| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Соединения Холлидея в множестве молекул ДНК для новых трансляционно-инвариантных мер Гиббса модели Поттса Н. М. Хатамовa, Н. Н. Маликовb a Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, Ташкент, Узбекистан b Наманганский государственный университет, Наманган, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020119 
Реферативные базы данных:
   1. Введение и определенияВ ряде задач статистической физики [1] используется модель Поттса с q состояниями [2], которая была введена как обобщение модели Изинга на случай более двух состояний. Эта модель имеет богатую структуру, позволяющую прояснить практически любой нюанс исследуемого объекта. Существование конечного числа трансляционно-инвариантных и несчетного числа трансляционно-неинвариантных мер Гиббса для модели Поттса с q состояниями на дереве Кэли показано в работах Ганиходжаева и Розикова [3]–[6]. Чтобы получить более широкое множество гиббсовских мер, в работах Розикова и Рахматуллаева [7], [8] введено понятие слабо периодической меры Гиббса и доказано существование таких мер для модели Изинга на дереве Кэли. Мы считаем важным изучить эти модели. В последние годы термодинамика изучалась для некоторых моделей ДНК в статистической физике. Например, в работах [9]–[13] изучались соединения Холлидея между молекулами ДНК для моделей Изинга, Поттса и Блюма–Капеля на дереве Кэли. В частности, в работе [10] была представлена модель Поттса молекулы ДНК для изучения ее термодинамики. Исследована трансляционно-инвариантная мера Гиббса (ТИМГ) множества молекул ДНК на дереве Кэли. Показано, что в зависимости от температуры количество ТИМГ может достигать тринадцати. Путем исследования свойств цепей Маркова (соответствующих ТИМГ) изучались соединения Холлидея и ответвления ДНК. Для очень низких температур описаны стационарные распределения и типичные конфигурации соединения Холлидея. В работе [14] методы статистической механики, а именно теории мер Гиббса, используются для исследования термодинамических свойств новой модели. С помощью этих мер описываются фазы (состояния) системы ДНК–РНК и приводятся условия (по температуре) ренатурации ДНК–РНК. В книге [15] представлены недавние математические результаты о мерах Гиббса модели Поттса с q состояниями на целочисленной решетке и деревьях Кэли, а также иллюстрируются многие приложения модели Поттса к реальным ситуациям в биологии, физике, финансовой инженерии, медицине, социологии, нейронных сетях и других науках. Как известно, каждая молекула ДНК представляет собой двойную спираль, образованную двумя комплиментарными нитями нуклеотидов, которые удерживаются вместе водородными связями между парами оснований C–G (цитозин-гуанин) и A–T (аденин-тимин). Молекулы ДНК хранят генетическую информацию и содержат инструкции для всех белков, которые организм когда-либо синтезирует [16]. Соединение Холлидея [17] – это крестообразная структура, образующаяся в процессе рекомбинации генов, когда пара двойных спиралей молекул ДНК разделяется на четыре нити для обмена сегментами генетической информации. В настоящей работе найдены новые ТИМГ множества молекул ДНК модели Поттса на дереве Кэли порядка k⩾2. С помощью этих мер Гиббса изучается термодинамика, т. е. для очень высоких и очень низких температур описываются стационарные распределения и типичные конфигурации соединения Холлидея. Мы рассматриваем множество молекул ДНК как конфигурацию модели Поттса на дереве Кэли. Для краткости введем следующие обозначения: В настоящей статье рассматривается множество молекул ДНК, которые существуют на графе типа дерево. Пусть l – ребро графа, а функция σ(l) принимает значения 0,±1,±2 (аналог спиновых величин в физических системах). Если σ(l)=0, мы говорим, что ребро l не принадлежит ДНК (т. е. вакантно). Если ребро l разделяет две молекулы ДНК, то значение σ(l)≠0 означает, что эти две молекулы ДНК имеют соединение Холлидея. Следуя [9], [10], напомним некоторые определения. Дерево Кэли Γk порядка k⩾1 есть бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого исходят ровно k+1 ребер. Пусть Γk=(V,L,i), где V и L – множества вершин и ребер дерева Кэли, а i – функция инцидентности, сопоставляющая каждому ребру l∈L его конечные точки x,y∈V. Если i(l)={x,y}, то вершины x и y называются ближайшими соседями; это обозначается как l=⟨x,y⟩. Для двух вершин x,y∈V расстояние d(x,y) равно количеству ребер кратчайшего пути, соединяющего x и y: Для фиксированной вершины x^{0}\in V и n\geqslant1 положим
\begin{equation}
\begin{gathered} \, W_n=\{x\in V\colon d(x^0, x)=n\}, \\ V_n=\{x\in V\colon d(x^0, x)\leqslant n\}, \qquad L_{n}=\{l=\langle x,y\rangle\in L\,|\,x,y\in V_{n}\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
Пусть \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}. В работе [18] доказано, что все вершины дерева Кэли можно разбить на классы эквивалентности, пронумерованные целыми числами, и через каждую вершину, принадлежащую m-му классу эквивалентности, проходит единственный путь такой, что номера классов эквивалентности, которым принадлежат последовательные вершины этого пути, образуют бесконечную в обе стороны последовательность целых чисел \dots,m-2,m-1,m,m+1,m+2,\dots . Он называется \mathbb{Z}-путь (\mathbb{Z} -path). Пусть L – множество ребер дерева Кэли. Рассмотрим функцию \sigma, которая каждому ребру l\in L ставит в соответствие значения \sigma(l)\in \{-2,-1,0,1,2\}. Конфигурация \sigma=\{\sigma(l),l\in L\} на ребрах дерева Кэли задается функцией из L в \{-2,-1,0,1, 2\}. Множество всех конфигураций в L обозначается через \Omega. Конфигурации в L_n определяются аналогично, а множество всех конфигураций в L_n обозначается через \Omega_n. Конфигурация \sigma=\{\sigma(l),l\in L\} называется допустимой, если \sigma(l)\neq0 для любого l\in \mathbb{Z}-path. Ниже мы будем рассматривать такие ДНК, которые являются ограничением допустимой конфигурации на \mathbb{Z}-path. Мы рассматриваем следующую модель Поттса энергии конфигурации \sigma на множестве молекул ДНК [19]:
\begin{equation}
H(\sigma)=J\sum_{\langle l,t\rangle \in L\times L}\delta_{\sigma(l)\sigma(t)},
\end{equation}
\tag{3}
где J>0 – константа связи, \delta – символ Кронекера, \sigma(l)\in\{-2,-1,0,1,2\} и \langle l,t\rangle обозначает ребра, являющиеся ближайшими соседями, т. е. ребра, у которых имеется общая вершина. Положим
\begin{equation*}
E_{n}=\{\langle x,y\rangle\in L\colon x\in W_{n-1}, y\in W_{n}\}.
\end{equation*}
\notag
Для l\in E_{n-1} введем обозначение Нетрудно видеть, что
\begin{equation*}
S(l)\cap \mathbb{Z}\text{-path}= \begin{cases} \{l_{0},l_{1}\}\subset L, & \text{если}\ l\notin \mathbb{Z}\text{-path}, \\ \{l_{1}\}\subset L, & \text{если}\ l\in \mathbb{Z}\text{-path}. \\ \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} S_{0}(l)&=S(l)\setminus\{l_{0},l_{1}\},&\quad &l\notin \mathbb{Z}\text{-path},\\ S_{1}(l)&=S(l)\setminus \{l_{1}\},&\quad &l\in \mathbb{Z}\text{-path}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
В работе [10] доказано, что задача исследования мер Гиббса в модели Поттса сводится к решению следующей системы функциональных уравнений: если l\notin \mathbb{Z}-path, тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{-1,l}&=\prod_{i=0}^{1}\frac{1+\alpha \upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+\upsilon_{2,l_i}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+\upsilon_{2,l_i}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+\alpha u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}, \\ u_{0,l}&=\prod_{i=0}^{1}\frac{1+ \upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+\upsilon_{2,l_i}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+\upsilon_{2,l_i}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+u_{-1,t}+\alpha u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}, \\ u_{1,l}&=\prod_{i=0}^{1}\frac{1+ \upsilon_{-1,l_i}+\alpha \upsilon_{1,l_i}+\upsilon_{2,l_i}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+\upsilon_{2,l_i}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+u_{-1,t}+u_{0,t}+\alpha u_{1,t}+u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}, \\ u_{2,l}&=\prod_{i=0}^{1}\frac{1+\upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+\alpha\upsilon_{2,l_i}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_i}+\upsilon_{1,l_i}+ \upsilon_{2,l_i}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+\alpha u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
а если l\in \mathbb{Z}-path, тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \upsilon_{-1,l}&=\frac{1+\alpha \upsilon_{-1,l_1}+\upsilon_{1,l_1}+\upsilon_{2,l_1}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_1}+\upsilon_{1,l_1}+\upsilon_{2,l_1}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+\alpha u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}, \\ \upsilon_{1,l}&=\frac{1+ \upsilon_{-1,l_1}+\alpha \upsilon_{1,l_1}+\upsilon_{2,l_1}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_1}+\upsilon_{1,l_1}+\upsilon_{2,l_1}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+u_{-1,t}+u_{0,t}+\alpha u_{1,t}+u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}, \\ \upsilon_{2,l}&=\frac{1+\upsilon_{-1,l_1}+\upsilon_{1,l_1}+\alpha\upsilon_{2,l_1}}{\alpha+\upsilon_{-1,l_1}+\upsilon_{1,l_1}+\upsilon_{2,l_1}} \prod_{t\in S_0(l)}\frac{1+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+\alpha u_{2,t}}{\alpha+u_{-1,t}+u_{0,t}+u_{1,t}+u_{2,t}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
Здесь \alpha=e^{J\beta}. Для любого набора векторов
\begin{equation*}
z=\{(u_{i,l}, i=-1,0,1,2, l\notin \mathbb{Z}\text{-path}), (\upsilon_{j,t}, j=-1,0,1,2,t\in \mathbb{Z}\text{-path})\},
\end{equation*}
\notag
которые удовлетворяют системе функциональных уравнений (4), (5), существует единственная мера Гиббса \mu, и наоборот. Однако проанализировать решения уравнений (4), (5) непросто. Некоторые решения мы представим в следующем разделе.
2. ТИМГ на множестве молекул ДНКВ этом разделе в случае J=1 находим новые решения z_l системы функциональных уравнений (4), (5), не зависящие от l, т. е.
\begin{equation*}
u_{i,l}=u_i\quad \forall \,l\notin \mathbb{Z}\text{-path},\qquad \upsilon_{j,l}=\upsilon_j\quad \forall\, l\in \mathbb{Z}\text{-path}.
\end{equation*}
\notag
Мера Гиббса, соответствующая такому решению, называется трансляционно-инвариантной. Для u_i ,\upsilon_j из уравнений (4), (5) получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{-1}&=\biggl(\frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggr)^{\!2}\biggl(\frac{1+\alpha u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{\!k-2}, \\ u_{0}&=\biggl(\frac{1+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggr)^{\!2}\biggl(\frac{1+u_{-1}+\alpha u_{0}+u_{1}+u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{\!k-2}, \\ u_{1}&=\biggl(\frac{1+\upsilon_{-1}+\alpha\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggr)^{\!2}\biggl(\frac{1+ u_{-1}+u_{0}+\alpha u_{1}+u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{k-2}, \\ u_{2}&=\biggl(\frac{1+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\alpha\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggr)^{\!2}\biggl(\frac{1+ u_{-1}+u_{0}+ u_{1}+\alpha u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{\!k-2}, \\ \upsilon_{-1}&=\frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggl(\frac{1+\alpha u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{\!k-1}, \\ \upsilon_{1}&=\frac{1+\upsilon_{-1}+\alpha\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggl(\frac{1+ u_{-1}+u_{0}+\alpha u_{1}+u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{\!k-1}, \\ \upsilon_2&=\frac{1+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\alpha\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggl(\frac{1+ u_{-1}+u_{0}+ u_{1}+\alpha u_{2}}{\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}}\biggr)^{\!k-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
где u_i,\upsilon_j>0. По предположению J =1 имеем \alpha>1. Справедлива следующая лемма. Лемма 1. Для любого k\geqslant2 верны следующие утверждения: 1) если u_0=u_{-1}, или u_0=u_1, или u_0=u_2, то решений системы (6) не существует; 2) если u_0=1, то решений системы (6) не существует; 3) u_{-1}=\upsilon_{-1}, u_{1}=\upsilon_{1}, u_{2}=\upsilon_{2} тогда и только тогда, когда \upsilon_{-1}= \upsilon_1=\upsilon_2=1. Доказательство. 1. Пусть u_0=u_{-1}, или u_0=u_1, или u_0=u_2. Тогда из первого, второго, третьего и четвертого уравнений системы (6) получаем, что \alpha=1. Получаем противоречие для случая \alpha>1. 2. Пусть u_0=1, тогда из второго уравнения системы (6) получаем, что \alpha=1. Получаем противоречие для случая \alpha>1. 3. Пусть u_{-1}=\upsilon_{-1}, тогда из системы уравнений (6) получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_{-1}-\upsilon_{-1}={}&\frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggl(\frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+u_{0}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{0}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggr)^{\!k-2}\times{} \\ &\times\biggl[\frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}- \frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+u_{0}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{0}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}\biggr]={} \\ ={}&\frac{1+\alpha \upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{(\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^2}\frac{(1+\alpha \upsilon_{-1}+u_{0}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{k-2}}{(\alpha+\upsilon_{-1}+\upsilon_{0}+\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{k-1}}(\alpha-1) (\upsilon_{-1}-1)u_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тогда с учетом \alpha>1 и u_0>0 получаем, что \upsilon_{-1}=1. Остальные случаи доказываются аналогично. Пусть \upsilon_{-1}= \upsilon_1=\upsilon_2=1, тогда из системы (6) получим u_{-1}=\upsilon_{-1}, u_{1}=\upsilon_{1}, u_{2}=\upsilon_{2}. Лемма доказана. Рассмотрим случай \upsilon_{-1}=\upsilon_1=\upsilon_2=u_{-1}=u_1=u_2=1. В этом случае из второго уравнения системы (6) получаем следующее уравнение:
\begin{equation}
\biggl(\frac{4+\alpha u_0}{\alpha+3+u_0}\biggr)^{\!k-2}=\biggl(\frac{\alpha+3}{4}\biggr)^{\!2}u_0.
\end{equation}
\tag{7}
При k=2 из этого уравнения получаем Замечание 1. Заметим, что при k=2 найденное решение (8) совпадает с решением из работы [10] (см. лемму 1 в [10]). Для уравнения (7) верна следующая лемма.
\begin{equation*}
\alpha^{\ast}=\alpha^{\ast}(k):=\frac{\sqrt{9(k-3)^2+16(k-1)^2}-3(k-3)}{2(k-3)}
\end{equation*}
\notag
и u_0=x. Уравнение
\begin{equation}
\biggl(\frac{4+\alpha x}{\alpha+3+x}\biggr)^{\!k-2}=\biggl(\frac{\alpha+3}{4}\biggr)^{\!2} x,
\end{equation}
\tag{9}
где x>0, k\geqslant3, \alpha>1, имеет одно решение, если либо k=3 и k=4, либо \alpha\leqslant\alpha^{\ast}. Если k>4 и \alpha>\alpha^{\ast}, то существуют \rho_1(\alpha,k), \rho_2(\alpha,k) с 0<\rho_1(\alpha,k)<\rho_2(\alpha,k) таким, что уравнение имеет три решения, если \rho_1(\alpha,k)<((\alpha+3)/4)^2<\rho_2(\alpha,k), и имеет два решения, если либо ((\alpha+3)/4)^2=\rho_1(\alpha,k), либо ((\alpha+3)/4)^2=\rho_2(\alpha,k). Здесь
\begin{equation*}
\rho_i(\alpha,k)=\frac{1}{x_i}\biggl(\frac{\alpha x_i+4}{x_i+\alpha+3}\biggr)^{\!k-2},\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
где x_1, x_2 – решения уравнения Доказательство. Введем функцию Первая и вторая производные этой функции равны
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f'(x)&=\frac{(\alpha x+4)^{k-3}(k-2)(\alpha-1)(\alpha+4)}{(x+\alpha+3)^{k-1}}, \\ f''(x)&=\frac{(\alpha x+4)^{k-4}(k-2)(\alpha-1)(\alpha+4)[\alpha(\alpha+3)(k-3)-4(k-1)-2\alpha x]}{(x+\alpha+3)^{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Легко показать, что f'(x)>0 и функция f возрастает. Если k=3, то f''(x)\leqslant 0 и, значит, f – вогнуто возрастающая функция. Следовательно, существует только одно положительное решение при k=3. Уравнение (9) для k=3 принимает вид и получаем положительное решение
\begin{equation}
x_{\ast}^{(1)}=\frac{\sqrt{(\alpha-1)^2(\alpha-9)^2+4096}+(\alpha-1)(\alpha-9 )}{32}.
\end{equation}
\tag{10}
Если k=4, то уравнение (9) записывается в следующем виде:
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\alpha+3}{4}\biggr)^{\!2}x^3+\biggl[\frac{(\alpha+3)^3}{8}-\alpha^2 \biggr]x^{2}+[(\alpha+3)^4-8\alpha]x-16=0.
\end{equation*}
\notag
Из известной теоремы Декарта о числе положительных корней многочлена следует, что это уравнение имеет не более одного положительного решения. Поскольку функция f(x) имеет горизонтальную асимптоту y=\alpha^{k-2}, уравнение (9) имеет хотя бы одно положительное решение. Согласно формуле Кардано это уравнение имеет ровно одно положительное решение. Введем следующие обозначения:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a=\frac{2[(\alpha+3)^3-8\alpha^2]}{(\alpha+3)^{2}},\\ p=\frac{16[(\alpha+3)^4-8\alpha]}{(\alpha+3)^{2}}-\frac{4[(\alpha+3)^3-8\alpha^2]}{3(\alpha+3)^{4}}^{2},\\ q=-\frac{256}{(\alpha+3)^2} -\frac{32[(\alpha+3)^3-8\alpha^2] [(\alpha+3)^4-8\alpha]}{3(\alpha+3)^{4}}+\frac{16[(\alpha+3)^3- 8\alpha^2]^3}{27(\alpha+3)^{6}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Тогда при k=4 имеем единственное положительное решение
\begin{equation}
x_{\ast}^{(2)}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}- \frac{a}{3}.
\end{equation}
\tag{11}
Для k>4 получаем, что функция f выпуклая при x<\frac{\alpha(\alpha+3)(k-3)-4(k-1)}{2\alpha} и вогнутая для x>\frac{\alpha(\alpha+3)(k-3)-4(k-1)}{2\alpha}. Таким образом, существует не более трех решений уравнения (9). Легко показать, что существует более одного решения тогда и только тогда, когда существует более одного решения уравнения xf'(x)=f(x), которое совпадает с и существуют два положительных корня, если \alpha(\alpha+3)>\frac{4(k-1)}{k-3}, т. е. \alpha>\frac{\sqrt{\frac{25k- 43}{k-3}}-3}{2}, или Обозначив t=\sqrt{\alpha(\alpha+3)}, получим квадратное уравнение относительно t Решение этого квадратного уравнения есть t_1=-2, t_2=\frac{2(k-1)}{k-3}.Таким образом, получаем D>0, если t>\frac{2(k-1)}{k-3} или \frac{\alpha(\alpha+3)}{4}>\left(\frac{ k-1}{k-3}\right)^2. Наконец, имеем
\begin{equation*}
\frac{\alpha(\alpha+3)}{4}>\biggl(\frac{k-1}{k-3}\biggr)^{\!2}>\frac{k-1}{k-3}.
\end{equation*}
\notag
Если решить неравенство для \alpha, получаем Отсюда следует утверждение леммы. Обозначим через \mu_{i} меры Гиббса, соответствующие решениям системы уравнений (6) в случае \upsilon_{-1}=\upsilon_1=\upsilon_2=u_{-1}=u_1=u_2 =1. Мы называем такие меры неупорядоченными трансляционно-инвариантными мерами Гиббса (НТИМГ), поскольку координаты решений соответствующей меры почти все равны единице. Суммируя полученные выше результаты, выводим следующую теорему. Теорема 1. Для модели (3) ДНК на дереве Кэли порядка k\geqslant2 верны следующие утверждения:
Замечание 2. Заметим, что, кроме случая \upsilon_{-1}=\upsilon_1=\upsilon_2=u_{-1}=u_1=u_2 =1, могут существовать другие ТИМГ. 3. Марковские цепи, отвечающие НТИМГ, и соединение Холлидея между молекулами ДНКДля изучения термодинамики соединений Холлидея в молекуле ДНК достаточно изучить цепи Маркова на поддереве, состоящем из ребер, не лежащих на \mathbb{Z}-path, и цепи Маркова на \mathbb{Z}-path. В работе [10] определены эти две цепи Маркова:
\begin{equation*}
\mathbb{P}^{[l,t]}=\mathbb{P}_{(5\to 5)}^{[l,t]}= \begin{pmatrix} \dfrac{\alpha}{Z_{1}} & \dfrac{u_{-1}}{Z_{1}} & \dfrac{u_{0}}{Z_{1}} & \dfrac{u_{1}}{Z_{1}} & \dfrac{u_{2}}{Z_{1}} \\ \dfrac{1}{Z_{2}} & \dfrac{\alpha u_{-1}}{Z_{2}} & \dfrac{u_{0}}{Z_{2}} & \dfrac{u_{1}}{Z_{2}} & \dfrac{u_{2}}{Z_{2}} \\ \dfrac{1}{Z_{3}} & \dfrac{u_{-1}}{Z_{3}} & \dfrac{\alpha u_{0}}{Z_{3}} & \dfrac{u_{1}}{Z_{3}} & \dfrac{u_{2}}{Z_{3}} \\ \dfrac{1}{Z_{4}} & \dfrac{u_{-1}}{Z_{4}} & \dfrac{u_{0}}{Z_{4}} & \dfrac{\alpha u_{1}}{Z_{4}} & \dfrac{u_{2}}{Z_{4}} \\ \dfrac{1}{Z_{5}} & \dfrac{u_{-1}}{Z_{5}} & \dfrac{u_{0}}{Z_{5}} & \dfrac{u_{1}}{Z_{5}} & \dfrac{\alpha u_{2}}{Z_{5}} \end{pmatrix}, \qquad l, t\notin \mathbb{Z}\text{-path},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} Z_{1}&=\alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2},&\qquad Z_{2}&=1+\alpha u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2}, \\ Z_{3}&=1+u_{-1}+\alpha u_{0}+u_{1}+u_{2}, &\qquad Z_{4}&=1+u_{-1}+u_{0}+\alpha u_{1}+u_{2}, \\ Z_{5}&=1+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+\alpha u_{2}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
\mathbb{P}^{[l,t]}=\mathbb{P}_{(4\to 4)}^{[l,t]}= \begin{pmatrix} \dfrac{\alpha}{Y_{1}} & \dfrac{v_{-1}}{Y_{1}} & \dfrac{v_{1}}{Y_{1}} & \dfrac{v_{2}}{Y_{1}} \\ \dfrac{1}{Y_{2}} & \dfrac{\alpha v_{-1}}{Y_{2}} & \dfrac{v_{1}}{Y_{2}} & \dfrac{v_{2}}{Y_{2}} \\ \dfrac{1}{Y_{3}} & \dfrac{v_{-1}}{Y_{3}} & \dfrac{\alpha v_{1}}{Y_{3}} & \dfrac{v_{2}}{Y_{3}} \\ \dfrac{1}{Y_{4}} & \dfrac{v_{-1}}{Y_{4}} & \dfrac{v_{1}}{Y_{4}} & \dfrac{\alpha v_{2}}{Y_{4}} \end{pmatrix}, \qquad l, t\in \mathbb{Z}\text{-path},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y_{1}&=\alpha+v_{-1}+v_{1}+v_{2}, \qquad Y_{2}=1+\alpha v_{-1}+v_{1}+v_{2}, \\ Y_{3}&=1+v_{-1}+\alpha v_{1}+v_{2}, \qquad Y_{4}=1+v_{-1}+v_{1}+\alpha v_{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Также определены стационарные распределения
\begin{equation*}
\pi_{(5\to 5)}=(\pi_{(5\to 5),-2}, \pi_{(5\to 5),-1}, \pi_{(5\to 5),0}, \pi_{(5\to 5),1}, \pi_{(5\to 5),2})
\end{equation*}
\notag
матрицы \mathbb{P}_{(5\to 5)}^{[l,t]}:
\begin{equation*}
\pi_{(5\to 5)}=\frac {1}{N} \begin{pmatrix} \alpha+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2} \\ (1+\alpha u_{-1}+u_{0}+u_{1}+u_{2})u_{-1} \\ (1+u_{-1}+\alpha u_{0}+u_{1}+u_{2})u_{0} \\ (1+u_{-1}+u_{0}+\alpha u_{1}+u_{2})u_{1} \\ (1+u_{-1}+u_{0}+u_{1}+\alpha u_{2})u_{2} \end{pmatrix}^{\mathrm{\!\!T}},
\end{equation*}
\notag
где N – нормировочный множитель, и
\begin{equation*}
\pi_{(4\to 4)}=\frac {1}{M} \begin{pmatrix} \alpha+v_{-1}+v_{1}+v_{2} \\ (1+\alpha v_{-1}+v_{1}+v_{2})v_{-1} \\ (1+v_{-1}+\alpha v_{1}+v_{2})v_{1} \\ (1+v_{-1}+v_{1}+\alpha v_{2})v_{2} \end{pmatrix}^{\mathrm{\!\!T}},
\end{equation*}
\notag
где M – нормировочный множитель. Используя эргодическую теорему для стохастических матриц (см. книгу [20]) и приведенные выше формулы, получаем следующее утверждение. Теорема 2. В стационарном состоянии множества молекул ДНК для любого l\notin \mathbb{Z}- path соединение Холлидея через ребро l не происходит с вероятностью (относительно мер \mu_{i}, i=1,2,3, соответствующих решению (u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2}) системы (6))
\begin{equation*}
\pi_{(5\to 5), 0}=\frac {1}{N}(1+u_{-1}+\alpha u_{0}+u_{1}+u_{2})u_{0}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, соединение Холлидея образуется с вероятностью 1-\pi_{(5\to 5),0}. Заметим, что вероятность \pi_{(5\to 5), 0} зависит только от величин u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2}, описывающих решение системы (6) и значения температуры. Теперь найдем пределы векторов \pi_{(5\to 5)}, \pi_{(4\to 4)} стационарных распределений при T\to 0 (при \beta\to \infty и \alpha\to \infty) и при T\to + \infty (при \beta\to 0 и \alpha\to 1). Для нахождения пределов необходимо знать явный вид решения системы уравнений (6). Но мы имеем явный вид только единственного решения при k=2,3,4, которое задается формулами (8), (10), (11). Используя эти решения, мы вычисляем пределы. Лемма 3. Имеют место следующие соотношения: в случае низкой температуры, при T\to 0,
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \lim_{T\to 0}\pi_{(5\to 5)}^{(1)}&=\biggl(\frac {1}{4}, \frac {1}{4}, 0, \frac {1}{4}, \frac {1}{4}\biggr),&\qquad k&=2, \\ \lim_{T\to 0}\pi_{(5\to 5)}^{(1)}&=\biggl(0, 0, 1, 0, 0\biggr),&\qquad k&=3,4, \\ \lim_{T\to 0}\pi_{(4\to 4)}^{(1)}&=\biggl(\frac {1}{4}, \frac {1}{4}, \frac {1}{4}, \frac {1}{4}\biggr),&\qquad k&=2,3,4; \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
в случае высокой температуры, при T\to +\infty,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{T\to +\infty}\pi_{(5\to 5)}^{(1)}&=\biggl(\frac {1}{5}, \frac {1}{5}, \frac {1}{5}, \frac {1}{5}, \frac {1}{5}\biggr),\qquad k=2, \\ \lim_{T\to +\infty}\pi_{(5\to 5)}^{(1)}&=\biggl(\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, \frac {1}{3}, \frac {1}{6}, \frac {1}{6}\biggr),\qquad k=3, \\ \lim_{T\to +\infty}\pi_{(5\to 5)}^{(1)}&\approx(0.246; 0.246; 0.016; 0.246; 0.246),\qquad k=4, \\ \lim_{T\to +\infty}\pi_{(4\to 4)}^{(1)}&=\biggl(\frac {1}{4}, \frac {1}{4}, \frac {1}{4}, \frac {1}{4}\biggr),\qquad k=2,3,4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из леммы 3 получаем следующие структуры на множестве молекул ДНК. 1. При T\to 0 множество молекул ДНК имеет следующие стационарные состояния (конфигурации). Случай меры \mu_{1} при k=2. Все соседние ДНК соединены друг с другом (соединения Холлидея), при этом соединение происходит через одно из равновероятных состояний \sigma(l)\in \{-2,-1,1,2\} для любого l\notin \mathbb{Z}-path. Случай меры \mu_{1} при k=3,4. Все соседние ДНК не соединены друг с другом, т. е. в этом случае не происходит соединения Холлидея. Для этих случаев последовательность состояний \pm1, \pm2 в молекуле ДНК на \mathbb{Z}-пути свободна, т. е. может быть произвольной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с равными вероятностями 1/4. 2. При T\to +\infty множество молекул ДНК имеет следующие стационарные состояния. Случай меры \mu_{1} при k=2. Все соседние ДНК соединены друг с другом (соединения Холлидея) с вероятностью 4/5, и при этом соединение происходит через одно из состояний \sigma(l)\in \{-2,-1,1,2\} на ребре l\notin \mathbb{Z}-path с вероятностью 1/5. Случай меры \mu_{1} при k=3. Все соседние ДНК соединены друг с другом (соединения Холлидея) с вероятностью 2/3, и при этом соединение происходит через одно из состояний \sigma(l)\in \{-2,-1,1,2\} на каждом ребре l\notin \mathbb{Z}-path с равными вероятностями 1/6. Случай меры \mu_{1} при k=4. Все соседние ДНК соединены друг с другом (соединения Холлидея) с вероятностью 0.984, и при этом соединение происходит через одно из состояний \sigma(l)\in \{-2,-1,1,2\} на каждом ребре l\notin \mathbb{Z}-path с равными вероятностями 0.246. Для этих случаев последовательность состояний \pm1, \pm2 в ДНК на \mathbb{Z}-path свободна, т. е. может быть произвольной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с равными вероятностями 1/4. БлагодарностиАвторы выражают признательность профессору У. А. Розикову за полезные дискуссии и советы, касающиеся настоящей работы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaMal24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|