А. К. Погребков, “Неявные версии интегрируемых уравнений”, ТМФ, 217:3 (2023), 577–584; Theoret. and Math. Phys., 217:3 (2023), 1907

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 217, номер 3, страницы 577–584
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10631 (Mi tmf10631)

Неявные версии интегрируемых уравнений

А. К. Погребков

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия

PDF полного текста (379 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10631

Аннотация: Рассматриваются некоторые обобщения

(2 + 1)

$(2+1)$ -мерного уравнения типа уравнения Дэви–Стюартсона. В частности, предложена динамическая система, которая не имеет явной формулировки в терминах дифференциальных уравнений и требует некоторой дополнительной независимой переменной.

Ключевые слова: ассоциативные алгебры, коммутаторные тождества, интегрируемость.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	19-11-00062
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-11-00062 в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук, https://rscf.ru/project/19-11-00062/.

Поступило в редакцию: 05.11.2023
После доработки: 05.11.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages 1907–1913
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120097

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

Памяти Андрея Алексеевича Славнова

1. Введение

Первые шаги в развитии метода обратной задачи рассеяния для $(2+1)$ -мерных интегрируемых уравнений были сделаны в работах [1]–[3]. В работах [4], [5] этот метод был сформулирован в терминах коммутаторов на ассоциативных алгебрах и коммутаторных тождеств на них.

Пусть $\mathcal{A}$ – ассоциативная алгебра с единицей $I$ и элементами $A$ , $B_1$ , $B_2$ и т. д. Пусть элемент $A$ пропорционален единичной $(2\times2)$ -матрице, матрица

$\begin{equation} B=\begin{pmatrix} 0 & B_1 \\ B_2 & 0 \end{pmatrix} \end{equation} \tag{1}$

$\sigma=\sigma_3$ – матрица Паули. Тогда для любых

$A$ и

$B_1$ ,

$B_2$ из

$\mathcal{A}$

$\begin{equation} \sigma^{2}=1,\qquad[A,\sigma]=0, \qquad\{B,\sigma\}=0,\qquad [A\sigma,B]=\sigma\{A,B\}, \end{equation} \tag{2}$

где

$\{\,\cdot\,,\cdot\,\}$ означает антикоммутатор.

В работе [6] мы доказали, что для любых таких $A$ , $B$ и $\sigma$ существуют коммутаторные тождества

$\begin{equation} [A^{2},B]=\sigma[A,[\sigma A,B]],\qquad\sigma[\sigma A^{2},B]=[\sigma A,[\sigma A,B]]+[A,[A,B]], \end{equation} \tag{3}$

равно как и их старшие аналоги.

Коммутаторы на ассоциативных алгебрах удовлетворяют правилам Лейбница и Якоби:

$\begin{equation} [A,BC]=[A,B]C+B[A,C], \end{equation} \tag{4}$

$\begin{equation} [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0, \end{equation} \tag{5}$

в то время как коммутаторные операции, введеные в (2), имеют еще одно свойство: в силу (5) они взаимно коммутируют. Действительно, принимая во внимание, что

$A^m\sigma A^n=A^n\sigma A^m$ , мы получаем, что для любых

$m$ и

$n$

$\begin{equation} [A^m,[\sigma A^n,B]]=[\sigma A^n,[A^m,B]], \end{equation} \tag{6}$

и аналогично для других взаимных коммутаторов в (2).

Эти свойства коммутаторов позволяют ввести независимые переменные, т. е. времена $t_1,t_2,\ldots$ и $x_1,x_2,\ldots\,$ , посредством равенств

$\begin{equation} B_{t_n}=[A^{n},B],\qquad B_{x_n}=[\sigma A^{n},B], \end{equation} \tag{7}$

так что, в частности,

$\begin{equation} B_{t_1}=[A,B],\qquad B_{x_1}=[\sigma A,B]. \end{equation} \tag{8}$

В силу этих определений уравнения (3) показывают, что элемент

$B$ является решением дифференциальных уравнений

$\begin{equation} B_{t_2}=\sigma B_{t_1x_1},\qquad B_{x_2}=\frac{\sigma}{2}(B_{t_1t_1}+B_{x_1x_1}). \end{equation} \tag{9}$

Уравнения (9) линейны, но благодаря процедуре одевания, предложенной в [5], их можно поднять до нелинейных интегрируемых уравнений в размерности $2+1$ . Скажем, пара Лакса, отвечающая первому уравнению в (9), и соответствующее интегрируемое уравнение движения имеют вид

$\begin{equation} \varphi_{x_1}=\sigma\varphi_{t_1}-[\sigma,u]\varphi, \end{equation} \tag{10}$

$\begin{equation} \varphi_{t_2}=\varphi_{t_{1}t_{1}}-2u_{t_{1}}\varphi, \end{equation} \tag{11}$

$\begin{equation} [\sigma,u_{t_2}]+\{\sigma,u_{t_1t_1}\}-2u_{t_1x_1}+2[u_{t_1},[\sigma,u]]=0, \end{equation} \tag{12}$

где первые два уравнения дают пару Захарова–Шабата [1], а третье уравнение – знаменитое уравнение Дэви–Стюартсона (ДС) [7].

В следующем разделе мы строим упомянутую процедуру одевания для старших уравнений в (2). Мы показываем, что коммутативность этих временны́х производных приводит к коммутативности потоков на операторе одевания, а эта коммутативность приводит уже к нелинейным интегрируемым уравнениям. Заметим, что вывод линейных уравнений (9) не требует никакой спецификации элементов $A$ и $B$ ассоциативной алгебры $\mathcal{A}$ . Напротив, построение нелинейных интегрируемых уравнений существенно опирается на специфическую реализацию этих элементов. Поэтому подстановка вида, скажем, $A\to A^2$ изменяет номера времен в (7), но не сами уравнения:

$\begin{equation} B_{t_4}=\sigma B_{t_2x_2},\qquad B_{x_4}=\frac{\sigma}{2}(B_{t_2t_2}+B_{x_2x_2}). \end{equation} \tag{13}$

Наша цель здесь – рассмотреть действие таких подстановок на нелинейные эволюционные уравнения.

2. Процедура одевания

Мы реализуем элементы алгебры $\mathcal{A}$ как псевдодифференциальные операторы, т. е. каждый элемент $F\in\mathcal{A}$ дается соответствующим символом $\widetilde{F}(t,x,z)$ , где $z\in\mathbb{C}$ – произвольный комплексный параметр. Здесь $t$ и $x$ означают финитные подмножества времен $\{t_1,t_2,\ldots\}$ и $\{x_1,x_2,\ldots\}$ в (7), эволюции по отношению к которым мы будем изучать. Символ композиции двух элементов алгебры (см. [5]) дается как

$\begin{equation} \widetilde{FG}(t,x,z)=\frac{1}{2\pi}\int dp\int dy\,\widetilde{F}(t,x,z+ip)e^{ip(t_1-y)}\widetilde{G}(y,t_2,x,z). \end{equation} \tag{14}$

Символ единичного оператора равен единице, а символ оператора

$A$ есть

$\begin{equation} \widetilde{A}(t,x,z)=z. \end{equation} \tag{15}$

Благодаря (14) мы имеем “нормальное упорядочение” для любого

$F$ :

$\begin{equation} \widetilde{A^nF}(t,x,z)=(z+\partial_{t_1})^{n}\widetilde{F}(t,x,z),\qquad\widetilde{FA^n}(t,x,z)=z^{n}\widetilde{F}(t,x,z), \end{equation} \tag{16}$

где

$A^n$ означает

$n$ -ю степень композиции (14). В частности, для

$n=1$ мы имеем

$[A,F]=\partial_{t_1}F$ , а с учетом (7) получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \widetilde{B}_{t_n}(t,x,z)&=((z+\partial_{t_1})^{n}-z^{n})\widetilde{B}(t,x,z), \\ \widetilde{B}_{x_n}(t,x,z)&=\sigma((z+\partial_{t_1})^{n}+z^{n})\widetilde{B}(t,x,z).\end{aligned} \end{equation} \tag{17}$

Мы полагаем, что все символы – это операторнозначные распределения, поэтому они обладают преобразованием Фурье. В частности, это дает

$\begin{equation} \widetilde{B}(t,x,z)=\exp\biggl(\sum_n(\overline{z}^n-z^n)t_n+\sigma\sum_n(\overline{z}^n+z^n)x_n\biggr)g(z), \end{equation} \tag{18}$

где суммирование ведется по указанным выше¹ элементам подмножеств

$t$ и

$x$ , а

$g(z)$ – произвольная внедиагональная

$(2\times2)$ -матрица, зависящая от

$z$ . Для того чтобы символ

$\widetilde{B}$ принадлежал пространству распределений, времена

$t_n$ следует выбрать вещественными, а

$x_n$ – чисто мнимыми.

Этот набор операторов позволяет определить $\bar\partial$ -производную по комплексной переменной $z$ , $F\to\bar\partial{F}$ . В терминах символов она дается (см. [4]) как

$\begin{equation} (\widetilde{\bar{\partial}F})(t,x,z)=\frac{\partial {\widetilde{F}(t,x,z)}}{\partial\overline{z}}, \end{equation} \tag{19}$

где производная понимается в смысле обобщенных функций. Благодаря (15) мы получаем равенство

$\begin{equation} \bar{\partial}A=0. \end{equation} \tag{20}$

Оператор одевания $K$ с символом $\widetilde{K}(t,x,z)$ определяется [4] посредством $\bar\partial$ -проблемы

$\begin{equation} \bar\partial K=KB, \end{equation} \tag{21}$

где композиция в правой части понимается в смысле (14). Решение

$K$ уравнения (21) нормализуется асимптотическим условием

$\begin{equation} \widetilde{K}(t,x,z)\to 1,\qquad z\to\infty. \end{equation} \tag{22}$

В последующем мы предполагаем однозначную разрешимость

$\bar\partial$ -проблемы (21), (22).

Временна́я эволюция оператора одевания следует из обратной задачи, так что

$\begin{equation} \bar\partial K_{t_n}=K_{t_n}B+K[A^{n},B],\qquad\bar\partial K_{x_n}=K_{x_n}B+K[\sigma A^{n},B], \end{equation} \tag{23}$

где мы использовали равенство (7). Построение интегрируемых дифференциальных уравнений основано на наблюдении, что коммутативность эволюций оператора

$B$ (см. (6)) влечет коммутативность эволюций оператора одевания

$K$ . Действительно, легко видеть, что, скажем,

$\begin{equation*} \bar\partial K_{t_mt_n}=K_{t_mt_n}B+K_{t_n}[A^{m},B]+K_{t_m}[A^{n},B]+K[A^m,[A^{n},B]]. \end{equation*} \notag$

Таким образом, принимая во внимание коммутативность

$A^m$ и

$A^n$ , мы получаем в силу (21):

$\begin{equation*} \bar\partial(K_{t_mt_n}-K_{t_nt_m})=(K_{t_mt_n}-K_{t_nt_m})B. \end{equation*} \notag$

Тогда коммутативность производных

$\begin{equation} K_{t_mt_n}=K_{t_nt_m} \end{equation} \tag{24}$

следует в силу однозначной разрешимости задачи (21), (22). Аналогично доказываются равенства

$K_{x_mt_n}=K_{t_nx_m}$ и

$K_{x_mx_n}=K_{x_nx_m}$ .

3. Временны́е эволюции оператора одевания

Равенства (23) могут быть записаны следующим образом (подробнее см. [6]):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\bar\partial(K_{t_n}+KA^n)=(K_{t_n}+KA^{n})B, \\ &\bar\partial(K_{x_n}+KA^n\sigma)=(K_{x_n}+KA^{n}\sigma)B, \end{aligned} \end{equation} \tag{25}$

где мы использовали равенство (21). В силу предположения об однозначной разрешимости обратной задачи мы получаем, что существуют операторы

$X_{mn}$ и

$Y_{mn}$ такие, что

$\begin{equation} K_{t_n}+KA^n =\sum_{m=0}^{n}X_{nm}A^mK,\qquad K_{x_n}+KA^n\sigma =\sum_{m=0}^{n}Y_{nm}A^mK. \end{equation} \tag{26}$

Здесь

$X_{mn}$ и

$Y_{mn}$ – операторы умножения, т. е. их символы не зависят от

$z$ . В частности, благодаря (22) имеем

$\begin{equation} X_{nn}=I,\qquad Y_{nn}=\sigma. \end{equation} \tag{27}$

Для вычисления этих операторов мы следуем работе [6] и вводим асимптотическое разложение одевающего оператора

$K$ :

$\begin{equation} K=\sum_{j=0}^{\infty}u_{j}A^{-j},\qquad u_0=I, \end{equation} \tag{28}$

где

$u_1$ ,

$u_2$ и т. д. также являются операторами умножения. Тогда мы получаем следующие временны́е эволюции (см. [6]):

$\begin{equation} K_{t_1}+KA=AK, \end{equation} \tag{29}$

$\begin{equation} K_{x_1}+KA\sigma=\sigma AK-[\sigma,u_1]K, \end{equation} \tag{30}$

$\begin{equation} K_{t_2}+KA^2 =(A^2-2u_{1,t_1})K, \end{equation} \tag{31}$

$\begin{equation} K_{x_2}+KA^2\sigma =(A^2\sigma-[\sigma,u_1]A-2\sigma u_{1,t_1}+[\sigma,u_1]u_1-[\sigma,u_2])K. \end{equation} \tag{32}$

Важно отметить, что при выводе этих соотношений порядок операторов никогда не изменялся, так что они справедливы для любой неабелевой ситуации.

Рассмотрим эволюции по переменным $t_4$ и $x_4$ в (7). Подставляя разложение (28) в первое и второе равенства (26), мы сдвигаем $A^m$ вправо посредством равенства (29). Далее, приравнивая к нулю коэффициенты при равных степенях оператора $A$ , мы получаем

$\begin{equation} K_{t_4}+KA^4 =A^4K+X_{42}A^2K+X_{41}AK+X_{40}K, \end{equation} \tag{33}$

$\begin{equation} K_{x_4}+KA^4\sigma =A^4\sigma K+Y_{43}A^3K+Y_{42}A^2K+Y_{41}AK+Y_{40}K, \end{equation} \tag{34}$

где

$\begin{equation} \begin{aligned} \, X_{44}&=1,\qquad X_{43}=0,\qquad X_{42}=-4u_{1,t_1}, \\ X_{41}&=-4u_{2,t_1}-6u_{1,t_1t_1}+4u_{1,t_1}u_{1}, \\ X_{40}&=-4u_{3,t_1}-6u_{2,t_1t_1}-4u_{1,t_1t_1t_1}+4u_{1,t_1}u_2+{} \\ &\quad+8(u_{1,t_1})^{2}+4u_{2,t_1}u_1+6u_{1,t_1t_1}u_1-4u_{1,t_1}(u_1)^{2} \end{aligned} \end{equation} \tag{35}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, Y_{44}={}&\sigma,\qquad Y_{43}=-[\sigma,u_1],\qquad Y_{42}=-[\sigma,u_2]-4\sigma u_{1,t_1}+[\sigma,u_1]u_1, \\ Y_{41}={}&{-}[\sigma,u_3]-4\sigma u_{2,t_1}+6\sigma u_{1,t_1t_1}+[\sigma,u_1]u_2+[\sigma,u_2]u_1-{} \\ &{-}\,3[\sigma,u_1]u_{1,t_1}+4\sigma u_{1,t_1}u_1-[\sigma,u_1](u_1)^2, \\ Y_{40}={}&{-}[\sigma,u_4]-\sigma u_{3,t_1}-6\sigma u_{2,t_1t_1}-4\sigma u_{1,t_1t_1t_1}+[\sigma,u_1]u_3+[\sigma,u_2]u_2+{} \\ &{+}\,[\sigma,u_3]u_1+3[\sigma,u_1]u_{1,t_1t_1}+2[\sigma,u_2]u_{1,t_1}+3[\sigma,u_1]u_{2,t_1}+4\sigma u_{1,t_1}u_2-{} \\ &{-}\,4\sigma u_{1,t_1}(u_{1})^2+8\sigma (u_{1,t_1})^2+4\sigma u_{2,t_1}u_1-6\sigma u_{1,t_1t_1}u_1-[\sigma,u_1]u_1u_2-{} \\ &{-}\,2[\sigma,u_1]u_1u_{1,t_1}-[\sigma,u_1]u_2u_1-[\sigma,u_2](u_1)^2+3[\sigma,u_1]u_{1,t_1}u_1+[\sigma,u_1](u_1)^3, \end{aligned} \end{equation} \tag{36}$

а операторы умножения

$u_n$ определены в (28).

4. Временны́е эволюции решений Йоста

Для того чтобы упростить предыдущие уравнения, введем решения Йоста посредством равенства

$\begin{equation} \varphi(t,x,z)=\widetilde{K}(t,x,z)\exp\biggl( \sum_{m}z^{m}t_m+\sigma \sum_{n}z^{n}x_n\biggr) \end{equation} \tag{37}$

при условии на суммы, как в (18). В силу (37) равенства (29)–(32) принимают вид (10) и

$\begin{equation} \varphi_{t_2} =\varphi_{t_{1}t_{1}}-2u_{1,t_{1}}\varphi, \end{equation} \tag{38}$

$\begin{equation} \varphi_{x_2} =\sigma\varphi_{t_1t_1}-[\sigma,u_1]\varphi_{t_1}+([\sigma,u_1]u_1-2\sigma u_{1,t_1}-[\sigma,u_2])\varphi, \end{equation} \tag{39}$

а в силу (35) для (33) мы имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \varphi_{t_4}={}&\varphi_{t_1t_1t_1t_1}-4u_{1,t_1}\varphi_{t_1t_1}-2(3u_{1,t_1t_1}+2u_{2,t_1}- 2u_{1,t_1}u_1)\varphi_{t_1}-{} \nonumber\\ &-2(2u_{1,t_1t_1t_1}+3u_{2,t_1t_1}+2u_{3,t_1}-4(u_{1,t_1})^{2}-{} \nonumber\\ &-2u_{1,t_1}u_2-3u_{1,t_1t_1}u_1-2u_{2,t_1}u_1+2u_{1,t_1}u_1^{2})\varphi \end{aligned} \end{equation} \tag{40}$

и аналогично для (34). Функции

$u_2$ и

$u_3$ могут быть определены посредством асимптотического разложения равенств (29)–(32) по отношению к

$A^{-1}$ :

$\begin{equation} u_{1,x_1}={} \sigma u_{1,t_1}+[\sigma,u_2]-[\sigma,u_1]u_1, \end{equation} \tag{41}$

$\begin{equation} u_{1,t_2}={} u_{1,t_1t_1}+2u_{2,t_1}-2u_{1,t_1}u_1, \end{equation} \tag{42}$

$\begin{equation} u_{1,x_2}={} \sigma u_{1,t_1t_1}+2\sigma u_{2,t_1}+[\sigma,u_{3}] -[\sigma,u_1](u_2+u_{1,t_1})-[\sigma,u_2]u_1-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} -2\sigma u_{1,t_1}u_1+[\sigma,u^{}_1]u_1^2, \end{equation} \tag{43}$

$\begin{equation} u_{2,x_1}={} \sigma u_{2,t_1}+[\sigma,u_3]-[\sigma,u_1]u_2, \end{equation} \tag{44}$

$\begin{equation} u_{2,t_2}={} u_{2,t_1t_1}+2u_{3,t_1}-2u_{1,t_1}u_2, \end{equation} \tag{45}$

$\begin{equation} u_{2,x_2}={} \sigma u_{2,t_1t_1}+2\sigma u_{3,t_1}+[\sigma,u_{4}]- [\sigma,u_{1}](u_3+u_{2,t_1})-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} -([\sigma,u_2]+2\sigma u_{1,t_1}-[\sigma,u_1]u_1)u_2, \end{equation} \tag{46}$

$\begin{equation} u_{3,t_2}={} u_{3,t_1t_1}+2u_{4,t_1}-2u_{1,t_1}u_3. \end{equation} \tag{47}$

Все равенства (38)–(40) взаимно совместны, так что их различные комбинации порождают интегрируемые уравнения. Так, например, совместность (38) и (39) в силу (42) и (43) дает

$\begin{equation} u_{1,x_2}=\sigma u_{1,t_2}+[\sigma,u_{3}] -[\sigma,u_1](u_2+u_{1,t_1})-[\sigma,u_2]u_1 +[\sigma,u^{}_1]u_1^2, \end{equation} \tag{48}$

где снова

$u_2$ и

$u_3$ определены в (42) и (45). Это равенство также следует из коммутаторного тождества

$\begin{equation} 2\sigma_3[\sigma_3A^2,[A,[A,B]]]=[A^2,[A^2,B]]+[A,[A,[A,[A,B]]]], \end{equation} \tag{49}$

так что согласно (7) мы получаем дифференциальное уравнение

$\begin{equation} 2\sigma B_{t_1t_1x_2}=B_{t_2t_2}+B_{t_1t_1t_1t_1}. \end{equation} \tag{50}$

Это уравнение тоже может быть рассмотрено как версия уравнения ДС, поскольку после редукции

$B_{t_2}=0$ мы получаем линеаризованное уравнение Шредингера

$2\sigma B_{x_2}=B_{t_1t_1}$ .

Рассмотрим уравнение, заданное переменными $t_1$ , $t_2$ и $t_4$ . Совместность (38) и (40) дает

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{1,t_4}={}&u_{1,t_1t_1t_1t_1}+4u_{2,t_1t_1t_1} +6u_{3,t_1t_1}+4u_{4,t_1}-4u_{1,t_1}(u_3+2u_{2,t_1}+u_{1,t_1t_1})-{} \nonumber\\ &-(4u_{2,t_1}+6u_{1,t_1t_1}-4u_{1,t_1}u_1)(u_2+u_{1,t_1})+{} \nonumber\\ &+(-4u_{3,t_1}-6u_{2,t_1t_1}-4u_{1,t_1t_1t_1}+4u_{1,t_1}u_2+8(u_{1,t_1})^{2}+4u_{2,t_1}u_{1}+{} \nonumber\\ &+6u_{1,t_1t_1}u_{1}-4u_{1,t_1}(u_1)^{2})u_{1}, \end{aligned} \end{equation} \tag{51}$

где

$u_2$ и

$u_3$ определяются связями (42) и (45).

Во всех случаях, рассмотренных выше, мы имеем фактически взаимную коммутативность трех потоков: $t_1$ , $t_2$ и $x_2$ (или $t_4$ ). Но поток $t_1$ тривиально коммутирует со всеми потоками в (38)–(40). С другой стороны, мы знаем, что потоки по отношению к $t_2$ и $x_2$ коммутируют один с другим и с потоком $t_4$ . Более того, как мы видели в (13), в линейном случае они дают замкнутое уравнение, в которое не входит $t_1$ . В нелинейном случае ситуация отличается. С учетом (38) уравнение (39) может быть записано как

$\begin{equation} \varphi_{x_2}=\sigma\varphi_{t_2}-[\sigma,u_1]\varphi_{t_1}+([\sigma,u_1]u_1-[\sigma,u_2])\varphi. \end{equation} \tag{52}$

Это равенство отличается от (10), т. е. от задачи Захарова–Шабата для уравнения ДС, благодаря дополнительному члену

$\varphi_{t_1}$ . Эта производная по

$t_1$ не может быть исключена. То же самое происходит и со вторым оператором пары Лакса. В силу (42), (45) мы подставляем

$u_{2,t_1}$ и

$u_{3,t_1}$ :

$\begin{equation} \varphi_{t_4}=\varphi_{t_2t_2}-2u_{1,t_2}\varphi_{t_1}-2(u_{2,t_2}-u_{1,t_2}u_1)\varphi. \end{equation} \tag{53}$

Снова, помимо членов, специфических для пары Лакса для уравнения ДС (см. (11)), мы имеем дополнительный член с

$\varphi_{t_1}$ . Итак, начиная с эволюций, заданных

$t_2$ ,

$x_2$ и

$t_4$ , мы всегда получаем эволюции либо по отношению к

$t_1$ ,

$t_2$ и

$t_4$ (см. (38) и (40)), либо аналогично по отношению к

$t_1$ ,

$x_2$ и

$t_4$ (см. (39) и (40)). Это означает, что для

$u_1(t_1, t_2,t_4)$ (или для

$u_1(t_1,x_2,t_4)$ ) нам следует рассматривать начальную задачу для

$u_1(t_1, t_2,0)$ (соответственно для

$u_1(t_1, x_2,0)$ ).

Возможность рассмотрения начальной задачи для решения $u(t_2,x_2,t_4)$ зависит от свойств соответствующих задач рассеяния. Из (18) видно, что данные рассеяния параметризуются матричной функцией $g(z)$ комплексной переменной $z=z_{\operatorname{Re}}+iz_{\operatorname{Im}}$ , т. е. функцией двух вещественных переменных. То же самое справедливо и для начальных данных $u(t_2,x_2,0)$ . Мы видим, что проблема разрешимости динамической системы, заданной независимыми переменными $t_2$ , $x_2$ и $t_4$ , сводится к проблеме разрешимости для уравнений (38) и (39) по отношению к спектральным данным. Если функция $g(z)$ окажется однозначно определенной, тогда зависимость от $t_1$ и $t_4$ дается формулой (18).

5. Заключение

Мы предложили динамическую систему, которая не может быть задана в терминах дифференциальных уравнений. Она требует введения дополнительного временно́го параметра $t_1$ , который должен быть исключен после построения решения как функции от $t_2$ , $x_2$ и $t_4$ . Мы планируем исследовать детали этого построения в следующих работах.

Благодарности

Автор благодарит В. В. Соколова за плодотворные обсуждения.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 43–53
2.	В. Е. Захаров, С. В. Манаков, “Многомерные интегрируемые нелинейные системы и методы построения их решений”, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VI, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 133, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1984, 77–91
3.	V. E. Zakharov, E. I. Schulman, “Degenerative dispersion laws, motion invariants and kinetic equations”, Phys. D, 1:2 (1980), 192–202
4.	А. К. Погребков, “Коммутаторные тождества на ассоциативных алгебрах и интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений”, ТМФ, 154:3 (2008), 477–491
5.	A. K. Pogrebkov, “Hirota difference equation and a commutator identity on an associative algebra”, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 191–205
6.	А. К. Погребков, “Коммутаторные тождества и интегрируемые иерархии”, ТМФ, 205:3 (2020), 391–399
7.	A. Davey, K. Stewartson, “On three-dimensional packets of surface waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 338:1613 (1974), 101–110

Образец цитирования: А. К. Погребков, “Неявные версии интегрируемых уравнений”, ТМФ, 217:3 (2023), 577–584; Theoret. and Math. Phys., 217:3 (2023), 1907–1913

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Pog23}

\by А.~К.~Погребков

\paper Неявные версии интегрируемых уравнений

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 217

\issue 3

\pages 577--584

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10631}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10631}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=894456}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...217.1907P}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 217

\issue 3

\pages 1907--1913

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923120097}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85180505970}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10631

https://doi.org/10.4213/tmf10631

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v217/i3/p577

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	178
PDF полного текста:	12
HTML русской версии:	32
Список литературы:	37
Первая страница:	15

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы