Д. Д. Киселев, “О квадратичных подполях обобщенно-кватернионных расширений”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:1 (2024), 82–97; Izv. Math., 88:1 (2024), 77

Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js

Известия Российской академии наук. Серия математическая

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2024, том 88, выпуск 1, страницы 82–97
DOI: https://doi.org/10.4213/im9430 (Mi im9430)

О квадратичных подполях обобщенно-кватернионных расширений

Д. Д. Киселев

Всероссийская академия внешней торговли, г. Москва

PDF полного текста (683 kB) PDF английской версии (631 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/im9430

Аннотация: Мы даем необходимые и достаточные условия погружения квадратичного расширения числового поля

$k$ в расширение с группой обобщенных кватернионов; при этом рассматривается случай как циклического ядра, так и обобщенно-кватернионного. Как следствие, доказывается, что класс ультраразрешимых

$2$ -расширений с циклическим ядром не совпадает с классом неполупрямых расширений. Также даются достаточные условия погружения квадратичных расширений

$k(\sqrt{d_1})/k$ ,

$k(\sqrt{d_2})/k$ ,

$k(\sqrt{d_1d_2})/k$ числового поля

$k$ в обобщенно-кватернионное расширение

$L/k$ . Рассматриваются примеры.
Библиография: 14 наименований.

Ключевые слова: квадратичные подполя, кватернионные расширения, ультраразрешимость.

Поступило в редакцию: 24.10.2022
Исправленный вариант: 10.02.2023

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 1, Pages 77–91
DOI: https://doi.org/10.4213/im9430e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.623.32

MSC: 112F10, 12F12, 11R32

§ 1. Введение

Напомним, в чем состоит задача погружения $(K/k,G,\varphi)$ для точной последовательности конечных групп

$(1.1)$

где

$K/k$ – расширение Галуа полей. Задача погружения

$(K/k,G,\varphi)$ состоит в поиске алгебры Галуа

$L$ над

$k$ с группой

$G$ , причем

$K\subset L$ , а эпиморфизм ограничения автоморфизмов с

$L$ на

$K$ совпадает с

$\varphi$ из (1.1). При этом

$A$ называется ядром задачи погружения

$(K/k,G,\varphi)$ .

Поиск решения задачи (1.1) в классе алгебр Галуа (не обязательно полей) дает возможность привлечь аппарат гомологической алгебры и, в частности, в удовлетворительных терминах дать решение такой задачи для случая абелевого ядра (см., например, [1]). В содержательных случаях существование решения задачи (1.1) в классе алгебр Галуа влечет существование и решения в классе полей, например: если $k$ – числовое поле, а $A$ – нильпотентная группа (см. [2]); если $k$ – $p$ -локальное числовое поле достаточно высокой степени над $\mathbb Q_p$ , а $G$ – $p$ -группа (см. [3; гл. 4, § 2, теорема 4.2.5]).

С другой стороны, представляют интерес условия, гарантирующие для разрешимой задачи (1.1), что все ее решения являются полями. В связи с этим вопросом А. В. Яковлевым была поставлена следующая проблема.

Проблема 1. При каких условиях для расширения конечных групп (1.1) с абелевым ядром $A$ существует такое расширение Галуа числовых полей $K/k$ с группой $F$ , что соответствующая задача погружения $(K/k,G,\varphi)$ разрешима и имеет только поля в качестве решений?

В дальнейшем, следуя [4], мы будем называть расширение (1.1) ультраразрешимым, если для такого расширения проблема 1 решается положительно.

В работах [4]–[6] было проведено систематическое исследование проблемы 1 для случая циклического ядра $A$ . В частности, в [5] получено полное решение проблемы 1 для циклического ядра $A$ и группы $G$ нечетного порядка, а в [6] – для достаточно широкого класса $2$ -расширений с циклическом ядром $A$ . Оказалось, что (1.1) ультраразрешимо тогда и только тогда, когда для расширения (1.1) все силовские подрасширения (см. [5; п. 1.2]) не расщепляются. В частности, если (1.1) – $p$ -расширение нечетного порядка с циклическим ядром, то оно ультраразрешимо в том и только в том случае, когда оно неполупрямое.

Для $p=2$ доказательство аналогичного результата сталкивается с трудностями следующего характера. Практически все известные результаты по проблеме 1 были получены в два этапа: сначала показывалась ультраразрешимость расширения (1.1) (или непосредственно связанных с ним $p$ -расширений) над $p$ -локальными числовыми полями, затем применялся локально-глобальный принцип Яковлева (см. [5; предложение 1]) о том, что из ультраразрешимости группового расширения над локальными числовыми полями следует ультраразрешимость и над числовыми полями. Однако в [6; теорема 1], в частности, было показано, что для кватернионных расширений

$(1.2)$

где

$\begin{equation} G_{b,c,n}=\langle b,c\mid b^{2^n}=1,\, c^2=b^{2^{n-1}},\, b^c=b^{-1}\rangle, \end{equation} \tag{1.3}$

$\varphi(c)=f$ – элемент порядка

$2$ , локально-глобальный принцип Яковлева неприменим при

$n\geqslant 4$ . В то же время расширение (1.2) с

$n=4$ является ультраразрешимым (см. [7; теорема 3]): задача

$(\mathbb Q(\sqrt{7})/\mathbb Q,G_{b,c,4},\varphi)$ ультраразрешима (т. е. разрешима, а все ее решения суть поля).

Для случая $n>4$ не было известно, является ли расширение (1.2) ультраразрешимым. В теореме 1 мы покажем, что расширение (1.2) при $n>4$ ультраразрешимым не является, хотя и неполупрямое. До сих пор подобного рода примеры были построены лишь для случая абелева нециклического ядра (см. [8; теорема 3]).

Пусть расширение (1.1) с абелевым ядром $A$ задается классом $h\in H^2(F,A)$ , и пусть $B$ – некоторый $F$ -подмодуль $F$ -модуля $A$ . Рассмотрим гомоморфизм $\alpha\colon H^2(F,B)\to H^2(F,A)$ , индуцированный вложением $B\hookrightarrow A$ . Любой класс $h_1\in H^2(F,B)$ такой, что $h=\alpha(h_1)$ (указанный класс существует тогда и только тогда, когда¹ $A\nleqslant\Phi(G)$ ), определяет присоединенное расширение к (1.1) и, соответственно, присоединенную задачу $(K/k,H,\varphi)$ к задаче $(K/k,G,\varphi)$ . Если $B$ – максимальная подгруппа в $A$ , то соответствующее присоединенное расширение (присоединенная задача) называются максимальными.

Хорошо известно (см. [9; теорема 1]), что задача $(K/k,G,\varphi)$ является ультраразрешимой в том и только в том случае, когда все ее максимальные присоединенные задачи неразрешимы, а сама задача $(K/k,G,\varphi)$ при этом разрешима. В случае кватернионного расширения (1.2) при $n\geqslant 3$ максимальные подгруппы, не содержащие ядро $\langle b\rangle$ , имеют вид $G_{b^2,c,n-1}$ и $G_{b^2,cb,n-1}$ . Легко видеть, что $(cb)^2=c^2$ , а потому условия разрешимости присоединенных задач $(k(\sqrt d)/k,G_{b^2,c,n-1},\varphi)$ и $(k(\sqrt d)/k,G_{b^2,cb,n-1},\varphi)$ совпадают, так как соответствующие групповые расширения эквивалентны. В частности, задача $(k(\sqrt{d})/k,G_{b,c,n},\varphi)$ для расширения (1.2) при $n\geqslant 3$ ультраразрешима тогда и только тогда, когда расширение $k(\sqrt{d})/k$ погружается в алгебру Галуа с группой $G_{b,c,n}$ , но не погружается в алгебру Галуа с группой $G_{b,c,n-1}$ . Это обстоятельство вместе с теоремой 1 позволяют дать критерий разрешимости как задачи $(k(\sqrt{d_1})/k,G_{b,c,n},\varphi)$ с циклическим ядром порядка $2^n$ , так и задачи $(k(\sqrt{d_2})/k,G_{b,c,n},\psi)$ с ядром $G_{b^2,cb,n-1}$ . Этому посвящена теорема 2.

Представляет интерес задача полной классификации квадратичных подполей обобщенно-кватернионных расширений. Эта задача сводится к задаче погружения расширений $k(\sqrt{d_1})/k$ и $k(\sqrt{d_2})/k$ в одно и то же поле $L$ с группой Галуа $G_{b,c,n}$ над $k$ . К сожалению, теорема 2 не позволяет дать ответа на этот вопрос, но тем не менее в теореме 3 получены достаточные условия возможности такого погружения. В частности, если $k=\mathbb Q$ , числа $d_1$ и $d_2$ простые, такие, что $d_i\equiv 1\ (\operatorname{mod} 2^n)$ и $d_1$ является квадратом в поле $\mathbb F_{d_2}$ , то поля $k(\sqrt{d_1})$ , $k(\sqrt{d_2})$ , $k(\sqrt{d_1d_2})$ являются квадратичными подполями некоторого расширения поля $k$ с группой $G_{b,c,n}$ .

§ 2. Некоторые напоминания

2.1. Обозначения

Все рассматриваемые далее группы являются конечными, если не оговорено противное. Через $\exp A$ обозначена экспонента группы $A$ . Под числовым полем мы будем понимать конечное расширение поля $\mathbb Q$ . Через $\varepsilon_m$ будем обозначать некоторый примитивный корень степени $m$ из единицы. При этом если ${m_1\mid m_2}$ , то соответствующие корни из единицы всегда будут выбираться с условием нормировки: $\varepsilon_{m_1}=\varepsilon_{m_2}^{m_2/m_1}$ . Для конечного расширения полей $K/k$ через $(K:k)$ обозначается размерность $K$ как векторного пространства над $k$ . Для полей нулевой характеристики $k_1,k_2$ через $k_1\cdot k_2$ обозначен их композит. Пусть $k$ – числовое поле. Через $k[a,b]$ для некоторых $a,b\in k^*$ будем обозначать алгебру обобщенных кватернионов степени $2$ , т. е. $k$ -алгебру с порождающими $\xi,\eta$ , удовлетворяющими соотношениям $\xi^2=a,\eta^2=b,\xi\eta=-\eta\xi$ . Через $k[a,b][c,d]$ обозначается тензорное произведение $k[a,b]\otimes_k k[c,d]$ . Для поля $k$ через $B(k)$ обозначается группа Брауэра этого поля. Для центрально-простых конечномерных $k$ -алгебр $A$ и $B$ запись $A\sim B$ означает эквивалентность в группе $B(k)$ . Всюду далее под группой $G_{b,c,n}$ будет пониматься группа обобщенных кватернионов, определяемая условиями (1.3). Через $\langle X\rangle$ обозначается группа, порожденная множеством $X$ . Через $\langle X\rangle_k$ обозначается минимальная $k$ -подалгебра некоторой $k$ -алгебры, содержащей элементы множества $X$ .

2.2.

Напомним основные конструкции в теории погружения, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Пусть $F=\mathrm{Gal}(K/k)$ , причем расширение Галуа полей $K/k$ погружается в поле $K_1$ с группой Галуа $F_1$ над $k$ . Пусть $\theta\colon F_1\to F$ – эпиморфизм ограничения $k$ -автоморфизмов поля $K_1$ на $K$ . В таком случае расширение (1.1) допускает подъем относительно $\theta$ до расширения

При этом задачи

$(K/k,G,\varphi)$ и

$(K_1/k,G\times_F F_1,\widehat{\varphi})$ эквивалентны в смысле разрешимости. В случае абелева ядра

$A$ класс когомологий поднятого расширения получается из класса когомологий исходного расширения с помощью гомоморфизма подъема

$\lambda\colon H^2(F,A)\to H^2(F_1,A)$ , ибо по построению

$A^{\operatorname{ker}\theta}=A$ .

Для задачи погружения $(K/k,G,\varphi)$ существует важное необходимое условие разрешимости, называемое условием согласности Фаддеева–Хассе. Из многочисленных эквивалентных формулировок этого условия нам понадобятся несколько. Напомним их.

Рассмотрим скрещенное произведение $G\times K$ , т. е. $k$ -алгебру формальных сумм $\sum_{g\in G}u_gx_g$ , где $x_g\,{\in}\, K$ с правилами умножения: $u_{g_1}u_{g_2}=u_{g_1g_2}$ и $xu_g=u_gx^{\varphi(g)}$ при $x\in K$ , $g\in G$ . Говорят, что для задачи $(K/k,G,\varphi)$ выполнено условие согласности, если алгебра $G\times K$ является матричной алгеброй порядка $(K:k)$ над некоторой своей подалгеброй. Хорошо известно, что условие согласности в поднятой задаче и в исходной задаче выполняется (не выполняется) одновременно.

Пусть теперь ядро $A$ задачи $(K/k,G,\varphi)$ с $F=\mathrm{Gal}(K/k)$ является абелевым, причем $\operatorname{char}k=0$ , а также $\varepsilon_{\exp A}\in K$ . Группу характеров $\widehat A=\mathrm{Hom}(A,K^*)$ можно превратить в $F$ -модуль по правилу

$\begin{equation*} \chi^f(a)=\bigl(\chi(a^{f^{-1}})\bigr)^f,\qquad a\in A,\quad f\in F,\quad \chi\in\widehat A. \end{equation*} \notag$

Пусть

$\mathbb Z[\widehat A]$ – свободный

$\mathbb Z$ -модуль с образующими

$\{c_{\chi}\mid\chi\in\widehat A\}$ . Превратим

$\mathbb Z[\widehat A]$ в

$F$ -модуль, положив

$c_{\chi}^f=c_{\chi^f}$ .

Пусть теперь $\overline{F}$ – группа Галуа алгебраического замыкания $\overline k$ поля $k$ , а $\mu\colon\overline F\to F$ – естественный эпиморфизм ограничения. В таком случае $\widehat A$ и $\mathbb Z[\widehat A]$ можно превратить в $\overline F$ -модули с помощью отступления вдоль $\mu$ . Имеется точная последовательность $\overline{F}$ -модулей

$(2.1)$

где

$\alpha(c_{\chi})=\chi$ . В силу полноты группы

$\overline k^{\,*}$ последовательность (2.1) индуцирует точную последовательность

$(2.2)$

где мы канонически отождествили

$\mathrm{Hom}(\widehat A,\overline k^{\,*})$ и

$A$ , а потому последовательность (2.2) индуцирует диаграмму

с точной верхней строкой. Хорошо известно (см. [3; гл. 3, § 13]), что группа

$H^1(\overline F,\mathrm{Hom}(\mathbb Z[\widehat A],\overline k^{\,*}))$ тривиальна, а потому

$\delta$ – мономорфизм. Пусть

$h\in H^2(F,A)$ – класс группового расширения задачи

$(K/k,G,\varphi)$ . Данная задача разрешима тогда и только тогда, когда

$\lambda(h)=1$ . В задаче

$(K/k,G,\varphi)$ выполнено условие согласности тогда и только тогда, когда

$\theta(\lambda(h))=1$ .

Пусть в задаче $(K/k,G,\varphi)$ выполнено условие согласности. Тогда существует единственный элемент $z\in H^1(\overline F,\mathrm{Hom}(V,\overline k^{\,*}))$ такой, что $\delta(z)=\lambda(h)$ , и задача $(K/k,G,\varphi)$ разрешима тогда и только тогда, когда $z=1$ . Пусть $F_0$ – произвольная подгруппа группы $\overline F$ , тривиально действующая на $V$ (заведомо $\operatorname{ker}\mu$ является подгруппой в $F_0$ ). Тогда подъем группы $H^1(\overline F/F_0,\mathrm{Hom}(V,K_0^*))$ до $H^1(\overline F,\mathrm{Hom}(V,\overline k^{\,*}))$ является изоморфизмом (по построению $K_0\subset K$ , где $K_0=\overline k^{F_0}$ ). Таким образом, при выполнении условия согласности в задаче $(K/k,G,\varphi)$ дополнительное условие погружаемости состоит в тривиальности однозначно определенного элемента $z\in H^1(\overline F/F_0,\mathrm{Hom}(V,K_0^*))$ . В этом состоит теорема А. В. Яковлева (см. [1]).

2.3.

Пусть теперь задача погружения $(K/k,G,\varphi)$ с абелевым ядром $A$ и $F=\mathrm{Gal}(K/k)$ задана над числовым полем $k$ . Рассмотрим некоторую простую точку $\mathfrak p$ поля $k$ . Тогда $k_{\mathfrak p}$ -алгебра Галуа $L_{\mathfrak p}=K\otimes_k k_{\mathfrak p}$ имеет группу Галуа $F=\mathrm{Gal}(K/k)$ . Пусть $F_{\mathfrak p}$ – группа Галуа поля-ядра $K_{\mathfrak p}$ алгебры $L_{\mathfrak p}$ . Тогда $F_{\mathfrak p}$ – подгруппа в $F$ (группа разложения точки $\mathfrak p$ в $K$ ). Будем называть задачу $(K_{\mathfrak p}/k_{\mathfrak p},G_{\mathfrak p},\varphi)$ , где $G_{\mathfrak p}$ – полный прообраз $F_{\mathfrak p}$ относительно $\varphi$ , $\mathfrak p$ -локализацией задачи $(K/k,G,\varphi)$ .

В задаче $(K/k,G,\varphi)$ выполнено условие согласности тогда и только тогда, когда для всех точек $\mathfrak p$ поля $k$ локализация $(K_{\mathfrak p}/k_{\mathfrak p},G_{\mathfrak p},\varphi)$ разрешима.

Пусть $T=\mathbb Q/\mathbb Z$ рассматривается как $F$ -модуль с тривиальным действием. Тогда $F$ -модуль $X'=\mathrm{Hom}(X,T)$ называется двойственным для $F$ -модуля $X$ .

Пусть теперь $\varepsilon_{\exp A}\in K$ , а в задаче $(K/k,G,\varphi)$ c $F=\mathrm{Gal}(K/k)$ выполнено условие согласности. В таком случае (см. п. 2.2) существует вполне определенный элемент $z\in H^1(F,\mathrm{Hom}(V,K^*))$ , тривиальность которого необходима и достаточна для разрешимости задачи $(K/k,G,\varphi)$ . Согласно результату А. В. Яковлева (см. [10], а также [11; гл. IV, теорема 9.11]) группа $H^1(F,\mathrm{Hom}(V,K^*))$ канонически изоморфна коядру гомоморфизма

$\begin{equation*} \theta\colon\biggl(\prod_{\mathfrak p}H^1(F_{\mathfrak p},\widehat A)\biggr)'\to H^1(F,\widehat A)', \end{equation*} \notag$

индуцированного ограничениями

$\theta_{\mathfrak p}\colon H^1(F,\widehat A)\to H^1(F_{\mathfrak p},\widehat A)$ . Таким образом, для числовых полей дополнительное условие погружаемости состоит в том, что некоторый однозначно определенный элемент

$x\in H^1(F,\widehat A)'$ лежат в образе гомоморфизма

$\theta$ .

В частности, если пересечение всех ядер гомоморфизмов ограничения $\theta_{\mathfrak p}$ тривиально, то дополнительное условие погружения исчезает. А. В. Яковлевым в [12] получен следующий красивый результат: если расширение Галуа $K/k$ числовых полей таково, что $2$ полностью раскладывается в $K$ , а ядро задачи погружения является циклической группой, то $\bigcap_{\mathfrak p}\operatorname{ker}\theta_{\mathfrak p}=\{1\}$ , т. е. в этой ситуации условие согласности достаточно для погружаемости.

§ 3. Вспомогательные результаты

3.1. Вычисление некоторых когомологий

Пусть $k$ – числовое поле такое, что элементы $-1$ и $2$ $\mathbb F_2$ -векторного пространства $k^*/k^{*2}$ линейно независимы. В таком случае $\varepsilon_4\notin k$ , $\varepsilon_8\notin k(\varepsilon_4)$ . Следующий результат почти очевиден.

Лемма 1. Справедливо утверждение $\varepsilon_{16}\notin k(\varepsilon_8)$ .

Доказательство. Обозначим

$K=k(\varepsilon_4)$ . Рассмотрим циклическое расширение Галуа

$\mathbb Q(\varepsilon_{16})/\mathbb Q(\varepsilon_4)$ порядка

$4$ . Поскольку

$\varepsilon_8\notin K$ , то

$K\cap\mathbb Q(\varepsilon_{16})=\mathbb Q(\varepsilon_4)$ . Но тогда алгебра

$K\otimes_{\mathbb Q(\varepsilon_4)}\mathbb Q(\varepsilon_{16})$ является полем, а потому

$(K(\varepsilon_{16}):K)=(\mathbb Q(\varepsilon_{16}):\mathbb Q(\varepsilon_4))=4$ . Поэтому

$\varepsilon_{16}\notin k(\varepsilon_8)$ , что и требовалось.

Итак, расширение $k(\varepsilon_{16})/k$ является расширением Галуа порядка $8$ с группой $\langle g_1\rangle\times\langle g_2\rangle$ , причем

$\begin{equation*} \varepsilon_{16}^{g_1}=\varepsilon_{16}^{-1},\qquad\varepsilon_{16}^{g_2}=\varepsilon_{16}^5. \end{equation*} \notag$

Фиксируем элемент

$c\in k^*\setminus k^{*2}$ такой, что элементы

$-1$ ,

$2$ ,

$c$ пространства

$k^*/k^{*2}$ линейно независимы над

$\mathbb F_2$ . Группа Галуа

$G$ расширения

$k(\varepsilon_{16},\sqrt{c})/k$ порождается элементами

$g_1$ ,

$g_2$ ,

$g_3$ , причем

$\varepsilon_{16}^{g_3}=\varepsilon_{16}$ , а

$\sqrt{c}^{\,g_3}=-\sqrt{c}$ . Пусть

$B$ – циклическая группа порядка

$16$ с образующей

$b$ . Превратим

$B$ в

$G$ -модуль следующим образом:

$\begin{equation*} b^{g_1}=b^{g_2}=b,\qquad b^{g_3}=b^{-1}. \end{equation*} \notag$

Лемма 2. Группа $H^1(G,\widehat B)$ изоморфна группе Клейна $V_4$ и порождается классами $d_1$ , $d_2$ такими, что

$\begin{equation} \begin{gathered} \, (d_1)_{g_1}=\varphi,\qquad (d_1)_{g_2}=(d_1)_{g_3}=1, \\ (d_2)_{g_1}=(d_2)_{g_3}=1,\qquad (d_2)_{g_2}=\varphi,\qquad \varphi(b)=-1. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.1}$

Доказательство. Рассмотрим произвольный нормализованный коцикл

$d$ группы

$G$ со значениями в

$\widehat B$ . Обозначим

$d_{g_i}=\varphi_i$ для

$i\in\{1,2,3\}$ . Пусть далее

$\varphi_i(b)=\varepsilon_{16}^{k_i}$ . Имеем для всех

$i$

$\begin{equation} \varphi_i^{g_1}=\varphi_i^{-1},\qquad \varphi_i^{g_2}=\varphi_i^5,\qquad \varphi_i^{g_3}=\varphi_i^{-1}. \end{equation} \tag{3.2}$

Из (3.2) вытекает, что

$d_{g_1^2}=d_{g_3^2}=1$ для любых

$k_i$ . Укажем нетривиальные соотношения. Имеем в силу (3.2)

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} d_{g_2^4} &=1 &\quad &\Longrightarrow &\quad &\varphi_2^{5^3+5^2+5+1}=1, \\ d_{g_1g_2} &=d_{g_2g_1} &\quad &\Longrightarrow &\quad &\varphi_1^5\varphi_2 =\varphi_2^{-1}\varphi_1, \\ d_{g_1g_2^2} &=d_{g_2^2g_1} &\quad &\Longrightarrow &\quad &\varphi_1^{5^2}\varphi_2^{5+1} =\varphi_2^{-5-1}\varphi_1, \\ d_{g_1g_3} &=d_{g_3g_1} &\quad &\Longrightarrow &\quad &\varphi_1^{-1}\varphi_3 =\varphi_3^{-1}\varphi_1, \\ d_{g_2g_3} &=d_{g_3g_2} &\quad &\Longrightarrow &\quad &\varphi_2^{-1}\varphi_3 =\varphi_3^5\varphi_2, \\ d_{g_2^2g_3} &=d_{g_3g_2^2} &\quad &\Longrightarrow &\quad &\varphi_2^{-5-1}\varphi_3 =\varphi_3^{5^2}\varphi_2^{5+1}. \end{alignedat} \end{equation} \tag{3.3}$

В терминах

$k_i$ соотношения (3.3) можно переписать в виде

$\begin{equation} \begin{gathered} \, k_2\equiv 0\pmod 4,\qquad 2k_1+k_2\equiv 0 \pmod 8,\qquad 2k_1+3k_2\equiv 0\pmod 4, \\ k_1\equiv k_3\pmod 8,\qquad k_2{+}\,2k_3\equiv 0 \pmod 8,\qquad 2k_3{+}\,3k_2\equiv 0\pmod 4. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.4}$

Соотношения (3.4) равносильны следующей системе:

$\begin{equation} \begin{cases} k_2=4m_1, \\ k_1=2m_2, \\ k_3=2m_3, \\ k_1=k_3+8m_4, \\ 2k_1+k_2=8m_5, \\ k_2=-2k_3+8m_6 \end{cases} \end{equation} \tag{3.5}$

для целых параметров

$m_i$ , между которыми имеются соотношения

$\begin{equation} \begin{cases} m_2=m_3+4m_4, \\ m_1+m_2=2m_5, \\ m_1=-m_3+2m_6 \end{cases} \Longleftrightarrow\quad \begin{cases} m_1=-m_3+2m_6, \\ m_2=m_3+4m_4, \\ m_5=2m_4+m_6, \end{cases} \end{equation} \tag{3.6}$

где в правой системе на целые параметры

$m_3$ ,

$m_4$ ,

$m_6$ уже нет линейных соотношений. С учетом (3.5) и (3.6) имеем

$\begin{equation} \varphi_1(b)=\varepsilon_8^{m_3}\cdot(-1)^{m_4},\qquad \varphi_2(b) =\varepsilon_4^{-m_3}\cdot(-1)^{m_6},\qquad \varepsilon_3(b)=\varepsilon_8^{m_3}. \end{equation} \tag{3.7}$

Пусть теперь

$\varkappa\in\widehat B$ – характер с условием

$\varkappa(b)=\varepsilon_{16}^m$ для некоторого

$m$ . Поскольку

$\begin{equation*} \varkappa^{g_1-1}(b)=\varepsilon_8^{-m}, \qquad \varkappa^{g_2-1}(b)=\varepsilon_4^m, \qquad \varkappa^{g_3-1}(b)=\varepsilon_8^{-m}, \end{equation*} \notag$

то коцикл

$d$ гомологичен либо коциклу

$d_1$ , либо коциклу

$d_2$ из (3.1). При этом нетрудно видеть, что коциклы

$d_1$ и

$d_2$ нетривиальны, негомологичны друг другу и в группе

$H^1(G,\widehat B)$ имеют порядок

$2$ . Лемма 2 доказана.

3.2. Дополнительное условие погружаемости и присоединенные задачи

Пусть $K/k$ – расширение Галуа полей с конечной группой $F$ . Пусть $A$ , $B$ – конечные $F$ -модули, причем имеется $F$ -модульный мономорфизм $\alpha\colon A\,{\to}\, B$ . Пусть, наконец, $\operatorname{char}k=0$ , а $\varepsilon_{\exp B}\in K$ . Обозначим через $\overline F$ группу $\mathrm{Gal}(\overline k/k)$ . Превратим $A$ и $B$ в $\overline F$ -модули с помощью отступления вдоль эпиморфизма ограничения $\mu\colon\overline F\to F$ . Рассмотрим следующую диаграмму:

$(3.8)$

где строки точны и построены как и в п. 2.2,

$\alpha^*$ индуцировано вложением

$\alpha$ ,

$\psi_1(c_{\chi})=c_{\alpha^*(\chi)}$ ,

$\psi_2=\left.\psi_1\right|_{\operatorname{ker}\varphi_B}$ . Нетрудная проверка показывает, что

$\psi_1$ ,

$\psi_2$ – корректно определенные

$\overline F$ -модульные гомоморфизмы, а диаграмма (3.8) коммутативна. В силу полноты группы

$\overline k^{\,*}$ диаграмма (3.8) индуцирует коммутативную диаграмму с точными строками

$(3.9)$

где, как и в п. 2.2, мы канонически отождествили

$\mathrm{Hom}(\widehat A,\overline k^{\,*})$ с

$A$ , а

$\mathrm{Hom}(\widehat B,\overline k^{\,*})$ с

$B$ . Диаграмма (3.9) индуцирует коммутативную диаграмму

$(3.10)$

где, как и в п. 2.2,

$\delta_A$ и

$\delta_B$ – мономорфизмы.

Пусть $h_A\in H^2(F,A)$ и $h_B\in H^2(F,B)$ – классы групповых расширений, где $h_B=\gamma(h_A)$ , а $\gamma\colon H^2(F,A)\to H^2(F,B)$ – гомоморфизм, индуцированный вложением $\alpha$ . Рассмотрим задачи погружения расширения $K/k$ определяемые классами $h_A$ и $h_B$ . Предположим, что в таких задачах условие согласности выполнено (достаточно требовать выполнения условия согласности для задачи с классом $h_A$ , так как такая задача является присоединенной для задачи с классом $h_B$ , а потому условие согласности для задачи с классом $h_B$ при этом выполняется автоматически, что вытекает, например, из диаграммы (3.10)). Пусть $\lambda_A\colon H^2(F,A)\to H^2(\overline F,A)$ , $\lambda_B\colon H^2(F,B)\to H^2(\overline F,B)$ – гомоморфизмы подъема, индуцированные эпиморфизмом $\mu$ . В таком случае $\lambda_A(h_A)=\delta_A(x_A)$ , а $\lambda_B(h_B)=\delta_B(x_B)$ для некоторых однозначно определенных элементов $x_A\in H^1(\overline F,\mathrm{Hom}(V_A,\overline k^{\,*}))$ и $x_B\in H^1(\overline F,\mathrm{Hom}(V_B,\overline k^{\,*}))$ . Но

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \delta_B(x_B)=\lambda_B(h_B)=\lambda_B(\gamma(h_A))=(\alpha_*\lambda_A)(h_A)=\alpha_*(\delta_A(x_A)), \\ (\alpha_*\delta_A)(x_A)=(\delta_B)((\psi_2^*)_*)(x_A), \end{gathered} \end{equation*} \notag$

откуда

$x_B=(\psi_2^*)_*(x_A)$ , так как

$\delta_B$ – мономорфизм. Применяя точную последовательность Хохшильда–Серра как и в п. 2.2, получаем следующий результат.

Лемма 3. Пусть $K/k$ – расширение Галуа полей с конечной группой $F$ . Пусть $A$ , $B$ – конечные $F$ -модули, причем имеется $F$ -модульный мономорфизм $\alpha\colon A\,{\to}\, B$ . Пусть, наконец, $\operatorname{char}k=0$ , а $\varepsilon_{\exp B}\,{\in}\, K$ . Пусть $h_A\,{\in}\, H^2(F,A)$ и $h_B\in H^2(F,B)$ – классы групповых расширений такие, что $h_B=\gamma(h_A)$ , а $\gamma\colon H^2(F,A)\to H^2(F,B)$ – гомоморфизм, индуцированный вложением $\alpha$ . Рассмотрим задачи погружения расширения $K/k$ определяемые классами $h_A$ и $h_B$ . Предположим, что в таких задачах условие согласности выполнено. Пусть $y_A\in H^1(F,\mathrm{Hom}(V_A,K^*))$ , $y_B\in H^1(F,\mathrm{Hom}(V_B,K^*))$ – препятствия для рассматриваемых задач. Тогда $y_B=\varkappa(y_A)$ , где $\varkappa\colon H^1(F,\mathrm{Hom}(V_A,K^*))\to H^1(F,\mathrm{Hom}(V_B,K^*))$ – гомоморфизм, индуцированный гомоморфизмом $\psi_2$ из диаграммы (3.8) и изоморфизмами подъема когомологий из п. 2.2.

Следствие 1. Пусть в условиях леммы 3 дополнительно $k$ – числовое поле. Рассмотрим коммутативную диаграмму

$(3.11)$

где, как и в п. 2.3,

$\theta_A$ и

$\theta_B$ – гомоморфизмы, двойственные гомоморфизмам ограничения, а

$\alpha_1$ и

$\alpha_2$ – гомоморфизмы, индуцированные вложением

$\alpha$ . Пусть

$h_A\in H^2(F,A)$ и

$h_B\in H^2(F,B)$ – классы групповых расширений с условием

$h_B=\gamma(h_A)$ , где

$\gamma\colon H^2(F,A)\to H^2(F,B)$ – гомоморфизм, индуцированный вложением

$\alpha$ . Рассмотрим задачи погружения расширения

$K/k$ определяемые классами

$h_A$ и

$h_B$ . Предположим, что в таких задачах условие согласности выполнено. Пусть

$z_A\in\operatorname{coker}\theta_A$ ,

$z_B\in\operatorname{coker}\theta_B$ – препятствия для рассматриваемых задач. Тогда

$z_B=\alpha_2(z_A)$ .

Доказательство. В силу леммы 3, а также результатов [11; теорема 9.11] и [3; теорема Д.3.5], согласно которым имеются канонические изоморфизмы

$\begin{equation*} H^1(F,\mathrm{Hom}(V_A,K^*))\cong\operatorname{coker}\theta_A,H^1(F,\mathrm{Hom}(V_B,K^*)) \cong\operatorname{coker}\theta_B, \end{equation*} \notag$

получаем требуемое.

§ 4. Формулировки и доказательства теорем

4.1.

Пусть $k$ – числовое поле, $d\in k^*\setminus k^{*2}$ . Положим $K=k(\sqrt{d})$ и рассмотрим задачу погружения расширения $K/k$ в алгебру Галуа с группой $G_{b,c,n}$ при $n\geqslant 2$ . А именно, мы рассматриваем задачу $(K/k,G_{b,c,n},\varphi)$ , где $\varphi(c)$ – порождающая группы $\mathrm{Gal}(K/k)$ , а $\varphi(b)=1$ .

Предложение 1. Задача погружения $(K/k,G_{b,c,n},\varphi)$ при $n>3$ разрешима тогда и только тогда, когда при $k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ выполнено $K\cdot\mathbb R=\mathbb R$ .

Доказательство. Заметим, что если при

$k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ выполняется

$K\cdot\mathbb R=\mathbb C$ , то задача неразрешима: в самом деле, так как

$\mathbb C$ алгебраически замкнуто, то поле-ядро любой алгебры Галуа, решающей задачу, совпадает с

$\mathbb C$ , но тогда задача полупрямая в силу [3; гл. 1, § 9, теорема 1.9]. Противоречие. Итак, указанное в предложении условие необходимо. Докажем его достаточность. Заметим сначала, что в силу [7; теорема 1] в условиях предложения в задаче

$(K/k,G_{b,c,n},\varphi)$ при

$n\geqslant 3$ выполнено условие согласности. Остается, таким образом, показать, что дополнительное условие погружаемости исчезает для всех

$n\geqslant 4$ . Заметим также, что задача

$(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ является присоединенной для всех задач

$(K/k,G_{b,c,n},\varphi)$ с

$n>4$ . Поэтому достаточно показать, что дополнительное условие погружаемости исчезает в задаче

$(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ . Пусть далее

$B=\langle b\rangle$ .

Рассмотрим задачи $(K/k,G_{b,c,3},\varphi)$ и $(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ и присоединим к полю $K$ элемент $\varepsilon_{16}$ подъемом. Пусть $L=K(\varepsilon_{16})$ , а $G=\mathrm{Gal}(L/k)$ . В дальнейшем рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Элементы $d$ , $2$ , $-1$ пространства $k^*/k^{*2}$ линейно независимы над $\mathbb F_2$ . В таком случае из леммы 1 вытекает, что $G=\langle g_1\rangle\times\langle g_2\rangle\times\langle g_3\rangle$ , где

$\begin{equation*} \varepsilon_{16}^{g_1}=\varepsilon_{16}^{-1},\qquad\varepsilon_{16}^{g_2}=\varepsilon_{16}^5,\qquad \varepsilon_{16}^{g_3}=\varepsilon_{16},\qquad\sqrt{d}^{\,g_3}=-\sqrt{d}. \end{equation*} \notag$

При этом

$\begin{equation*} b^{g_1}=b^{g_2}=b,\qquad b^{g_3}=b^{-1}. \end{equation*} \notag$

Поэтому из леммы 2 следует, что группа

$H^1(G,\widehat B)$ порождается классами

$d_1$ и

$d_2$ из (3.1). Пусть

$A=\langle b^2\rangle$ . Рассмотрим гомоморфизм когомологий

$\alpha_2$ , определенный в (3.11). Покажем, что

$\alpha_2$ тривиален. Пусть

$\delta$ – фиксированный элемент из

$H^1(G,\widehat A)'$ . Пусть также

$\overline d_i=\alpha^*(d_i)$ , где

$\alpha^*\colon H^1(G,\widehat B)\to H^1(G,\widehat A)$ – гомоморфизм индуцированный вложением

$\alpha\colon A\to B$ . Пусть, наконец, характер

$\psi\in\widehat B$ таков, что

$\psi(b)=-1$ . Имеем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \alpha_2(\delta)(d_1)=\delta(\overline d_1),\qquad (\overline d_1)_{g_1}=\psi|_{A},\qquad (\overline d_1)_{g_2}=(\overline d_1)_{g_3}=1, \\ \alpha_2(\delta)(d_2)=\delta(\overline d_2),\qquad (\overline d_2)_{g_2}=\psi|_{A}, \qquad (\overline d_1)_{g_1}=(\overline d_1)_{g_3}=1, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

откуда в силу

$\psi|_A=1$ вытекает тривиальность

$\alpha_2$ . Но тогда в силу следствия 1 задача

$(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ разрешима.

Случай 2. Пусть элементы $d$ , $2$ , $-1$ пространства $k^*/k^{*2}$ линейно зависимы над $\mathbb F_2$ . Положим $L=K(\varepsilon_8)$ . Если группа $F=\mathrm{Gal}(L/k)$ циклическая, то для некоторой простой точки $\mathfrak p$ поля $k$ группа $F$ совпадает с группой разложения $F_{\mathfrak p}$ точки $\mathfrak p$ в $L$ . В этом случае отображение $\theta_A$ из (3.11) является эпиморфизмом, а потому уже задача $(K/k,G_{b,c,3},\varphi)$ разрешима, а тогда разрешима и задача $(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ .

Предположим теперь, что $F$ не является циклической. В таком случае элементы $d$ , $2$ и $-1$ порождают в $k^*/k^{*2}$ двумерное подпространство, причем $d\notin k^{*2}$ . Кроме того, $F\cong V_4$ . Если $|\mathrm{Gal}(L\cdot\mathbb Q_2/k\cdot\mathbb Q_2)|=4$ , то группа разложения точки $\mathfrak p$ поля $k$ , лежащей над $2$ , совпадает с $F$ ; в таком случае вновь гомоморфизм $\theta_A$ из (3.11) является эпиморфизмом, что влечет разрешимость задачи $(K/k,G_{b,c,3},\varphi)$ , а значит, и задачи $(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ .

Итак, мы можем считать, что группа $F_2=\mathrm{Gal}(L\cdot\mathbb Q_2/k\cdot\mathbb Q_2)$ циклическая. Покажем, что и в этом случае задача $(K/k,G_{b,c,3},\varphi)$ разрешима. Согласно [7; предложение 2] условия разрешимости такой задачи имеют вид

$\begin{equation} \exists\,x\in k^*\colon k[-d,x]\sim 1,k(\sqrt{-d})[2,x]\sim k(\sqrt{-d})[-1,-1]. \end{equation} \tag{4.1}$

По условию

$k(\sqrt{-d})\cdot\mathbb R=\mathbb C$ , стало быть, алгебра

$k(\sqrt{-d})[-1,-1]$ может быть отлична от

$1$ в группе

$B(k(\sqrt{-d}))$ только при условии

$(k(\sqrt{-d})\cdot\mathbb Q_2:\mathbb Q_2)\not\equiv 0 (\operatorname{mod}2)$ . В этом случае

$d\equiv -1\ (\operatorname{mod}(k\cdot\mathbb Q_2)^{*2})$ . Так как группа

$F_2$ циклическая, то некоторое из чисел

$2$ ,

$-1$ ,

$-2$ является квадратом в поле

$k\cdot\mathbb Q_2$ . Но тогда степень

$(k\cdot\mathbb Q_2:\mathbb Q_2)$ четна. Поэтому условия (4.1) в рассматриваемом случае выполняются, например, при

$x=1$ .

Итак, в рассматриваемом случае задача $(K/k,G_{b,c,3},\varphi)$ разрешима, а тогда разрешима и задача $(K/k,G_{b,c,4},\varphi)$ . Предложение 1 доказано.

Теорема 1. Расширение (1.2) при $n>4$ не является ультраразрешимым.

Доказательство. Пусть для некоторого

$n>4$ и некоторого числового поля

$k$ задача

$(k(\sqrt{d})/k,G_{b,c,n},\varphi)$ разрешима, а присоединенная задача погружения

$(k(\sqrt{d})/k,G_{b,c,n-1},\varphi)$ неразрешима. В таком случае при

$k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ обязательно должно выполняться условие

$k(\sqrt{d})\cdot\mathbb R=\mathbb R$ . Но тогда результат следует из предложения 1.

4.2.

Пусть вновь $k$ – числовое поле, $x\in k^*\setminus k^{*2}$ . Рассмотрим для $n>4$ задачу погружения $(k(\sqrt{x})/k,G_{b,c,n},\psi)$ , где $\operatorname{ker}\psi=G_{b^2,c,n-1}$ , а $\psi(b)$ порождает группу $\mathrm{Gal}(k(\sqrt{x})/k)$ .

Предложение 2. Задача $(k(\sqrt{x})/k,G_{b,c,n},\psi)$ при $n>4$ разрешима тогда и только тогда, когда при $k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ выполнено $k(\sqrt{x})\cdot\mathbb R=\mathbb R$ .

Доказательство. Рассматриваемая задача погружения не является полупрямой, а потому условие предложения необходимо для разрешимости: если

$k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ , а

$k(\sqrt{x})\cdot\mathbb R=\mathbb C$ , то в силу [3; гл. 1, § 9, теорема 1.9] уже

$\mathbb R$ -локализация задачи

$(k(\sqrt{x})/k,G_{b,c,n},\psi)$ неразрешима.

Покажем достаточность условий предложения. Нетрудно видеть, что задача $(k(\sqrt{x})/k,G_{b^2,cb,n-1},\psi)$ является присоединенной к исходной, а ее ядро является циклической группой с порождающей $b^2$ . Порядок такой группы по условию не ниже $2^4$ , а потому можно применить предложение 1.

Из предложений 1 и 2 вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Задача погружения $(k(\sqrt{d_1})/k,G_{b,c,n},\varphi)$ , где $\varphi(b)=1$ , $\varphi(c)$ — элемент порядка $2$ , является разрешимой тогда и только тогда, когда:

1) если $n>3$ , то при $k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ выполнено $k(\sqrt{d_1})\cdot\mathbb R=\mathbb R$ ;

2) если $n=3$ , то $\exists\,x\in k^*\colon k[-d_1,x]\sim 1,k(\sqrt{-d_1})[2,x][-1,-1]\sim 1$ ;

3) если $n=2$ , то $k(\sqrt{-d_1})[-1,-1]\sim 1$ ;

4) если $n=1$ , то $k[-1,-1]\sim 1$ .

Задача погружения $(k(\sqrt{d_2})/k,G_{b,c,n},\psi)$ , где $\psi(c)=1$ , $\psi(b)$ — элемент порядка $2$ , является разрешимой тогда и только тогда, когда:

1) если $n>2$ , то при $k\cdot\mathbb R=\mathbb R$ выполнено $k(\sqrt{d_2})\cdot\mathbb R=\mathbb R$ ;

2) если $n=2$ , то $k(\sqrt{-d_2})[-1,-1]\sim 1$ ;

3) если $n=1$ , то $k[-1,-1]\sim 1$ .

Доказательство. Для задачи

$(k(\sqrt{d_1})/k,G_{b,c,n},\varphi)$ при

$n>3$ результат следует из предложения 1; при

$n=3$ – из [7; предложение 2]; при

$n\in\{1,2\}$ результат хорошо известен (случай

$n=1$ описан, например, в [3; введение]; случай

$n=2$ – в [7; теорема 1]).

Для задачи $(k(\sqrt{d_2})/k,G_{b,c,n},\psi)$ при $n>4$ результат следует из предложения 2; для случая $n=4$ результат известен и доказан в работе [13]; случай $n=3$ получается из [3; гл. 5, § 1, теорема 5.1.4]: в самом деле, доказательство дословно проходит для случая $p=2$ , если локализации задачи по вещественным точкам разрешимы (см. также [13]), а по условию это так. В случаях $n\in\{1,2\}$ получается задача, эквивалентная $(k(\sqrt{d_1})/k,G_{b,c,n},\varphi)$ с заменой $d_1$ на $d_2$ .

4.3.

Рассмотрим задачу $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ , где $K=k(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2})$ — расширение поля $k$ с группой Клейна, $b^2$ порождает ядро эпиморфизма $\gamma$ , а

$\begin{equation} \begin{alignedat}{2} \sqrt{d_1}^{\,\gamma(c)} &=-\sqrt{d_1}, &\qquad \sqrt{d_1}^{\,\gamma(b)} &=\sqrt{d_1}, \\ \sqrt{d_2}^{\,\gamma(c)} &=\sqrt{d_2}, &\qquad \sqrt{d_2}^{\,\gamma(b)} &=-\sqrt{d_2}. \end{alignedat} \end{equation} \tag{4.2}$

Пусть

$n\geqslant 4$ . Вычислим условие согласности для задачи

$(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ .

Скрещенное произведение $G_{b,c,n}\times K$ имеет следующие центральные попарно ортогональные идемпотенты:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, E_0 =\frac{1+b^{2^{n-1}}}{2}\cdot\frac{1+b^{2^{n-2}}}{2}\cdots\frac{1+b^4}{2}\cdot\frac{1+b^2}{2}, \\ E_1 =\frac{1+b^{2^{n-1}}}{2}\cdot\frac{1+b^{2^{n-2}}}{2}\cdots\frac{1+b^4}{2}\cdot\frac{1-b^2}{2}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ E_j =\frac{1+b^{2^{n-1}}}{2}\cdot\frac{1+b^{2^{n-2}}}{2}\cdots\frac{1+b^{2^{j+1}}}{2} \cdot\frac{1-b^{2^j}}{2}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ E_{n-1} =\frac{1-b^{2^{n-1}}}{2}. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.3}$

Легко видеть, что

$E_0+\dots+E_{n-1}=1$ . Положим

$\Lambda_j=(G_{b,c,n}\times K)E_j$ .

Алгебра $\Lambda_0$ является скрещенным произведением $V_4\times K$ , что соответствует тривиальной задаче погружения, поэтому $\Lambda_0$ является матричной алгеброй порядка $4$ над некоторой своей подалгеброй.

В $\Lambda_1$ содержатся подалгебры $\langle bE_1,\sqrt{d_2}\,E_1\rangle_k$ и $\langle c\sqrt{d_2}\,E_1,\sqrt{d_1}\,E_1\rangle_k$ , которые коммутируют и изоморфны соответственно $k[-1,d_2]$ и $k[d_2,d_1]$ . Следовательно, $\Lambda_1$ является матричной алгеброй порядка $4$ над некоторой своей подалгеброй тогда и только тогда, когда $k[-d_1,d_2]\sim 1$ .

Рассмотрим последовательность

$\begin{equation*} \theta_0=2,\quad \theta_1=\sqrt{2},\quad \theta_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\quad \dots,\quad \theta_k=\sqrt{2+\theta_{k-1}}. \end{equation*} \notag$

Центр алгебры

$\Lambda_j$ для

$1<j<n-1$ порождается над

$k$ элементами

$(b^2+b^{-2})E_j$ и

$b^{2^{j-1}}\sqrt{d_1}\, E_j$ . Соответственно, центр алгебры

$\Lambda_j$ над

$k$ изоморфен полю

$k_j=k(\sqrt{-d_1},\theta_{j-2})$ . Над полем

$k_j$ алгебра

$\Lambda_j$ содержит коммутирующие подалгебры

$\langle(b+b^{-1})E_j,\sqrt{d_2}\, E_j\rangle_{k_j}$ и

$\langle cE_j,\sqrt{d_1}\, E_j\rangle_{k_j}$ , которые изоморфны соответственно алгебрам

$k_j[2+\theta_{j-2},d_2]$ и

$k_j[1,d_1]$ .

Итак, алгебра $\Lambda_j$ является матричной порядка $4$ над некоторой своей подалгеброй тогда и только тогда, когда $k_j[2+\theta_{j-2},d_2]\sim 1$ .

Рассмотрим, наконец, алгебру $\Lambda_{n-1}$ . Центр алгебры $\Lambda_{n-1}$ порождается над $k$ элементами $(b^2+b^{-2})E_{n-1}$ и $b^{2^{n-2}}E_{n-1}$ . Иными словами, центр алгебры $\Lambda_{n-1}$ изоморфен над $k$ полю $k_{n-1}=k(\sqrt{-d_1},\theta_{n-3})$ . Над полем $k_{n-1}$ алгебра содержит коммутирующие подалгебры $\langle(b+b^{-1})E_{n-1},\sqrt{d_2}\, E_{n-1}\rangle_{k_{n-1}}$ и $\langle cE_{n-1}, \sqrt{d_1}\, E_{n-1}\rangle_{k_{n-1}}$ , которые изоморфны соответственно алгебрам $k_{n-1}[2+\theta_{n-3},d_2]$ и $k_{n-1}[-1,d_1]$ . Но $k_{n-1}[-1,d_1]\sim k_{n-1}[-1,-1]$ , а потому $\Lambda_{n-1}$ является матричной алгеброй порядка $4$ над некоторой своей подалгеброй тогда и только тогда, когда $k_{n-1}[2+\theta_{n-3},d_2][-1,-1]\sim 1$ .

Итак, в задаче $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ при $n\geqslant 4$ условие согласности выполняется тогда и только тогда, когда

$\begin{equation} \begin{gathered} \, k[-d_1,d_2]\sim 1, \\ k_j[2+\theta_{j-2},d_2]\sim 1\quad\forall\,j\in[2,n-2]\cap\mathbb N, \\ k_{n-1}[2+\theta_{n-3},d_2][-1,-1]\sim 1. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.4}$

Теорема 3. Рассмотрим задачу $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ , где $K=k(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2})$ — расширение поля $k$ с группой Клейна, $b^2$ порождает ядро эпиморфизма $\gamma$ , а $\gamma(c)$ действует на $K$ согласно (4.2). Предположим, что $n\geqslant 4$ , $k$ — числовое поле, а числа $\sqrt 2$ , $\sqrt{-1}$ , $\sqrt{-2}$ не принадлежат $K\cdot\mathbb Q_2$ . Тогда при выполнении условий согласности (4.4) задача $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ разрешима.

Доказательство. Заметим, что ядро

$B=\langle b^2\rangle$ задачи

$(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ является циклической группой порядка

$2^{n-1}$ . Поэтому при выполнении условий согласности (4.4) нужно убедиться, что исчезает дополнительное условие погружаемости. Для этого применим идею из [12; лемма 2].

А именно, присоединим корень $\varepsilon_{2^{n-1}}$ к полю $K$ подъемом и рассмотрим поднятую задачу $(K_1/k,\overline G_{b,c,n},\gamma)$ , где $K_1=K(\varepsilon_{2^{n-1}})$ . Обозначим через $F_1$ группу $\mathrm{Gal}(K_1/k)$ . В поднятой задаче также выполняется условие согласности, а потому достаточно показать, что в условиях теоремы пересечение всех ядер гомоморфизмов ограничения $\theta_{\mathfrak p}\colon H^1(F_1,\widehat B)\to H^1(F_{1\mathfrak p},\widehat B)$ на группы разложения $F_{\mathfrak p}$ простых точек $\mathfrak p$ поля $k$ в расширении $K_1/k$ тривиально. Докажем это.

Пусть $c$ – произвольный коцикл группы $F_1$ по значениями в $\widehat B$ . Обозначим через $F_0$ подгруппу в $F_1$ , действующую тривиально на $\widehat B$ . Тогда для любого элемента $f_0\in F_0$ имеем $c_{f_0}=1$ . Действительно, $\langle f_0\rangle=F_{1\mathfrak p}$ для некоторой простой точки $\mathfrak p$ поля $k$ , а потому ограничение коцикла $c$ на группу $\langle f_0\rangle$ распадается, т. е. существует характер $\chi\in\widehat B$ со свойством $c_{f_0}=\chi^{f_0-1}$ . Но тогда из-за $\chi^{f_0}=\chi$ получается требуемое.

Заметим, что $\widehat B$ является циклической группой порядка $2^{n-1}$ , поэтому для каждого $f\in F_1$ существует такое целое $s$ , что $\chi^f=\chi^s$ для всех $\chi\in\widehat B$ . По условию теоремы числа $\sqrt 2$ , $\sqrt{-1}$ , $\sqrt{-2}$ не принадлежат $K\cdot\mathbb Q_2$ . Но тогда поля $K\cdot\mathbb Q_2$ и $k\cdot\mathbb Q_2(\varepsilon_{2^{n-1}})$ линейно разделены над $k\cdot\mathbb Q_2$ . Кроме того, поля $k\cdot\mathbb Q_2$ и $\mathbb Q_2(\varepsilon_{2^{n-1}})$ линейно разделены над $\mathbb Q_2$ . Поэтому для любой простой точки $\mathfrak p$ поля $k$ , лежащей над $2$ , группа $F_{1\mathfrak p}$ содержит подгруппу, изоморфную $\mathrm{Gal}(\mathbb Q(\varepsilon_{2^{n-1}})/\mathbb Q)$ и действующую тривиально на $B$ . Обозначим через $\widehat F_{1\mathfrak p}$ указанную подгруппу группы $F_{1\mathfrak p}$ .

Для элемента $f_1\in\widehat F_{1\mathfrak p}$ , характера $\chi\in\widehat B$ и элемента $x\in B$ имеем

$\begin{equation*} \chi^{f_1}(x)=\chi\bigl(x^{f_1^{-1}}\bigr)^{f_1}=\chi(x)^{f_1}, \end{equation*} \notag$

так как

$\widehat F_{1\mathfrak p}$ действует на

$B$ тривиально. Поэтому по построению для каждого целого

$s$ найдется такой

$f_1\in\widehat F_{1\mathfrak p}$ , что

$\chi^{f_1}=\chi^s$ для всех

$\chi\in\widehat B$ .

Итак, любой элемент $f\,{\in}\, F_1$ представим в виде произведения $f_1f_0$ для $f_1{\in}\,\widehat F_{1\mathfrak p}$ и $f_0\in F_0$ . Коцикл $c$ при ограничении на группу $F_{1\mathfrak p}$ распадается, а значит, существует $\chi\in\widehat B$ со свойством

$\begin{equation*} c_{f_1}=\chi^{f_1-1}\quad \forall\,f_1\in F_{1\mathfrak p}. \end{equation*} \notag$

Если

$f=f_1f_0$ для

$f_1\in\widehat F_{1\mathfrak p}\leqslant F_{1\mathfrak p}$ и

$f_0\in F_0$ , то

$\begin{equation*} c_f=c_{f_1f_0}=c_{f_1}^{f_0}c_{f_0}=\chi^{(f_1-1)f_0}=\chi^{f-1}, \end{equation*} \notag$

т. е. коцикл

$c$ распадается. Теорема 3 доказана.

Следствие 2. Пусть в условиях теоремы 3 поле $k=\mathbb Q$ , числа $d_1$ и $d_2$ являются простыми, сравнимыми с $1$ по модулю $2^n$ и такими, что $d_1$ является квадратом в поле $\mathbb F_{d_2}$ . Тогда задача $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ разрешима.

Доказательство. Поскольку

$d_i\equiv 1\ (\operatorname{mod}2^n)$ , то

$2$ полностью раскладывается в

$K$ . Достаточно, таким образом, проверить выполнение условия согласности (4.4). Так как

$d_1$ является квадратом в поле

$\mathbb Q_{d_2}$ , то

$\mathbb Q_{d_2}[d_1,d_2]\sim 1$ . Из закона взаимности Артина тогда получается, что и

$\mathbb Q[d_1,d_2]\sim 1$ . Поэтому и

$\mathbb Q[-d_1,d_2]\sim 1$ . Итак, первое условие в (4.4) выполняется. Можно проверить непосредственно, что и остальные условия в (4.4) также выполняются. Мы, однако, поступим более простым способом.

Пусть $p$ – произвольное простое число. Рассмотрим $p$ -локализацию $(K\cdot\mathbb Q_p/\mathbb Q_p, G_{b,c,n},\gamma)$ исходной задачи. Если $p\notin\{d_1,d_2,2\}$ , то расширение $K\cdot\mathbb Q_p/\mathbb Q_p$ неразветвлено, а потому $p$ -локализация разрешима в силу результата [3; гл. 3, § 14, лемма 3.14]. Если $p=2$ , то $p$ -локализация вновь разрешима, ибо $2$ полностью раскладывается в $K$ .

Пусть $p=d_1$ . Тогда в силу $\mathbb Q[d_1,d_2]\sim 1$ получаем, что $K\cdot\mathbb Q_p/\mathbb Q_p$ – вполне разветвленное расширение степени $2$ . Так как $d_1\equiv 1\ (\operatorname{mod} 2^n)$ , то $\varepsilon_{2^n}\in\mathbb Q_p$ . Пусть число $m\in\mathbb N$ таково, что $\varepsilon_{2^m}\in\mathbb Q_p$ , а $\varepsilon_{2^{m+1}}\notin\mathbb Q_p$ . В этом случае $m\geqslant n$ . Заметим теперь, что ядро задачи $(K\cdot\mathbb Q_p/\mathbb Q_p,G_{b,c,n},\gamma)$ является циклическим порядка $2^{n-1}$ . Так как $m-(n-1)\geqslant 1$ , то рассматриваемая $p$ -локальная задача разрешима в силу [14; теорема 6].

Пусть $p=d_2$ . Тогда вновь в силу $\mathbb Q[d_1,d_2]\sim 1$ применимы те же рассуждения, что и для $p=d_1$ .

Наконец, если рассмотреть $\mathbb R$ -локализацию искомой задачи, то она разрешима из-за $K\cdot\mathbb R=\mathbb R$ . Итак, разрешимы все локализации задачи $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ , а потому условие (4.4) выполняется.

Замечание 1. Теорема 3 и следствие 2 дают условия на параметры $d_1$ и $d_2$ , при которых расширения $k(\sqrt{d_1})/k$ , $k(\sqrt{d_2})/k$ , $k(\sqrt{d_1d_2})/k$ погружаются в расширение полей $L/k$ с обобщенно-кватернионной группой $G_{b,c,n}$ при $n\geqslant 4$ . Для случая $n=3$ условий согласности (4.4) достаточно для разрешимости задачи $(K/k,G_{b,c,n},\gamma)$ , ибо ядро такой задачи является циклическим порядка $4$ .



Список литературы

1.	А. В. Яковлев, “Задача погружения полей”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:3 (1964), 645–660
2.	В. В. Ишханов, “О полупрямой задаче погружения с нильпотентным ядром”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:1 (1976), 3–25 ; англ. пер.: V. V. Išhanov, “On the semidirect imbedding problem with nilpotent kernel”, Math. USSR-Izv., 10:1 (1976), 1–23
3.	В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев, Задача погружения в теории Галуа, Современная алгебра, 17, Наука, М., 1990, 270 с. ; англ. пер.: V. V. Ishkhanov, B. B. Lur'e, D. K. Faddeev, The embedding problem in Galois theory, Transl. Math. Monogr., 165, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, xii+182 с.
4.	D. D. Kiselev, “Minimal $p$ -extensions and the embedding problem”, Comm. Algebra, 46:1 (2018), 290–321
5.	Д. Д. Киселев, А. В. Яковлев, “Ультраразрешимые и силовские расширения с циклическим ядром”, Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 128–138 ; англ. пер.: D. D. Kiselev, A. V. Yakovlev, “Ultrasolvable and Sylow extensions with cyclic kernel”, St. Petersburg Math. J., 30:1 (2019), 95–102
6.	Д. Д. Киселев, “Метациклические $2$ -расширения с циклическим ядром и вопросы ультраразрешимости”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 32, Зап. науч. сем. ПОМИ, 460, ПОМИ, СПб., 2017, 114–133 ; англ. пер.: D. D. Kiselev, “Metacyclic $2$ -extensions with cyclic kernel and the ultrasolvability questions”, J. Math. Sci. (N.Y.), 240:4 (2019), 447–458
7.	Д. Д. Киселев, “Ультраразрешимые накрытия группы $Z_2$ группами $Z_8$ , $Z_{16}$ и $Q_8$ ”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 28, Зап. науч. сем. ПОМИ, 435, ПОМИ, СПб., 2015, 47–72 ; англ. пер.: D. D. Kiselev, “Ultrasolvable covering of the group $Z_2$ by the groups $Z_8$ , $Z_{16}$ and $Q_8$ ”, J. Math. Sci. (N.Y.), 219:4 (2016), 523–538
8.	Д. Д. Киселев, “Ультраразрешимые накрытия некоторых нильпотентных групп циклической группой над числовыми полями и смежные вопросы”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:3 (2018), 69–89 ; англ. пер.: D. D. Kiselev, “Ultrasoluble coverings of some nilpotent groups by a cyclic group over number fields and related questions”, Izv. Math., 82:3 (2018), 512–531
9.	Д. Д. Киселев, Б. Б. Лурье, “Ультраразрешимость и сингулярность в проблеме погружения”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 25, Посвящается шестидесятилетию Николая Александровича Вавилова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 414, ПОМИ, СПб., 2013, 113–126 ; англ. пер.: D. D. Kiselev, B. B. Lur'e, “Ultrasolvability and singularity in the embedding problem”, J. Math. Sci. (N.Y.), 199:3 (2014), 306–312
10.	А. В. Яковлев, “Задача погружения для числовых полей”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:2 (1967), 211–224 ; англ. пер.: A. V. Jakovlev, “The embedding problem for number fields”, Math. USSR-Izv., 1:2 (1967), 195–208
11.	G. Malle, B. H. Matzat, Inverse Galois theory, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 1999, xvi+436 pp.
12.	А. В. Яковлев, “О задаче погружения с циклическим ядром для числовых полей”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 23, Зап. науч. сем. ПОМИ, 400, ПОМИ, СПб., 2012, 208–214 ; англ. пер.: A. V. Yakovlev, “On the embedding problem with cyclic kernel for number fields”, J. Math. Sci. (N.Y.), 192:2 (2013), 243–246
13.	В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, “О задаче погружения с некоммутативным ядром порядка $p^4$ . V”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 3, Зап. науч. сем. ПОМИ, 211, Наука, СПб., 1994, 127–132 ; англ. пер.: V. V. Ishkhanov, B. B. Lur'e, “On the embedding problem with non-Abelian kernel of order $p^4$ . V”, J. Math. Sci. (N.Y.), 83:5 (1997), 642–645
14.	Н. П. Зяпков, А. В. Яковлев, “Универсально согласные расширения Галуа”, Модули и представления, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 71, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1977, 133–152 ; англ. пер.: N. P. Zyapkov, A. V. Yakovlev, “Universally concordant Galois extensions”, J. Soviet Math., 20:6 (1982), 2595–2609

Образец цитирования: Д. Д. Киселев, “О квадратичных подполях обобщенно-кватернионных расширений”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:1 (2024), 82–97; Izv. Math., 88:1 (2024), 77–91

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kis24}

\by Д.~Д.~Киселев

\paper О~квадратичных подполях обобщенно-кватернионных расширений

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2024

\vol 88

\issue 1

\pages 82--97

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9430}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9430}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4727542}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07838015}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024IzMat..88...77K}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2024

\vol 88

\issue 1

\pages 77--91

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9430e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001202734300005}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85205926813}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/im9430

https://doi.org/10.4213/im9430

https://www.mathnet.ru/rus/im/v88/i1/p82

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Известия Российской академии наук. Серия математическая

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	414
PDF русской версии:	9
PDF английской версии:	77
HTML русской версии:	51
HTML английской версии:	142
Список литературы:	35
Первая страница:	7

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы