| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Спектральные свойства несекториального оператора Штурма–Лиувилля на полуоси Х. К. Ишкин Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050061 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть q – комплекснозначная функция, суммируемая на каждом конечном интервале (0,b), b>0, и такая, что Обозначим через Dθ множество функций y∈L2(R+), удовлетворяющих условиямЗдесь ACloc[0,+∞) – множество функций, абсолютно непрерывных на каждом отрезке [0,b], b>0, θ – фиксированное вещественное число или символ ∞, при котором условию (ii), как обычно, придается смысл y(0)=0. Введем оператор Lθ, действующий в L2(R+) по правилу Lθy=l(y), D(Lθ)=Dθ. Известно [1], что Lθ плотно определен и замкнут. В работе исследуются условия на q, при которых оператор Lθ имеет дискретный спектр и система корневых функций (СКФ) полна или образует базис в каком-либо смысле. В литературе наиболее полно изучен случай, когда функция Imq в каком-либо смысле подчинена Req. В этой ситуации оператор Lθ можно рассматривать как возмущение самосопряженного оператора. Так, если Req(x)→+∞ при x→∞ и то спектр оператора Lθ дискретен, и в зависимости от скорости сходимости предела (1.1) имеет место базисность или базисность по Риссу (см. [2; § 20], [3], [4] и имеющиеся ссылки). Если то оператор Lθ спектрально неустойчив, потому методы теории возмущений в этой ситуации неприменимы. Так, даже в случае, когда функция q голоморфна в некотором секторе |argz|⩽, 0<\gamma\leqslant\pi, спектр может сильно меняться при малых возмущениях. Класс возмущений, сохраняющих хотя бы локализацию спектра, гораздо уже, по сравнению с случаем (1.1) [5]. Для выявления этого класса приходится привлекать специальные методы, использующие индивидуальные свойства каждого из таких операторов [6]–[9].Причина неустойчивости общеизвестна: резольвентная норма может быть большой, даже если \lambda достаточно далека от спектра. В результате этого нормы проекторов
\begin{equation*}
P_n=-\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_n}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda
\end{equation*}
\notag
(\Gamma_n – окружность с центром в точке \lambda_n\in \sigma(L_\theta), не содержащая внутри себя других точек спектра) экспоненциально растут при n\to+\infty [10]–[12]. Поэтому в контексте рассматриваемой задачи можно вести речь только о базисности СКФ для суммирования методом Абеля–Лидского [13]. Среди потенциалов, удовлетворяющих (1.2), по степени изученности соответствующего оператора L_\theta можно выделить два класса, которые
При выполнении условия а) комплексный скейлинг (см., например, [14; § 8]) и метод ВКБ [15] позволяют не только установить локализацию спектра, но и находить асимптотические разложения для собственных чисел с большой точностью [16], [17]. Если выполнено б), то при некотором дополнительном условии, обеспечивающем случай точки Вейля для уравнения l(y)=z_0y, оператор L_\theta будет m-секториальным: числовая область \operatorname{Num}(L_\theta)=\{(L_\theta f,f)\colon f\in D(L_\theta),\ \|f\|=1\} лежит в секторе S(z_0,\beta_1,\beta_2) и внешность S(z_0,\beta_1,\beta_2) принадлежит резольвентному множеству оператора L_\theta. Тогда [18; гл. V, § 6] вдоль любого луча вне S(z_0,\beta_1,\beta_2) резольвента имеет наилучшую скорость убывания:
\begin{equation}
\|(L_\theta-\lambda)^{-1}\|=O(\lambda^{-1}), \qquad \lambda\to\infty.
\end{equation}
\tag{1.4}
Кроме того (см., например, [19; гл. VI, § 3]),
\begin{equation*}
T:=e^{-i(\beta_2-\beta_1)/2}(L_\theta-z_0)=H^{1/2}(1+iB)H^{1/2},
\end{equation*}
\notag
где H=\operatorname{Re}T, B ограничен и самосопряжен. Поэтому оператор T имеет такой же порядок, что и H. Этот факт вместе с оценкой (1.4) позволяет при некоторых условиях на q (менее жестких, чем в случае а)) установить полноту СКФ или их базисность для суммирования методом Абеля–Лидского. Приведем два утверждения, которые непосредственно следуют из результатов работы Лидского [20] (теоремы 2, 4, 5, 8):
В работе [21] получено усиление утверждения (B):
При нарушении условия (1.3) \operatorname{Num}(L_\theta) в силу своей выпуклости (см., например, [22; гл. I, п. 21]) может заполнять всю плоскость \mathbb{C}. В этой ситуации ни существование сектора, свободного от спектра, ни оценка (1.4) не гарантированы. Между тем оценка (1.4) и оценка для порядка оператора играют ключевую роль при доказательстве полноты СКФ или их базисности для суммирования по Абелю (см. [3], [23]). В предлагаемой работе нами выделен достаточно широкий класс потенциалов, которые не удовлетворяют ни одному из условий а) и б), но при этом спектр L_\theta дискретен и СКФ образуют базис для суммирования методом Абеля–Лидского. Этот класс состоит из локально суммируемых функций, удовлетворяющих на бесконечности некоторым условиям типа гладкости и регулярности роста и принимающих значения вне некоторого сектора \{z\in\mathbb{C}\colon |z|>R,\ |\operatorname{arg}z+\pi|<\varepsilon\}. Показано, что \operatorname{Num}(L_\theta)=\mathbb{C} и существует сектор \{|\operatorname{arg}\lambda+\pi|<\tau\}, свободный от спектра, и любой луч из этого сектора является лучом наилучшего убывания резольвенты. Основываясь на этих фактах, установлена базисность СКФ для суммирования методом Абеля–Лидского. 2. Формулировка основных результатовВсюду далее считаем: z^s=|z|^{s}e^{is\operatorname{arg} s}, z\in\mathbb{C}, s\in \mathbb{R}, \sqrt[n]z=s^{1/n}, n\in\mathbb{N}. Теорема 1. Пусть функция q удовлетворяет условиям
Пример 1. Условиям 1)–3) удовлетворяет, например, функция q=re^{is}, где r, s – вещественнозначные функции, такие, что при некотором a>0
Сформулируем важное для дальнейшего следствие из теоремы 1. Пусть 1/2<\beta<(1+\delta)/2 и 2\beta-1<\delta'<\delta. Согласно утверждению 2) теоремы 1, сдвинув при необходимости спектральный параметр, можно считать, что спектр оператора L_\theta лежит внутри угла
\begin{equation}
U(\delta')=\biggl\{|\operatorname{arg}\lambda|<\frac{\pi}{1+\delta'}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
Пусть \Gamma – граница угла U(\delta'), ориентированная так, что при ее обходе угол U(\delta') остается слева. Рассмотрим оператор
\begin{equation}
I(t)=-\frac1{2\pi i}\int_\Gamma e^{-\lambda^\beta t}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda, \qquad t>0,
\end{equation}
\tag{2.7}
где \lambda^\beta=|\lambda|^\beta e^{i\beta\operatorname{arg}\lambda}, |\operatorname{arg}\lambda|<\pi. Утверждение (2.8) будет играть важную роль при доказательстве базисности СКФ оператора L_\theta в смысле Абеля–Лидского, которая понимается следующим образом: рассмотрим ряд
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S(t)&=\sum_{k}^\infty S_k(t), \\ \nonumber S_k(t) & =-\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_k}e^{-\lambda^\beta t}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
где контур \Gamma_k лежит в U(\delta'), охватывает одно или несколько собственных значений оператора L_\theta и ориентирован против хода часовой стрелки. Если при любом t>0 ряд (2.9) сходится сильно и
\begin{equation}
\lim_{t\to+0} S(t)f= f \qquad \text{для всех}\quad f\in L^2(\mathbb{R}_+),
\end{equation}
\tag{2.10}
то говорят, что СКФ оператора L_\theta образует базис для суммирования методом Абеля–Лидского порядка \beta. Теорема 2. Если дополнительно к условиям 1)–3)
\begin{equation}
M_1 x^\alpha< |q(x)|<M_2 x^\alpha, \quad x>a, \qquad \textit{где} \quad M_1, M_2>0, \quad \alpha>\max\biggl\{\frac{2}{\delta},2\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.11}
то СКФ оператора L_\theta образует базис для суммирования методом Абеля–Лидского порядка \beta\in((2+\alpha)/2\alpha,(1+\delta)/2). Допустимый интервал для порядка суммируемости \beta в теореме 2 и утверждении (C) один и тот же. В этой связи условие \alpha>2/\delta вполне естественно. Условие же \alpha>2 несущественно. В следующей работе мы планируем снять ограничение (2.1). В условиях теоремы 2 для СКФ L_\theta имеет место полнота и минимальность. При этом возникает вопрос: насколько условие \alpha>2/\delta необходимо для полноты СКФ? Первый результат в этом направлении получили Савчук и Шкаликов [21]: если q(x)=e^{i\gamma}x, то СКФ L_\theta полна при всех |\gamma|<5\pi/6. В работе [24] этот результат был обобщен на случай потенциалов при 0<\alpha<2.Ввиду того, что оператор L_\theta не является секториальным, при доказательстве обеих теорем по существу приходится обходиться только методами теории функций, основанными на свойствах специального решения \varphi(x,\lambda) уравнения которое, с одной стороны, удовлетворяет стандартным ВКБ-оценкам [15; гл. II, § 2], с другой – при каждом фиксированном x\geqslant0 является целой функцией \lambda.3. Специальное решениеВведем обозначения
\begin{equation}
\Delta_1(x)=\int_x^\infty|(q^{-1/4})''q^{-1/4}|\,dt, \quad \Delta_2(x)=\int_x^\infty |q^{-1/2}(t)|\,dt, \qquad x\geqslant a,
\end{equation}
\tag{3.1}
и договоримся, что всюду далее C, C_0, C_1,\dots – абсолютные (т.е. не зависящие от каких-либо параметров) положительные постоянные, точное значение которых нас не интересует. Кроме того, если y(x,\lambda) – решение уравнения (2.12), то y'(x,\lambda) будет означать производную y по x. Лемма 1. Пусть выполнены условия 1)–3). Тогда
Так как
\begin{equation*}
\frac{q'(x)}{q^{3/2}(x)}=\int_x^{+\infty}\biggl(\frac{q''}{q^{3/2}} -\frac32\,\frac{q'^2}{q^{5/2}}\biggr)\,dt,
\end{equation*}
\notag
согласно (2.2) Поэтому r_1(x,\lambda) ( как и r_0(x,\lambda)) стремится к 0 при x\to+\infty равномерно по \lambda из любого компакта. Следовательно, оценки (3.2)–(3.5) дают асимптотику \varphi(x,\lambda) и \varphi'(x,\lambda) при больших x>0 равномерно по \lambda из любого компакта. Нам понадобятся еще 2 типа асимптотик. В следующей лемме речь пойдет об оценках \varphi(x,\lambda) и \varphi'(x,\lambda) при больших \lambda из некоторого сектора |\operatorname{arg} \lambda+\pi|<\varepsilon, равномерных по x\geqslant0. Введем функцию \widetilde{q}, которая на [a+1, \infty) совпадает с q, на [0,a] равна 0, и на (a,a+1) такова, что \widetilde{q}' абсолютно непрерывна на каждом отрезке [0,b], b>0. Далее положим
\begin{equation}
I(x,\lambda) = \int_x^\infty\bigl|\bigl((\widetilde{q}(t)+\lambda)^{-1/4}\bigr)'' (\widetilde{q}(t)+ \lambda)^{-1/4}\bigr|\,dt+\frac1{\sqrt{|\lambda|}}\int_x^{a+1}|q-\widetilde{q}|\,dt,
\end{equation}
\tag{3.7}
\begin{equation}
Q(x,\lambda) =\lambda\int_x^\infty\frac{dt}{\sqrt {\widetilde{q}(t)}+\sqrt{\widetilde{q}(t) +\lambda}}-\int_0^x\sqrt {\widetilde{q}(t)}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.8}
Лемма 2. Пусть функция q удовлетворяет условиям 1)–3). Тогда решение \varphi, определяемое оценкой (3.2)–(3.3), при больших \lambda из сектора |\operatorname{arg} \lambda+\pi|<\pi\delta/(1+\delta) (\delta – постоянная, фигурирующая в условии (2.3)) имеет следующую асимптотику:
\begin{equation}
\varphi(x,-\lambda) \sim \frac1{\sqrt[4]{\widetilde{q}(x)+\lambda}}\exp(Q(x,\lambda)) \bigl(1+O(I(x,\lambda)\bigr),
\end{equation}
\tag{3.9}
\begin{equation}
\varphi'(x,-\lambda) \sim -{\sqrt[4]{\widetilde{q}(x)+\lambda}}\exp(Q(x,\lambda)) \bigl(1+O(I(x,\lambda)\bigr),
\end{equation}
\tag{3.10}
равномерно по x\in[0,\infty) и |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant {\pi\delta'}/(1+\delta'), 0<\delta'<\delta. В лемме 1 утверждается, что порядок функций \varphi(x,\cdot) и \varphi'(x,\cdot) не превосходит 1. Для наших целей этой информации недостаточно. В следующей лемме при дополнительном условии (2.11) мы даем более точную оценку величины
\begin{equation}
\rho(x):=\limsup_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln M(x,r)}{\ln r},
\end{equation}
\tag{3.11}
где M(x,r)=\max _{0\leqslant\theta\leqslant2\pi}|\varphi(x,re^{i\theta})|. Лемма 3. Пусть функция q удовлетворяет условиям 1)–3) и (2.11). Тогда
\begin{equation}
\varphi^{(j)}(x,\lambda)= (q_a(x))^{(2j-1)/4}\exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{q_a(t)}\,dt\biggr) y_j(x,\lambda), \qquad j=0,1,
\end{equation}
\tag{3.12}
\begin{equation}
\sup_{x\geqslant 0}|y_j(x,\lambda)| \leqslant \exp(\sigma_j|\lambda|^{1/2+1/\alpha}), \qquad \lambda\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{3.13}
\begin{equation}
q_a(x)=\begin{cases} q(x),& x\geqslant a, \\ 1,& 0<x<a, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.14}
\sigma_j – положительные постоянные. 4. Доказательство леммы 14.1. Доказательство п. (i): существование \varphi, оценки (3.2)–(3.3)Как показано в [25; гл. VI, §§ 2, 3, теоремы 2.1, 3.1], при выполнении условий 1)–3)1 уравнение (2.12) при \lambda=0 имеет решения u_\pm, для которых при x\to+\infty справедливы ВКБ-оценки
\begin{equation}
u_-(x) \sim q^{-1/4}(x)\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)[1+O(\Delta_1(x))],
\end{equation}
\tag{4.1}
\begin{equation}
u_+(x) \sim q^{-1/4}(x)\exp\biggl(\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)[1+o(1)].
\end{equation}
\tag{4.2}
Из оценок (4.1) и (4.2) следует, что u_- и u_+ линейно независимы, так что w_0:=u_-u_+'-u_-'u_+\neq0. Рассмотрим интегральное уравнение
\begin{equation}
\varphi(x,\lambda)=u_-+\frac\lambda{w_0}\int_x^\infty(u_+(x)u_-(t)-u_-(x)u_+(t)) \varphi(t,\lambda)\,dt, \qquad x\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{4.3}
Непосредственным дифференцированием легко проверить, что если уравнение (4.3) имеет решение, удовлетворяющее оценке (3.2)–(3.3), то оно является также решением уравнения (2.12). Покажем, что уравнение (4.3) при каждом \lambda\in \mathbb{C} однозначно разрешимо в C[0,+\infty) и для решения справедлива указанная оценка. Подстановка
\begin{equation}
\widetilde{\varphi}(x,\lambda)) = \varphi(x,\lambda) \sqrt[4]{q(x)} \exp\biggl(\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr),
\end{equation}
\tag{4.4}
\begin{equation}
\widetilde{u}_\pm(x) =u_\pm(x) \sqrt[4]{q(x)}\exp \biggl(\mp\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)
\end{equation}
\tag{4.5}
преобразует уравнение (4.3) к виду
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\varphi}(x,\lambda) =\widetilde{u}_-(x)+\lambda\int_x^\infty A(x,t) \widetilde{\varphi}(t,\lambda)\,dt, \qquad x\geqslant a, \\ A(x,t) =\frac1{w_0}\biggl(\exp\biggl(-\int_x^t\sqrt {q(s)}\,ds\biggr)\widetilde{u}_+(x)\widetilde{u}_-(t)-\widetilde{u}_-(x)\widetilde{u}_+(t) \biggr)(q(t))^{-1/2}. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.6}
Согласно условию (2.3) \operatorname{Re}\sqrt {q(x)}>0 при x\geqslant a и в силу (4.1) и (4.2) функции \widetilde{u}_\pm ограничены на [a,\infty), поэтому
\begin{equation}
| A(x,t)|\leqslant \frac{C_0}{|q(t)|^{1/2}}, \qquad a\leqslant x\leqslant t,
\end{equation}
\tag{4.7}
где C_0>0 – постоянная. Следовательно, интегральный оператор A в правой части (4.6) – вольтерров, его ядро суммируемо на (a,+\infty). Поэтому уравнение имеет в C[a,+\infty) единственное решение, которое представляется в виде ряда
\begin{equation}
\widetilde{\varphi}(x,\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k[A^k\widetilde{u}_-](x).
\end{equation}
\tag{4.8}
В силу (4.7)
\begin{equation*}
|[A^k\widetilde{u}_-](x)|\leqslant \frac{C_1(C_0\int_x^\infty|q|^{-1/2}(t)\,dt)^k}{k!}, \qquad x\geqslant a, \quad k=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
так что при каждом x\geqslant 0 функция \varphi(x,\cdot) – целая и
\begin{equation*}
|\widetilde{\varphi}(x,\lambda)|\leqslant C_1 \exp\biggl(C_0|\lambda|\int_x^\infty |q|^{-1/2}(t)\,dt\biggr), \qquad x\geqslant a, \quad \lambda\in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
Здесь C_1=\sup _{x\geqslant a}|\widetilde{u}_-(x)|. Отсюда и из (4.4) следует, что порядок функции \varphi(x,\cdot) не превосходит 1. Далее, используя последнюю оценку, из (4.6) имеем
\begin{equation*}
|\widetilde{\varphi}(x,\lambda)-\widetilde{u}_-(x)|\leqslant C_1\biggl(\exp\biggl(C_0|\lambda| \int_x^\infty |q|^{-1/2}(t)\,dt\biggr)-1\biggr), \qquad x\geqslant a, \quad \lambda\in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
Возвращаясь к \varphi и u_- по формулам (4.4) и (4.5), учитывая (4.1), получим (3.2)–(3.3). 4.2. Доказательство п. (i): оценки (3.4)–(3.5) для \varphi'Если q удовлетворяет условиям 1)–3), то согласно теореме 2.1 из [25; гл. 6, § 2] для остаточного члена r_0(x,\lambda) в (3.2) справедлива оценка:
\begin{equation}
\frac12 q^{-1/2}(x)|r_0'(x,\lambda)|\leqslant \exp\biggl\{\frac12\Delta(x,\lambda)\biggr\}-1,
\end{equation}
\tag{4.9}
\begin{equation}
\Delta(x,\lambda)=\int_x^\infty \bigl|(q^{-1/4}(t))''q^{-1/4}(t)+{\lambda} {q^{-1/2}(t)}\bigr|\,dt.
\end{equation}
\tag{4.10}
Из представления (3.2) видно, что функция r_0(x,\lambda) дифференцируема на [a,\infty) и
\begin{equation*}
\varphi'(x,\lambda)=-{\sqrt[4]{q(x)}}\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggl(1+\frac{q'(x)}{4q^{3/2}(x)}-\frac{r_0'(x,\lambda)}{q^{1/2}(x)}\biggr), \qquad x\geqslant a.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из соотношений (4.9)–(4.10) с учетом (3.6) следуют (3.4)–(3.5). Докажем, что при каждом x\geqslant a \varphi'(x,\cdot) – целая функция порядка не выше 1. Дифференцируя обе части (4.3), получим
\begin{equation}
\varphi'(x,\lambda)=u_-'(x)+\frac\lambda{w_0}\int_x^\infty \bigl(u_+'(x)u_-(t)-u_-'(x)u_+(t)\bigr)\varphi(t,\lambda)\,dt, \qquad x\geqslant a.
\end{equation}
\tag{4.11}
В силу (3.4)–(3.5) при \lambda=0 имеем
\begin{equation*}
u_-'(x)\sim q^{1/4}(x)\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr), \qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда согласно равенству u_-u_+'-u_-'u_+=w_0 и оценкам (4.1), (4.2) имеем
\begin{equation*}
u_+'(x)\sim (w_0-1)q^{1/4}(x)\exp\biggl(\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr), \qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
Выразив в соотношении (4.11) \varphi через \widetilde{\varphi} согласно (4.4) и подставив вместо \widetilde{\varphi} его разложение (4.8), получим
\begin{equation*}
\varphi'(x,\lambda)=-q^{1/4}(x)\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\sum_{k=0}^\infty \lambda^k b_k(x),
\end{equation*}
\notag
где коэффициенты b_k согласно полученным выше оценкам для u_{\pm}' удовлетворяют оценкам
\begin{equation*}
|b_k(x)|\leqslant C_1\biggl(C_0\int_x^\infty|q|^{-1/2}(t)\,dt\biggr)^k/k!, \qquad x\geqslant a.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и следует доказываемое утверждение. 4.3. Доказательство п. (ii)Пусть \lambda\in \mathbb{C} и \varphi(x,\lambda) – построенное решение. Согласно оценке (3.3) существует d(\lambda)>a, такое, что при всех x\geqslant d(\lambda)
\begin{equation}
|r_0(x,\lambda)|\leqslant\frac{1}4\sin\biggl(\frac{\pi\delta}{2(1+\delta)}\biggr),
\end{equation}
\tag{4.12}
где \delta – постоянная, фигурирующая в условии (2.3). Тогда \varphi(x,\lambda) не имеет нулей на множестве \{(x,\lambda)\colon x\geqslant d(\lambda),\ \lambda\in \mathbb{C}\}, так что функция
\begin{equation}
\psi(x,\lambda)=\varphi(x,\lambda)\int_{d(\lambda)}^x\varphi^{-2}(t,\lambda)\,dt, \qquad x>d(\lambda),
\end{equation}
\tag{4.13}
является решением уравнения (2.12), причем Далее, подставляя (3.2) в подынтегральное выражение, будем иметь
\begin{equation}
\int_{d(\lambda)}^x\varphi^{-2}(t,\lambda)\,dt=\frac12\exp\biggl(2\int_{a}^x \sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggl[1-\exp\biggl(-2\int_{d(\lambda)}^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)-R\biggr],
\end{equation}
\tag{4.15}
где
\begin{equation*}
R=R(x,\lambda)=\int_{d(\lambda)}^x\sqrt {q(t)}\exp\biggl(-2\int_{t}^x\sqrt {q(s)}\,ds\biggr)\frac{r_0(t,\lambda)(2+r_0(t,\lambda))}{(1+r_0(t,\lambda))^2}\,dt.
\end{equation*}
\notag
Так как d(\lambda)>a, то в силу условия (2.3) при всех x\geqslant d(\lambda)
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\sqrt {q(x)}\geqslant \sin\biggl(\frac{\pi\delta}{2(1+\delta)}\biggr)\sqrt{|q(x)|};
\end{equation*}
\notag
следовательно,
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |R(x,\lambda)| \leqslant\int_{d(\lambda)}^x\sqrt {|q(t)|}\exp\biggl(-2\sin \biggl(\frac{\pi\delta}{2(1+\delta)}\biggr)\int_{t}^x\sqrt{|q(s)|}\,ds\biggr) r(t,\lambda)\,dt, \\ r(t,\lambda) =\frac{|r_0(t,\lambda)|(2+|r_0(t,\lambda)|)}{(1-|r_0(t,\lambda)|)^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
откуда, учитывая условие (4.12), получим Подставляя (4.15) в (4.13), с учетом оценок (4.12) и (4.16) для \psi получим следующее представление:
\begin{equation}
\psi(x,\lambda) =\frac1{2\sqrt[4]{q(x)}}\exp\biggl(\int_{a}^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggl[1+\varepsilon(x,\lambda)-\exp\biggl(-2\int_{d(\lambda)}^x \sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{4.17}
\begin{equation}
\sup_{x\geqslant d(\lambda)}|\varepsilon(x,\lambda)|<\frac{43}{48}.
\end{equation}
\tag{4.18}
Это означает, что уравнение (2.12) имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) убывающее решение, которое и есть \varphi(x,\lambda). Лемма доказана. пользуясь оценками (3.2), (4.12), (3.4) и (4.17), получим
\begin{equation}
\psi'(x,\lambda)=\sqrt[4]{q(x)}\exp\biggl(\int_{a}^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)O(1), \qquad x\geqslant d(\lambda),
\end{equation}
\tag{4.19}
равномерно по \lambda\in \mathbb{C}. 5. Доказательства лемм 2 и 35.1. Доказательство леммы 2Положим
\begin{equation*}
\widetilde{y}(x,\lambda)=\frac1{\sqrt[4]{\widetilde{q}(x)+\lambda}} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \qquad x\geqslant 0, \quad |\operatorname{arg}\lambda|< \frac{\pi\delta}{1+\delta}.
\end{equation*}
\notag
Из условий 1)–3) следует (см. [25; гл. VI, § 2, п. 2.1]), что при каждом \lambda из сектора
\begin{equation}
S(R,\delta) = \biggl\{\lambda=re^{i\beta}\colon r>R,\ |\beta| <\frac{\pi\delta}{1+\delta}\biggr\}
\end{equation}
\tag{5.1}
уравнение y''=(q+\lambda)y имеет решение y(x,\lambda) такое, что
\begin{equation}
y^{(j)}(x,\lambda)=(-1)^j(\widetilde{q}(x)+\lambda)^{(-1+2j)/4} \widetilde{y}(x,\lambda)[1+O(I(x,\lambda)], \qquad \lambda\to\infty, \quad j=0,1,
\end{equation}
\tag{5.2}
где оценка остаточного члена равномерна по x\in[0,\infty) и |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant {\pi\delta'}/(1+\delta'), 0<\delta'<\delta. Согласно п. (ii) леммы 1 решение \varphi(x,-\lambda) может отличаться от y(x,\lambda) лишь постоянным множителем:
\begin{equation*}
\varphi(x,-\lambda)=C(\lambda)\cdot y(x,\lambda), \qquad x\geqslant0, \quad \lambda\in S(R,\delta).
\end{equation*}
\notag
Из формул (3.1), (3.7) и оценок (3.2)–(3.3) и (5.2) при j=0 видно, что при каждом \lambda из сектора S(R,\delta)
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y(x,\lambda)\sim \frac1{\sqrt[4]{\widetilde{q}(x)+\lambda}} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \\ \varphi(x,-\lambda)\sim \frac1{\sqrt[4]{q(x)}}\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr), \\ x\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
C(\lambda)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\varphi(x,-\lambda)}{y(x,\lambda)} =\exp\biggl(\lambda \int_0^\infty \frac {dt}{\sqrt {\widetilde{q}(t)} +\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует оценка (3.9). Точно так же доказывается оценка (3.10). 5.2. Доказательство леммы 3Положим
\begin{equation*}
y_j(x,\lambda)=\varphi^{(j)}(x,\lambda) (q_a(x))^{(1-2j)/4}\exp \biggl(\int_0^x\sqrt {q_a(t)}\,dt\biggr), \qquad j=0,1,
\end{equation*}
\notag
где функция q_a определена по формуле (3.14). Далее пусть где \alpha – постоянная, фигурирующая в условии (2.11), M – постоянная, не зависящая от \lambda. Непосредственно из формулы (3.1) для \Delta_2 и условия (2.11) вытекает оценка
\begin{equation*}
\Delta_2(a_\lambda)=O(\lambda^{-1/2+1/\alpha}), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation*}
\notag
равномерная по \operatorname{arg}\lambda. Отсюда согласно оценкам (3.2)–(3.3) и (3.4)–(3.5) будем иметь
\begin{equation}
\sup _{x\geqslant a_\lambda}|y_j(x,\lambda)| \leqslant \exp(C_1|\lambda|^{(2+\alpha)/2\alpha}), \qquad j=0,1, \qquad \lambda\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{5.4}
где C_1 – положительная постоянная, не зависящая от \lambda. Покажем, что
\begin{equation}
\sup _{0\leqslant x< a_\lambda}| y_0(x,\lambda)| \leqslant \exp(C_0|\lambda|^{(2+\alpha)/2\alpha}), \qquad \lambda\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{5.5}
с некоторым C_0>0. Введем в рассмотрение решения s(x,\lambda) и c(x,\lambda) уравнения (2.12), удовлетворяющие начальным условиям
\begin{equation}
s(0,\lambda)=c'(0,\lambda)=0, \qquad c(0,\lambda)=s'(0,\lambda)=1.
\end{equation}
\tag{5.6}
Функция s является решением уравнения
\begin{equation}
s(x,\lambda)=\frac{\sin\sqrt\lambda x}{\sqrt\lambda} -\frac1{\sqrt\lambda}\int_0^x\sin\sqrt\lambda(x-t)q(t)s(t,\lambda)\,dt,
\end{equation}
\tag{5.7}
где \sqrt\lambda=\sqrt{|\lambda|}e^{i\operatorname{arg}\lambda}, -\pi<\operatorname{arg}\lambda\leqslant\pi. Полагая \widetilde{s}=\sqrt\lambda e^{i\sqrt\lambda x} s и рассуждая так же, как при выводе оценки (3.2)–(3.3), получим
\begin{equation}
|s(x,\lambda)| \leqslant C_2e^{|\operatorname{Im}\sqrt\lambda| x} \exp\biggl(\frac{C_3}{\sqrt{|\lambda|}}\int_0^x|q|\,dt\biggr), \qquad {|\lambda|}\geqslant1,
\end{equation}
\tag{5.8}
равномерно по x\in[0,a_\lambda]. Далее, дифференцируя обе части (5.7) по x и воспользовавшись (5.7), для s'(x,\lambda) получим аналогичную оценку. Ясно, что для c(x,\lambda) и c'(x,\lambda) верны такие же оценки. В силу условия (2.11)
\begin{equation*}
\int_0^{a_\lambda}|q|\,dt= O(\lambda^{1+1/\alpha}), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation*}
\notag
равномерно по аргументу \lambda; следовательно,
\begin{equation}
s^{(j)}(x,\lambda), c^{(j)}(x,\lambda) =O( \exp(C|\lambda|^{(2+\alpha)/2\alpha})), \qquad (\lambda,x)\in \mathbb{C}\times[0,a_\lambda], \quad j=0,1.
\end{equation}
\tag{5.9}
Далее,
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(x,\lambda)=c_1(\lambda)s(x,\lambda)+c_2(\lambda)c(x,\lambda), \qquad \lambda\in\mathbb{C}, \quad x\in [0,a_\lambda], \\ c_1(\lambda)=W(c,\varphi)(a_\lambda,\lambda), \qquad c_2(\lambda)=W(\varphi,s)(a_\lambda,\lambda), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где W(f,g) – вронскиан функций f и g. Отсюда и из оценок (5.4), (5.9) получим (5.5). Точно так же доказывается оценка для y_1.
6. Доказательства теорем 1 и 2Для сокращения записи мы ограничимся случаем \theta=\infty, когда краевое условие (ii) (см. введение) имеет вид y(0)=0. Из изложенного ниже будет видно, что в случае произвольного \theta\in \mathbb{R} доказательства теорем 1 и 2 полностью сохраняют силу. 6.1. Резольвента оператора L_\thetaПоложим \Phi(\lambda):=\varphi(0,\lambda). Лемма 4. Если \Phi(\lambda)\neq0, то (L_\theta-\lambda)^{-1} – оператор Гильберта–Шмидта с ядром
\begin{equation}
B(x,t,\lambda)=\frac1{\Phi(\lambda)} \begin{cases} \varphi(x,\lambda)s(t,\lambda), & 0<t<x, \\ s(x,\lambda)\varphi(t,\lambda), & t>x, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.1}
где s – решение уравнения (2.12), введенное в п. 5.2. Доказательство. Пусть \Phi(\lambda)\neq0. Согласно (3.2) и (3.3) функция \varphi(t,\lambda) экспоненциально убывает на бесконечности. Используя этот факт, непосредственной проверкой легко убедиться, что при каждом f\in L^2(\mathbb{R}_+) функция
\begin{equation*}
y(x,\lambda):=B(\lambda)f=\int_0^{+\infty}B(x,t,\lambda)f(t)\,dt
\end{equation*}
\notag
принадлежит2 D_\theta и l(y)-\lambda y=f. Следовательно, (L_\theta-\lambda)B(\lambda)=I. Покажем, что B(\lambda)(L_\theta-\lambda)y=y для всех y\in D_\theta. Отсюда будет следовать, что B(\lambda)=(L_\theta-\lambda)^{-1}. Если f=(L_\theta-\lambda)y, y\in D_\theta, то по доказанному, функция u=y-Bf удовлетворяет уравнению l(u)=\lambda u. Поскольку W(\varphi,s)=\Phi(\lambda)\neq0, то u=c_1\varphi+c_2s. Кроме того, u\in D_\theta, поэтому u(0)=0 и u\in L^2(\mathbb{R}_+). С другой стороны, \varphi(0,\lambda)\neq0 и s\notin L^2(\mathbb{R}_+) (согласно п. (ii) леммы 1). Следовательно, c_1=c_2=0, откуда Bf=y, т.е. B(L_\theta-\lambda)y=y. Докажем, что
\begin{equation}
N(B):=\iint_{\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+} |B(x,t,\lambda)|^2\,dx\,dt<\infty.
\end{equation}
\tag{6.2}
В силу (4.14) функции \varphi и \psi образуют ФСР уравнения (2.12), поэтому
\begin{equation*}
s(x,\lambda)=c_1(\lambda)\psi(x,\lambda)+c_2(\lambda)\varphi(x,\lambda).
\end{equation*}
\notag
Тогда
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B(x,t,\lambda)=B_1(x,t,\lambda)+B_2(x,t,\lambda), \\ B_1(x,t,\lambda)=\frac{c_1(\lambda)}{\Phi(\lambda)} \begin{cases} \varphi(x,\lambda)\psi(t,\lambda), & 0<t<x, \\ \psi(x,\lambda)\varphi(t,\lambda), & t>x, \end{cases} \qquad B_2(x,t,\lambda)=\frac{c_2(\lambda)}{\Phi(\lambda)}\varphi(x,\lambda)\varphi(t,\lambda). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Очевидно, N(B_2)<\infty. Поэтому для доказательства (6.2) достаточно установить сходимость интеграла N(B_1). Пусть d(\lambda) – постоянная, введенная в начале п. 4.3. Имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N(B_1)=I_1(\lambda)+2I_2(\lambda), \\ I_1(\lambda)=\int_{d(\lambda)}^{+\infty}\biggl( \int_{d(\lambda)}^{+\infty} |B_1(x,t,\lambda)|^2\,dt\biggr)\,dx, \\ I_2(\lambda)=\biggl|\frac{c_1(\lambda)}{\Phi(\lambda)}\biggr|^2 \int_0^{d(\lambda)}|\psi(x,\lambda)|^2\,dx\cdot\int_{d(\lambda)}^{+\infty} |\varphi(t,\lambda)|^2\,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Поскольку \varphi\in L^2(\mathbb{R}_+), то I_2(\lambda)<\infty. Для оценки интеграла I_1(\lambda) заметим, что согласно оценкам (3.2)–(3.3) и (4.17)–(4.18)
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_1(x,t,\lambda) = \frac1{\sqrt[4]{q(x)}\sqrt[4]{q(t)}} \exp\biggl(-\operatorname{sgn}(x-t)\int_{t}^x\sqrt{q(t)}\,dt\biggr)\widetilde{B}(x,t,\lambda), \qquad x,t>d(\lambda), \\ M(\lambda):= \sup_{x,t>d(\lambda)}|\widetilde{B}(x,t,\lambda)|<\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу условий (2.1) и (2.3) следует, что интеграл I_1(\lambda) также конечен. 6.2. Доказательство теоремы 11. Согласно п. (i) леммы 1 при каждом \lambda\in\mathbb{C} уравнение (2.12) имеет решение \varphi(x,\lambda) из L^2(0,\infty). Поэтому каждый нуль функции \Phi(\lambda):=\varphi(0,\lambda) является собственным значением оператора L_\theta . По лемме 4 других точек спектра у оператора L_\theta нет. Так как функция \Phi – целая (п. (i) леммы 1), то либо \Phi – тождественный нуль, либо множество ее нулей – дискретное множество. По лемме 2 (оценка (3.9)) возможен только второй случай. Предположим, что спектр конечен. Тогда по лемме 1, (i) где K=\mathrm{const} и P – многочлен. Из формулы (3.8) видно, что Отсюда на основании оценки (3.9) заключаем, что \operatorname{Re}K\geqslant0. Следовательно, с некоторым m\in\mathbb{N}. С другой стороны, согласно условию (2.3)
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\Bigl(\sqrt{q(t)}+\sqrt{q(t)+\lambda}\Bigr)>0
\end{equation*}
\notag
при всех t>a и \lambda>0. Поэтому при достаточно больших \lambda>0 Снова применяя оценку (3.9), получим
\begin{equation*}
|\Phi(-\lambda)|\geqslant \exp\Bigl(C_2\sqrt{\lambda}\Bigr), \qquad \lambda\gg1,
\end{equation*}
\notag
что противоречит с (6.3). Значит, спектр L_\theta состоит из счетного числа собственных значений, каждое из которых имеет конечную алгебраическую кратность. 2. Утверждение о конечности спектра вне угла |\operatorname{arg}\lambda| <\pi/(1+\delta'), 0<\delta'<\delta, следует из леммы 2. Докажем (2.4). Пусть 0<\delta'<\delta. По лемме 2
\begin{equation}
\varphi_1(x,-\lambda):=\frac{\varphi(x,-\lambda)}{\Phi(-\lambda)} \sim\biggl(\frac{\lambda}{\widetilde{q}(x)+\lambda}\biggr)^{1/4} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.4}
равномерно по |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta') и x\geqslant0. Следовательно, можно подобрать достаточно большое R>0, что при всех \lambda из сектора \in S(R,\delta') (см. (5.1)) решение s представимо в виде
\begin{equation*}
s(x,-\lambda)=\varphi_1(x,-\lambda)\int_0^x(\varphi_1(t,-\lambda))^{-2}\,dt, \qquad x\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation}
s(x,-\lambda)\sim\frac{1}{2(\lambda(\widetilde{q}(x)+\lambda))^{1/4}} \exp\biggl(\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.5}
равномерно по |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta') и x\geqslant0. Из равенства (6.1) и оценок (6.4), (6.5) имеем
\begin{equation*}
B(x,t,-\lambda)\sim \frac1{(\widetilde{q}(x)+\lambda)^{1/4}(\widetilde{q}(t)+\lambda)^{1/4}} \exp\biggl(-\biggl|\int_t^x\operatorname{Re}\Bigl(\sqrt{\widetilde{q}(\tau)+\lambda}\Bigr) \,d\tau\biggr|\biggr), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation*}
\notag
равномерно по |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta') и x,t\geqslant0. Отсюда, учитывая, что при всех \lambda\in S(0,\delta') и x\geqslant0
\begin{equation*}
|\widetilde{q}(x)+\lambda|\geqslant (|\widetilde{q}(x)|+|\lambda|) \sin\biggl(\frac{\pi(\delta-\delta')}{(1+\delta)(1+\delta')}\biggr), \qquad 0\leqslant \operatorname{arg}\sqrt{\widetilde{q}(x)+\lambda}\leqslant \frac{\pi}{2(1+\delta)},
\end{equation*}
\notag
заключаем
\begin{equation}
|B(x,t,-\lambda|\leqslant C B_0(x,t,r), \qquad x,t\geqslant0,
\end{equation}
\tag{6.6}
где
\begin{equation}
B_0(x,t,r)=(p(x)+r)^{-1/4}(p(t)+r)^{-1/4} \exp\biggl(-\biggl|\int_t^x\sqrt{p(\tau)+r}\,d\tau\biggr|\biggr),
\end{equation}
\tag{6.7}
p(x)=k|q(x)|, r=k|\lambda|, C, k – положительные постоянные, зависящие только от \delta и \delta'. Введем самосопряженный оператор T, действующий в L^2(\mathbb{R}_+) по правилу
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Ty =t(y):=-y''+py, \\ D(T)=\bigl\{y\in L^2(\mathbb{R}_+)\colon y,y'\in AC_{\mathrm{loc}}[0,+\infty),\ t(y)\in L^2(\mathbb{R}_+),\ y'(0)=0\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Так как p\geqslant0 на [0,+\infty), то оператор T положителен, поэтому Ядро оператора (T+r)^{-1} имеет вид
\begin{equation}
T(x,t,r)=\begin{cases} \varphi_0(x,-r)c_0(t,-r), & 0<t<x, \\ c_0(x,-r)\varphi_0(t,-r), & t>x, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.9}
где функции \varphi_0(x,r), c_0(x,r) – решения уравнения удовлетворяющие условиям c_0'(0,r)=0, c_0(0,r)=-\varphi_0'(0,r)=1, \varphi_0\in L^2(\mathbb{R}_+). Чтобы получить оценку для T(x,t,r), введем еще одно решение \psi_0(x,r), определяемое условиями \psi_0(0,r)=1, \psi_0'(0,r)=\sqrt r. Имеем
\begin{equation}
c_0(x,r)=\frac{\psi_0'(0,r)\varphi_0(x,r)-\varphi_0'(0,r)\psi_0(x,r)}{W(\varphi_0,\psi_0)}.
\end{equation}
\tag{6.11}
Выделяя вещественную и мнимую части в подынтегральном выражении в условии (2.2), легко убедиться, что функция p также удовлетворяет этому условию:
\begin{equation*}
\int_a^\infty\biggl(\frac{{p'}^2}{p^{5/2}}+\frac{|p''|}{p^{3/2}}\biggr)\,dt<\infty.
\end{equation*}
\notag
Поэтому (см. [25; гл. VI, §§ 2, 3, теоремы 2.1, 3.1] для функций \varphi_0(x,-r), \psi_0(x,-r) справедливы ВКБ-оценки (напоминаем, p=0 на [0,a]):
\begin{equation}
\frac{\partial^j\varphi_0}{\partial x^j} (x,-r)=(-1)^{j} r^{-1/4}({p(x)+r})^{(-1+2j)/4} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{p(t)+r}\,dt\biggr)[1+\alpha_j(x,r)],
\end{equation}
\tag{6.12}
\begin{equation}
\frac{\partial^j \psi_0}{\partial x^j}(x,-r)= r^{1/4}({p(x)+r})^{(-1+2j)/4} \exp\biggl(\int_0^x\sqrt{p(t)+r}\,dt\biggr)[1+\beta_j(x,r)],
\end{equation}
\tag{6.13}
где
\begin{equation*}
\sup_{x\geqslant0}\biggl(\sum_{j=0,1}\bigl(|\alpha_j(x,r)| +|\beta_j(x,r)|\bigr)\biggr)\to 0, \qquad r\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
Подставляя (6.11) в (6.9) и учитывая оценки (6.12), (6.13), получим
\begin{equation}
T(x,t,r)\geqslant \frac12B_0(x,t,r), \qquad x,t\geqslant0, \quad r\gg1.
\end{equation}
\tag{6.14}
По лемме 4
\begin{equation*}
(L_\theta+\lambda)^{-1}f=\int_0^{+\infty}B(x,t,-\lambda)f(t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
потому согласно оценкам (6.6) и (6.14)
\begin{equation*}
\|(L_\theta-re^{i\beta})^{-1}f\|\leqslant 2C\bigl\|(T+r)^{-1}|f|\bigr\|\leqslant 2C \|(T+r)^{-1}\|\,\|f\|, \qquad f\in L^2(\mathbb{R}_+),
\end{equation*}
\notag
при всех достаточно больших r и |\beta+\pi|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta'). Отсюда и из (6.8) вытекает оценка (2.4). 3. Обозначим \beta_1=\liminf _{x\to+\infty}\operatorname{arg}q(x) и \beta_2=\limsup _{x\to+\infty}\operatorname{arg}q(x). Построим три нормированные последовательности функций, на которых квадратичная форма (L_\theta y,y) будет принимать значения, сколь угодно близкие к лучам \operatorname{arg} z=\beta_{1,2} и \operatorname{arg} z =0. Отсюда в силу (2.5) будет следовать, что \operatorname{Num}(L_\theta)=\mathbb{C}. Выберем последовательность \{x_n\}, такую, что x_n\to+\infty и \operatorname{arg}q(x_n)\to\beta_2 при n\to\infty. Без ограничения общности можно считать, что x_n>x_{n-1}+1 при всех n. В силу (3.6) последовательность
\begin{equation*}
a_n=\sup_{x\geqslant x_{n-1}}\frac{|q'(x)|}{|q(x)|^{3/2}}, \qquad n=2,3,\dots,
\end{equation*}
\notag
положительна и a_n\searrow0 при n\to\infty. Положим
\begin{equation}
\delta_n=|q(x_n)|^{-1/2}b_n, \qquad\text{где}\quad b_n=\min\{a_n^{-1/2},|q(x_n)|^{1/2} \}, \quad n=2,3,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{6.15}
Далее, при всех x\in[x_n-\delta_n,x_n+\delta_n] имеем
\begin{equation*}
|q^{-1/2}(x)-q^{-1/2}(x_n)|\leqslant\frac12\biggl|\int_{x_n}^x \frac{|q'(x)|}{|q(x)|^{3/2}}\,dx\biggr| \leqslant\frac12|q(x_n)|^{-1/2}a_n^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда равномерно по x\in[x_n-\delta_n,x_n+\delta_n]. Пусть \omega – вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая на \mathbb{R} функция, такая, что \operatorname{supp}\omega=[-1,1] и Положим
\begin{equation}
f_n=\delta_n^{-1/2}\omega\biggl(\frac{x-x_n}{\delta_n}\biggr) \qquad n=2,3,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{6.18}
Тогда \|f_n\|=1 и
\begin{equation*}
(L_\theta f_n,f_n)=\|w'\|^2\delta_n^{-2}+ \int_{x_n-\delta_n}^{x_n+\delta_n}q(x)f_n^2(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
откуда, учитывая (6.15)–(6.18), получим
\begin{equation*}
(L_\theta f_n,f_n)=q(x_n)\bigl[1+O(a_n^{1/2})+O(b_n^{-2})\bigr], \qquad n\to\infty;
\end{equation*}
\notag
следовательно, \operatorname{arg}(L_\theta f_n,f_n)\to \beta_2, n\to\infty. Точно так же строится последовательность \{g_n\}, обладающая аналогичным свойством относительно \beta_1. В качестве третьей последовательности можно взять функции
\begin{equation*}
h_n(x)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac8{3\pi}}\sin^2(nx) & \text{на }[0,\pi], \\ 0 & \text{на }[\pi,+\infty). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Действительно,
\begin{equation*}
\|h_n\|=1 \quad\text{и}\quad (L_\theta h_n,h_n)=\frac{4 n^2}3+O(1), \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
т.е. \operatorname{arg}(L_\theta h_n,h_n)\to0, n\to\infty. 6.3. Доказательство следствия 1Так как L_\theta плотно определен, для доказательства (2.8) достаточно установить, что Утверждения 1) и 2) верны, если вместо L_\theta брать произвольный замкнутый оператор L с компактной резольвентой, удовлетворяющий условиям:
6.4. Доказательство теоремы 2Снова ограничимся случаем \theta=\infty. Выберем произвольное \beta\in((2+\alpha)/2\alpha,(1+\delta)/2) и \delta'\in(2\beta-1,\delta), где \delta и \alpha – постоянные, фигурирующие в условиях (2.3) и (2.11). Считая, что все собственные числа оператора L_\theta лежат в угле U(\delta'), определенном формулой (2.6), и вне единичного круга, рассмотрим оператор (2.7). По лемме 4 где A(\lambda) – интегральный оператор с ядром
\begin{equation}
A(x,t,\lambda)= \begin{cases} \varphi(x,\lambda)s(t,\lambda), & 0<t<x, \\ s(x,\lambda)\varphi(t,\lambda), & t>x, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.19}
Согласно лемме 3 функция \Phi имеет порядок не выше 1/2+1/\alpha и конечный тип при этом порядке. Отсюда в силу известных оценок снизу модуля целой функции (см., например, [26; гл. I, § 1]) следует, что найдется последовательность чисел r_k, таких, что r_k\to+\infty и на окружностях |\lambda|=r_k Покажем, что
\begin{equation}
\|A(\lambda)\|=O(e^{C\lambda^{1/2+1/\alpha}}), \qquad \lambda\in U(\delta'),
\end{equation}
\tag{6.21}
с некоторой константой C>0. Для функции s и ее производной справедлива оценка (5.9). Из определения функции d(\lambda) (см. (4.12)) с учетом условий (2.11) следует, что постоянную M в (5.3) можно выбрать так, что a_\lambda\geqslant d(\lambda) при всех |\lambda|>1. В силу (4.14) на [d(\lambda),\infty) функции \varphi и \psi образуют ФСР уравнения (2.12). Поэтому
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s(x,\lambda)=k_1(\lambda)\varphi(x,\lambda)+k_2(\lambda)\psi(x,\lambda), \qquad x\in [d(\lambda),\infty), \quad \lambda\in\mathbb{C}, \\ k_1(\lambda)=W(s,\psi)(d(\lambda),\lambda), \qquad k_2(\lambda) =-W(s,\varphi)(d(\lambda),\lambda). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отсюда, используя оценки (5.9), (3.12), (3.13), (4.17), (4.19), получим
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s(x,\lambda)= (q_a(x))^{-1/4}\exp\biggl(\int_0^x\sqrt{q_a(t)}\,dt\biggr)z(x,\lambda), \\ \nonumber \sup_{x\geqslant 0}|z(x,\lambda)| \leqslant \exp(\tau|\lambda|^{1/2+1/\alpha}), \qquad \lambda\in\mathbb{C}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.22}
\tau – положительная постоянная, а функция q_a определена по (3.14). Теперь из формулы (6.19) на основе оценок (3.12) при j=0 и (6.22) заключаем: при всех x,t>0 и \lambda\in U(\delta')
\begin{equation*}
| A(x,t,\lambda)|\leqslant \frac{C_1}{({q_a}(x))^{1/4}({q_a}(t))^{1/4}} \exp\biggl(-\biggl|\int_t^x\operatorname{Re}\Bigl(\sqrt{{q_a}(\tau)}\Bigr)\,d\tau\biggr|\biggr) e^{C_2\lambda^{(2+\alpha)/\alpha}},
\end{equation*}
\notag
где C_1, C_2 – не зависящие от \lambda положительные постоянные. Отсюда следует (6.21). Пусть \gamma_k=\{\lambda\colon |\lambda|=r_k,\ |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi/(1+\delta')\}. В силу выбора \beta из оценок (6.20), (6.21) следует, что при каждом t>0
\begin{equation}
\sup_{\lambda\in \gamma_k}\|e^{-t\lambda^\beta}(L_\theta-\lambda)^{-1}\| =O\bigl(\exp(-C(t)r_k^\beta)\bigr), \qquad k\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.23}
c некоторым C(t)>0. Следовательно, интеграл (2.7) можно записать в виде
\begin{equation}
I(t)=-\frac1{2\pi i}\sum_{k}^\infty \int_{\Gamma_k}e^{-t\lambda^\beta}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda,
\end{equation}
\tag{6.24}
где \Gamma_k – ориентированная граница части U(\delta'), заключенной между дугами \gamma_k и \gamma_{k+1}. В силу (2.4) оценка вида (6.23) верна и на двух прямолинейных участках \Gamma_k. Поэтому ряд (6.24) сходится по операторной норме. Утверждение (2.10) следует из равенства (6.24) и утверждения (2.8). Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ish23}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|