Р. Н. Гарифуллин, “Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка”, ТМФ, 217:2 (2023), 404–415; Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1767

Processing math: 100%

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 217, номер 2, страницы 404–415
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10512 (Mi tmf10512)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка

Р. Н. Гарифуллин

Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия

PDF полного текста (453 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10512

Аннотация: Проведена классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Исследуется класс уравнений вида

$\frac{du_{n+1}}{dx}=f\biggl(\frac{du_{n}}{dx},u_{n+1},u_{n}\biggr),$
где неизвестная функция

$u_n(x)$ зависит от одной дискретной (

$n$ ) и одной непрерывной (

$x$ ) переменных. Классификация основывается на требовании существования высших симметрий в дискретном и непрерывном направлениях. Рассматривается случай, когда симметрии имеют порядок 3 в обоих направлениях. В результате получен список уравнений с требуемыми условиями.

Ключевые слова: интегрируемость, высшая симметрия, классификация, полудискретное уравнение, гиперболический тип.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	21-11-00006
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-11-00006, https://rscf.ru/project/21-11-00006/.

Поступило в редакцию: 03.04.2023
После доработки: 04.07.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages 1767–1776
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110119

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 37K10, 39A36

1. Введение

В этой работе исследуются полудискретные уравнения гиперболического типа

$\begin{equation} u_{n+1,x}=f(u_{n,x},u_{n+1}, u_{n},x ), \end{equation} \tag{1}$

где неизвестная функция

$u_n(x)$ зависит от одной дискретной (

$n$ ) и одной непрерывной (

$x$ ) переменных. Здесь и ниже используется обозначение

$\begin{equation*} u_{k,x}=\frac{du_{k}}{dx},\quad u_{k,xx}=\frac{d^2u_{k}}{dx^2},\quad u_{k,xxx}=\frac{d^3u_{k}}{dx^3},\quad u_{k,t}=\frac{du_{k}}{dt},\quad u_{k,\tau}=\frac{du_{k}}{d\tau}. \end{equation*} \notag$

Наиболее известным представителем этого класса является одевающая цепочка

$\begin{equation} u_{n+1,x}+u_{n,x}=u_{n+1}^2-u_{n}^2, \end{equation} \tag{2}$

подробное исследование которой проведено в статье Веселова и Шабата [1]. Эта цепочка возникла как преобразование Беклунда для модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза

$\begin{equation} u_{n,t}=u_{n,xxx}-6u_n^2u_{n,x}. \end{equation} \tag{3}$

Уравнение (3) можно рассматривать как высшую симметрию уравнения (2). По дискретному направлению высшая симметрия уравнения (2) имеет вид

$\begin{equation} u_{n,\tau}=\frac{1}{u_{n+1}+u_{n}}-\frac{1}{u_{n}+u_{n-1}} \end{equation} \tag{4}$

и является известным дифференциально-разностным уравнением [2], [3]. В статье Ямилова [4] приведен ряд примеров троек уравнений типа (2)–(4).

В недавней работе [5] был предложен метод построения высших симметрий уравнений вида (1). Было показано, что высшая симметрия в непрерывном направлении является эволюционным уравнением вида

$\begin{equation} u_{n,t}=\frac{d^Nu_n}{dt^N}+F\biggl(x,u_n, \frac{du_n}{dt}, \dots, \frac{d^{N-1}u_n}{dt^{N-1}}\biggr). \end{equation} \tag{5}$

Такие уравнения называются уравнениями с постоянной сепарантой [6]. С другой стороны, полудискретное уравнение вида (1), совместное с уравнением вида (5), можно рассматривать как автопреобразование Беклунда. Поэтому уравнения (5) сами по себе также являются инегрируемыми уравнениями. Список таких уравнений порядков 3 и 5 был приведен в обзоре [6], в нем также подробно изложена история вопроса. Уравнения вида (5) при

$N=3$ были классифицированы в работе [7].

В настоящей работе мы рассматриваем $S$ -интегрируемые уравнения третьего порядка¹ и для них ищем полудискретные уравнения вида (1). Список таких уравнений третьего порядка имеет вид

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-3uu_x, \end{equation} \tag{6}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-6u^2u_x, \end{equation} \tag{7}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}+6u_x^2, \end{equation} \tag{8}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-\frac{1}{2}u_x^3-\frac23(b_1e^{2u}+b_2e^{-2u})u_x, \end{equation} \tag{9}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-\frac{3u_xu_{xx}^2}{2(u_x^2+1)}+b_1(u_x^2+1)^{3/2}+b_2u_x^3, \end{equation} \tag{10}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-\frac{3}{2}\frac{u^{2}_{xx}}{u_{x}}+\frac{Q(u)}{u_{x}}, \end{equation} \tag{11}$

$\begin{equation} u_{t} = u_{xxx}- \frac{3}{8}\frac{((Q(u)+u_x^2)_{x})^2}{u_x(Q(u)+u_x^2)}+\frac{1}{2} Q''(u)\,u_x, \end{equation} \tag{12}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-\frac{3u_{xx}^2}{2u_x}, \end{equation} \tag{13}$

$\begin{equation} u_t =u_{xxx}-\frac{3u_{xx}^2}{4u_x}+b_1u_x^{3/2}-3b_2^2u_x^2,\qquad b_1\ne0\quad \text{или}\quad b_2\ne0, \end{equation} \tag{14}$

где

$Q=b_{0}+b_{1} u+b_{2} u^{2}+b_{3} u^{3}+b_{4} u^{4}$ — произвольный многочлен,

$b_i$ — произвольные постоянные.

Приведенный список уравнений отличается от списка работы [6] переобозначением констант и уравнениями (11) и (12), которые приведены в точечно-эквивалентном виде без использования функции Вeйерштрасса.

Известно, что при дробно-линейных преобразованиях

$\begin{equation} u=\frac{z_1 \tilde{u}+z_2}{z_3 \tilde{u}+z_4} \end{equation} \tag{15}$

многочлен

$Q$ меняется по закону

$\begin{equation*} \tilde{Q}(\tilde{u})=Q\biggl(\frac{z_1 \tilde{u}+z_2}{z_3 \tilde{u}+z_4}\biggr) (z_3 \tilde{u}+z_4)^4 (z_1 z_4-z_2 z_3)^{-2}. \end{equation*} \notag$

В зависимости от структуры кратных корней многочлен

$Q$ может быть приведен преобразованием (15) и растяжениями

$x$ и

$t$ к одной из следующих канонических форм:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, Q(x)=x(x-1)(x-k),\qquad Q(x)=x(x-1),\qquad Q(x)=x^2,\\ Q(x)=x,\qquad Q(x)=1,\qquad Q(x)=0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Использование $C$ -интегрируемых уравнений приводит только к интегрируемым по Дарбу или линейным уравнениям гиперболического типа, которые представляют меньший интерес.

Высшие симметрии в дискретном направлении являются уравнениями типа Вольтерра:

$\begin{equation} u_{n,\tau}=G(u_{n-1},u_{n},u_{n+1}). \end{equation} \tag{16}$

Полный список интегрируемых уравнений такого типа получен в работе [3] (более подробное изложение см. в обзоре [2]).

В настоящей работе ищутся только автономные по дискретной переменной $n$ уравнения вида (1) и соответственно используются только автомномные высшие симметрии (6)–(14). С одной стороны, это является упрощением задачи. С другой стороны, неизвестны неавтономные уравнения вида (1), совместные с дискретной высшей симметрией (возможно неавтономной) вида (16). Отметим, что полученные ответы содержат дополнительные произвольные константы, вместо этих констант можно брать функции, зависящие от $n$ , при этом останется совместность с непрерывными высшими симметриями.

В полностью диcкретном случае существуют автономные уравнения, у которых одна из высших симметрий имеет порядок 3 и является неавтономной, а высшая симметрия в другом направлении имеет бо́льший порядок (см. [8]–[10]). Подобные уравнения в настоящей работе не исследуются. Вопрос об их существовании остается открытым.

2. Метод исследования

Из требования совместности уравнений (1) и (5) получаем определяющее уравнение

$\begin{equation} V_{n+1,x}=\frac{\partial f}{\partial u_{n,x}}V_{n,x}+\frac{\partial f}{\partial u_{n+1}}V_{n+1}+\frac{\partial f}{\partial u_{n}}V_n, \end{equation} \tag{17}$

где через

$V_n$ обозначена правая часть уравнения (5) и используются обозначения

$\begin{equation*} V_{n,x}=\frac{d}{dx}V_n,\qquad V_{n+1,x}=\frac{d}{dx}V_{n+1}. \end{equation*} \notag$

Если функция $f$ , определяющая правую часть уравнения (1), известна, то из уравнения (17) можно найти правую часть высшей симметрии уравнения (5). Эта процедура подробно описана в работе [5]. Здесь же, наоборот, известна высшая симметрия, а само полудискретное уравнение не задано. Поэтому на функцию $f$ получается сложное нелинейное уравнение. Однако уравнение содержит дополнительные переменные, от которых не зависит функция $f$ . Наличие этих переменных позволяет получать более простые дифференциальные следствия и определить неизвестную функцию $f$ .

3. Результаты классификации

В данном разделе приводятся найденные полудискретные уравнения и их высшие симметрии в дискретном направлении. Они сгруппированы по виду высшей симметрии в $x$ -направлении. Верно следующее утверждение.

Теорема 1. Если невырожденное нелинейное автономное уравнение (1) допускает непрерывную высшую симметрию в виде одного из уравнений (6)–(14), то оно имеет вид (S1)–(S14). Все уравнения списка (S1)–(S14) обладают дискретными высшими симметриями вида (16).

Схема доказательства. Правые части уравнений (6)–(14) брались в качестве функции $V_n$ в определяющем уравнении (17). Для каждого из этих уравнений находились все возможные функции $f$ – правые части уравнений (1). Для полученных уравнений вида (1) находились дискретные симметрии. Ниже приводится список найденных полудискретных уравнений (для них используется специальная нумерация вида (S…)) и их дискретные высшие симметрии. Разные уравнения списка (6)–(14) разделяются с использованием символа $\bullet$ .

$\bullet$ Для уравнения (6) полудискретное уравнение имеет вид

$\begin{equation} u_{n+1,x}+u_{n,x}=\sqrt{u_{n+1}+u_{n}+2a}(u_{n+1}-u_{n}), \end{equation} \tag{S1}$

$\begin{equation} u_{n,\tau}=\frac{\sqrt{u_{n+1}+u_{n}+2a}-\sqrt{u_{n}+u_{n-1}+2a}}{\sqrt{u_{n+1}+u_{n}+2a}+\sqrt{u_{n}+u_{n-1}+2a}}. \end{equation} \tag{18}$

Уравнение (18) – это уравнение (V9) при

$P(y^2)=1$ из списка работы [2].

$\bullet$ Для уравнения (7) уравнение вида (1) и симметрия в дискретном направлении записываются в следующем виде:

$\begin{equation} u_{n+1,x}+u_{n,x}=\sqrt{(u_{n+1}+u_{n})^2+2a}(u_{n+1}-u_{n}), \end{equation} \tag{S2}$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, u_{n,\tau}=\frac{R(u_{n+1},u_{n},u_{n-1})-R(u_{n+1},u_{n},u_{n+1})^{1/2}R(u_{n-1},u_{n},u_{n-1})^{1/2}}{a(u_{n+1}-u_{n-1})},\\ R(u,v,w)=(u+v)(v+w)+2a. \end{gathered} \end{equation} \tag{19}$

Уравнение (19) – это уравнение (V4) из списка работы [2] при

$\nu=-1$ :

$\begin{equation} u_{n+1,x}-u_{n,x}=\sqrt{(u_{n+1}-u_{n})^2+2a}(u_{n+1}+u_{n}), \end{equation} \tag{S3}$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, u_{n,\tau}=\frac{R(u_{n+1},u_{n},u_{n-1})-R(u_{n+1},u_{n},u_{n+1})^{1/2}R(u_{n-1},u_{n},u_{n-1})^{1/2}}{u_{n+1}-u_{n-1}},\\ R(u,v,w)=(u-v)(w-v)+2a. \end{gathered} \end{equation} \tag{20}$

Уравнения (S2) и (S3), а также уравнения (19) и (20) связаны неавтономной точечной заменой

$\tilde{u}_n=(-1)^nu_n$ .

Замечание 1. Одевающая цепочка (2) и ее высшая симметрия (4) получаются из (S2) и (19) в пределе $a\to 0$ . Подобный предел в уравнении (S3) приводит к интегрируемому по Дарбу уравнению

$\begin{equation*} u_{n+1,x}-u_{n,x}=u_{n+1}^2-u_{n}^2. \end{equation*} \notag$

$\bullet$ Для уравнения (8) получаем

$\begin{equation} u_{n+1,x}+u_{n,x}=-(u_{n+1}-u_{n})^2+a(u_{n+1}-u_{n})+a_1, \end{equation} \tag{S4}$

$\begin{equation} u_{n,\tau}=\frac{1}{u_{n+1}-u_{n-1}+a}+c. \end{equation} \tag{21}$

Уравнение (21) – это уравнение (V4) из списка работы [2] при

$\nu=0,R(u,v,w)=1$ , величина

$c$ отвечает за точечную симметрию, константу

$a$ можно сделать равной нулю за счет неавтономного преобразования

$\tilde{u}_{n}=u_n+an/2$ .

$\bullet$ Для уравнения (9) имеются два случая в зависимости от параметров.

1. В случае $b_1 \neq 0$ или $b_2 \neq 0$ получаем две пары уравнений:

$\begin{equation} u_{n+1,x}=-u_{n,x}+(e^{-u_{n+1}}\pm e^{-u_{n}})\sqrt{b_1e^{2u_{n+1}+2u_{n}}\pm 2ae^{u_{n+1}+u_n}+b_2}, \end{equation} \tag{S5}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=e^{-u_n}\frac{R(e^{u_{n+1}},e^{u_n},e^{u_{n-1}})-R_1(e^{u_{n+1}},e^{u_n})^{1/2}R_1(e^{u_{n-1}},e^{u_n})^{1/2}}{e^{u_{n+1}}-e^{u_{n-1}}},\\ &R(u,v,w)=b_1v^2uw\pm av(u+w)+b_2,\qquad R_1(v,u)=R(v,u,w). \end{aligned} \end{equation} \tag{22}$

Уравнения с разными знаками связаны заменой

$\tilde{u}_{n}=u_{n}+In\pi,\ \tilde x =(-1)^{n+1}x$ (здесь и ниже

$I$ – мнимая единица, т. е.

$I^2=-1$ ), которая в уравнении (9) приводит к замене

$\tilde{t}=(-1)^{n+1}t$ :

$\begin{equation} u_{n+1,x}=u_{n,x}+(b_1^{1/2}\pm b_2^{1/2}e^{-u_{n+1}-u_{n}})\sqrt{e^{2u_{n+1}}\pm 2ae^{u_{n+1}+u_{n}}+e^{2u_n}}, \end{equation} \tag{S6}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=e^{-u_n}\frac{R(e^{u_{n+1}},e^{u_n},e^{u_{n-1}})-R_1(e^{u_{n+1}},e^{u_n})^{1/2}R_1(e^{u_{n-1}},e^{u_n})^{1/2}}{e^{u_{n+1}}-e^{u_{n-1}}},\\ &R(u,v,w)=v^2\pm a(u+w)+uw,\qquad R_1(v,u)=R(v,u,w). \end{aligned} \end{equation} \tag{23}$

Уравнения с разными знаками связаны преобразованием

$\tilde{u}_{n}=u_{n}+In\pi$ , которое не изменяет уравнение (9).

2. При $b_1=b_2=0$ допускается еще одно дополнительное уравнение

$\begin{equation} u_{n+1,x}=\pm u_{n,x}+a_1e^{(\pm u_{n}+u_{n+1})/2}+a_2 e^{-(\pm u_{n}+u_{n+1})/2}, \end{equation} \tag{S7}$

$\begin{equation} u_{n,\tau}=\frac{e^{u_{n+1}/2}-e^{u_{n-1}/2}}{e^{u_{n+1}/2}+e^{u_{n-1}/2}}. \end{equation} \tag{24}$

Уравнения с разными знаками связаны заменой

$\tilde{u}_n=(-1)^nu_n$ ,

$a_1\leftrightarrow a_2$ .

$\bullet$ Для уравнения (10) полудискретное гиперболическое уравнение имеет вид

$\begin{equation} \operatorname{arsh} u_{n+1,x}-a \operatorname{arsh} u_{n,x}=g(u_{n+1}+bu_{n}), \end{equation} \tag{S8}$

где параметры

$a,b$ и функция

$g(x)$ определяются из условий

$\begin{equation} \begin{gathered} \, a=\pm1,\qquad b=\pm1,\qquad b_1(a+1)=0,\\ g(x)=\ln(ab)+ \ln\frac{(y(x)+b_1+c)^2+2c(b_2-b_1)}{(y(x)+b_1-c)^2+2c(b_2+b_1)}, \\ y'=\frac{((y+b_1)^2+c(c+2b_2)-2cy)((y+b_1)^2+c(c+2b_2)+2cy)}{8c^{3/2}y}. \end{gathered} \end{equation} \tag{25}$

Высшая симметрия в дискретном направлении имеет вид

$\begin{equation} u_{n,\tau}=h_1+\frac{h_2(1-b)-2ah_1(1+b)}{2y(u_{n+1}+bu_n)y^{-b}(u_n+bu_{n-1})-a(b+1)-a(1-b)(b_1^2+4b_2c+c^2)}. \end{equation} \tag{26}$

В зависимости от

$a,b$ она имеет следующие представления.

1. При $a=1$ , $b=1$ имеем $b_1=0$ и получаем уравнение (V9) из списка работы [2], так как уравнение на $y(x)$ имеет только четные степени неизвестной функции:

$\begin{equation} u_{n,\tau}=h_1\frac{y(u_{n+1}+u_{n})-y(u_{n}+u_{n-1})}{y(u_{n+1}+u_{n})+y(u_{n}+u_{n-1})}. \end{equation} \tag{27}$

2. При $a=-1$ , $b=1$ получаем уравнение (V10) из списка работы [2]:

$\begin{equation} u_{n,\tau}=h_1\frac{y(u_{n+1}+u_{n})+y(u_{n}+u_{n-1})}{y(u_{n+1}+u_{n})-y(u_{n}+u_{n-1})}. \end{equation} \tag{28}$

3. При $a=\pm 1$ , $b=-1$ получаем уравнение (V11) из списка работы [2]:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=h_1+\frac{ah_2}{2(b_1^2+2b_2c+c^2)}\frac{(y_1(u_{n+1}-u_n)+1)(y_1(u_n-u_{n-1})+1)}{y_1(u_{n+1}-u_{n})+y_1(u_{n}-u_{n-1})},\\ y&=\frac{y_1-1}{y_1+1}\sqrt{-a(b_1^2+2b_2c+c^2)},\\ y_1^\prime&=(a+1)\frac{c(y_1^2+1)^2+8b_2y_1^2}{8c^{1/2}(1-y_1^2)}+(a-1)\times{}\\ &\qquad\times \frac{b_1^2(y_1^4+1)+b_1(y_1^4-1)\sqrt{b_1^2+2b_2c+c^2}+cb_2(y_1^2+1)^2+2c^2y_1^2}{4c^{3/2}(1-y_1^2)}. \end{aligned} \end{equation} \tag{29}$

$\bullet$ Для уравнения Кричевера–Новикова (11) получаем полудискретное уравнение

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n+1,x}u_{n,x}={}&a_1u_{n+1}^2u_{n}^2+a_2u_{n+1}u_{n}(u_{n+1}+u_{n})+{} \notag\\ &+a_3(u_{n+1}^2+u_{n}^2)+a_5u_{n+1}u_{n}+a_6(u_{n+1}+u_{n})+a_9, \end{aligned} \end{equation} \tag{S9}$

коэффициенты уравнений связаны формулами

$\begin{equation} \begin{aligned} \, b_4&=-6a_1a_3+\frac{3a_2^2}{2},\qquad b_3=-6a_1a_6-6a_2a_3+3a_2a_5,\\ b_2&=-6a_2a_9-3a_2a_6-6a_3^2+\frac{3a_5^2}{2},\\ b_1&=-6a_2a_9-6a_3a_6+3a_5a_6,\qquad b_0=-6a_3a_9+\frac{3a_6^2}{2}. \end{aligned} \end{equation} \tag{30}$

Уравнение (S9) найдено в работе [11]. Его высшая симметрия в

$n$ -направлении является известной дискретизацией уравнения Кричевера–Новикова [2]:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=\frac{R(u_{n+1},u_{n},u_{n-1})}{u_{n+1}-u_{n-1}},\qquad R(u,v,w)=2uw(a_1v^2+a_2v+a_3)+{} \\ &\quad+(u+w)(a_2v^2+a_5v+a_6)+2a_3v^2+2a_6v+2a_9. \end{aligned} \end{equation} \tag{31}$

$\bullet$ Для уравнения (12) имеются разные варианты в зависимости от функции $Q(x)$ . При $Q(x)=0$ уравнение (12) совпадает с уравнением (13), которое описано ниже. При $\mathbb{Q}(x)\neq 0$ все полудискретные уравнения записываются в виде

$\begin{equation} \operatorname{arsh}\frac{u_{n+1,x}}{\sqrt{Q(u_{n+1})}}-a\operatorname{arsh}\frac{u_{n,x}}{\sqrt{Q(u_{n})}}=\operatorname{arch}\frac{aA(u_{n+1},u_{n})}{\sqrt{Q(u_{n+1})}\sqrt{Q(u_{n})}},\qquad a=\pm1. \end{equation} \tag{S10}$

Почти все дискретные симметрии имеют представление

$\begin{equation} u_{n,\tau}=\frac{R(u_{n-1},u_{n},u_{n+1})+\nu R(u_{n-1},u_{n},u_{n-1})^{1/2}R(u_{n+1},u_{n},u_{n+1})^{1/2}}{u_{n+1}-u_{n-1}}. \end{equation} \tag{32}$

Для таких представлений функции

$A$ и

$R$ являются полиномиальными. Выпишем их для пяти канонических форм полинома

$Q(x)$ .

1. При $Q(x)=x(x-1)(x-k)$ имеются четыре разных ответа:
$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(u-v)^2-\frac{uv}{2}(u+v+2k+2)-\frac{k}{2}(u+v),\qquad \nu=a,\\ R(v,u,w)&=(u+2b)^2vw+(-2bu^2-(4b^2-4bk-4b+k)u-{}\\ &\quad-2kb)(v+w)+(2bu-k)^2; \end{aligned} \end{equation} \tag{33}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(k(u+v-1)-uv)^2-\frac{k}{2}(u^2+v^2-u-v)+\frac{uv}{2}(u+v-2),\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\nu=-a,\\ R(v,u,w)&=(2bu+2bk-1)^2vw+(-2b(2bk-1)u^2+(4b^2k^2+4b^2k-{} \\&\quad-4b-1)u-2bk(2bk-1))(v+w)+(2bku-2bk-u)^2; \end{aligned} \end{equation} \tag{34}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(uv-k)^2+\frac{uv}{2}(u+v-2)+\frac{k}{2}(u+v-2uv),\qquad \nu=-a,\\ R(v,u,w)&=(2bu+1)^2vw+(2bu^2-(4b^2k+4bk+4b+1)u+{} \\&\quad+2bk)(v+w)+(2bk+u)^2; \end{aligned} \end{equation} \tag{35}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(uv-u-v+k)^2+\frac{u^2}{2}(v-1)+\frac{v^2}{2}(u-1)+\frac{k}{2}(u+v-2uv),\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\nu=-a,\\ R(v,u,w)&=(2bu-2b+1)^2vw+(-2b(2b-1)u^2+(4b^2k+4b^2-4b-1)u-{} \\&\quad-2bk(2b-1))(v+w)+(2bk-2bu+u)^2. \end{aligned} \end{equation} \tag{36}$
2. При $Q(x)=x(x-1)$ имеются три разных ответа, два из них $S$ -интегрируемые:
$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=(u-v)^2b-uv+1,\qquad \nu=a,\\ R(v,u,w)&=b^2vw-bu(b+1)(v+w)+b^2u^2+2b+1; \end{aligned} \end{equation} \tag{37}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=(u+v)^2b-uv-1,\qquad \nu=-a,\\ R(v,u,w)&=b^2vw+bu(b-1)(v+w)+b^2u^2-2b+1, \end{aligned} \end{equation} \tag{38}$
и одно интегрируемое по Дарбу уравнение при
$\begin{equation} A(u,v)=b+uv \end{equation} \tag{39}$
с интегралами
$\begin{equation} \begin{gathered} \, W_1=\frac{(z_1+\sqrt{z_1^2-(u_n^2-1)(b^2-1)})(z_2+\sqrt{z_2^2-(u_n^2-1)(b^2-1)})^a}{(u_n^2-1)^{(a+1)/2}},\\ z_1=bu_n+u_{n-1},\qquad z_2=bu_n+u_{n+1},\\ W_2=a^n\frac{u_{n,xx}+u_{n}}{\sqrt{u_{n,x}^2+u_{n}^2-1}}. \end{gathered} \end{equation} \tag{40}$
3. При $Q(x)=x^2$ имеются два разных ответа:
$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(cuv+1)^2+uv,\qquad\nu=-a,\\ R(v,u,w)&=bc^2u^2vw+u(bc+1)(v+w)+b; \end{aligned} \end{equation} \tag{41}$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(cv+u)^2-uv,\\ R(v,u,w)&=bc(vw+u^2)+u(bc-1)(v+w); \end{aligned}\\ \begin{aligned} \, u_\tau&=\frac{1}{c^2u_{n+1}-u_{n-1}}[R(u_{n-1}/c,u_{n},cu_{n+1})-{} \\ &\quad-a R(u_{n-1}/c,u_{n},u_{n-1}/c)^{1/2}R(cu_{n+1},u_{n},cu_{n+1})^{1/2}]. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation} \tag{42}$
С помощью неавтономной замены $u_n=c^{-n}v_n$ можно добиться значения $c=1$ .
4. При $Q(x)=x$ имеются два разных ответа:
$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=\frac{b(u-v)^2}{2}-\frac{u}{2}-\frac{v}{2},\\ R(v,u,w)&=b^2vw-b(bu+1)(v+w)+(bu-1)^2 \end{aligned} \end{equation} \tag{43}$
и интегрируемое по Дарбу уравнение при
$\begin{equation} A(u,v)=\frac{b}{2}+\frac{u}{2}+\frac{v}{2}. \end{equation} \tag{44}$
Его интегралы имеют вид
$\begin{equation} \begin{gathered} \, W_1=\frac{(z_1+\sqrt{z_1^2+8bu_n})(z_2+\sqrt{z_2^2+8bu_n})^a}{u_n^{(a+1)/2}},\\ z_1=2b-u_n+u_{n-1},\qquad z_2=2b-u_n+u_{n+1},\\ W_2=a^n\frac{2u_{n,xx}+1}{\sqrt{u_{n,x}^2+u_{n}}}. \end{gathered} \end{equation} \tag{45}$
5. При $Q(x)=1$ имеются два разных ответа:
$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(u+v+c)^2+1,\\ R(v,u,w)&=b(v+u+c)(w+u+c)+2; \end{aligned} \end{equation} \tag{46}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(u,v)&=b(u-v-c)^2-1,\\ u_{n,\tau}&=\frac{2+b(c+u_{n-1}-u_n)(c+u_n-u_{n+1})}{u_{n+1}-u_{n-1}-2c}+{} \\ &\quad+\frac{a(2-b(c+u_{n-1}-u_n)^2)^{1/2}(2-b(c+u_n-u_{n+1}))^{1/2}}{u_{n+1}-u_{n-1}-2c}. \end{aligned} \end{equation} \tag{47}$
С помощью неавтономной замены $u_n=v_n+cn$ можно добиться значения $c=0$ .

$\bullet$ Уравнения (13) можно рассматривать как частный случай уравнения (12), поэтому ответ содержится в формуле (S9):

$\begin{equation} u_{n+1,x}u_{n,x}=(au_{n+1}u_n+bu_{n+1}+cu_n+d)^2, \end{equation} \tag{S11}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=\frac{h_1(au_{n+1}u_n+bu_{n+1}+cu_n+d)(au_{n}u_{n-1}+bu_{n}+cu_{n-1}+d)}{a(b-c)u_{n+1}u_{n-1}+(b^2-ad)u_{n+1}-(c^2-ad)u_{n-1}+d(b-c)}+{} \\ &\quad+h_2(au_{n}^2+(b+c)u_{n}+d). \end{aligned} \end{equation} \tag{48}$

Эти уравнения в переменной

$\begin{equation*} v_n=\frac{2au_n-A+b+c}{2au_n+A+b+c}\biggl(\frac{A+b-c}{A-b+c}\biggr)^n,\qquad A=\sqrt{(b+c)^2-4ad}, \end{equation*} \notag$

имеют наиболее простой вид:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, v_{n+1,x}v_{n,x}&=(v_{n+1}+v_{n})^2(bc-ad),\\ v_{n,\tau}&=h_1\frac{(v_{n+1}+v_{n})(v_{n}+v_{n-1})}{v_{n+1}-v_{n-1}}+h_2Av_n, \end{aligned} \end{equation} \tag{49}$

а также интегрируемые по Дарбу уравнения

$\begin{equation} u_{n+1,x}=u_{n,x}A(u_{n+1,0},u_{n,0}),\qquad A_y(z,y)+A(z,y)A_z(z,y)=0, \end{equation} \tag{S12}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, W_1&=A(u_{n+1},u_{n}),\qquad \frac{d}{dx}W_1=0,\\ W_2&=\frac{u_{n,xx}}{u_{n,x}},\qquad TW_2=W_2, \end{aligned} \end{equation} \tag{50}$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, u_{n+1,x}=\frac{u_{n,x}}{(A(u_{n+1},u_{n})u_{n}+g(A(u_{n+1},u_{n})))^2},\\ A_y(z,y)+\frac{A_z(z,y)}{(A(z,y)z+g(A(z,y)))^2}=0, \end{gathered} \end{equation} \tag{S13}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, W_1&=A(u_{n+1},u_{n}),\qquad \frac{d}{dx}W_1=0,\\ W_2&=2\frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}}-3\frac{u_{n,xx}^2}{u_{n,x}^2},\qquad TW_2=W_2. \end{aligned} \end{equation} \tag{51}$

Такие уравнения были найдены в работе [12].

$\bullet$ Для уравнения (14) ответы существуют лишь при $b_1=0$ и имеют вид

$\begin{equation} \sqrt{u_{n+1,x}}\pm\sqrt{u_{n,x}}=\pm b_2\sqrt{(u_{n}-u_{n+1}+a)^2-b}, \end{equation} \tag{S14}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=h_1\frac{R(u_{n-1},u_{n},u_{n+1})-\sqrt{R_1(u_{n-1},u_{n})}\sqrt{R_1(u_{n+1},u_{n})}}{u_{n+1}-u_{n-1}-2a}+h_2,\\ R(v,u,w)&=(u-v-a)(u-w+a)-b,\qquad R_1(v,u)=R(v,u,v). \end{aligned} \end{equation} \tag{52}$

Константу

$a$ можно убрать неавтономным преобразованием

$\tilde u_n=u_n+an$ .

4. Обсуждение результатов

Ряд примеров, полученных в предыдущем разделе, можно представить в одной из следующих форм:

$\begin{equation} \frac{d}{dx}\psi(u_{n+1},u_{n})=\varphi(u_{n+1},u_{n}) \end{equation} \tag{53}$

или

$\begin{equation} \Psi(u_{n+1,x},u_{n+1})=\Phi(u_{n,x},u_{n}). \end{equation} \tag{54}$

Например, в виде (53) можно записать уравнения (S1)–(S7), а в виде (54) – уравнения (S2), (S3) при

$a=0$ и уравнения (S6), (S7) при

$a=\pm \sqrt{c_1c_2}$ и

$a=\pm1$ соответственно. Уравнения вида (S10) также можно представить в таком виде при специальном выборе параметров (когда функция

$R(v,u,v)$ является полным квадратом). Некоторые из уравнений допускают оба представления.

Для уравнений вида (53) и (54) можно ввести замены переменных, обратимые на решениях. Так, для уравнения (53) можно обозначить

$\begin{equation*} v_{n}=\psi(u_{n+1},u_{n}), \end{equation*} \notag$

тогда в силу (53) имеем

$\begin{equation*} v_{n,x}=\varphi(u_{n+1},u_{n}). \end{equation*} \notag$

В случаях, когда существует обратная замена

$\begin{equation*} u_{n}=\tilde\psi(v_{n,x},v_{n}),\qquad u_{n+1}=\tilde\varphi(v_{n,x},v_{n}), \end{equation*} \notag$

на новую функцию

$v_n$ получаем полудискретное уравнение вида (54):

$\begin{equation*} \tilde\psi(v_{n+1,x},v_{n+1})= \tilde\varphi(v_{n,x},v_{n}). \end{equation*} \notag$

Видно, что аналогичным образом можно строить замены, приводящие уравнения вида (54) к уравнениям вида (53). Замены такого вида рассматривались ранее в работах [4], [13], [14]. При таких заменах высшие симметрии также пересчитываются [4]. Поэтому часть из перечисленных уравнений содержится в работе [4], в частности уравнения вида (S10) в случаях, когда функция

$R(v,u,v)$ является полным квадратом. Остальные уравнения, кроме (S9), скорее всего, являются новыми, в частности уравнения (S8), (S10), (S14) в ситуациях общего положения.

Благодарности

Автор статьи выражает благодарность анонимному рецензенту за критические замечания и ценные советы.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	А. П. Веселов, А. Б. Шабат, “Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шрёдингера”, Функц. анализ и его прил., 27:2 (1993), 1–21
2.	R. Yamilov, “Symmetries as integrability criteria for differential difference equations”, J. Phys. A: Math. Gen., 39:45 (2006), R541–R623
3.	Р. И. Ямилов, “О классификации дискретных эволюционных уравнений”, УМН, 38:6(234) (1983), 155–156
4.	Р. И. Ямилов, “Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда”, ТМФ, 85:3 (1990), 368–375
5.	R. N. Garifullin, I. T. Habibullin, “Generalized symmetries and integrability conditions for hyperbolic type semi-discrete equations”, J. Phys. A: Math. Theor., 54:20 (2021), 205201, 19 pp.
6.	А. Г. Мешков, В. В. Соколов, “Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой”, Уфимск. матем. журн., 4:3 (2012), 104–154
7.	С. И. Свинолупов, В. В. Соколов, “Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения”, Функц. анализ и его прил., 16:4 (1982), 86–87
8.	R. N. Garifullin, R. I. Yamilov, “Generalized symmetry classification of discrete equations of a class depending on twelve parameters”, J. Phys. A: Math. Theor., 45:34 (2012), 345205, 23 pp.
9.	Р. Н. Гарифуллин, А. В. Михайлов, Р. И. Ямилов, “Дискретное уравнение на квадратной решетке с нестандартной структурой высших симметрий”, ТМФ, 180:1 (2014), 17–34
10.	Р. Н. Гарифуллин, Р. И. Ямилов, “Необычная серия автономных дискретных интегрируемых уравнений на квадратной решетке”, ТМФ, 200:1 (2019), 50–71
11.	V. E. Adler, “Bäcklund transformation for the Krichever–Novikov equation”, Internat. Math. Res. Notices, 1998:1 (1998), 1–4
12.	С. Я. Старцев, “Интегрируемые по Дарбу дифференциально-разностные уравнения, допускающие интеграл первого порядка”, Уфимск. матем. журн., 4:3 (2012), 161–176
13.	R. I. Yamilov, “On the construction of Miura type transformations by others of this kind”, Phys. Lett. A, 173:1 (1993), 53–57
14.	S. Ya. Startsev, “Non-point invertible transformations and integrability of partial difference equations”, SIGMA, 10 (2014), 066, 13 pp.

Образец цитирования: Р. Н. Гарифуллин, “Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка”, ТМФ, 217:2 (2023), 404–415; Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1767–1776

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Gar23}

\by Р.~Н.~Гарифуллин

\paper Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 217

\issue 2

\pages 404--415

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10512}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10512}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4670398}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...217.1767G}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 217

\issue 2

\pages 1767--1776

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923110119}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85177647185}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10512

https://doi.org/10.4213/tmf10512

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v217/i2/p404

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

Р. Н. Гарифуллин, “Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий пятого порядка”, ТМФ, 222:1 (2025), 14–24 ; R. N. Garifullin, “Classification of semidiscrete equations of hyperbolic type. The case of fifth-order symmetries”, Theoret. and Math. Phys., 222:1 (2025), 10–19

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	177
PDF полного текста:	26
HTML русской версии:	52
Список литературы:	26
Первая страница:	10

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы