varOmega^*_{SU}\biggl[\frac{1}{2}\biggr]= \mathbb{Z}\biggl[\frac{1}{2}\biggr][y_2,y_3,\dots].
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При этом в качестве $y_2$ можно взять $x_1 * x_1$, а в качестве $y_i$ при $i>2$ можно взять $x_i-(1/2)x_1\partial(x_{i})$ (см. [2], [3]). В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\varOmega^*_W\biggl[\frac{1}{2}\biggr]= \mathbb{Z}\biggl[\frac{1}{2}\biggr][x_1,y_2,y_3,\dots]/ (x_1 * x_1=y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что для заданной (градуированной) формальной группы $F_R$ над градуированным кольцом $R_*$ и фиксированного простого числа $p$ через $v_n$ традиционно обозначается коэффициент при $u^{p^n}$ в степенном ряду $[p]_{F_R}(u)$ (по традиции же в обозначении элементов $v_n$ не указывается рассматриваемое простое число $p$). Тогда имеет место следующая Теорема 1 [10; теорема Ландвебера о точности]. Если для любого простого числа $p$ последовательность $(p,v_1,v_2,\dots)$ регулярна в кольце $R_*$, т.е. для любого $n$ умножение на элемент $v_n$ инъективно в факторкольце $R_*/(p,v_1,\dots,v_{n-1})$ (включая умножение на число $p$ в $R_*$), то функтор $MU_*(-)\otimes_{\varOmega^U_*}R_*$ является точным, т.е. задает теорию гомологий. Здесь структура $\varOmega^U_*$-модуля на $R_*$ задается посредством кольцевого гомоморфизма $\varOmega^U_* \to R_*$, классифицирующего данную формальную группу $F_R$. Аналогично, формула $MU^*(-)\otimes_{\varOmega_U^*}R^*$ определяет мультипликативную теорию когомологий на конечных клеточных комплексах. Формальная группа $F_R$, удовлетворяющая условиям теоремы выше, называется точной по Ландвеберу. Следствие 1. Если формальная группа, соответствующая комплексно ориентированной теории $h^*$, точна по Ландвеберу, то имеет место естественный изоморфизм мультипликативных теорий когомологий на конечных клеточных комплексах, и соответствующий изоморфизм теорий гомологий.Хорошо известен следующий факт. Предложение 1. Пусть над кольцом $R$ заданы две формальные группы $F_1$ и $F_2$ и изоморфизм $g \colon F_1 \to F_2$, т.е. $g(u)=\lambda u+\dotsb \in R[[u]]$, где $\lambda \in R^\times$, $F_2(u, v)=g (F_1 (g^{-1}(u), g^{-1}(v)))$ и $[p]_2(u)=g([p]_1(g^{-1}(u)))$. Обозначим через $v_n$ и $v_n'$ коэффициенты при $u^{p^n}$ в рядах $[p]_1(u)$ и $[p]_2(u)$ соответственно. Тогда В частности, идеалы $(p,v_1,\dots,v_n)$ зависят лишь от класса изоморфизма формальной группы. Доказательство проходит индукцией по $n$. При $n=0$ речь идет об идеале $(p)$ и утверждение тривиально верно. Докажем, что из равенства $(p,v_1,\dots,v_{n-1})=(p,v'_1,\dots,v'_{n-1})$ следует, что $v'_n=s v_n \ \operatorname{mod}{(p,v_1,\dots,v_{n-1})}$, $s \in R^\times$.
Известно, что если для формальной группы $F_R$ в кольце $R$ имеют место равенства $0=p=\dots=v_{n-1}$, то $[p]_R(u)=\varphi(u^{p^n})$, где $\varphi(u)=v_n u+\cdots$ – ряд от $u$ (см., например, [11; лемма A2.2.6]). Следовательно, редуцируя формальные группы по модулю $(p,v_1,\dots,v_{n-1})$, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
[p]_1(u)=v_n u^{p^n}+\cdots\qquad\text{и}\qquad [p]_2(u)=v'_n u^{p^n}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, Таким образом, Следствие 2. Точность по Ландвеберу формальной группы, соответствующей комплексно-ориентированной теории, не зависит от комплексной ориентации. 3. Основные результатыТеория $W^*$ является модулем над теорией $SU$-бордизмов $MSU^*$. В [5; теорема 2.21] было показано, что произвольное $SU$-билинейное умножение на $W^*$ имеет вид
$$
\begin{equation}
a\tilde * b=ab+(2\alpha_{12}+w)\,\partial a\,\partial b,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $w$ – произвольный элемент из $\varOmega^{-4}_W$. Для стандартного умножения $a*b=\pi_0(ab)$, задаваемого проектором Стонга $\pi_0$, имеем $w=0$, а для умножения $a\tilde*b=\pi(ab)$, задаваемого произвольным $SU$-линейным проектором $\pi \colon MU^* \to W^*$, элемент $w$ делится на $2$. Согласно (2.2) мы имеем $\varOmega^{-4}_W=\mathbb{Z}\langle x_1 * x_1\rangle$, т.е. в формуле (3.1) элемент $w$ имеет вид $q x_1 * x_1$, $q \in \mathbb{Z}$. Тогда любое $SU$-билинейное умножение имеет вид
$$
\begin{equation}
a *_q b=ab+(2 \alpha_{12}+q x_1 * x_1)\,\partial a\,\partial b= a*b+q x_1 * x_1\,\partial a\,\partial b.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Стандартное умножение в таких обозначениях есть $a *_0 b$. Теорема 2. Относительно умножения $*_q$ кольцо $\varOmega^*_W$ имеет вид В частности, ни для какого $SU$-билинейного умножения $a *_q b$, кроме стандартного $a * b=ab+2\alpha_{12}\,\partial a\,\partial b$ (задаваемого проектором Стонга $\pi_0$), кольцо $\varOmega^*_W$ не является кольцом многочленов. Доказательство. Рассмотрим элементы $x_i \in \varOmega^*_W$, $i \ne 2$, из формулы (2.2) с $x_1=[{\mathbb C} P^1]$ и положим $x_2=x_1 * x_1$. Тогда согласно формуле (3.2) так как $\partial x_1=2$. Следовательно, мы имеем кольцевой гомоморфизм Мы хотим доказать, что этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Заметим, что имеет место изоморфизм абелевых групп
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}[x_1,x_2,x_3,\dots]/\bigl(x_1*_qx_1=(4q+1)x_2\bigr)= \mathbb{Z}[x_2,x_3,\dots] \oplus x_1 \mathbb{Z} [x_2,x_3,\dots].
\end{equation*}
\notag
$$
Так как кольца в (3.3) градуированы и каждая компонента является свободной абелевой группой конечного ранга, достаточно доказать, что $\varphi \otimes \mathbb{Z}/(2)$ и $\varphi \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ являются изоморфизмами. 1) Биективность $\varphi \otimes \mathbb{Z}/(2)$. По модулю 2 мы имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}/(2)[x_1, x_2, x_3, \dots]/\bigl(x_1*_qx_1=(4q+1)x_2\bigr)= \mathbb{Z}/(2)[x_1, x_3, x_4, \dots].
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим фильтрации
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{Z}/(2)[x_1, x_3, x_4,\dots] \supset (x_1) \supset (x_1^2) \supset \cdots, \\ (\varOmega^*_W/(2), *_q) \supset x_1 *_q \varOmega^*_W/(2) \supset x_1 *_q x_1 *_q \varOmega^*_W/(2) \supset \cdots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Гомоморфизм $\varphi$ сохраняет эти фильтрации, и следовательно, достаточно доказать, что он индуцирует изоморфизм на присоединенных факторпространствах. Элементы из $(x_1^n)/(x_1^{n+1})$ однозначно представляются в виде $x_1^n P(x_3, x_4,\dots)$; иными словами, базис в этом факторпространстве составляют мономы $x_1^n x_3^{i_3} x_4^{i_4} \cdots$ . Так как $\partial(x_1)=2$, из формулы (3.2) следует, что $x_1*_q a=x_1*a$ в кольце $(\varOmega^*_W/(2), *_q)$. Следовательно идеалы $x_1^{*_q n} *_q \varOmega^*_W$ совпадают с идеалами для стандартного умножения $x_1^{* n} * \varOmega^*_W$. Тогда согласно формуле (2.2) базисом в факторпространстве
$$
\begin{equation*}
x_1^{*_q (n+1)} *_q \varOmega^*_W / x_1^{*_q n} *_q \varOmega^*_W= x_1^{* (n+1)} * \varOmega^*_W / x_1^{* n} * \varOmega^*_W
\end{equation*}
\notag
$$
являются мономы $x_1^{*n} * x_3 ^{* i_3} * x_4^{*i_4}*\cdots$ . Но из формулы (3.2) также следует, что в этом факторпространстве
$$
\begin{equation*}
x_1^{*_q n} *_q x_3 ^{*_q i_3} *_q x_4^{*_q i_4}*_q\cdots= x_1^{*n} * x_3 ^{* i_3} * x_4^{*i_4}*\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, так как гомоморфизм $\varphi$ переводит мономы $x_1^n x_3^{i_3} x_4^{i_4} \cdots$ в $x_1^{*_q n} *_q x_3 ^{*_q i_3} *_q x_4^{*_q i_4}*_q\cdots$, он является изоморфизмом на присоединенных факторпространствах фильтраций.
2) Биективность $\varphi \otimes \mathbb{Z}[1/2]$. Из формул (2.3) и (2.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\varOmega^*_W\biggl[\frac{1}{2}\biggr]= \mathbb{Z}\biggl[\frac{1}{2}\biggr][y_2,y_3,\dots] \oplus x_1 \mathbb{Z}\biggl[\frac{1}{2}\biggr][y_2,y_3,\dots],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{Z}[1/2][y_2,y_3,\dots]=\varOmega^*_{SU}[1/2]$, $y_2=x_1 * x_1$, $y_{2i-1}=x_{2i-1}$ и $y_{2i}=x_{2i}-(1/2)x_1 y_{2i-1}$ при $i>1$. Причем, так как $\partial$ равняется нулю на $\varOmega^*_{SU}[1/2]$, умножение $*_q$ действует по формуле
$$
\begin{equation*}
(a_1+x_1 b_1)*_q(a_2+x_1 b_2)=a_1 a_2+ x_1 (a_1 b_2+b_1 a_2)+(4q+1)y_2 b_1 b_2
\end{equation*}
\notag
$$
для $a_i, b_i \in \mathbb{Z}[1/2][y_2, y_3,\dots]$. То есть имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\varOmega^*_W\biggl[\frac12\biggr],*_q\biggr)= \mathbb{Z}\biggl[\frac12\biggr][x_1,y_2,y_3,\dots]/\bigl(x_1*_qx_1=(4q+1)y_2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, гомоморфизм $\varphi \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ принимает вид где $x_1 \mapsto x_1$, $x_2 \mapsto y_2$, $x_{2i-1} \mapsto y_{2i-1}$ и $x_{2i} \mapsto y_{2i}+(1/2)x_1 y_{2i-1}$ при $i>1$. Отсюда следует, что $\varphi \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ является изоморфизмом.Проектор $\pi_0$ определяет комплексную ориентацию на $W^*$ по формуле $w=\pi_0(u)$, где $u$ – стандартная ориентация $MU^*$. Комплексная ориентация и умножение $*_q$ в свою очередь определяют формальную группу
$$
\begin{equation*}
F_W(u,v)=u+v+\sum_{i,j>0}\omega_{ij} *_q u^{*_q i} *_q v^{*_q j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 3. Для любого $SU$-билинейного умножения на теории $W^*$ имеют место естественные изоморфизм $W_*(-)=MU_*(-)\otimes_{\varOmega^U_*}\varOmega^W_*$ и кольцевой изоморфизм $W^*(-)=MU^*(-)\otimes_{\varOmega_U^*}\varOmega^*_W$ для конечных клеточных комплексов. Доказательство теоремы 3. Согласно теореме 2 мы имеем Обозначим через $J_W$ идеал элементов ненулевой степени в $\varOmega^*_W$ и через $J_W *_q J_W \subset \varOmega_W^*$ – идеал разложимых элементов в кольце $(\varOmega_W^*,*_q)$. Через $*$ мы обозначаем стандартное умножение $*_0$, определяемое проектором Стонга.
Тогда если рассматривать группы $\varOmega_W^*$ как подгруппы в $\varOmega_U^*$, то согласно [5; лемма 3.8, лемма 3.11] выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
F_W(u,v)=u+v+\sum_{k \geqslant 1} w_k \frac{((u+v)^{k+1}-u^{k+1}-v^{k+1})}{m_k} \ \operatorname{mod}{J^2},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation}
w_1=-x_1, \qquad w_2= -2q x_1 * x_1 \ \operatorname{mod} {J^2}, \qquad w_{k > 2}=a_k \bigl(1+(-1)^k (k+1)\bigr) \ \operatorname{mod} {J^2},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где полиномиальная $a_k$ – образующая кольца $\varOmega^*_U$ с $s_k(a_k)=-m_k$.
Ясно, что $w_1=\omega_{11}$. Кроме того, из формулы (2.2) мы получаем, что $\varOmega_W^{-4}=\mathbb{Z}\langle x_1*x_1\rangle= \mathbb{Z} \langle {\mathbb C} P^1*{\mathbb C} P^1 \rangle$. Но в силу формулы (2.1) в $\varOmega_U^*$ выполнено равенство ${\mathbb C} P^1*{\mathbb C} P^1= 9 ({\mathbb C} P^1)^2-8{\mathbb C} P^2$, т.е. в образующей $\varOmega_W^{-4}$ есть неразложимая часть. Отсюда вытекает, что $J^2 \cap \varOmega^{-4}_W=0$ и, следовательно, $w_2=-2q x_1 * x_1$. Значит, и в самой формальной группе $\omega_{12}=-2q x_1 * x_1=-2qx_2$. Раскладывая ряд $n$-й степени в формальной группе $F_W(u,v)=u+v+\sum \omega_{ij}u^iv^j$ до третьего члена, мы получаем
$$
\begin{equation*}
[n]_W(u)=nu+\frac{n(n-1)}{2} \omega_{11}u^2+ \biggl(\frac{n(n-1)(n+1)} {3}\omega_{12}+ \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\omega_{11}^2\biggr)u^3+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $\omega_{11}=-x_1$ и $\omega_{12}=-2q x_2$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber [n]_W(u) &=nu +\frac{n(n-1)}{2}x_1 u^2 \\ \nonumber &\qquad\ \, +\biggl(-2q\frac{n(n-1)(n+1)}{3}x_2 +\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x_1*_qx_1\biggr)u^3+\cdots \\ \nonumber &=nu+\frac{n(n-1)}{2} x_1 u^2 \\ &\qquad\ \, +\biggl((4q+1)\frac{n(n-1)(n-2)}{6}- 2q\frac{n(n-1)(n+1)}{3} \biggr) x_2 u^3+\cdots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Теперь мы вычислим старшие члены ряда $[n]_W(u)$ по модулю разложимых элементов в $(\varOmega^W_*,*_q)$. По лемме 1
$$
\begin{equation*}
F_W(u, v)=u+v+\sum_{k \geqslant 1} r_k \frac{((u+v)^{k+1}-u^{k+1}-v^{k+1})}{m_k} \ \operatorname{mod} J_W *_q J_W
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $r_k \in \varOmega_W^{-2k}$. Так как в размерностях $>4$ элементы из $J_W*_q J_W$ разложимы в кольце $\varOmega^*_U$, из формулы (3.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
s_k(r_k)=s_k(w_k)=s_k\bigl(a_k (1+(-1)^k (k+1))\bigr)=-m_k\bigl(1+(-1)^k (k+1)\bigr) \qquad\text{при}\quad k>2.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по теореме 2 мы имеем $r_k=\lambda_k x_k \ \operatorname{mod} J_W*_qJ_W$ для некоторых $\lambda_k \in \mathbb{Z}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
-m_k\bigl(1+(-1)^k (k+1)\bigr)=s_k(r_k)=\lambda_k s_k(x_k)= \lambda_k m_k m_{k-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
r_k=-\frac{1+(-1)^k (k+1)}{m_{k-1}}x_k\ \operatorname{mod} J_W*_qJ_W
\end{equation*}
\notag
$$
(несложно проверить, что коэффициент всегда является целым).
Теперь из леммы 1 следует, что имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
[n]_W(u)=nu+\sum_{k \geqslant 1}r_k\frac{(nu)^{k+1}-nu^{k+1}}{m_k} \ \operatorname{mod} {J_W *_q J_W}.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя это с формулой (3.5), мы получаем, что коэффициент при $u^{k+1}$ в ряду $[n]_W(u)$ равен
$$
\begin{equation}
\begin{cases} n &\text{при}\ k=0, \\ -\dfrac{n(n-1)}{2}x_1 &\text{при}\ k=1, \\ \biggl((4q+1)\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}- 2q\dfrac{n(n-1)(n+1)}{3}\biggr)x_2 &\text{при}\ k=2, \\ -\dfrac{(n^{k+1}-n)}{m_k}\,\dfrac{(1+(-1)^k(k+1))}{m_{k-1}} x_k \ \operatorname{mod}{J_W*_qJ_W} &\text{при}\ k>2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Заметим, что подстановка $k=1$ в выражение для $k>2$ в (3.6) дает $n(n-1)x_1/2$, что совпадает с точностью до знака с формулой для $k=1$. Теперь проверим регулярность последовательностей $(p,v_1,\dots)$ из формулировки теоремы Ландвебера. Фиксируем простое $p$. Тогда для элементов $v_n$, за исключением случая $v_1$ для $p=3$, из формул (3.6) мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
v_n=\pm\frac{(p^{p^n}-p)}{p}\,\frac{(1\pm p^n)}{m_{p^n-2}} x_{p^n-1}\ \operatorname{mod}{J_W*_qJ_W}= \varepsilon_n x_{p^n-1} \ \operatorname{mod}{J_W*_qJ_W},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon_n \not\equiv 0 \ \operatorname{mod} p$. Отсюда следует регулярность последовательности $(p,v_1,\dots)$ для $p \ne 3$.
Для случая $p=3$ осталось заметить, что $v_1$ есть коэффициент при $u^3$ в $[3]_W(u)$, т.е. $(4q+1 -16q)x_2=(1-12q)x_2 \equiv x_2 \ \operatorname{mod} 3$. Таким образом, последовательность $(3,v_1,\dots)$ также регулярна. Пусть ${\mathcal P}$ – множество простых чисел вида $p=2^k+1$ (простых чисел Ферма), больших $3$. Рассмотрим теорию $W^*[{\mathcal P}^{-1}]$, получаемую из $(W^*,*_q)$ с умножением $*_q$ обращением всех $p \in {\mathcal P}$. Теорема 4. Для теории $W^*[{\mathcal P}^{-1}]$ существует такая комплексная ориентация, что коэффициенты соответствующей формальной группы порождают все кольцо $(\varOmega_W^*[{\mathcal P}^{-1}], *_q)$ (как $\mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$-алгебру). Теорема 4 сформулирована в [6] для стандартного умножения, задаваемого проектором Стонга. Ниже мы приводим ее доказательство на основе результатов, полученных в [5]. Доказательство теоремы 4. Будем рассматривать теорию $(W^*,*_q)$ с произвольной комплексной ориентацией. По теореме 2 мы имеем
$$
\begin{equation*}
(\varOmega^*_W,*_q)=\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots]/ \bigl(x_1 *_q x_1=(4q+1)x_2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [5; лемма 3.8] для соответствующей формальной группы имеем где $l$ и $w_2$ определяются ориентацией и могут принимать произвольные значения. Следовательно, выбирая такую ориентацию, что $l=0$, $w_2=0$, мы получаем, что $x_1=\widetilde\omega_{11}$, $x_2=\widetilde\omega_{11}*_q\widetilde\omega_{11}+ 2\widetilde\omega_{12}$.
Таким образом, нам осталось доказать, что для некоторой ориентации образующие $x_k$, $k>2$, выражаются через коэффициенты $\widetilde F_W$. Для этого необходимо и достаточно показать, что существует целочисленная линейная комбинация коэффициентов $\widetilde\omega_{ij}$, $i+j=k+1>3$, с $s$-числом $s_k(x_k)=m_k m_{k-1}$ с точностью элементов, обратимых в $\mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$. Согласно [5; лемма 3.11] мы имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{\text{НОД}}\bigl\{s_{i+j-1}(\widetilde\omega_{ij})\mid i+j=k+1\bigr\}=m_k\bigl(1+(-1)^k(k+1)+c_k m_km_{k-1}\bigr), \qquad k>2,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где в качестве $c_k$ могут выступать произвольные целые числа, зависящие от ориентации.
Из доказательства [5; лемма 3.11] следует, что если мы теперь будем рассматривать комплексные ориентации и формальные группы над $W^*[{\mathcal P}^{-1}]$, то будет верно аналогичное равенство (3.7), в котором $c_k \in \mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$. Таким образом, для доказательства теоремы 4 необходимо и достаточно доказать, что для каждого $k>2$ существует такое $c_k \in {\mathcal P}$, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
m_k\bigl(1+(-1)^k(k+1)+c_k m_km_{k-1}\bigr)= \varepsilon_k m_k m_{k-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon_k$ – обратимый элемент кольца $\mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$, или, равносильно,
Покажем, что для $k \ne 8$ число $c_k$ можно выбрать так, что равенство (3.8) выполняется с $\varepsilon_k=1$. В этом случае и нам надо показать, что $c_k \in \mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$.Если $m_{k-1}=1$, то $c_k=(-1)^{k+1}(k+1)/m_k \in \mathbb{Z}$, так как $m_k$ всегда делит $k+1$. Если $m_{k-1}=p$ – нечетное простое, то $k=p^s$. Следовательно, $m_k=1$ или $2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
c_k=\frac{p-1+p^s+1}{p m_k}=\frac{p^{s-1}+1}{m_k} \in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
так как $p^{s-1}+1$ четно.
Если $m_{k-1}=2$, то $k=2^{\ell}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
c_k=\frac{2-1-2^{\ell}-1}{2m_k}=-\frac{1}{m_k}2^{\ell-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом либо $m_k=1$, и тогда $c_k \in \mathbb{Z}$, либо $m_k=p >2$. Во втором случае мы имеем, что $k+1=2^{\ell}+1=p^s$. Тогда либо $k=8=2^3=3^2-1$, либо $\ell=2^n$ и $s=1$ (см., например, [5; лемма 3.15]). В последнем случае имеем $p=2^{2^n}+1$ – простое число Ферма, причем $p=k+1>3$, и следовательно, $p \in {\mathcal P}$. Тогда $c_k=-(1/p)2^{2^n-1} \in \mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$.
Осталось рассмотреть случай $k=8$. Тогда (3.8) приобретает вид Положив $c_k=0$, получаем, что равенство выполняется для $\varepsilon_k=5 \in {\mathcal P}$.Замечание 1. В работе [5; теорема 3.13] доказано, что кольцо ($\varOmega_W^*[1/2],*_q)$ порождается коэффициентами формальной группы $F_W$ для некоторой ориентации теории $W^*$. В теореме 4 же речь принципиально идет об ориентации уже локализованной теории, что соответствует нецелым значениям $c_k$. Ответ на вопрос, можно ли породить локализованное кольцо $\varOmega_W^*[{\mathcal P}^{-1}]$ коэффициентами формальной группы, соответствующей “целочисленной” ориентации теории $W^*$, т.е. существуют ли такие целые $c_k$, что для всех $k+1\in {\mathcal P}$ имеют место равенства $1+(-1)^k(k+1)+c_k m_k m_{k-1}=\varepsilon_k m_{k-1}$ для обратимых элементов $\varepsilon_k \in \mathbb{Z}[{\mathcal P}^{-1}]$, автору неизвестен. Автор выражает глубокую благодарность Тарасу Евгеньевичу Панову за постановку задачи, плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Che23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|