Аннотация:
Обсуждаются условия существования инвариантных мер гладких динамических
систем на компактных многообразиях. Если существует инвариантная мера с непрерывно дифференцируемой плотностью, то на каждом решении дивергенция векторного поля сходится к нулю по Чезаро при неограниченном возрастании времени. Сходимость по Чезаро здесь можно заменить, например, любым
методом суммирования Рисса, который сколь угодно мало отличается от обычной сходимости (но не совпадает с ней). Приведен пример системы, у которой дивергенция стремится к нулю в обычном смысле, но которая не
допускает инвариантной меры, абсолютно непрерывной относительно “стандартной” меры Лебега на фазовом пространстве, порождаемой некоторой римановой метрикой. Приведен пример аналитической системы дифференциальных уравнений на аналитическом фазовом пространстве, которая допускает
инвариантные меры любой наперед заданной степени гладкости (в том числе и меру с суммируемой плотностью, но при этом не допускает никакой инвариантной меры с положительной непрерывной плотностью). Дано новое доказательство классической теоремы Боголюбова–Крылова, основанное на применении
обобщенных функций и теоремы Хана–Банаха. Обсуждаются также свойства знакопеременных инвариантных мер.
Библиография: 24 наименования.
Образец цитирования:
В. В. Козлов, “Инвариантные меры гладких динамических систем, обобщенные функции и методы суммирования”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:2 (2016), 63–80; Izv. Math., 80:2 (2016), 342–358
\RBibitem{Koz16}
\by В.~В.~Козлов
\paper Инвариантные меры гладких динамических систем, обобщенные функции и методы суммирования
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2016
\vol 80
\issue 2
\pages 63--80
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im8469}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im8469}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3507379}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:06621173}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2016IzMat..80..342K}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=25707540}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2016
\vol 80
\issue 2
\pages 342--358
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM8469}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000378090300005}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=26872375}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84977641178}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/im8469
https://doi.org/10.4213/im8469
https://www.mathnet.ru/rus/im/v80/i2/p63
Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
Luis C. García-Naranjo, Rafael Ortega, Antonio J. Ureña, “Invariant Measures as Obstructions to Attractors in Dynamical Systems and Their Role in Nonholonomic Mechanics”, Regul. Chaotic Dyn., 29:5 (2024), 751–763
William Clark, Anthony Bloch, “Existence of invariant volumes in nonholonomic systems subject to nonlinear constraints”, JGM, 15:1 (2023), 256
И. В. Волович, В. Ж. Сакбаев, “О квантовой динамике на $C^*$-алгебрах”, Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Труды МИАН, 301, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 33–47; I. V. Volovich, V. Zh. Sakbaev, “On quantum dynamics on $C^*$-algebras”, Proc. Steklov Inst. Math., 301 (2018), 25–38
Ivan A. Bizyaev, Alexey V. Borisov, Ivan S. Mamaev, “An Invariant Measure and the Probability of a Fall in the Problem of an Inhomogeneous Disk Rolling on a Plane”, Regul. Chaotic Dyn., 23:6 (2018), 665–684
А. В. Борисов, И. С. Мамаев, И. А. Бизяев, “Динамические системы с неинтегрируемыми связями: вакономная механика, субриманова геометрия и неголономная механика”, УМН, 72:5(437) (2017), 3–62; A. V. Borisov, I. S. Mamaev, I. A. Bizyaev, “Dynamical systems with non-integrable constraints, vakonomic mechanics, sub-Riemannian geometry, and non-holonomic mechanics”, Russian Math. Surveys, 72:5 (2017), 783–840
I. A. García, B. Hernández-Bermejo, “Inverse Jacobi multiplier as a link between conservative systems and Poisson structures”, J. Phys. A, 50:32 (2017), 325204, 17 pp.
Ivan A. Bizyaev, Alexey V. Borisov, Ivan S. Mamaev, “The Chaplygin Sleigh with Parametric Excitation: Chaotic Dynamics and Nonholonomic Acceleration”, Regul. Chaotic Dyn., 22:8 (2017), 955–975
И. А. Бизяев, А. В. Борисов, И. С. Мамаев, “Система Гесса–Аппельрота и ее неголономные аналоги”, Современные проблемы математики, механики и математической физики. II, Сборник статей, Труды МИАН, 294, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2016, 268–292; I. A. Bizyaev, A. V. Borisov, I. S. Mamaev, “The Hess–Appelrot system and its nonholonomic analogs”, Proc. Steklov Inst. Math., 294 (2016), 252–275
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: