| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Действие элементов матрицы монодромии в обобщенном алгебраическом анзаце Бете Г. В. Кулкарниa, Н. А. Славновb a Université de Lyon, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Laboratoire de Physique, Lyon, France b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120085 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКвантовый метод обратной задачи (КМОЗ), разработанный ленинградской школой [1]–[3], позволяет находить спектры гамильтонианов квантовых интегрируе- мых моделей. Этот метод также используется для вычисления корреляционных функций. Ряд интересных результатов в этом направлении был получен в моделях с R-матрицей шестивершинной модели [4]–[16]. В рамках КМОЗ также можно изучать полностью анизотропный XYZ-магнетик Гейзенберга [17]. Однако данная модель имеет R-матрицу восьмивершинной модели [18]–[21]. Это приводит к тому, что соответствующая матрица монодромии не имеет вакуумного вектора. В результате алгебраический анзац Бете в своей традиционной формулировке неприменим к цепочке XYZ и требует существенного обобщения. Обобщенный алгебраический анзац Бете, применимый к модели XYZ, был сформулирован в работе [2]. Он позволяет получить уравнения Бете, определяющие спектр гамильтониана, а также построить собственные векторы трансфер-матрицы. Возникает вопрос о применимости этого метода к вычислению формфакторов и корреляционных функций. Вычисление корреляционных функций в рамках КМОЗ состоит из нескольких этапов. На первом этапе необходимо выразить локальные операторы рассматриваемой модели через элементы матрицы монодромии. Это можно сделать, явно решив квантовую обратную задачу [22]. Для цепочки XYZ квантовая обратная задача была решена в работе [23] (см. также [24]). На следующем шаге необходимо вычислить действие операторов матрицы монодромии на векторы Бете. В моделях с шестивершинной R-матрицей это очень простая задача. Фактически метод алгебраического анзаца Бете как раз и дает результат действия элементов матрицы монодромии на вектор Бете в виде линейной комбинации новых векторов Бете. В случае цепочки XYZ ситуация совершенно иная, и задача вычисления действия операторов матрицы монодромии становится крайне нетривиальной. Этому вопросу и посвящена настоящая статья. На последнем шаге следует вычислить возникающие скалярные произведения векторов Бете. Для моделей с шестивершинной R-матрицей эта задача была решена в работе [25]. Для цепочки XYZ эта проблема была частично решена в [26] с помощью метода, разработанного в [27]. В настоящей статье мы показываем, что результаты, полученные в [26], являются недостаточными для вычисления формфакторов. В моделях с шестивершинной R-матрицей векторы Бете строятся путем применения правого верхнего элемента матрицы монодромии к вакуумному вектору. Как мы уже отмечали, в цепочке XYZ такого вектора нет. Поэтому в рамках обобщенного алгебраического анзаца Бете приходится вводить специальное калибровочное преобразование матрицы монодромии. Последовательное применение правого верхнего элемента калибровочно-преобразованной матрицы монодромии к некоторому аналогу вакуумного вектора позволяет построить превекторы Бете, а затем и векторы Бете в виде преобразования Фурье от первых. В результате вычисление действия исходных элементов матрицы монодромии на такой вектор становится очень сложной задачей. Формулы действия имеют еще одну интересную особенность. При действии нескольких операторов на вектор Бете (формулы кратного действия) в моделях с рациональной или тригонометрической R-матрицей возникает статистическая сумма шестивершинной модели с граничным условием доменной стенки [8], [28], [29]. Поэтому получение формул кратного действия в случае восьмивершинной R-матрицы является интересной задачей. Напомним, что статистическая сумма восьмивершинной модели с граничным условием доменной стенки была найдена в работе [30] с помощью эллиптических алгебр токов и в работе [31] с использованием алгебраического анзаца Бете для модели solid-on-solid (SOS). Представление для статистической суммы в виде суммы детерминантов было получено в работе [32]. Настоящая работа построена следующим образом. В разделе 2 мы даем краткое описание обобщенного алгебраического анзаца Бете. Здесь мы вводим калибровочное преобразование матрицы монодромии и строим векторы Бете. В разделе 3 мы вычисляем действие элементов калибровочно-преобразованной матрицы монодромии на превекторы Бете. Полученные результаты позволяют решить основную задачу в разделе 4: вычислить действие исходных операторов монодромии на векторы Бете. Наконец, в разделе 5 в качестве примера мы рассматриваем кратное действие для верхнего диагонального элемента калибровочно-преобразованной матрицы монодромии. Мы показываем, что в формуле кратного действия возникает числовой коэффициент Km с хорошо известными рекуррентными свойствами, который можно рассматривать как статистическую сумму восьмивершинной модели с граничными условиями доменной стенки. Более того, для частного случая свободных фермионов нам удается получить детерминантное представление для Km (см. раздел 6). В конце этой статьи в приложении A мы представляем базовые сведения о тета-функциях Якоби. В приложение Б помещены некоторые громоздкие вычисления. 2. Обобщенный алгебраический анзац Бете для модели XYZВ этом разделе мы перечисляем основные положения обобщенного алгебраического анзаца Бете. Более подробно с этим методом читатель может ознакомиться в работах [2], [26]. Гамильтониан цепочки XYZ с периодическими граничными условиями имеет вид где Jx,y,z – вещественные константы, и мы предполагаем, что число узлов N является четным. Гамильтониан (2.1) действует в гильбертовом пространстве H, которое представляет собой тензорное произведение локальных квантовых пространств, H=H1⊗H2⊗⋯⊗HN. Здесь каждое пространство Hk≅C2. Операторы спина σx,y,zk суть матрицы Паули, нетривиально действующие в Hk.2.1. R-матрица и матрица монодромииВ рамках КМОЗ спиновая цепочка XYZ строится с помощью восьмивершинной R-матрицы где
a(u)=2θ4(η|2τ)θ1(u+η|2τ)θ4(u|2τ)θ2(0|τ)θ4(0|2τ),b(u)=2θ4(η|2τ)θ4(u+η|2τ)θ1(u|2τ)θ2(0|τ)θ4(0|2τ),c(u)=2θ1(η|2τ)θ4(u+η|2τ)θ4(u|2τ)θ2(0|τ)θ4(0|2τ),d(u)=2θ1(η|2τ)θ1(u+η|2τ)θ1(u|2τ)θ2(0|τ)θ4(0|2τ).
Определение тета-функций Якоби дано в приложении A. Параметры η и τ связаны с константами взаимодействия Jx,y,z гамильтониана (2.1) (см. ниже). Матрица монодромии модели XYZ определяется как произведение R-матриц: где комплексные параметры ξk называются неоднородностями. В этой формуле каждая R-матрица R0k(u−ξk) действует в тензорном произведении H0⊗Hk, где Hk – одно из локальных квантовых пространств, а H0≅C2 называется вспомогательным пространством. Традиционно матрицу монодромии записывают в виде матрицы размера 2×2 во вспомогательном пространстве H0: где A(u), B(u), C(u) и D(u) – операторы, действующие в H. Матрица монодромии (2.5) удовлетворяет RTT-соотношению которое выполняется в тензорном произведении C2⊗C2⊗H. Нижние индексы в (2.6) показывают, в каком из двух вспомогательных пространствах C2 матрица монодромии Tk действует нетривиально. Равенство (2.6) задает коммутационные соотношения между операторами A(u), B(u), C(u) и D(u).Трансфер-матрица T(u) – это след матрицы монодромии во вспомогательном пространстве, Она является производящей функцией интегралов движения. Гамильтониан (2.1) возникает в однородном пределе, когда все ξk=0: где J0=12θ′1(η|τ)θ1(η|τ) и 1 – единичный оператор. Тогда константы Jx,y,z имеют видНесмотря на то что для построения гамильтониана цепочки XYZ требуется только однородный случай, в дальнейшем мы будем рассматривать более общий случай неоднородной модели (2.4) с произвольными комплексными неоднородностями ξk. Подчеркнем, однако, что мы делаем это исключительно из соображений общности. Во всех приведенных ниже формулах однородный предел тривиален. 2.2. Калибровочно-преобразованная матрица монодромии и вакуумный векторВ исходной формулировке алгебраического анзаца Бете мы требуем существование вакуумного вектора |0⟩∈H, такого что при действии на него левым нижним элементом матрицы монодромии мы получаем нулевой вектор: C(u)|0⟩=0 для всех u∈C. В случае восьмивершиной R-матрицы такой вакуумный вектор не существует. Поэтому для построения векторов Бете нам необходимо ввести обобщенные калибровочно-преобразованные матрицы монодромии. Пусть Здесь где sk=s+kη, tk=t+kη, параметры s,t∈C произвольны и Легко проверить, чтоПри калибровочном преобразовании мы в конечном итоге пользуемся вершинным IRF-преобразованием [21], [33], [26], которое связывает R-матрицу восьмивершинной модели с динамической R-матрицей восьмивершинной модели SOS: Здесь ¯RR12(u|x) – динамическая R-матрица, где Это позволяет построить вакуумный вектор для калибровочно-преобразованных матриц монодромии аналогично тому, как это делается в алгебраическом анзаце Бете.Введем локальный вакуумный вектор |ωlk⟩ формулой
\begin{equation}
|\omega_k^l\rangle=\binom{\theta_1(s_{k+l-1}+\xi_k|2\tau)}{\theta_4(s_{k+l-1}+\xi_k|2\tau)}\in\mathcal H_k.
\end{equation}
\tag{2.16}
Глобальные вакуумные векторы определяются как
\begin{equation}
|\Omega^l\rangle=|\omega_1^l\rangle\otimes|\omega_2^l\rangle\otimes\cdots\otimes|\omega_N^l\rangle.
\end{equation}
\tag{2.17}
Тогда можно проверить, что
\begin{equation}
C_{l,l+N}(u)|\Omega^l\rangle=0,\quad A_{l,l+N}(u)|\Omega^l\rangle=a(u)|\Omega^{l+1}\rangle,\quad D_{l,l+N}(u)|\Omega^l\rangle=d(u) |\Omega^{l-1}\rangle,
\end{equation}
\tag{2.18}
где
\begin{equation}
a(u)=\prod_{k=1}^N \theta_1(u-\xi_k+\eta|\tau), \qquad d(u)=\prod_{k=1}^N \theta_1(u-\xi_k|\tau).
\end{equation}
\tag{2.19}
Векторы Бете строятся последовательным действием операторов B_{k,l}(u) на глобальный вакуумный вектор (см. ниже). 2.3. Коммутационные соотношения и векторы БетеПрежде чем двигаться дальше, введем некоторые новые обозначения. В дальнейшем в обозначениях тета-функций мы для краткости будем опускать модулярный параметр, если он равен \tau, а именно, \theta_a(\,{\cdot}\,)\equiv\theta_a(\,{\cdot}\,|\tau). Введем также три функции, которые часто будут использоваться ниже:
\begin{equation}
g(u,v)=\frac{\theta_1(\eta)}{\theta_1(u-v)},\qquad f(u,v)=\frac{\theta_1(u-v+\eta)}{\theta_1(u-v)},\qquad h(u,v)=\frac{\theta_1(u-v+\eta)}{\theta_1(\eta)}.
\end{equation}
\tag{2.20}
В дальнейшем мы будем постоянно иметь дело с наборами комплексных переменных. Будем обозначать эти множества чертой: \bar u=\{u_1,\ldots,u_n\}, \bar v=\{v_1,\ldots,v_m\} и т. д. Как правило, количество элементов в множествах явно в формулах не указывается, однако мы приводим эти числа в специальных комментариях к формулам. Мы также вводим специальные подмножества \bar u_j=\bar u\backslash\{u_j\}, \bar u_{j,k}=\bar u\backslash\{u_j,u_k\} и т. д. Чтобы сделать формулы более компактными, мы используем сокращенные обозначения для произведений функций (2.20). А именно, если функции g, f, h зависят от набора (или двух наборов) переменных, это означает, что нужно взять произведение по соответствующему набору. Например,
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g(v,\bar u)=\prod_{u_l\in\bar u} g(v,u_l),\qquad f(u_j,\bar u_j)=\prod_{\substack{u_l\in\bar u,\\ l\neq j}}f(u_j,u_l), \\ f(\bar v,\bar u)=\prod_{\substack{u_l\in\bar u,\\ v_k\in\bar v}}f(v_k,u_l)\quad\text{и т. п.} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.21}
По определению любое произведение по пустому множеству равно 1. Двойное произведение равно 1, если хотя бы одно из множеств пусто. Мы также применяем это соглашение к произведениям функций a(u) и d(u) (2.19):
\begin{equation}
a(\bar u)=\prod_{u_l\in\bar u} a(u_l),\qquad d(\bar v)=\prod_{v_l\in\bar v} d(v_l).
\end{equation}
\tag{2.22}
Из RTT-соотношения (2.6) следуют некоторые коммутационные соотношения для калибровочно-преобразованных операторов A_{k,l}(u), B_{k,l}(u), C_{k,l}(u) и D_{k, l}(u) [26]. Чтобы получить их более эффективно, мы также можем воспользоваться вершинным IRF-соотношением (2.13). Приведем здесь лишь несколько необходимых нам коммутационных соотношений. Прежде всего это
\begin{equation}
A_{k+1,l+1}(u)A_{k,l}(v) =A_{k+1,l+1}(v)A_{k,l}(u), \quad B_{k,l}(u)B_{k-1,l+1}(v) =B_{k,l}(v)B_{k-1,l+1}(u),
\end{equation}
\tag{2.23}
\begin{equation}
C_{k,l+1}(u)C_{k+1,l}(v) =C_{k,l+1}(v)C_{k+1,l}(u), \quad D_{k,l}(u)D_{k+1,l+1}(v) =D_{k,l}(v)D_{k+1,l+1}(u).
\end{equation}
\tag{2.24}
Второй тип коммутационных соотношений имеет вид
\begin{equation}
A_{k,l}(u)B_{k-1,l+1}(v) =f(v,u)B_{k,l+2}(v)A_{k-1,l+1}(u) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\quad+g(u,v)\frac{\theta_2(u-v+x_{l+1})}{\theta_2(x_{l+1})}B_{k,l+2}(u)A_{k-1,l+1}(v),
\end{equation}
\tag{2.25}
\begin{equation}
D_{k,l}(u)B_{k-1,l+1}(v) =f(u,v)B_{k-2,l}(v)D_{k-1,l+1}(u)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\quad+g(v,u)\frac{\theta_2(u-v+x_{k-1})}{\theta_2(x_{k-1})}B_{k-2,l}(u)D_{k-1,l+1}(v).
\end{equation}
\tag{2.26}
Напомним, что x=(s+t)/2 и x_p=x+p\eta. Эти формулы очень похожи на стандартные коммутационные соотношения алгебраического анзаца Бете. Следуя традиции, мы называем первые члены в правых частях (2.25) и (2.26) (операторы сохраняют свои исходные аргументы) первой коммутационной схемой, а вторые члены (операторы обмениваются аргументами) – второй коммутационной схемой. Наконец, имеется третий тип коммутационных соотношений между недиагональными элементами калибровочно-преобразованных матриц монодромии:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}(u)&B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(v)= \frac{\gamma_{\ell-r-1}^2}{\gamma_{\ell-r}\gamma_{\ell-r-2}}B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(v)C_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u)+{} \nonumber\\ &+g(u,v)\frac{\theta_2(u-v+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})} A_{\ell-r-2,\ell+r}(v)D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u)-{} \nonumber\\ &-g(u,v) \frac{\theta_2(u-v+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})} A_{\ell-r-2,\ell+r}(u)D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(v). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
Чтобы построить собственные векторы трансфер-матрицы, сначала определим превекторы Бете
\begin{equation}
|\psi_{n}^{\ell}(\bar u)\rangle= B_{\ell-1,\ell+1}(u_{n})B_{\ell-2,\ell+2}(u_{n-1})\ldots B_{\ell-n,\ell+n}(u_1)|\Omega^{l-n}\rangle,
\end{equation}
\tag{2.28}
где \bar u=\{u_1,\ldots,u_{n}\}, и n=N/2. В силу коммутационных соотношений (2.23) этот вектор симметричен по параметрам из набора \bar u. Тогда вектор Бете определяется как преобразование Фурье превектора Бете:
\begin{equation}
|\widehat\Psi^\nu_n(\bar u)\rangle=\sum_{\ell\in\mathbb{Z}}e^{-i\pi\nu\eta\ell}\,|\psi_{n}^{\ell}(\bar u)\rangle.
\end{equation}
\tag{2.29}
Если параметры \bar u удовлетворяют системе уравнений Бете, то вектор |\widehat\Psi^\nu_n(\bar u)\rangle становится собственным вектором трансфер-матрицы \mathsf T(u) [2]. Для иррациональных значений \eta преобразование Фурье (2.29) выглядит достаточно формальным, потому что сходимость бесконечного ряда вызывает сомнения. Выражения такого рода приобретают смысл для рациональных \eta=2P/Q, где P,Q – взаимно простые целые числа1. В этом случае все рассматриваемые функции становятся Q-периодическими по \ell, и бесконечный ряд Фурье (2.29) можно заменить конечной суммой:
\begin{equation}
|\widehat\Psi^\nu_n(\bar u)\rangle =\sum_{\ell=0}^{Q-1} e^{-i\pi\nu\eta\ell}|\psi_{n}^{\ell}(\bar u)\rangle.
\end{equation}
\tag{2.30}
В дальнейшем мы ограничимся случаем рационального \eta. Следует, однако, отметить, что формулы действия элементов матрицы монодромии на обобщенные превекторы Бете (см. ниже) остаются в силе для произвольных \eta. 3. Действие калибровочно-преобразованных операторовВведем обобщенный превектор Бете
\begin{equation}
|\psi_{n-r}^{\ell}(\bar u)\rangle= B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_{n-r})B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_{n-r-1})\ldots B_{\ell-n,\ell+n}(u_1)|\Omega^{l-n}\rangle,
\end{equation}
\tag{3.1}
где \bar u=\{u_1,\ldots,u_{n-r}\} – набор произвольных комплексных чисел, а r\in\mathbb{Z}. Этот вектор превращается в обычный |\psi_{n}^{\ell}(\bar u)\rangle при r=0. Тогда обобщенный вектор Бете определяется как
\begin{equation}
|\widehat\Psi^\nu_{n-r}(\bar u)\rangle=\sum_{\ell=0}^{Q-1} e^{-2\pi i\ell\eta}|\psi_{n-r}^{\ell}(\bar u)\rangle.
\end{equation}
\tag{3.2}
Строго говоря, такой вектор может стать собственным вектором гамильтониана модели XYZ только в тех секторах, где r=0\;(\operatorname{mod} Q). Обобщенные векторы Бете из других секторов с r\neq 0\;(\operatorname{mod} Q), хотя и не требуются при построении спектра, всё же возникают при действии элементов матрицы монодромии и поэтому имеют отношение к нашему обсуждению. Чтобы найти это действие, сначала выведем действие калибровочно-преобразованных операторов A_{\ell-r,\ell+r}, B_{\ell-r,\ell+r}, C_{\ell-r,\ell+r} и D_{\ell-r,\ell+r} на обобщенные превекторы Бете. Пусть b=n-r+1. Зададим также множество \bar u=\{u_1,\ldots,u_{n-r},u_{n-r+1}\}. Тогда \bar u_b=\{u_1,\ldots,u_{n-r}\}. Действие оператора B_{\ell-r,\ell+r} на вектор |\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u_b)\rangle следует непосредственно из определения обобщенных превекторов Бете:
\begin{equation}
B_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle=|\psi^{\ell}_{b}(\bar u)\rangle.
\end{equation}
\tag{3.3}
3.1. Действие операторов A_{\ell-r,\ell+r} и D_{\ell-r,\ell+r}Предложение 3.1. Действие операторов A_{\ell-r,\ell+r}(u_b) и D_{\ell-r,\ell+r}(u_b) на превектор Бете |\psi_{n-r}(\bar u_b)\rangle имеет следующий вид: На самом деле, формулы (3.4) и (3.5) были получены уже в работе [2]. Чтобы проверить эти равенства, выделим слагаемое с j=b, например, в формуле (3.4). Тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_{\ell-r,\ell+r}(u_b)&|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle=a(u_b)f(\bar u_b,u_b)|\psi^{\ell+1}_{b-1}(\bar u_b)\rangle+{} \nonumber\\ &+\sum_{j=1}^{b-1}a(u_j)f(\bar u_{j,b},u_j)g(u_b,u_j) \frac{\theta_2(u_b-u_j+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})} |\psi^{\ell+1}_{b-1}(\bar u_j)\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
где мы воспользовались тем, что f(u,v)/h(u,v)=g(u,v) и h(u,u)=1. Эту формулу можно получить с помощью стандартных аргументов алгебраического анзаца Бете. Используя коммутационные соотношения (2.25), пронесем оператор A_{\ell-r,\ell+r} направо через произведение операторов B_{\ell-r-k,\ell+r+k}. Дойдя до крайнего правого положения, получаем оператор A_{\ell-n,\ell+n}(u_k), где u_k – один из элементов множества \bar u. Действуя на вакуум |\Omega^{l-n}\rangle, этот оператор дает функцию a(u_k). Таким образом, мы заключаем, что общая структура конечного выражения имеет вид
\begin{equation}
A_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= a(u_b)\Lambda_b|\psi^{\ell+1}_{b-1}(\bar u_b)\rangle+ \sum_{j=1}^{b-1}a(u_j)\Lambda_j|\psi^{\ell+1}_{b-1}(\bar u_j)\rangle,
\end{equation}
\tag{3.7}
где \Lambda_j, j=1,\ldots,b, – числовые коэффициенты, которые нужно найти. Легко видеть, что для получения первого члена в правой части формулы (3.7) следует использовать только первую коммутационную схему коммутационного соотношения (2.25). Это немедленно дает нам \Lambda_b=f(\bar u_b,u_b). Чтобы получить явные выражения для \Lambda_j при j<b, достаточно найти \Lambda_{b-1} в силу симметрии |\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle по \bar u_b. Тогда, переставляя A_{\ell-r,\ell+r}(u_b) и B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_{b-1}), мы должны использовать вторую схему коммутации, иначе в результате мы не получим коэффициент a(u_{b-1}). Далее при перемещении A_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_{b-1}) в правое положение снова следует использовать первую схему коммутации. Эти соображения дают
\begin{equation*}
\Lambda_{b-1}=f(\bar u_{b-1,b},u_{b-1})g(u_b,u_{b-1})\frac{\theta_2(u_b-u_{b-1}+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})},
\end{equation*}
\notag
что приводит к
\begin{equation*}
\Lambda_{j}=f(\bar u_{j,b},u_{j})g(u_b,u_{j})\frac{\theta_2(u_b-u_{j}+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, мы воспроизводим формулу (3.6), которая эквивалентна (3.4). Результат (3.5) может быть доказан аналогично. 3.2. Действие оператора C_{\ell-r,\ell+r}Предложение 3.2. Результат действия оператора C_{\ell-r,\ell+r}(u_b) на превектор Бете |\psi_{b-1}(\bar u_b)\rangle имеет следующий вид:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}&(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \nonumber\\ &=\sum_{\substack{j,k=1,\\ j\neq k}}^{b} \biggl\{a(u_j)d(u_k) \frac{f(\bar u_j,u_j)f(u_k,\bar u_k)}{f(u_k,u_j)}\times{} \nonumber\\ &\kern44pt\times\frac{\theta_2(x_{\ell+r+1}+u_b-u_j)}{h(u_b,u_j)\theta_2(x_{\ell+r+1})} \frac{\theta_2(x_{\ell-r-1}+u_b-u_k)}{h(u_k,u_b)\theta_2(x_{\ell-r-1})} |\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{j,k})\rangle\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
Доказательство можно провести в традиционном духе алгебраического анзаца Бете. Прежде всего найдем коэффициент при a(u_j)d(u_k) для фиксированных j и k, таких что j\neq k\neq b. Воспользовавшись соотношением (2.23), переупорядочим аргументы превектора Бете следующим образом:
\begin{equation*}
C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi_{b-1}(\bar u_b)\rangle= C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k)B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle,
\end{equation*}
\notag
где \bar u_{b,j,k}=\bar u\backslash\{u_{b},u_j,u_k\}. Переставляя операторы C_{\ell-r,\ell+r}(u_b) и B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k) с помощью (2.27), получаем три типа слагаемых:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_k)C_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_b)\bigr) B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle, \\ &\bigl(A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_k)D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_b)\bigr) B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle, \\ &\bigl(A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_b)D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k)\bigr) B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
Для краткости здесь опущены числовые коэффициенты. Первая возможность в (3.9) нас не устраивает, так как конечный результат будет содержать оператор B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_k). Таким образом, результирующий вектор будет зависеть от u_k. Мы также не должны использовать вторую возможность, потому что в этом случае мы не сможем получить d(u_k). Таким образом, мы должны работать только с третьим вариантом в формулах (3.9):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \nonumber\\ &\qquad=-g(u_b,u_k)\frac{\theta_2(u_b-u_k+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})}A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_b)D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k)\times{} \nonumber\\ &\qquad\quad\times B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle+\mathcal Z; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
здесь и далее \mathcal Z означает все слагаемые, которые не вносят вклада в искомый коэффициент. Действие оператора D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k) на вектор B_{\ell-r-2,\ell+r+2}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle должно быть прямым (т. е. нужно пользоваться только первой коммутационной схемой). В противном случае мы не получим в итоге функцию d(u_k). Следовательно,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}&(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \nonumber\\ &=-g(u_b,u_k)\frac{\theta_2(u_b-u_k+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})}A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_b)\times{} \nonumber\\ &\kern84pt\times B_{\ell-r-3,\ell+r+1}(u_j)|\psi^{\ell-1}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle+\mathcal Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
Переставляя операторы A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_b) и B_{\ell-r-3,\ell+r+1}(u_j), мы обязаны использовать вторую коммутационную схему, иначе мы не сможем получить a(u_j). После этого, действуя оператором A_{\ell-r-3,\ell+r+1}(u_j) на вектор |\psi^{l-1}_{b-3}(\bar u_{b,j,k})\rangle, мы должны пользоваться только первой коммутационной схемой. Таким образом, в конечном итоге приходим к
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}&(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \nonumber\\ &=-g(u_b,u_k)g(u_b,u_j)\frac{\theta_2(u_b-u_k+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})} \frac{\theta_2(u_b-u_j+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})}\times{} \nonumber\\ &\kern66pt\times d(u_k)a(u_j) f(u_k,\bar u_{b,k})f(\bar u_{b,j,k},u_j) |\psi^{\ell}_{b-3}(\bar u_{j,k})\rangle+\mathcal Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
Остается проверить, что
\begin{equation}
-g(u_b,u_k)g(u_b,u_j)f(u_k,\bar u_{b,k})f(\bar u_{b,j,k},u_j)=\frac{f(\bar u_j,u_j)f(u_k,\bar u_k)}{f(u_k,u_j)h(u_b,u_j)h(u_k,u_b)}
\end{equation}
\tag{3.13}
при j\neq k\neq b. Рассмотрим теперь коэффициент при a(u_b)d(u_k) для k\neq b. Переупорядочим аргументы вектора |\psi_{b-1}(\bar u_b)\rangle следующим образом:
\begin{equation}
|\psi_{b-1}(\bar u_b)\rangle=B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k)|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{b,k})\rangle.
\end{equation}
\tag{3.14}
Следовательно,
\begin{equation}
C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi_{b-1}(\bar u_b)\rangle= C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k)|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{b,k})\rangle.
\end{equation}
\tag{3.15}
Переставляя операторы C_{\ell-r,\ell+r}(u_b) и B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k), мы снова получаем три члена, которые перечислены в формулах (3.9). И вновь только третий тип в (3.9) может дать искомый коэффициент. Мы находим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= -g(u_b,u_k)&\frac{\theta_2(u_b-u_k+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})}A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_b)\times{} \nonumber\\ &\times D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k)|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{b,k})\rangle+\mathcal Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
Очевидно, что действие операторов D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_k) и A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_b) должно быть прямым (т. е. в обоих случаях следует пользоваться только первой коммутационной схемой). Мы приходим к
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= -a(u_b)d(u_k)&g(u_b,u_k)\frac{\theta_2(u_b-u_k+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})}\times{} \nonumber\\ &\times f(\bar u_{b,k},u_b)f(u_k,\bar u_{b,k})|\psi_{b-2}^{\ell}(\bar u_{b,k})\rangle+\mathcal Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
Видно, что мы воспроизвели коэффициент при a(u_b)d(u_k) в формуле (3.8). Остается найти коэффициент при a(u_j)d(u_b) для j\ne b. Этот случай очень похож на предыдущий. После соответствующего переупорядочения аргументов вектора |\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle получаем
\begin{equation}
C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi_{b-1}(\bar u_b)\rangle= C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_j)|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{b,j})\rangle.
\end{equation}
\tag{3.18}
После перестановки C_{\ell-r,\ell+r}(u_b) и B_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_j) мы получим три члена (3.9), в которых следует сделать замену j\leftrightarrow k. Только один из этих трех членов (второй) дает искомый вклад:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= g(u_b,u_j)&\frac{\theta_2(u_b-u_j+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})}A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_j)\times{} \nonumber\\ &\times D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{b,j})\rangle+\mathcal Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
Очевидно, что действие операторов D_{\ell-r-1,\ell+r+1}(u_b) и A_{\ell-r-2,\ell+r}(u_j) должно быть прямым, это приводит к соотношению
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= g(u_b,u_j)&\frac{\theta_2(u_b-u_j+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})}\times{} \nonumber\\ &\times f(u_b,\bar u_{b,j})f(\bar u_{b,j},u_j)|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{b,j})\rangle+\mathcal Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
Мы воспроизводим коэффициент при a(u_j)d(u_b) в формуле (3.8). \blacksquare Завершим этот раздел, записав формулы для действия операторов в компактном виде. Пусть
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_{j;\ell}^{(a)}(z)&=\frac{a(u_j)f(\bar u_j,u_j)}{h(z,u_j)} \frac{\theta_2(z-u_j+x_{\ell+r+1})}{\theta_2(x_{\ell+r+1})}, \\ \omega_{j;\ell}^{(d)}(z)&=\frac{d(u_j)f(u_j,\bar u_j)}{h(u_j,z)} \frac{\theta_2(z-u_j+x_{\ell-r-1})}{\theta_2(x_{\ell-r-1})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
Тогда формулы (3.4) и (3.5) принимают вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle&=\sum_{j=1}^b \omega_{j;\ell}^{(a)}(u_b)|\psi^{\ell+1}_{b-1}(\bar u_j)\rangle, \\ D_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle&=\sum_{j=1}^b \omega_{j;\ell}^{(d)}(u_b)|\psi^{\ell-1}_{b-1}(\bar u_j)\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
Формула (3.8) может быть записана следующим образом:
\begin{equation}
C_{\ell-r,\ell+r}(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \sum_{\substack{j,k=1,\\ j\neq k}}^{b} \frac{\omega_{j;\ell}^{(a)}(u_b)\omega_{k;\ell}^{(d)}(u_b)}{f(u_k,u_j)}|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{j,k})\rangle.
\end{equation}
\tag{3.23}
4. Действие элементов матрицы монодромии на векторы БетеТеперь мы можем легко найти действие операторов исходной матрицы монодромии на обобщенные превекторы Бете. Для этого достаточно выразить эти операторы через калибровочно-преобразованные по формуле (2.9). Также удобно перейти от исходных операторов к операторам A(u)\pm D(u) и B(u)\pm C(u), поскольку в рамках квантовой обратной задачи операторы локального спина \sigma_k^{x,y,z} выражаются именно через такие комбинации [23]. Введем два четырехкомпонентных вектора, состоящих из элементов матрицы монодромии,
\begin{equation}
\mathbf T(u)= \begin{pmatrix} A(u)+D(u) \\ A(u)-D(u) \\ B(u)-C(u) \\ B(u)+C(u) \end{pmatrix}, \qquad \mathbf T^{(\ell,r)}(u)= \begin{pmatrix} A_{\ell-r,\ell+r}(u) \\ D_{\ell-r,\ell+r}(u) \\ C_{\ell-r,\ell+r}(u) \\ B_{\ell-r,\ell+r}(u) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.1}
Тогда из формулы (2.9) следует, что
\begin{equation}
\mathbf T(u)=\frac{\mathbf W^{(\ell,r)}(u)}{\theta_1(y+u)}\mathbf T^{(\ell,r)}(u).
\end{equation}
\tag{4.2}
Матрица \mathbf W^{(\ell,r)}(u) размера 4\times 4 имеет вид
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \frac{\theta_1(y_{-r}+u)\theta_2(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{ \theta_1(y_{r}+u)\theta_2(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell-r})} & \frac{-2\theta_1(r\eta)\theta_2(t_\ell-u)}{\theta_2(0)\theta_2(x_{\ell-r})\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{\theta_2(0)\theta_1(r\eta)\theta_2(s_\ell+u)}{2} \\ \frac{\theta_2(y_{-r}+u)\theta_1(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{-\theta_2(y_{r}+u)\theta_1(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell-r})} & \frac{ 2\theta_2(r\eta)\theta_1(t_\ell-u)}{\theta_2(0)\theta_2(x_{\ell-r})\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{-\theta_2(0)\theta_2(r\eta)\theta_1(s_\ell+u)}{2}\vphantom{\bigg|} \\ \frac{-\theta_3(y_{-r}+u)\theta_4(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{ \theta_3(y_{r}+u)\theta_4(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell-r})} & \frac{-2\theta_3(r\eta)\theta_4(t_\ell-u)}{\theta_2(0)\theta_2(x_{\ell-r})\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{\theta_2(0)\theta_3(r\eta)\theta_4(s_\ell+u)}{2}\vphantom{\bigg|} \\ \frac{\theta_4(y_{-r}+u)\theta_3(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{-\theta_4(y_{r}+u)\theta_3(x_\ell)}{\theta_2(x_{\ell-r})} & \frac{ 2\theta_4(r\eta)\theta_3(t_\ell-u)}{\theta_2(0)\theta_2(x_{\ell-r})\theta_2(x_{\ell+r})} & \frac{-\theta_2(0)\theta_4(r\eta)\theta_3(s_\ell+u)}{2}\vphantom{\bigg|} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.3}
где y_{\pm r}=y\pm r\eta. Используя формулы (3.3), (3.22) и (3.23), сразу же получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf T_p(u_b)|\psi^{\ell}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \nonumber \\ &\quad=\frac{1}{\theta_1(y+u_b)}\sum_{j=1}^b \bigl[\mathbf W^{(\ell,r)}_{p1}(u_b)\omega_{j;\ell}^{(a)}(u_b)|\psi^{\ell+1}_{b-1}(\bar u_j)\rangle+ \mathbf W^{(\ell,r)}_{p2}(u_b)\omega_{j;\ell}^{(d)}(u_b)|\psi^{\ell-1}_{b-1}(\bar u_j)\rangle\bigr]+ \nonumber \\ &\qquad+\sum_{\substack{j,k=1,\\ j\neq k}}^{b}\mathbf W^{(\ell,r)}_{p3}(u_b) \frac{\omega_{j;\ell}^{(a)}(u_b)\omega_{k;\ell}^{(d)}(u_b)}{f(u_k,u_j)}|\psi^{\ell}_{b-2}(\bar u_{j,k})\rangle+ \mathbf W^{(\ell,r)}_{p4}(u_b)|\psi^{\ell}_{b}(\bar u)\rangle \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
для p=1,2,3,4. Чтобы получить формулы действия операторов \mathbf T_p(u_b) на векторы Бете, нужно в формуле (4.4) сделать преобразование Фурье. Введем следующие преобразования Фурье:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathbf W}^{(\nu)}_{p1}(u_b,u_j)&=\sum_{\ell=0}^{Q-1}e^{-i\pi\nu\eta\ell}\;\mathbf W^{(\ell,r)}_{p1}(u_b)\omega_{j;\ell}^{(a)}(u_b),\\ \widehat{\mathbf W}^{(\nu)}_{p2}(u_b,u_j)&=\sum_{\ell=0}^{Q-1}e^{-i\pi\nu\eta\ell}\;\mathbf W^{(\ell,r)}_{p2}(u_b)\omega_{j;\ell}^{(d)}(u_b),\\ \widehat{\mathbf W}^{(\nu)}_{p3}(u_b,u_j,u_k)&=\sum_{\ell=0}^{Q-1}e^{-i\pi\nu\eta\ell}\;\mathbf W^{(\ell,r)}_{p3}(u_b)\omega_{j;\ell}^{(a)}(u_b)\omega_{k;\ell}^{(d)}(u_b),\\ \widehat{\mathbf W}^{(\nu)}_{p4}(u_b)&=\sum_{\ell=0}^{Q-1}e^{-i\pi\nu\eta\ell}\;\mathbf W^{(\ell,r)}_{p4}(u_b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
Напомним, что здесь мы рассматриваем \eta=2P/Q. В то же время формула (4.4) справедлива для произвольного комплексного \eta. Воспользовавшись тем, что преобразование Фурье произведения дает свертку преобразований Фурье, получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf T_p(u_b)|\widehat\Psi^{\nu}_{b-1}(\bar u_b)\rangle= \nonumber\\ &\;\;=\frac1{Q\theta_1(y+u_b)}\sum_{\mu=0}^{Q-1}\Bigg\{\sum_{j=1}^b \bigl[e^{i\pi\eta\mu}\widehat{\mathbf W}^{(\nu-\mu)}_{p1}(u_b,u_j)+ e^{-i\pi\eta\mu}\widehat{\mathbf W}^{(\nu-\mu)}_{p2}(u_b,u_j)\bigr]|\widehat\Psi^{\mu}_{b-1}(\bar u_j)\rangle+{} \nonumber\\ &\kern70pt+\sum_{\substack{j,k=1,\\ j\neq k}}^{b} \frac{\widehat{\mathbf W}^{(\nu-\mu)}_{p3}(u_b,u_j,u_k)}{f(u_k,u_j)}|\widehat\Psi^{\mu}_{b-2}(\bar u_{j,k})\rangle+ \widehat{\mathbf W}^{(\nu-\mu)}_{p4}(u_b)|\widehat\Psi^{\mu}_{b}(\bar u)\rangle\Bigg\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
Таким образом, действуя операторами \mathbf T_p(u_b) на вектор Бете |\widehat\Psi^{\nu}_{b-1}(\bar u_b)\rangle, мы получаем векторы Бете трех типов: |\widehat\Psi^{\mu}_{b}(\bar u)\rangle, |\widehat\Psi^{\mu}_{b-1}(\bar u_j)\rangle и |\widehat\Psi^{\mu}_{b-2}(\bar u_{j,k})\rangle.
5. Кратное действие калибровочно-преобразованных операторовМы уже упоминали, что в моделях с рациональной и тригонометрической R-матрицами можно найти, как на вектор Бете действует не только один оператор, но и произведение нескольких операторов [8], [28], [29], [34]. Такие действия мы называем кратными. Рассмотрим аналогичный случай кратного действия калибровочно-преобразованных элементов матрицы монодромии на превекторы Бете. В качестве примера рассмотрим действие произведения калибровочно-преобразованных операторов A_{\ell+k-r,\ell+k+r}(v_{k+1}). Пусть
\begin{equation}
\mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v)=A_{\ell+m-1-r,\ell+m-1+r}(v_m)\ldots A_{\ell+1-r,\ell+1+r}(v_2)A_{\ell-r,\ell+r}(v_1).
\end{equation}
\tag{5.1}
Заметим, что оператор \mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v) симметричен по \bar v=\{v_1,\ldots,v_m\} в силу коммутационных соотношений (2.23). Рассмотрим действие оператора \mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v) на вектор |\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle, где \bar u =\{u_1,\ldots,u_{n-r}\}. Ясно, что результат можно записать в следующем виде:
\begin{equation}
\mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v)|\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle= \sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\}\vdash\{\bar v,\bar u\}}\Lambda_m^{(\ell,r)}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })|\psi^{\ell+m}_{n-r}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })\rangle,
\end{equation}
\tag{5.2}
где сумма берется по разбиениям объединения \{\bar v,\bar u\}\equiv\bar\rho на два подмножества \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} } и \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} } с условием \#\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=m, а \Lambda^{(\ell,r)}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }) – числовые коэффициенты, подлежащие определению. Действительно, последовательное действие операторов A_{\ell+k-r,\ell+k+r}(v_{k+1}) на вектор |\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle дает линейную комбинацию векторов |\psi^{\ell+m}_{n-r}\rangle, зависящих от всевозможных подмножеств множества \{\bar v,\bar u\}, состоящих из n-r элементов. Формула (5.2) является наиболее общим выражением такого рода. Будем искать коэффициенты \Lambda^{(\ell,r)}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }) в виде
\begin{equation}
\Lambda_m^{(\ell,r)}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })= \frac{a(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })K_m^{ p}(\bar v|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}{f(\bar v,\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }),
\end{equation}
\tag{5.3}
где K_m^{{p}}(\bar v|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) – новая неизвестная функция, которую нужно найти. В ней содержатся все коэффициенты, зависящие от калибровки. Кроме того, из (3.6) следует, что она зависит только от суммы p=\ell+r, что и обуславливает выбор нашего обозначения. Остальные калибровочно-независимые члены содержат произведения известных функций. Напомним, что в формулах для этих членов используются соглашения (2.21) и (2.22). Замечание. Мы применяем анзац (5.3) по аналогии с формулами кратного действия в моделях с шестивершинной R-матрицей. В этих моделях кратное действие операторов A(v) на вектор Бете задается формулами (5.2) и (5.3), а коэффициент K_m(\bar v|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) является статистической суммой шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки (см. [28], [29]); при этом статистическая сумма допускает детерминантное представление [35], [36], которое известно как формула Изергина–Корепина. Полагая m=1 в формулах (5.2), (5.3) и сравнивая их с (3.4), получаем
\begin{equation}
K_1^{{p}}(v|w)= g(v,w) \frac{\theta_2(v-w+x_{p+1})}{\theta_2(x_{p+1})}.
\end{equation}
\tag{5.4}
Функцию K_m^{{p}}(\bar v|\bar w) для m>1 можно получить рекуррентным образом благодаря следующему предложению. Предложение 5.1. Функция K_m^{{p}}(\bar v|\bar w) удовлетворяет тождеству
\begin{equation}
K_m^{p}(\bar v|\bar w)= \sum_{\{\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\}\vdash\bar w} K^p_{m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }|\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) K^{p+m_1}_{m-m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }|\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }) f(\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }).
\end{equation}
\tag{5.5}
Здесь 1<m_1<m, а \bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} } и \bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} } – произвольные фиксированные подмножества множества \bar v, содержащие соответственно m_1 и m-m_1 элементов. Сумма берется по разбиениям набора \bar w на два подмножества \bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} } и \bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} } с \#\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=m_1 и \#\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }=m-m_1. Доказательство этого предложения приведено в приложении Б. Замечание. Полагая по определению K_{0}^{{p}}(\varnothing|\varnothing)=1, мы распространяем утверждение предложения 5.1 на случаи m_1=0 и m_1=m. Следствие 5.1. Функция K_m^{{p}}(\bar v|\bar w) удовлетворяет рекуррентным соотношениям Доказательство формул (5.6) и (5.7) вытекает из начального условия (5.4) и тождества (5.5) при m_1=m-1 и m_1=1 соответственно. Рекуррентные соотношения (5.6) и (5.7) позволяют выразить K_m через K_{m-1} для специальных значений v_m. В самом деле, полагая v_m=w_m в (5.6) и используя тот факт, что \mathop{\rm{Res}}\limits g(z,w)\bigr|_{z=w}=\theta_1(\eta)/\theta'_1(0), получим
\begin{equation}
\mathop{\rm{Res}}\limits K_m^{{p}}(\bar v|\bar w)\big|_{v_m=w_m}= \frac{\theta_1(\eta)}{\theta'_1(0)} f(w_m,\bar w_m)f(\bar v_m,w_m)K_{m-1}^{{p}}(\bar v_m|\bar w_m).
\end{equation}
\tag{5.8}
Положив в (5.7) v_m=w_m-\eta и воспользовавшись тем, что f(z-\eta,z)=0, имеем
\begin{equation}
K_m^{{p}}(\bar v|\bar w)\big|_{v_m=w_m}=- \frac{\theta_2(x_{p})}{\theta_2(x_{p+1})}K^{p+1}_{m-1}(\bar v_m|\bar w_m).
\end{equation}
\tag{5.9}
Начальное условие (5.4) и рекуррентные соотношения (5.6)–(5.9) соответствуют статистической сумме восьмивершинной модели с доменной стенкой, найденной в работах [30]–[32]. Таким образом, как и в моделях с шестивершинной R-матрицей, кратное действие верхнедиагональных калибровочно-преобразованных операторов порождает статистическую сумму с граничным условием доменной стенки. Заметим, что, хотя статистическая сумма шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки имеет детерминантное представление [35], аналогичный результат для восьмивершинной модели пока неизвестен. Однако обобщение результата [35] на восьмивершинную модель было получено в работе [32]. Было показано, что для общего \eta статистическая сумма может быть представлена в виде суммы 2^m эллиптических определителей Коши. Более того, при \eta=2P/Q эта сумма сводится всего к Q/2-1 слагаемых для четных Q и Q-1 слагаемых для нечетных Q. В следующем разделе мы рассмотрим очень частный случай \eta=1/2, соответствующий модели свободных фермионов, и покажем, что в этом случае мы получаем единственный определитель в соответствии с [32]. Как следствие рекурсии (5.6) можно получить явный вид числовых коэффициентов K_m^{p}(\bar v|\bar w). Следствие 5.2. Функцию K_m^p(\bar v|\bar w), удовлетворяющую рекуррентному соотношению (5.6) и начальному условию (5.4), можно записать в следующем явном виде:
\begin{equation}
K_m^{p}(\bar v|\bar w)=f(\bar v,\bar w)\sum_{\sigma\in S_m} \prod_{a=1}^{m}\biggl\{\frac{ \theta_2(v_a-w_{\sigma(a)}+x_{\ell+r+a})}{h(v_a,w_{\sigma(a)})\theta_2(x_{\ell+r+a})} \prod_{k=1}^{a-1}\frac{f(w_{\sigma(a)},w_{\sigma(k)})}{f(v_a,w_{\sigma(k)})}\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.10}
где сумма берется по перестановкам индексов. Указание для доказательства этого следствия дано в приложении Б. 6. Статистическая сумма для свободных фермионов: детерминантное представлениеРассмотрим случай свободных фермионов \eta=1/2. Предложение 6.1. При \eta=1/2 функция K_m^{p}(\bar v|\bar u) имеет следующее явное представление:
\begin{equation}
K_m^{p}(\bar v|\bar u)=\theta_2^m(0)\frac{\prod_{a>b}^m\theta_2(u_a-u_b)\theta_2(v_a-v_b)}{\prod_{a,b=1}^m\theta_1(v_a-u_b)} \frac{\theta_2(x_{p+1}+S)}{\theta_2(x_{p+1})},
\end{equation}
\tag{6.1}
где S=\sum_{k=1}^m(v_k-u_k) и p=\ell+r. Доказательство. Воспользуемся индукцией по m. Начальное условие выполнено. Предполагая, что (6.1) выполнено для m-1, и используя равенство с учетом \eta=1/2, мы в силу соотношения (5.6) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_m^{p}(\bar v|\bar u)&=\sum_{k=1}^m \frac{\theta_2(0)}{\theta_1(v_m-u_k)}\frac{\theta_2(x_{p+m}+v_m-u_k)} {\theta_2(x_{p+m})} \prod_{\substack{a=1,\\ a\ne k}}^m \frac{\theta_2(u_k-u_a)}{\theta_1(u_k-u_a)} \prod_{b=1}^{m-1}\frac{\theta_2(v_b-u_k)}{\theta_1(v_b-u_k)}\times{} \\ &\!\quad\times\theta_2^{m-1}(0)\frac{\theta_2(x_{p+1}+S-v_m+u_k)}{\theta_2(x_{p+1})} \frac{\prod_{a>b,\,a,b\ne k}^m\theta_2(u_a-u_b)\prod_{a>b}^{m-1}\theta_2(v_a-v_b)}{\prod_{a=1}^{m-1}\prod_{b=1, b\neq k}^m\theta_1(v_a-u_b)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Выделив все множители, не зависящие от k, представим это выражение в виде
\begin{equation}
K_m^{p}(\bar v|\bar u)=C_m^{p}(\bar v|\bar u)\widetilde K_m^{p}(\bar v|\bar u),
\end{equation}
\tag{6.3}
где
\begin{equation}
C_m^{p}(\bar v|\bar u)=- \frac{\theta_2^{m}(0)\prod_{a>b}^m\theta_2(u_a-u_b)\prod_{a>b}^{m-1}\theta_2(v_a-v_b)} {\theta_2(x_{p+m})\theta_2(x_{p+1})\prod_{a=1}^{m-1}\prod_{b=1}^{m}\theta_1(v_a-u_b)}
\end{equation}
\tag{6.4}
и
\begin{equation}
\widetilde K_m^{p}(\bar v|\bar u)=\sum_{k=1}^m \frac{\theta_2(u_k-v_m-x_{p+m})\theta_2(u_k-v_m+x_{p+1}+S)\prod_{a=1}^{m-1}\theta_2(u_k-v_a)} {\theta_1(u_k-v_m)\prod_{a=1, a\ne k}^m \theta_1(u_k-u_a)}.
\end{equation}
\tag{6.5}
Сумма по k в формуле (6.5) вычисляется стандартным методом контурного интеграла. Пусть
\begin{equation}
J=\frac{\theta'_1(0)}{2\pi i}\oint \frac{\theta_2(z-v_m-x_{p+m})\theta_2(z-v_m+x_{p+1}+S)\prod_{a=1}^{m-1}\theta_2(z-v_a)} {\theta_1(z-v_m)\prod_{a=1}^m \theta_1(z-u_a)}\,dz.
\end{equation}
\tag{6.6}
Интеграл берется по границе фундаментального параллелограмма. Тогда J=0 в силу периодичности подынтегральной функции (см. формулы (А.2)). С другой стороны, интеграл равен сумме вычетов в полюсах внутри контура интегрирования, которые расположены в точках z=u_k, k=1,\ldots,m, и z=v_m. Сумма вычетов при z=u_k дает \widetilde K_m^{p}(\bar v|\bar u) из (6.5). Следовательно,
\begin{equation}
J=0=\widetilde K_m^{p}(\bar v|\bar u)+ \frac{\theta_2(x_{p+m})\theta_2(x_{p+1}+S)\prod_{a=1}^{m-1}\theta_2(v_m-v_a)}{\prod_{a=1}^m \theta_1(v_m-u_a)},
\end{equation}
\tag{6.7}
что приводит к
\begin{equation}
\widetilde K_m^{p}(\bar v|\bar u)=- \frac{\theta_2(x_{p+m})\theta_2(x_{p+1}+S)\prod_{a=1}^{m-1}\theta_2(v_m-v_a)}{\prod_{a=1}^m \theta_1(v_m-u_a)}.
\end{equation}
\tag{6.8}
Подставляя это выражение в (6.3), мы немедленно приходим к (6.1). \blacksquare Окончательный результат для K_m^{p}(\bar v|\bar u) можно представить в виде определителя. Для этого используем явное представление эллиптического детерминанта Коши:
\begin{equation}
\det_m\biggl(\frac{\theta_1(v_j-u_k+z)}{\theta_1(v_j-u_k)}\biggr)= \theta_1^{m-1}(z)\theta_1(z+S)\frac{\prod_{a>b}^m\theta_1(v_a-v_b)\theta_1(u_b-u_a)}{\prod_{a,b=1}^m\theta_1(v_a-u_b)}.
\end{equation}
\tag{6.9}
Применяя эту формулу, перепишем (6.1) как
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_m^{p}(\bar v|\bar u)= \frac{\theta_1(x_{p+1})}{\theta_1(x_{p+1}+S)}& \frac{\prod_{a,b=1}^m\theta_2(v_a-u_b)}{\prod_{a>b}^m\theta_1(v_a-v_b)\theta_1(u_b-u_a)}\times{} \nonumber\\ &\times\det_m\left(\frac{\theta_2(0)\theta_1(2v_j-2u_k+2x_{p+1}|2\tau)}{\theta_1(x_{p+1})\theta_2(x_{p+1})\theta_1(2v_j-2u_k|2\tau)}\right). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
Чтобы получить выражение (6.1) из (6.10), следует использовать частный случай формулы (А.3):
\begin{equation}
\theta_1(2z|2\tau)=\frac{\theta_1(z)\theta_2(z)}{\theta_4(0|2\tau)}.
\end{equation}
\tag{6.11}
7. ЗаключениеВ представленной работе мы рассмотрели действие элементов матрицы монодромии на векторы Бете в цепочке XYZ в рамках обобщенного алгебраического анзаца Бете [2]. Особенность этого метода состоит в том, что сначала необходимо вычислить действие калибровочно-преобразованных операторов на превекторы Бете. Зная его, мы далее можем вычислить действие исходных операторов. Знать, как устроено действие элементов матрицы монодромии на векторы Бете, необходимо для вычисления формфакторов локальных операторов. Действительно, если результат действия выражается в виде линейной комбинации новых векторов Бете, то с помощью квантовой обратной задачи [22], [23] мы сводим формфакторы к скалярным произведениям. Последние изучались в работе [26]. Однако наши вычисления показывают, что результат действия любого матричного элемента на вектор |\widehat\Psi^{(\nu)}_n(\bar u)\rangle порождает векторы Бете, в которых количество параметров может отличаться на единицу от исходного. В свою очередь, в работе [26] изучались только такие скалярные произведения, в которых количество параметров в обоих векторах Бете одинаково. Мы видим, что таких скалярных произведений недостаточно для вычисления формфакторов. Мы планируем рассмотреть скалярные произведения более общего вида в цепочке XYZ в наших следующих публикациях. Мы также привели пример кратного действия калибровочно-преобразованных операторов монодромии на превекторы Бете. По аналогии со случаем шестивершинной R-матрицы мы нашли, что такие кратные действия порождают статистическую сумму восьмивершинной модели с граничными условиями доменной стенки K_m^{p}(\bar v|\bar u). Мы также получили тождество (5.5) для статистической суммы. Отметим, что аналогичное тождество в моделях с шестивершинной R-матрицей играет ключевую роль при выводе детерминантных представлений для скалярных произведений векторов Бете. Мы надеемся, что тождество (5.5) также будет полезно при изучении скалярных произведений в обобщенном алгебраическом анзаце Бете. В частном случае свободных фермионов нам удалось получить эллиптический аналог детерминантного представления Изергина–Корепина для K_m^{p}(\bar v|\bar u). Мы планируем продолжить исследования в этом направлении в нашей следующей публикации. В частности, мы намерены получить новые детерминантные представления для статистической суммы в случае рационального \eta. Приложение А. Тета-функции ЯкобиЗдесь мы приводим только некоторые основные свойства тета-функций Якоби, которые используются в статье. Более подробную информацию можно найти в [37]. Тета-функции Якоби определяются следующим образом:
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \theta_1(u|\tau)&=-i\sum_{k\in\mathbb{Z}}(-1)^k q^{(k+1/2)^2}e^{\pi i(2k+1)u},&\qquad \theta_2(u|\tau)&=\sum_{k\in\mathbb{Z}}q^{(k+1/2)^2}e^{\pi i(2k+1)u}, \\ \theta_3(u|\tau)&=\sum_{k\in\mathbb{Z}}q^{k^2}e^{2\pi i ku},&\qquad \theta_4(u|\tau)&=\sum_{k\in\mathbb{Z}}(-1)^kq^{k^2}e^{2\pi iku}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{А.1}
где \tau\in\mathbb{C}, \operatorname{Im}\tau>0, а q=e^{\pi i\tau}. Для вычисления контурного интеграла в разделе 6 мы пользуемся следующими свойствами тета-функций относительно сдвигов:
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \theta_1(u+1/2|\tau)&=\theta_2(u|\tau),&\qquad \theta_2(u+1/2|\tau)&=-\theta_1(u|\tau), \\ \theta_1(u+1|\tau)&=-\theta_1(u|\tau),&\qquad \theta_2(u+1|\tau)&=-\theta_2(u|\tau), \\ \theta_1(u+\tau|\tau)&=-e^{-\pi i(2u+\tau)}\theta_1(u|\tau),&\qquad \theta_2(u+\tau|\tau)&=e^{-\pi i(2u+\tau)}\theta_2(u|\tau). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{А.2}
Для вычисления матрицы \mathbf W^{(\ell,r)}(u) (4.3) мы использовали следующие соотношения:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2\theta_1(u+v|2\tau)\theta_1(u-v|2\tau)&=\theta_4(u|\tau)\theta_3(v|\tau)-\theta_3(u|\tau)\theta_4(v|\tau), \\ 2\theta_4(u+v|2\tau)\theta_4(u-v|2\tau)&=\theta_4(u|\tau)\theta_3(v|\tau)+\theta_3(u|\tau)\theta_4(v|\tau), \\ 2\theta_1(u+v|2\tau)\theta_4(u-v|2\tau)&=\theta_1(u|\tau)\theta_2(v|\tau)+\theta_2(u|\tau)\theta_1(v|\tau). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.3}
Приложение Б. Тождество для статистической суммыДля доказательства предложения 5.1 представим \mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v) в виде
\begin{equation}
\mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v)=\mathbb{A}^{\ell+m_1}_{m-m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })\mathbb{A}^\ell_{m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }),\qquad 1\leqslant m_1<m,
\end{equation}
\tag{Б.1}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{A}^\ell_{m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })&=A_{\ell+m_1-1-r,\ell+m_1-1+r}(v_{m_1})\ldots A_{\ell-r,\ell+r}(v_1), \\ \mathbb{A}^{\ell+m_1}_{m-m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })&=A_{\ell+m-1-r,\ell+m-1+r}(v_m)\ldots A_{\ell+m_1-r,\ell+m_1+r}(v_{m_1+1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.2}
В силу симметрии оператора \mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v) без ограничения общности будем считать, что \bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=\{v_1,\ldots,v_{m_1}\}, \bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }=\{v_{m_1+1},\ldots,v_m\}. Действуя оператором \mathbb{A}^\ell_{m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) на |\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle, получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{A}^\ell_{m,n-r}&(\bar v)|\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle= \nonumber\\ &=\sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\}\vdash\{\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar u\}} \frac{a(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })K^p_{m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}{f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) \mathbb{A}^{\ell+m_1}_{m-m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })|\psi^{\ell+m_1}_{n-r}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.3}
Действуя оператором \mathbb{A}^{\ell+m_1}_{m-m_1,n-r}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }) на |\psi^{\ell+m_1}_{n-r}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} })\rangle, получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v)|\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle= \nonumber\\ &\quad=\sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\}\vdash\{\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar u\}} \frac{a(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })K^p_{m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}{f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })\times{} \nonumber\\ &\kern40pt\times\sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} }\}\vdash\{\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\}} \frac{a(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })K^{p+m_1}_{m-m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })} {f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })}f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }) |\psi^{\ell+m}_{n-r}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} })\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.4}
Сумма берется по разбиениям в два этапа. Сначала мы делим объединение \{\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar u\} на подмножества \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} } и \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} } с \#\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=m_1. Затем образуем объединение \{\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\} и делим его на подмножества \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} } и \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} } с \#\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }=m-m_1. Таким образом, можно сказать, что в итоге сумма берется по разбиениям объединения \{\bar v,\bar u\} на три подмножества \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }, \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} } и \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} }, такие что \#\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=m_1, \#\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }=m-m_1 и \bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\cap\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=\varnothing. Можно избавиться от промежуточного подмножества \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }. Так как \{\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\}=\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} }\}, мы имеем
\begin{equation}
f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })=\frac{f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}{f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })}.
\end{equation}
\tag{Б.5}
Заметим, что при замене (Б.5) автоматически учитывается ограничение \bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }\cap\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=\varnothing, поскольку 1/f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })=0, если существует v_j, такое что v_j\in\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} } и v_j\in\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }. Как результат получаем равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{A}^\ell_{m,n-r}&(\bar v)|\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle= \nonumber\\ &=\sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} }\}\vdash\{\bar v,\bar u\}} a(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })a(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }) \frac{f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })} {f(\bar v,\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })}\times{} \nonumber\\ &\kern98pt\times K^p_{m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })K^{p+m_1}_{m-m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })|\psi^{\ell+m}_{n-r}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} })\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.6}
Пусть \{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }\}=\bar\rho_0. Тогда формула (Б.6) принимает вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{A}^\ell_{m,n-r}(\bar v)|\psi^{\ell}_{n-r}(\bar u)\rangle= \nonumber\\ &\qquad\quad=\sum_{\{\bar\rho_0,\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} }\}\vdash\{\bar v,\bar u\}} a(\bar\rho_0)\frac{f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} },\bar\rho_0)}{f(\bar v,\bar\rho_0)} |\psi^{\ell+m}_{n-r}(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{IV}} })\rangle\times{} \nonumber\\ &\kern60pt\times\sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\}\vdash \bar\rho_0} K^p_{m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })K^{p+m_1}_{m-m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }) f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.7}
Таким образом, сумма во второй строке должна дать K_m^{p}(\bar v|\bar\rho_0):
\begin{equation}
\sum_{\{\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }\}\vdash \bar\rho_0} K^p_{m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })K^{p+m_1}_{m-m_1}(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }|\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }) f(\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} })f(\bar v_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} },\bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} })=K_m^{p}(\bar v|\bar\rho_0).
\end{equation}
\tag{Б.8}
Заменим теперь \bar\rho_0 на \bar w=\{w_1,\ldots,w_m\} и положим \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }=\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }, \bar\rho_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{III}} }=\bar w_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{II}} }. Тогда мы немедленно приходим к (5.5). Перейдем теперь к доказательству следствия 5.2. Воспользуемся индукцией по m. Ясно, что начальное условие (5.6) может быть записано в виде (5.10) для m=1. Чтобы увидеть m-ю итерацию, перепишем (5.6), используя замену
\begin{equation}
f(\bar v_m, w_k)=\frac{f(\bar v, \bar w)}{f(\bar v_m, \bar w_k)}\frac{1}{f(v_m,\bar w_k)}\frac{1}{g(v_m,w_k)h(v_m,w_k)}.
\end{equation}
\tag{Б.9}
Если (5.10) выполнено при m'<m, то мы можем записать
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^p_m(\bar v,\bar w)&=f(\bar v,\bar w) \sum_{k=1}^{m}\biggl[\frac{\theta_2(v_m-w_k+x_{p+m})}{h(v_m,w_k)\theta_2(x_p)}\frac{f(w_k,\bar w_k)}{f(v_m,\bar w_k)}\times{} \nonumber\\ &\quad\times\sum_{\substack{\sigma'(m)=k,\\ \sigma'\in S_m}}\prod_{a=1}^{m-1} \biggl\{\frac{\theta_2(v_a-w_{\sigma'(a)}+x_{\ell+r+a})}{h(v_a,w_{\sigma'(a)})\theta_2(x_{\ell+r+a})} \prod_{k=1}^{a-1}\frac{f(w_{\sigma'(a)},w_{\sigma'(k)})}{f(v_a,w_{\sigma'(k)})}\biggr\}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.10}
Отсюда уже легко получить единую сумму по всем перестановкам \sigma\in S_m, что и доказывает (5.10). БлагодарностиМы благодарны А. Забродину и А. Зотову за многочисленные и плодотворные дискуссии. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KulSla23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|