Аннотация:
Умножение на константу (например, на 2) действует на множестве Z/nZ вычетов по модулю n как динамическая система. Все её циклы, взаимно простые с n, имеют один и тот же период T(n). В каждой орбите элементы образуют геометрическую прогрессию вычетов, и их число равно T(n).
В статье приводится много новых фактов об арифметических свойствах этих периодов и орбит. Эти факты обобщают малую теорему Ферма (перенесённую Эйлером на случай, когда n не просто).
Хаотичность орбиты измеряется некоторым параметром случайности, который сравнивает распределение расстояний между соседними точками орбиты с аналогичным распределением для случайно выбранных T вычетов (последнее распределение является биномиальным).
Вычисления показывают некоторое явление взаимного отталкивания соседей, так чтобы не слишком сильно приблизиться к остальным точкам той же орбиты. Похожее явление отталкивания также наблюдается для простых чисел (и показывает неслучайность их распределения), а также для арифметических прогрессий вычетов (степень неслучайности последних прогрессий близка к степени неслучайности простых чисел).
Статья также содержит много гипотез, включая гипотезу о бесконечности множества пар простых чисел вида (q,2q+1) (как, например, (3,7), (11,23), (23,47), с одной стороны, и гипотезу о структуре некоторых идеалов в мультипликативной полугруппе нечётных целых чисел, с другой стороны.
Образец цитирования:
V. I. Arnol'd, “Ergodic and arithmetical properties of geometrical progression's dynamics and of its orbits”, Mosc. Math. J., 5:1 (2005), 5–22
\RBibitem{Arn05}
\by V.~I.~Arnol'd
\paper Ergodic and arithmetical properties of geometrical progression's dynamics and of its orbits
\jour Mosc. Math.~J.
\yr 2005
\vol 5
\issue 1
\pages 5--22
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mmj181}
\crossref{https://doi.org/10.17323/1609-4514-2005-5-1-5-22}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2153464}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1089.11004}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000208595200002}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mmj181
https://www.mathnet.ru/rus/mmj/v5/i1/p5
Эта публикация цитируется в следующих 16 статьяx:
Clarissa Hoffman, Jingheng Cheng, Daoyun Ji, Yuri Dabaghian, “Pattern dynamics and stochasticity of the brain rhythms”, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 120:14 (2023)
Prelov V., “on So-Called “Random Walk Theory” At the Global Fx Market”, Strategica: Local Versus Global, Strategica, eds. Bratianu C., Zbuchea A., Pinzaru F., Vatamanescu E., Leon R., Tritonic Publ House, 2015, 498–508
Ostafe A., Shparlinski I.E., “On the degree growth in some polynomial dynamical systems and nonlinear pseudorandom number generators”, Math. Comp., 79:269 (2010), 501–511
Mazur M., Petrenko B.V., “Generalizations of Arnold's version of Euler's theorem for matrices”, Jpn. J. Math., 5:2 (2010), 183–189
В. И. Арнольд, “Случайны ли квадратичные вычеты?”, Нелинейная динам., 6:3 (2010), 513–520
В. И. Арнольд, “Статистика периодов цепных дробей квадратичных
иррациональностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008), 3–38; V. I. Arnol'd, “Statistics of the periods of continued fractions for quadratic irrationals”, Izv. Math., 72:1 (2008), 1–34
А. В. Зарелуа, “О сравнениях для следов степеней некоторых матриц”, Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 263, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 85–105; A. V. Zarelua, “On Congruences for the Traces of Powers of Some Matrices”, Proc. Steklov Inst. Math., 263 (2008), 78–98
“Владимир Игоревич Арнольд (к семидесятилетию со дня рождения)”, УМН, 62:5(377) (2007), 175–184; “Vladimir Igorevich Arnol'd (on his 70th birthday)”, Russian Math. Surveys, 62:5 (2007), 1021–1030
Shparlinski I.E., “On some dynamical systems in finite fields and residue rings”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 17:4 (2007), 901–917
Ricardo Uribe-Vargas, “Arithmetics of the numbers of orbits of the Fermat–Euler dynamical systems”, Funct. Anal. Other Math., 1:1 (2007), 71
А. В. Зарелуа, “О матричных аналогах малой теоремы Ферма”, Матем. заметки, 79:6 (2006), 838–853; A. V. Zarelua, “On matrix analogs of Fermat's little theorem”, Math. Notes, 79:5 (2006), 783–796
Arnold V., “Number-theoretical turbulence in Fermat-Euler arithmetics and large young diagrams geometry statistics”, J. Math. Fluid Mech., 7, Suppl. 1 (2005), S4–S50
В. И. Арнольд, “Топология и статистика формул арифметики”, УМН, 58:4(352) (2003), 3–28; V. I. Arnol'd, “Topology and statistics of formulae of arithmetics”, Russian Math. Surveys, 58:4 (2003), 637–664
В. И. Арнольд, “Динамическая система Ферма–Эйлера и статистика арифметики геометрических прогрессий”, Функц. анализ и его прил., 37:1 (2003), 1–18; V. I. Arnol'd, “Fermat–Euler Dynamical Systems and the Statistics of Arithmetics of Geometric Progressions”, Funct. Anal. Appl., 37:1 (2003), 1–15
В. И. Арнольд, “Топология алгебры: комбинаторика операции возведения в квадрат”, Функц. анализ и его прил., 37:3 (2003), 20–35; V. I. Arnol'd, “The Topology of Algebra: Combinatorics of Squaring”, Funct. Anal. Appl., 37:3 (2003), 177–190
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: