| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Равномерная сходимость на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем А. Г. Качуровскийa, И. В. Подвигинa, А. Ж. Хакимбаевb a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050073 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1Пусть H – гильбертово пространство и U:H→H – унитарный оператор. Для каждого вектора f∈H и всех n,m∈Z таких, что n>m, рассмотрим эргодические средние Эргодическая теорема фон Неймана утверждает, что для каждого вектора f∈H существование предела по норме пространства H где P – ортогональный проектор на подпространство FU неподвижных векторов оператора U. Ясно, что I−P является ортогональным проектором на FU⊥, и для f∈FU⊥ предел f∗=0. Поскольку Pn,m=UmPn−m,0 и P=UmP, достаточно рассматривать однопараметрическое семейство усреднений Pn:=Pn,0.Пусть {E(λ)}λ∈(−π,π] – разложение единицы унитарного оператора U (см., например, [1; § 71]). Тогда для любых векторов f,g∈H справедливо представление для всех k∈Z, и можно ввести спектральные меры σf,g – такие конечные борелевские меры на (−π,π], что для всех борелевских множеств C⊆(−π,π] обозначим σf=σf,f. Рассмотрим ядра Фейера отметим хорошо известные (см., например, [2; § 47]) неравенства
\begin{equation}
\frac{1}{n}\Phi_n(x) \leqslant\frac{\pi^2}{n^2 x^2} \qquad \text{для}\quad \frac{\pi}{n}\leqslant |x|\leqslant\pi,
\end{equation}
\tag{1.1}
\begin{equation}
\frac{1}{n}\Phi_n(x) \leqslant 1 \qquad\text{для}\quad |x|\leqslant\pi.
\end{equation}
\tag{1.2}
При всех целых n\geqslant1 справедливо интегральное представление (см., например, [3; теорема 18.2.1])
\begin{equation}
\|P_{n} f\|_{\mathcal{H}}^2=\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{n}\Phi_{n}(\lambda) \, d\sigma_f(\lambda).
\end{equation}
\tag{1.3}
1.2В работе [4] Бен-Арци и Морисс обнаружили существование (степенной) равномерной сходимости на некоторых специальных подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем. А именно, для некоторого банахова пространства \mathcal{X}, плотно и непрерывно вложенного в \mathcal{H}, была получена степенная оценка операторной нормы \|P_{t,-t}-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}. Пространство \mathcal{X} описывалось в терминах асимптотического поведения плотности спектральной меры его элементов. В недавней работе [5], мотивированной [4], были получены критерии такой равномерной степенной сходимости на векторных подпространствах со своими нормами, и дано полное описание всех таких подпространств для всех возможных показателей степени. Цель нашей заметки, следуя [5], получить аналогичные критерии равномерной степенной сходимости на подпространствах уже в случае дискретного времени, и также дать полное описание всех таких подпространств. Как и в непрерывном случае, одинаковая степенная особенность спектральной меры \sigma_f в нуле элементов f некоторого подпространства определяет равномерную сходимость эргодических средних на этом подпространстве. Свойства спектральной меры (в том числе и особенность в нуле) определяются поведением ее коэффициентов Фурье, т.е. (U^kf,f). В контексте унитарных операторов Купмана для разных динамических систем оценке асимптотики этих коэффициентов посвящено много работ (см., например, обзор [6] по скоростям сходимости в эргодических теоремах); возникают такие оценки, например, и в задаче о простом лебеговском спектре [7]–[9]. Отметим, что, используя вложение унитарного оператора в унитарную группу, можно связать исследуемые свойства унитарной группы и унитарного оператора. Подробнее это обстоятельство обсуждается в конце статьи. Перечислим коротко полученные результаты. В теореме 1 мы даем спектральный критерий равномерной степенной сходимости с показателем \alpha\in [0,2) на одномерных подпространствах в \mathcal{H}. Как известно (замечание 2), степенная скорость сходимости с показателем \alpha=2 является максимально возможной для рассматриваемой эргодической теоремы фон Неймана; теорема 2 дает спектральный же (в несколько других терминах) критерий наличия такой максимальной скорости на одномерных подпространствах. Попутно теоремы 1 и 2 обобщают и уточняют оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана для сохраняющих меру отображений, полученные ранее в [10], [11]. Далее в теоремах 3 и 4 мы переносим критерии теорем 1 и 2 на общий случай многомерных векторных подпространств в \mathcal{H} со своими нормами. Удалось также получить (теорема 5) полное описание всех таких многомерных (нормированных, со своими нормами) подпространств с равномерной степенной со всеми возможными показателями \alpha\in [0,2] сходимостью. Рассматриваемая равномерная сходимость на всем пространстве \mathcal{H} имеет место лишь в случае спектрального пробела (замечание 5) – что, например, в теореме фон Неймана для сохраняющих меру отображений равносильно (замечание 6) периодичности отображения, т.е. бывает лишь в тривиальных случаях; уже этим объясняется наш интерес к равномерной сходимости именно на подпространствах в \mathcal{H} со своими нормами. 2. Одномерные подпространства с равномерной степенной сходимостью2.1Полное описание всех одномерных подпространств с равномерной степенной (с показателями меньше 2) сходимостью фактически было дано в [10], [11], где рассматривались эргодические средние полугрупп изометрических операторов \{U^n\}_{n\geqslant 0} в L_2(\Omega), порожденных эндоморфизмами вероятностного пространства \Omega (т.е. обычная эргодическая теорема фон Неймана для сохраняющих меру отображений). Поскольку представление (1.3) справедливо и для тех эргодических средних (подробности см., например, в [10], [11]), а константы наших оценок обеих частей теоремы 1 ниже точнее соответствующих им констант из [10], [11], то доказательство теоремы 1 немедленно дает и уточнение тех старых оценок. Основное уточнение получилось за счет другого подхода к доказательству леммы 1 ниже. В [10], [11] для оценки интеграла от ядра Фейера по спектральной мере использовалось разложение его в ряд (следуя подходу из [12]). Мы здесь применяем для оценки этого интеграла оказавшийся здесь более подходящим метод интегрирования по частям, предложенный Гапошкиным в [13]. Отметим также, что, поскольку представление (1.3) справедливо и для (рассматривавшихся в [13]) средних стационарных в широком смысле процессов – см., например, [3; теорема 18.2.1], то наша теорема 1 имеет точный аналог и для тех стохастических процессов. Далее нам потребуются следующие две технические леммы, уточняющие соответствующие им леммы 1 и 2 из [10], [11]. Доказательство. Для всех целых n\geqslant1 по представлению (1.3) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2&=\int_{(-\pi/ n,\pi/ n]} \frac{1}{n}\Phi_{n}(x) \, d\sigma_{f}(x) +\int_{(-\pi,-\pi/ n]}\frac{1}{n}\Phi_{n}(x) \, d\sigma_{f}(x) \\ &\qquad+\int_{(\pi/ n,\pi]}\frac{1}{n}\Phi_{n}(x) \, d\sigma_{f}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть G(x)=\sigma_{f}(-\pi,x]; ясно, что G(x) – монотонная функция. Поскольку \sigma_{f} является конечной борелевской мерой, то G(x) будет функцией ограниченной вариации на (-\pi,\pi]. Таким образом, наряду с интегралом Лебега–Стилтьеса можно рассмотреть интеграл Римана–Стилтьеса по функции G(x). Если h(x) непрерывная на [a,b] функция, то для нее существует интеграл Римана–Стилтьеса, и его значение совпадает с интегралом Лебега–Стилтьеса: Теперь, если h(x) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на [a,b], то
\begin{equation*}
\int_{[a,b]} h(x)\,dG(x)=h(b)G(b)-h(a)G(a)-\int_{[a,b]}G(x)\,dh(x).
\end{equation*}
\notag
Это аналог формулы интегрирования по частям для интеграла Римана–Стилтьеса (см. [14; теорема 6.30]; а также [15; гл. II, § 6, теорема 11]). Поскольку функция G непрерывна справа, то последняя формула справедлива и для полуинтервалов (a,b]. С учетом неравенств (1.1) и (1.2) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2 &\leqslant\int_{(-\pi/n,\pi/n]}\,dG(x)+ \frac{\pi^2}{n^2}\int_{(-\pi,-\pi/n]}x^{-2} \, dG(x)+ \frac{\pi^2}{n^2}\int_{(\pi/ n,\pi]}x^{-2}\, dG(x) \\ &=G\biggl(\frac{\pi}{n}\biggr)-G\biggl(\frac{-\pi}{n}\biggr)+ \frac{\pi^2}{n^2}\biggl(\frac{G(x)}{x^{2}}\bigg|_{-\pi}^{-\pi/n} +2 \int_{-\pi}^{-\pi/n}x^{-3}G(x)\, dx\biggr) \\ &\qquad+\frac{\pi^2}{n^2} \biggl(\frac{G(x)}{x^{2}}\bigg|_{\pi/ n}^{\pi}+ 2 \int_{\pi/n}^{\pi} x^{-3}G(x) \, dx\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Вычисляя значения, делая замену y=-x в интеграле \int_{-\pi}^{-\pi/ n}x^{-3}G(x)\,dx и учитывая равенство G(x)-G(-x)=\sigma_{f}(-x,x], в итоге получаем требуемую оценку: Доказательство. Обозначим I=(-a/t,a/t]. Используя представление (1.3) и неравенства
\begin{equation*}
1>\frac{\sin x}{x}\geqslant\frac{\sin y}{y} \qquad\text{при}\quad 0<|x|\leqslant|y|\leqslant\pi,
\end{equation*}
\notag
получаем:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{[t]}f\|_{\mathcal{H}}^2&=\int_{(-\pi ,\pi]}{1/[t]} \Phi_{[t]}(\lambda)\,d\sigma_{f}(\lambda)\geqslant \int_I\frac{\Phi_{[t]}(\lambda)}{[t] }\,d\sigma_{f}(\lambda) \\ &= \int_I\biggl(\frac{\sin([t]\lambda/2)} {[t]\sin(\lambda/2)}\biggr)^2\, d\sigma_{f}(\lambda)\geqslant\int_I\biggl(\frac{\sin([t]\lambda/2)} {[t]\lambda/2}\biggr)^2\, d\sigma_{f}(\lambda) \\ &\geqslant\int_I\biggl(\frac{\sin(t\lambda/2)}{t\lambda/2}\biggr)^2\, d\sigma_{f}(\lambda)\geqslant\min_{|\lambda| \leqslant {a/ t}} \biggl(\frac{\sin(t\lambda/2)}{t\lambda/ 2}\biggr)^2\sigma_{f}(I) \\ &=\min_{|x| \leqslant a}\biggl(\frac{\sin(x/ 2)}{x/2}\biggr)^2 \sigma_{f}(I)=\biggl(\frac{\sin(a/2)}{a/2}\biggr)^2 \sigma_{f}\biggl(-\frac{a}{t},\frac{a}{t}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
2.2. Спектральные критерии степенной сходимостиДля \alpha\in[0,2] положим Нетрудно убедиться, что \rho(0)=\rho(2)=1. Для \alpha\in(0,2) инфимум достигается на первом положительном решении уравнения \operatorname{tg} x=2x/(2-\alpha). Этот корень не превосходит \pi/2, поэтому \rho(\alpha)\leqslant(\pi/2)^{2-\alpha} при всех \alpha\in[0,2]. Эта оценка является хорошим приближением \rho(\alpha) при \alpha близких к 2. Можно также легко проверить, что 1\leqslant\rho(\alpha)\leqslant\sin^{-2}(1); при этом значение \sin^{-2}(1) достигается при \alpha=2(1- \operatorname{ctg} (1)).В следующих теоремах 1 и 2 мы приводим спектральные критерии степенной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана. Рассмотрим сначала случай показателя \alpha\in[0,2), который ранее был разобран в [12] (см. также [10], [11]); здесь мы попутно уточняем все ранее полученные константы. Теорема 1. Пусть \alpha \in [0,2); зафиксируем f\in{\mathcal{F}_U}^\perp. Тогда
Доказательство. Воспользуемся леммой 1 для доказательства первой части теоремы:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2 &\leqslant\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi}x^{-3}\sigma_{f}(-x,x] \, dx+ \frac{1}{n^2}\|f\|_{\mathcal{H}}^2\leqslant A\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi} x^{\alpha-3}\, dx+A\frac{\pi^\alpha}{n^2} \\ &=A\frac{2\pi^2}{n^2}\,\frac{1}{\alpha-2} x^{\alpha-2}\bigg|_{\pi / n}^{\pi}+A\frac{\pi^\alpha}{n^2}= A \frac{2}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}- A \frac{\alpha}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для доказательства второй части теоремы воспользуемся леммой 2. Представляя произвольное \delta\in (0,\pi] в виде \delta=a/t при t\geqslant 1 и a\in(0,\pi], получаем:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_{f}(-\delta,\delta]&=\sigma_{f}\biggl(-\frac{a}{t}, \frac{a}{t}\biggr]\leqslant \biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2 \|P_{[t]} f\|_{\mathcal{H}}^2 \leqslant\biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2B[t]^{-\alpha} \\ &\leqslant\biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2B \frac{2^\alpha}{t^\alpha} =\biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2 2^\alpha a^{-\alpha} B \delta^\alpha=\frac{(a/2)^{2-\alpha}}{\sin^2(a/2)}B\delta^\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Минимизация константы в последнем выражении по a\in(0,\pi] приводит к требуемому неравенству, что и завершает доказательство теоремы 1. Как уже отмечалось, константы оценок обеих частей теоремы 1, точнее констант соответствующих им оценок из [10], [11]: константа оценки первой части лучше за счет интегрирования по частям (вместо разложения в ряд) при подсчете интеграла от ядра Фейера при нашем доказательстве леммы 1; константа оценки второй части теоремы получилась точнее за счет того, что наше доказательство использует незамеченную в [11] возможность дополнительной оптимизации, а в [10] еще стояла грубая первоначальная оценка \rho(\alpha)\leqslant(\pi/2)^{2-\alpha}. Разумеется, аналоги спектрального критерия степенной скорости сходимости теоремы 1 могут быть получены и для более широкого диапазона скоростей. Следующий диапазон был предложен Гапошкиным в [13]. Замечание 1. Пусть \alpha\in[0,2), и функция \varphi (u) – слабо колеблющаяся на [1,\infty), т.е. для любого \delta >0 функция \varphi (u)u^\delta монотонно возрастает, а функция \varphi (u)u^{-\delta } монотонно убывает. Тогда аналог утверждения теоремы 1 может быть получен и для всех скоростей сходимости вида n^{-\alpha}\varphi(n) (утверждение теоремы 1 соответствует случаю \varphi(n)\equiv 1; при \alpha=0 и \varphi(n)=\ln^\beta n, \beta \geqslant 0 получаем аналог этого утверждения для логарифмических скоростей; рассматриваемый диапазон скоростей включает и все скорости вида n^{-\alpha}\ln^\beta n для всех \alpha\in(0,2) при всех \beta). Доказательства аналогов теоремы 1 для указанных выше скоростей могут быть получены так же, как и утверждения теоремы 1, конкретизацией оценок лемм 1 и 2 для каждой из этих скоростей, поэтому мы и сформулировали эти утверждения в виде двух отдельных лемм (вынеся их из доказательства теоремы 1). Нас же в этой работе интересуют исключительно степенные скорости. Следующий спектральный критерий степенной с показателем \alpha=2 скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана был получен Робинсоном в [16]. Мы приводим здесь это утверждение в нужной нам форме, выписав в явном виде соотношения между возникающими константами. Теорема 2 (Робинсон [16]). Зафиксируем f \in{\mathcal{F}_U}^\perp. Тогда
2.3. О максимально возможной скорости сходимостиКак показывает следующее замечание, скорость сходимости O(n^{-2}) при n\to \infty является максимально возможной в рассматриваемой эргодической теореме фон Неймана. Замечание 2 (Батзер, Вестфал [17]; Гапошкин [18]; Седалищев [19]). Cтепенной скорости сходимости с показателем \alpha>2 не бывает; более того, скорость сходимости o(n^{-2}) при n\to \infty бывает только в вырожденном случае f=f^*. Таким образом, теорема 2 дает спектральный критерий максимальной скорости сходимости; известен также критерий в терминах когомологичности нулю усредняемой функции f. Замечание 3 (Браудер [20]; Батзер, Вестфал [17]). Максимально возможная скорость сходимости имеет место тогда и только тогда, когда для некоторых g_1,g_2\in\mathcal{H} при Ug_2=g_2.Посмотрим, что можно получить при \alpha=2 в условиях теоремы 1. Аналог утверждения 2 теоремы 1 справедлив и в этом случае: доказательство проходит без изменений. А вот аналог утверждения 1 этой теоремы не имеет места, ни с какими константами: условие \sigma_{f}(-\delta,\delta]=O(\delta^2) при \delta\to 0 не является, вообще говоря, достаточным для выполнения соотношения \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2= O(n^{-2}) при n\to\infty (см. замечание 2 к теореме 3 в [12]). Тем не менее, справедлив следующий ослабленный вариант этого соотношения. Предложение 1. Пусть f\in{\mathcal{F}_U}^\perp и \alpha=2. Если существует положительная константа A такая, что для всех \delta\in(0,\pi] выполняется неравенство то для всех целых n\geqslant1 Доказательство. Учитывая оценку \|f\|^2_{\mathcal{H}}=\sigma_{f}(-\pi,\pi]\leqslant A\pi^2, по лемме 1 получаем Рассмотрим теперь случай \alpha>2 в условиях теоремы 1. Следующее предложение 2 в качестве аналога утверждения 1 теоремы 1 для случая \alpha>2 дает еще один достаточный признак максимальной скорости сходимости. Предложение 2. Пусть f\in{\mathcal{F}_U}^\perp и \alpha>2. Если существует положительная константа A такая, что для всех \delta\in(0,\pi] выполняется неравенство то для всех целых n\geqslant1 Доказательство. По лемме 1 получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n} f\|_{\mathcal{H}}^2 &\leqslant\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi}x^{-3}\sigma_{f}(-x,x] \, dx+ \frac{1}{n^2}\|f\|_{\mathcal{H}}^2\leqslant A\frac{2\pi^2}{n^2}\int_{\pi/ n}^{\pi} x^{\alpha-3} \, dx+ A \frac{\pi^\alpha}{n^2} \\ &=A \frac{2\pi^2}{n^2}\,\frac{1}{\alpha-2} x^{\alpha-2}\bigg|_{\pi / n}^{\pi}+A \frac{\pi^\alpha}{n^2}= A \frac{\alpha}{\alpha-2}\,\frac{\pi^\alpha}{n^2}- A \frac{2}{\alpha-2}\,\frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
3. Общий многомерный случай3.1. Степенные равномерные сходимости на подпространствахСледующая теорема является следствием (естественной переформулировкой на общий многомерный случай) теоремы 1. Теорема 3. Пусть \alpha\in[0,2), \mathcal{H} – гильбертово пространство, \mathcal{X}\subseteq \mathcal{H} – его векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}. Тогда
Доказательство. Из первой части теоремы 1 следует, что
\begin{equation*}
\|(P_{n}-P)f\|^2_{\mathcal{H}} \leqslant A\frac{2}{2-\alpha}\, \frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}\|f\|^2_{\mathcal{X}}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому для всех n\geqslant1
\begin{equation*}
\sup_{f \in \mathcal{X}\colon f \ne 0} \frac{\|(P_{n}-P)f\|^2_{\mathcal{H}}}{\|f\|^2_{\mathcal{X}}} \leqslant A \frac{2}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}.
\end{equation*}
\notag
Докажем вторую часть теоремы. Из равномерной сходимости эргодических средних мы получаем, что для всех f \in \mathcal{X}, при всех n\geqslant1
\begin{equation*}
\frac{\|(P_{n}-P)f\|^2_{\mathcal{H}}}{\|f\|^2_{\mathcal{X}}} \leqslant B n^{-\alpha}.
\end{equation*}
\notag
Тогда из второй части теоремы 1 следует, что для всех \delta\in(0,\pi] что и требовалось доказать. Переформулируем на многомерный случай утверждения предложений 1 и 2, т.е. посмотрим, что можно получить в условиях теоремы 3 при \alpha \geqslant 2. Предложение 3. Пусть \alpha \geqslant 2, \mathcal{H} – гильбертово пространство, \mathcal{X} \subseteq \mathcal{H} – его векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}. Если существует положительная константа A такая, что для всех f \in \mathcal{X}, при всех \delta\in(0,\pi] выполняется неравенство
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant A \|f\|^2_{\mathcal{X}}\delta^\alpha,
\end{equation*}
\notag
то имеет место равномерная сходимость на пространстве \mathcal{X} в теореме фон Неймана: Доказательство проводится аналогично доказательству первой части теоремы 3 c пользованием предложений 1 и 2, соответственно. Переформулируем теперь на многомерный случай теорему 2, т.е. дадим критерий наличия степенной с показателем \alpha=2 (максимально возможной скорости – по замечанию 2) равномерной сходимости на подпространствах. Теорема 4. Пусть \mathcal{H} – гильбертово пространство, \mathcal{X} \subseteq \mathcal{H} – его векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}. Тогда
3.2. Пространства \mathcal{X}_\alpha и \mathcal{Y}Рассмотрим аналоги для случая дискретного времени введенных в [5] пространств. Для любого \alpha>0 обозначим через \mathcal{X}_\alpha множество всех f\in\mathcal{H}, у которых спектральная мера \sigma_f имеет степенную с показателем \alpha>0 особенность в нуле, т.е.
\begin{equation*}
\mathcal{X}_\alpha=\bigl\{f\in \mathcal{H}\mid \exists\, A>0\ \forall\, \delta\in(0,\pi]\ \sigma_{f}(-\delta,\delta] \leqslant A\delta^\alpha\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Нетрудно убедиться, что локальная степенная оценка на спектральную меру эквивалентна глобальной степенной оценке. Лемма 3 [5]. Пусть \alpha>0 и f\in \mathcal{H}. Тогда следующие условия эквиваленты: При переходе от (2) к (1) можно положить A=\max\{A_r,\|f\|^2_{\mathcal{H}}/r^\alpha\}. Множества \mathcal{X}_\alpha образуют убывающую по включению цепь, а именно \mathcal{X}_{\alpha_1}\subseteq\mathcal{X}_{\alpha_2} при \alpha_1>\alpha_2. Кроме того, справедливо следующее предложение. Предложение 4 [5]. \mathcal{X}_\alpha образует векторное подпространство в \mathcal{H}, ортогональное подпространству неподвижных векторов оператора U, в котором можно ввести норму Определяя \mathcal{X}_0 аналогично \mathcal{X}_\alpha, т.е. при \alpha=0; нетрудно видеть, что тогда \mathcal{X}_0=\mathcal{H} и \|\cdot\|_{\mathcal{X}_0}=\|\cdot\|_{\mathcal{H}}. Рассмотрим еще одно подпространство \mathcal{Y}, определенное следующим образом:
\begin{equation*}
\mathcal{Y}=\biggl\{f\in \mathcal{H}\biggm|\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_f(x)<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Норму в нем определим равенством
\begin{equation*}
\|f\|_\mathcal{Y}^2=\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_f(x).
\end{equation*}
\notag
Нетрудно проверить, что все свойства нормы выполняются. Кроме того, \mathcal{Y} (как и \mathcal{X}_\alpha при \alpha>0) ортогонально подпространству неподвижных векторов оператора U. 3.3. Характеризация подпространств со степенной равномерной сходимостьюС помощью подпространств \mathcal{X}_\alpha, \alpha\in[0,2) и \mathcal{Y} можно описать все вложенные в \mathcal{H} нормированные пространства, на которых имеется равномерная степенная сходимость в теореме фон Неймана. Напомним, что (замечание 2) такой скорости сходимости с показателем степени больше 2 не бывает. Теорема 5. Пусть \alpha \in [0,2], \mathcal{X} \subseteq \mathcal{H} – его векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}. На пространстве \mathcal{X} будет равномерная степенная с показателем \alpha сходимость в теореме фон Неймана тогда и только тогда, когда оператор I-P является непрерывным отображением \mathcal{X} в \mathcal{X}_\alpha в случае \alpha\in[0,2), и, соответственно, непрерывным отображением \mathcal{X} в \mathcal{Y} при \alpha=2. Доказательство. Пусть существует положительная константа B такая, что для всех n\geqslant1 выполняется неравенство \|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X} \to\mathcal{H}} \leqslant Bn^{-\alpha}.
Из доказательства второго утверждения теоремы 3 следует, что при \alpha\in[0,2) (и при \alpha=2) для всех f\in \mathcal{X} спектральная мера вектора f-f^*=(I-P)f имеет степенную с показателем \alpha особенность, а именно, для всех \delta\in (0,\pi]
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant B \rho(\alpha)\|f\|^2_{\mathcal{X}}\delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, (I-P)f\in\mathcal{X}_\alpha и \|(I-P)f\|^2_{\mathcal{X}_\alpha}\leqslant B \rho(\alpha) \|f\|^2_{\mathcal{X}} для всех f\in \mathcal{X}, что и требовалось доказать.
Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть (I-P)\mathcal{X}\subseteq\mathcal{X}_\alpha и существует положительная константа A такая, что \|I-P\|^2_{\mathcal{X}\to\mathcal{X}_\alpha}\leqslant A. Тогда для любого \delta\in (0,\pi] получим
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant \|(I-P)f\|^2_{\mathcal{X}_\alpha}\delta^\alpha\leqslant A\|f\|^2_\mathcal{X}\delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
Первое утверждение теоремы 3 тогда даст требуемую оценку
\begin{equation*}
\|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}\leqslant A \frac{2}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^{-\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
Пусть теперь \alpha=2 и существует константа B>0 такая, что для всех n\geqslant1 выполняется неравенство \|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X} \to \mathcal{H}} \leqslant Bn^{-2}. Из второго утверждения теоремы 2 следует, что для всех f\in \mathcal{X}
\begin{equation*}
\int_{(-\pi,\pi]}\frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \leqslant 2B\|f\|^2_{\mathcal{X}}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, (I-P)f\in\mathcal{Y} и \|(I-P)f\|^2_{\mathcal{Y}}\leqslant 2B \|f\|^2_{\mathcal{X}} для всех f\in \mathcal{X}, что и требовалось доказать. В обратную сторону: пусть (I-P)\mathcal{X}\subseteq\mathcal{Y} и существует положительная константа A такая, что \|I-P\|^2_{\mathcal{X}\to\mathcal{Y}}\leqslant A. Тогда для любого \delta\in (0,\pi]
\begin{equation*}
\int_{(-\pi,\pi]}\frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \leqslant A \|f\|^2_{\mathcal{X}},
\end{equation*}
\notag
и по первому утверждению теоремы 2 для всех n\geqslant1 Замечание 4 (Лин [21]). Равномерная сходимость в теореме фон Неймана на всем пространстве \mathcal{H} имеет место тогда и только тогда, когда образ \mathcal{R}(I-U) оператора I-U будет замкнутым. При этом \mathcal{H}=\mathcal{R}(I-U)\oplus\mathcal{F}_U и сужение S оператора I-U на \mathcal{R}(I-U) будет обратимым, и \|S^{-1}\|<\infty. Поэтому в рассматриваемом случае скорость сходимости будет максимально возможной. А именно, для любого вектора f\in\mathcal{H}, поскольку (I-P)f\in\mathcal{R}(I-U)=\mathcal{R}(S), при всех n\geqslant1 будет
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f-Pf\|_{\mathcal{H}}&=\frac{1}{n}\biggl\|\,\sum_{k=0}^{n-1} U^k(I-P)f\biggr\|_{\mathcal{H}}= \frac{1}{n}\|(U^{n}-I)S^{-1}(I-P)f\|_{\mathcal{H}} \\ &\leqslant\frac{2}{n}\|S^{-1}\|\, \|(I-P)f\|_{\mathcal{H}}\leqslant \frac{2\|S^{-1}\|\,\|f\|_{\mathcal{H}}}{n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Этот критерий можно переформулировать в терминах наличия спектрального пробела (“spectral gap”); см. также обсуждение для операторов с ограниченными степенями в [22; теорема 1.1.34]. Замечание 5. Равномерная сходимость в теореме фон Неймана на всем пространстве \mathcal{H} имеет место тогда и только тогда, когда существует \gamma>0 такое, что во множестве \{|z|=1\colon |\arg z|<\gamma\}\setminus\{1\} нет точек спектра оператора U. Действительно, если сходимость равномерная на всем пространстве, то по предыдущему замечанию спектр оператора U состоит из спектра сужения U|_{(I-U)\mathcal{H}} и точки 1 (если \mathcal{F}_U\ne\{0\}). Поскольку для оператора U|_{(I-U)\mathcal{H}} точка 1 является регулярным значением (ввиду того, что \mathcal{R}(S)=\mathcal{R}(I-U) и \|S^{-1}\|<\infty), а множество регулярных значений ограниченного оператора открыто, то на единичной окружности найдется проколотая окрестность точки 1, содержащая только регулярные значения U. Обратно, если есть такое \gamma>0, то, используя представление (1.3), получим для каждого вектора f\in\mathcal{H} при всех n\geqslant1 оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f-Pf\|^2_{\mathcal{H}}&=\frac{1}{n^2} \int_{(-\pi,\pi]\setminus\{0\}}\frac{\sin^2(nx/2)}{\sin^2(x/2)}\, d\sigma_f(x) \\ &=\frac{1}{n^2}\int_{(-\pi,\pi]\setminus(-\gamma,\gamma)} \frac{\sin^2(nx/2)}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_f(x)\leqslant \frac{\|f\|^2_{\mathcal{H}}}{n^2\sin^2(\gamma/2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Замечание 6. Равномерная сходимость в теореме фон Неймана для оператора Купмана U_{T}, порожденного автоморфизмом T пространства Лебега (\Omega,\mu) с неатомической мерой \mu, на всем пространстве L_2(\Omega,\mu) имеет место тогда и только тогда, когда T – периодический; обсуждение этого вопроса можно найти в [23]. 3.4. Локальные оценки спектральной меры и скорости сходимости\mspace{-1mu} Как уже упоминалось во введении, недавно в [4] были получены оценки скоростей сходимости на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем (с приложениями к получению оценок убывания временных средних решений уравнения Шрёдингера, и линейных волновых уравнений) – по оценкам спектральной меры в фиксированной окрестности нуля. Лемма 3 позволяет перенести наши результаты на аналогичный случай локальных оценок для дискретного времени. Из следующей теоремы 6 получаются точные локальные аналоги теоремы 3 и предложения 3. Теорема 6. Пусть \alpha \geqslant 0, \mathcal{H} – гильбертово пространство, \mathcal{X} \subseteq \mathcal{H} – его векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}, которое непрерывно в него вложено, т.е. без ограничения общности считаем \|\cdot\|_{\mathcal{H}} \leqslant \|\cdot\|_\mathcal{X}. Если для некоторого r \in (0,\pi] существует положительная константа A такая, что для всех f \in \mathcal{X} при всех \delta \in (0,r) выполняется неравенство
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant A\|f\|^2_{\mathcal{X}}\delta^\alpha,
\end{equation*}
\notag
то имеет место степенная равномерная сходимость на пространстве \mathcal{X} в теореме фон Неймана: при B=\max\{A,1/r^\alpha\} для всех целых n\geqslant1 Доказательство. Из леммы 3 следует, что для всех \delta\in (0,\pi]
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant \max\biggl\{A\|f\|^2_\mathcal{X}, \frac{\|f\|^2_{\mathcal{H}}}{r^\alpha}\biggr\} \delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
По условию, \mathcal{X} непрерывно вложено в \mathcal{H}; следовательно,
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant \max\biggl\{A,\frac{1}{r^\alpha}\biggr\}\|f\|^2_\mathcal{X} \delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
Доказываемые утверждения немедленно следуют отсюда из первой части теоремы 3 (для \alpha \in [0,2)), и предложения 3 (для \alpha\geqslant 2). Следующая теорема позволяет дать точный локальный аналог спектрального критерия максимальной скорости сходимости – теоремы 4. Теорема 7. Пусть \mathcal{H} – гильбертово пространство, \mathcal{X} \subseteq \mathcal{H} – его векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}, которое непрерывно в него вложено, т.е. без ограничения общности считаем \|\cdot\|_{\mathcal{H}} \leqslant \|\cdot\|_\mathcal{X}. Если для некоторого r \in (0,\pi] существует положительная константа A такая, что для всех f \in \mathcal{X}
\begin{equation*}
\int_{(-r,r]}\frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x)\leqslant A\|f\|^2_{\mathcal{X}},
\end{equation*}
\notag
то имеет место степенная с показателем 2 равномерная сходимость на пространстве \mathcal{X} в теореме фон Неймана: при всех целых n\geqslant1
\begin{equation*}
\|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X} \to \mathcal{H}} \leqslant Bn^{-2},
\end{equation*}
\notag
где можно положить B=(A+1/\sin^2(r/2)). Доказательство. По интегральному представлению (1.3) при всех n\geqslant1
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|P_{n}f-Pf\|_{\mathcal{H}}^2=\int_{(-\pi,\pi]} \biggl(\frac{\sin(nx/2)}{n\sin(x/2)}\biggr)^2\, d\sigma_{(I-P)f}(x) \leqslant \frac{1}{n^{2}}\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \\ &\qquad=\frac{1}{n^{2}}\int_{(-r,r]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) +\frac{1}{n^{2}}\int_{(-\pi,-r]\cup(r,\pi)} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \\ &\qquad\leqslant\frac{1}{n^{2}}\biggl(A\|f\|^2_\mathcal{X}+ \frac{\|f\|^2_{\mathcal{H}}}{\sin^2(r/2)}\biggr) \leqslant\frac{\|f\|^2_\mathcal{X}}{n^{2}} \biggl(A+\frac{1}{\sin^2(r/2)}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
что и требовалось. Замечание 7. В теоремах 6 и 7 вместо условия непрерывного вложения \mathcal{X} в \mathcal{H} достаточно требовать условия \|I-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty. Последнее эквивалентно следующему необходимому условию равномерной сходимости, а именно \|U^m-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty для любого m\in\mathbb{Z}. Действительно, начиная с некоторого номера n_0\in\mathbb{N} будут конечны операторные нормы: \sup_{n\geqslant n_0} \|P_n-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=c<\infty. Тогда для таких номеров получим
\begin{equation*}
\|U^n-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=\|(n+1)(P_{n+1}-P)- n(P_n-P)\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}\leqslant(2n+1)c<\infty.
\end{equation*}
\notag
Откуда для любого m\in\mathbb{Z} ввиду унитарности U и равенства UP=P имеем
\begin{equation*}
\|U^m-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=\|U^{n_0-m}U^m- U^{n_0-m}P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}= \|U^{n_0}-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty.
\end{equation*}
\notag
4. О связи с однопараметрическими группами унитарных операторов4.1Пусть оператор U вкладывается в группу унитарных операторов \{\mathcal{U}^t\}_{t\in\mathbb{R}}, т.е. \mathcal{U}^1=U. Известно, что каждый унитарный оператор может быть вложен в унитарную группу (см., например, [24]). При этом таких групп может быть континуальное множество (в контексте эргодической теории см., например, [25]). Предположим, что на некотором подпространстве \mathcal{X}\subseteq\mathcal{H} имеет место равномерная сходимость в теореме фон Неймана для группы \{\mathcal{U}^t\}_{t\in\mathbb{R}}, т.е. \|\mathcal{P}_t-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=o(1) при t\to\infty, где
\begin{equation*}
\mathcal{P}_tf=\frac{1}{t}\int_0^t\mathcal{U}^sf\,ds,\qquad f\in\mathcal{H},
\end{equation*}
\notag
и \mathcal{P} – ортопроектор на подпространство неподвижных векторов группы. При этом, если \|I-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty, то из равномерной сходимости вдоль натуральных моментов времени следует равномерная сходимость вдоль вещественных моментов времени. Действительно, для всех t>0 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{P}_tf-\mathcal{P}_{[t]}f\|_{\mathcal{H}}&= \|\mathcal{P}_t(f-\mathcal{P}f)-\mathcal{P}_{[t]} (f-\mathcal{P}f))\|_{\mathcal{H}} \\ &\leqslant\biggl|\frac{1}{t}-\frac{1}{[t]}\biggr|\, \biggl\|\int_0^{[t]}\mathcal{U}^s(f-\mathcal{P}f)\, ds\biggr\|_{\mathcal{H}}+\frac{1}{t}\biggl\|\int_{[t]}^t \mathcal{U}^s(f-\mathcal{P}f)\,ds\biggr\|_{\mathcal{H}} \\ &\leqslant\frac{2\{t\}}{t}\|f-\mathcal{P}f\|_{\mathcal{H}}\leqslant \frac{2\|I-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}} \|f\|_{\mathcal{X}}}{t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Рассматривая усреднения для натуральных моментов времени, получаем связь с усреднением для оператора U, а именно \mathcal{P}_n=P_n\mathcal{P}_1. Для ортопроекторов также будет \mathcal{P}=P\mathcal{P}_1. Если \mathcal{P}_1\colon\mathcal{X}\to\mathcal{P}_1(\mathcal{X}) будет обратим, то на линейном пространстве \mathcal{P}_1(\mathcal{X}) можно определить норму \|\mathcal{P}_1f\|_{\mathcal{P}_1(\mathcal{X})}= \|f\|_{\mathcal{X}}. Поэтому оператор \mathcal{P}_1 будет изометрией, и мы получим равномерную сходимость для дискретного усреднения, а именно при n\to\infty
\begin{equation*}
\|P_n-P\|_{\mathcal{P}_1(\mathcal{X})\to\mathcal{H}}= \|(P_n-P)\mathcal{P}_1\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}= \|\mathcal{P}_n-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=o(1).
\end{equation*}
\notag
Пусть \widetilde{\sigma}_f – спектральная мера f\in\mathcal{H} относительно потока \mathcal{U}^t. Опишем ее связь с \sigma_f: для любого n\in\mathbb{N}
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{(-\pi,\pi]}e^{in\lambda}\,d\sigma_f(\lambda)&= (U^nf,f)=(\mathcal{U}^nf,f)= \int_\mathbb{R}e^{int}\,d\widetilde{\sigma}_f(t) \\ &=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{(-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k]} e^{int}\,d\widetilde{\sigma}_f(t)=\int_{(-\pi,\pi]} e^{in\lambda}\,d\sum_{k\in\mathbb{Z}} \widetilde{\sigma}_f(\lambda+2\pi k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда заключаем, что \sigma_f(C)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\widetilde{\sigma}_f(C+2\pi k) для любого борелевского множества C\in(-\pi,\pi]. Учитывая результаты теорем 3 и 4 нашей работы, и теорем 2 и 7 из [5], получаем, что из степенной равномерной сходимости для усреднений оператора U на пространстве \mathcal{X} следует степенная равномерная сходимость на этом же пространстве для усреднений группы \mathcal{U}^t. 4.2Для оператора Купмана U_T, определенного в гильбертовом пространстве L_2(\Omega,\mu) равенством U_Tf(\omega)=f(T\omega), где T – эргодический автоморфизм вероятностного пространства (\Omega,\mu), рассмотрим следующую конструкцию. Вложим унитарный оператор U=U_T\otimes I, действующий в \mathcal{H}=L_2(\Omega,d\mu)\otimes L_2([0,1),dx), в унитарный поток \mathcal{U}^t, используя специальное представление сохраняющих меру потоков (см., например, [26; гл. 11]). Специальный эргодический поток T^t\colon\Omega\times[0,1)\to\Omega\times[0,1) действует как где n\leqslant s+t<n+1 и t\geqslant0. Для любой функции f\in L_2(\Omega\times[0,1),d\mu\otimes dx) положим Будем рассматривать сужение этого потока на функции вида g(\omega)h(s), т.е. действующим в L_2(\Omega,d\mu)\otimes L_2([0,1),dx). Нетрудно проверить, что \mathcal{U}^n=U^n=U^n_T\otimes I для любого n\in\mathbb{N}. Кроме того,
\begin{equation*}
\mathcal{P}_1=I\otimes V^*+U_T\otimes V, \qquad Vh(s)=\int_0^sh(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
Действительно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_1g(\omega)h(s)&= \int_0^1\mathcal{U}^tg(\omega)\otimes h(s)\,dt \\ &=\int_0^{1-s}g(\omega)\otimes h(t+s)\,dt+ \int_{1-s}^1g(T\omega)\otimes h(s+t-1)dt \\ &=g(\omega)\otimes\int_s^1h(t)\,dt+ g(T\omega)\otimes\int_0^sh(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Предложение 5. Пусть \mathcal{X} \subseteq L_2(\Omega,d\mu) – векторное подпространство со своей нормой \|\cdot\|_{\mathcal{X}}. Равномерная сходимость для усреднений оператора Купмана U_T на пространстве \mathcal{X} влечет равномерную сходимость для унитарного потока \mathcal{U}^t на пространстве \mathcal{X}\otimes 1 с нормой \|f\otimes1\|=\|f\|_{\mathcal{X}}. Доказательство. Пусть P_n^T – усреднения для оператора Купмана U_T, а \Theta – ортогональное проектирование на константы – его предел. Пределом для усреднений потока \mathcal{U}^t является \Theta\otimes\Theta. Пусть имеется равномерная сходимость для усреднений оператора Купмана. Тогда ввиду замечания 7, рассуждений в пункте 4.1 и равенства
\begin{equation*}
\|I-\Theta\otimes\Theta\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}}= \|I-\Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)}
\end{equation*}
\notag
достаточно рассмотреть усреднения для группы \mathcal{U}_t только для натуральных моментов времени. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{P}_n- \Theta\otimes\Theta\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}}&= \|(P_n-P)\mathcal{P}_1\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}} \\ &=\|(P^T_n\otimes I-\Theta\otimes I)(I\otimes V^*+ U_T\otimes V)\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}} \\ &=\|P^T_n\otimes V^*-\Theta\otimes V^*+P^T_nU_T\otimes V- \Theta\otimes V\|_{\mathcal{X}\otimes 1\to\mathcal{H}} \\ &\leqslant\|P^T_n\otimes V^*- \Theta\otimes V^*\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}}+ \|P^T_nU_T\otimes V- \Theta\otimes V\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}} \\ &\leqslant\frac{1}{2}\|P^T_n-\Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)}+\frac{1}{2}\|P^T_nU_T- \Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)} \\ &=\|P^T_n-\Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Авторы благодарят рецензента за замечания и предложения по улучшению статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KacPodKha23}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|