В. Драгович, Ш. Гасиорек, М. Раднович, “Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология”, Матем. сб., 213:9 (2022), 34–69; V. Dragović, S. Gasiorek, M. Radnović, “Integrable billiards on a Minkowski hyperboloid: extremal polynomials and topology”, Sb. Math., 213:9 (2022), 1187

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2022, том 213, номер 9, страницы 34–69
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9662 (Mi sm9662)

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология

В. Драгович^ab, Ш. Гасиорек^c, М. Раднович^cb

^a Department of Mathematical Sciences, University of Texas at Dallas, Richardson, TX, USA
^b Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts, Belgrad, Serbia
^c School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Sydney, Australia

PDF полного текста (3160 kB) PDF английской версии (2989 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9662

Аннотация: Рассматриваются биллиардные системы в компактных областях, ограниченных софокусными квадриками, на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского. Для таких биллиардов находятся условия эллиптической периодичности. Топология этих биллиардных систем описывается в терминах инвариантов Фоменко, после чего условия периодичности формулируются в терминах функциональных уравнений Пелля и экстремальных многочленов, возникающих в этой связи. Для нескольких примеров мы проводим вычисления в терминах эллиптических функций и классических многочленов Чебышёва и Золотарёва, являющихся экстремальными многочленами на отрезке или паре отрезков. Полученные результаты сопоставляются со случаем биллиардов на евклидовой плоскости и плоскости Минковского.
Посвящается Р. Бакстеру в связи с 80-летием со дня его рождения.
Библиография: 51 название.

Ключевые слова: биллиард, пространство Минковского, гиперболоид, софокусные квадрики, периодические траектории, многочлены Золотарёва, многочлены Чебышёва, инварианты Фоменко.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Australian Research Council	DP190101838
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts
Ministry of Education, Science and Technological Development of the Republic of Serbia
Science Fund of the Republic of Serbia	7744592
Simons Foundation	854861
Исследования В. Драговича и М. Раднович выполнены при поддержке Australian Research Council (Discovery Project № DP190101838 “Billiards within confocal quadrics and beyond”), Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts, Ministry of Education, Science, and Technological Development of the Republic of Serbia и Science Fund of the Republic of Serbia (грант № 7744592 “Integrability and Extremal Problems in Mechanics, Geometry and Combinatorics”, MEGIC). Исследование В. Драговича также было поддержано Simons Foundation (грант № 854861). Исследование Ш. Гасиорека было выполнено при поддержке Australian Research Council (Discovery Project № DP190101838 “Billiards within confocal quadrics and beyond”).

Поступила в редакцию: 01.09.2021

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages 1187–1221
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9662e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 37C83, 37J70, 37J38, 37J46, 41A50, 14H70

§ 1. Симметричные $2$ – $2$ -соотношения, эллиптические функции и эллиптические биллиарды

Эта работа посвящается Родни Бакстеру в связи с 80-летием со дня его рождения.

Последний раздел знаменитой книги Бакстера (см. [9]) начинается со следующих слов:

“При рассмотрении модели Изинга, восьмивершинной модели и модели жесткого гексагона мы сталкивались с симметричными биквадратными соотношениями вида (1.1)”.

Здесь

$\begin{equation} E\colon au^2v^2+b(u^2v+uv^2)+c(u^2+v^2)+2duv+e(u+v)+f=0. \end{equation} \tag{1.1}$

Далее в этом же разделе Бакстер получает параметризацию таких соотношений с помощью эллиптических функций, тем самым предлагая эффективное доказательства классической теоремы Эйлера, положившей начало исследованиям эллиптических функций и теорем сложения для них (см. [30]).

Теорема 1.1 (теорема Эйлера, 1766). Для общего симметричного $2$ – $2$ -соответствия (1.1) найдутся эллиптическая функция $\phi$ второй степени и постоянная сдвига $c$ такие, что

$\begin{equation*} u=\phi(z), \qquad v=\phi(z\pm c). \end{equation*} \notag$

Эллиптические функции и формулы сложения для них играют важную роль как в цикле работ Бакстера [5]–[8], так и вообще в теории интегрируемых систем. В частности, в его книге они появляются уже во втором абзаце предисловия. Для удобства ссылок приведем известные тождества для эллиптических функций Якоби (см., к примеру, [4]):

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \kappa^2\operatorname{sn}^2z+\operatorname{dn}^2z=1, \\ \operatorname{sn}(z+w)=\frac{\operatorname{sn} z\operatorname{cn}w\operatorname{dn}w + \operatorname{sn} w\operatorname{cn}z\operatorname{dn}z}{1-\kappa^2\operatorname{sn}^2 z \operatorname{sn} ^2 w}, \qquad \operatorname{sn} (K-z)=\frac{\operatorname{cn}z}{\operatorname{dn}z}, \\ K=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\kappa^2t^2)}}. \end{gathered} \end{equation} \tag{1.2}$

Здесь

$\kappa$ – постоянная, отличная от

$0$ и

$1$ . Используя вышеупомянутые результаты, Бакстеру удалось получить его знаменитую

$R$ -матрицу, известную также как “

$R$ -матрица

$XYZ$ -модели” и “

$R$ -матрица восьмивершинной модели” в силу центральной роли, которую она играет в этих важнейших моделях квантовой и статистической механики соответственно.

Симметричные биквадратные соотношения (1.1) важны также для теоремы Понселе и смежных вопросов теории интегрируемых биллиардных систем в областях, ограниченных кониками. Начнем с ситуации вокруг теоремы Понселе. Пусть заданы коники $\Gamma$ и $\mathcal{K}$ . Рассмотрим $2$ – $2$ -соответствие на $\Gamma$ , индуцированное следующим образом коникой $\mathcal{K}$ . Точке $M\in\Gamma$ сопоставляются такие точки $M_1$ и $M_1'$ на $\Gamma$ , что прямые $L_{MM_1}$ и $L_{MM_1'}$ касаются $\mathcal{K}$ . Таким образом, возникает симметричное $2$ – $2$ -соответствие. Более того, любое симметричное $2$ – $2$ -соответствие на конике задается таким образом. Около 1853 г. итальянский математик Труди (см. [43], [44]) исследовал теорему Понселе с помощью суперпозиций таких симметричных $2$ – $2$ -соотношений и предложил ее новое доказательство.

Напомним, что формулы сложения для эллиптических функций Якоби были использованы самим Якоби в его доказательстве теоремы Понселе для случая окружностей. В работах [47], [48], [29], [22] можно найти дальнейшую информацию о симметричных $2$ – $2$ -соотношениях и их значении для интегрируемых систем.

В настоящей статье мы исследуем еще один пример симметричных $2$ – $2$ -соотношений, возникающих в динамике интегрируемых биллиардных систем на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского. Эти биллиарды были недавно введены в работе [37], где были установлены теоремы типа Понселе и соответствующие аналитические условия периодичности. Здесь мы исследуем условия периодичности динамики в соответствии с общей идеологией, изложенной в [27]: мы связываем эти условия с экстремальными многочленами для пары отрезков. Как известно из классических работ [51], [4], эти многочлены параметризуются эллиптическими функциями. Тождества и формулы сложения для эллиптических функций типа (1.2) оказываются важны для параметризации периодических траекторий такой динамической системы.

Статья построена следующим образом. В § 2 мы приводим обзор нужных нам результатов по софокусным семействам и биллиардам на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского, а завершается § 2 новыми результатами по эллиптической периодичности таких биллиардных систем, собранных в п. 2.4. В § 3 топологические свойства интегрируемых биллиардных систем из § 2 описываются с помощью графов Фоменко. В § 4 на примерах показано, что аналитические условия замкнутости биллиардных траекторий приводят к дискриминантно разложимым многочленам, представляющим собой обобщение дискриминантно отделимых многочленов. В § 5 мы устанавливаем связь между этими условиями и экстремальными многочленами на паре отрезков, так называемыми многочленами Золотарёва, а также находим свойства соответствующих чисел вращения.

§ 2. Софокусные коники и биллиардные системы на однополостном гиперболоиде

В этом параграфе приводятся основные понятия и результаты по софокусным семействам коник и соответствующим биллиардным системам на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского.

Трехмерное пространство Минковского $\mathbf{M}^{3}$ – это трехмерное вещественное пространство $\mathbb{R}^{3}$ с заданной на нем невырожденной симметричной билинейной формой

$\begin{equation} \langle v, w\rangle=- x_v x_w+y_v y_w + z_v z_w. \end{equation} \tag{2.1}$

На однополостном гиперболоиде

$\begin{equation*} \mathcal{H}\colon -x^2+y^2+z^2=1 \end{equation*} \notag$

$\mathbf{M}^{3}$ метрика

$ds^2=-dx^2+dy^2+dz^2$ является лоренцевой метрикой постоянной кривизны. Ее геодезические – это кривые пересечения

$\mathcal{H}$ с плоскостями, проходящими через начало координат. Они называются пространственноподобными, времениподобными или светоподобными, если их касательные векторы

$v$ имеют соответствующее свойство, т.е. если величина

$\langle{v},{v}\rangle$ положительна, отрицательна или равна нулю соответственно. Заметим, что светоподобные геодезические на гиперболоиде

$\mathcal{H}$ – это в точности его прямолинейные образующие.

2.1. Коники на гиперболоиде

Коника на $\mathcal{H}$ задается пересечением $\mathcal{H}$ с конусом вида

$\begin{equation} -\frac{x^2}a+\frac{y^2}b+\frac{z^2}c=0. \end{equation} \tag{2.2}$

Будем считать, что конус асимметричен, т.е. $b\neq c$ . Тогда без ограничения общности можно полагать $b<c$ . Пересечение конуса с гиперболоидом $\mathcal{H}$ ограничивает компактную область на $\mathcal{H}$ , если и только если образующие конуса пространственноподобны; см. [37]. Это происходит в точности в одном из следующих двух случаев.

• Если $0<a<b<c$ , то конус (2.2) разбивает $\mathcal{H}$ на компактную область и две некомпактные.

Соответствующую конику назовем воротниковым $\mathcal{H}$ -эллипсом; она состоит из двух компонент, симметричных друг другу относительно координатной плоскости $yz$ (рис. 1, a).

• Если $b<0<a<c$ , то конус разбивает $\mathcal{H}$ на две компактные подобласти и одну некомпактную.

Соответствующая коника называется трансверсальным $\mathcal{H}$ -эллипсом; она состоит из двух компонент, симметричных друг другу относительно координатной плоскости $xy$ (рис. 1, b).

Рис. 1.Два геометрически различных случая пересечения конуса и гиперболоида $\mathcal{H}$ , задающие компактную область: воротниковый (a) и трансверсальный (b) $\mathcal{H}$ -эллипсы.

2.2. Софокусные семейства

Семейство коник, софокусных с коникой (2.2) на $\mathcal{H}$ , задается уравнениями

$\begin{equation} \mathcal{C}_{\lambda} \colon -\frac{x^2}{a-\lambda}+\frac{y^2}{b-\lambda}+\frac{z^2}{c-\lambda}=0. \end{equation} \tag{2.3}$

Заметим, что коника (2.2) обозначается здесь через $\mathcal{C}_0$ . Опишем софокусное семейство подробнее и проиллюстрируем с помощью рис. 2.

Рис. 2.Семейства софокусных кривых в случае воротникового (a) и трансверсального (b) $\mathcal{H}$ -эллипса.

Если $\mathcal{C}_0$ – воротниковый $\mathcal{H}$ -эллипс, т.е. $0<a<b<c$ , то софокусное семейство (2.3) состоит из двух типов коник:

• воротниковые $\mathcal{H}$ -эллипсы, соответствующие $\lambda<a$ (заметим, что все они простраственноподобные);
• коники гиперболического типа с $b<\lambda<c$ (такая коника всегда состоит из четырех компонент, симметричных друг другу относительно координатных плоскостей $xy$ и $xz$ ; отметим, что все они времениподобные).

В семейство также входят следующие вырожденные коники:

• окружность $\mathcal{C}_a$ , являющаяся пересечением гиперболоида с координатной плоскостью $yz$ (эта окружность пространственноподобна);

• гиперболы $\mathcal{C}_b$ и $\mathcal{C}_c$ , являющиеся пересечениями $\mathcal{H}$ с координатными плоскостями $xz$ и $xy$ (эти кривые времениподобны).

Если $\mathcal{C}_0$ – трансверсальный $\mathcal{H}$ -эллипс, т.е. $b<0<a<c$ , то софокусное семейство (2.3) состоит из четырех подсемейств коник.

• Трансверсальные $\mathcal{H}$ -эллипсы, соответствующие значениям $b<\lambda<a$ . К ним относится и коника $\mathcal{C}_0$ . Они состоят из двух замкнутых связных компонент каждая, симметричных друг другу относительно координатной плоскости $xy$ . На каждой компоненте две пространственноподобные и две времениподобные дуги.
• Трансверсальные $\mathcal{H}$ -эллипсы, соответствующие значениям $a<\lambda<c$ . Они состоят из двух замкнутых связных компонент каждая, симметричных друг другу относительно координатной плоскости $xy$ . Здесь тоже на каждой компоненте по две пространственноподобные и времениподобные дуги.
• Коники гиперболического типа с $\lambda>c$ . Каждая из них состоит из четырех неограниченных связных компонент, симметричных друг другу относительно координатных плоскостей $xz$ и $yz$ . На каждой связной компоненте одна ограниченная пространственноподобная дуга и две неограниченные времениподобные дуги.
• Коники гиперболического типа с $\lambda<c$ . Как и в предыдущем случае, каждая из них состоит из четырех неограниченных связных компонент, но теперь они симметричны друг другу относительно координатных плоскостей $xy$ и $yz$ . На каждой связной компоненте одна ограниченная пространственноподобная дуга и две неограниченные времениподобные дуги.

Заметим, что у коник из этого софокусного семейства есть общие касательные прямые, а именно прямолинейные образующие гиперболоида $\mathcal{H}$ , касающиеся $\mathcal{C}_0$ . Всего их восемь; их точки пересечения – фокусы семейства:

• четыре фокуса на координатной плоскости $xy$ , а именно
$\begin{equation*} F_{\pm\pm}^z=\biggl(\pm\sqrt{\frac{c-a}{a-b}},\pm\sqrt{\frac{c-b}{a-b}},0\biggr); \end{equation*} \notag$

• четыре фокуса на координатной плоскости $xz$ , а именно
$\begin{equation*} F_{\pm\pm}^y=\ \biggl(\pm\sqrt{\frac{a-b}{c-a}},0,\pm\sqrt{\frac{c-b}{c-a}}\biggr); \end{equation*} \notag$
• четыре фокуса на координатной плоскости $yz$ , а именно
$\begin{equation*} F_{\pm\pm}^x=\biggl(0,\pm\sqrt{\frac{a-b}{c-b}},\pm\sqrt{\frac{c-a}{c-b}}\biggr). \end{equation*} \notag$

Указанные восемь образующих делят $\mathcal{H}$ на $20$ областей. Из них 12 содержат коники из софокусного семейства, а остальные восемь – нет.

В семейство входят также вырожденные коники $\mathcal{C}_a$ , $\mathcal{C}_b$ , $\mathcal{C}_c$ , лежащие в соответствующих координатных плоскостях, а также $\mathcal{C}_{\infty}$ , лежащая на бесконечно удаленной плоскости, которую можно рассматривать как пересечение гиперболоида $\mathcal{H}$ с конусом $-x^2+y^2+z^2=0$ .

Для каждой точки $(x,y,z) \in \mathcal{H}$ у уравнения (2.3) относительно $\lambda$ есть два решения, которые мы назовем обобщенными координатами Якоби или эллиптическими координатами этой точки. Если $\mathcal{C}_0$ – воротниковый $\mathcal{H}$ -эллипс, то они вещественны и различны: одно лежит на интервале $(-\infty,a]$ , а второе на $[b,c]$ , так что каждая точка на $\mathcal{H}$ есть точка пересечения одного воротникового $\mathcal{H}$ -эллипса и софокусной коники гиперболического типа. Обобщенные координаты Якоби точек внутри $\mathcal{C}_0$ удовлетворяют неравенствам $0 < \lambda_1 \leqslant a$ и $b \leqslant \lambda_2 \leqslant c$ .

Если $\mathcal{C}_0$ – трансверсальный $\mathcal{H}$ -эллипс, то у уравнения два различных решения, лежащих в объединении $12$ областей, ограниченных общими светоподобными касательными прямыми: одно решение на этих касательных и ни одного решения в остальных восьми областях. Координаты Якоби любой точки внутри $\mathcal{C}_0$ удовлетворяют неравенствам $b \leqslant \lambda_1 < 0 <\lambda_2 \leqslant a$ .

2.3. Биллиарды и периодические траектории

Мы задаем биллиардное движение на $\mathcal{H}$ геодезическим потоком до тех пор, пока траектория не достигнет граничного эллипса, где движение удовлетворяет закону отражения для биллиардов относительно билинейной формы (2.1) и нормали к границе в точке отражения. Заметим, что вектор нормали не определен в тех граничных точках, где касательная к границе светоподобна, так что, вообще говоря, там нельзя определить отражения. С другой стороны, как показано в работе [38], когда в точках коники возникает подобная ситуация, биллиардный поток можно непрерывно продолжить в эти точки, определяя отражение там как возвращение в противоположном направлении вдоль того же участка траектории. Детальное обсуждение закона отражения для биллиарда в псевдоевклидовой ситуации см. в [38], [23], [24].

В работах [46], [40] предложен метод выяснения, является ли дискретная динамическая система интегрируемой, путем сведения задачи к разложению матричных полиномов. В числе конкретных приложений этого подхода – биллиарды внутри эллипсоида в евклидовом пространстве или пространстве Минковского. Как показано в [37], эту технику можно распространить и на случай гиперболоида $\mathcal{H}$ . Геометрическим проявлением интегрируемости может быть существование каустик. А именно, все отрезки рассматриваемой траектории биллиарда внутри $\mathcal{H}$ -эллипса касаются одной и той же коники, софокусной с границей. Поскольку и геодезический поток, и отражение сохраняют тип вектора, мы видим, что каждая биллиардная траектория является пространственноподобной, времениподобной или светоподобной. Более того, у всех траекторий с одной и той же каустикой тип также один и тот же; см. замечания 3.2 и 3.4 в настоящей работе.

В общих задачах о биллиардных системах значительный интерес представляет исследование периодических орбит и их геометрических свойств. Для интегрируемых случаев в работах [36], [18], [19], [22], [23], [27], [1] и многих других периодические траектории характеризуются с помощью эллиптической кривой, связанной с задачей, и доказываются варианты теорем типа Понселе. Такая теорема выполняется и в нашей ситуации: для заданной периодической биллиардной траектории внутри $\mathcal{H}$ -эллипса любая биллиардная траектория с той же каустикой также является периодической с тем же периодом.

В 19 веке Кэли в своих работах о теореме Понселе (см., к примеру, [13], [14]) предъявил аналитические условия, связывающие период биллиардной траектории и ее каустику. (Современное изложение см. в статье Гриффитса и Харриса [36].) Для обобщенной теоремы Понселе в эллипсоиде в $d$ -мерном евклидовом пространстве, пространстве Лобачевского или псевдоевклидовом пространстве подобные условия были найдены в последние десятилетия; см. [18], [19], [17], [23].

В настоящей работе мы используем недавно найденные условия типа Кэли для эллиптических биллиардов на гиперболоиде $\mathcal{H}$ , которые выводятся путем сдвига дивизора на эллиптической кривой

$\begin{equation} Y^2=\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu), \end{equation} \tag{2.4}$

где

$\varepsilon=\operatorname{sign}(b\nu)$ .

Теорема 2.1 (см. [37]). Пространственноподобная или времениподобная биллиардная траектория внутри $\mathcal{H}$ -эллипса (2.2) с каустикой $\mathcal{C}_{\nu}$ из семейства (2.3) является $n$ -периодической тогда и только тогда, когда

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} B_{3} &B_{4} &\dots &B_{m+1} \\ B_{4} &B_{5} &\dots &B_{m+2} \\ \dots &\dots&\dots&\dots \\ B_{m+1} &B_{m+2} &\dots &B_{2m-1} \end{pmatrix} =0, \qquad n=2m \geqslant 4, \end{equation*} \notag$

или

$\begin{equation*} \det \begin{pmatrix} D_{2} &D_{3} &\dots &D_{m+1} \\ D_{3} &D_{4} &\dots &D_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ D_{m+1} &D_{m+2} &\dots &D_{2m} \end{pmatrix}=0, \qquad n=2m+1\geqslant3, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \sqrt{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)}=B_0+B_1X+B_2 X^2+\dotsb, \\ \sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)}{X-\nu}}=D_0+D_1X+D_2 X^2+\dotsb \end{gathered} \end{equation*} \notag$

– тейлоровские разложения в точке

$X=0$ , а

$\varepsilon=\operatorname{sign}(b\nu)$ . Кроме того, все

$2$ -периодические траектории лежат в плоскостях симметрии.

Светоподобная биллиардная траектория внутри $\mathcal{H}$ -эллипса является $n$ -периодической тогда и только тогда, когда $n=2m \geqslant 4$ и

$\begin{equation*} \det \begin{pmatrix} E_{3} &E_{4} &\dots &E_{m+1} \\ E_{4} &E_{5} &\dots &E_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ E_{m+1} &E_{m+2} &\dots &E_{2m-1} \end{pmatrix}=0, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sqrt{\delta(X-a)(X-b)(X-c)}=E_0+E_1X+E_2 X^2+\dotsb \end{equation*} \notag$

– тейлоровское разложение в точке

$X=0$ и

$\delta=\operatorname{sign}(b)$ .

За деталями отошлем к работе [37]. Также отметим недавнюю статью [50], посвященную геодезическим в евклидовом пространстве.

2.4. Эллиптически периодические траектории

У точек пространства $\mathbf{M}^{3}$ , симметричных относительно координатных плоскостей, одинаковые эллиптические координаты, так что на $\mathcal{H}$ лежит восемь точек с эллиптическими координатами $\lambda_1$ , $\lambda_2$ . Ввиду этой симметрии биллиардная траектория, являющаяся $n$ -периодической в эллиптических координатах, будет периодической и в декартовой системе координат, но с периодом либо $n$ , либо $2n$ . Дадим соответствующее определение.

Определение 2.2. Биллиардная траектория называется эллиптически $n$ -периодической, если она $n$ -периодическая в эллиптических координатах, соответствующих софокусному семейству (2.3).

Траектории, непосредственно соединяющие две точки с одинаковыми эллиптическими координатами Якоби, оказываются 1-эллиптически периодическими, так что мы будем рассматривать эллиптическую периодичность с $n \geqslant 2$ . Теперь выведем алгебро-геометрические условия эллиптической периодичности траекторий на $\mathcal{H}$ .

Теорема 2.3. Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе является эллиптически $n$ -периодической, но не $n$ -периодической, если и только если на эллиптической кривой (2.4) выполнено одно из следующих условий, в которых $Q_{\pm}$ – две точки, лежащие над точкой $X=0$ , а $P_\beta$ – точка над $X=\beta$ :

$\bullet$ $n=2m$ и при этом

$\nu \in (-\infty,0) \cup (b,c) \cup (c,\infty)$ и $m(Q_- - Q_+) \sim 0$ ,
$\nu \in (-\infty, 0) \cup (c,\infty)$ и $(m+1)Q_- - (m-1)Q_+- P_a - P_\nu \sim 0$ ,
$\nu \in (b, c)$ и $(m+1)Q_--(m-1)Q_+- P_a - P_c \sim 0$ ;

$\bullet$ $n=2m+1$ и при этом

$\nu \in (-\infty,0) \cup (b,c) \cup (c,\infty)$ и $(m+1)Q_- - mQ_+-P_a \sim 0$ ,
$\nu \in (-\infty, 0) \cup (c,\infty)$ и $(m+1)Q_- - mQ_+- P_\nu \sim 0$ ,
$\nu \in (b, c)$ и $(m+1)Q_- - mQ_+- P_c \sim 0$ .

Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе является $n$ -эллиптически периодической, но не $n$ -периодической, если и только если на эллиптической кривой (2.4) выполнено одно из следующих условий:

$\bullet$ $n=2m$ и при этом

$\nu \in \mathbb{R}\setminus\{b,0,a,c\}$ и $m(Q_- - Q_+) \sim 0$ ,
$\nu \in (-\infty, b) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и $(m+1)Q_+- (m-1)Q_- - P_a - P_b \sim 0$ ,
$\nu \in (b, 0)$ и $(m+1)Q_+- (m-1)Q_- - P_a - P_\nu \sim 0$ ,
$\nu \in (0, a)$ и $(m+1)Q_+- (m-1)Q_- - P_b - P_\nu \sim 0$ ;

$\bullet$ $n=2m+1$ и при этом

$\nu \in (-\infty,b) \cup (b,0) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и $(m+1)Q_+- mQ_- -P_a \sim 0$ ,
$\nu \in (-\infty,b) \cup (0,a) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и $(m+1)Q_+- mQ_- -P_b \sim 0$ .

Доказательство. Пусть

$\mathcal{P}(x)=\varepsilon (x-a)(x-b)(x-c)(x-\nu)$ , где

$\varepsilon=\operatorname{sign}(b\nu)$ . На заданной биллиардной траектории рассмотрим дифференциальное уравнение

$\begin{equation} \frac{d\lambda_1}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda_1)}}+ \frac{d\lambda_2}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda_2)}}=0. \end{equation} \tag{2.5}$

Если $p_0$ – начальная точка $n$ -эллиптически периодической траектории, а $p_1$ – следующая точка на ней с теми же эллиптическими координатами, что и $p_0$ , то, интегрируя (2.5) по траектории от $p_0$ до $p_1$ , в случае воротникового $\mathcal{H}$ -эллипса получим одно из следующих соотношений:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, m_0(P_a-Q_+)+m_1(P_c-P_b) &\sim 0, \\ m_2(P_\nu-Q_+)+m_3(P_c-P_b) &\sim 0, \\ m_4(P_a-Q_+)+m_5(P_\nu-P_b) &\sim 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Период $n$ равен $m_0$ , $m_2$ или $m_4$ соответственно, причем числа $m_i$ могут быть четными или нечетными. Случаи (i) и (v) вытекают из доказательства теоремы 5.5 работы [37] при условии, что числа $m_i$ четные (случай (i)), или при условии, что либо $m_0$ и $m_1$ нечетные, либо $m_2$ нечетное, а $m_3$ четное (случай (v)).

Теперь докажем (ii) и заметим, что все прочие случаи получаются аналогичными рассуждениями, зависящими от четности чисел $m_i$ . Пусть $n=m_0$ четное, а $m_1$ нечетное. Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, 0 &\sim m_0 (P_a-Q_+)+m_1(P_c-P_b) \\ &\sim 2k_0(P_a - Q_+)+2k_1(P_c-P_b)+P_c-P_b \\ &\sim k_0 (Q_-+Q_+) - k_0(2Q_+)+P_c - P_b \\ & \sim k_0(Q_- -Q_+)+P_c - P_b \\ &\sim k_0(Q_- -Q_+)+(Q_-+Q_+) - P_a - P_\nu \\ &\sim (k_0+1)Q_- - (k_0-1)Q_+- P_a - P_\nu, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что эквивалентно (ii). Здесь мы, в частности, используем, что $P_a$ , $P_b$ , $P_c$ и $P_\nu$ – точки ветвления кривой (2.4), так что $2P_a \sim 2P_b \sim 2P_c \sim 2P_\nu \sim Q_-+Q_+$ . Мы обсудим эти случаи еще и в п. 5.2 в связи с вопросом о числах вращения.

В случае трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса интегрирование (2.5) от $p_0$ до $p_1$ дает одно из следующих соотношений:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, m_6(P_0-P_b)+m_7(P_a-Q_+) &\sim 0, \\ m_8(P_0-P_\nu)+m_9(Q_+-P_a) &\sim 0, \\ m_{10}(P_0-P_b)+m_{11}(Q_+-P_\nu) &\sim 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теперь период равен $n=m_{2i}+m_{2i+1}$ , где $i=2,3,4$ . Как и выше, случай (vii) вытекает из доказательства теоремы 5.5 в работе [37], а остальные случаи рассматриваются аналогично (ii).

Теорема 2.3 доказана.

Замечание 2.4. Как отмечено в доказательстве выше, условия на дивизор (i), (v) и (vii) аналогичны таковым для периодических биллиардных траекторий из теоремы 5.5 в работе [37]. Однако для воротниковых и трансверсальных $\mathcal{H}$ -эллипсов условия (i) и (vii) дают $2m$ -периодические, эллиптически $m$ -периодические траектории. А в случае воротникового $\mathcal{H}$ -эллипса условие (v) дает траектории, являющиеся $(4m+2)$ -периодическими и эллиптически $(2m+1)$ -периодическими. См. детали в замечании 5.7 из [37].

Исходя из условий на дивизор, приведенных выше, приходим к условиям эллиптической периодичности типа Кэли.

Теорема 2.5. Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе является эллиптически $n$ -периодической, но не $n$ -периодической, если и только если выполнено одно из следующих условий:

$\nu \in (-\infty, 0) \cup (b, c) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} B_{3} &B_{4} &\dots &B_{n+1} \\ B_{4} &B_{5} &\dots &B_{n+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ B_{n+1} &B_{n+2} &\dots &B_{2n-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n \geqslant 2, \end{equation*} \notag$

где матричные элементы

$B$ такие же, как в теореме 2.1;

$\nu \in (-\infty, 0) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} F_{1} & F_{2} &\dots &F_{m} \\ F_{2} &F_{3} &\dots &F_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ F_m &F_{m+1} &\dots &F_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 2 \end{equation*} \notag$

или

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} D_{2} &D_{3} &\dots &D_{m+1} \\ D_{3} &D_{4} &\dots &D_{m+2} \\ \dots &\dots&\dots&\dots \\ D_{m+1} & D_{m+2} &\dots &D_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sqrt{\frac{\varepsilon(X-b)(X-c)}{(X-a)(X-\nu)}}=F_0+F_1X+F_2X^2+\dotsb \end{equation*} \notag$

– разложение Тейлора в точке

$X=0$ , а матричные элементы

$D_i$ такие же, как в теореме 2.1;

$\nu \in (b, c)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} G_{1} & G_{2} &\dots &G_{m} \\ G_{2} &G_{3} &\dots &G_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ G_{m} &G_{m+1} &\dots & G_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 4 \end{equation*} \notag$

или

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} H_{2} & H_{3} &\dots &H_{m+1} \\ H_{3} &H_{4} &\dots &H_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ H_{m+1} & H_{m+2} &\dots &H_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 5, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \sqrt{\frac{\varepsilon(X-b)(X-\nu)}{(X-a)(X-c)}}=G_0+G_1X+G_2X^2+\dotsb, \\ \sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-\nu)}{X-c}}=H_0+H_1X+H_2X^2+\dotsb \end{gathered} \end{equation*} \notag$

– тейлоровские разложения в точке

$X=0$ ;

$\nu \in (-\infty, 0) \cup (b, c) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} I_{2} & I_{3} &\dots &I_{m+1} \\ I_{3} & I_{4} &\dots &I_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ I_{m+1} &I_{m+2} &\dots &I_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sqrt{\frac{\varepsilon(X-b)(X-c)(X-\nu)}{X-a}}=I_0+I_1X+I_2X^2+\dotsb \end{equation*} \notag$

– тейлоровское разложение в точке

$X=0$ .

Биллиардная траектория с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ внутри трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса является эллиптически $n$ -периодической, но не $n$ -периодической, если и только если выполнено одно из следующих условий:

$\nu \in (-\infty, b) \cup (b, 0) \cup (0,a) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} B_{3} & B_{4} &\dots &B_{n+1} \\ B_{4} & B_{5} &\dots &B_{n+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ B_{n+1} &B_{n+2} &\dots &B_{2n-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n \geqslant 2, \end{equation*} \notag$

где матричные элементы

$B_i$ такие же, как в теореме 2.1;

$\nu \in (-\infty,b) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} J_{1} & J_{2} &\dots &J_{m} \\ J_{2} & J_{3} &\dots &J_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ J_{m} &J_{m+1} &\dots &J_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 2, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sqrt{\frac{\varepsilon(X-c)(X-\nu)}{(X-a)(X-b)}}=J_0+J_1X+J_2X^2+\dotsb \end{equation*} \notag$

– тейлоровское разложение в точке

$X=0$ ;

$\nu \in (b,0)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} F_{1} &F_{2} &\dots &F_{m} \\ F_{2} & F_{3} &\dots &F_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ F_{m} &F_{m+1} &\dots &F_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 2, \end{equation*} \notag$

где матричные элементы

$F_i$ такие же, как в (b);

$\nu \in (0,a)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} K_{1} & K_{2} &\dots &K_{m} \\ K_{2} & K_{3} &\dots &K_{m+1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ K_{m} & K_{m+1} &\dots &K_{2m-1} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m \geqslant 4, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-c)}{(X-b)(X-\nu)}}=K_0+K_1X+K_2X^2+\dotsb \end{equation*} \notag$

– тейлоровское разложение в точке

$X=0$ ;

$\nu \in (-\infty, b) \cup (b, 0) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} I_{2} & I_{3} &\dots & I_{m+1} \\ I_{3} & I_{4}&\dots &I_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ I_{m+1} &I_{m+2} &\dots &I_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3, \end{equation*} \notag$

где матричные элементы

$I_i$ такие же, как в (b);

$\nu \in (-\infty, b) \cup (0,a) \cup (a, c) \cup (c,\infty)$ и

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} L_{2} &L_{3} &\dots &L_{m+1} \\ L_{3} &L_{4} &\dots &L_{m+2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ L_{m+1} &L_{m+2} &\dots &L_{2m} \end{pmatrix}=0 \quad \textit{при }\ n=2m+1 \geqslant 3, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-c)(X-\nu)}{X-b}}=L_0+L_1X+L_2X^2+\dotsb \end{equation*} \notag$

– тейлоровское разложение в точке

$X=0$ .

Доказательство. Мы докажем (c) и заметим, что остальные части теоремы доказываются аналогично. В доказательстве (c) используются условия на дивизор (iii) и (vi) из теоремы 2.3.

Сначала рассмотрим случай $n=2m$ и условие на дивизор из (iii):

$\begin{equation*} (m+1)Q_- - (m-1)Q_+- P_a - P_c \sim 0. \end{equation*} \notag$

Оно эквивалентно существованию мероморфной функции с нулем порядка

$m\,{+}\,1$ в точке

$Q_-$ , полюсом порядка

$m-1$ в

$Q_+$ и простыми полюсами в

$P_a$ и

$P_b$ . Базис в пространстве

$\mathcal{L}((m-1)Q_{+}+P_a+P_c)$ имеет вид

$\{1,f_1, \dots, f_m\}$ , где

$\begin{equation*} f_k=\frac{y-G_0 - G_1 x - \dots - G_k x^k}{x^{k-1}}. \end{equation*} \notag$

Существование функций нужного вида эквивалентно рассматриваемому условию на дивизор.

Теперь рассмотрим случай $n=2m+1$ и условие на дивизор из (vi):

$\begin{equation*} (m+1)Q_- - mQ_+- P_c \sim 0. \end{equation*} \notag$

Оно эквивалентно существованию мероморфной функции с нулем порядка

$m\,{+}\,1$ в точке

$Q_-$ , полюсом порядка

$m$ в

$Q_+$ и простым полюсом в

$P_c$ . В пространстве мероморфных функций

$\mathcal{L}(mQ_{+}+ P_c)$ имеется базис

$\{1,\dots, g_m\}$ , где

$\begin{equation*} g_k=\frac{y-H_0 - H_1 x - \dots - H_k x^k}{x^{k}}. \end{equation*} \notag$

Существование функции нужного вида эквивалентно второму условию на дивизор в (c).

Теорема 2.5 доказана.

Пример 2.6 (эллиптическая 2-периодичность). В воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе эллиптически $2$ -периодическую траекторию можно найти, наложив условие $B_3=0$ либо $F_1=0$ , что эквивалентно соотношениям

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, (a b c+(a b -a c -b c) \nu ) (a b c+(-a b+ac -b c) \nu ) (a b c+(-a b -a c+b c) \nu )=0, \\ a b c+(-a b -a c+bc) \nu=0 \end{gathered} \end{equation*} \notag$

соответственно. Ясно, что решения уравнения

$F_1=0$ также удовлетворяют условию

$B_3=0$ .

В трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе эллиптически 2-периодическую траекторию можно найти, наложив условие $B_3=0$ или $F_1=0$ , или $J_1=0$ . Первые два условия приведены выше, а третье эквивалентно равенству

$\begin{equation*} a b c+(a b -a c -b c) \nu=0. \end{equation*} \notag$

Решение уравнения

$F_1=0$ или

$J_1=0$ также удовлетворяет уравнению

$B_3=0$ .

Рис. 3.Примеры возможных эллиптически 2-периодических, но не 2-периодических траекторий в воротниковом (a) и трансверсальном (b) $\mathcal{H}$ -эллипсах.

Соответствующие траектории изображены на рис. 3.

Пример 2.7 (эллиптическая 3-периодичность). В воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе эллиптически $3$ -периодическую траекторию можно найти, наложив одно из условий

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} B_3 &B_4 \\ B_4 &B_5 \end{pmatrix} =0, \qquad D_2=0, \qquad I_2=0. \end{equation*} \notag$

Они эквивалентны соответственно соотношениям

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, 0&=\bigl[(-3 a^2 b^2+c^2 (a-b)^2+2 a b c (a+b))\nu ^2+2 a b c (a b-ac-bc) \nu+ (abc)^2\bigr] \\ &\quad\times \bigl[(-a^2 (b-c)^2+2 a b c (b+c)-b^2 c^2)\nu^2 - 2abc(ab+ac+bc)\nu+3(abc)^2\bigr] \\ &\quad\times \bigl[(a^2 (b-c)^2+2 a b c (b+c)-3 b^2 c^2)\nu^2+2abc (-ab -ac+bc )\nu+(abc)^2\bigr] \\ &\quad\times \bigl[(a^2 (b-c) (b+3 c)+2 a b c (c-b)+b^2 c^2)\nu^2+2abc(-ab+ac - bc)\nu+(abc)^2 \bigr], \\ 0&=3(abc)^2\ -2 abc(ab+bc+ac)\nu+\bigl( 4 a b c (a+b+c)-(a b+a c+b c)^2\bigr) \nu^2, \\ 0&=(abc)^2 -2abc(-bc+ab+ac)\nu+(a^2 (b-c)^2+2 a b c (b+c)-3 b^2 c^2) \nu^2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

В трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе эллиптически 3-периодическую траекторию можно найти, наложив одно из условий

$\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} B_3 & B_4 \\ B_4 & B_5 \end{pmatrix}=0, \qquad I_2=0, \qquad L_2=0. \end{equation*} \notag$

Первые два условия приведены выше, а третье эквивалентно равенству

$\begin{equation*} 0=(abc)^2 -2 a b c (a b-a c+b c)\nu+(b^2 c^2+2 a b c (c-b)+a^2(b^2+2 b c-3 c^2))\nu^2. \end{equation*} \notag$

Рис. 4.Примеры возможных варианта эллиптически 3-периодических, но не 3-периодических траекторий в воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе (a) и трансверсальном (b) $\mathcal{H}$ -эллипсах.

Соответствующие эллиптически 3-периодические траектории изображены на рис. 4.

§ 3. Топологические свойства биллиардных систем в софокусных семействах

Как описано в § 2, внутри софокусных квадрик на гиперболоиде $\mathcal{H}$ биллиарды бывают двух геометрически различных типов. В этом параграфе с помощью инвариантов Фоменко (см. [12], [11], [10]) дается топологическое описание биллиардных систем для каждой ситуации. Такие описания давались ранее для эллиптических биллиардов на евклидовой плоскости (см. [20], [21]), в областях, ограниченных софокусными параболами (см. [33]), биллиардов с потенциалом Гука (см. [42]), биллиардов на плоскости Минковского и геодезических на эллипсоидах в $\mathbf{M}^{3}$ (см. [25]), невыпуклых биллиардов (см. [45]), биллиардов с проскальзыванием (см. [35]) и для более общих классов биллиардных систем и гамильтоновых систем со столкновениями (см. [49], [34], [41]). Другие работы по этой теме можно найти в списках литературы перечисленных статей.

3.1. Трансверсальный $\mathcal{H}$ -эллипс

В случае трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса константы удовлетворяют неравенствам $b < 0 < a < c$ , а софокусные кривые имеют эллиптический тип при $\lambda \in (b,a)\cup(a,c)$ и гиперболический тип при $\lambda \in (-\infty, b] \cup [c,\infty)$ ; см. детали в п. 2.2.

В качестве биллиардного стола $\mathcal{T}$ рассматривается множество точек с $z>0$ , лежащих на трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе $\mathcal{C}_0$ и внутри него. Топологически $\mathcal{T}$ гомеоморфен замкнутому кругу на плоскости. Рассмотрим точку $P \in \mathcal{C}_0$ , и пусть $u,v \in T_P\mathcal{H}$ – единичные векторы; их множество гомеоморфно $\mathbf{S}^{1}$ . Пусть $\sim$ – следующее отношение эквивалентности на полнотории $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1}$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, (P,u) \sim (P,v) \quad &\Longleftrightarrow\quad P \in \mathcal{C}_0, \text{ а } u,v \in \mathbf{S}^{1} \text{ переходят друг в друга} \\ &\qquad\qquad\text{при отражении от } \mathcal{C}_0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Биллиардная траектория внутри $\mathcal{T}$ индуцирует траекторию на $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$ . Это соответствие траекторий индуцирует проекцию фазового пространства биллиарда на $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$ , сохраняющую траектории и листы слоения Лиувилля.

Теорема 3.1. Слоение Лиувилля на многообразии $\mathcal{T} \times \mathbf{S}^{1}/\sim$ представляется графом Фоменко на рис. 5.

Рис. 5.Граф Фоменко для биллиарда внутри трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса, соответствующего $z>0$ .

Доказательство. Каждый лист слоения Лиувилля на многообразии (множество уровня) соответствует биллиардным движениям с каустикой, являющейся некоторой фиксированной софокусной кривой

$\mathcal{C}_{\lambda}$ , где

$\lambda \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ .

При $\lambda \notin \{a,b,c\}$ множества уровня невырожденны. В случае, когда каустика гиперболического типа, т.е. $\lambda \in (-\infty, b) \cup (c,\infty) \cup \{\infty\}$ , каждое из них является тором. В случае, когда каустика эллиптического типа и пересекает $\mathcal{C}_0$ в четырех различных точках (т.е. когда $\lambda \in (b,a)$ ), множество уровня является объединением двух торов. А когда $\mathcal{C}_{\lambda}$ эллиптического типа, но не пересекает $\mathcal{C}_0$ (т.е. когда $\lambda \in (a,c)$ ), множество уровня – снова один тор.

Если $\lambda=a$ , то множество уровня состоит из единственной замкнутой траектории, являющейся 2-периодической и лежащей в плоскости $x=0$ , и из двух гомоклинических сепаратрис. Любая траектория на сепаратрисе лежит по одну сторону от координатной плоскости $yz$ , а ее отрезки попеременно проходят через фокусы $F_{-+}^x$ и $F_{++}^x$ .

При $\lambda \to a^-$ каустика эллиптического типа пересекает $\mathcal{C}_0$ . Каждая траектория лежит в одной из двух областей, ограниченных $\mathcal{C}_0$ и $\mathcal{C}_{\lambda}$ , так что множество уровня – объединение двух торов. При $\lambda \to a^+$ каустика также эллиптического типа, но она не пересекает $\mathcal{C}_0$ , так что множество уровня – один тор. Такая система множеств уровня представляется атомом Фоменко $B$ . Для $\lambda=b$ подобный анализ приводит к аналогичному результату.

При $\lambda=c$ отрезки траекторий описываются похожим образом. Плоскости, задающие отрезки биллиардной траектории, попеременно проходят через антиподальные пары фокусов (т.е. плоскость, задающая один отрезок, содержит $F_{++}^z$ и $F_{--}^z$ , а плоскость, задающая следующий отрезок, содержит $F_{+-}^z$ и $F_{-+}^z$ ). Такие траектории не обязательно периодические, как раньше. Хотя значение $\lambda=c$ является пороговым для перехода от каустики гиперболического типа к эллиптическому типу, ни одна из этих каустик не пересекает $\mathcal{C}_0$ , так что биллиардная система как таковая не меняется кардинально при $\lambda=c$ .

Если $\lambda=\infty$ , то все траектории светоподобны, так что их отрезки лежат на образующих гиперболоида $\mathcal{H}$ . Качественное поведение траекторий такое же, как при $\lambda \in (-\infty, b) \cup (a, \infty)$ .

В окрестности значения $\lambda=b$ анализ аналогичен случаю $\lambda=a$ .

Рассмотрим предельный случай $\lambda=0$ . При $\lambda \to 0^-$ биллиардное движение происходит в одной из двух областей, ограниченных $\mathcal{C}_0$ и $\mathcal{C}_{\lambda}$ ; каждая из них лежит по одну сторону от плоскости $y=0$ . Предельное движение вдоль границы периодическое: траектория идет вдоль времениподобной дуги границы. Это периодическое движение представляется двумя атомами Фоменко $A$ на рис. 5. При $\lambda \to 0^+$ анализ приводит к тем же выводам, однако области между $\mathcal{C}_0$ и $\mathcal{C}_{\lambda}$ лежат теперь по разные стороны от плоскости $x=0$ , а предельные периодические траектории идут вдоль пространственноподобных дуг кривой $\mathcal{C}_0$ .

Теорема 3.1 доказана.

Замечание 3.2. Траектории с каустиками $\mathcal{C}_{\lambda}$ при $\lambda>0$ пространственноподобные, а при $\lambda<0$ они времениподобные.

3.2. Воротниковый $\mathcal{H}$ -эллипс

В случае воротникового $\mathcal{H}$ -эллипса константы удовлетворяют неравенствам $0 < a < b < c$ , а софокусные кривые имеют эллиптический тип при $\lambda \in (-\infty,a)$ и гиперболический тип при $\lambda \in (b,c)$ ; см. детали в п. 2.2.

Пусть $\mathcal{E}$ – биллиардный стол, т.е. множество точек на воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе $\mathcal{C}_0$ и внутри него. Топологически $\mathcal{E}$ гомеоморфен замкнутому круговому кольцу. Рассмотрим точку $P \in \mathcal{C}_0$ , и пусть $u,v \in T_P\mathcal{H}$ , где $u$ , $v$ – единичные векторы. Их множество гомеоморфно $\mathbf{S}^{1}$ . Пусть $\sim$ – отношение эквивалентности на “утолщенном” торе $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1}$ , заданное условием

$\begin{equation*} (P,u) \sim (P,v) \quad\Longleftrightarrow\quad P \in \mathcal{C}_0\ \text{ и } u,v \in \mathbf{S}^{1} \text{ отражаются друг в друга от } \mathcal{C}_0. \end{equation*} \notag$

Каждая биллиардная траектория на $\mathcal{E}$ индуцирует траекторию в $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$ . Это соответствие траекторий индуцирует проекцию фазового пространства биллиарда на $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1} / \sim$ , сохраняющую траектории и листы слоения Лиувилля.

Теорема 3.3. Слоение Лиувилля на многообразии $\mathcal{E} \times \mathbf{S}^{1} /\sim$ представляется графом Фоменко на рис. 6.

Рис. 6.Граф Фоменко для биллиарда в воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе.

Доказательство. Как и выше, каждый лист слоения Лиувилля на многообразии (множестве уровня) соответствует биллиардному движению с каустикой, являющейся фиксированной софокусной кривой

$\mathcal{C}_{\lambda}$ , где

$\lambda \in (-\infty, a] \cup [b,\infty) \cup \{\infty\}$ .

При $\lambda \notin \{a,b,c\}$ множества уровня невырожденны. Если каустика гиперболического типа, т.е. $\lambda \in (b, c)$ , то каждое из них – это объединение двух торов. Каждый из торов соответствует биллиардному движению в одной из двух областей, симметричных относительно плоскости $z=0$ и ограниченных кривой $\mathcal{C}_{\lambda}$ из софокусного семейства и границей $\mathcal{C}_0$ .

На гиперболоиде $\mathcal{H}$ нет софокусных кривых с с $\lambda \in (c,+\infty)$ , так как пересечение конуса (2.3) с гиперболоидом пусто. Однако поскольку соответствующие геодезические – это пересечения $\mathcal{H}$ с плоскостями, касающимися конуса, мы все же можем определить отрезки соответствующих биллиардных траекторий. В этом случае множество уровня – объединение двух торов, по одному для каждого из направлений, в которых биллиардная траектория обходит $\mathcal{E}$ вокруг оси $x$ .

При $\lambda=\infty$ траектории светоподобны и каждый тор соответствует траектории, закручивающейся вокруг $\mathcal{E}$ по правилу правой или левой руки.

В случае когда $\lambda \in (-\infty,0) \cup (0,a)$ , множество уровня остается объединением двух торов, по одному для каждого из направлений, в которых траектория закручивается по $\mathcal{E}$ . Для каждого случая есть своя геометрическая интерпретация. При $\lambda \in (-\infty,0)$ каустика эллиптического типа и лежит снаружи от $\mathcal{E}$ , а $\lambda \in (0,a)$ соответствует каустике эллиптического типа внутри $\mathcal{E}$ . Это движение замечательно в следующем смысле: каждый тор, соответствующий $\lambda \in (0,a)$ , является просто периодическим геодезическим потоком на пространственноподобной траектории. Биллиардное движение не доходит до границы, так что каждая траектория замкнута (рис. 7). Значит, каждый тор из этого множества уровня резонансный. В пределе, когда $\lambda \to 0^\pm$ , множество уровня опять оказывается объединением двух резонансных торов, каждый из которых снова соответствует направлению, в котором траектория обходит $\mathcal{E}$ .

Рис. 7.Периодическая биллиардная траектория, касающаяся софокусной кривой и не отражающаяся от границы $\mathcal{C}_0$ (в терминологии п. 2.4 это эллиптически 1-периодическая траектория).

Теперь рассмотрим вырожденные случаи. При $\lambda=b$ траектория периодическая и лежит в плоскости $y=0$ , отражаясь попеременно от каждой компоненты границы стола $\mathcal{E}$ . Этому предельному движению соответствуют два атома $A$ , по одному для каждой из двух периодических траекторий. При $\lambda \to b^+$ множество уровня – объединение двух торов, как описано выше для $\lambda \in (b,c)$ .

При $\lambda=c$ траектория периодическая и лежит в плоскости $z=0$ , а множество уровня вырожденное. При $\lambda \to c^-$ множество уровня является объединением двух торов, по одному на каждую из областей биллиардного стола, в которых траектории касаются каустики гиперболического типа. При $\lambda \to c^+$ множество уровня также является объединением двух торов, соответствующих направлению обхода траектории по $\mathcal{E}$ . Поскольку этому значению параметра соответствуют четыре окружности и четыре сепаратрисы, при $\lambda=c$ возникает атом $C_2$ .

Если $\lambda=a$ , то траектория периодическая, пространственноподобная и “наматывается” на гиперболоид $\mathcal{H}$ , оставаясь в плоскости $x=0$ , а множество уровня вырожденное. Каждое направление закручивания этого периодического решения соответствует своему атому $A$ . При $\lambda \to a^-$ движение такое же, как при $\lambda \in (0,a)$ , а множество уровня – объединение двух торов. При $\lambda \to a^+$ множество уровня пусто.

Напомним обозначения для матриц склейки и базисных циклов на торах:

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha &\beta \\ \gamma &\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

(см. [12], [11]). Для двух ребер слева матрица склейки равна

$\begin{equation*} A_L=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Новые базисные циклы

$(\lambda^+,\mu^+)$ геометрически отвечают движению по окружности в пересечении плоскости

$yz$ с гиперболоидом и 2-периодической траектории в плоскости

$y=0$ соответственно. Для двух ребер справа матрица склейки есть

$\begin{equation*} A_R=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Геометрически нестягиваемый базисный цикл

$\lambda^+$ отвечает круговому периодическому движению по воротнику в плоскости

$x=0$ , а второй базисный цикл

$\mu^+$ является дополнительным к

$\lambda^+$ .

Теорема 3.3 доказана.

Замечание 3.4. В рассматриваемом случае пространственноподобные траектории отвечают каустикам $\mathcal{C}_{\lambda}$ с $\lambda < a$ , а времениподобные отвечают каустикам с $\lambda>b$ . (Ср. замечание 3.2.)

3.3. Замечания об эквивалентных системах

Заметим, что граф Фоменко на рис. 5, отвечающий биллиарду в трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе, совпадает с графом Фоменко, отвечающим биллиарду внутри эллипса на плоскости Минковского (см. [25]). Поскольку отмеченные графы Фоменко этих двух биллиардных систем совпадают, сами системы лиувиллево эквивалентны.

В случае воротникового $\mathcal{H}$ -эллипса меченая молекула такая же, как в одном из подслучаев интегрируемого случая Чаплыгина динамики твердого тела (см. [32]), так что эти интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны.

3.4. Биллиардные книжки

Несколько гипотез Фоменко описывают связь между интегрируемыми системами и эллиптическими биллиардами на евклидовой плоскости. Рассматриваются области внутри эллипса, ограниченные дугами софокусных гипербол и эллипсов. Гипотезы заключаются в том, что любую интегрируемую систему можно представить, склеивая такие области подходящим образом, что приводит к обобщенным биллиардным областям, называемым биллиардными книжками; см. подробности в [49].

В случае трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса граф Фоменко на рис. 5 (без меток) представляется биллиардной книжкой, получаемой склейкой двух экземпляров биллиардной книжки, представляющей 3-атом $B$ ; наглядную конструкцию этой биллиардной книжки см. в [31; § 2].

В случае воротникового $\mathcal{H}$ -эллипса граф Фоменко на рис. 6 (без меток) представляется биллиардной книжкой для 3-атома $C_2$ . Такая книжка строится в соответствии с алгоритмом 1 из работы [49]; в обозначениях из этой работы книжка склеена из четырех листов $A_0'$ , причем склейка вдоль ребер задается перестановками $\sigma_3=\sigma_4=\mathrm{id}$ , $\sigma_1=(12)(34)$ и $\sigma_2=(14)(23)$ ; рис. 8.

Рис. 8.Вид сбоку на биллиардные книжки, соответствующие графам Фоменко для транверсального (a) и воротникового (b) эллипсов. Метки на ребрах отвечают номерам листов, а метки на вершинах – их перестановками.

§ 4. Дискриминантно разложимые и дискриминантно отделимые многочлены

Дискриминантно разложимые многочлены были введены в статье [15]. Там они определены свойством, что их дискриминанты, рассматриваемые как многочлены от нескольких переменных, раскладываются на нетривиальные множители.

В случаях евклидовой плоскости (см. [26]) и плоскости Минковского (см. [1]) известно, что за условиями типа Кэли стоит богатая алгебро-геометрическая структура, связанная с дискриминантно отделимыми многочленами, введенными в [16].

Определение 4.1 (см. [16]). Многочлен $F(x_1, \dots, x_n)$ дискриминантно отделим, если существуют такие многочлены $f_1(x_1), \dots, f_n(x_n)$ , что дискриминант $\mathcal{D}_{x_i}F$ многочлена $F$ по переменной $x_i$ имеет вид

$\begin{equation*} \mathcal{D}_{x_i}F(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n)=\prod_{j \neq i} f_j(x_j) \end{equation*} \notag$

для всех

$1 \leqslant i \leqslant n$ .

Исследуем условия периодичности из теоремы 2.1 с этой точки зрения. (Отметим, что условия эллиптической периодичности могут быть рассмотрены аналогично.) Условия типа Кэли содержат числители, являющиеся многочленами от параметра каустики $\nu$ , с коэффициентами, выражающимися через переменные $a$ , $b$ , $c$ .

Для простоты обозначений в формулах ниже элементарные симметрические многочлены выражаются через три переменные $p :=a+b+c,$ $q :=ab+ac+bc$ , $r :=abc$ .

Пример 4.2 (период 3). Условие $D_2=0$ эквивалентно поиску нулей относительно $\nu$ у выражения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &G_3(a,b,c,\nu) \\ &\quad=3(abc)^2 -2 abc(ab+bc+ac)\nu+\bigl(4 a b c (a+b+c)-(a b+a c+b c)^2\bigr) \nu^2 \\ &\quad=3r^2 - 2qr \nu+(4pr-q^2)\nu^2; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

его дискриминант по

$\nu$ равен

$\begin{equation*} \mathcal{D}_\nu G_3=2^4 (abc)^2 \bigl(a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2 - a b c (a+b+c)\bigr) =2^4 r^2 (q^2-3 p r). \end{equation*} \notag$

Пример 4.3 (период 4). Решение уравнения $B_3=0$ эквивалентно отысканию нулей относительно $\nu$ у выражения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &G_4(a,b,c,\nu) \\ &\qquad=(\nu (-a b+a c+b c)-a b c) (\nu (a b+a c-b c)-a b c) (\nu (a b-a c+b c)-a b c); \end{aligned} \end{equation*} \notag$

его дискриминант по

$\nu$ равен

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{D}_\nu G_4 &=2^6 (abc)^8 (a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2 \\ &=64 r^8 (p^2 q^2-4 p^3 r+18 p q r-4 q^3-27 r^2). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пример 4.4 (период 5). Формула $D_2D_4 - D_3^2=0$ эквивалентна отысканию корней уравнения относительно $\nu$ у выражения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, G_5(a,b,c,\nu) &=5 r^6 -10 q r^5\nu+r^4 (52 p r-9 q^2)\nu^2+4 r^3(-36 p q r+9 q^3+56 r^2) \nu^3 \\ & \quad+r^2 \bigl(-16 r^2 (p^2+14 q)+120 p q^2 r-29 q^4\bigr)\nu^4 \\ & \quad+2 r \bigl(16 q r^2 (q-p^2)-8 p q^3 r+64 p r^3+3 q^5\bigr)\nu^5 \\ & \quad +\bigl(48 p^2 q^2 r^2-64 r^3(p^3+4 r)-12 p q^4 r+128 p q r^3-32 q^3 r^2+q^6\bigr)\nu^6; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

его дискриминант по

$\nu$ равен

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\mathcal{D}_\nu G_5 =2^{44}\cdot 5 \cdot r^{38}(p^2 q^2-4 p^3 r+18 p q r-4 q^3-27 r^2)^4 \\ &\quad \times \bigl(-889 p^2 q^2 r^2+r^3(1369 p^3+4320 r)+243 p q^4 r-2880 p q r^3+640 q^3 r^2-27 q^6\bigr). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пример 4.5 (период 6). Поиск решений уравнения $B_3B_5 - B_4^2=0$ эквивалентен отысканию корней уравнения относительно $\nu$ у выражения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &G_6(a,b,c,\nu) \\ &\ =\bigl[\bigl(-3 a^2 b^2+c^2 (a-b)^2+2 a b c (a+b)\bigr)\nu ^2+2 a b c (a b-ac-bc) \nu+(abc)^2\bigr] \\ &\quad\times \bigl[(-a^2 (b-c)^2+2 a b c (b+c)-b^2 c^2)\nu^2 - 2abc(ab+ac+bc)\nu+3(abc)^2\bigr] \\ &\quad\times \bigl[(a^2 (b-c)^2+2 a b c (b+c)-3 b^2 c^2)\nu^2+2abc (-ab -ac+bc )\nu+(abc)^2\bigr] \\ &\quad\times \bigl[(a^2 (b-c) (b+3 c)+2 a b c (c-b)+b^2 c^2)\nu^2+2abc(-ab+ac - bc)\nu+(abc)^2 \bigr]; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

его дискриминант по

$\nu$ равен

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\mathcal{D}_\nu G_6 \\ &\ =-2^{88}(abc)^{74}(a-b)^{18} (a-c)^{18} (b-c)^{18}(a^2 b^2+a^2 c^2+ b^2 c^2 - a b c (a+b+c)) \\ &\ =2^{88} r^{74}(q^2 - 3 p r) (-p^2 q^2+4 p^3 r-18 p q r+4 q^3+27 r^2)^9. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пример 4.6 (период 7). Условие

$\begin{equation*} \det \begin{pmatrix} D_2 &D_3 &D_4 \\ D_3 &D_4 &D_5 \\ D_4 &D_5 &D_6 \end{pmatrix}=0 \end{equation*} \notag$

эквивалентно отысканию нулей по

$\nu$ многочлена

$G_7(a,b,c,\nu)$ степени 12. Его дискриминант по

$\nu$ равен

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{D}_\nu G_7 &=-2^{184}\cdot 7^2 \cdot r^{172}(p^2 q^2-4 p^3 r+18 p q r-4 q^3-27 r^2)^{20} \\ &\ \times \bigl[13884993 p^2 q^8 r^2-4 q^6 r^3 (19497321 p^3+36960632 r)-633232064 p^2 q^5 r^4 \\ &\ \quad+ p q^4 r^4(254629897 p^3+1330582752 r)+64 q^3 r^5 (17805509 p^3-16979328 r) \\ &\ \quad -2 p^2 q^2 r^5 (209755567 p^3+1588370256 r)-576 p q r^6(846895 p^3-8489664 r) \\ &\ \quad+r^6(731717280 p^3 r+250406527 p^6-3667534848 r^2)+134695872 p q^7 r^3 \\ &\ \quad-1518750 p q^{10} r-9977472 q^9 r^2+84375 q^{12}\bigr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Все многочлены $G_i(a,b,c,\nu)$ из примеров 4.2–4.6 дискриминантно разложимые. Однако, в отличие от примеров из [1], здесь не существует очевидных замен переменных, приводящих к дискриминантно отделимым многочленам. Все же некоторые из них являются почти дискриминантно отделимыми по переменным $a$ , $d=b/a$ и $e=c/a$ . К примеру,

$\begin{equation*} \mathcal{D}_\nu G_4=64 a^{30} (d-1)^2 d^8 (e-1)^2 e^8 (d-e)^2, \end{equation*} \notag$

где

$(d-e)^2$ – “вредоносный” множитель. Аналогичные вычисления после той же замены переменных приводят к выражениям, являющимся произведениями многочленов вида

$\begin{equation*} \mathcal{D}_\nu G_i (a,b,c,\nu)=f_1(a)f_2(d)f_3(e)f_4(d,e). \end{equation*} \notag$

Еще одна возможная замена переменных мотивирована аналогией между $G_3$ и многочленом $G_2(a,b,\gamma)$ из [1]. Используя элементарные симметрические многочлены $p$ , $q$ и $r$ , сначала сделаем преобразование $(p,q,r) \mapsto (AB, A+B,1)$ . Тогда

$\begin{equation*} \mathcal{D}_\nu G_3(A,B)=2^4((A+B)^2 - 3AB). \end{equation*} \notag$

После еще одного преобразования

$(A,B) \mapsto(A,C :=B/A)$ получим дискриминантно отделимый многочлен

$\begin{equation*} \mathcal{D}_\nu G_3(A,C)=2^4 A^2 (1-C+C^2). \end{equation*} \notag$

Однако эта пара замен переменных не приводит к дискриминантно отделимым многочленам больше ни в каком из приведенных выше примеров. Так, используя ее в примере 4.3, получим

$\begin{equation*} \mathcal{D}_\nu G_4=2^6 (A^6 (-1+C)^2 C^2 - A^3 (4 - 6 C - 6 C^2+4 C^3)-27), \end{equation*} \notag$

что говорит о дискриминантной разложимости, но не о дискриминантной отделимости.

§ 5. Периодические траектории и экстремальные многочлены

5.1. Полиномиальные уравнения как условия периодичности

Условия периодичности из теоремы 2.1 можно сформулировать в терминах разрешимости некоторых полиномиальных уравнений.

Теорема 5.1. Биллиардные траектории с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ в трансверсальном или воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе $n$ -периодичны, если и только если найдется такая пара многочленов

$\begin{equation*} p_{d_1}=e_{d_1} X^{d_1}+\dotsb, \qquad q_{d_2}=f_{d_2} X^{d_2}+\dotsb \end{equation*} \notag$

некоторых степеней

$d_1$ и

$d_2$ соответственно, что выполнены следующие условия, где

$k=e_{d_1}^2 - \varepsilon f_{d_2}^2$ :

если $n=2m$ , то $d_1=m$ , $d_2=m-2$ и условие имеет вид

$\begin{equation} p_m^2(s) - \biggl(\frac{1}{a}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{b}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{c}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{\nu}-s\biggr) q_{m-2}^2(s)=\operatorname{sign}{k}; \end{equation} \tag{5.1}$

если $n=2m+1$ , то $d_1=m$ , $d_2=m-1$ и условие имеет вид

$\begin{equation} \biggl( \frac{1}{\nu}-s \biggr) p_m^2(s) - \biggl(\frac{1}{a}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{b}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{c}-s\biggr) q_{m-1}^2(s)=\operatorname{sign}(k\nu). \end{equation} \tag{5.2}$

Доказательство. Сначала рассмотрим случай

$n=2m$ . Тогда найдутся вещественные многочлены

$p_m^*(X)$ и

$q_{m-2}^*(X)$ степеней

$m$ и

$m\,{-}\,2$ соответственно, для которых выражение

$\begin{equation*} p_m^*(X) - q_{m-2}^*(X)\sqrt{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)} \end{equation*} \notag$

имеет нуль порядка

$2m$ в точке

$X=0$ . Умножив на алгебраически сопряженное выражение

$\begin{equation*} p_m^*(X)+q_{m-2}^*(X)\sqrt{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)}, \end{equation*} \notag$

получим многочлен степени

$2m$ вида

$\begin{equation*} [p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-2}^*(X)]^2 (X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu) \end{equation*} \notag$

с нулем порядка

$2m$ в точке

$X=0$ . Следовательно,

$\begin{equation*} [p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-2}^*(X)]^2 (X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)=k X^{2m} \end{equation*} \notag$

с некоторой ненулевой постоянной

$k$ . Используем тождество

$x=|x|\operatorname{sign}{x}$ и поделим обе части этого равенства на

$|k| X^{2m}$ . Получим

$\begin{equation*} \frac{[p_m^*(X)]^2}{|k| X^{2m}} - \frac{\varepsilon[q_{m-2}^*(X)]^2 (X-a)(X-b)(X-c)(X-\nu)}{|k| X^{2m}}=\operatorname{sign}{k}. \end{equation*} \notag$

Пусть

$s=1/X$ . Положим

$\begin{equation*} p_m(s)=\frac{s^m p_m^*(1/s)}{\sqrt{|k|}}, \qquad q_{m-2}(s)=\frac{s^{m-2}q_{m-2}^*(1/s)\sqrt{ac|b\nu|}}{\sqrt{|k|}}. \end{equation*} \notag$

Полученные многочлены

$p_m(s)$ и

$q_{m-2}(s)$ удовлетворяют уравнению (5.1), что доказывает часть (a).

В случае $n=2m+1$ найдутся такие многочлены $p_m^*(X)$ и $q_{m-1}^*(X)$ степеней соответственно $m$ и $m-1$ , что у выражения

$\begin{equation*} p_m^*(X) - q_{m-1}^*(X)\sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)}{(X-\nu)}} \end{equation*} \notag$

имеется нуль порядка

$2m+1$ в точке

$X=0$ . Умножая на

$\begin{equation*} (X-\nu) \biggl(p_m^*(X)+q_{m-1}^*(X)\sqrt{\frac{\varepsilon(X-a)(X-b)(X-c)}{(X-\nu)}} \biggr), \end{equation*} \notag$

получим многочлен вида

$\begin{equation*} (X-\nu)[p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-1}^*(X)]^2(X-a)(X-b)(X-c) \end{equation*} \notag$

с нулем порядка

$2m+1$ в

$X=0$ . Поскольку степень этого выражения

$2m+1$ , имеем

$\begin{equation*} (X-\nu)[p_m^*(X)]^2 - \varepsilon[q_{m-1}^*(X)]^2(X-a)(X-b)(X-c)=k X^{2m+1} \end{equation*} \notag$

для некоторого ненулевого коэффициента

$k$ . Снова используем тождество

$k=|k|\operatorname{sign}{k}$ и поделим обе части равенства на

$|k| X^{2m+1}$ . Получим

$\begin{equation*} \frac{(X-\nu)[p_m^*(X)]^2}{|k| X^{2m+1}} - \frac{\varepsilon[q_{m-1}^*(X)]^2(X-a)(X-b)(X-c)}{|k| X^{2m+1}}=\operatorname{sign}{k}. \end{equation*} \notag$

Опять положим

$s=1/X$ и введем многочлены

$\begin{equation*} p_m(s)=\frac{s^m p_m^*(1/s)\sqrt{|\nu|}}{\sqrt{|k|}}, \qquad q_{m-1}(s)=\frac{s^{m-1}q_{m-1}^*(1/s)\sqrt{a|b|c}}{\sqrt{|k|}}. \end{equation*} \notag$

Они удовлетворяют уравнению (5.2), что доказывает часть (b).

Теорема 5.1 доказана.

Следствие 5.2. Если внутри воротникового или трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса биллиардные траектории с каустикой $\mathcal{C}_\nu$ $n$ -периодические, то найдутся вещественные многочлены $\widehat{p}_n$ и $\widehat{q}_{n-2}$ степеней $n$ и $n-2$ соответственно, удовлетворяющие уравнению Пелля

$\begin{equation} \widehat{p}_n(s)^2 - \biggl(\frac{1}{a}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{b}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{c}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{\nu}-s\biggr) \widehat{q}_{n-2}(s)^2=1. \end{equation} \tag{5.3}$

Для доказательства достаточно при $n=2m$ положить

$\begin{equation*} \widehat{p}_n=2p_m^2-\operatorname{sign}{k}, \qquad \widehat{q}_{n-2}=2p_m q_{m-2}, \end{equation*} \notag$

а при

$n=2m+1$ положить

$\begin{equation*} \widehat{p}_n=2\biggl(\frac{1}{\nu}-s \biggr) p_m^2-\operatorname{sign}{k\nu}, \qquad \widehat{q}_{n-2}=2p_m q_{m-1}. \end{equation*} \notag$

Уравнения типа Пелля возникали выше в качестве полиномиальных функциональных условий периодичности. Такие решения уравнений Пелля имеют и другие связи с геометрическими свойствами биллиардных траекторий. Эти результаты можно сравнить с [1].

5.2. Число вращения

Пусть заданы постоянные $c_0<c_1<c_2<c_3$ ; положим

$\begin{equation*} T(s)=(s-c_0)(s-c_1)(s-c_2)(s-c_3). \end{equation*} \notag$

Тогда многочлены

$\widehat{p}_n$ и

$\widehat{q}_{n-2}$ степеней соответственно

$n$ и

$n-2$ , для которых

$\begin{equation*} \widehat{p}_n^2(s)-T(s)\widehat{q}_{n-2}^2(s)=1, \end{equation*} \notag$

существуют тогда и только тогда, когда найдется такое целое

$n_1>0$ , что

$\begin{equation*} n_1\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} =n\int_{c_3}^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}. \end{equation*} \notag$

При этом

$n_1$ окажется числом нулей многочлена

$\widehat{p}_n$ на интервале

$(c_0,c_1)$ ; см. [38]. Таким образом, число вращения можно определить равенством

$\begin{equation*} \rho:=\frac{n_1}{n} =\int_{c_3}^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}\bigg/\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}. \end{equation*} \notag$

Лемма 5.3. В принятых выше обозначениях выполнены соотношения

$\begin{equation*} 0<n_1<n, \qquad 0<\rho<1. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим ситуацию, когда граница области – воротниковый $\mathcal{H}$ -эллипс. Тогда существуют три возможных типа биллиардных траекторий.

(i) Каустика имеет эллиптический тип и лежит снаружи $\mathcal{E}$ , а траектория проходит внутри $\mathcal{E}$ .

Тогда $\nu < 0$ и $(\lambda_1,\lambda_2) \in [0,a]\times [b,c]$ . При этом условие $n$ -периодичности имеет вид

$\begin{equation*} m_0\int_0^{a}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_1\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =0. \end{equation*} \notag$

Сделав замену

$s=1/\lambda$ , положим

$c_0=1/\nu$ ,

$c_1=1/c$ ,

$c_2=1/b$ и

$c_3=1/a$ . Получаем условие

$\begin{equation*} m_0\int_{\infty}^{c_3}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} +m_1\int_{c_2}^{c_1}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=0. \end{equation*} \notag$

Из равенства

$\begin{equation*} -m_1\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=m_0\int_{c_3}^{\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} \end{equation*} \notag$

и леммы 5.3 можно заключить, что

$\begin{equation*} m_1<0, \qquad -m_1=n_1<m_0=n, \qquad \rho=-\frac{m_1}{m_0}. \end{equation*} \notag$

(ii) Каустика эллиптического типа лежит снаружи $\mathcal{E}$ и биллиардная траектория проходит снаружи $\mathcal{E}$ .

Тогда в соответствии с [37; § 3] биллиардные траектории пространственноподобные и отражаются от одной из компонент $\mathcal{C}$ . Тогда $\nu<0$ и $(\lambda_1,\lambda_2) \in [\nu, 0]\times[b,c]$ . Частица движется между одной из компонент $\mathcal{C}$ и каустикой, не пересекая координатную плоскость $x=0$ , но обязательно пересекая плоскости $y=0$ и $z=0$ четное число раз. Только в этом случае период может быть нечетным. Условие $n$ -периодичности имеет вид

$\begin{equation*} m_2\int_0^{\nu}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_3\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =0. \end{equation*} \notag$

Добавляя и вычитая слагаемое

$\begin{equation*} m_2\int_a^{0}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}}, \end{equation*} \notag$

имеем

$\begin{equation*} m_2\int_a^{\nu}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_3\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =m_2\int_a^{0}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}}. \end{equation*} \notag$

Поскольку циклы, обходящие вокруг отрезков

$[\nu, a]$ и

$[b, c]$ , гомологичны, получаем

$\begin{equation*} (m_3-m_2)\int_{b}^{c}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =m_2\int_a^{0}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}}. \end{equation*} \notag$

После замены

$s=1/\lambda$ , положив

$c_0=1/\nu$ ,

$c_1=1/c$ ,

$c_2=1/b$ ,

$c_3=1/a$ , имеем

$\begin{equation*} (m_2-m_3)\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=m_2\int_{c_3}^{\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}. \end{equation*} \notag$

С помощью леммы 5.3 можно заключить, что

$\begin{equation*} m_3<m_2, \qquad m_2-m_3=n_1<m_2=n, \qquad \rho=1-\frac{m_3}{m_2}. \end{equation*} \notag$

(iii) Каустика имеет гиперболический тип, а траектория проходит внутри $\mathcal{E}$ .

В этом случае каустика симметрична относительно плоскости $z=0$ , а $\nu \in [b, c]$ , так что $(\lambda_1,\lambda_2)\in [0,a]\times[b,\nu]$ . Траектория должна коснуться каустики в некоторой точке внутри $\mathcal{E}$ . Условие $n$ -периодичности имеет вид

$\begin{equation*} m_4\int_0^{a}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} +m_5\int_{b}^{\nu}\frac{d\lambda}{\sqrt{\mathcal{P}(\lambda)}} =0. \end{equation*} \notag$

Сделав замену

$s=1/\lambda$ , положим

$c_0=1/c$ ,

$c_1=1/\nu$ ,

$c_2=1/b$ ,

$c_3=1/a$ . Тогда имеем

$\begin{equation*} m_4\int_{\infty}^{c_3}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} +m_5\int_{c_2}^{c_1}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} =0. \end{equation*} \notag$

Используя равенство

$\begin{equation*} -m_5\int_{c_1}^{c_2}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}}=m_4\int_{c_3}^{\infty}\frac{ds}{\sqrt{T(s)}} \end{equation*} \notag$

и лемму 5.3, можно заключить, что

$\begin{equation*} m_5<0, \qquad -m_5=n_1<m_4=n, \qquad \rho=-\frac{m_5}{m_4}. \end{equation*} \notag$

5.3. Многочлены Золотарёва и периодические траектории

Хорошо известно, что многочлены Чебышёва можно определить рекуррентно соотношениями $T_0(x)=1$ , $T_1(x)=x$ и

$\begin{equation*} T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x)=2x T_n(x) \end{equation*} \notag$

при

$n=1,2,\dots$ . Их также можно параметризовать по-другому, к примеру,

$\begin{equation} T_n(x)=\cos n\phi, \qquad x=\cos\phi; \end{equation} \tag{5.4}$

см., например, [4]. Обратные величины к старшим коэффициентам этих многочленов имеют вид

$L_n=2^{n-1}$ при

$n=1, 2, \dots$ и

$L_0=1$ . Чебышёв доказал, что многочлены

$L_nT_n(x)$ решают следующую задачу о минимаксе:

найти многочлен степени $n$ со старшим коэффициентом $1$ , минимизирующий равномерную норму на отрезке $[-1,1]$ .

Чебышёвым было также показано, что многочлены Чебышёва удовлетворяют полиномиальному уравнению Пелля, т.е. найдется многочлен $Q_{n-1}$ степени $n-1$ , для которого

$\begin{equation*} T_n^2(x) - (x-1)(x+1)Q_{n-1}^2=1. \end{equation*} \notag$

Из изложенного выше ясно, что уравнение Пелля фундаментально важно для полиномиальной формы условий периодичности. Решения уравнений Пелля с точностью до масштабирования оказываются экстремальными многочленами относительно равномерной нормы на объединении пары отрезков, определяемых уравнением Пелля. Назовем такие обобщенные многочлены Чебышёва для пары отрезков многочленами Золотарёва, поскольку их ввел Золотарёв, выдающийся ученик Чебышёва, в работе [51]. Потом их исследовал Ахиезер (см. [2], а также [3], [4]). Недавние результаты по многочленам Золотарёва можно найти в [28]. Вслед за классиками рассмотрим объединение отрезков

$\begin{equation*} E_{n,m}=[-1,\alpha_{n,m}]\cup [\beta_{n,m}, 1], \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \alpha_{n,m}=1-2\operatorname{sn}^2\biggl(\frac{m}{n}K\biggr), \qquad \beta_{n,m}=2\operatorname{sn}^2\biggl(\frac{n-m}{n}K\biggr)-1. \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} TA_{n}(x,m,\kappa)=L\biggl(v_{n.m}^{n}(u)+\frac{1}{v_{n,m}^{n}(u)}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, v_{n,m}(u)=\frac{\theta_1(u-\frac{m}{n}K)}{\theta_1(u+\frac{m}{n}K)}, \qquad x_{n,m}=\frac{\operatorname{sn}^2(u)\operatorname{cn}^2(\frac{m}{n}K) +\operatorname{cn}^2(u)\operatorname{sn}^2(\frac{m}{n}K)}{\operatorname{sn}^2(u) -\operatorname{sn}^2(\frac{m}{n}K)}, \\ L_{n,m}=\frac{1}{2^{n-1}} \biggl(\frac{\theta_0(0)\theta_3(0)}{\theta_0(\frac{m}{n}K)\theta_3(\frac{m}{n}K)}\biggr)^{2n}, \qquad \kappa_{n,m}^2=\frac{2(\beta_{n,m} -\alpha_{n,m})}{(1 -\alpha_{n,m})(1+\beta_{n,m})}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Ахиезер (см. [2]) установил следующий результат.

Теорема 5.4 (Н. И. Ахиезер). Функция $TA_{n}(x,m,\kappa)$ является многочленом степени $n$ по $x$ со старшим коэффициентом $1$ и следующим коэффициентом, равным $-n\tau_{1}^{(n,m)}$ , где

$\begin{equation*} \tau_{1}^{(n,m)}=-1+2\frac{\operatorname{sn}(\frac{m}{n}K)\operatorname{cn} (\frac{m}{n}K)}{\operatorname{dn}(\frac{m}{n}K)} \biggl(\frac{1}{\operatorname{sn}(\frac{2m}{n}K)} -\frac{\theta'(\frac{m}{n}K)}{\theta(\frac{m}{n}K)}\biggr). \end{equation*} \notag$

Максимум модуля многочлена $TA_{n}$ на объединении отрезков $[-1,\alpha_{n,m}]\cup [\beta_{n,m}, 1]$ равен $L_{n,m}$ .

Функция $TA_{n}$ принимает значения $\pm L_{n,m}$ чередующихся знаков в $\mu=n-m+1$ точках отрезка $[- 1, \alpha]$ и $\nu=m+1$ точках отрезка $[\beta, 1]$ . Кроме того,

$\begin{equation*} TA_{n}(\alpha_{n,m},m,\kappa_{n,m})=TA_{n}(\beta_{n,m},m,\kappa_{n,m})=(-1)^{m}L_{n,m} \end{equation*} \notag$

и при любом

$x\in (\alpha_{n,m}, \beta_{n,m})$ выполнено неравенство

$\begin{equation*} (-1)^{m}TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})>L_{n,m}. \end{equation*} \notag$

$TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})$ являются многочленами Золотарёва для пары отрезков $E_{n, m}=[-1,\alpha_{n,m}]\cup [\beta_{n,m}, 1]$ с нормой $L_{n,m}=||TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})||_{E_{n,m}}$ , причем

$\begin{equation*} E_{n,m}=TA_{n}^{-1}[-L_{n,m}, L_{n,m}]. \end{equation*} \notag$

Вне множества $E_{n,m}$ производная многочлена $TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m})$ по переменной $x$ имеет единственный нуль $c_{n,m}$ . Он лежит на отрезке $[\alpha_{n,m}, \beta_{n,m}]$ и

$\begin{equation} c_{n,m}=\frac{\alpha_{n,m}+\beta_{n,m}}{2}-\tau_1^{(n,m)}. \end{equation} \tag{5.5}$

Пусть $F$ – многочлен степени $n$ по $x$ со старшим коэффициентом $1$ и со следующими свойствами:

- $\max|F(x)|=L_{n,m}$ при $x\in [-1,\alpha_{n,m}]\cup [\beta_{n,m}, 1]$ ;
- $F(x)$ принимает значения $\pm L_{n,m}$ с чередующимися знаками в $n-m+1$ точках отрезка $[-1, \alpha_{n,m}]$ и в $m+1$ точках отрезка $[\beta_{n,m}, 1]$ .

Тогда $F(x)=TA_{n}(x,m,\kappa_{n,m}).$

Приведенные формулы для $TA_n$ и $E_{n,m}$ предлагают параметризацию многочленов Золотарёва и их “носителей” в случае пары отрезков. Их можно использовать в нашем исследовании периодических траекторий. В качестве примера рассмотрим некоторый случай, когда траектории $3$ -периодические. Аналогичные рассмотрения проходят для любых значений периода.

Рассмотрим $3$ -периодические траектории в случае трансверсального эллипса, когда выполнены неравенства $b<\nu<0<a<c$ . Наша цель – построить аффинное преобразование

$\begin{equation*} h(s)=\widehat ls+\widehat m\colon E_{3, m}=[-1,\alpha_{3,m}]\cup [\beta_{3,m}, 1]\to [c_0, c_1]\cup[c_2, c_3]. \end{equation*} \notag$

Для этого нужно определить

$m$ .

Положим $Y=\operatorname{sn}(K/3)$ . Мы вычислим $\operatorname{sn}(2K/3)$ двумя способами: первый способ – выразить $\operatorname{sn}(K-u)$ через $\operatorname{sn}(u), \operatorname{cn}(u), \operatorname{dn}(u)$ ; второй – выразить $\operatorname{sn}(2\cdot u)$ через $\operatorname{sn}(u), \operatorname{cn}(u), \operatorname{dn}(u)$ . Имеем

$\begin{equation*} \operatorname{sn}\biggl(\frac{2K}{3}\biggr) =\frac{\operatorname{cn}(K/3)}{\operatorname{dn}(K/3)},\qquad \operatorname{sn}\biggl(\frac{2K}{3}\biggr)=\frac{2\operatorname{sn}(K/3) \operatorname{cn}(K/3)\operatorname{dn}(K/3)} {1-\kappa^2\operatorname{sn}^4(K/3)}. \end{equation*} \notag$

Возводя в квадрат и используя формулы, выражающие

$\operatorname{cn}^2(u)$ и

$\operatorname{dn}^2(u)$ через

$\operatorname{sn}(u)$ и

$\kappa$ , получаем

$\begin{equation*} \kappa^2=\frac{2Y-1}{Y^3(2-Y)},\qquad \operatorname{sn}\biggl(\frac{2K}{3}\biggr)=Y(2-Y). \end{equation*} \notag$

Теперь мы хотим задать аффинное преобразование

$\begin{equation*} h(s)=\widehat ls+\widehat m\colon E_{3, m}=[-1,\alpha_{3,m}]\cup [\beta_{3,m}, 1]\xrightarrow[]{} [c_0, c_1]\cup[c_2, c_3]. \end{equation*} \notag$

Из равенств

$\widehat l+\widehat m=1/a$ ,

$\widehat l\beta_{3,m}+\widehat m=1/b$ и

$\widehat l\alpha_{3,m}+\widehat m=1/b$ получаем

$\begin{equation} \frac{a-\beta_{3,m} c}{c(1-\beta_{3,m}}=\frac{a-\alpha_{3,m} b}{1-\alpha_{3,m}}. \end{equation} \tag{5.6}$

Возможны два случая: (a) $m=1$ ; (b) $m=2$ .

(a) $m=1$ . Тогда $\alpha_{3,1}=1-2Y^2$ и $\beta_{3,1}=-1+4Y-2Y^2$ . Уравнение (5.6) дает равенство

$\begin{equation} (a-b)c-2(a-b)cY+(bc+ac-ab)Y^2=0. \end{equation} \tag{5.7}$

Используя, что

$-\widehat l+\widehat m=1/\nu$ , мы также получаем

$\begin{equation} \nu=\frac{ab Y^2}{a-b+bY^2}. \end{equation} \tag{5.8}$

Однако равенства (5.7) и (5.8) несовместимы с уравнением на параметр каустики в

$3$ -периодическом случае

$\begin{equation} 3(abc)^2-2(abc)(ab+bc+ac)\nu+(4abc(a+b+c)-(ab+ac+bc)^2)\nu^2=0. \end{equation} \tag{5.9}$

(b) $m=2$ . Тогда $\beta_{3,2}=1-2Y^2$ и $\alpha_{3,2}=1-4Y+2Y^2$ . Уравнение (5.6) дает равенство

$\begin{equation} (a-b)c-2b(c-a)Y+a(b-c)Y^2=0. \end{equation} \tag{5.10}$

Поскольку

$\widehat l+\widehat m=1/\nu$ , мы также видим, что

$\begin{equation} \nu=\frac{ab Y(2-Y)}{a-b(1-2Y+Y^2)}. \end{equation} \tag{5.11}$

Равенства (5.10) и (5.11) совместимы с уравнением каустики (5.9) в

$3$ -периодическом случае, которое в данной ситуации имеет вид

$\begin{equation*} \frac{PQ}{R}=0, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, P=(a-b)c-2b(c-a)Y+a(b-c)Y^2, \\ Q=a^2b^2(3c(a-b)+2(ab-2ac-bc)Y -a(b-c)Y^2), \\ R=(a-b+2bY-bY^2)^2. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Мы доказали следующий результат.

Предложение 5.5. В $3$ -периодическом случае для трансверсального эллипса, когда $b<\nu<0<a<c$ , выполнены следующие соотношения, в которых $Y=\operatorname{sn}(K/3)$ :

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, m=2, \qquad\kappa^2=\frac{2Y-1}{Y^3(2-Y)}, \\ \widehat l=\frac{1}{2c(Y^2-1)}, \qquad \widehat m=\frac{a+c-2cY^2}{2ac(1-Y^2)}, \\ \beta_{3,2}=1-2Y^2, \qquad \alpha_{3,2}=1-4Y+2Y^2, \\ \widehat p_3(x)\sim TZ_3\biggl(\frac{x-\widehat m}{\widehat l}; 2; \kappa\biggr). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Здесь знак $\sim$ означает, что многочлены равны с точностью до умножения на скаляр.

Рис. 9.Многочлен $\widehat{p}_{3}$ , соответствующий: $n=3$ , $m=2$ (a); $n=3$ , $m=1$ (b).

График многочлена $\widehat p_3$ из предложения 5.5 показан на рис. 9, a. Многочлен на рис. 9, b не реализуется в рассматриваемом случае. Это контрастирует со случаем евклидовой плоскости, где ситуация прямо противоположная; см. [26].

5.4. Периодические светоподобные траектории и многочлены Ахиезера на двух симметричных отрезках

По определению на светоподобных траекториях скорость $v$ удовлетворяет условию $\langle{v},{v}\rangle=0$ ; каустика для них – это каустика на бесконечности $\mathcal{C}_\infty$ . Как отмечалось в теореме 2.1, замкнутые светоподобные траектории могут иметь только четный период. Теперь мы можем скорректировать приведенные выше результаты применительно к ситуации светоподобных траекторий, рассмотрев пределы при $\nu \to \infty$ .

Предложение 5.6. Светоподобная траектория в воротниковом или трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе является периодической с периодом $n=2m$ , если и только если найдутся вещественные многочлены $\widehat{p}_n$ и $\widehat{q}_{n-2}$ степеней соответственно $n$ и $n-2$ , удовлетворяющие уравнению Пелля

$\begin{equation*} \widehat{p}_n(s)^2 -s \biggl(\frac{1}{a}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{b}-s\biggr) \biggl(\frac{1}{c}-s\biggr) \widehat{q}_{n-2}(s)^2=1. \end{equation*} \notag$

Уравнение Пелля из этого предложения описывает экстремальные многочлены на паре отрезков $[0,1/c] \cup [1/b,1/a]$ или $[1/b,0]\cup[1/c,1/a]$ в случаях воротникового или трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса соответственно. Каждый из них выражается суперпозициями с аффинным преобразованием $[c_1,c_2]\cup[c_3,c_4] \mapsto [-1,-\alpha]\cup[\alpha,1]$ , где $0 < \alpha < 1$ , некоторых многочленов четной степени, которые являются простейшим случаем многочленов Золотарёва, обсуждавшихся выше. В этой ситуации они называются многочленами Ахиезера, обозначаются через $A_{2m}$ и получаются из многочленов Чебышёва $T_m$ квадратичной заменой:

$\begin{equation} A_{2m}(x;\alpha)=\frac{(1-\alpha^2)^m}{2^{2m-1}}T_m\biggl( \frac{2x^2-1-\alpha^2}{1-\alpha^2} \biggr). \end{equation} \tag{5.12}$

Мы проиллюстрируем эти идеи на примере светоподобных траекторий с периодом 4. Как отмечено в [37], в воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе светоподобная орбита с периодом 4 возможна, если $c=ab/(b-a)$ и $a<b<2a$ ; в трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе такая орбита возможна, если $b=ac/(a-c)$ . При указанных ограничениях на $a$ , $b$ , $c$ с помощью многочленов Золотарёва в каждом случае строится функциональное решение, зависящее только от двух параметров из числа $a$ , $b$ , $c$ .

Предложение 5.7. Рассмотрим светоподобную траекторию с периодом $4$ в воротниковом $\mathcal{H}$ -эллипсе. Тогда многочлен $\widehat{p}_4$ с точностью до постоянного множителя имеет вид

$\begin{equation*} \widehat{p}_4(s) \sim T_2\biggl(\frac{2ab^2s^2 - 2b^2s+b-a}{b-a}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$T_2(x)=2x^2-1$ и

$x=2as-1$ .

Доказательство. Прежде всего нам нужно найти аффинное преобразование

$\begin{equation*} g\colon [-1,-\alpha] \cup [\alpha,1] \mapsto \biggl[0,\frac1c\biggr]\cup\biggl[\frac1b,\frac1a\biggr]. \end{equation*} \notag$

Полагая

$g(x)=Ax+B$ , мы получаем

$\begin{equation*} -A+B=g(-1)=0, \qquad A+B=g(1)=\frac{1}{a}. \end{equation*} \notag$

Решая эту систему, получим

$A=B=1/(2a)$ . Подставляя две другие концевые точки, получаем уравнения

$\begin{equation*} -A\alpha+B=g(-\alpha)=\frac{1}{c}, \qquad A\alpha+B=g(\alpha)=\frac{1}{b}. \end{equation*} \notag$

Решая их, получаем значения

$\alpha={2a}/{b}-1$ и

$\alpha=-{2a}/{c}+1$ , которые совпадают, поскольку

$c={ab}/(b-a)$ . Положим

$g^{-1}(s)$ . Вычисление суперпозиции

$g$ с учетом (5.12) завершает доказательство.

Предложение доказано.

Такое же рассуждение в случае трансверсального $\mathcal{H}$ -эллипса приводит к аналогичному результату.

Предложение 5.8. Рассмотрим светоподобную траекторию с периодом $4$ в трансверсальном $\mathcal{H}$ -эллипсе. Тогда многочлен $\widehat{p}_4$ с точностью до постоянного множителя имеет вид

$\begin{equation*} \widehat{p}_4(s) \sim T_2\biggl(\frac{2a^2cs^2 - 2a^2s-(c-a)}{c-a}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$T_2(x)=2x^2-1$ и

$x=(2acs-a)/(2c-a)$ .

5.5. Вырожденные случаи и классические многочлены Чебышёва

В этом пункте рассматриваются случаи, когда каустика $\mathcal{C}_{\nu}$ вырождена, к примеру, когда $a<\nu=b<c$ . Мы найдем условия $2m$ -периодичности соответствующих траекторий.

Заметим, что, как показывают обсуждения в § 3, на таком множестве уровня всего две замкнутые траектории и обе они $2$ -периодические. Однако в пределе при $\nu\to b$ число вращения может приближаться и к другому значению. В следующем предложении приводятся условия резонанса в таком пределе.

Предложение 5.9. При $a<\nu=b<c$ траектория является периодической с периодом $n=2m$ , если и только если найдутся вещественные многочлены $\widehat{p}_m(s)$ и $\widehat{q}_{m-1}(s)$ степеней соответственно $m$ и $m-1$ такие, что:

$\widehat{p}_m^{\,2}(s)-\biggl(s-\dfrac1a\biggr)\biggl(s-\dfrac1c\biggr) \widehat{q}_{m-1}^{\,2}(s)=1$ ;

$\widehat{q}_{m-1}\biggl(\dfrac1b\biggr)=0$ .

Условие (a) здесь – это стандартное уравнение Пелля, описывающее экстремальные многочлены на отрезке $[1/c,1/a]$ , так что многочлены $\widehat{p}_m$ получаются суперпозицией многочленов Чебышёва с аффинным преобразованием $[1/c,1/a]\to[-1,1]$ . Условие (b) задает дополнительное ограничение на параметры $a$ , $b$ и $c$ . Имеет место следующий результат.

Предложение 5.10. Многочлены $\widehat {p}_m$ и параметры $a$ , $b$ , $c$ обладают следующими свойствами:

$\widehat{p}_m(s)=T_m\biggl(\dfrac{2ac}{c-a}\biggl(s-\dfrac{a+c}{2ac}\biggr)\biggr)$ , где $T_m$ определен равенством (5.4);

$\widehat{q}_{m-1}(1/b)=0$ эквивалентно условию

$\begin{equation*} x_0=\cos \biggl(\frac{k}{m}\pi\biggr), \qquad k=1, \dots, m-1, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} x_0=\frac{2ac-b(c+a)}{c-a}. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Монотонно возрастающее аффинное отображение

$\begin{equation*} h\colon [-1, 1]\to \biggl[\frac1c, \frac1a\biggr] \end{equation*} \notag$

задается формулой

$h(s)=\widehat ls+\widehat m$ , где

$\begin{equation*} \widehat m=\frac{a+c}{2ac}, \qquad \widehat l=\frac{c-a}{2ac}. \end{equation*} \notag$

Применим следствие 5.2. Внутренние точки экстремума многочленов Чебышёва

$T_m$ степени

$m$ на отрезке

$[-1, 1]$ выражаются формулами

$\begin{equation*} x_k=\cos \biggl(\frac{k}{m}\pi\biggr), \qquad k=1, \dots, m-1, \end{equation*} \notag$

в соответствии с (5.4). Утверждение (а) доказано.

Утверждение (b) следует из равенства $h^{-1}(1/b)=x_k$ .

Предложение доказано.



Список литературы

1.	A. K. Adabrah, V. Dragović, M. Radnović, “Periodic billiards within conics in the Minkowski plane and Akhiezer polynomials”, Regul. Chaotic Dyn., 24:5 (2019), 464–501
2.	N. Achyeser, “Über einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen. I Teil”, Изв. АН СССР. VII сер. Отд. матем. и естеств. наук, 1932, № 9, 1163–1202 ; II Teil, 1933, no. 3, 309–344 ; III Teil, 1933, no. 4, 499–536
3.	Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Гостехиздат, М.–Л., 1947, 323 с. ; англ. пер.: N. I. Achieser, Theory of approximation, Frederick Ungar Publishing Co., New York, 1956, x+307 с.
4.	Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд., Наука, М., 1970, 304 с. ; англ. пер.: N. I. Akhiezer, Elements of the theory of elliptic functions, Transl. Math. Monogr., 79, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1990, viii+237 с.
5.	R. J. Baxter, “Eight-vertex model in lattice statistics”, Phys. Rev. Lett., 26:14 (1971), 832–833
6.	R. J. Baxter, “One-dimensional anisotropic Heisenberg chain”, Phys. Rev. Lett., 26:14 (1971), 834–834
7.	R. J. Baxter, “One-dimensional anisotropic Heisenberg chain”, Ann. Physics, 70:2 (1972), 323–337
8.	R. J. Baxter, “Partition function of the eight-vertex lattice model”, Ann. Physics, 70:1 (1972), 193–228
9.	Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Мир, М., 1985, 488 с. ; пер. с англ.: R. J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, Academic Press, Inc., London, 1982, xii+486 с.
10.	А. В. Болсинов, А. В. Борисов, И. С. Мамаев, “Топология и устойчивость интегрируемых систем”, УМН, 65:2(392) (2010), 71–132 ; англ. пер.: A. V. Bolsinov, A. V. Borisov, I. S. Mamaev, “Topology and stability of integrable systems”, Russian Math. Surveys, 65:2 (2010), 259–318
11.	А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. 1, 2, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 444 с., 447 с. ; англ. пер.: A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004, xvi+730 с.
12.	А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, “Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности”, УМН, 45:2(272) (1990), 49–77 ; англ. пер.: A. V. Bolsinov, S. V. Matveev, A. T. Fomenko, “Topological classification of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. List of systems of small complexity”, Russian Math. Surveys, 45:2 (1990), 59–94
13.	A. Cayley, “Developments on the porism of the in-and-circumscribed polygon”, Philos. Mag. (4), 7:46 (1854), 339–345
14.	A. Cayley, “On the porism of the in-and-circumscribed polygon”, Philos. Trans. Roy. Soc. London, 151 (1861), 225–239
15.	V. Dragović, “Algebro-geometric approach to the Yang–Baxter equation and related topics”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 91:105 (2012), 25–48
16.	V. I. Dragović, “Geometrization and generalization of the Kowalevski top”, Comm. Math. Phys., 298:1 (2010), 37–64
17.	V. Dragović, B. Jovanović, M. Radnović, “On elliptical billiards in the Lobachevsky space and associated geodesic hierarchies”, J. Geom. Phys., 47:2-3 (2003), 221–234
18.	V. Dragović, M. Radnović, “Conditions of Cayley's type for ellipsoidal billiard”, J. Math. Phys., 39:1 (1998), 355–362
19.	V. Dragović, M. Radnović, “On periodical trajectories of the billiard systems within an ellipsoid in $\mathbf R^d$ and generalized Cayley's condition”, J. Math. Phys., 39:11 (1998), 5866–5869
20.	V. Dragović, M. Radnović, “Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards”, Regul. Chaotic Dyn., 14:4-5 (2009), 479–494
21.	В. Драгович, М. Раднович, “Интегрируемые биллиарды и квадрики”, УМН, 65:2(392) (2010), 133–194 ; англ. пер.: V. Dragović, M. Radnović, “Integrable billiards and quadrics”, Russian Math. Surveys, 65:2 (2010), 319–379
22.	В. Драгович, М. Раднович, Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2010, 338 с.; пер. с англ.: V. Dragović, M. Radnović, Poncelet porisms and beyond. Integrable billiards, hyperelliptic Jacobians and pencils of quadrics, Front. Math., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011, viii+293 с.
23.	V. Dragović, M. Radnović, “Ellipsoidal billiards in pseudo-Euclidean spaces and relativistic quadrics”, Adv. Math., 231:3-4 (2012), 1173–1201
24.	V. Dragović, M. Radnović, “Minkowski plane, confocal conics, and billiards”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 94:108 (2013), 17–30
25.	В. Драгович, М. Раднович, “Топологические инварианты эллиптических биллиардов и геодезических потоков эллипсоидов в пространстве Минковского”, Фундамент. и прикл. матем., 20:2 (2015), 51–64 ; англ. пер.: V. Dragović, M. Radnović, “Topological invariants for elliptical billiards and geodesics on ellipsoids in the Minkowski space”, J. Math. Sci. (N.Y.), 223:6 (2017), 686–694
26.	V. Dragović, M. Radnović, “Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials”, Regul. Chaotic Dyn., 24:1 (2019), 1–35
27.	V. Dragović, M. Radnović, “Periodic ellipsoidal billiard trajectories and extremal polynomials”, Comm. Math. Phys., 372:1 (2019), 183–211
28.	V. Dragović, V. Shramchenko, “Deformations of Zolotarev polynomials and Painlevé VI equations”, Lett. Math. Phys., 111:3 (2021), 75, 28 pp.
29.	J. J. Duistermaat, Discrete integrable systems. QRT maps and elliptic surfaces, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2010, xxii+627 pp.
30.	L. Euler, “Evolutio generalior formularum comparationi curvarum inservientium”, E347/1765, Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petropol., 12 (1768), 42–86; Opera Omnia. Ser. 1. Opera Math., 20, B. G. Teubneri, Lipsiae–Berolini, 1912, 318–356
31.	A. Fomenko, I. Kharcheva, V. Kibkalo, Realization of integrable Hamiltonian systems by billiard books, arXiv: 2012.05337
32.	A. T. Fomenko, S. S. Nikolaenko, “The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsoid”, J. Geom. Phys., 87 (2015), 115–133
33.	В. В. Фокичева, “Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами”, Матем. сб., 205:8 (2014), 139–160 ; англ. пер.: V. V. Fokicheva, “Classification of billiard motions in domains bounded by confocal parabolas”, Sb. Math., 205:8 (2014), 1201–1221
34.	A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Implementation of integrable systems by topological, geodesic billiards with potential and magnetic field”, Russ. J. Math. Phys., 26:3 (2019), 320–333
35.	A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, V. N. Zav'yalov, “Liouville foliations of topological billiards with slipping”, Russ. J. Math. Phys., 28:1 (2021), 37–55
36.	P. Griffiths, J. Harris, “A Poncelet theorem in space”, Comment. Math. Helv., 52:1 (1977), 145–160
37.	S. Gasiorek, M. Radnović, “Pseudo-Euclidean billiards within confocal curves on the hyperboloid of one sheet”, J. Geom. Phys., 161 (2021), 104032, 21 pp.
38.	M. G. Kreĭn, B. Ya. Levin, A. A. Nudel'man, “On special representations of polynomials that are positive on a system of closed intervals, and some applications”, Functional analysis, optimization, and mathematical economics, Oxford Univ. Press, New York, 1990, 56–114
39.	B. Khesin, S. Tabachnikov, “Pseudo-Riemannian geodesics and billiards”, Adv. Math., 221:4 (2009), 1364–1396
40.	J. Moser, A. P. Veselov, “Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials”, Comm. Math. Phys., 139:2 (1991), 217–243
41.	M. Pnueli, V. Rom-Kedar, “On the structure of Hamiltonian impact systems”, Nonlinearity, 34:4 (2021), 2611–2658
42.	M. Radnović, “Topology of the elliptical billiard with the Hooke's potential”, Theoret. Appl. Mech. (Belgrade), 42:1 (2015), 1–9
43.	N. Trudi, “Rappresentazione geometrica immediata dell' equazione fondamentale della teoria delle funzioni ellitiche con diverse applicazioni”, Mem. R. Accad. Sci. Napoli, 1853, 63–99
44.	N. Trudi, “Studii intorno ad una singolare eliminazione, con applicazione alla ricerca delle relazione tra gli elementi di due coniche, l'una iscritta, l'altra circoscritta ad un poligono, ed ai corrispondenti teoremi di Poncelet”, Atti R. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli, 1 (1863), 6, 53 pp.
45.	В. В. Ведюшкина, “Инварианты Фоменко–Цишанга невыпуклых топологических биллиардов”, Матем. сб., 210:3 (2019), 17–74 ; англ. пер.: V. V. Vedyushkina, “The Fomenko–Zieschang invariants of nonconvex topological billiards”, Sb. Math., 210:3 (2019), 310–363
46.	A. P. Veselov, “Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space”, J. Geom. Phys., 7:1 (1990), 81–107
47.	А. П. Веселов, “О росте числа образов точки при итерациях многозначного отображения”, Матем. заметки, 49:2 (1991), 29–35 ; англ. пер.: A. P. Veselov, “Growth of the number of images of a point under iterates of a multivalued map”, Math. Notes, 49:2 (1991), 134–139
48.	A. P. Veselov, “Growth and integrability in the dynamics of mappings”, Comm. Math. Phys., 145:1 (1992), 181–193
49.	В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, “Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем”, Матем. сб., 209:12 (2018), 17–56 ; англ. пер.: V. V. Vedyushkina, I. S. Kharcheva, “Billiard books model all three-dimensional bifurcations of integrable Hamiltonian systems”, Sb. Math., 209:12 (2018), 1690–1727
50.	A. P. Veselov, L. H. Wu, “Geodesic scattering on hyperboloids and Knörrer's map”, Nonlinearity, 34:9 (2021), 5926–5954
51.	Е. И. Золотарев, “Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее уклоняющихся от нуля (1877)”, Полное собрание сочинений, т. II, Изд-во АН СССР, Л., 1932, 1–59

Образец цитирования: В. Драгович, Ш. Гасиорек, М. Раднович, “Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология”, Матем. сб., 213:9 (2022), 34–69; V. Dragović, S. Gasiorek, M. Radnović, “Integrable billiards on a Minkowski hyperboloid: extremal polynomials and topology”, Sb. Math., 213:9 (2022), 1187–1221

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{DraGasRad22}

\by В.~Драгович, Ш.~Гасиорек, М.~Раднович

\paper Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология

\jour Матем. сб.

\yr 2022

\vol 213

\issue 9

\pages 34--69

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9662}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9662}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563375}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1530.37051}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1187D}

\transl

\by V.~Dragovi{\'c}, S.~Gasiorek, M.~Radnovi{\'c}

\paper Integrable billiards on a~Minkowski hyperboloid: extremal polynomials and topology

\jour Sb. Math.

\yr 2022

\vol 213

\issue 9

\pages 1187--1221

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9662e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992271700002}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165877150}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9662

https://doi.org/10.4213/sm9662

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i9/p34

Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:

Sean Gasiorek, Milena Radnović, Contemporary Mathematics, 807, Recent Progress in Special Functions, 2024, 111
Anatoly T. Fomenko, Vladislav A. Kibkalo, “Topology of Liouville foliations of integrable billiards on table-complexes”, European Journal of Mathematics, 8:4 (2022), 1392
Vladimir Dragović, Sean Gasiorek, Milena Radnović, “Billiard Ordered Games and Books”, Regul. Chaotic Dyn., 27:2 (2022), 132–150

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	552
PDF русской версии:	43
PDF английской версии:	92
HTML русской версии:	333
HTML английской версии:	138
Список литературы:	85
Первая страница:	14