| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях) Функции, универсальные относительно тригонометрической системы М. Г. Григорян, Л. Н. Галоян Ереванский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8964 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеСуществование функций и рядов, универсальных в том или ином смысле в различных классах функций, изучалось, начиная с первой половины 20-го века, многими математиками работавшими в теории функций как действительного, так и комплексного переменного, см. [1]–[17]. Заметим, что единого определения понятия “универсальная функция” не существует. Обычно под этим термином понимается функция, с помощью которой можно “представить” все функции. При этом способ представления, а также класс представимых функций может трактоваться различным образом. По сути первый тип универсальной функции был рассмотрен в 1929 г. Биркхофом в работе [1]: существует целая функция g(z), которая универсальна относительно сдвигов, т. е. для любой целой функции f(z) и числа r>0 существует возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}∞k=1 такая, что последовательность сдвигов {g(z+nk)}∞k=1 равномерно сходится к f(z) на круге |z|⩽r. В 1935 г. Марцинкевич [2] доказал существование непрерывной функции, которая универсальна относительно производных чисел: если {hn}∞n=1 заранее фиксированная бесконечно малая последовательность, то существует непрерывная на [0,1] функция F такая, что для любой измеримой функции g, определенной на [0,1], существует возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}∞k=1 такая, что Более того, множество таких универсальных функций является множеством второй категории в C[0,1]. В 1991 г. Кротов [3] поставил и изучил вопрос о возможной гладкости таких функций F (функций Марцинкевича) и связал этот вопрос с поведением ряда Фурье–Стилтьеса функции F. В 1952 г. Маклейн в работе [4] доказал, что существует целая функция g(z), которая универсальна относительно производных, а именно: для любой целой функции f(z) и числа r>0 можно выбрать возрастающую последовательность натуральных чисел {nk}∞k=1 так, чтобы последовательность производных {g(nk)(z)}∞k=1 равномерно сходилась к f(z) на круге |z|⩽r. Далее, в 1975 г. Воронин [5] доказал теорему универсальности дзета-функции Римана: пусть 0<r<1/4, а функция f(s) непрерывна, не имеет нулей внутри круга |s|⩽r и аналитична внутри этого круга. Тогда для всякого ε>0 существует вещественное число T=T(ε), что выполняется неравенство Близким к понятию универсальной функции является понятие универсального ряда. Так называют ряды, с помощью которых можно представить любую функцию (здесь также способ представления и класс представляемых функций можно понимать различным образом). Часто такой ряд связан с какой-то функцией, например, является ее рядом Тейлора или Фурье (Фурье–Стильтеса). Понятие универсального ряда восходит к работам Меньшова [6] и Талаляна [7]. Универсальные ряды также изучались во многих работах и имеется значительная информация о свойствах таких рядов (см. [8]–[17]). Следует отметить, что первый универсальный вещественный степенной ряд был построен еще в 1914 г. Фекетом. Он, в частности, доказал существование действительного степенного ряда \sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k со следующим свойством: для всякой непрерывной на [-1,1] функции g(x) с g(0)=0 существует такая возрастающая последовательность целых положительных чисел \{n_j\}_{j=1}^{\infty}, что равномерно относительно x\in[-1,1] имеет место равенство В 1987 г. Гроссе–Эрдман [18] доказал существование действительнозначной функции с универсальным рядом Тейлора: существует функция g\in C^{\infty }(\mathcal{R}) с g(0)=0, ряд Тейлора которой в точке x=0 локально равномерно универсален в C(\mathcal{R}), т. е. для любой функции f\in C(\mathcal{R}) с f(0)=0 и числа r>0, существует подпоследовательность частичных сумм ряда Тейлора функции g(x), которая равномерно сходится к f(x) на отрезке |x|\leqslant r.В работах [19]–[21] можно найти доказательство следующего факта: пусть 0\leqslant r<\infty. Существует степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n с радиусом сходимости r такой, что для произвольного компакта K из \{z\colon |z|>r\} со связным дополнением и для любой непрерывной на K и голоморфной внутри K функции h существует возрастающая последовательность целых положительных чисел \{n_j\}_{j=1}^{\infty} такая, что равномерно на K имеет место равенство \lim_{j\to\infty}\sum_{k=1}^{n_j}a_kz^k=h(z). Первой работой, где построены универсальные тригонометрические ряды в классе всех измеримых функций в смысле сходимости почти всюду, является работа Меньшова [6]. Он доказал следующую фундаментальную теорему. Теорема 1. Существует тригонометрический ряд со следующим свойством: для любой измеримой функции g(x), определеной на [-\pi, \pi], существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел \{n_j\}_{j=1}^{\infty} такая, что подпоследовательность частичных сумм
\begin{equation*}
S_{n_j}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n_j}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\end{equation*}
\notag
сходится почти всюду на [-\pi, \pi] к g(x). Замечание 1. Отметим, что не существует функции U\in L^{1}[-\pi, \pi], подпоследовательность частичных сумм ряда Фурье (в отличие от рядов Тейлора) которой могли бы (даже по мере) приближать все измеримые функции. В самом деле, если бы существовала такая функция U\in L^{1}[-\pi, \pi], то для функции f(x)=2U(x) нашлась бы подпоследовательность натуральных чисел \{m_k\}\nearrow\infty такая, что по мере на [-\pi, \pi] здесь c_n(U) – коэффициенты Фурье функции U. С другой стороны, из известной теоремы Колмогорова (см., например, [22; с. 597]), ряд Фурье каждой интегрируемой функции по тригонометрической системе сходится к ней в L^p, p\in(0,1), вытекает, что \sum_{|n|=0}^{m_k}c_n(U)e^{i nx} сходится к U(x) по мере на [-\pi, \pi]. Отсюда и из (1.1) вытекает, что U(x)=2U(x) почти всюду на [-\pi, \pi]. Пришли к противоречию.Тем не менее, в этой статье мы построим функцию U\in L^{1}[-\pi, \pi] такую, что после выбора подходящих знаков \{\delta_k=\pm1\}_{|k|=0}^{\infty}, для ее коэффициентов Фурье \{c_k(U)\}_{|k|=0}^{\infty} можно достичь того, чтобы подпоследовательности частичных сумм ряда \sum_{|k|=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)e^{i kx} могли бы приближать все измеримые функции в смысле сходимости почти всюду. § 2. Формулировка результатовПусть M[a, b] – совокупность всех (не обязательно конечных) измеримых функций на [a, b], L^p[a, b], p>0, представляет собой класс всех измеримых на [a, b] функций, для которых \int_a^b|f|^p\, dx<\infty, |E| – лебегова мера измеримого множества E\subseteq[a, b], \mathbb{N} – совокупность всех натуральных чисел. Под сходимостью в M[a, b] мы будем подразумевать сходимость почти всюду. Пусть \{\varphi_k(x)\}_{k=1}^{\infty} – полная ортонормированная ограниченная система на [a,b], и пусть
\begin{equation*}
c_k(U)=\int_a^bU(x)\varphi_k(x)\, dx,\qquad k\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
– коэффициенты Фурье по системе \{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty} функции U\in L^{1}[a,b]. Пусть S обозначает какое-нибудь из пространств M[a, b] или L^p[a, b]. называется универсальным в S: 1) в обычном смысле, если для каждой функции f\in S существует возрастающая последовательность натуральных чисел n_k такая, что у ряда (2.1) последовательность частичных сумм с номерами n_k сходится к f в пространстве S; 2) в смысле (относительно) перестановок, если для каждой функции f\in S члены ряда (2.1) можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд сходился к функции f в пространстве S;3) в смысле (относительно) знаков в S, если для каждой функции f\in S можно найти последовательность знаков \{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}, для которой ряд \sum_{k=1}^{\infty}\delta_kf_k сходится к функции f в пространстве S. Как уже отмечали выше, в работе [6] Меньшовым построены универсальные ряды в M[-\pi,\pi]. Ряды \sum_{k=1}^{\infty}a_k\varphi_k(x) по любой ортонормированной полной системе \{\varphi_n(x)\}_{n=1}^{\infty}, x\in[0,1], универсальные в M[0,1] были построены А. А. Талаляном в работе [7], см. также работы [8]–[13]. В данной статье будем изучать вопрос существования функций, ряды Фурье которых по тригонометрической системе универсальны в том или ином смысле в различных функциональных классах. Такие функции мы назовем универсальными относительно тригонометрической системы. Определение 2. Будем говорить, что функция U\in L^{1}[a,b] универсальна для класса S относительно системы \{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}: a) в обычном смысле, если ряд Фурье функции U по этой системе универсален в S в обычном смысле; b) в квазиобычном смысле, если существует последовательность знаков \{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty} такая, что ряд \sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x) универсален в обычном смысле в S; c) в смысле перестановок, если ряд Фурье функции U по этой системе универсален в S в смысле (относительно) перестановок; d) в смысле знаков своих коэффициентов Фурье по этой системе, если ряд Фурье функции U по этой системе универсален в S в смысле знаков. В силу замечания 1 не существует функции U\in L^{1}[-\pi,\pi], универсальной для класса M[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы в обычном смысле (аналогичным образом можно доказать, что последнее утверждение верно и в случае систем Уолша, Хаара, Франклина и Виленкина). Сразу же возникает следующий вопрос, ответ на который нам не известен. Вопрос 1. Существует ли такая ортонормированная система \{\varphi_n(x)\} ограниченных функций такая, что можно было бы построить универсальную функцию U для класса M относительно системы \{\varphi_n(x)\} в обычном смысле? Тем не менее, в этой статье мы построим функцию U\in L^{1}[-\pi,\pi] такую, что после выбора подходящих знаков \{\delta_k=\pm1\}_{|k|=0}^{\infty}, для ее коэффициентов Фурье \{c_k(U)\}_{|k|=0}^{\infty} можно достичь того, чтобы вновь полученный ряд \sum_{|k|=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)e^{i kx} являлся универсальным в обычном смысле в {M}[-\pi,\pi]. Более того верно следующее утверждение. Теорема 2. Для каждого p\in(0,1) существует функция U\in L^{1}[-\pi,\pi], универсальная для класса L^p[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы в квазиобычном смысле. Замечание 2. Если при некотором p\in(0,1) функция U\in L^{1}[a,b] универсальна для пространства L^p[a,b] относительно системы \{\varphi_n(x)\} в квазиобычном смысле, то она будет универсальной и для класса {M}[a,b] относительно системы \{\varphi_n(x)\} в квазиобычном смысле. В самом деле, пусть функция U\in L^{1}[a,b] универсальна для пространства L^p[a,b], p\in(0,1), относительно системы \{\varphi_n(x)\} в квазиобычном смысле, тогда по определению можно найти числа \{\delta_k=\pm1,\, k=1,2,\dots\} такие, что последовательность частичных сумм S_{N}(x)=\sum_{k=0}^{\ N}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x) ряда \sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x) будет плотной в L^p[a,b]. Тогда существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел N_{\nu}\nearrow\infty такая, что
\begin{equation}
\int_a^b|f_{\nu}(x)-S_{N_{\nu}}(x)|^p\, dx<4^{-8\nu p},\qquad \nu=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{2.2}
где \{f_{\nu}(x)\}_{n=1}^{\infty} – последовательность всех тригонометрических полиномов с рациональными коэффициентами. Положим
\begin{equation}
G_{\nu}=\{x\in[a,b]\colon |f_{\nu}(x)-S_{N_{\nu}}(x)|\leqslant2^{-\nu}\},
\end{equation}
\tag{2.3}
Из (2.2)–(2.4) вытекает
\begin{equation}
\mathit{|E|}=b-a,\qquad \lim_{\nu\to\infty}|f_{\nu}(x)-S_{N_{\nu}}(x)|=0,\quad x\in\ E.
\end{equation}
\tag{2.5}
Пусть g \in M[a,b]. Нетрудно увидеть, что можно выбрать подпоследовательность \{f_{l_k}(x)\}_{k=1}^{\infty} из последовательности \{f_{\nu}(x)\}_{\nu=1}^{\infty} такую, что почти всюду на [a,b] Отсюда и из (2.5) вытекает, что почти всюду на [a,b] справедливо равенство В этой статье доказывается также следующее утверждение. Теорема 3. Для каждого p\in(0,1) существует функция U\in L^{1}[-\pi,\pi], универсальная для класса L^p[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Замечание 3. Заметим, что из известной теоремы С. В. Конягина [23] (тригонометрические ряды не могут сходиться к +\infty на множестве положительной меры) вытекает, что не существует функции U\in L^{1}[-\pi,\pi], универсальной для класса M[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Теоремы 2 и 3 следуют из теоремы 4. Теорема 4. Для каждого p\in(0,1) существует функция U\in L^{1}[-\pi,\pi], универсальная для класса L^p[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы как в квазиобычном смысле, так и в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Следует отметить,что теорема 4 окончательна в некотором смысле (неулучшаема), ибо не существует функции U\in L^{1}[-\pi,\pi], которая была бы универсальной для класса L^{1}[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы либо в квазиобычном смысле, либо в смысле знаков своих коэффициентов Фурье (см. замечание 4). Замечание 4. Каковы бы ни были число p\geqslant1 и ограниченная ортонормированная система \{\varphi_n(x)\}, не существует функции U\in L^{1}[a,b], которая была бы универсальной для класса L^p[a,b] относительно системы \{\varphi_n(x)\} в квазиобычном смысле. Действительно, если бы при некотором p\geqslant1 относительно некоторой ограниченной ортонормированной системы \{\varphi_n(x)\} существовала бы функция U\in L^{1}[a,b], универсальная для класса L^p[a,b], p\geqslant1, в квазиобычном смысле (соответственно в смысле знаков своих коэффициентов Фурье), то нашлась бы последовательность знаков \{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty} такая, что для любой функции f\in L^p[a,b] с c_1(f)\neq0 нашлись бы последовательности \{N_m, \Lambda_m\} такие, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to\infty}\int_a^b\biggl| \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)- f(x)\biggr| \, dx &=0, \\ \lim_{m\to\infty} \int_a^b\biggl| \sum_{k=1}^{\Lambda_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x) -2f(x)\biggr| \, dx&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Откуда следует, что справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\delta_1c_1(U)-c_1(f)| =\biggl| \int_a^b \biggl( \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)-f(x)\biggr)\varphi_1(x)\, dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant\sup_{x\in[a,b]}|\varphi_1(x)| \int_a^b \biggl| \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)-f(x)\biggr| \, dx\to0,\qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда вытекает, что \delta_1c_1(U)=c_1(f). Аналогично находим соотношение \delta_1c_1(U)=2c_1(f) и сразу получаем противоречие: c_1(f)=0. В связи с представленными выше теоремами и определениями возникают следующие (на наш взгляд, интересные) вопросы, ответы на которые нам неизвестны. Вопрос 2. Существует ли ортонормированная система \{\varphi_n(x)\} ограниченных функций и функция U\in L^{1}[a,b], универсальная для некоторого класса L^p[a,b], p\in(0,1), относительно системы \{\varphi_n(x)\} в обычном смысле? Вопрос 3. Существует ли функция U\in L^{1}[-\pi,\pi], универсальная для некоторого класса L^p[-\pi,\pi], p\in(0,1), относительно тригонометрической системы, системы Уолша в смысле перестановок? В связи с вопросом 4 отметим, что теорема 3 верна для системы Уолша, более того, в работах М. Григоряна и А. Саргсяна (см. [14], [17]) построена функция U\in L^{1}[0,1] со сходящимся рядом Фурье–Уолша и со строго убывающими коэффициентами Фурье–Уолша, универсальная для классов L^p[0,1], p\in(0,1), относительно системы Уолша в смысле знаков коэффициентов Фурье–Уолша. Отметим также, что доказательство основной леммы настоящей работы, с помощью которой доказывается теорема 4, отличается от доказательства соответствующей леммы работы [14]. Замечание 5. Следует отметить, что (как видно и из вышеизложенного) существование универсальных функций зависит от (типа) смысла универсальности, от системы, от пространства S (в частности, S – какое-нибудь из пространств M, L^p[0,1], p\geqslant0). § 3. Обозначения и вспомогательные фактыНиже мы будем использовать следующие обозначения: T – отрезок [-\pi,\pi], L^{r}(T) (r>0) – пространство всех измеримых на T функций f, для которых \int_T|f|^{r}\, dx\,{<}\,{+}\infty, C(T) – пространство непрерывных на T функций, \|\,{\cdot}\,\|_C, \|\,{\cdot}\,\|_{p} – нормы пространств C(T) и L^p(T) (p\geqslant1) соответственно, |G| – мера множества G, \mathbb{N} – множество натуральных чисел, a_k(f), b_k(f) – коэффициенты Фурье функции f, т. е.
\begin{equation*}
a_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_Tf(t)\cos kt\, dt,\qquad b_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_Tf(t)\sin kt\,dt, \quad k\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
\operatorname{spec}\{f\} – спектр функции f, т. е. множество \{k\colon |a_k(f)|+|b_k(f)|\neq 0\}, \chi_{E} – характеристическая функция множества E, S_n(\,{\cdot}\,,f) (n\in\mathbb{N}) – частичные суммы ряда Фурье функции f. Пусть
\begin{equation*}
\Delta\equiv[a,b]\subset T,\qquad \Delta_k=\biggl[a+\frac{|\Delta|}{2^{k+1}},\, b-\frac{|\Delta|}{2^{k+1}}\biggr],\quad k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Определим непрерывные на всей числовой оси функции t_k(x,\Delta) следующим образом: t_k(x,\Delta)=1 для x\in\Delta_k, t_k(x,\Delta)=0 для x\notin\Delta, t_k(x,\Delta) линейная на [a,a+|\Delta|/(2^k+1)] и линейная на [b-|\Delta|/(2^k+1),b] и t_k(x+2\pi,\Delta)=t_k(x,\Delta) (x\in\mathbb R). Для каждого k\in \mathbb{N} обозначим через I_n^{(k)}(x) (n\in \mathbb{N}) частичные суммы ряда Фурье функции t_k(x,\Delta). Мы будем использовать (полиномы Радона–Шапиро) лемму Радона–Шапиро (см., например, [24; с. 146]). Лемма 1. Существует последовательность знаков \{\varepsilon_{\nu}=\pm1\}_{\nu=1}^{\infty} такая, что Рассмотрим тригонометрические полиномы Фейера
\begin{equation}
F_n(t)=\frac12+\sum_{\nu=1}^nf_{\nu}^{(n)}\cos \nu t, \qquad f_{\nu}^{(n)}=1-\frac{\nu}{n+1},\quad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.2}
Известно, что эти полиномы неотрицательны на всей числовой оси (см., например, [22; с. 138]). Положим
\begin{equation}
\mathcal{F}_n(t)=\frac12+\sum_{\nu=1}^n\varepsilon_{\nu}f_{\nu}^{(n)}\cos \nu t,\qquad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.3}
Покажем, что для каждой последовательности \{M_n\}_{n=1}^{\infty}\nearrow; M_n\geqslant4n справедливы оценки
\begin{equation}
\biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_2 >\frac12,\qquad \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_C\leqslant6.
\end{equation}
\tag{3.4}
В силу равенства Парсеваля из (3.1)–(3.3) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_2 &=\sqrt{\int_T\biggl(\frac{\cos M_{n}x}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_{n}(x)\biggr)^{2}\, dx} =\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\sum_{\nu=1}^n\biggl( 1-\frac{\nu}{n+1}\biggr)^2} \\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2(n+1)^2}\sum_{\nu=1}^n (n+1-\nu)^2}>\frac12. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применяя преобразования Абеля и учитывая (3.1)–(3.3), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_C &\leqslant\biggl\| \frac{1}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n\biggr\|_C=\frac{1}{\sqrt{n}}\biggl\| \frac12+\frac{1}{n+1} \sum_{\nu=1}^n\biggl( \sum_{k=1}^{\nu}\varepsilon_k\cos kx\biggr) \biggr\|_C \\ &\leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}\biggl| \frac12+\frac{5}{n+1}\sum_{\nu=1}^n\sqrt{\nu}\biggr| \leqslant6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь, используя оценки (3.4), покажем, что существуют числа \alpha,\beta\in(0,1) такие, что для всех n\in\mathbb{N}
\begin{equation}
\biggl| \biggl\{x\in T\colon\biggl| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr| >\alpha\biggr\}\biggr| >\beta.
\end{equation}
\tag{3.5}
Действительно, в противном случае нашлись бы последовательности \{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}\,{\searrow}\,0, \{\beta_k\}_{k=1}^{\infty}\searrow0 и \{n_k\}_{k=1}^{\infty}\nearrow\infty такие, что для всех k\in\mathbb{N}
\begin{equation*}
\biggl| \biggl\{x\subset T\colon\biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \leqslant\alpha_k\biggr\}\biggr| >2\pi-\beta_k.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, вводя обозначение
\begin{equation*}
A_k=\biggl\{x\in T\colon\biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \leqslant\alpha_k\biggr\},\qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
и используя (3.4), сразу получаем противоречие
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{16}&<\biggl\| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr\|_2^2= \int_{A_k} \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr|^2\, dx \\ &\qquad+\int_{CA_k} \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr|^2\, dx<2\pi(\alpha_k)^2+6\beta_k\to0,\qquad k\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из (3.5) вытекает, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{A_n^+}\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx+ \int_{A_n^-} \biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) \, dx \nonumber \\ &\qquad=\int_T \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \, dx\geqslant\alpha\beta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
где
\begin{equation*}
A_n^-=\biggl\{x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)<0\biggr\},\qquad A_n^+=\biggl\{x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\geqslant0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Ввиду того, что (см. (3.3))
\begin{equation*}
0=\int_T\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx= \int_{A_n^-}\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx+ \int_{A_n^+} \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx,
\end{equation*}
\notag
в силу (3.6) будем иметь
\begin{equation}
\int_{A_n^-}\biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) \, dx= \int_{A_n^+} \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx\geqslant\frac12\alpha\beta.
\end{equation}
\tag{3.7}
Ясно, что используя (3.7) и повторяя те же рассуждения, что и при доказательстве (3.6), мы можем найти числа \alpha,\beta\in(0,1) такие, что для всех n\in\mathbb{N}
\begin{equation}
\biggl| \biggl\{ x\in T\colon\biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) >\alpha\biggr\} \biggr| = \biggl| \biggl\{ x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)<-\alpha\biggr\} \biggr| >\beta.
\end{equation}
\tag{3.8}
Пусть
\begin{equation*}
T(x)=\sum_{k=0}^{N} \alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx, \qquad Q(x)=\sum_{k=0}^{N} \overline{\alpha}_k\cos kx+\overline{\beta}_k\sin kx
\end{equation*}
\notag
– некоторые тригонометрические полиномы (ниже просто “полиномы”). Мы условимся писать T\sim Q, если при некоторых \delta_k=\pm1 (0\leqslant k\leqslant N) имеют место равенства
\begin{equation*}
\alpha_k=\delta_k\overline{\alpha}_k, \quad \beta_k=\delta_k\overline{\beta}_k,\qquad 0\leqslant k\leqslant N.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что i) если T\sim Q, то \alpha T \sim \alpha Q для любого \alpha\neq0; ii) если T \sim Q и порядки полиномов T и Q меньше чем M\in \mathbb{N}, то T\cos Mx \sim Q\cos Mx; iii) если T_j \sim Q_j при всех 1\leqslant j\leqslant p и
\begin{equation*}
\operatorname{spec}\{T_{j_1}\}\cap \operatorname{spec}\{T_{j_2}\}=\varnothing,\qquad \operatorname{spec}\{Q_{j_1}\}\cap \operatorname{spec}\{Q_{j_2}\}=\varnothing
\end{equation*}
\notag
при j_1\neq j_2, 1\leqslant j_1,j_2\leqslant m, то \sum_{j=1}^{m}T_j \sim \sum_{j=1}^{m}Q_j. И наконец, напомним следующую теорему (см. [22; с. 595]): пусть f – суммируемая функция и p\in(0,1). Тогда при всех n\in\mathbb{N}
\begin{equation}
\int_{-\pi}^{\pi}|S_n(x,f)|^p\, dx\leqslant B_{p}\biggl(\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|\, dx\biggr)^p,
\end{equation}
\tag{3.9}
где B_{p} – константа, зависящая только от p.
§ 4. Доказательство леммНам понадобится следующая элементарная лемма. Лемма 2. Пусть \{F_k(x)\}_{k=1}^{\infty} – последовательность измеримых функций, определенных на (\alpha,\beta), стремящаяся к нулю по мере на (\alpha,\beta) и удовлетворяющая условиям \int_{\alpha}^{\beta}|F_{k}(x)|\, dx\leqslant M (k\geqslant1), где M – постоянная. Тогда при любом p\in(0,1) имеет место равенство Доказательство. Пусть h – произвольное положительное число. Выберем числа \mu, a, A>0 так, чтобы 3a^p(\beta-\alpha)<h, 3M A^{p-1}<h и 3A^p\mu<h. Положим E_k=\{x\in(\alpha,\beta)\colon |F_k(x)|\geqslant a\}. Поскольку \{F_k(x)\}_{k=1}^{\infty} стремится к нулю по мере на (\alpha,\beta), то существует натуральное число k(h) такое, что |E_k|<\mu при всех k\geqslant k(h). Отсюда при всех k\geqslant k(h) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\alpha}^{\beta} |F_k|^p\, dx &=\int_{CE_k} |F_k|^p\, dx+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|<A\}} |F_k|^p\, dx+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx \\ &\leqslant a^p(\beta-\alpha)+A^p\mu+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Учитывая, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx&=\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} \frac{|F_k|}{|F_k|^{1-p}}\, dx \\ &\leqslant\frac{1}{A^{1-p}}\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|\, dx\leqslant \frac{M}{A^{1-p}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
в итоге при всех k\geqslant k(h) получаем
\begin{equation*}
\int_{\alpha}^{\beta} |F_k|^p\, dx< a^p(\beta-\alpha)+A^p\mu+\frac{M}{A^{1-p}}<h.
\end{equation*}
\notag
Лемма 2 доказана. В следующей лемме используются некоторые конструкции из работы [25] (а также [26; с. 333–337]).
\begin{equation*}
N_0>1,\qquad \gamma\neq0,\qquad \epsilon,\eta,p\in (0,1),\qquad \eta<2^{-5}|\gamma|
\end{equation*}
\notag
и интервала \Delta\equiv(a, b)\subset T существуют тригонометрические полиномы \mathcal{U}(x) и \mathcal{Q}(x), удовлетворяющие следующим условиям: 1) спектры полиномов \mathcal{U}(x) и \mathcal{Q}(x) находятся правее N_0; 2) \mathcal{U}(x)\backsim\mathcal{Q}(x); 3) \int_T|\mathcal{Q}(x)-\gamma \chi_{\Delta}(x)|^p\, dx<\epsilon; 4) \int_T|S_n(x,\mathcal{Q})|^p\, dx<\overline{B}_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p (n\in\mathbb{N}); 5) \int_T|\mathcal{U}(x)|\, dx<\eta, где \overline{B}_{p} – константа, зависящая только от p. Доказательство. Зафиксируем положительное число \varepsilon, удовлетворяющее условию
\begin{equation}
\varepsilon<\min\biggl\{\frac{|\Delta|}{7};\frac{\epsilon^{1/p}}{81p|\gamma|}\biggr\},
\end{equation}
\tag{4.1}
где Нашей ближайшей целью будет рассмотрение некоторых свойств последовательности
\begin{equation}
\mathcal{P}_k(x)=\prod_{j=1}^k\biggl(1+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr),\qquad k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.3}
где последовательности натуральных чисел \{n_j, \sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty} будут выбраны ниже по индукции, при этом мы не будем налагать на эти последовательности никаких специфических условий, кроме требования “достаточно быстрого роста”.
Последовательность \{n_j\}_{j=1}^{\infty} выберем таким образом, чтобы при всех j выполнялись неравенства
\begin{equation}
|I_{n_j}^{(j)}(x)-t_j(x,\Delta)|<\frac{\varepsilon}{2^jL_j},\qquad x\in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{4.4}
где L_j\equiv \max\{\|\mathcal{P}_{j-1}\|_{\infty};1\} (\mathcal{P}_0(x)\equiv1).
Заметим, что в силу равенства
\begin{equation}
\mathcal{P}_k(x)-\mathcal{P}_{k-1}(x)=\mathcal{P}_{k-1}(x)\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)I_{n_k}^{(k)}(x)\cos2^{\lambda_k}x,
\end{equation}
\tag{4.5}
при достаточно быстром росте последовательностей \{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}, можем добиться того, чтобы переход от \mathcal{P}_{k-1} к \mathcal{P}_k состоял в прибавлении к \mathcal{P}_{k-1} группы гармоник со спектром, лежащим правее спектра \mathcal{P}_{k-1}. Ясно также, что при таких переходах можем добиться образования неограниченно расширяющихся лакун (достаточно подчинить последовательности \{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty} условиям 2^{\sigma_j-1}>n_j, 2^{\lambda_j}>2^{\lambda_{j-1}}+8\cdot2^{\sigma_j+2j}+4n_j+4N_{j-1}, где N_j – порядок полинома \mathcal{P}_j).
Итак, при достаточно быстром росте последовательностей \{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}, произведение
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{\infty}\biggl(1+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr)
\end{equation}
\tag{4.6}
можно представить в виде тригонометрического ряда
\begin{equation}
1+\sum_{\nu=N_0}^{\infty}(\alpha_{\nu}\cos\nu x+\beta_{\nu}\sin\nu x).
\end{equation}
\tag{4.7}
Теперь докажем несколько свойств последовательности \{\mathcal{P}_j\}_{j=1}^{\infty}.
В силу (3.4), (4.3) и (4.4) имеем
\begin{equation}
\mathcal{P}_k(x)\geqslant 0,\qquad x\in\mathbb R, \quad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.8}
Применением индукции покажем, что
\begin{equation}
|\mathcal{P}_k(x)-1|<\varepsilon,\qquad x\notin\Delta, \quad k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.9}
\begin{equation}
\int_{\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx<2|\Delta|,\qquad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.10}
Действительно, в силу (3.4), (4.3) и (4.4)
\begin{equation*}
|\mathcal{P}_1(x)-1|<\frac{6\varepsilon}{2^{2+s}},\qquad x\notin\Delta.
\end{equation*}
\notag
Пусть при некотором значении j
\begin{equation*}
|\mathcal{P}_{j-1}(x)-1|<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j+1}),\qquad x\notin\Delta,
\end{equation*}
\notag
тогда, согласно (3.4) и (4.3), (4.4) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{P}_j(x)-1|&\leqslant|\mathcal{P}_{j-1}(x)-1|+\biggl|\mathcal{P}_{j-1}(x)\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr| \\ &<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j+1})+\frac{6\|\mathcal{P}_{j-1}\|_{\infty}}{2^{s}} \cdot\frac{\varepsilon}{2^jL_j}<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j}),\qquad x\notin\Delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, при всех k\in\mathbb{N}
\begin{equation*}
|\mathcal{P}_k(x)-1|<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-k})<\varepsilon,\qquad x\notin\Delta, \quad k\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
и кроме этого, в силу \int_T\mathcal{P}_k(x)\, dx=|T|, получаем (см. (4.8) и (4.9))
\begin{equation*}
\int_{\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx=|T|-\int_{T\setminus\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx= |\Delta|-\int_{T\setminus\Delta}(\mathcal{P}_k(x)-1)\, dx<2|\Delta|.
\end{equation*}
\notag
Далее, докажем что
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\mathcal{P}_k(x)=0\quad \text{п.в. на }\Delta.
\end{equation*}
\notag
Пусть \mathcal{S}_n(x), n\in \mathbb{N}, – частичные суммы ряда (4.7). Имеем
\begin{equation}
\mathcal{S}_{N_k}(x)=\mathcal{P}_k(x)=1+\sum_{\nu=N_0}^{N_k}(c_{\nu}\cos\nu x+d_{\nu}\sin\nu x),\qquad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.11}
Поскольку k-е частичное произведение (4.6) (и N_k-я частичная сумма (4.7)) неотрицательно (см. (4.8)), то ряд (4.7) является рядом Фурье–Стильтеса неубывающей непрерывной функции. Обозначим эту функцию через \psi(x). Известно, что такой ряд суммируем методом средних арифметических к \psi'. Благодаря наличию неограниченно расширяющихся лакун у ряда (4.7), в силу [26; теорема 1.27, с. 134], имеем \mathcal{S}_{N_k}(x)\to \psi'(x). Используя (3.8) для полиномов
\begin{equation*}
\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(x)\cos2^{\lambda_k-\sigma_k}x,\qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
мы можем утверждать, что существуют числа \sigma\in(0,1), \sigma'>0 и множества e_k (k=1,2,\dots) такие, что при всех k\geqslant 1
\begin{equation}
1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(x)\cos2^{\lambda_k-\sigma_k}x<\sigma,\quad x\in e_k,\qquad \mu e_k>\sigma'.
\end{equation}
\tag{4.12}
Обозначим через e_k' множества, получающиеся из e_k при замене x на 2^{\sigma_k}x. Положим e_k''=e_k'\cap\Delta_k. Ясно, что при некотором \sigma''\in(0,1) и достаточно больших значениях k мы будем иметь (см. (4.12))
\begin{equation}
1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)\cos2^{\lambda_k}x<\sigma, \qquad x\in e_k''.
\end{equation}
\tag{4.14}
Из (3.4) и (4.12)–(4.14) следует, что при достаточно больших значениях k выполняется следующее неравенство:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)I_{n_k}^{(k)}(x)\cos2^{\lambda_k}x \nonumber \\ &\qquad=1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)\cos2^{\lambda_k}x+\frac{1}{2^{k+\rho}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)(I_{n_k}^{(k)}(x)-1)\cos2^{\lambda_k}x \nonumber \\ &\qquad<\sigma+\frac{6}{2^{s}}\cdot\frac{\varepsilon}{2^k}<\sigma+\frac{1}{2^k},\qquad x\in e_k''. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
Положим Легко проверить, что (см. (4.13)) \mu G=\mu\Delta. Покажем, что \psi'(x)=0 почти всюду на \Delta. Пусть x_0\in G и \psi'(x_0)\neq0 конечно (что имеет место почти всюду). Тогда x_0\in e_{k_r}'', r=1,2,\dots, для некоторой возрастающей последовательности натуральных чисел k_r. Выберем k_0 настолько большим, чтобы выполнялись неравенства
\begin{equation}
\frac{1+\sqrt{\sigma}}{2} \psi'(x_0)<\mathcal{S}_{N_k}(x)<\frac{1}{\sqrt{\sigma}} \psi'(x_0),\qquad k\geqslant k_0.
\end{equation}
\tag{4.16}
С другой стороны, при достаточно больших значениях r имеем (см. (4.5), (4.11), (4.15))
\begin{equation*}
|\mathcal{S}_{N_{k_r}}(x)|\,{=}\,|\mathcal{S}_{N_{k_r-1}}(x)|\biggl|1+\frac{1}{2^{k_r+s}} \mathcal{F}_{4^{k_r}}(2^{\sigma_{k_r}}x)I_{n_{k_r}}^{(k_r)}(x)\cos2^{\lambda_{k_r}}x\biggr| \,{<}\,\frac{\sigma+2^{-k_r}}{\sqrt{\sigma}} \psi'(x_0).
\end{equation*}
\notag
Последнее неравенство вместе с (4.16) противоречат условию \psi'(x_0)\neq0. Таким образом,
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}\mathcal{S}_{N_k}(x)=0 \quad \text{п.в. на }\Delta.
\end{equation}
\tag{4.17}
Учитывая соотношения (4.8), (4.10), (4.11), (4.17) и применяя лемму 2, будем иметь
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}\int_{\Delta}|\mathcal{S}_{N_k}(x)|^p \,dx =\lim_{k\to\infty}\int_{\Delta}|\mathcal{P}_k(x)|^p\, dx=0.
\end{equation}
\tag{4.18}
Положим T_0(x)\equiv1 и определим последовательность тригонометрических полиномов \{T_j(x)\}_{j=0}^{\infty} согласно соотношению
\begin{equation}
T_j(x)=T_{j-1}(x)+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{P}_{j-1}(x)I_{n_j}^{(j)}(x)F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\cos2^{\lambda_j}x.
\end{equation}
\tag{4.19}
Ясно, что \mathcal{P}_j\sim T_j при всех j\in\mathbb{N}. Выберем натуральное число \overline{k} так, чтобы (см. (4.18))
\begin{equation}
\int_{\Delta}|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)|^p\, dx<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.20}
Положим Покажем, что полиномы (4.21) и (4.22) удовлетворяют условиям настоящей леммы. Сначала заметим, что (см. (4.5), (4.19)) спектры полиномов \mathcal{U}(x) и \mathcal{Q}(x) находятся правее N_0. Далее, в силу \mathcal{P}_j\sim T_j имеем \mathcal{Q}\sim \mathcal{U}. Используя (4.9), (4.21), получим
\begin{equation}
|\mathcal{Q}(x)|\leqslant |\gamma|\,|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)-1|<\varepsilon|\gamma|,\qquad x\notin\Delta.
\end{equation}
\tag{4.23}
Далее, используя (4.1) и (4.20), (4.21), (4.23), получим оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T\left|\mathcal{Q}(x)-\gamma \chi_{\Delta}(x)\right|^p\, dx &=\int_{T\setminus\Delta}|\mathcal{Q}(x)|^p\, dx+ |\gamma|^p\int_{\Delta}|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant 2\pi\varepsilon^p|\gamma|^p+\varepsilon^p|\gamma|^p <8\varepsilon^p|\gamma|^p<\epsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Учитывая неотрицательность полиномов Фейера из (3.4), (4.2)–(4.4), (4.19) и (4.21)–(4.23), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T|\mathcal{U}(x)|\, dx &=|\gamma|\,\biggl\|\sum_{j=1}^{\overline{k}}(T_j(x)-T_{j-1}(x))\biggr\|_1 \\ &=|\gamma|\,\biggl\|\sum_{j=1}^{\overline{k}}\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{P}_{j-1}(x)I_{n_j}^{(j)}(x)F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr\|_1 \\ &\leqslant\frac{|\gamma|}{2^{s}}\sum_{j=1}^{\overline{k}} \frac{1}{2^j}\|\mathcal{P}_{j-1}I_{n_j}^{(j)}\|_{\infty}\cdot\|F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\|_1 <\frac{\pi|\gamma|}{2^{s}}\sum_{j=1}^{\infty}\biggl(\frac{3}{4}\biggr)^j {<}\,\frac{10|\gamma|}{2^{s}}\,{<}\,\eta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Осталось проверить утверждение 4) настоящей леммы. В силу (4.1), (4.10), (4.21) и (4.23) имеем
\begin{equation*}
\int_T|\mathcal{Q}(x)|\, dx =|\gamma|\int_T |\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)-1|\, dx<4|\gamma|\,|\Delta|,
\end{equation*}
\notag
следовательно (см. (3.9)),
\begin{equation*}
\int_T|S_n(x,\mathcal{Q})|^p\, dx\leqslant B_{p}\biggl(\int_T|\mathcal{Q}(x)|\, dx\biggr)^p <4^pB_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p=\overline{B}_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p.
\end{equation*}
\notag
Лемма 3 доказана. Лемма 4. Для любых чисел \varepsilon, p \in(0, 1), n_0\in \mathbb{N} и функции f\in L^{1}[-\pi,\pi] с \|f\|_1\neq0 существуют тригонометрические полиномы H(x) и Q(x), удовлетворяющие следующим условиям: 1) спектры полиномов H(x) и Q(x) находятся правее n_0; 2) H(x)\backsim Q(x); 3) \int_T|Q(x)-f(x)|^p\, dx<\varepsilon; 4) \int_T|S_n(x,Q)|^p\, dx<2\int_T|f(x)|^p\, dx, n\in\mathbb{N}; 5) \int_T|H(x)|\, dx<\varepsilon. Доказательство. Положим \epsilon=\min\bigl\{\varepsilon/2;\, \int_T|f(x)|^p\, dx\bigr\}. Ясно, что существует ступенчатая функция \varphi(x) вида
\begin{equation*}
\varphi(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\gamma_j\chi_{\Delta_j}(x),\qquad \gamma_j\neq0,\quad j=1, \dots, j_0,
\end{equation*}
\notag
такая, что где интервалы постоянства \{\Delta_j\} функции \varphi удовлетворяют условиям
\begin{equation*}
\Delta_{t}\cap\Delta_{s}=\varnothing,\quad s\neq t, \qquad \bigcup_{j=1}^{j_0}\Delta_j=T,\qquad \overline{B}_{p}\max_{1\leqslant j\leqslant j_0}\{|\gamma_j|^p|\Delta_j|^p\}<\int_T|f(x)|^p\, dx.
\end{equation*}
\notag
Применив лемму 3, получим полиномы \{\mathcal{H}_j\}_{j=1}^{j_0} и \{\mathcal{Q}_j\}_{j=1}^{j_0}, удовлетворяющие при каждом j=1,\dots, j_0 условиям:
1) спектры полиномов \mathcal{H}_j(x) и \mathcal{Q}_j(x) лежат на [N_{j-1}, N_j); 2) \mathcal{H}_j(x)\backsim\mathcal{Q}_j(x); 3) \int_T|\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)|^p\, dx<\epsilon/j_0; 4) \int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_j)|^p\, dx<\overline{B}_{p}|\gamma_j|^p|\Delta_j|^p, n\in\mathbb{N}; 5) \int_T|\mathcal{H}_j(x)|\, dx<\epsilon/j_0, где N_{j_0}>\dots>N_1>N_0=n_0. Положим
\begin{equation*}
H(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\mathcal{H}_j(x), \qquad Q(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\mathcal{Q}_j(x).
\end{equation*}
\notag
Из свойств 1), 2) следует, что спектры полиномов H(x) и Q(x) находятся правее n_0 и H(x)\backsim Q(x). Из свойств 3), 5) следует, что
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_T|H(x)|\, dx\leqslant\sum_{j=1}^{j_0}\int_T|\mathcal{H}_j(x)|\, dx<\varepsilon, \\ \begin{aligned} \, \int_T|Q(x)-f(x)|^p\, dx &\leqslant\int_T|Q(x)-\varphi(x)|^p\, dx+\int_T|\varphi(x)-f(x)|^p\, dx \\ &\leqslant \sum_{j=1}^{j_0}\int_T|\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)|^p\, dx+\epsilon<\varepsilon. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Пусть n\in[N_{j'-1}, N_{j'}). В силу свойств 3), 4) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T|S_n(x,Q)|^p\, dx &\leqslant\int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}\mathcal{Q}_j(x)\biggr|^p\, dx+ \int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_{j'})|^p\, dx \\ &\leqslant \int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}(\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x))\biggr|^p\, dx+ \int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad+\int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_{j'})|^p\, dx\leqslant 2\int_T|f(x)|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 4 доказана. § 5. Доказательство теоремы 4Пусть p\in(0,1). Обозначим через \{f_m(x)\}_{m=1}^{\infty} последовательность всех тригонометрических полиномов с рациональными коэффициентами. Применяя лемму 4, полагая в ее формулировке n_0=M_1=1, \epsilon=2^{-1} и f=f_1, можем определить полиномы
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, H_1^{(1)}(x)&=\sum_{k=M_1}^{M_2-1}a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx, \\ Q_1^{(1)}(x)&=\sum_{k=M_1}^{M_2-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx), \end{aligned} \\ \delta_k^{(1)}=\pm1,\qquad \forall\, k\in[M_1,M_2), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
удовлетворяющие условиям
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_T|f_1(x)-{Q_1^{(1)}}(x)|^p\, dx<2^{-1}, \\ \max_{m\in[ M_1,M_2)}\int_T|S_m(x, Q_1^{(1)})|^p\, dx<4\int_T|f_1(x)|^p\, dx, \\ \|H_1^{(1)}\|_1<2^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Снова применяя лемму 4, полагая в ее формулировке n_0=M_2, \varepsilon=\eta =2^{-1} и f=f_1-H_1^{(1)}, определим полиномы
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, H_1^{(2)}(x)&=\sum_{k=M_2}^{M_{3}-1}a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx, \\ Q_1^{(2)}(x)&=\sum_{k=M_2}^{M_{3}-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx), \end{aligned} \\ \delta_k^{(1)}=\pm1,\qquad \forall k\in[M_2,M_{3}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
удовлетворяющие условиям
\begin{equation*}
\int_T\bigl|[f_1(x)-H_1^{(1)}(x)]-{Q_1^{(2)}}(x)\bigr|^p\, dx<2^{-1},\qquad \|H_1^{(2)}\|_1<2^{-1}.
\end{equation*}
\notag
Продолжая эти рассуждения, определим по индукции последовательности полиномов \{H_n^{(1)}(x)\}_{n=1}^{\infty}, \{H_n^{(2)}(x)\}_{n=1}^{\infty}, \{Q_n^{(1)}(x)\}_{n=1}^{\infty}, \{Q_n^{(2)}(x)\}_{n=1}^{\infty} видов
\begin{equation}
H_n^{(1)}(x) =\sum_{k=M_{2n-1}}^{M_{2n}-1}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.1}
\begin{equation}
Q_n^{(1)}(x) =\sum_{k=M_{2n-1}}^{M_{2n}-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.2}
\begin{equation}
H_n^{(2)}(x) =\sum_{k=M_{2n}}^{M_{2n+1}-1}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.3}
\begin{equation}
Q_n^{(2)}(x) =\sum_{k=M_{2n}}^{M_{2n+1}-1}\delta_k^{(n)}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.4}
\begin{equation*}
\{M_j\}_{j=1}^{\infty}\nearrow \infty,\qquad \delta_k^{(n)}=\pm1,\qquad k\in[M_{2n-1},M_{2n+1}),
\end{equation*}
\notag
которые для каждого n\in\mathbb N удовлетворяют условиям
\begin{equation}
\max_{m\in[ M_{2n-1},M_{2n})}\int_T|S_m(x, Q_n^{(1)})|^p\, dx<4\int_T|f_n(x)|^p\, dx,
\end{equation}
\tag{5.6}
\begin{equation}
\int_T\biggl| f_n(x)-\sum_{j=1}^n(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x))\biggr|^p\, dx<2^{-n},
\end{equation}
\tag{5.7}
Определим функцию U(x) следующим образом:
\begin{equation}
U(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(H_n^{(1)}(x)+H_n^{(2)}(x)\bigr).
\end{equation}
\tag{5.9}
Поскольку (см. (5.8)) то согласно теореме Лебега ряд (5.9) сходится почти всюду и его сумма U\in L^{1}[-\pi,\pi]. Далее, определим последовательности чисел \{a_k, b_k\} следующим образом:
\begin{equation}
a_k=a_k^{(n)},\quad b_k=b_k^{(n)},\qquad k\in[M_{2n-1}, M_{2n+1}),\quad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.10}
и рассмотрим ряд В силу (5.1), (5.3), (5.8) и (5.9),
\begin{equation*}
\biggl\|U(x)-\sum_{k<M_{2n+1}}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr\|_1\leqslant\sum_{k=n+1}^{\infty}\sum_{j=1}^2\|H_k^{(j)}\|_1<2^{-n+1}.
\end{equation*}
\notag
Значит, некоторая подпоследовательность частичных сумм ряда (5.11) сходится к U по L^{1} норме. Отсюда следует, что ряд (5.11) является рядом Фурье функции U. Положим
\begin{equation}
\delta_k= \begin{cases} 1, &k\in[ M_{2n-1},M_{2n}), \\ \delta_k^{(n)}, &k\in[M_{2n},M_{2n+1}), \end{cases}\quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.12}
Покажем, что ряд универсален в пространстве L^p[-\pi,\pi] в обычном смысле. Пусть p\in(0,1), и пусть f\in L^p[-\pi,\pi]. Выберем подпоследовательность \{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} из последовательности \{f_m\}_{m=1}^{\infty} так, чтобы Полагая N_k=M_{2n_k+1}-1 (k\in\mathbb{N}), из (5.1)–(5.4), (5.12) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\delta_j(a_j\cos jx+b_j\sin jx)-f(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad=\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\bigl(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x)\bigr)-f(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant \int_T|f(x)-f_{n_k}(x)|^p\, dx+\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\bigl(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x)\bigr)-f_{n_k}(x)\biggr|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда заключаем (см. (5.7))
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\delta_j(a_j\cos jx+b_j\sin jx)-f(x)\biggr|^p\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
Значит, функция U универсальна для пространства L^p[-\pi,\pi] относительно тригонометрической системы в квазиобычном смысле. Теперь покажем, что функция U универсальна для класса L^p[-\pi,\pi], p\in(0,1) , относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Пусть f\in L^p[-\pi,\pi]. Без ограничения общности можем считать, что Из последовательности \{f_m\}_{m=1}^{\infty} выберем такую функцию f_{\nu_1}(x), что Отсюда и из (5.5), (5.8) вытекает \int_T|f_{\nu_1}|^p\, dx<2 и
\begin{equation*}
\int_T\biggl| f(x)-Q_{\nu_1}^{(1)}(x)-\sum_{n=1}^{\nu_1-1}\bigl(H_n^{(1)}(x) +H_n^{(2)}(x)\bigr)-H_{\nu_1}^{(2)}(x)\biggr|^p\, dx<4.
\end{equation*}
\notag
Предположим, что уже определены числа 0=\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_{q-1}, функции \{f_{\nu_j}\}_{j=1}^{q-1} и выбраны полиномы \{Q_{\nu_{s}}^{(1)}\}_{s=1}^{q-1} и \{H_{\nu_{s}}^{(1)}\}_{s=1}^{q-1} при всех s=1,\dots,q-1, удовлетворяющие условиям:
\begin{equation}
\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{s} \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) +Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-s+2}.
\end{equation}
\tag{5.15}
Из последовательности \{f_m\}_{m=1}^{\infty} выберем такую функцию f_{\nu_q} (\nu_q>\nu_{q-1}+1), чтобы
\begin{equation}
\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q-1}\biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1} \bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) + Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr) -f_{\nu_q}\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-q+3}.
\end{equation}
\tag{5.16}
Имеем (см. (5.15), (5.16)) и (см. (5.5), (5.8), (5.16))
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q} \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+ Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant\int_T\biggl| f-{\sum_{j=1}^{q-1}\biggl( \sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+ Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)-f_{\nu_q}}\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\int_T|Q_{\nu_q}^{(1)}-f_{\nu_q}|^p\, dx{+}\int_T\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q-1}\bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) +H_{\nu_q}^{(2)}\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-q+2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation}
\varepsilon_k= \begin{cases} \delta_k^{(\nu_q)}, &k\in{\displaystyle\bigcup_{q=1}^{\infty}[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}, \\ 1, &k\notin {\displaystyle\bigcup_{q=1}^{\infty}[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.17}
Покажем, что ряд сходится к функции f в L^p[-\pi,\pi]. В силу (5.1)–(5.3), (5.17), (5.18) при m\in[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q+1}) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_T\biggl|f(x)-\sum_{k=1}^{m}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q-1}\biggl( \sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\int_T\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q-1}\bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) \biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\max_{l\in[ M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}\int_T|S_{l}(x,Q_{\nu_q}^{(1)})|^p\, dx +\max_{l\in[ M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}\int_T|S_{l}(x, H_{\nu_q}^{(2)})|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда, из (3.9), (5.6), (5.8), (5.15) и того, что q\to\infty при m\to\infty, заключаем
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\int_T\biggl|f(x)-\sum_{k=1}^{m}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr|^p\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
Теорема 4 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriGal21}
Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|