Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изучению спектра оператора Шредингера

Пусть $\overset\circ L{}^l_p(\Omega,v)$, $L_q(\Omega,r)$ – пополнения $C_0^\infty(\Omega)$ соответственно по нормам
$$\begin{gather} \Bigl|u:\overset\circ L{}^l_p(\Omega,v)\Bigr| =\biggl(\|(-\Delta^{l/2}u\|^p_{L_p(R^n)} +\int_\Omega v(t)|u(t)|^p\,dt\biggr)^{1/p},\quad l>0,\notag\\ |u:L_q(\Omega,r)|=\biggl(\int_\Omega r(t)|u(t)|^q\,dt\biggr)^{1/q},\notag \end{gather}$$
где $\Omega$ – открытое (ограниченное или неограниченное) множество в $n$-мерном евклидовом пространстве $R^n$, a $v(t)$ и $r(t)$ – неотрицательные и положительные, локально суммируемые внутри $\Omega$ функции.
В работе изучается оператор вложения
$$\begin{equation} \label{1} E\colon\overset\circ L{}^l_p(\Omega,v)\to L_q(\Omega,r) \end{equation}$$
и найдены условия ограниченности и компактности оператора $E$, которые в наиболее важных случаях являются необходимыми и достаточными, а также указаны оценки нормы $\|E\|$ оператора вложения (1). С помощью этих результатов получены оценки (в основном двусторонние) поперечников по Колмогорову единичного шара пространства $\overset\circ L{}^l_p(\Omega,v)$ и $L_q(\Omega,r)$. Из полученных оценок для поперечников выведены оценки для распределения собственных чисел оператора Шредингера.
Библиогр. – 45 назв.