Г. И. Ботиров, З. Э. Мустафоева, “Меры Гиббса для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли”, ТМФ, 214:2 (2023), 318–328; Theoret. and Math. Phys., 214:2 (2023), 273

Processing math: 100%

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 214, номер 2, страницы 318–328
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10353 (Mi tmf10353)

Меры Гиббса для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли

Г. И. Ботиров^ab, З. Э. Мустафоева^a

^a Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан
^b Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан

PDF полного текста (415 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10353

Аннотация: Рассматривается модель Поттса с конкурирующими взаимодействиями радиуса

$r=2$ и счетным множеством значений спина

$\Phi=\{0,1,\ldots,\}$ на дереве Кэли порядка

$k=2$ . Задача нахождения трансляционно-инвариантных мер Гиббса для такой модели при любой фиксированной вероятностной мере

$\nu$ ,

$\nu(i)>0$ , заданной на множестве

$\Phi$ , сведена к решению некоторой бесконечной системы функциональных уравнений. Описан класс мер

$\nu$ на

$\Phi$ , таких что для каждого элемента из этого класса полученная бесконечная система уравнений имеет единственное решение вида

$\{a^i,\,i=1,2,\ldots\}$ , где

$a\in(0,1)$ .

Ключевые слова: дерево Кэли, модель Поттса, меры Гиббса, функциональные уравнения.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство Инновационного развития Республики Узбекистан	F-FA-2021-425
Работа была поддержана фундаментальным проектом (F-FA-2021-425) Министерства инновационного развития Республики Узбекистан.

Поступило в редакцию: 17.08.2022
После доработки: 26.09.2022

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages 273–281
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020113

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 82B20, 82B26

1. Введение

Хорошо известно, что большой класс систем статистической механики составляют решеточные спиновые системы. Также хорошо известно, что при изучении спиновых систем важную роль играет структура решетки. В последние годы повышенное внимание как с теоретической, так и с экпериментальной точки зрения привлекает модель, введенная Поттсом в 1952 г. как обобщение модели Изинга [1]. Было доказано, что для модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли порядка $k\geqslant 2$ при достаточно низких температурах количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса не меньше $q+1$ и эти меры являются цепями Маркова с индексом, заданным на дереве [2]–[5]. Такие меры называются трансляционно-инвариантными расщепленными мерами Гиббса (ТИРМГ). В работе [6] рассматривалась модель Поттса с тремя значениями спина и конкурирующими взаимодействиями радиуса $r=2$ на дереве Кэли порядка $k=2$ . Было дано полное описание основных состояний этой модели, и с использованием контурного метода на дереве Кэли доказано, что при достаточно низких температурах эта модель имеет три меры Гиббса.

В работе [7] рассматривалась модель Поттса со счетным множеством $\Phi$ значений спина на решетке $\mathbb{Z}^d$ и было доказано, что в случае пуассонова распределения на множестве $\Phi$ множество предельных мер Гиббса непусто. В работе [8] рассматривалась модель Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли и было показано, что множество ТИРМГ данной модели содержит не более одной меры независимо от параметров рассматриваемой модели Поттса. В этом состоит принципиальное отличие от моделей с конечным множеством значений спина, поскольку последние модели могут иметь более одной трансляционно-инвариантной меры Гиббса.

В работе [9] авторы нашли все ТИРМГ и показали, в частности, что при достаточно низкой температуре их число равно $2^q-1$ . Кроме того, в этой работе было доказано, что существуют $[q/2]$ (где $[a]$ – целая часть $a$ ) критических температур, при которых изменяется число ТИРМГ, и найдено точное число ТИРМГ для каждой промежуточной температуры. В работе [10] изучались антиферромагнитная и ферромагнитная модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли и было доказано, что в отсутствие внешнего поля все периодические состояния Гиббса являются трансляционно-инвариантными при любых значениях параметров взаимодействия. В статье [11] для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями и счетным множеством значений спина на дереве Кэли были построены некоторые конечно-периодические основные состояния.

Настоящая статья посвящена модели Поттса со взаимодействием следующих за ближайшим соседей и со счетным множеством значений спина на дереве Кэли второго порядка. Мы ищем трансляционно-инвариантную меру Гиббса для дерева Кэли порядка $k=2$ в зависимости от вероятностной меры $\nu$ . Эта задача сводится к решению некоторой бесконечной системы уравнений. Также мы даем описание класса мер $\nu$ на множестве $\Phi$ , таких что для каждого элемента этого класса данная бесконечная система уравнений имеет единственное решение вида $\{a^i,\,i=1,2,\ldots\}$ , где $a\in(0,1)$ .

2. Предварительные сведения

Дерево Кэли (решетка Бете) $\Gamma^k$ порядка $k\geqslant 1$ – это бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно $k+1$ ребер. Пусть $\Gamma^k=(V,L)$ , где $V$ – множество вершин, а $L$ – множество ребер. Две вершины $x$ и $y$ называются ближайшими соседями, если существует соединяющее их ребро $l\in L$ ; этот факт мы обозначаем как $l=\langle x,y\rangle$ . Набор пар ближайших соседей вида $\langle x,x_1\rangle,\langle x_1,x_2\rangle,\ldots,\langle x_{d-1},y\rangle$ называется путем из $x$ в $y$ . Расстояние $d(x,y)$ между вершинами $x$ и $y$ дерева Кэли равно количеству ребер в кратчайшем пути из $x$ в $y$ . Для фиксированной вершины $x^0\in V$ , называемой корнем дерева, введем множества

$\begin{equation*} W_n=\{x\in V\colon d(x,x^0)=n\},\qquad V_n=\bigcup_{m=0}^{n}W_m \end{equation*} \notag$

и множество прямых потомков вершины

$x$ :

$\begin{equation*} S(x)=\{y\in W_{n+1}\colon d(x,y)=1\},\qquad x\in W_n. \end{equation*} \notag$

Вершины

$x$ и

$y$ называются следующими за ближайшим соседями, и мы обозначаем такие вершины как

$>x,y<$ , если существует вершина

$z\in V$ , такая что пары

$x$ ,

$z$ и

$y$ ,

$z$ являются ближайшими соседями. Мы считаем, что для пары

$\rangle x,y\langle$ следующих за ближайшим соседей существует

$n$ , такое что

$x\in W_n$ и

$y\in W_{n+2}$ ; этот тип следующих за ближайшим соседей рассматривается в модели Поттса с тремя состояниями (см. работу [12]).

Мы рассматриваем модель Поттса с конкурирующими ближайшими соседями и удаленным взаимодействием следующих за ближайшим соседей на дереве Кэли, считая, что спин принимает значения в множестве $\Phi:=\{0,1,2,\ldots{}\}$ . Далее определим конфигурацию $\sigma$ на $V$ как функцию $V\ni x\mapsto\sigma(x)\in\Phi$ ; множество всех конфигураций равно $\Phi^V$ . Гамильтониан модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями имеет вид

$\begin{equation} H(\sigma)=-J\sum_{\substack{\langle x,y\rangle,\\ x,y\in V}}\delta_{\sigma(x)\sigma(y)} -J_1\sum_{\substack{\rangle x,y\langle,\\ x,y\in V}}\delta_{\sigma(x)\sigma(y)}, \end{equation} \tag{2.1}$

где

$J,J_1\in\mathbb{R}$ суть константы связи и

$\delta$ – символ Кронекера. Для подмножества

$A\subset V$ обозначим как

$\Phi^A$ конфигурационное пространство на

$A$ . Введем функцию

$h\colon x\mapsto h_x=(h_{0,x},h_{1,x},\ldots)\in\mathbb{R}^{\infty}$ от

$x\in V\backslash\{x^0\}$ со значениями в множестве вещественных последовательностей.

Зафиксируем некоторую вероятностную меру $\nu=\{\nu(i)>0,\,i\in\Phi\}$ и рассмотрим вероятностное распределение $\mu_n$ на $\Phi^{V_n}$ для $n=1,2,\ldots{}$ , заданное как

$\begin{equation} \mu^{(n)}(\sigma_n)=Z^{-1}_n\exp\biggl(-\beta H(\sigma_n)+\sum_{x\in W_n} h_{\sigma(x),x}\biggr)\prod_{x\in V_n}\nu(\sigma(x)). \end{equation} \tag{2.2}$

Здесь

$\sigma_n\colon x\mapsto\sigma(x)$ ,

$x\in V_n$ , и

$Z_n$ – соответствующая статистическая сумма,

$\begin{equation} Z_n=\sum_{\tilde\sigma_n\in\Phi^{V_n}} \exp\biggl(-\beta H(\tilde\sigma_n)+\sum_{x\in W_n}h_{\tilde\sigma(x),x}\biggr)\prod_{x\in V_n}\nu(\tilde\sigma(x)). \end{equation} \tag{2.3}$

Замечание. Статистическая сумма $Z_n$ конечна, поскольку $\nu$ – вероятностная мера и экспонента в (2.3) как функция на $\Phi^{V_n}$ ограничена.

Как обычно, вероятностные распределения $\mu^{(n)}$ , $n=1,2,\ldots{}$ , согласованы тогда и только тогда, когда для всех $n\geqslant 1$ и любых $\sigma_{n-1}\in\Phi^{V_{n-1}}$

$\begin{equation} \sum_{{\omega_n}\in\Phi^{W_n}}\mu^{(n)}(\sigma_{n-1}\vee\omega_n)=\mu^{(n-1)}(\sigma_{n-1}). \end{equation} \tag{2.4}$

Здесь

$\sigma_{n-1}\vee\omega_n\in\Phi^{V_n}$ – произведение конфигураций

$\sigma_{n-1}$ и

$\omega_n$ .

3. Функциональные уравнения

Следующая теорема описывает условия на $h_x$ , гарантирующие согласованность распределений $\mu^{(n)}(\sigma_n)$ , $n=1,2,\ldots{}\,$ .

Теорема 1. Вероятностные распределения $\mu^{(n)}(\sigma_n)$ , $n=1,2,\ldots{}$ , заданные формулой (2.2), для дерева Кэли порядка два согласованы, если и только если для любого $x\in V\backslash{\{x^0\}}$ выполнены следующие уравнения:

$\begin{equation} h^*_{i,x}=F_i(h^*_{y}, h^*_{z},\beta, J),\quad i=1,2,\ldots, \end{equation} \tag{3.1}$

где

${\{y,z\}}=S(x)$ и

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, h^*_{x}=\biggl(h_{1,x}-h_{0,x}+\ln\frac{\nu(1)}{\nu(0)},h_{2,x}-h_{0,x}+\ln\frac{\nu(2)}{\nu(0)},\ldots\biggr), \\ F_i(h^*_{y},h^*_{z},\beta,J)=\ln \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}+h^*_{p,y}+h^*_{q,z}}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}+\delta_{0q})+J_1\beta\delta_{pq}+h^*_{p,y}+h^*_{q,z}}}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Доказательство. Необходимость. Предположим, что выполнено (2.4), и докажем (3.1). Подставляя выражение (2.2) в (2.4), получаем, что для всякой конфигурации $\sigma_{n-1}\colon x\mapsto\sigma_{n-1}(x)$ , где $x\in V_{n-1}$ , $\sigma_{n-1}(x)\in\Phi$ ,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{1}{Z_n} \sum_{\sigma^{(n)}\in\Phi^{W_{n}}}& \exp\biggl\{-\beta H_{n}(\sigma_n)+\sum_{x\in W_n}h_{\sigma(x),x}\biggr\}\prod_{y\in V_{n-1}}\nu(\sigma(y))= \\ &=\frac{1}{Z_{n-1}}\exp\biggl\{-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})+\sum_{x\in W_{n-1}}h_{\sigma_{n-1}(x),x}\biggr\} \end{aligned} \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{Z_{n-1}}{Z_n} \sum_{\sigma^{(n)}\in\Phi^{W_n}}\exp \biggl\{&-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})+J\beta\sum_{\substack {x\in W_{n-1},\\ y,z\in S(x)}}(\delta_{\sigma(x)\sigma(y)}+\delta_{\sigma(x)\sigma(z)})+{} \\ &+J_1\beta\sum_{\substack{x\in W_{n-1},\\ y,z\in S(x)}}\delta_{\sigma(y)\sigma(z)}+\sum_{x\in W_n}h_{\sigma(x),x}\biggr\} \prod_{y\in W_n}\nu(\sigma(y))= \\ &\kern60pt =\exp\biggl\{-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})+\sum_{x\in W_{n-1}}\exp h_{\sigma_{n-1}(x),x}\biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, для любого

$i\in\Phi$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{e^{h_{0,y}{+}h_{0,z}{+}2\ln\nu (0)}+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}\vphantom{p^A}}^{\infty} e^{J\beta(\delta_{ip}{+}\delta_{iq}){+}J_1\beta\delta_{pq}{+}h_{p,y}+h_{q,z}{+}\ln\nu(p){+}\ln\nu(q)}} {e^{h_{0,y}{+}h_{0,z}{+}2\ln\nu(0)}+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{J\beta(\delta_{0p}{+}\delta_{0q}){+}J_1\beta\delta_{pq}+h_{p,y}{+}h_{q,z}{+}\ln\nu(p){+}\ln\nu(q)}}= \\ &\kern290pt =e^{h_{i,x}-h_{0,x}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

отсюда

$\begin{equation*} h^*_{i,x}=\ln\frac{1+\sum_{\substack {p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{J\beta(\delta_{ip}^{}+\delta_{iq}^{})+J_1^{}\beta\delta_{pq}^{}+h^*_{p,y}+h^*_{q,z}}} {1+\sum_{\substack {p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{J\beta(\delta_{0p}^{}+\delta_{0q}^{})+J_1^{}\beta\delta_{pq}^{}+h^*_{p,y}+h^*_{q,z}}}, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} h^*_{i,x}=h_{i,x}-h_{0,x}+\ln\frac{\nu(i)}{\nu(0)}. \end{equation*} \notag$

Достаточность. Пусть выполнены уравнения (3.1), докажем (2.4). Имеем для $i=0,1,\ldots{}$

$\begin{equation} \sum_{p,q=0}^{\infty} e^{J\beta (\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}+h_{p,y}+h_{q,z}+\ln\nu (p)+\ln\nu(q)}=a(x)e^{h_{i,x}}. \end{equation} \tag{3.2}$

Получаем, что левая часть равенства (2.4) равна

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{1}{Z_n}&e^{-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})}\prod_{x\in W_{n-1}}\nu(\sigma(x))\times{} \nonumber\\ &\quad\times\sum_{\substack{x\in W_{n-1},\\ y,z\in S(x)}} e^{J\beta(\delta_{\sigma(x)\sigma(y)}+\delta_{\sigma(x)\sigma(z)})+J_1\beta\delta_{\sigma(y)\sigma(z)}+h_{\sigma(y),y}+h_{\sigma(z),z}}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.3}$

Подставляя (3.2) в (3.3) и вводя обозначение

$A_n=\prod_{x\in W_{n-1}}a(x)$ , получаем, что выражение (3.3) принимает вид

$\begin{equation} \frac{A_{n_1}}{Z_n}e^{-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})}\prod_{x\in W_{n-1}}\nu({\sigma(x)}). \end{equation} \tag{3.4}$

Поскольку

$\mu^{(n)}$ ,

$n\geqslant 1$ , являются вероятностным мерами, имеем

$\begin{equation*} \sum_{\sigma_{n-1}}\sum_{\sigma}^{(n)}\mu^{(n)}(\sigma_{n-1},\sigma^{(n-1)})=1. \end{equation*} \notag$

Следовательно, из (3.4) получаем, что

$Z_{n-1}A_{n-1}=Z_n$ , и равенство (2.4) выполнено.

4. Степенное решение функциональных уравнений (3.1)

Пусть $h_x=h=(h_1,h_2,\ldots)$ для всех $x\in V$ . Перепишем уравнения (3.1) в виде

$\begin{equation} h_i=\ln\frac{\nu(i)}{\nu(0)}+ \ln\frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}^{}+\delta_{iq}^{})+J_1^{}\beta\delta_{pq}^{}+h^*_{p}+h^*_{q}}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}^{}+\delta_{0q}^{})+J_1^{}\beta\delta_{pq}^{}+h^*_{p}+h^*_{q}}}. \end{equation} \tag{4.1}$

Положим

$u_i=e^{h_i}$ , тогда имеем для

$i=1,2,\ldots{}\,$

$\begin{equation} u_i=\frac{\nu(i)}{\nu(0)} \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}}\,u_pu_q} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}+\delta_{0q})+J_1\beta\delta_{pq}}\,u_pu_q}. \end{equation} \tag{4.2}$

Это уравнение имеет не более одного решения для любой фиксированной меры

$\nu$ .

Интересно описать точный вид такого решения и соответствующую меру $\nu$ . Мы ищем решения уравнения (4.2) вида $u_i=a^i$ для некоторого $a\in(0,1)$ и соответствующей меры $\nu$ . Из (4.2) получаем

$\begin{equation} \nu(i)\equiv\nu(i,a)=\nu(0)a^i \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}+\delta_{0q})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}}. \end{equation} \tag{4.3}$

Выберем

$a$ так, чтобы было выполнено условие

$\sum_{i=1}^{\infty}\nu(i)<+\infty$ . Рассмотрим отношение

$\begin{equation} \frac{\nu (i+1)}{\nu (i)}=a \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{i+1,p}+\delta_{i+1,q})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}}. \end{equation} \tag{4.4}$

Используя условие сходимости Даламбера, получаем условие

$\begin{equation} \frac{\nu (i+1)}{\nu(i)}\leqslant q<1. \end{equation} \tag{4.5}$

Перепишем правую часть равенства (4.4) как

$\begin{equation} a\frac{1{+}\theta^2\theta_1a^{2i}{+} \theta a^i\sum_{\substack{p>0,\vphantom{p^A}\\ p\neq i}}^{\infty}a^p{+} \theta a^i\sum_{\substack{q>0,\vphantom{p^A}\\ q\neq i}}^{\infty}a^q{+} \sum_{\substack{p>0,\vphantom{p^A}\\ p\neq i}}^{\infty}a^p \sum_{\substack{q>0,\vphantom{p^A}\\ q\neq i}}^{\infty} \theta^{\delta_{pq}}_1a^q} {1{+}\theta^2\theta_1a^{2(i{+}1)}{+} \theta a^{i{+}1}\sum_{\substack{p>0,\vphantom{p^A}\\ p\neq i{+}1}}^{\infty}a^p{+} \theta a^{i{+}1} \sum_{\substack{q>0,\vphantom{p^A}\\ q\neq i{+}1}}^{\infty}a^q{+} \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i{+}1}}^{\infty}a^p\;\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i{+}1}}^{\infty}\theta^{\delta_{pq}}_1a^q}, \end{equation} \tag{4.6}$

где

$\theta=e^{J\beta}$ ,

$\theta_1=e^{J_1\beta}$ . Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i}}^{\infty}\theta^{\delta_{pq}}_1a^q&= \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty} a^p\biggl(\theta_1a^p+\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i,p\neq q}}^{\infty}a^q\biggr)= \\ &=\theta_1\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty} a^{2p}+ \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i,p\neq q}}^{\infty} a^q= \\ &=\theta_1\biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)+\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p\biggl(\frac{a}{1-a}-a^i-a^p\biggr)= \\ &=\theta_1\biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)+ \biggl(\frac{a}{1-a}-a^i\biggr)\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p-\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^{2p}= \\ &=\theta_1 \biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)+\biggl(\frac{a}{1-a}-a^i\biggr)^{\!\!2}- \biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)= \\ &=(\theta_1-1)\biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggl)+\biggl(\frac{a}{1-a}-a^i\biggr)^{\!\!2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

После некоторых упрощений получаем для (4.6) следующие выражения:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, a\frac{1+\theta^2\theta_1a^{2i}+2\theta a^i\bigl(\frac{a}{1-a}-a^i\bigr)+ (\theta_1-1)\bigl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\bigr)+\bigl(\frac{a}{1-a}-a^i\bigr)^2} {1+\theta^2\theta_1a^{2(i+1)}+2\theta a^{i+1}\bigl(\frac{a}{1-a}-a^{i+1}\big)+ (\theta_1-1)\bigl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2(i+1)}\bigr)+\bigl(\frac{a}{1-a}-a^{i+1}\bigr)^2}= \\ =a\frac{1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2i}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2} {1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^{i+1}+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2(i+1)}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+(\frac{a}{1-a})^2}=aA_i, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation} A_i=\frac{1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2i}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2} {1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^{i+1}+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2(i+1)}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+(\frac{a}{1-a})^2}. \end{equation} \tag{4.7}$

Нетрудно видеть, что

$A_{i+1}<A_i$ для

$i=1,2,\ldots{}\,$ . Следовательно, для сходимости по Даламберу достаточно решить неравенство

$aA_1<1$ , которое эквивалентно

$\begin{equation} (1-a)\bigl((\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)(a^6-a^5-a^4)+(\theta^2\theta_1-2\theta-1)a^3-(\theta_1-1)a^2+a-1\bigr)<0. \end{equation} \tag{4.8}$

Случай 1: пусть $\theta_1\theta+\theta_1-2=0$ .

В этом случае условие (4.8) принимает вид

$\begin{equation} (1-a)\bigl[(-3\theta-1)a^3-(1-\theta)a^2+(1+\theta)a-(1+\theta)\bigr]<0. \end{equation} \tag{4.9}$

Обозначим как

$a^*$ корень уравнения

$(-3\theta-1)a^3-(1-\theta)a^2+(1+\theta)a-(1+\theta)=0$ ,

$\begin{equation} \begin{aligned} \, a^*&=\frac{1}{3}\frac{1}{3\theta+1}\Bigl(-107\theta^3-201\theta^2-105\theta-19+{} \nonumber\\ &\kern88pt+3\sqrt{3}\sqrt{43\theta^4+136\theta^3+146\theta^2+64\theta+11}(3\theta+1)\Bigr)^{-1/3}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{2}{3}\frac{5\theta^2+5\theta+2}{(3\theta+1)}\Bigl(-107\theta^3-201\theta^2-105\theta-19+{} \nonumber\\ &\kern88pt+3\sqrt{3}\sqrt{43\theta^4+136\theta^3+146\theta^2+64\theta+11}(3\theta+1)\Bigr)^{-1/3}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{1}{3}\frac{\theta-1}{3\theta+1}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.10}$

Получаем следующие решения неравенства (4.8) для

$a\in(0,1)$ :

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} &a\in(0,1),&\quad\text{если}\quad &a^*\in[1;+\infty); \\ &a\in(0,a^*),&\quad\text{если}\quad &a^*\in(0,1); \\ &a\in\varnothing,&\quad\text{если}\quad &a^*\in(-\infty;0]. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Случай 2: пусть $\theta=1$ .

В этом случае из (4.8) имеем

$\begin{equation} (1-a)\bigl((\theta_1-3)a^3-(\theta_1-1)a^2+a-1\bigr)<0. \end{equation} \tag{4.11}$

Корень соответствующего кубического уравнения имеет вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, a^{**}&=\frac{1}{3(\theta_1-3)} \Bigl(\theta_1^3+6\theta_1^2-60\theta_1^{}+107+{} \nonumber\\ &\kern99pt +3\sqrt{3}\sqrt{\theta_1^5-7\theta_1^4-3\theta_1^3+142\theta_1^2-420\theta_1^{}+387}\,\Bigr)^{1/3}+{} \nonumber\\ &\quad +\frac{\theta_1^2-5\theta_1+10}{3(\theta_1-3)} \Bigl(\theta_1^3+6\theta_1^2-60\theta_1^{}+107+{} \nonumber\\ &\kern99pt+3\sqrt{3}\sqrt{\theta_1^5-7\theta_1^4-3\theta_1^3+142\theta_1^2-420\theta_1^{}+387}\,\Bigr)^{-1/3}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{\theta_1-1}{3(\theta_1-3)}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.12}$

Получаем следующие решения неравенства (4.11) для

$a\in(0,1)$ :

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} &a\in(0,1),&\quad\text{если}\quad &a^{**}\in[1;+\infty); \\ &a\in(0,a^{**}),&\quad\text{если}\quad &a^{**}\in(0,1); \\ &a\in\varnothing,&\quad\text{если}\quad &a^{**}\in(-\infty;0]. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Случай 3: пусть $\theta_1=1$ .

В этом случае из (4.7) имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A_i&= \frac{1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2-2\theta +1)a^{2i}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2} {1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^{i+1}+(\theta^2-2\theta +1)a^{2(i+1)}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2}= \nonumber\\ &=\frac{1+\bigl((\theta-1)a^i+\frac{a}{1-a}\bigr)^2}{1+\bigl((\theta-1)a^{i+1}+\frac{a}{1-a}\bigr)^2}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.13}$

Пусть $\theta>1$ . Как нетрудно видеть, $0<A_i<1$ при $\theta>1$ , если $a\in(0,1)$ . Тогда неравенство (4.5) выполнено при всех $a\in(0,1)$ .

Пусть $\theta<1$ . Положим $b_i=(\theta-1)a^i+\frac{a}{1-a}$ . Тогда $b_{i+1}>b_i$ и

$\begin{equation*} \frac{\nu(i+1)}{\nu(i)}=aA_i=a\frac{1+b_i^2}{1+b_{i+1}^2}<a<1 \end{equation*} \notag$

при

$\theta<1$ и любых

$a\in(0,1)$ .

Случай 4: пусть $(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)\neq 0$ .

В этом случае из (4.8) имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, a^6-a^5&{}-a^4+\frac{\theta^2\theta_1-2\theta-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}a^3-{} \\ &{}-\frac{\theta_1-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}a^2+\frac{a-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Чтобы решить это уравнение, положим $a=x+1/6$ и получим

$\begin{equation} \begin{aligned} \, x^6&=\frac{17}{12}x^4+\biggl(\frac{23}{27}-\alpha\biggr)x^3+\biggl(-\frac{\alpha}{2}+\beta+\frac{29}{144}\biggr)x^2+{} \nonumber \\ &\quad +\biggl(-\frac{\alpha}{12}+\frac{\beta}{3}-\gamma+\frac{7}{324}\biggr)x+ \biggl(-\frac{\alpha}{216}+\frac{\beta}{36}+\frac{5\gamma}{6}+\frac{41}{46656}\biggr), \end{aligned} \end{equation} \tag{4.14}$

где

$\begin{equation*} \alpha=\frac{\theta^2\theta_1-2\theta-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)},\quad \beta=\frac{\theta_1-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)},\quad \gamma=\frac{1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}. \end{equation*} \notag$

Введем обозначения

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} b&=\frac{23}{27}-\alpha,&\qquad c&=-\frac{\alpha}{2}+\beta+\frac{29}{144}, \\ d&=-\frac{\alpha}{12}+\frac{\beta}{3}-\gamma+\frac{7}{324},&\qquad e&=-\frac{\alpha}{216}+\frac{\beta}{36}+\frac{5\gamma}{6}+\frac{41}{46656}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Чтобы получить решение уравнения (4.14) шестой степени, разложим его на два кубических; это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты удовлетворяют следующему условию:

$\begin{equation*} \biggl(c+\frac{d^2}{b^2}\biggr)^{\!\!2}=4\biggl(\frac{17}{12}+2\frac{d^2}{b^2}\biggr)\biggl(e+\frac{b^2}{4}\biggr). \end{equation*} \notag$

В результате получаем уравнение

$\begin{equation*} x^3+\frac{d}{b}x-\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{17}{12}+2\frac{d^2}{b^2}} \biggl( x^2+\frac{c+d^2/b^2}{17/6+4d^2/b^2}\biggr). \end{equation*} \notag$

Это уравнение имеет два вещественных корня

$x_{+}$ и

$x_{-}$ , которым отвечают

$a_{+}$ и

$a_{-}$ , заданные как

$\begin{equation} \begin{aligned} \, a_{+}&=\frac{m^2/18\sqrt[3]{4}-2d/\sqrt[3]{4}b}{\bigl(F_1+\sqrt{F_1^2+(36d-m^2b)^3/432b^3}\,\bigr)^{\!1/3}}+\frac{m}{6\sqrt{3}}+{} \\ &\quad +\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}\biggl(F_1+\sqrt{F_1^2+\frac{(36d-m^2b)^3}{432b^3}}\;\biggr)^{\!\!1/3}+\frac{1}{6}, \\ a_{-}&=\frac{m^2/18\sqrt[3]{4}-2d/\sqrt[3]{4}b}{\sqrt[3]{4}b} \biggl(F_2+\sqrt{F_2^2+\frac{(36d-m^2b)^3}{432b^3}}\,\biggr)^{\!\!-1/3}+\frac{m}{6\sqrt{3}}+{} \\ &\quad +\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}\biggl( F_2+\sqrt{F_2^2+\frac{(36d-m^2b)^3}{432b^3}}\;\biggr)^{\!\!1/3}+\frac{1}{6}, \end{aligned} \end{equation} \tag{4.15}$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, F_1&=\frac{27}{m^2}\biggl(\frac{17b}{2}+\frac{12d^2}{b}\biggr)+ \frac{27\sqrt{3}}m\biggl(c+\frac{d^2}{b^2}\biggr)+\sqrt{3}m\biggl(\frac{17}{36}-\frac{3d}{2b}+\frac{2d^2}{3b^2}\biggr), \\ F_2&=\frac{27}{m^2}\biggl(\frac{17b}{2}+\frac{12d^2}{b}\biggr)- \frac{27\sqrt{3}}m\biggl(c+\frac{d^2}{b^2}\biggr)-\sqrt{3}m\biggl(\frac{17}{36}-\frac{3d}{2b}+\frac{2d^2}{3b^2}\biggr) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

$m=\sqrt{(17b^2+24d^2)/b^2}$ .

При условии $(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)\neq 0$ мы получаем следующие решения:

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{4} &a\in(0;a_{+}),&\quad\text{если}\quad &a_{-}<0,\;\; 0<a_{+}<1; \\ &a\in(a_{-};a_{+}),&\quad\text{если}\quad &a_{-},a_{+}\in(0,1); \\ &a\in(a_{-};1),&\quad\text{если}\quad &0<a_{-}<1,\;\; a_{+}>1; \\ &a\in\varnothing,&\quad\text{если}\quad &a_{-},a_{+}\in(-\infty;0]\cup [1;+\infty). \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Случай 5: пусть $\theta\leqslant 1$ и $\theta_1\geqslant 2$ .

Положим

$\begin{equation*} b_i=1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2 \theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2i}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+\biggl(\frac{a}{1-a}\biggr)^{\!\!2}. \end{equation*} \notag$

Видно, что

$b_{i+1}\geqslant b_i>0$ для всех

$i=1,2,\ldots{}$ , если

$\theta\leqslant 1$ ,

$\theta_1\geqslant 2$ и

$a\in(0,1)$ . Используя неравенство

$b_{i+1}>b_i$ , из (4.4) мы заключаем, что неравенство (4.5) выполнено при всех

$a\in(0,1)$ .

Таким образом, получаем следующий результат.

Теорема 2. Пусть порядок дерева Кэли $k=2$ . Тогда для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли хотя бы одна трансляционно-инвариантная мера Гиббса $\mu_a$ , которая отвечает решению $\{u_i=a^i\}$ системы (4.2) и мере $\nu(i)=\nu(i,a)$ , существует при следующих условиях для $a$ .

Если $\theta_1\theta+\theta_1-2=0$ , то $a\in(0,1)$ при $a^*\in[1,\infty)$ ; $a\in(0;a^*)$ при $a^*\in(0;1)$ .
Если $\theta=1$ , то $a\in(0,1)$ при $a^{**}[1,\infty)$ ; $a\in(0;a^{**})$ при $a^{**}\in(0;1)$ .
Если $\theta_1=1$ и $\theta>1$ или $\theta<1$ , то $a\in(0,1)$ .
Если $(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)\neq 0$ , то $a\in(0;a_{+})$ при $a_{-}<0$ и $0<a_{+}<1$ ; $a\in(a_{-};a_{+})$ при $a_{-},a_{+}\in(0,1)$ ; $a\in(a_{-};1)$ при $0<a_{-}<1$ , $a_{+}>1$ .
Если $\theta\leqslant 1$ и $\theta_1\geqslant 2$ , то $a\in(0,1)$ .

Здесь

$a^*$ ,

$a^{**}$ и

$a_{\pm}$ определяются формулами (4.10), (4.12) и (4.15) соответственно.

Благодарности

Мы благодарим рецензентов за ценные замечания.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	F. Y. Wu, “The Potts model”, Rev. Modern Phys., 54:1 (1982), 235–268
2.	Н. Н. Ганиходжаев, “О чистых фазах ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями на решетке Бете второго порядка”, ТМФ, 85:2 (1990), 163–175
3.	Н. Н. Ганиходжаев, “О чистых фазах ферромагнитной модели Поттса на решетке Бете”, Докл. АН РУз, 6:7 (1992), 4–7
4.	П. М. Блехер, Н. Н. Ганиходжаев, “О чистых фазах модели Изинга на решетках Бете”, Теория вероятн. и ее примен., 35:2 (1990), 220–230
5.	P. M. Bleher, J. Ruiz, V. A. Zagrebnov, “On the purity of the limiting Gibbs states for the Ising model on the Bethe lattice”, J. Stat. Phys., 79:1–2 (1995), 473–482
6.	Г. И. Ботиров, У. А. Розиков, “Модель Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли: контурный метод”, ТМФ, 153:1 (2007), 86–97
7.	N. N. Ganikhodjaev, “The Potts model on $\mathbb{Z}^d$ with countable set of spin values”, J. Math. Phys., 45:3 (2004), 1121–1127
8.	N. N. Ganikhodjaev, U. A. Rozikov, “The Potts model with countable set of spin values on a Cayley tree”, Lett. Math. Phys., 75:2 (2006), 99–109
9.	C. Külske, U. A. Rozikov, R. M. Khakimov, “Description of translation-invariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree”, J. Stat. Phys., 156:1 (2014), 189–200, arXiv: 1310.622
10.	Р. М. Хакимов, М. Т. Махаммадалиев, “Трансляционная инвариантность периодических мер Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли”, ТМФ, 199:2 (2019), 291–301
11.	Г. И. Ботиров, У. У. Каюмов, “Основные состояния модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями и счетным множеством значений спина на дереве Кэли”, ТМФ, 209:2 (2021), 367–377
12.	N. Ganikhodjaev, F. Mukhamedov, C. H. Pah, “Phase diagram of the three states Potts model with next nearest neighbour interactions on the Bethe lattice”, Phys. Lett. A, 373:1 (2008), 33–38, arXiv: 0803.2558

Образец цитирования: Г. И. Ботиров, З. Э. Мустафоева, “Меры Гиббса для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли”, ТМФ, 214:2 (2023), 318–328; Theoret. and Math. Phys., 214:2 (2023), 273–281

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BotMus23}

\by Г.~И.~Ботиров, З.~Э.~Мустафоева

\paper Меры Гиббса для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 214

\issue 2

\pages 318--328

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10353}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10353}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563410}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...214..273B}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 214

\issue 2

\pages 273--281

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923020113}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149273168}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10353

https://doi.org/10.4213/tmf10353

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v214/i2/p318

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	148
PDF полного текста:	35
HTML русской версии:	100
Список литературы:	26
Первая страница:	3

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы