| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Неподвижные точки бесконечномерного оператора, связанного с мерами Гиббса У. Р. Олимовa, У. А. Розиковabc a Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан b Университет AKFA, Ташкент, Узбекистан c Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020125 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ данной работе исследуется бесконечномерный оператор $F$, отображающий $l_+^1$ на себя и связанный с физической системой с $\mathbb N$-значными спиновыми переменными $\sigma(x)$, расположенными в вершинах $x$ ($k$-регулярного) дерева Кэли, где у каждого узла имеется $k+1$ соседей. А именно, нас интересуют неподвижные точки оператора $F$. Известно (см. [1]), что каждая нормализуемая неподвижная точка оператора $F$ определяет меру Гиббса $\mathbb N$-значной системы значений спина. Ненормализуемая неподвижная точка не определяет меру Гиббса, но если оператор соответствует градиентному потенциалу на пространстве градиентных конфигураций $\sigma$, то такие неподвижные точки определяют некоторые градиентные меры Гиббса (подробную мотивацию и недавние результаты см. в [1]–[18]). В теории мер Гиббса на деревьях в основном изучались гамильтонианы с конечным набором значений спина (например, модель Изинга, модели Поттса и модели жесткого ядра (HC-модели)). Для таких моделей трансляционно-инвариантные меры Гиббса можно описать в терминах корней многочленов, зависящих от параметров модели и от порядка $k$ дерева Кэли (см. [19]–[22] и приведенные там ссылки). В случае $\mathbb N$-значных спинов труднее исследовать градиентные меры Гиббса, так как решения соответствующего уравнения становятся бесконечномерными векторами даже для трансляционно-инвариантных состояний, поэтому мы не можем получить явные решения в общем случае. Решений может вообще не быть из-за некомпактности множества $\mathbb N$. В этой статье мы рассматриваем модель, в которой такие решения и соответствующие меры Гиббса существуют. Более того, мы показываем, что в зависимости от параметров может быть до пяти трансляционно-инвариантных мер Гиббса. 2. Условие единственности неподвижной точкиВведем обозначение
$$
\begin{equation*}
l^1_+=\biggl\{x=(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots):x_i>0,\, \|x\|=\sum_{j=1}^\infty x_j<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для описания трансляционно-инвариантных мер Гиббса HC-моделей на дереве Кэли порядка $k\geqslant 2$ необходимо изучить неподвижные точки оператора $F\colon l^1_+\to l^1_+$, определенного формулой
$$
\begin{equation*}
F\colon x'_i=\lambda_i \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\sum_{j=1}^\infty a_{1j}x_j}\biggr)^{\!k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $k,i\in \mathbb N$, $\lambda_i>0$ и $a_{ij}\in\{0,1\}$ – заданные параметры. Мы будем изучать неподвижные точки оператора $F$ в случае, когда $a_{1j}=1$ для любых $j\in\mathbb N$. В этом случае оператор принимает более простой вид:
$$
\begin{equation}
F\colon x'_i=\lambda_i\biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\|x\|}\biggr)^{\!k},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $k,i\in\mathbb N$, $\lambda_i>0$. Пусть $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\dots)\in l^{1}_{+}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
A_k=\biggl\{x\in\ell^1_+:\lambda_1 +\frac{\|\lambda\|-\lambda_1}{(1+\|\lambda\|)^k}\leqslant\|x\|\leqslant\|\lambda\|\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Если $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\dots)\in l^1_+$, то множество $A_k$ инвариантно относительно оператора (1), $F\colon\ell^1_+\to\ell^1_+$, т. е. $F(A_k)\subset A_k$. Доказательство. Для любого $x\in\ell^1_+$ из (1) имеем
$$
\begin{equation*}
0<x'_i=\lambda_i\biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\|x\|}\biggr)^k \leqslant\lambda_i\biggl(\frac{1+\|x\|}{1+\|x\|}\biggr)^k=\lambda_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|x'\|=\sum_{i=1}^\infty x'_i\leqslant\sum_{i=1}^\infty\lambda_i=\|\lambda\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь найдем нижнюю грань для $\|x'\|$. Из (1) следует, что поэтому Лемма доказана. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat\lambda:=\hat\lambda(k) ={}&\frac{1}{6k}\bigl(1-3k+\sqrt[3]{1+9k+72k^2+\sqrt{(1+9k+72k^2)^2-(3+18k+9k^2)^3}}+{} \\ &+\sqrt[3]{1+9k+72k^2-\sqrt{(1+9k+72k^2)^2-(3+18k+9k^2)^3}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно видеть, что $\hat\lambda(k)>0$ – убывающая функция от $k\geqslant 2$ с максимальным значением $\hat\lambda(2)\approx 0.5296$. Лемма 2. Для любого $\lambda\in\ell^1_+$, $\|\lambda\|<\hat\lambda$, существует $\kappa(\lambda,k)\in(0,1)$ такое, что Таким образом, $F\colon A_k\to A_k$ – сжимающее отображение.Доказательство. Напомним, что $x'_1=\lambda_1$. Для любых $(\lambda_1,x_2,x_3,\dots,x_n,\dots)$ и $(\lambda_1,y_2,y_3,\dots,y_n,\dots)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_i(x)-F_i(y)&=\lambda_i\biggl( \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\|x\|}\biggr)^{\!k} -\biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}y_j}{1+\|y\|}\biggr)^{\!k}\,\biggr)= \\ &=\lambda_i\biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\|x\|} -\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}y_j}{1+\|y\|}\biggr)U(x,y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
U(x,y):=\sum_{p=0}^{k-1} \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\|x\|}\biggr)^{\!k-p-1} \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}y_j}{1+\|y\|}\biggr)^{\!p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_i(x)-F_i(y)&=U(x,y)\lambda_i \frac{(1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j)(1+\|y\|)-(1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}y_j)(1+\|x\|)} {(1+\|x\|)(1+\|y\|)}= \\ &=U(x,y)\lambda_i \frac{(1+\|x\|)\sum_{j=1}^\infty a_{ij}(x_j-y_j)+(\|y\|-\|x\|)(1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j)} {(1+\|x\|)(1+\|y\|)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим следующие неравенства: 1) если $x,y\in\ell^1_+$, то $\|y\|-\|x\|=\sum_{j=1}^\infty (y_j-x_j)$ и $\|y-x\|=\sum_{j=1}^\infty|y_j-x_j|$, следовательно, 2) для любого $x,y\in\ell^1_+$ в силу $a_{ij}\in{\{0,1\}}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j\leqslant\|x\|,\qquad \sum_{j=1}^\infty a_{ij}(x_j-y_j)\leqslant\|x-y\|;
\end{equation*}
\notag
$$
3) также заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|y\|-\|x\|+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}(x_j-y_j)= \\ &\qquad=\sum_{j=1}^\infty(y_j-x_j)-\sum_{j=1}^\infty a_{ij}(y_j-x_j) =-\sum_{j=1}^\infty(1-a_{ij})(x_j-y_j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
-\|x-y\|\leqslant\sum_{j=1}^\infty(1-a_{ij})(x_j-y_j)\leqslant\|x-y\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $a_{ij}\in\{0,1\}$ и $x_i>0$, то $U(x,y)\leqslant k$ для любых $x$, $y$. Применяя упомянутые выше неравенства, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F_i(x)-F_i(y)|&\leqslant\frac{k\lambda_i(1+2\|x\|)}{(1+\|x\|)(1+\|y\|)}\|x-y\|, \\ \|F(x)-F(y)\|&=\sum_{j=1}^\infty|F_i(x)-F_i(y)| \leqslant\frac{k\|\lambda\|(1+2\|x\|)}{(1+\|x\|)(1+\|y\|)}\|x-y\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
K(x,y)=\frac{k\|\lambda\|(1+2\|x\|)}{(1+\|x\|)(1+\|y\|)} =\frac{k\|\lambda\|(1+2\|x\|)}{1+\|x\|}\frac{1}{1+\|y\|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы найти верхнюю грань для $K(x,y)$, введем
$$
\begin{equation*}
g(t)=\frac{1+2t}{1+t},\qquad h(t)=\frac{1}{1+t},\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем максимальные значения этих функций при $t$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\lambda_1+\frac{\|\lambda\|-\lambda_1}{(1+\|\lambda\|)^2} \leqslant t\leqslant\|\lambda\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $g(t)$ – возрастающая функция с максимальным значением
$$
\begin{equation*}
g_{\max}(\|\lambda\|)=\frac{1+2\|\lambda\|}{1+\|\lambda\|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, $h(t)$ – убывающая функция и
$$
\begin{equation*}
h_{\max}\biggl(\lambda_1 +\frac{\|\lambda\|-\lambda_1}{(1+\|\lambda\|)^2}\biggr) =\frac{1}{1+\lambda_1+\frac{\|\lambda\|-\lambda_1}{(1+\|\lambda\|)^2}} <\frac{1}{1+\frac{\|\lambda\|}{(1+\|\lambda\|)^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эти соотношения, получим
$$
\begin{equation*}
K(x,y)<k\|\lambda\|\frac{(1+2\|\lambda\|)}{(1+\|\lambda\|)} \frac{1}{1+\frac{\|\lambda\|}{(1+\|\lambda\|)^2}} =k\frac{2\|\lambda\|^3+3\|\lambda\|^2+\|\lambda\|} {\|\lambda\|^2+2\|\lambda\|+2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь найдем $\lambda$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\frac{2k\|\lambda\|^3+3k\|\lambda\|^2+k\|\lambda\|} {\|\lambda\|^2+2\|\lambda\|+2}<1.
\end{equation*}
\notag
$$
А именно,
$$
\begin{equation*}
\varphi(\|\lambda\|):=2k\|\lambda\|^3+(3k-1)\|\lambda\|^2+(k-2)\|\lambda\|-2<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\varphi(0)=-2<0$ и $\varphi(2)>0$. Поэтому $\varphi$ имеет по крайней мере один ноль в интервале $(0,2)$. Согласно теореме Декарта $\varphi(\|\lambda\|)=0$ имеет единственное положительное решение, так как его коэффициенты меняют знак только один раз. По формуле Кардано получим явный вид единственного корня, который равен $\hat\lambda$, определенному выше. Таким образом, $\varphi(\|\lambda\|)<0$ при $\|\lambda\|<\hat\lambda$. Для сжимающего отображения известна следующая теорема. Теорема 1. Если $\|\lambda\|<\hat\lambda$, то оператор (1) имеет единственную неподвижную точку $z^*$, и для любой начальной точки $z^{(0)}\in A_k$ имеет место равенство $\lim_{n\to\infty}F^n(z^{(0)})=z^*$. 3. Примеры единственностиВ данном разделе приведены примеры оператора $F$, имеющего единственную неподвижную точку. 1. Если предположить $a_{ij}=1$ (или $a_{ij}=0$) для всех $i$, $j$, то оператор примет вид
$$
\begin{equation*}
x'_i=\lambda_i \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j}{1+\sum_{j=1}^\infty a_{1j}x_j}\biggr)^{\!k} =\lambda_i\qquad \forall i\in\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $F(A_k)=\lambda$, т. е. любая точка $x\in A_k$ стремится к $\lambda$ после первого применения оператора $F$. 2. Пусть $k=2$. Если $a_{1j}=1$, $a_{i1}=1$ при всех $i$, $j$ и $a_{ij}=0$ в остальных случаях, то оператор примет вид
$$
\begin{equation}
x'_1=\lambda_1,\qquad x'_i=\lambda_i\biggl(\frac{1+\lambda_1}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2},\qquad i\geqslant 2.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Чтобы найти неподвижные точки оператора, нужно решить уравнения
$$
\begin{equation}
x_1=\lambda_1,\qquad x_i =\lambda_i\biggl(\frac{1+\lambda_1}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2},\qquad i\geqslant 2.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Суммируя все уравнения этой системы, получим
$$
\begin{equation*}
\|x\|=\lambda_1+\frac{(1+\lambda_1)^2}{(1+\|x\|)^{\!2}}(\|\lambda\|-\lambda_1).
\end{equation*}
\notag
$$
А именно,
$$
\begin{equation*}
\psi(\|x\|):=\|x\|^3+(2-\lambda_1)\|x\|^2 +(1-2\lambda_1)\|x\|-(1+\lambda_1)^2(\|\lambda\|-\lambda_1)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\psi(0)<0$ и $\psi(+\infty)>0$. Поэтому $\psi$ имеет хотя бы один корень на полуоси $(0,+\infty)$. Согласно теореме Декарта уравнение $\psi(\|x\|)=0$ имеет единственный положительный корень, так как знаки его коэффициентов меняются только один раз при каждом фиксированном $\lambda_1$. По формуле Кардано получим явный вид единственного корня: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha&=\sqrt[3]{\frac{(1+\lambda_1)^2}{6}} \sqrt[3]{1+\sqrt{\biggl(9\|\lambda\|+\frac{2-25\lambda_1}{3}\biggr)^{\!2} -\frac{4(1+\lambda_1)^2}{3}}}, \\ \beta&=\sqrt[3]{\frac{(1+\lambda_1)^2}{6}} \sqrt[3]{1-\sqrt{\biggl(9\|\lambda\|+\frac{2-25\lambda_1}{3}\biggr)^{\!2} -\frac{4(1+\lambda_1)^2}{3}}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это единственное значение $\|x\|$ определяет по формуле (3) единственную неподвижную точку оператора (2). 3. В этом примере возьмем $a_{i1}=0$ при $i\geqslant 2$ и $a_{ij}=1$ в остальных случаях. Тогда соответствующей неподвижной точкой уравнения будет точка
$$
\begin{equation}
x_1=\lambda_1,\qquad x_i =\lambda_i\biggl(\frac{1+\|x\|-\lambda_1}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2},\qquad i\geqslant 2.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Отсюда получим
$$
\begin{equation*}
\|x\|=\lambda_1+\frac{(1+\|x\|-\lambda_1)^2}{(1+\|x\|)^2} (\|\lambda\|-\lambda_1),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\|x\|^3+(2-\|\lambda\|)\|x\|^2 +(2(1-\lambda_1)(1+\lambda_1-\|\lambda\|)-1)\|x\| -\lambda_1-(1-\lambda_1)^2(\|\lambda\|-\lambda_1)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
По аналогии с приведенными выше примерами можно показать, что это уравнение имеет единственное решение где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha&=\sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\biggl(\frac{A}{3}\biggr)^{\!3} +\biggl(\frac{B}{2}\biggr)^{\!2}}},\qquad \beta=\sqrt[3]{-\frac{B}{2}-\sqrt{\biggl(\frac{A}{3}\biggr)^{\!3} +\biggl(\frac{B}{2}\biggr)^{\!2}}}, \\ A&=\lambda_1(\|\lambda\|-\lambda_1)-\frac{(1+\|\lambda\|)^2}{3}, \\ B&=-\frac{2(1+\|\lambda\|)^3}{27} +\frac{2\lambda_1(\|\lambda\|-\lambda_1)(1+\|\lambda\|)}{3} -\lambda_1^2(\|\lambda\|-\lambda_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это единственное решение $\|x\|$ в (4), получим единственную неподвижную точку данного оператора.
4. Пример неединственностиВ этом разделе для $k=2$ рассмотрим оператор и покажем, что он имеет более одной неподвижной точки. А именно, покажем, что в зависимости от параметров оператор может иметь до пяти неподвижных точек. Возьмем $a_{11}=1$, $a_{1j}=1$, $a_{i1}=0$ для любых $i\ne 1$, $j\ne 1$, а для остальных значений $i$, $j$ возьмем
$$
\begin{equation}
a_{ij}=\begin{cases} 1, &\text{если }i+j\text{ четно}, \\ 0, &\text{если }i+j\text{ нечетно}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Тогда соответствующий оператор имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x'_1&=\lambda_1, \\ x'_{2n}&=\lambda_{2n} \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty x_{2j}}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2}, \\ x'_{2n+1}&=\lambda_{2n+1} \biggl(\frac{1+\sum_{j=1}^\infty x_{2j+1}}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Чтобы найти неподвижные точки этого оператора, введем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} M_1&=\sum_{j=1}^\infty x_{2j+1},&\qquad M_2&=\sum_{j=1}^\infty x_{2j}, \\ L_1&=\sum_{j=1}^\infty\lambda_{2j+1},&\qquad L_2&=\sum_{j=1}^\infty\lambda_{2j}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\|x\|=x_1+M_1+M_2$. Тогда уравнения для определения неподвижной точки (6) преобразуются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_1&=\lambda_1, \\ x_{2n}&=\lambda_{2n}\biggl(\frac{1+M_2}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2}, \\ x_{2n+1}&=\lambda_{2n+1}\biggl(\frac{1+M_1}{1+\|x\|}\biggr)^{\!2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Суммируя эти уравнения, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_1&=L_1\biggl(\frac{1+M_1}{1+\lambda_1+M_1+M_2}\biggr)^{\!2}, \\ M_2&=L_2\biggl(\frac{1+M_2}{1+\lambda_1+M_1+M_2}\biggr)^{\!2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Таким образом, каждое решение $(M_1,M_2)$ уравнений (8) однозначно определяет неподвижную точку оператора (6) по формулам (7). Для простоты предположим, что $L_1=L_2=L$. Тогда из (8) имеем
$$
\begin{equation*}
M_1-M_2=L\biggl(\biggl(\frac{1+M_1}{1+\lambda_1+M_1+M_2}\biggr)^{\!2} -\biggl(\frac{1+M_2}{1+\lambda_1+M_1+M_2}\biggr)^{\!2}\,\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
(M_1-M_2)(1+\lambda_1+M_1+M_2)^2=L(M_1-M_2)(2+M_1+M_2).
\end{equation*}
\notag
$$
А именно, Из (9) следует, что $M_1=M_2$ или 4.1. Случай $M_1=M_2=M$В этом случае имеем Введем обозначения $a=4/L$ и $b=(1+\lambda_1)/2$ и запишем последнее уравнение в виде Введем следующую функцию: Имеем Заметим, что если $b\leqslant 9$, то $f'(x)<0$, и уравнение $a=f(x)$ имеет единственное положительное решение при каждом $a>0$. При $b>9$ из уравнения $f'(x)=0$ получим два положительных решения: Пусть $0<f(x_1)<f(x_2)$, тогда число положительных решений уравнения $f(x)=a$ равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1,\qquad \text{если }a\notin[f(x_1),f(x_2)], \\ &2,\qquad \text{если }a\in\{f(x_1),f(x_2)\}, \\ &3,\qquad \text{если }a\in(f(x_1),f(x_2)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $f(x_1)$ и $f(x_2)$ получены в явном виде, но формулы очень громоздкие. Например, если $b=10$, то в случае трех решений указанное выше условие на $a$ принимает вид Это условие для начальных параметров имеет вид $\lambda_1=19$, $125\leqslant L\leqslant 128$. Напомним, что $a$ и $b$ зависят от $L$ и $\lambda_1$. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1&=\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:a>0,\,b\leqslant 9\} \cup\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:a\notin[f(x_1),f(x_2)],\,b>9\}, \\ A_2&=\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:a\in\{f(x_1),f(x_2)\},\,b>9\}, \\ A_3&=\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:a\in(f(x_1),f(x_2)),\,b>9\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для построения графиков этих множеств перепишем указанные выше функции в зависимости от начальных параметров $L$ и $\lambda_1$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_1&=\frac{\lambda_1-5-\sqrt{\lambda_1^2-18\lambda_1+17}}{4},\qquad x_2=\frac{\lambda_1-5+\sqrt{\lambda_1^2-18\lambda_1+17}}{4}, \\ f(x_1)&=a\quad\Leftrightarrow\quad L=\frac{2\lambda_1^2+76\lambda_1-142+(2\lambda_1-34)\sqrt{\lambda_1^2-18\lambda_1+17}}{16}, \\ f(x_2)&=a\quad\Leftrightarrow\quad L=\frac{2\lambda_1^2+76\lambda_1-142-(2\lambda_1-34)\sqrt{\lambda_1^2-18\lambda_1+17}}{16}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эти равенства, можно получить множества, показанные на рис. 1. 4.2. Случай (10)Теперь пусть $M_1\ne M_2$ и равенство (10) выполнено. Обозначив $M_1+M_2=t$, из (10) получим А именно, Это уравнение имеет решения где $D=L(L+4-4\lambda_1)$. Эти решения определены тогда и только тогда, когда $\lambda_1\leqslant 1+L/4$. Более того, из условия $t_{1,2}>0$ следует, что:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1)\quad \lambda_1>\sqrt{2L}-1, \\ &2)\quad \lambda_1<\frac{L}{4}+1, \\ &3)\quad \lambda_1<\frac{L}{2}-1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти неравенства можно записать в виде Теперь для каждого $t_{1,2}=M_1+M_2$ из (8) следует (напомним, что $L_1=L_2=L$)
$$
\begin{equation*}
M_1=L\biggl(\frac{1+M_1}{1+\lambda_1+t_{1,2}}\biggr)^{\!2},\qquad M_2=L\biggl(\frac{1+M_2}{1+\lambda_1+t_{1,2}}\biggr)^{\!2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $t_{1,2}$ удовлетворяет условию (11), то последнюю систему уравнений можно записать в виде
$$
\begin{equation}
M_1=\frac{(1+M_1)^2}{2+t_{1,2}},\qquad M_2=\frac{(1+M_2)^2}{2+t_{1,2}}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Из этой системы получим равенство которое выполняется только при $M_1=M_2$ и $M_1M_2=1$. Выше мы рассматривали случай $M_1=M_2$, здесь остается условие $M_1M_2=1$. Из первого уравнения системы (13) имеем
$$
\begin{equation*}
M_1=\frac{1}{2}\bigl(t_{1,2}\pm\sqrt{t_{1,2}^2-4}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это решение существует и положительно тогда и только тогда, когда $t_{1,2}\geqslant 2$. Теперь при условии (12) проверим, что $t_{1,2}\geqslant 2$. 4.2.1. $t_1\geqslant 2$Это неравенство можно упростить следующим образом: 4.2.1.1. $6+2\lambda_1-L\leqslant 0$В этом случае неравенство (14) выполнено. При условии (12) имеем
$$
\begin{equation}
8+4\sqrt{3}\leqslant L\leqslant 16,\qquad \sqrt{2L}-1<\lambda_1\leqslant\frac{L}{2}-3.
\end{equation}
\tag{15}
$$
4.2.1.2. $6+2\lambda_1-L>0$В этом случае неравенство (14) эквивалентно неравенствам
$$
\begin{equation*}
\lambda_1>\frac{L}{2}-3,\qquad \lambda_1^2+6\lambda_1-4L+9\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что последние неравенства и (12) имеют следующие общие решения:
$$
\begin{equation}
\sqrt{2L}-1<\lambda_1\leqslant 2\sqrt{L}-3,\qquad L>2(1+\sqrt{2})^2,\qquad L\leqslant 16.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Обозначим где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B&=\biggl\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:8+4\sqrt{3}\leqslant L\leqslant 16,\, \sqrt{2L}-1<\lambda_1\leqslant\frac{L}{2}-3\biggr\}, \\ C&=\bigl\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:\sqrt{2L}-1<\lambda_1\leqslant 2\sqrt{L}-3,\, L>2(1+\sqrt{2})^2\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.2.2. $t_2\geqslant 2$Это неравенство можно упростить следующим образом: 4.2.2.1. $6+2\lambda_1-L\leqslant 0$В этом случае из (17) получаем
$$
\begin{equation*}
\lambda_1\leqslant\frac{L}{2}-3,\qquad \lambda_1^2+6\lambda_1-4L+9\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти неравенства и (12) теперь сводятся к неравенствам
$$
\begin{equation}
2\sqrt{L}-3\leqslant\lambda_1\leqslant\min\biggl\{\frac{L}{2}-3,\frac{L}{4}+1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
4.2.2.2. $6+2\lambda_1-L>0$В этом случае неравенство (17) не имеет решений. Обозначим
$$
\begin{equation*}
B_2=\biggl\{(L,\lambda_1)\in\mathbb R^2_+:L>8,\, 2\sqrt{L}-3\leqslant\lambda_1\leqslant\min\biggl\{\frac{L}{2}-3,\, \frac{L}{4}+1\biggr\}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для каждого решения $M_1$ при $M_1\ne M_2$ значение $M_2$ однозначно определяется из равенства $M_2=1/M_1$. Теперь суммируем результаты этого раздела в следующем утверждении (см. рис. 2). Теорема 2. Пусть $\mathcal N$ – число неподвижных точек оператора (6). Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal N=\begin{cases} 1, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_1\setminus(B_1\cup B_2), \\ 2, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_2\setminus B_2, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in B_1, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in B_2\setminus (A_2\cup A_3), \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_3\setminus B_2, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_1\cap B_1, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_1\cap B_2, \\ 4, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_2\cap B_2, \\ 5, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_3\cap B_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Применение: меры ГиббсаВ этом разделе мы рассмотрим применение перечисленных выше результатов для построения трансляционно-инвариантных мер Гиббса систем значений спина, определенных на деревьях Кэли. 5.1. Постановка задачиДадим основные понятия мер Гиббса на дереве Кэли, а также зафиксируем некоторые обозначения. Дерево Кэли порядка $k\geqslant 1$ – это граф без циклов, каждая вершина которого имеет в точности $k+1$ ребро. Пусть $\Gamma^k=(V,L)$ – дерево Кэли порядка $k\geqslant 1$, где $V$ – множество вершин дерева $\Gamma^k$, $L$ – множество его ребер. Если $l\in L$, то его концевые точки $x,y\in V$ называются ближайшими соседями, а $l$ обозначается как $l=\langle x,y\rangle$. Пусть $d(x,y)$ – расстояние между вершинами $x$ и $y$ на дереве Кэли, т. е. число ребер в кратчайшем пути, соединяющем вершины $x$ и $y$. Для фиксированного $x^0\in V$ положим Если $x\in W_n$, то множество $S(x)$ прямых потомков вершины $x$ есть
$$
\begin{equation*}
S(x)=\{y_i\in W_{n+1}\mid d(x,y_i)=1,\,i=1,2,\dots,k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для HC-модели со счетным числом состояний на дереве Кэли определим конфигурацию $\sigma=\{\sigma(x)\mid x\in V\}$ как функцию, переводящую $V$ в множество натуральных чисел $\mathbb N$. Рассмотрим множество $\mathbb N$ как множество вершин некоторого бесконечного графа $G$. Конфигурация $\sigma$ называется $G$-допустимой на дереве Кэли, если $\{\sigma(x),\sigma(y)\}$ является ребром графа $G$ для любых ближайших соседей $x$, $y$ из $V$. Множество $G$-допустимых конфигураций обозначается как $\Omega^G$. Множеством активности для графа $G$ является ограниченная функция $\lambda\colon G\mapsto\mathbb R_+$ (где $\mathbb R_+$ – множество положительных действительных чисел). Определим гамильтониан $G$-HC-модели как
$$
\begin{equation}
H_G^\lambda(\sigma)=\begin{cases} \displaystyle{\sum_{x\in V}\ln\lambda_{\sigma(x)}}, &\text{если }\sigma\in\Omega^G, \\ +\infty, &\text{если }\sigma\notin\Omega^G. \end{cases}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Множество ребер графа $G$ обозначается символом $L(G)$. Обозначим через $A\equiv A^G=(a_{ij})_{i,j\in\mathbb Z}$ матрицу смежности графа $G$, т. е.
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=a_{ij}^G=\begin{cases} 1, &\text{если }\{i,j\}\in L(G), \\ 0, &\text{если }\{i,j\}\notin L(G). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1 (см. [1] и гл. 12 в [7]). Семейство векторов $l=\{l_{xy}\}_{\langle x,y\rangle\in L}$, где $l_{xy}=\{l_{xy}(i):i\in\mathbb N\}\in(0,\infty)^{\mathbb N}$, называется граничным законом для гамильтониана (19), если выполняются следующие условия. 1. Для каждого $\langle x,y\rangle\in L$ существует постоянная $c_{x y}>0$ такая, что уравнение согласованности
$$
\begin{equation}
l_{xy}(i)=c_{xy}\prod_{z\in\partial x\setminus\{y\}} \sum_{j\in\mathbb N}a_{ij}\lambda_jl_{zx}(j)
\end{equation}
\tag{20}
$$
выполняется для любых $i\in\mathbb N$, где $\partial x$ – множество ближайших соседей для $x$. 2. Граничный закон $l$ называется нормализуемым тогда и только тогда, когда для всех $x\in V$.Для заданного графа $G$ с $A=(a_{ij})$ ребро $b=\langle x,y\rangle$ и $i=\omega_x$, $j=\omega_y$ определяют матрицы перехода $Q_b$ по формуле Пусть $\omega_b=\{\omega_x,\omega_y\}$, где $b=\langle x,y\rangle$. Для конечного подмножества $\Lambda\subset V$ определим (марковскую) спецификацию Гиббса как
$$
\begin{equation*}
\gamma_\Lambda(\sigma_\Lambda=\omega_\Lambda\mid\omega) =(Z_\Lambda)(\omega)^{-1}\prod_{b\cap\Lambda\ne\varnothing}Q_b(\omega_b).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 [1]. Для любой спецификации Гиббса $\gamma$ с ассоциированным семейством матриц перехода $(Q_b)_{b\in L}$ справедливы следующие утверждения. 1. Каждый нормализуемый граничный закон $(l_{xy})_{x,y}$ для $(Q_b)_{b\in L}$ определяет единственную меру Гиббса $\mu$ (соответствующую $\gamma$) с помощью уравнения, заданного для любого связного множества $\Lambda\subset V$ как
$$
\begin{equation}
\mu(\sigma_{\Lambda\cup\partial\Lambda} =\omega_{\Lambda\cup\partial\Lambda}) =(Z_\Lambda)^{-1}\prod_{y\in\partial\Lambda}l_{yy_\Lambda}(\omega_y) \prod_{b\cap\Lambda\ne\varnothing}Q_b(\omega_b),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $y_\Lambda$ обозначает единственного ближайшего соседа для $y$ в $\Lambda$ для любых $y\in\partial\Lambda$. 2. Обратно, любая мера Гиббса $\mu$ допускает представление вида (23) через нормализуемый граничный закон (единственный с точностью до постоянного положительного множителя). Обозначим $\mathbb N_1=\mathbb N\setminus\{1\}$, $\hat l_{zx}(j):=\lambda_jl_{zx}(j)$ и предположим, что $\hat l_{x y}(1)\equiv 1$, тогда из (20) получим
$$
\begin{equation}
\hat l_{xy}(i)=\frac{\lambda_i}{\lambda_1} \prod_{z\in\partial x\setminus\{y\}} \frac{a_{i1}+\sum_{j\in\mathbb N_1}a_{ij}\hat l_{zx}(j)} {a_{11}+\sum_{j\in\mathbb N_1}a_{1j}\hat l_{zx}(j)}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
В этом разделе мы рассматриваем конкретный граф $G$, определяемый матрицей смежности (5), который изучался в предыдущем разделе. Для заданного граничного закона $\hat l_{xy}(i)$ определим $z_{i,x}=\hat l_{xy}(i)$, где $x$ является прямым потомком для $y$, т. е. $x\in S(y)$. Тогда соотношение (24) можно записать в следующем виде (здесь без ограничения общности берем $\lambda_1=1$):
$$
\begin{equation}
z_{i,x}=\lambda_i\prod_{y\in S(x)} \frac{a_{i 1}+\sum_{j\in\mathbb N_1}a_{ij}z_{j,y}} {a_{11}+\sum_{j\in\mathbb N_1}a_{1j}z_{j,y}}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Таким образом, исследование мер Гиббса для гамильтониана (19) для графа $G$, заданного матрицей $A=(a_{ij})$, сводится к определению решений уравнения (25). Получим меры Гиббса, соответствующие решениям, упомянутым в теореме 2. Для этого мы должны сначала проверить нормализуемость решений из этой теоремы. 5.2. Нормализуемость решения (7)Лемма 3. Если $\lambda\in l^1_+$, то любое решение вида (7) нормализуемо. Доказательство. Напомним, что $Q(i,j):=\lambda_ia_{ij}\lambda_i$. Проверку нормализуемости граничных законов можно свести (см. [9]) к проверке того, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i\in\mathbb N}\sum_{j\in\mathbb N}z_{x,i}Q(i,j)z_{y,j}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь проверяем это условие для решения (7):
$$
\begin{equation}
\sum_{i\in\mathbb N}\sum_{j\in\mathbb N}z_{x,i}Q(i,j)z_{y,j} =\sum_{i\in\mathbb N}\sum_{j\in\mathbb N}\lambda_ia_{ij}\lambda_jz_{x,i}z_{y,j} \leqslant\sum_{i\in\mathbb N}\lambda_iz_{x,i}\sum_{j\in\mathbb N}\lambda_jz_{y,j}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Так как решение не зависит от вершин дерева Кэли, для правой части (26) имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{i\in\mathbb N}\lambda_iz_{x,i}\sum_{j\in\mathbb N}\lambda_jz_{y,j} =\biggl(\sum_{i\in\mathbb N}\lambda_iz_i\biggr)^{\!2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому утверждение леммы следует из оценки (в случае (7))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i\in\mathbb N}\lambda_iz_i &=\lambda_1+\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_{2n}^2 \biggl(\frac{1+M_2}{1+\lambda_1+M_1+M_2}\biggr)^{\!2}+{} \\ &\qquad{}+\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_{2n+1}^2 \biggl(\frac{1+M_1}{1+\lambda_1+M_1+M_2}\biggr)^{\!2} <\sum_{i\in\mathbb N}\lambda^2_i<+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, если $\lambda\in l^1_+$, то $\sum_{i\in\mathbb N}\lambda_i^2<\infty$. Теперь, применяя лемму 3, согласно теореме 3 получим, что каждое решение (7) определяет (трансляционно-инвариантную) меру Гиббса. Тогда как следствие теоремы 2 имеем следующее утверждение. Теорема 4. Пусть $\mathcal N_G$ – число трансляционно-инвариантных мер Гиббса для гамильтониана (19), соответствующего графу $G$, определенному формулой (5), тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal N_G=\begin{cases} 1, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_1\setminus(B_1\cup B_2), \\ 2, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_2\setminus B_2, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in B_1, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in B_2\setminus(A_2\cup A_3), \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_3\setminus B_2, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_1\cap B_1, \\ 3, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_1\cap B_2, \\ 4, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_2\cap B_2, \\ 5, &\textit{если }(L,\lambda_1)\in A_3\cap B_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Лемму 3 можно доказать в случае единственности неподвижной точки для оператора $F$, упомянутого в предыдущих разделах, и, следовательно, соответствующий гамильтониан (19) имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{OliRoz23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|