| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Критерии П. В. Парамоновab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9036 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение. Основной результатИстории вопроса мы будем касаться по мере изложения. Подробно она представлена в обзоре [1], а также в недавней статье [2], продолжением которой является настоящая работа. При фиксированном N∈{3,4,…} пусть – произвольный однородный полином второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами cij=cji, удовлетворяющий условию эллиптичности: L(x)≠0 при всех x≠0. С полиномом L(x) ассоциируется эллиптический дифференциальный оператор Основной пример: лапласиан Δ в RN.Для открытого множества U≠∅ в RN положим AL(U)={f∈C2(U)∣Lf=0 в U}. Функции этого класса назовем L-аналитическими в U. Хорошо известно, что AL(U)⊂C∞(U) (см., например, [3; теорема 4.4.1]). Обозначим через BC1(U) (U≠∅ открыто в RN) пространство комплекснозначных функций f класса C1(U) c конечной нормой где ‖g‖E=supx∈E|g(x)| – равномерная норма ограниченной (вектор-) функции g на множестве E≠∅ (при U=RN=E соответственно пишем BC1, ‖f‖1, ‖g‖). Через ω(g,⋅) будет обозначаться модуль непрерывности ограниченной (вектор-) функции g на RN.Пусть X≠∅ – компакт в RN, f∈BC1. Основной вопрос, рассматриваемый в настоящей работе, состоит в следующем. При каких условиях, налагаемых на L, X и f, существует последовательность {fm}+∞m=1⊂BC1 такая, что каждая из функций fm является L-аналитической в (своей) окрестности компакта X и ‖f−fm‖1→0 при m→+∞? Класс всех функций f∈BC1 с указанным условием приближаемости обозначим через A1L(X). Нетрудно показать, что всегда выполняется включение A1L(X)⊂C1L(X):=BC1∩AL(X∘) (где E∘ – внутренность множества E; при X∘=∅ полагаем C1L(X):=BC1), поэтому естественно возникает так называемая задача об аппроксимации для классов функций: Для каких X выполняется равенство A1L(X)=C1L(X)? Отметим, что аналогичные аппроксимационные задачи в пространствах BCs решены при всех s>0, s≠1 (см. работы А. Г. О’Фаррелла [4], Дж. Вердеры [5] и автора [6], а также обзорную статью [1]). Открытый шар в RN с центром a и радиусом r>0 будем обозначать через B(a,r); при этом для B=B(a,r) и λ>0 через λB обозначается шар B(a,λr). Положительные параметры (постоянные), которые могут зависеть только от N и L будем обозначать через A0,A1,…; значения постоянной A>0 могут дополнительно зависеть от параметров k и ‖∇φ1‖ из теорем 1.1 и 3.1 (кроме того, A может быть различной в разных соотношениях). Для L(x)=∑Ni,j=1cijxixj, f∈C(RN) и шара B=B(a,r) определим так называемую L-осцилляцию функции f на B (см. [6]): где |B| – мера Лебега шара B в RN, а σ – поверхностная мера Лебега на ∂B.Так, при L(x)=∑Nj=1x2j (т. е. L=Δ) имеем Обозначим через ΦL(x) – стандартное фундаментальное решение для уравнения Lu=0, вещественно аналитическое в RN∖0 и однородное порядка 2−N (см. [3; теорема 7.1.20] и следующее за этой теоремой замечание). Нам потребуется следующая LC1-емкость, связанная с оператором L и пространством BC1. Для любого ограниченного множества E⊂RN положим где ⟨T,φ⟩ означает действие распределения T на функцию φ∈C∞ и Spt(T) – носитель распределения (функции, меры) T; конечно, α1L(∅)=0.Сформулируем основной результат настоящей работы. Пусть X≠∅ – компакт в RN, f∈BC1. Без ограничения общности, мы будем считать, что Spt(f) – компакт, т. е. f∈C10(RN). Теорема 1.1. Следующие условия эквивалентны: (a) f∈A1L(X); (b) найдутся k⩾1 и функция ω(⋅):[0,+∞)→[0,+∞) такие, что ω(r)→0 при r→0+ и для каждого шара B(a,r) справедлива оценка (c) свойство (b) верно при k=1 и ω(r)=Aω(∇f,r) (здесь A=A(N,L)). При N=2 этот результат получен в [2]. Важным следствием теоремы 1.1 является следующий новый критерий C1-L-приближаемости для классов функций, который доказывается аналогично полученному в [7; теорема 6.1] критерию для гармонических функций. Следствие 1.1. Для всех рассматриваемых операторов L в RN и компактов X⊂RN следующие условия эквивалентны: (a) A1L(X)=C1L(X); (b) α1L(D∖X∘)=α1L(D∖X) для всякого ограниченного открытого множества D в RN; (c) найдутся A>0 и k⩾1 такие, что для всякого шара B(a,δ) имеем В § 2 приводятся необходимые предварительные сведения и кратко обсуждаются свойства емкостей α1L(E). В § 3 доказывается теорема 1.1 (и даже более общая теорема 3.1). В § 4 устанавливается ряд метрических свойств емкостей α1L и тесно связанных с ними соответствующих Lip1- и Lip1+-емкостей, а также обсуждаются открытые вопросы, связанные с этими емкостями. § 2. Предварительные результатыСледующая лемма доказана в [6]. Лемма 2.1. При a∈RN и r∈(0,+∞) пусть ψar(x)=(r2−|x−a|2)/(2N|B|) в B=B(a,r) и ψar(x)=0 вне B(a,r). Тогда для всех φ∈C∞(RN) справедливо равенство т. е. действие ⟨Lψar,φ⟩ распределения Lψar на функцию φ совпадает с OLB(φ), и оно может быть продолжено по непрерывности на все функции φ∈C(RN).При φ∈C∞0(RN) определим локализационный оператор Vφ типа Витушкина [8], [5], соответствующий оператору L: Нам потребуется одно новое свойство этого оператора, связанное с его возможным продолжением на более широкий класс “индексов” φ при f∈C10(RN). Лемма 2.2. Фиксируем произвольную функцию φ∈C1(¯B(a,r)), φ=0 вне B(a,r) (φ∈Lip1(RN)). Тогда для любой функции f∈C10(RN) выполняются следующие свойства: (a) функция Vφ(f)∈C1(RN) корректно определена и (b) Spt(LVφ(f))⊂Spt(Lf)∩Spt(φ); (c) если f∈C2(RN), то L(Vφ(f))=φLf. Полное доказательство этой леммы приведено в [2; лемма 2.2] для двумерного случая. Оно дословно переносится и на произвольные размерности (см. также [9; лемма 3.4]). Из вещественной аналитичности в RN∖0 и однородности порядка 2−N фундаментального решения ΦL вытекают следующие оценки: где для N-индекса β=(β1,…,βN), βj∈Z+:={0,1,2,…}, как всегда |β|=β1+⋯+βN, β!=β1!⋯βN!, xβ=xβ11⋯xβNN иНам понадобится следующий упрощенный вариант теоремы о разложении ΦL-потенциалов в ряды типа Лорана (см., например, [10]). Лемма 2.3. Положим A2=2A1+1. Пусть T – распределение с компактным носителем в шаре B(a,r) и пусть g=ΦL∗T∈C1(RN). Тогда на множестве {x∈RN∣|x−a|>A2r} справедливо разложение где Ряд в (2.2) сходится в смысле C∞({x∈RN∣|x−a|>A2r}).Доказательство этой леммы вытекает из указанных выше свойств функций ΦL и оценок (2.3) в приведенной ниже лемме (при E=B(a,r)). Отметим, что в лемме 2.3 коэффициент c0(g)=c(0,…,0)(g,a) не зависит от a, и при c0(g)=0 коэффициенты cβ(g,a) не зависят от a при |β|=1. Для класса функций I и числа τ⩾0 обозначим через τI класс {τg:g∈I}. Перепишем определение емкости α1L(E) ограниченного множества E: гдеОчевидно, что α1L является монотонной функцией множеств, инвариантной относительно сдвигов и однородной порядка N−1 относительно гомотетий с положительными коэффициентами. В частности, α1L(B(a,r))=A(N,L)rN−1. Другие метрические свойства этой емкости, а также связанной с ней Lip1-емкости, мы обсудим в конце статьи: в доказательствах наших основных результатов они не потребуются. Доказательство следующей леммы стандартно (см., например, доказательства леммы 3.3 и следствия 3.4 из [7]). В обозначениях леммы 2.3 далее полагаем § 3. Доказательство теоремы 1.1Фиксируем произвольную четную неотрицательную функцию φ1 из C(RN)∩C1(¯B(0,1)) с условиями Sptφ1⊂¯B(0,1) и ∫φ1(x)dx=1. Пусть φar(x)=r−Nφ1((x−a)/r) и φr=φ0r. Тогда ‖∇φar‖=r−N−1‖∇φ1‖. Теорема 1.1 является частным случаем следующего результата. Теорема 3.1. Для произвольного компакта X в RN и f∈C10(RN) следующие условия эквивалентны: (a) f∈A1L(X); (b) найдутся k⩾1 и функция ω(r)→0 при r→0+ такие, что для всякого шара B=B(a,r) имеем (c) свойство (b) верно при k=1 и ω(r)=Aω(∇f,r), A=A(L,N,‖∇φ1‖). При φ1=N(N+2)ψ01 (см. лемму 2.1) эта теорема совпадает с теоремой 1.1. Доказательство (a) ⇒ (c) в теореме 3.1.
Пусть f∈A1L(X) и найдется последовательность {fm}+∞m=1⊂BC1 такая, что каждая функция fm является L-аналитической в некоторой (своей) окрестности Um компакта X и ‖f−fm‖1→0 при m→+∞. Из соображений регуляризации мы можем дополнительно потребовать, чтобы каждая fm∈C∞0(RN). Фиксируем произвольные B=B(a,r) и ε∈(0,r/2). Найдется mε∈N такое, что для всех m⩾mε имеем ‖f−fm‖1<ε, откуда ω((∇f−∇fm),r)<2ε. Поэтому достаточно установить оценку при A=A(L,N,‖∇φ1‖) и ωm(r)=ω(∇fm,r), и затем устремить ε к 0.Пусть hm=Vφfm, где φ(x)=φar−ε(x). По лемме 2.2 hm∈BC1, ‖∇hm‖⩽A0ω(∇fm,r)r‖∇φ‖ и hm является L-аналитической вне некоторого компакта E⊂B∖X. Из (1.1) и леммы 2.2 интегрированием по частям получаем: что завершает доказательство (a) ⇒ (c), поскольку ‖∇φ‖⩽(2r)−N−1‖∇φ1‖.Поскольку (c) ⇒ (b) очевидно, мы переходим к доказательству основной части теоремы 3.1. Доказательство (b) ⇒ (a) в теореме 3.1. Выберем R>0 с условиями X⊂B(0,R) и f(x)=0 при |x|>R. В условии (3.1) мы будем всегда предполагать, что ω(δ)⩾ω(∇f,δ). Фиксируем δ>0 (в конце доказательства δ устремляется к 0) и некоторое стандартное δ-разбиение единицы {(φj,Bj):j=(j1,…,jN)∈ZN} в RN. Точнее: Bj=B(aj,δ), где aj=(j1δ/N,…,jNδ/N)∈RN, φj∈C∞0(Bj), 0⩽φj(x)⩽1, ‖∇φj‖⩽A6/δ, ∑j∈ZNφj≡1. Рассмотрим новое разбиение единицы {(ψj,B′j)}, где ψj=φδ∗φδ∗φj, B′j=B(aj,3δ) (напомним, что φδ=φ0δ). Ясно, что ψj∈C∞0(B′j) и ‖∇ψj‖⩽A/δ. Определим так называемые локализованные функции fj=ΦL∗(ψjLf). Лемма 3.1. Функции fj удовлетворяют следующим свойствам: (1) fj∈Aω(∇f,δ)I1L(B′j∖X0); (2) f=∑jfj и эта сумма конечна (fj=0 при B′j∩B(0,R)=∅); (3) при |x−aj|>3A2δ справедливо разложение гдеПусть Gj=B(aj,(k+2)δ)∖X. Тогда, полагая для краткости c0j=c0(fj) и c1j=c1(fj,aj)=(c11j,…,c1Nj) (см. (2.7)), имеем оценки Доказательство. Из (b) получаем, что f∈C1L(X). Отсюда лемма 2.2 дает (1) и (2). Ниже мы следуем доказательству леммы 2.5 из [11].
Формула (3.2) вытекает из леммы 2.3, леммы 2.2, определения fj и интегрирования по частям. Докажем (3.3). Пусть φ∗j=φδ∗φj. Тогда Из (3.2) при |β|=0, теоремы Фубини и неравенства (3.1) имеем
|c0j|=|∫f(x)L(φδ∗φ∗j(x))dx|=|N∑i,j=1cij∫∂∂xif(x)∂∂xj(φδ∗φ∗j(x))dx|=|∫B(aj,2δ)(N∑i,j=1cij∫∂∂xif(x)∂∂xjφδ(x−y)dx)φ∗j(y)dy|⩽A|∫B(aj,2δ)φ∗j(y)ω(δ)δ−Nα1L(B(y,kδ)∖X)dy|⩽Aω(δ)α1L(Gj).
Для получения оценок (3.4) заметим, что из формулы (3.2) при |β|=1 вытекает, что
\begin{equation*}
c^1_{n\mathbf{j}}=-\int f(\mathbf{y}) \mathcal{L}\bigl(\psi_\mathbf{j}(\mathbf{y})(y_n-a_{n\mathbf{j}})\bigr)\, d\mathbf{y},\qquad a_{n\mathbf{j}}=\frac{j_n\delta}{N},\quad n\in \{1, \dots, N\}.
\end{equation*}
\notag
Далее устанавливаем, что функции \psi_\mathbf{j}(\mathbf{y}) (y_n-a_{n\mathbf{j}}) имеют форму \varphi_\delta *\chi_{n\mathbf{j}}, где \chi_{n\mathbf{j}}\in C_0^\infty(B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, 2\delta)) и \|\chi_{n\mathbf{j}}\|\leqslant A\delta. Это делается аналогично [11; с. 1331] или [12; лемма 3.4] с использованием преобразования Фурье. Далее поступаем, как в доказательстве оценок (3.3). Лемма 3.1 доказана. Теперь приведем схему аппроксимации функции f=\sum f_\mathbf{j}, развивая соответствующие подходы из [7], [11] и [2]. Положим \mathbf{J}=\{\mathbf{j}\in \mathbb{Z}^N\colon B'_\mathbf{j}\cap\partial X\neq \varnothing\}. При \mathbf{j}\notin \mathbf{J} по лемме 3.1, (1) f_\mathbf{j}\in \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X), так что эти f_\mathbf{j} не надо приближать. Пусть теперь \mathbf{j}\in \mathbf{J}. По определению \alpha_1(G_\mathbf{j}) (напомним, что G_\mathbf{j}=B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, (k+2)\delta)\setminus X) и ввиду (3.3) найдутся функции f_\mathbf{j}^*\in A\omega(\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_\mathbf{j})\subset \mathcal{A}^1_\mathcal{ L}(X) такие, что c_0(f_\mathbf{j}^*)=c_0(f_\mathbf{j}). Пусть g_\mathbf{j}=f_\mathbf{j}-f_\mathbf{j}^* (f_\mathbf{j}^*= f_\mathbf{j}, g_\mathbf{j}\equiv 0 при \mathbf{j}\notin \mathbf{J}). Тогда
\begin{equation}
\|\nabla g_\mathbf{j}\| \leqslant A\omega(\delta), \qquad c_0(g_\mathbf{j})=0.
\end{equation}
\tag{3.5}
Из (2.3) (при |\beta|=1) для E=G_\mathbf{j} и g=f_\mathbf{j}^*, и из (3.4) мы получаем (напомним, что \mathbf{c}^1(g_\mathbf{j}, \mathbf{a})=\mathbf{c}^1(g_\mathbf{j}) не зависит от \mathbf{a}):
\begin{equation*}
|\mathbf{c}^1(g_\mathbf{j})| \leqslant A\omega(\delta)\delta\alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j}), \qquad \mathbf{j}\in \mathbf{J}.
\end{equation*}
\notag
Пусть p=A_2(k+2). Пользуясь (2.5) и (2.6) для g=g_\mathbf{j} и E=B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, (k+2)\delta)=B^*_\mathbf{j}, мы получаем при |\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|>p\delta:
\begin{equation}
|\nabla g_\mathbf{j}(\mathbf{x})|\leqslant \frac{A\omega(\delta)\delta\alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j})} {|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^N} + \frac{A\omega(\delta)\delta^{N+1}}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^{N+1}}.
\end{equation}
\tag{3.6}
Введем следующие сокращенные обозначения. Напомним, что \delta >0 фиксировано и достаточно мало. При \mathbf{j} \in \mathbf{J} положим \alpha_\mathbf{j}=\alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j}), так что все эти \alpha_\mathbf{j}>0. Для \mathbf{I} \subset \mathbf{J} и \mathbf{x}\in \mathbb{R}^N положим
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B^*_\mathbf{I}=\bigcup_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}}B^*_\mathbf{j},\qquad G_\mathbf{I}=\bigcup_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}}G_\mathbf{j},\qquad \alpha_\mathbf{I}=\sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}} \alpha_\mathbf{j},\qquad g_\mathbf{I}=\sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}} g_\mathbf{j}, \nonumber \\ \mathbf{I}'(\mathbf{x})=\{\mathbf{j} \in \mathbf{I}\colon |\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|>p\delta \}, \nonumber \\ S'_\mathbf{I}(\mathbf{x})=\sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}'(\mathbf{x})} \biggl(\frac{\delta \alpha_\mathbf{j}}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^N} +\frac{\delta^{N+1}}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^{N+1}}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
Введем еще S_\mathbf{I}(\mathbf{x})=S'_\mathbf{I}(\mathbf{x}) при \mathbf{I}=\mathbf{I}'(\mathbf{x}) и S_\mathbf{I}(\mathbf{x})=S'_\mathbf{I}(\mathbf{x})+1 при \mathbf{I}\neq \mathbf{I}'(\mathbf{x}). Для \mathbf{I}\subset \mathbf{J}, \mathbf{i}=(i_1,\dots, i_N) \in \mathbf{I} и n \in \{1,\dots, N\} определим P_n(\mathbf{I},\mathbf{i})=\{\mathbf{j}\in \mathbf{I}\colon j_m\,{=}\,i_m, m \in \{1,\dots, N\},\, m \neq n\}.
Определение 3.1. Пусть n \in \{1,\dots, N\}, \mathbf{I} \subset \mathbf{J} и \mathbf{i} \in \mathbf{I}. Подмножество \mathbf{L}_n=\mathbf{L}_n(\mathbf{i}) из \mathbf{I} назовем полной n-цепью в \mathbf{I} с вершиной \mathbf{i}, если выполняются следующие условия: 1) \mathbf{L}_n является n-направленным и связным в \mathbf{I}; последнее означает, что \mathbf{L}_n \subset P_n(\mathbf{I},\mathbf{i}), j_n\geqslant i_n при всех \mathbf{j} \in \mathbf{L}_n, и для каждых \mathbf{j} \in \mathbf{L}_n и \mathbf{j}'\in P_n(\mathbf{I},\mathbf{i}) с условиями i_n \leqslant j'_n \leqslant j_n имеем \mathbf{j}' \in \mathbf{L}_n; 2) мы можем представить \mathbf{L}_n в виде \mathbf{L}_n=\mathbf{L}_n^1\cup \mathbf{L}_n^2 \cup \mathbf{L}_n^3 со следующими свойствами: для всех \mathbf{j}^{\theta}\in \mathbf{L}_n^{\theta}, \theta \in \{1,2,3\}, имеем
\begin{equation*}
j_n^1<j_n^2<j_n^3\quad \text{и} \quad |\mathbf{a}_{\mathbf{j}^1}-\mathbf{a}_{\mathbf{j}^3}|\geqslant q\delta ,
\end{equation*}
\notag
где q\geqslant 3p, зависящее только от \mathcal{L}, N и k, будет выбрано позже; 3) при \theta=1 и \theta=3 имеем \alpha_{\mathbf{L}_n^{\theta}} \geqslant {\delta}^{N-1} и \mathbf{L}_n минимально возможное с указанными свойствами (в частности, \alpha_{\mathbf{L}_n} \leqslant A {\delta}^{N-1}). Определение 3.2. Пусть \mathbf{i} \in \mathbf{I} \subset \mathbf{J}. Множество \Gamma \subset \mathbf{I} назовем полной группой в \mathbf{I} с вершиной \mathbf{i}, если найдутся полные n-цепи \mathbf{L}_n, n \in \{1, \dots, N\}, в \mathbf{I} с вершиной \mathbf{i} такие, что \Gamma=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n. Разобьем множество индексов \mathbf{J} на конечное число попарно непересекающихся множеств \Gamma^s, s \in \{1, \dots, S\}, по индукции следующим образом (отметим, что при s \geqslant 2 множества \Gamma^s не обязательно являются группами в \mathbf{J}, хотя мы и будем продолжать называть их группами). Введем естественный порядок в \mathbf{J}: для \mathbf{j} \neq \mathbf{j}' в \mathbf{J} по определению положим \mathbf{j}<\mathbf{j}', если найдется n \in \{1, \dots, N\} такое, что j_i=j'_i при всех i<n, но j_n<j'_n. Выберем минимальное \mathbf{i}^1 в \mathbf{J}=\mathbf{J}^1. Если существует полная группа \Gamma=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n в \mathbf{J} с вершиной \mathbf{i}^1, то полагаем \Gamma^1=\Gamma. Если такой \Gamma нет, то полагаем \Gamma^1=P_n(\mathbf{J}, \mathbf{i}^1), где n \in \{1,\dots, N\} – минимальный номер, для которого \mathbf{L}_n не существует; в этом случае называем \Gamma^1 неполной n-группой. Если \Gamma^1, \dots, \Gamma^s построены, берем \mathbf{J}^{s+1}=\mathbf{J}\setminus (\Gamma^1\cup \dots \cup \Gamma^s) и делаем предыдущее построение для \mathbf{J}^{s+1} вместо \mathbf{J}^s, определяя \Gamma^{s+1} (полную на шаге s+1 или неполную в \mathbf{J}^{s+1}). Пусть S – максимальный номер с условием \mathbf{J}^S \neq \varnothing. Фиксируем разбиение \{\Gamma^s\}=\{\Gamma^s\}_{s=1}^S множества \mathbf{J}. Для каждой группы \Gamma=\Gamma^s (полной или нет) из (3.5), (3.6) имеем:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha_\Gamma\leqslant A\delta^{N-1}, \qquad c_0(g_\Gamma)=0,\qquad |\mathbf{c}^1(g_\Gamma)|\leqslant A\omega(\delta)\delta^N, \nonumber \\ |\nabla g_\Gamma(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta)S_{\Gamma}(\mathbf{x}),\qquad \|\nabla g_{\Gamma}\| \leqslant A\omega(\delta),\qquad \|S_{\Gamma}\| \leqslant A. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
Доказательство последних оценок весьма просто; см., например, [7; леммы 5.6 и 5.7]. Лемма 3.2. Для каждой полной группы \Gamma=\Gamma^s найдется функция h_\Gamma\in A\omega(\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_\Gamma)\subset \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X) такая, что
\begin{equation*}
c_0(h_\Gamma)=0,\qquad \mathbf{c}^1(h_\Gamma)=\mathbf{c}^1(g_\Gamma)
\end{equation*}
\notag
и для всех \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N имеем Доказательство. Здесь мы модифицируем идею доказательства леммы 2.7 из [11]. Пусть \Gamma=\Gamma^s – полная группа с вершиной \mathbf{i} и полными n-цепями \mathbf{L}_n, n \in \{1,\dots,N\}, и пусть \mathbf{L}_n=\mathbf{L}_n^1\cup \mathbf{L}_n^2 \cup \mathbf{L}_n^3 (как в определении 3.1 при \mathbf{I}=\mathbf{J}^s). Сначала построим функции h_{\mathbf{L}_n}(\mathbf{x}) \in A\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_{\mathbf{L}_n}) такие, что
\begin{equation*}
c_0(h_{\mathbf{L}_n})=0, \qquad \mathbf{c}^1(h_{\mathbf{L}_n})=\delta^N(\mathbf{e}_n+ \mathbf{u}_n),
\end{equation*}
\notag
где \mathbf{e}_n – единичный вектор в направлении оси Ox_n,
\begin{equation}
|\nabla h_{\mathbf{L}_n}(\mathbf{x})|\leqslant AS_{\mathbf{L}_n}(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{3.9}
\mathbf{u}_n – какой-то вектор в \mathbb{C}^N c условием |\mathbf{u}_n|<\varepsilon_N. При этом достаточно малое \varepsilon_N выбирается с тем расчетом, чтобы для нахождения надлежащей линейной комбинации (с комплексными коэффициентами) функций \{h_{\mathbf{L}_n}\}_{n=1}^N, задающей нужную функцию h_\Gamma (см. свойства (3.8)) получалась хорошо обусловленная система линейных уравнений.
Мы построим функцию h_{\mathbf{L}_1}, остальные \{h_{\mathbf{L}_n}\} строятся аналогично. Для каждого \mathbf{j} \in \mathbf{L}_1 выберем h_\mathbf{j}\in 2 \mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_\mathbf{j}) с условием c_0(h_\mathbf{j})=\alpha_\mathbf{j}= \alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j}). Пусть T_\mathbf{j}=\mathcal{L}h_\mathbf{j}, так что \alpha_\mathbf{j}=\langle T_\mathbf{j},1\rangle. Фиксируем \mathbf{j}^1 \in \mathbf{L}^1_1, \mathbf{j}^3 \in \mathbf{L}^3_1 и при \theta =1 и \theta =3 определим
\begin{equation*}
\mathbf{a}^{\theta}=\mathbf{a}_{\mathbf{j}^\theta},\quad G^\theta=G_{\mathbf{j}^\theta},\quad {\alpha}^{\theta}={\alpha}_{\mathbf{j}^\theta},\quad h^\theta=h_{\mathbf{j}^\theta}, \quad T^\theta =\mathcal{L} h^\theta.
\end{equation*}
\notag
Положим M=|\mathbf{a}^1-\mathbf{a}^3|/\delta. Пусть \lambda^1 \in (0,1) и \lambda^3 \in (0,1) таковы, что \lambda^1\alpha^1=\lambda^3 \alpha^3:=\alpha. Определим
\begin{equation}
h^{13}(\mathbf{x})=h^{13}(\mathbf{j}^1,\mathbf{j}^3,\lambda^1,\lambda^3, \mathbf{x})= \frac{\lambda^1h^1(\mathbf{x})-\lambda^3 h^3(\mathbf{x})}{M}.
\end{equation}
\tag{3.10}
Тогда c_0(h^{13})=0 и по лемме 2.3
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M \mathbf{c}^1(h^{13})&=- \langle \lambda^1 T^1(\mathbf{y})- \lambda^3 T^3(\mathbf{y}),\, \mathbf{y} \rangle \\ &= -\lambda^1\langle T^1(\mathbf{y}),(\mathbf{y}-\mathbf{a}^1) \rangle-\lambda^1\langle T^1,\mathbf{a}^1 \rangle + \lambda^3\langle T^3 (\mathbf{y}),(\mathbf{y}-\mathbf{a}^3) \rangle + \lambda^3\langle T^3,\mathbf{a}^3 \rangle \\ &=\alpha (\mathbf{a}^3 -\mathbf{a}^1)+\mathbf{R}^{13}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где |\mathbf{R}^{13}| \leqslant A\delta \alpha, что следует из (2.3) при |\beta|=1.
Следовательно,
\begin{equation}
\mathbf{c}^1(h^{13})=\delta\alpha (\mathbf{e}_1+\mathbf{u}_1^{13}),\qquad |\mathbf{u}_1^{13}|=O\biggl(\frac1{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
Ясно, что |\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant M^{-1}(\lambda_1|\nabla h^1(\mathbf{x})|+ \lambda_3|\nabla h^3(\mathbf{x})|). Более того, при всех \mathbf{x} с условиями |\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|>p\delta и |\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|>p\delta ввиду (2.5) имеем
\begin{equation*}
|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant \alpha M^{-1}|\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^1)-\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^3)| + A\alpha \delta (|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|^{-N}+|\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|^{-N}).
\end{equation*}
\notag
Откуда, пользуясь простой оценкой (при |\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|>p\delta и |\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|>p\delta)
\begin{equation*}
|\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^1)-\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^3)| \leqslant A_5|\mathbf{a}^1 -\mathbf{a}^3|(|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|^{-N}+|\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|^{-N}),
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant A\delta\alpha(|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|^{-N}+ |\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|^{-N}).
\end{equation}
\tag{3.12}
Еще заметим, что для случая, когда |\mathbf{x}-\mathbf{a}^{\theta}|\leqslant p\delta (\theta =1 или \theta =3), ввиду (2.4) (и поскольку |\mathbf{a}^3-\mathbf{a}^1|=M\delta \geqslant q\delta \geqslant 3p\delta) имеем
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant \frac{\lambda^{\theta}}{p} +A\frac{\alpha\delta}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^{4-\theta}|^N}.
\end{equation}
\tag{3.13}
Теперь мы специальным образом просуммируем построенные функции h^{13}=h^{13}(\mathbf{j}^1,\mathbf{j}^3,\lambda^1,\lambda^3). Нетрудно проверить, что для каждого \mathbf{j}\in \mathbf{L}_1^1\cup \mathbf{L}_1^3 найдутся \lambda(\mathbf{j}, \kappa) (\kappa \in \{1,\dots, \kappa_\mathbf{j}\}, \kappa_\mathbf{j} \in \mathbb{N}) со следующими свойствами: (a) \lambda(\mathbf{j}, \kappa)> 0, \sum_{\kappa=1}^{\kappa_\mathbf{j}}\lambda(\mathbf{j},\kappa) \leqslant 1 для каждого \mathbf{j}; (b) между множествами индексов
\begin{equation*}
\Psi^\theta=\{(\mathbf{j},\kappa)\colon \mathbf{j}\in \mathbf{L}_1^\theta,\, 1\leqslant \kappa\leqslant \kappa_\mathbf{j}\},\qquad \theta=1\text{ и }3,
\end{equation*}
\notag
имеется взаимно однозначное соответствие
\begin{equation*}
\Psi^1\ni (\mathbf{j}^1,\kappa^1)\quad\longleftrightarrow\quad (\mathbf{j}^3,\kappa^3)\in \Psi^3,
\end{equation*}
\notag
для которого \lambda(\mathbf{j}^1,\kappa^1)\alpha_{\mathbf{j}^1} =\lambda(\mathbf{j}^3,\kappa^3)\alpha_{\mathbf{j}^3};
(c) при \theta=1 и \theta=3 имеем
\begin{equation*}
\sum_{(\mathbf{j},\kappa)\in\Psi^\theta}\lambda(\mathbf{j},\kappa)\alpha_\mathbf{j} =\delta^{N-1}.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation*}
h_{\mathbf{L}_1}(\mathbf{x})=\sum_{(\mathbf{j}^1,\kappa^1)\in\Psi^1} \frac{\delta}{|\mathbf{a}_{\mathbf{j}^3}-\mathbf{a}_{\mathbf{j}^1}|} \bigl(\lambda(\mathbf{j}^3,\kappa^3)h_{\mathbf{j}^3} -\lambda(\mathbf{j}^1,\kappa^1)h_{\mathbf{j}^1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
где (\mathbf{j}^3,\kappa^3) соответствует (\mathbf{j}^1,\kappa^1) в указанном выше смысле. Каждое слагаемое в последней сумме имеет форму (3.10) при \lambda^\theta=\lambda(\mathbf{j}^\theta, \kappa^\theta). Ясно, что c_0(h_{\mathbf{L}_1})=0 и из (3.11) имеем
\begin{equation}
\mathbf{c}^1(h_{\mathbf{L}_1})=\delta^N(\mathbf{e}_1+\mathbf{u}_1),\qquad |\mathbf{u}_1|=O\biggl(\frac1{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.14}
Оценка (3.9) (при n=1) следует из (3.12), (3.13) и условия (a) чуть выше.
Остается выбрать параметр q>3p в определении 3.1 так, чтобы при M\geqslant q в (3.14) выполнялась оценка O(1/M)<\varepsilon_N. Лемма 3.2 доказана. Осталось показать, что функция \nabla f=\nabla \sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{J}} f_\mathbf{j} равномерно приближается в \mathbb{R}^N с точностью A\omega(\delta) функцией \nabla F, где
\begin{equation*}
F= \mathop{{\sum_{s}}'}\sum_{\mathbf{j}\in\Gamma^s} f^*_\mathbf{j}+\mathop{{\sum_{s}}''} \biggl(\sum_{\mathbf{j}\in \Gamma^s} f^*_j +h_{\Gamma^s}\biggr),
\end{equation*}
\notag
а \sum'_{s} и \sum''_{s} – суммирования по всем неполным и полным группам соответственно. Для доказательства последнего утверждения достаточно проверить, что для любого \mathbf{x}\in \mathbb{R}^N справедлива оценка
\begin{equation*}
|\nabla(F(\mathbf{x})-f(\mathbf{x}))| \leqslant \mathop{{\sum_{s}}'}|\nabla g_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x})|+ \mathop{{\sum_{s}}''}|\nabla (g_{\Gamma^{s}} (\mathbf{x})-h_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x}))| \leqslant A\omega(\delta).
\end{equation*}
\notag
После этого будет достаточно параметр \delta устремить к 0.
Теперь наша ситуация аналогична [7; с. 1359–1362]; некоторые простые детали, опущенные в дальнейшем окончании доказательства, можно найти в указанной работе. Тем не менее, мы приводим подробный план доказательства для полноты изложения и согласования обозначений. С этого места мы фиксируем \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N; без ограничения общности мы предполагаем, что |\mathbf{x}|<\delta. Все дальнейшие построения зависят от этого \mathbf{x}. Оценим \mathop{{\sum_{s}}'}|\nabla g_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x})|. Фиксируем n \in \{1,\dots,N\} и напомним, что в каждом P_n(\mathbf{J},\mathbf{i}) может быть не более одной неполной группы \Gamma=\Gamma^s (т. е. n-неполной цепи \mathbf{L}_n=\Gamma). При \mathbf{i}=(i_1,\dots,i_N) положим \mathbf{i}'_n=(i_1,\dots,i_{n-1},i_{n+1},\dots,i_N). При каждом m \in \{0,1, \dots\} обозначим через \mathbf{S}_m совокупность всех индексов s \in \{1,\dots,S\}, для которых |(\mathbf{i}^s)'_n| \in [m, m+1). Отсюда, ввиду (3.8) и условия (3) из определения 3.1, при m>2p имеем для каждого s \in \mathbf{S}_m оценку S_{\mathbf{L}_n^{(s)}}(\mathbf{x}) \leqslant Am^{-N}, а при m\leqslant 2p оценку S_{\mathbf{L}_n^{(s)}}(\mathbf{x}) \leqslant A. Поскольку число элементов в \mathbf{S}_m не превосходит A(m+1)^{N-2}, мы можем мажорировать рассматриваемую сумму \mathop{{\sum_{s}}'}|\nabla g_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x})| рядом A\omega(\delta)\sum_{m=1}^{+\infty}m^{-2}, что и требуется. Оценка \mathop{{\sum_{s}}''}|\nabla (g_{\Gamma^s} (\mathbf{x})-h_{\Gamma^s}(\mathbf{x}))| требует больше усилий. Для каждой полной группы \Gamma^s положим \chi^s= g_{\Gamma^s}-h_{\Gamma^s}. Ввиду (3.8) и леммы 3.2 имеем:
\begin{equation}
|\nabla \chi^s(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta)S_{\Gamma^s}(\mathbf{x}),\qquad c_0(\chi^s)=0,\qquad \mathbf{c}^1(\chi^s)=0.
\end{equation}
\tag{3.15}
Остается показать, что
\begin{equation*}
\mathop{{\sum_{s}}''}|\nabla \chi^s(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta).
\end{equation*}
\notag
Для каждой полной группы \Gamma^s=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n^{(s)} с вершиной \mathbf{i}^s положим \mathbf{a}^s=\mathbf{a}_{\mathbf{i}^s}, M^s_n=\operatorname{diam} \bigl(B^*_{\mathbf{L}_n^{(s)}}\bigr)/\delta, M^s=\max\{M^s_n\mid n\in \{1, \dots, N\}\}. Пусть \theta=1/(N+2). Разделим совокупность всех полных групп на два класса. Класс (1). Здесь берутся все полные группы \Gamma^s с условием M^s \leqslant |\mathbf{i}^s|^{\theta}. Ясно, что последнее возможно только если
\begin{equation*}
|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s| \geqslant (|\mathbf{i}^s|-1)\delta \geqslant ((M^s)^{N+2}-1)\delta> 2pM^s\delta.
\end{equation*}
\notag
Так как \chi^s\in A\omega(\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(B(\mathbf{a}^s, M^s\delta)) и выполняется (3.15), мы имеем, ввиду (2.6):
\begin{equation*}
|\nabla \chi^s (\mathbf{x})| \leqslant A\omega(\delta)\frac{(M^s \delta)^{N+1}}{(|\mathbf{i}^s| \delta)^{N+1}} \leqslant A\omega(\delta) (|\mathbf{i}^s|^{-N-\theta}).
\end{equation*}
\notag
Поскольку в каждом шаровом слое B(\mathbf{0}, (m+1)\delta)\setminus \overline{B(\mathbf{0}, m\delta)} (m>p) лежит не более Am^{N-1} вершин групп, нетрудно видеть, что
\begin{equation*}
{\sum_{s}}^{(1)}|\nabla \chi^s(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta)\sum_{m>p} m^{-1-\theta} \leqslant A^2\omega(\delta),
\end{equation*}
\notag
где последняя сумма берется по всем полным группам класса (1), так что ее надлежащая оценка получена.
Класс (2). Здесь помещаются все полные группы \Gamma^s, для которых M^s> |\mathbf{i}^s|^{\theta}. В частности, при некотором n \in \{1,\dots,N\} имеем M^s_n> |\mathbf{i}^s|^{\theta}. Для каждой из таких групп \Gamma^s=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n^{(s)} (с вершиной \mathbf{i}^s) обозначим через \mathbf{N}'s совокупность индексов n \in \{1,\dots,N\}, для которых M^s_n \leqslant |\mathbf{i}^s|^{\theta}, а через \mathbf{N}''s – совокупность остальных индексов из \{1,\dots,N\}. Таким образом, всегда имеем \mathbf{N}''s \neq \varnothing. Сначала рассмотрим случай, когда \mathbf{N}'s \neq \varnothing. При n \in \mathbf{N}'s имеем |\mathbf{a}^s|>2p\delta, M^s_n \leqslant |\mathbf{i}^s|^{\theta}, откуда |\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}| \geqslant 2^{-1}|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s| при всех \mathbf{j}\in \mathbf{L}_{n}^{(s)}. Поэтому из (3.7) и (3.8) получаем
\begin{equation*}
\sum_{n \in \mathbf{N}'s}S_{\mathbf{L}^{(s)}_{n}}(\mathbf{x}) \leqslant \frac{A\omega (\delta)\delta^N}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|^N},
\end{equation*}
\notag
и, следовательно,
\begin{equation*}
|\nabla \chi^s (\mathbf{x})| \leqslant A\omega(\delta)\biggl(\frac{\delta^N}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|^N} +\sum_{n \in \mathbf{N}''s}S_{\mathbf{L}^{(s)}_{n}}(\mathbf{x})\biggr).
\end{equation*}
\notag
В случае, когда \mathbf{N}'s=\varnothing, последняя оценка справедлива без первого слагаемого в правой части.
Отметим, что число всех групп \Gamma^s с условием |\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|\leqslant 2p\delta не превосходит A, поэтому \sum |\nabla \chi^s (\mathbf{x})| по всем таким s не превосходит A\omega (\delta). Таким образом, остается установить следующую лемму. Лемма 3.3. Фиксируем n \in \{1,\dots,N\}, и пусть \Sigma_n \subset \{1,\dots,S\} – совокупность всех индексов s, для которых \Gamma^s является полной группой класса (2), причем |\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|>2p\delta и M^s_n>|\mathbf{i}^s|^{\theta}. Тогда Эта лемма совпадает (при несколько иных обозначениях) с леммой 5.9 из [7], где и приведено ее полное доказательство. Мы обсудим только его основную идею. Фиксируем m \in \{0,1, \dots\} и \mathbf{i} \in \mathbf{J} с условием |\mathbf{i}'_n| \in [m, m+1) (если оно есть). Обозначим через {\Sigma}_n^m (\mathbf{i}) совокупность всех индексов s \in \Sigma_n, для которых (\mathbf{i}^s)'_n=\mathbf{i}'_n. Тогда при m>2p, ввиду (3.7), условия (3) из определения 3.1 и неравенства M^s_n>|\mathbf{i}^s|^{\theta} \geqslant m^{\theta}, имеем оценку
\begin{equation*}
\sum_{s \in {\Sigma}_n^m (\mathbf{i})} \biggl(\frac{\delta^N}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^{s}|^N}+S_{\mathbf{L}^{(s)}_n} (\mathbf{x}) \biggr) \leqslant A\sum_{l=0}^{+\infty}(m^2+(m^{\theta} l)^2)^{-N/2} \leqslant Am^{-(N-1+\theta)},
\end{equation*}
\notag
а при m\leqslant 2p предпоследняя сумма оценивается просто константой A. Поскольку число различных {\Sigma}_n^m (\mathbf{i}) не превосходит A(m+1)^{N-2}, указанная в последней лемме сумма мажорируется сходящимся рядом A\sum_{m=1}^{+\infty}m^{-1-\theta}. Остается просуммировать по n. Теорема 3.1 доказана. § 4. Некоторые метрические свойства емкостей \alpha_{1\mathcal{L}} и \gamma_{1 \mathcal{L}}С \mathcal{L}C^1-емкостями \alpha_{1\mathcal{L}} тесно связаны \mathcal{L} \operatorname{Lip}^1-емкости
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) =\sup \{| \langle \mathcal{L}g, 1\rangle| \colon g \subset \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(E)\}
\end{equation*}
\notag
ограниченных множеств E в \mathbb{R}^N, где
\begin{equation*}
\mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(E)=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (T) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * T \in \operatorname{Lip}^1(\mathbb{R}^N),\,\|\nabla \Phi_\mathcal{L} * T\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^N)}\leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
Емкости \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) устроены несколько проще емкостей \alpha_{1\mathcal{L}}. Отметим, что условие f \in \operatorname{Lip}^1 (\mathbb{R}^N) эквивалентно непрерывности и ограниченности f и наличию ограниченных обобщенных частных производных у функции f в \mathbb{R}^N. При этом норма функции f в пространстве \operatorname{Lip}^1 (\mathbb{R}^N) сравнима с \max\{\|f\|,\|\nabla f\|\} (далее \|\,{\cdot}\,\| и \|\,{\cdot}\,\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^N)} отождествляются). Ясно, что емкости \alpha_{1\mathcal{L}} и \gamma_{1 \mathcal{L}} являются монотонными функциями множеств и что \alpha_{1\mathcal{L}}(E) \leqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) для всякого ограниченного множества E \subset \mathbb{R}^N. Кроме того, для любого ограниченного открытого множества E \subset \mathbb{R}^N имеем \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)=\alpha_{1 \mathcal{L}}(E) (что легко доказывается методом регуляризации), поэтому в формулировках теорем 1.1 и 3.1 (но не следствия 1.1) можно вместо \alpha_{1 \mathcal{L}}-емкости использовать \gamma_{1 \mathcal{L}}-емкость. Наконец, пусть K – компакт и при \delta >0 через U_{\delta}(K) обозначается его открытая \delta-окрестность. Тогда
\begin{equation}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(K)=\lim_{\delta \to 0} \gamma_{1 \mathcal{L}} (U_{\delta}(K)),
\end{equation}
\tag{4.1}
что легко следует из равностепенной непрерывности семейств \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(U_{\delta}(K)) и \mathcal{L}-аналитичности в (произвольной) области U равномерного предела последовательности функций из \mathcal{A}_\mathcal{L}(U). Стандартно доказывается (см. [1; теорема 1.12]), что компактные множества K нулевой \alpha_{1 \mathcal{L}}-емкости (соответственно \gamma_{1 \mathcal{L}}-емкости) суть в точности устранимые множества для \mathcal{L}-аналитических функций в классе C^1 (соответственно \operatorname{Lip}^1). Это означает, что если U – некоторая окрестность компакта K и f \in C^1(U)\cap \mathcal{A}_\mathcal{L}(U \setminus K) (соответственно f \in {\operatorname{Lip}}^1(U)\cap \mathcal{A}_\mathcal{L}(U \setminus K)), то f\in \mathcal{ A}_\mathcal{L}(U). Далее в этом параграфе мы покажем, что все основные метрические свойства емкостей \gamma_{1 \Delta} и \alpha_{1 \Delta}, установленные в [7; лемма 2.2] и [13; теорема 3.1], остаются справедливыми для рассматриваемых здесь емкостей \gamma_{1 \mathcal{L}} и \alpha_{1\mathcal{L}}. Напомним определение p-мерного (p \in (0, N]) обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества E в \mathbb{R}^N: где нижняя грань берется по всем покрытиям \{B_j\} множества E шарами (каждое \{B_j\} есть не более чем счетное покрытие множества E шарами B_j в \mathbb{R}^N с радиусами r_j).Через \Lambda(\,{\cdot}\,) обозначается мера Лебега в \mathbb{R}^N. Фиксируем какой-либо из рассматриваемых операторов \mathcal{L}. Предложение 4.1. Пусть E \neq \varnothing – ограниченное множество в \mathbb{R}^N. Найдется постоянная A_0=A_0(N, \mathcal{L}) \in (1, +\infty), для которой выполняются следующие свойства емкости \gamma_{1 \mathcal{L}} (они же справедливы и для емкости \alpha_{1\mathcal{L}}): 1) \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)=\sup_{K \subset E} \{\gamma_{1 \mathcal{L}}(K)\}, где указанный \sup берется по всем компактам K в E; 2) \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant A_0\,\mathcal{M}^{N-1}(E); для каждого N \geqslant 3 найдется компакт E в \mathbb{R}^N с условиями \mathcal{M}^{N-1}(E)>0, но \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)=0; 3) если P(\,{\cdot}\,) – гомотетия в \mathbb{R}^N с коэффициентом k>0, то \gamma_{1 \mathcal{L}}(P(E))=k^{N-1}\gamma_{1 \mathcal{L}}(E); в частности, \gamma_{1 \mathcal{L}}(B(\mathbf{a}, r))=r^{N-1}\gamma_{1 \mathcal{L}}(B(\mathbf{0},1))> 0; 4) для любого ограниченного F_{\sigma}-множества E (и даже для так называемых аналитических множеств) в \mathbb{R}^N и p \in (N-1, N] имеем
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \geqslant A_0^{-1} (p+1-N)(\mathcal{M}^p(E))^{(N-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
При p=N последнее неравенство справедливо для любого ограниченного измеримого по мере Лебега множества E в \mathbb{R}^N: Доказательство. Свойство 1) непосредственно следует из определения емкости \gamma_{1 \mathcal{L}} (соответственно, \alpha_{1\mathcal{L}}) c учетом компактности носителей {\operatorname{Spt}} (T), участвующих в этом определении распределений T.
Докажем свойство 2). Из предыдущего свойства следует, что можно считать E компактом. Нам потребуется конструкция разбиения единицы (см. лемму 4.1 ниже), которая была предложена в работе Р. Харви и Дж. Полкинга [14; лемма 3.1]. Через Q=Q(\mathbf{a},\delta) будем обозначать замкнутый куб в \mathbb{R}^N c ребрами, параллельными осям координат, с центром \mathbf{a} и длиной ребра s(Q)=\delta; при этом для \lambda>0 полагаем \lambda Q=Q(\mathbf{a},\lambda \delta). Двоичными кубами в \mathbb{R}^N будем называть замкнутые кубы вида
\begin{equation*}
Q_p^{\beta_1, \dots, \beta_N}=[\beta_1 2^{-p},(\beta_1+1) 2^{-p}]\times \dots \times [\beta_N 2^{-p},(\beta_N+1) 2^{-p}],
\end{equation*}
\notag
где (p,\beta_1,\dots,\beta_N)\in \mathbb{Z}^{N+1}. Рассматривая в дальнейшем покрытия множеств в \mathbb{R}^N семействами двоичных кубов, всегда будем считать, что эти кубы являются раздельными (т. е. попарно не имеют общих внутренних точек).
Лемма 4.1. Пусть \{Q_j\}_{j=1}^J – произвольное конечное семейство раздельных двоичных кубов. Тогда существует семейство неотрицательных функций \{\varphi_j\}_{j=1}^J со следующими свойствами: (a) при каждом j имеем \varphi_j\in C^{\infty}_0 ((3/2)Q_j) и \|\nabla \varphi_j\| \leqslant A(s(Q_j))^{-1}; (b) \{\varphi_j\}_{j=1}^J – разбиение единицы на \bigcup_{j=1}^J Q_j, т. е. \sum_{j=1}^J \varphi_j =1 на \bigcup_{j=1}^J Q_j. Здесь и ниже константа A=A(N, \mathcal{L}) \in (1, +\infty) может принимать различные значения. Продолжим доказательство 2). Фиксируем любое \varepsilon>0 и выберем g \in \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(E) (g=\Phi_\mathcal{L} * T, \operatorname{Spt} (\mathcal{L}g)=\operatorname{Spt} (T) \subset E, \|\nabla g\| \leqslant 1) с условием | \langle \mathcal{L}g, 1\rangle| \geqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)/2. Из определения \mathcal{M}^{N-1}(E) и компактности E непосредственно следует, что найдется конечное семейство раздельных двоичных кубов \{Q_j\}_{j=1}^J с условиями E \subset \bigl(\bigcup_{j=1}^J Q_j\bigr)^{\circ} и \sum_{j=1}^J r_j^{N-1} \leqslant A\mathcal{M}^{N-1}(E)+\varepsilon, где r_j=s(Q_j). Пусть \{\varphi_j\}_{j=1}^J – разбиение единицы для \{Q_j\}_{j=1}^J из леммы 4.1. Тогда
\begin{equation*}
\langle \mathcal{L}g, 1\rangle=\biggl\langle \mathcal{L}g, \sum_{j=1}^J \varphi_j\biggr\rangle = -\sum_{j=1}^J \sum_{i, l=1}^N c_{i l}\biggl\langle \frac{\partial}{\partial x_{i}} g, \frac{\partial}{\partial x_{l}}\varphi_j\biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
Из простой оценки |\langle \partial g/\partial x_{i}, \partial \varphi_j/\partial x_{l} \rangle| \leqslant Ar_j^{N-1} получаем, что
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant 2|\langle \mathcal{L}g, 1\rangle| \leqslant A^2 \sum_{j=1}^J r_j^{N-1} \leqslant A^3(\mathcal{M}^{N-1}(E)+\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
Остается \varepsilon устремить к нулю. Второе утверждение в свойстве 2) будет установлено ниже, как следствие предложения 4.2. Свойство 3) легко вытекает из однородности порядка -N+1 ядра \nabla \Phi_{\mathcal{L}}. Свойство 4) установлено в [15; следствие 3.1] для емкостей Рисса C_{N-1}(E). Поскольку |\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})| \leqslant A |\mathbf{x}|^{1-N}, легко видеть, что \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)\geqslant A^{-1}C_{N-1}(E), откуда следует свойство 4). Отметим, что для случая \mathcal{L}=\Delta в [16] получена в известном смысле неулучшаемая оценка
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \geqslant A_0^{-1} (p+1-N)^{1/2} (\mathcal{M}^p(E))^{(N-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
Мы приведем простое доказательство свойства 4) для случая p=N и компактов E (этого достаточно ввиду регулярности меры Лебега). Пусть \Lambda (E)>0. Определим регулярное распределение T с носителем на E по формуле \langle T, \varphi\rangle=\int_{E}\varphi(\mathbf{x})\, d\Lambda (\mathbf{x}), \varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N). Тогда
\begin{equation*}
g(\mathbf{x})=\Phi_\mathcal{L} * T(\mathbf{x})=\int_E \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}- \mathbf{y})\, d\Lambda (\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
Из оценки |\nabla \Phi_\mathcal{L} (\mathbf{x})| \leqslant A |\mathbf{x}|^{-N+1} получаем
\begin{equation*}
|\nabla g(\mathbf{x})| \leqslant A \int_E |\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{-N+1}d\Lambda (\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
Фиксируем произвольную точку \mathbf{x}. Пусть B=B(\mathbf{x}, R) – такой шар, что \Lambda (B)=\Lambda (E), т. е. A_N R^N=\Lambda (E) (A_N>0 зависит только от N). Тогда
\begin{equation*}
|\nabla g(\mathbf{x})| \leqslant A \int_B |\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{-N+1}d\Lambda (\mathbf{y}) \leqslant A^2 R,
\end{equation*}
\notag
где последний интеграл оценивается в сферических координатах. Кроме того, нетрудно установить, что g \in \operatorname{BC}^1(\mathbb{R}^N). По определению емкостей \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) и \alpha_{1\mathcal{L}}(E) имеем
\begin{equation*}
|\langle \mathcal{L}g, 1\rangle|=|\langle T, 1\rangle|=\Lambda (E) \leqslant A^2 R \alpha_{1\mathcal{L}}(E) \leqslant A^2 R \gamma_{1 \mathcal{L}}(E),
\end{equation*}
\notag
что доказывает 4). Предложение 4.1 доказано. Фиксируем N\in \{3, 4, \dots\}. Для \mathbf{x}=(x_1,\dots, x_N) \in \mathbb{R}^N через \mathbf{x}' обозначается вектор (x_1,\dots, x_{N-1}) \in \mathbb{R}^{N-1}. При \mathbf{a} \in \mathbb{R}^N и r>0 через B'(\mathbf{a}',r) обозначается шар в \mathbb{R}^{N-1}_{\mathbf{x}'} с центром \mathbf{a}' и радиусом r. Фиксируем какой-либо из рассматриваемых эллиптических операторов
\begin{equation*}
\mathcal{L}=\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\, \frac{\partial^2}{\partial x_{i} \, \partial x_{j}}
\end{equation*}
\notag
в \mathbb{R}^N, тогда
\begin{equation*}
\mathcal{L}'=\sum_{i, j=1}^{N-1} c_{i j}\, \frac{\partial^2}{\partial x_{i}\, \partial x_{j}}
\end{equation*}
\notag
– эллиптический оператор в \mathbb{R}^{N-1}. Через \gamma_{1 \mathcal{L}'}(\,{\cdot}\,) (соответственно \alpha_{1 \mathcal{ L}'}(\,{\cdot}\,)) будет обозначаться \operatorname{Lip}^1- (соответственно C^1-) емкость в \mathbb{R}^{N-1}, связанная с оператором \mathcal{L}'. Емкости \gamma_{1 \mathcal{L}}(\,{\cdot}\,) и \alpha_{1\mathcal{L}}(\,{\cdot}\,) в \mathbb{R}^N, как и ранее, связаны с оператором \mathcal{L}. Напомним, что при N\geqslant 3
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_{1\mathcal{L}}(E) &=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T} \in \operatorname{BC}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\}, \\ \mathcal{J}_{1\mathcal{L}}(E) &=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T} \in \operatorname{Lip}^1,\,\|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, при N\geqslant 4 обозначение \mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E') и \mathcal{J}_{1\mathcal{L}'}(E') (где E' ограничено в \mathbb{R}^{N-1}) вполне понятно. Однако при N=3 обозначение \mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E') и \mathcal{J}_{1\mathcal{L}'}(E') требуется уточнить [2]:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E') &=\{ \Phi_{\mathcal{L}'} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E',\, \Phi_{\mathcal{L}'} * \mathrm{T} \in C^1 (\mathbb{R}^2),\,\|\nabla \Phi_{\mathcal{ L}'} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\}, \\ \mathcal{J}_{1\mathcal{L}'}(E') &=\{ \Phi_{\mathcal{L}'} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E',\, \Phi_{\mathcal{L}'} * \mathrm{T} \in \operatorname{Lip}^1_{\mathrm{loc}} (\mathbb{R}^2),\,\|\nabla \Phi_{\mathcal{L}'} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
(нет требования конечности \|\Phi_{\mathcal{L}'} * T\|, т. е. ограниченности \Phi_{\mathcal{ L}'} * T в \mathbb{R}^2). При этом, как и ранее,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') &=\sup \{| \langle \mathcal{L}'g, 1\rangle| \colon g \subset \mathcal{ I}_{1\mathcal{L}'}(E')\}, \\ \gamma_{1 \mathcal{L}'}(E') &=\sup \{| \langle \mathcal{L}'g, 1\rangle| \colon g \subset \mathcal{ J}_{1\mathcal{L}'}(E')\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь мы установим обобщение теоремы 3.1 из [13]. При этом приведенное ниже доказательство даже проще, чем в [13]. Предложение 4.2. Фиксируем r>0, R\geqslant r, и пусть E'\subset B'(\mathbf{0}',r), E=E'\times (-R, R)\subset\mathbb{R}^N. Тогда
\begin{equation}
A_0^{-1} R\alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') \leqslant \alpha_{1\mathcal{L}}(E)\leqslant A_0 R \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E'),
\end{equation}
\tag{4.2}
\begin{equation}
A_0^{-1} R \gamma_{1 \mathcal{L}'}(E') \leqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)\leqslant A_0 R \gamma_{1 \mathcal{ L}'}(E'),
\end{equation}
\tag{4.3}
где A_0=A_0(N,\mathcal{L}) \in (1, +\infty). Доказательство. Мы докажем только неравенства (4.2), из которых неравенства (4.3) сразу следуют ввиду свойства 1) предложения 4.1, (4.1) и совпадения \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) и \alpha_{1 \mathcal{L}}(E) для открытых ограниченных множеств E.
Установим левое неравенство. Найдем функцию f\in \mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E') с условием \langle \mathcal{L}'f,1 \rangle=\alpha_{1 \mathcal{L}'}(E')/2 и определим F\in C^1(\mathbb{R}^N) как F(\mathbf{x}',x_N)=f(\mathbf{x}'). Тогда \|\nabla F\|\leqslant 1. Выберем функцию \varphi_1 \in C^{\infty}_0(B'(\mathbf{0}', 2R)) с условиями 0\leqslant\varphi_1\leqslant 1, \varphi_1=1 в B'(\mathbf{0}',R) и \|\nabla \varphi_1\|\leqslant A_1/R. Здесь и далее положительные параметры A_1,A_2,\dots, зависящие только от N, \mathcal{L}, могут принимать различные значения в разных соотношениях. Выберем еще функцию \varphi_2 \in C^{\infty}_0((-R, R)) с условиями 0\leqslant\varphi_2\leqslant 1, \varphi_2=1 на (-R/2, R/2) и \|\varphi_2'\|\leqslant A_1/R. Определим \varphi (\mathbf{x})=\varphi(\mathbf{x}',x_N)=\varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N) при \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N. Тогда \|\nabla \varphi\|\leqslant A_2/R. Применим локализационный оператор Витушкина (см. (2.1)), полагая F_{\varphi}=\mathcal{V}_{\varphi}(F). Тогда по лемме 2.2 имеем
\begin{equation*}
\|\nabla F_\varphi\| \leqslant A_3 \|\nabla \varphi\| R=A_4,
\end{equation*}
\notag
причем в обобщенном смысле справедливо равенство
\begin{equation*}
\mathcal{L} F_{\varphi}(\mathbf{x}',x_N)=\varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N) \mathcal{L} F(\mathbf{x})=\varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N) \mathcal{L}' f(\mathbf{x}').
\end{equation*}
\notag
Ясно, что {\operatorname{Spt}} (\mathcal{L} F_{\varphi})\subset E, причем F_\varphi \in A_4 \mathcal{I}_{1\mathcal{L}}(E). Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_4 \alpha_{1\mathcal{L}}(E) &\geqslant \langle \mathcal{L} F_{\varphi},\, 1\rangle=\langle \varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N)\mathcal{L}' f(\mathbf{x}'),1\rangle \\ &= \langle \mathcal{L}' f(\mathbf{x}'),1\rangle \int_{-R}^R\varphi_2(x_N)\,dx_N \geqslant 2^{-1} R\alpha_{1 \mathcal{L}'}(E'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
(2 A_4)^{-1} R \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') \leqslant \alpha_{1\mathcal{L}}(E),
\end{equation*}
\notag
что и требовалось.
Теперь получим правую оценку в (4.2) для открытых E'. Общий случай можно доказать по аналогии с [13; теорема 3.1]. Далее, из соображений однородности мы можем положить R=1, r<1. Снова пользуясь соображениями регуляризации (и свойством 1) предложения 4.1), найдем функцию F=\Phi_\mathcal{L}*T \in \mathcal{I}_{1 \mathcal{L}} (E) с условиями F \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N) и \langle \mathcal{L} F,1\rangle=\langle T,1\rangle=\alpha_{1\mathcal{L}}(E)/2. При этом распределение T – регулярно, т. е. имеет вид
\begin{equation*}
\langle T,\psi \rangle= \int h(\mathbf{x}) \psi (\mathbf{x})\,d \mathbf{x},\qquad \psi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N),
\end{equation*}
\notag
где h \in C^{\infty}_0(E) – (вообще говоря) комплекснозначная функция.
Основную часть доказательства проведем для размерности N=3, случаи N \geqslant 4 кратко обсудим в конце. Рассмотрим функцию
\begin{equation}
f(\mathbf{x})=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(F(\mathbf{x}', x_3+t)-F((\mathbf{x}', x_3+t)- (3, 0, 0))\bigr)\,dt.
\end{equation}
\tag{4.4}
Положим G(\mathbf{x})=F(\mathbf{x})-F(\mathbf{x}-(3,0,0)). Поскольку c_0(G)=0, ввиду (2.2), равномерная сходимость последнего интеграла (на компактах в \mathbb{R}^N) сразу следует из оценок
\begin{equation*}
\|G\|< +\infty,\qquad |G(\mathbf{x})|=O(|\mathbf{x}|^{-2}),\quad |\mathbf{x}| \to +\infty,
\end{equation*}
\notag
в частности, f ограничена в \mathbb{R}^2. На самом деле функция f не зависит от x_3 и является \mathcal{L}'-аналитической вне E'\cup E'_3, где E'_3=\{\mathbf{x}'+(3,0)\,|\; \mathbf{x}' \in E'\}, что следует из равномерной сходимости (на компактах) частичных сумм в интеграле (4.4).
Далее, из оценок \|\nabla G\|\leqslant 2 и (2.4) леммы 2.4 получаем, что
\begin{equation*}
|\nabla f(\mathbf{x}')|=\biggl|\int_{-\infty}^{+\infty} \nabla_{\mathbf{x}'} G(\mathbf{x}',t)\,dt \biggr| \leqslant A_1 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t^2+1}\,dt \leqslant A_2.
\end{equation*}
\notag
Кроме того,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}' f(\mathbf{x}') &=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L} G(\mathbf{x}', x_3+t)\,dt =\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( h(\mathbf{x}', x_3+t)-h(\mathbf{x}'-(3,0), x_3+t)\bigr)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( h(\mathbf{x}', t)- h(\mathbf{x}'-(3,0), t) \bigr)\,dt := h'(\mathbf{x}')-h'(\mathbf{x}'-(3,0)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь возьмем функцию \varphi_1 \in C^{\infty}_0(B'(\mathbf{0}', 2)) с условиями 0\leqslant\varphi_1\leqslant 1, \varphi_1=1 в B'(\mathbf{0}', 1) и \|\nabla \varphi_1\|\leqslant A_1 и рассмотрим локализацию
\begin{equation*}
f_1=\mathcal{V}_{\varphi_1} f=\Phi_{\mathcal{L}'}*(\varphi_1 \mathcal{L}' f)=\Phi_{\mathcal{ L}'}*(\varphi_1 h')=\Phi_{\mathcal{L}'}*(h').
\end{equation*}
\notag
Согласно [2; лемма 2.2] мы получаем \|\nabla f_1\| \leqslant A_3, т. е. f_1 \in A_3 \mathcal{ I}_{1 \mathcal{L}'} (E'). Наконец,
\begin{equation*}
A_3 \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') \geqslant |\langle \mathcal{L}' f_1,1 \rangle|=\langle h',1 \rangle=\int_{\mathbb{R}^3} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=\frac{\alpha_{1\mathcal{L}}(E)}2,
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство предложения 4.2 при N=3. В случаях N \geqslant 4 доказательство даже проще: в формуле (4.4) мы можем взять
\begin{equation*}
f(\mathbf{x})=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\mathbf{x}', x_N+t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
и затем положить f_1=f. Предложение 4.2 доказано. Вторая часть свойства 2) предложения 4.1 является следствием работы [2] (где доказана сравнимость емкостей \gamma_{1 \mathcal{L}'}(E') с аналитической емкостью \gamma(E') при N=3) и известного примера А. Г. Витушкина [17] (таких компактов E' в \mathbb{C}, для которых \gamma(E')=0< \mathcal{M}^1(E')). Надо только учесть, что для всякого ограниченного множества E' \subset \mathbb{R}^{N-1} величины \mathcal{M}^{N-1}(E'\times (-1,1)) и \mathcal{M}^{N-2}(E') обращаются (или нет) в нуль одновременно. Напомним также, что в [2] установлено, что при N=2 все емкости \alpha_{1\mathcal{L}} (соответственно \gamma_{1\mathcal{L}}) сравнимы с емкостью \alpha_{1\Delta} (соответственно \gamma_{1{\Delta}}) и с C-аналитической емкостью \alpha (соответственно \gamma) в \mathbb{C} (см. [18] и [19]); в частности, все эти емкости являются счетно полуаддитивными. При N \geqslant 3 остается открытым следующий важный вопрос. Задача 4.1. Для каких операторов \mathcal{L} емкость \alpha_{1\mathcal{L}} (соответственно \gamma_{1\mathcal{L}}) сравнима с емкостью \alpha_{1\Delta} (соответственно \gamma_{1{\Delta}})? Хотя метрической характеризации емкостей \gamma_{1 \Delta} и \alpha_{1 \Delta} при N \geqslant 3 пока нет, важно отметить, что в [20] и [21] доказана счетная полуаддитивность этих емкостей для всех размерностей N\geqslant 3. В завершение мы установим один важный предварительный результат, аналоги которого естественно возникали перед доказательствами теорем о полуаддитивности емкостей \gamma и \gamma_{1{\Delta}}. Для произвольного ограниченного множества E \subset \mathbb{R}^N, N\geqslant 3, определим еще такие емкости:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E) &=\sup_{\mu} \{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt}(\mu) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mu \in \operatorname{Lip}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mu\|\leqslant 1\}, \\ \alpha^+_{1 \mathcal{L}}(E) &=\sup_{\mu} \{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt}(\mu) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mu \in \operatorname{BC}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mu\|\leqslant 1\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \sup берется по всем неотрицательным борелевским мерам \mu с указанными свойствами, \|\mu\|=\int d\mu – полная масса (вариация) меры \mu. Очевидно, что \gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) и \alpha^+_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant \alpha_{1 \mathcal{L}}(E) для всех указанных \mathcal{L} и E. Отметим также, что дословно доказываются аналоги предложений 4.1 и 4.2 для \gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E) и \alpha^+_{1 \mathcal{L}}(E) вместо \gamma_{1 \mathcal{L}}(E) и \alpha_{1 \mathcal{L}}(E) соответственно. Предложение 4.3. Найдется A=A(N, \mathcal{L}) \in (0, +\infty) такая, что для любых ограниченных борелевских множеств E_1, E_2, \dots в \mathbb{R}^N c ограниченным E_*=\bigcup_{m=1}^{+\infty}E_m справедлива оценка Доказательство. Для \mathcal{L}= \Delta это утверждение получено в [9; теорема 6.2]. Для произвольного \mathcal{L} доказательство проходит по той же схеме, однако оно требует ряда модификаций, связанных с отсутствием (в общем случае) некоторых специальных свойств гармонических функций, таких как формула для потока градиента, теорема о среднем и принцип максимума. Ниже мы подробно обсудим эти модификации. По аналогии с леммой 3.3 из [9], доказательство предложения 4.3 опирается на следующую лемму.
Лемма 4.2. Пусть \mu – неотрицательная борелевская мера с компактным носителем такая, что функция f=\Phi_\mathcal{L}*\mu имеет ограниченные обобщенные частные производные первого порядка (что эквивалентно условию f \in \operatorname{Lip}^1(\mathbb{R}^N)). Тогда найдется A=A(N, \mathcal{L}) \in (0, +\infty) такая, что
\begin{equation*}
\mu(E)\leqslant A\,\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E) \|\nabla f\|
\end{equation*}
\notag
для любого ограниченного борелевского множества E \subset \mathbb{R}^N. Приведем сразу доказательство предложения 4.3, считая последнюю лемму доказанной. По определению емкости \gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E_*) найдется неотрицательная борелевская мера \mu с компактным носителем на E_* и условиями
\begin{equation*}
\gamma^+_{1 \mathcal{L}} \leqslant 2\mu(E_*),\qquad \|\nabla f\|\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
где f=\Phi_\mathcal{L}*\mu. По лемме 4.2, примененной к каждому из E_m, справедливы неравенства \mu(E_m)\leqslant A\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E_m)\,, откуда из счетной полуаддитивности меры \mu получаем
\begin{equation*}
\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E_*) \leqslant 2\mu(E_*) \leqslant 2\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\mu(E_m) \leqslant 2A\sum_{m=1}^{+\infty}\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E_m),
\end{equation*}
\notag
что и требовалось. Предложение 4.3 доказано. Остается обсудить доказательство леммы 4.2 (модификацию леммы 3.3 из [9]). Доказательство здесь основано на применении так называемой T(1)-теоремы (см., например, [22] и [23]), которая справедлива и для нашего общего случая (см. [9; § 2], где используются только базовые свойства (2.1), (2.2) и нечетность стандартных ядер Кальдерона–Зигмунда; в нашем случае – это нечетные ядра \partial \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})/\partial x_n, n \in \{1, \dots, N\}; их нечетность следует из четности фундаментальных решений \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}), являющихся преобразованиями Фурье четных локально интегрируемых по мере Лебега в \mathbb{R}^N функций 1/L(\mathbf{x})). Нам потребуются следующие две технические леммы (аналоги леммы 3.1 и оценки (3.1) из [9]). Лемма 4.3. Пусть \mu – неотрицательная борелевская мера с компактным носителем такая, что функция f=\Phi_\mathcal{L}*\mu имеет ограниченные обобщенные частные производные первого порядка. Тогда найдется A=A(N, \mathcal{ L}) \in (0, +\infty) такая, что для любого шара B с радиусом r справедлива оценка Доказательство этой леммы несложно. Выберем функцию \varphi \in C^1_0(2B) с условиями 0\leqslant\varphi\leqslant 1, \varphi=1 в B, \|\nabla \varphi\|\leqslant A_1/r и рассмотрим локализацию
\begin{equation*}
f_{\varphi}=\mathcal{V}_{\varphi} f=\Phi_{\mathcal{L}}*(\varphi \mathcal{L} f).
\end{equation*}
\notag
По лемме 2.2 (с использованием регуляризации) имеем \|\nabla f_{\varphi}\| \leqslant A_2 \|\nabla f\|, т. е. f_{\varphi} \in A_2 \|\nabla f\| \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}} (2B). Следовательно, по предложению 4.1, 3)
\begin{equation*}
\mu (B) \leqslant \int \varphi\, d\mu=\langle \mathcal{L} f_{\varphi},1 \rangle \leqslant A_2 \|\nabla f\| \gamma_{1 \mathcal{L}}(2B) \leqslant A \|\nabla f\| r^{N-1},
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство леммы 4.3. Лемма 4.4. Фиксируем n \in \{1, \dots, N\}. Положим T(\mathbf{x})= \partial \Phi (\mathbf{x})/\partial x_n и пусть \mu – неотрицательная борелевская мера с компактным носителем такая, что функция g=T*\mu удовлетворяет условию \|g\| \leqslant 1. Фиксируем произвольное \varepsilon>0 и определим T^{\varepsilon}(\mathbf{x})=T(\mathbf{x}) при |\mathbf{x}| \geqslant \varepsilon и T^{\varepsilon}(\mathbf{x})=0 при |\mathbf{x}|< \varepsilon. Тогда для функции g^{\varepsilon}=T^{\varepsilon} *\mu справедлива оценка \|g^{\varepsilon}\| \leqslant A, где A=A(N, \mathcal{L}) \in (0, +\infty). Этот результат известен и в гораздо более общем контексте [24; теорема 7.1]. В нашем случае его доказательство несложно и мы приведем его для удобства читателя. Фиксируем функцию {\varphi}_1 \in C^{\infty}_0(B(\mathbf{0}, 1)) c условиями 0 \leqslant \varphi (\mathbf{x})\,{\leqslant}\, A_1 и \int \varphi_1 (\mathbf{x})\, d \mathbf{x} =1. Пусть далее \varphi(\mathbf{x})=\varphi^{\varepsilon}(\mathbf{x}) =\varepsilon^{-N}\varphi_1(\mathbf{x}/\varepsilon), тогда \varphi \in C^{\infty}_0(B(\mathbf{0}, \varepsilon)), \int \varphi (\mathbf{x})\, d \mathbf{x} =1. Положим T_{\varphi}=T*\varphi и g_{\varphi}=T_{\varphi}*\mu=g*\varphi. Тогда, очевидно, Введем еще T^{\varepsilon}_{\varphi}=T^{\varepsilon}*\varphi, g^{\varepsilon}_{\varphi}=T^{\varepsilon}_{\varphi}*\mu=g^{\varepsilon}*\varphi. Так как |T(\mathbf{x})| \leqslant A_2/|\mathbf{x}|^{N-1}, при |\mathbf{x}|<2\varepsilon справедливы оценки
\begin{equation}
|T_{\varphi}(\mathbf{x})| \leqslant \int_{B(\mathbf{0}, 3\varepsilon)} \frac{A_1}{\varepsilon^N}\, \frac{A_2\, d \mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^{N-1}} \leqslant \frac{A_3}{\varepsilon^{N-1}}, \qquad |T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{x})| \leqslant \frac{A_3}{\varepsilon^{N-1}}.
\end{equation}
\tag{4.6}
Поскольку T_{\varphi}(\mathbf{y})=T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y}) при |\mathbf{y}| \geqslant \varepsilon, из (4.6) и леммы 4.3 имеем для всех \mathbf{x}
\begin{equation}
|g^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{x})-g_{\varphi}(\mathbf{x})| \leqslant \int_{B(\mathbf{x}, \varepsilon)} \frac{2A_3\, d \mu}{\varepsilon^{N-1}} \leqslant A_4.
\end{equation}
\tag{4.7}
Остается получить оценку
\begin{equation}
|g^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{x})-g^{\varepsilon}(\mathbf{x})|= |(T^{\varepsilon}_{\varphi}-T^{\varepsilon})*\mu (\mathbf{x})| \leqslant A_5.
\end{equation}
\tag{4.8}
Без ограничения общности при ее доказательстве будем считать \mathbf{x}=\mathbf{0}. Оценим сначала |T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y})-T^{\varepsilon}(\mathbf{y})|=: S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y}). При |\mathbf{y}|< 2\varepsilon из (4.6) следует, что S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y}) \leqslant (A_2+A_3)/\varepsilon^{N-1}. При |\mathbf{y}| \geqslant 2\varepsilon (поскольку T^{\varepsilon}(\mathbf{z})=T(\mathbf{z}) и T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{z})=T_{\varphi}(\mathbf{z}) при |\mathbf{z}| \geqslant 2\varepsilon) имеем
\begin{equation*}
S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y}) \leqslant \max_{\mathbf{z} \in B(\mathbf{y}, \varepsilon)} |T(\mathbf{z})-T(\mathbf{y})| \leqslant \varepsilon \|\nabla T\|_{B(\mathbf{y}, \varepsilon)} \leqslant \frac{A_6 \varepsilon}{|\mathbf{y}|^{N}}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, получаем
\begin{equation*}
|g^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{0})-g^{\varepsilon}(\mathbf{0})| \leqslant \int S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y})\, d\mu (\mathbf{y}) \leqslant \int_{B(\mathbf{0}, 2\varepsilon)}\frac{A_2+A_3}{\varepsilon^{N-1}}\, d\mu (\mathbf{y})+\int_{|\mathbf{y}|> 2\varepsilon}\frac{A_6 \varepsilon}{|\mathbf{y}|^{N}}\, d\mu (\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
Первый интеграл в правой части последнего неравенства оценивается нужной константой по лемме 4.3. Оценим второй (последний) интеграл. Пусть M(r)= \mu (B(\mathbf{0}, r)). Функция M(r) – неубывающая ограниченная на [0, +\infty) с условием M(r)\leqslant Ar^{N-1}, поэтому последний интеграл можно оценить интегрированием по частям:
\begin{equation*}
A_6 \varepsilon\int_{2\varepsilon}^{+\infty} r^{-N}\, dM(r)=A_6 \varepsilon \frac{M(2\varepsilon)}{(2\varepsilon)^N}+A_6 \varepsilon N \int_{2\varepsilon}^{+\infty} \frac{M(r)}{r^{N+1}}\, dr \leqslant A.
\end{equation*}
\notag
Лемма 4.4 доказана. Окончание доказательства леммы 4.2 проходит по схеме доказательства леммы 3.3 из [9; с. 46 (с. 523 в переводе)], но в конце есть определенная специфика, для которой требуется согласование обозначений. Поэтому мы подробно обсудим его для независимости и полноты, используя более близкую к нашему изложению и доступную литературу [25]. Указанная схема использовалась и для других емкостей [20; теорема 5.3]. Мы можем считать, что \|\nabla f\|=1, f=\Phi_\mathcal{L}*\mu. В условиях леммы 4.2 и по лемме 4.4 мы можем воспользоваться T(1)-теоремой (см., например, [25; теорема 9.41]), согласно которой оператор T_{\mu}\colon h \to T*(h\mu) ограничен в L^2(\mu) (с нормой, оценивающейся через N, \mathcal{L}). Тогда из оценок (4.6)–(4.8) и [25; теоремы 2.5 и 2.16]) вытекает, что оператор свертки \nu \to T*\nu (и, значит, его сопряженный \nu \to -T*\nu и “сглаженный” оператор \nu \to T_{\varphi}*\nu) ограничен из пространства комплексных зарядов с ограниченной вариацией \mathcal{M}(\mathbb{R}^N) в пространство L^{1,\infty}(\mu), т. е. справедливы оценки
\begin{equation*}
\mu(\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N\mid |T^{\varepsilon}*\nu (\mathbf{x})|>\lambda\})\,{\leqslant}\, \frac{A_7 \|\nu\|}{\lambda},\qquad \mu(\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N\mid |T_{\varphi}*\nu (\mathbf{x})|>\lambda\}) \,{\leqslant}\, \frac{A_7 \|\nu\|}{\lambda},
\end{equation*}
\notag
для всех \varepsilon>0, \lambda>0 и \nu \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^N). Теперь мы (при каждом \varepsilon) можем применить [13; лемма 4.2] для системы операторов свертки с непрерывными ядрами T_{n\varphi}=\varphi*T_n (где T_n(\mathbf{x})=\partial \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})/\partial x_n ), n \in \{1, \dots, N\}. Нетрудно видеть, что достаточно установить утверждение леммы 4.2 для компактов E \subset \operatorname{Spt} \mu c условием 0<\mu(E) <+\infty. Фиксируем такой компакт E. Для любого \varepsilon>0 по [13; лемма 4.2] найдется \mu-измеримая функция h^{\varepsilon}\colon \operatorname{Spt} \mu\to[0,1] такая, что h^{\varepsilon}=0 на \operatorname{Spt} \mu \setminus E и
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int h^\varepsilon\, d\mu \geqslant \frac1{2}\,\mu(E), \nonumber \\ \|T_{n\varphi}*(h^{\varepsilon} \mu)\| \leqslant A_8,\qquad n \in \{1, \dots, N\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
Заметим, что T_{n\varphi}*(h^{\varepsilon} \mu)=T_n*\mu^{\varepsilon}, где d\mu^{\varepsilon}_\mathbf{x}=\varphi*(h^\varepsilon \mu)(\mathbf{x})\, d\mathbf{x}, причем
\begin{equation}
\int d\mu^{\varepsilon}=\int h^\varepsilon\, d\mu \geqslant \frac1{2}\,\mu(E),
\end{equation}
\tag{4.10}
а функция f^{\varepsilon}=\Phi_\mathcal{L}*\mu^{\varepsilon} принадлежит классу C^{\infty}(\mathbb{R}^N) и (ввиду (4.9)) удовлетворяет оценке \|\nabla f^{\varepsilon}\|\leqslant \sqrt{N}\, A_8. Из равностепенной непрерывности семейства \{f^{\varepsilon}\}_{\varepsilon \in (0,1)} следует, что найдется последовательность \varepsilon_m \to 0+ при m \to +\infty такая, что последовательность функций f_m=f^{\varepsilon_m} сходится равномерно к функции f_0 класса \operatorname{Lip}^1(\mathbb{R}^N), \|\nabla f_0\| \leqslant \sqrt{N}\, A_8, причем (выбирая, если надо, подпоследовательность) последовательность мер \mu_m=\mu^{\varepsilon_m}=\mathcal{L}f_m слабо сходится к некоторой мере \mu_0. Ясно, что \mu_0=\mathcal{L}f_0, \operatorname{Spt} \mu_0 \subset E и из (4.10) имеем \mu_0(E) \geqslant \mu(E)/2. Из определения емкости \gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E) сразу следует, что
\begin{equation*}
\mu(E) \leqslant 2 \mu_0(E) \leqslant 2\sqrt{N}\, A_8 \gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E).
\end{equation*}
\notag
Лемма 4.2 и предложение 4.3 доказаны. Таким образом, для \gamma_{1\mathcal{L}}-емкостей (случай \alpha_{1\mathcal{L}}-емкостей здесь не обсуждается) задача 4.1 разбивается на следующие более простые задачи (N \geqslant 3). Задача 4.2. Для каких \mathcal{L} найдется A=A(\mathcal{L})\geqslant 1 с условием \gamma_{1 \mathcal{L}} (E) \leqslant A \gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E) для всех ограниченных множеств E \subset \mathbb{R}^N? (Для таких \mathcal{L} емкость \gamma_{1 \mathcal{L}} (\,{\cdot}\,) будет счетно полуаддитивна.) Задача 4.3. Для каких \mathcal{L} найдется A=A(\mathcal{L})\geqslant 1 с условием A^{-1}\gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E) \leqslant \gamma^+_{1 \Delta} (E) \leqslant A\gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E) для всех ограниченных множеств E \subset \mathbb{R}^N? Насколько это известно, в задаче 4.2 пока изучен только случай \mathcal{L}=\Delta, см. [20]. Автор выражает глубокую благодарность рецензенту за его труд по ознакомлению с этой работой и ряд очень важных замечаний и исправлений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Par21}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|