| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Контрастные структуры в задаче реакция-адвекция-диффузия, возникающей в дрейфо-диффузионной модели полупроводника, в случае негладкой реакции Е. И. Никулин Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060028 
Реферативные базы данных:
   1. Введение. Постановка задачиИзвестно, что во многих системах, имеющих два устойчивых положения равновесия и описываемых сингулярно возмущенными уравнениями типа реакция-адвекция-диффузия, неоднородности коэффициентов уравнения определяют положение внутренних резких переходных слоев. Причиной существования таких слоев в малой окрестности некоторой точки может быть выполнение в этой точке условия баланса реакции (см., например, [1], [2]), адвекции [3], реакции и адвекции [4], разрыв коэффициентов по пространственной координате (как конечный [5], так и слабый [6]) или другие условия, налагаемые на неоднородные коэффициенты (см., например, [7]). Актуальность таких уравнений вызвана большим количеством приложений (см., например, работы [5], [6], [8] и приведенные в них ссылки). Асимптотический анализ этих уравнений является необходимым этапом их исследования, поскольку позволяет выявить условия на исходные данные, при которых существуют решения с внутренними переходными слоями. Эти решения называют контрастными структурами. Настоящая работа продолжает цикл работ [9], [5], [6], [8], в которых исследуются уравнения с разрывными коэффициентами, и посвящена исследованию одномерного уравнения типа реакция-адвекция-диффузия с малой гладкой адвекцией и негладкой по пространственной координате реакцией. Целью работы являются построение асимптотики, доказательство существования и исследование устойчивости стационарных решений с построенной асимптотикой, обладающих внутренними переходными слоями, которые образуются вблизи точки разрыва производной реактивного слагаемого по пространственной координате. Для построения асимптотики используется метод Васильевой [10], для обоснования существования решения – асимптотический метод дифференциальных неравенств [11] и метод сшивания [12], [13], для исследования устойчивости – метод сжимающих барьеров [14] и метод, основанный на следствии из теоремы Крейна–Рутмана [15], [16]. В настоящей работе доказано, что у поставленной задачи при определенных условиях могут сосуществовать несколько решений, обладающих в малой окрестности точки разрыва внутренним переходным слоем, проходящим от нижнего положения равновесия к верхнему. Выявлены достаточные условия, определяющие либо асимптотическую устойчивость по Ляпунову, либо неустойчивость каждого такого решения (см. теоремы 1, 2). Поставленная ниже задача находит свое прямое применение в одномерной дрейфо-диффузионной модели полупроводника, обладающего N-образной зависимостью скорости дрейфа от напряженности электрического поля (см. [17], п. 3.2). Из результатов асимптотического исследования следует, что при условии заданного внешнего тока в малой окрестности некоторой внутренней точки полупроводника могут сосуществовать два соседствующих стационарных обедненных электронами слоя, если в этой точке равновесная концентрация электронов является недостаточно гладкой функцией пространственной координаты (см. п. 4.1). При этом один из слоев является асимптотически устойчивым по Ляпунову (т. е. к нему “притягиваются” подвижные слои, попавшие в его область притяжения), а второй – неустойчивым (подвижные слои “удаляются” от него). Полученный результат можно интерпретировать как способ управления такими подвижными слоями в полупроводниках. Рассмотрим сингулярно возмущенную стационарную краевую задачу с граничными условиями 2-го рода где ε – малый параметр, лежащий в интервале (0;ε0), ε0>0.Потребуем выполнения следующих условий. Условие 1. Пусть функция a(u,x,ε) является достаточно гладкой при u∈Iu, x∈[−1,1], ε∈[0,ε0), а функция f(u,x,ε) представима в виде где x0∈(−1,1) – заданная координата, Iu – область значений функции u(x,ε). Пусть также f(±)(u,x,ε) – достаточно гладкие функции в соответствующих им областях определения, причемТаким образом, функция ∂f∂x(u,x,ε) при любых ε∈[0,ε0), u∈Iu претерпевает относительно переменной x разрыв первого рода в точке x=x0. Условие 2. Пусть при любом x∈[−1,1] вырожденное уравнение имеет ровно три упорядоченных корня: ϕ(−)(x)<ϕ(0)(x)<ϕ(+)(x), удовлетворяющих неравенствамВведем функцию Отметим, что последнее условие не исключает случая, когда I(x)=0 в других точках отрезка [−1,1], например случая тождественного равенства I(x)≡0, x∈[−1,1] (см. пример в п. 4.2). Как показано ниже, условие 3 выделяет случай баланса реакции относительно уровня переходного слоя p. 2. Асимптотическое разложение решения вида контрастной структуры2.1. Асимптотика решенияДля построения формальной асимптотики задача (1) разбивается на две. Слева от переходного слоя рассматривается задача Справа от переходного слоя рассматривается задача Далее для функций асимптотики на отрезке [−1,x0] используем обозначение (−), на отрезке [x0,1] – обозначение (+), а символ (±) пишем, подразумевая функции как для левой, так и для правой частей асимптотики. Построим асимптотику в виде ряда по степеням ε, не предполагая разложенной в такой ряд функцию уровня переходного слоя p(ε): где регулярная часть пограничная часть в окрестности x=−1 и в окрестности x=1 и часть внутреннего переходного слоя в окрестности x0 члены которой зависят от τ=(x−x0)/ε, p(ε).Для определенности рассматриваем переход от корня ϕ(−) к корню ϕ(+). Метод пограничных функций (см. [10]) приводит к последовательности задач для определения коэффициентов асимптотических рядов (2), из которых, в частности, получим ˉu(−)0(x)=ϕ(−)(x), ˉu(+)0(x)=ϕ(+)(x). Функции ˉu(±)i(x), i=1,2,3,…, а также пограничные функции Π(±)i(ξ) строятся стандартным образом, и мы это построение в работе рассматривать не будем. Остановимся подробно на построении функций внутреннего переходного слоя. Члены Q(±)0(τ,p(ε)) определяются из следующих задач: Известно (см. [10]), что для каждого p∈(ϕ(−)(x0),ϕ(+)(x0)) задача (3) имеет единственное монотонное по τ решение, причем имеют место следующие оценки: где C_0, C'_0, k, k' – некоторые положительные константы.Функции Q_1^{(\pm)} определяются из следующих задач:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2Q_1^{(\pm)}}{\partial\tau^2} -\frac{\partial\tilde f^*}{\partial u}\,Q_1^{(\pm)}=r_1^{(\pm)}, \\ Q_1^{(\pm)}(0,p(\varepsilon))+\bar u_1^{(\pm)}(x_0)=0, \\ Q_1^{(\pm)}(\pm\infty,p(\varepsilon))=0,\\ \begin{aligned} \, r_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) &:=\frac{Q_0^{(\pm)}}{\partial\tau}(\tau,p(\varepsilon))\tilde a^* +\tau\biggl(\frac{\partial\tilde f^*}{\partial u}\,\bar u_0'^{(\pm)}(x_0) +\frac{\partial\tilde f^*}{\partial x}\biggr)+{} \\ &\qquad{}+\bar u_1(x_0,t)\frac{\partial\tilde f^*}{\partial u} +\frac{\partial\tilde f^*}{\partial\varepsilon}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
где тильда над функцией и звездочка справа от нее означают, что ее значение берется при аргументе (\bar{u}_0^{(\pm)}(x_0)+Q_0(\tau,p(\varepsilon)),x_0,0). Решение задач (5) представляется в явном виде (см. [1]):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &Q_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))=-\bar u_1^{(\pm)}(x_0) \frac{\tilde v^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))}{\tilde v^{(\pm)}(0,p(\varepsilon))}+{} \nonumber \\ &\qquad{}+\tilde v^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) \int_0^\tau\,(\tilde v^{(\pm)}(s,p(\varepsilon)))^{-2} \int_{\pm\infty}^s\tilde v^{(\pm)}(\eta,p(\varepsilon)) r_1^{(\pm)}(\eta,p(\varepsilon))\,d\eta\,ds, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
где \tilde v(\tau,p(\varepsilon)):=\frac{\partial Q_0}{\partial\tau}(\tau,p(\varepsilon)). Для Q_1^{(\pm)} справедлива оценка где C_1, k_1 – некоторые положительные константы. Функции внутреннего переходного слоя более высоких порядков строятся аналогично функциям Q_1^{(\pm)} и имеют экспоненциальную оценку сверху, аналогичную (7). Таким образом, формальное построение асимптотики решения с внутренним переходным слоем для задачи (1) завершено. 2.2. Асимптотика уровня слоя p(\varepsilon)Остановимся подробно на определении коэффициентов в разложении для уровня перехода для этого воспользуемся условием C^1-сшивания асимптотики в точке x_0:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\biggl(\frac{dU^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{dU^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr)= \nonumber \\ &\qquad=\varepsilon\biggl[\frac{d\varphi}{dx}(x_0) +\frac{\partial Q_1}{\partial\tau}(0,p(\varepsilon))\biggr]_-^+ +\varepsilon^2\biggl[\frac{d\bar u_1}{dx}(x_0) +\frac{\partial Q_2}{\partial\tau}(0,p(\varepsilon))\biggr]_-^++\dotsb=: \nonumber \\ &\qquad=:\frac{\varepsilon}{\tilde v(0,p(\varepsilon))} [K_1(p(\varepsilon))+\varepsilon K_2(p(\varepsilon))+\dotsb]=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
где [A]_-^+:=A^{(+)}-A^{(-)}. Здесь учтено, что
\begin{equation*}
\biggl[\frac{\partial Q_0}{\partial\tau}(0,p)\biggr]_-^+\equiv 0,\qquad p\in(\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0)),
\end{equation*}
\notag
это следует из очевидного представления
\begin{equation*}
2I(x_0)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial\tilde v^{(\pm)2}}{\partial\eta}(\eta,p)\,d\eta =-\tilde v^{(+)2}(0,p)+\tilde v^{(-)2}(0,p)
\end{equation*}
\notag
и условия 3. По этой причине рассматриваемый случай называется балансом реакции относительно уровня p. Можно показать, что K_1(p) приводится к виду
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1(p)={}&\int^{\varphi^{(-)}}_{\varphi^{(+)}}a(u,x_0,0)\tilde v(\tau(u,p),p)\,du+{} \\ &+\int^p_{\varphi^{(+)}} \biggl(\frac{\partial f^{(+)}}{\partial x}(u,x_0,0)\tau(u,p) +\frac{\partial f^{(+)}}{\partial\varepsilon}(u,x_0,0)\biggr)\,du+{} \\ &+\int_p^{\varphi^{(-)}} \biggl(\frac{\partial f^{(-)}}{\partial x}(u,x_0,0)\tau(u,p) +\frac{\partial f^{(-)}}{\partial\varepsilon}(u,x_0,0)\biggr)\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Кроме того,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dp}\,K_1(p)={}&\frac{1}{\tilde v(0,p)} \biggl[\int_{\varphi^{(-)}}^p\frac{\partial f^{(-)}}{\partial x}(u,x_0,0)\,du +\int_p^{\varphi^{(+)}}\frac{\partial f^{(+)}}{\partial x}(u,x_0,0)\,du\biggr]+{} \\ &+\biggl[\frac{\partial f}{\partial\varepsilon}(p,x_0,0)\biggr]_-^+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что \frac{d}{dp}\,K_1(p) не зависит от коэффициента адвекции a. Разложим теперь каждое слагаемое в (9) по степеням \varepsilon, используя представление (8) для p(\varepsilon):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\biggl(\frac{dU^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{dU^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr)= \\ &\qquad\qquad\qquad=\frac{\varepsilon}{\tilde v(0,p_0)} \biggl[K_1(p_0)+\varepsilon\biggl(\frac{d}{dp}\,K_1(p_0)p_1 +K_2(p_0)\biggr)\biggr]+\dotsb=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда получаем уравнение
\begin{equation*}
K_1(p_0)+\varepsilon\biggl(\frac{d}{dp}K_1(p_0)p_1+K_2(p_0)\biggr)+\dotsb=0.
\end{equation*}
\notag
Для выполнения последнего равенства в нулевом порядке потребуем выполнения следующего условия. имеет корень p=p_0\in(\varphi^{(-)}(x_0),\varphi^{(+)}(x_0)). У уравнения (10) на промежутке (\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0)) допускается наличие других корней, отличных от p_0 (см. пример в п. 4.1). Нам также потребуется одно из следующих условий. Условие 5а. Пусть выполняется неравенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dp}\,K_1(p_0)={}&\frac{1}{\tilde v(0,p_0)} \biggl[\int_{\varphi^{(-)}}^{p_0}\frac{\partial f^{(-)}}{\partial x}(u,x_0,0)\,du +\int_{p_0}^{\varphi^{(+)}}\frac{\partial f^{(+)}}{\partial x}(u,x_0,0)\,du\biggr]+{} \\ &+\biggl[\frac{\partial f^{(\pm)}}{\partial\varepsilon}(p_0,x_0,0)\biggr]_-^+<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Как показано ниже, каждому корню p_0 уравнения (10) соответствует решение задачи (1), обладающее внутренним переходным слоем в окрестности точки x_0, уровень которого в нулевом приближении по \varepsilon равен p_0. В случае выполнения условия 5а это решение оказывается локально асимптотически устойчивым по Ляпунову, а в случае выполнения условия 5б – неустойчивым. Случай \frac{d}{dp}\,K_1(p_0)=0 в данной работе не рассматривается. Очевидно, задачи для определения коэффициентов p_i, i=1,2,\dots, имеют вид где L_i – известные константы, и разрешимы при выполнении любого из условий 5а или 5б.Таким образом, процесс построения асимптотики для уровня переходного слоя завершен. 3. Обоснование построенной асимптотикиПусть
\begin{equation}
U_n(x,\varepsilon):= \sum^n_{i=0}(\bar u_i^{(\pm)}(x) +Q_i^{(\pm)}(\tau,\hat p_n(\varepsilon))+\Pi_i^{(\pm)}(\xi))\varepsilon^i,
\end{equation}
\tag{11}
где \hat p_n:=\sum^n_{i=0}\varepsilon^ip_i. 3.1. Устойчивые решенияДоказательство существования решения при выполнении условий 1–4, 5а проведем с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств [11], который заключается в построении верхнего и нижнего решений задачи (1) как модификаций асимптотического представления этого решения. Будем проводить эти построения аналогично тому, как это делалось в работе [6]. Тогда, опираясь на результаты [18], мы получаем, что из существования упорядоченной пары \alpha_{n+2}(x,\varepsilon), \beta_{n+2}(x,\varepsilon) (соответственно нижнего и верхнего решений) следует существование решения u_\varepsilon(x) задачи (1), заключенного между ними. Введем функцию p_\delta(\varepsilon)=\hat p_{n+1}(\varepsilon)+\varepsilon^{n+1}\delta, где постоянную \delta>0 мы определим позднее. Функция \beta_{n+2}(x,\varepsilon) представляет собой модификацию формальной асимптотики:
\begin{equation}
\beta_{n+2}^{(\pm)}(x,\varepsilon) =U_{n+2,\delta}^{(\pm)}(x,\varepsilon)+\varepsilon^{n+2} (\gamma+q^{(\pm)}(\tau)+\Pi^{(\pm)}_\beta(\xi)).
\end{equation}
\tag{12}
Здесь U_{n+2,\delta}^{(\pm)}(x,\varepsilon) – суммы (11) (n+2)-го порядка, при построении которых в дифференциальных уравнениях, определяющих функции Q_0^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) и Q_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)), функция p(\varepsilon) заменена на p_\delta(\varepsilon), а остальные члены асимптотики оставлены без изменения; \gamma>0 – постоянная, обеспечивающая выполнение дифференциального неравенства для нелинейного оператора задачи (1), функции \Pi^{(\pm)}_\beta строятся стандартным образом (см., например, [11]), чтобы выполнялось необходимое дифференциальное неравенство на границе, а функции {q^{(\pm)}}(\tau) вводятся для устранения невязок, вносимых величиной \gamma\varepsilon^{n+2}. Выражения для функций q^{(\pm)} получены в [5]:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q^{(\pm)}(\tau)=-\gamma-\gamma\bar f_u^{(\pm)}\tilde v^{(\pm)}(\tau,p_0) \int_0^\tau(\tilde v^{(\pm)}(s,p_0))^{-2}\int_{\pm\infty}^s\tilde v^{(\pm)}(\eta,p_0)\,d\eta\,ds,\\ \bar f_u^{(\pm)}:=f_u^{(\pm)}(\bar u^{(\pm)}(x_0),x_0,0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Функция \alpha_{n+2}(x,\varepsilon) – нижнее решение задачи (1) – имеет аналогичную структуру, в ее построении используется функция p_{-\delta}(\varepsilon)=\hat p_{n+1}(\varepsilon)-\varepsilon^{n+1}\delta. Отметим, что порядок модификации асимптотики решения на единицу превосходит порядок модификации уровня перехода. Эта характерная ситуация для сбалансированного случая (см., например, [7]). Все условия для верхнего и нижнего решений проверяются стандартно, аналогично работам [6], [14]. Приведем здесь только проверку дифференциального неравенства на скачок производных верхнего и нижнего решений в точке x=x_0:
\begin{equation*}
\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0-0} \geqslant\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0+0},\qquad \frac{d\alpha_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0-0}\leqslant\frac{d\alpha_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0+0}.
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation}
\varepsilon\biggl(\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0+0} -\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0-0}\biggr) =\frac{\varepsilon^{n+2}}{\tilde v^{(\pm)}(0,p_0)} \biggl(\frac{d}{dp}\,K_1(p_0)\delta-\gamma B+O(\varepsilon)\biggr),
\end{equation}
\tag{13}
где
\begin{equation*}
B=\biggl[f_u^{(\pm)}(\bar u^{(\pm)}(x_0),x_0,0) \int_{\pm\infty}^0\tilde v^{(\pm)}(\eta,p_0)\,d\eta\biggr]^+_-<0
\end{equation*}
\notag
(знак следует из условия 2). При достаточно малых \varepsilon нужный знак скачка производной можно обеспечить, если выбрать постоянную \delta>0 так, чтобы она удовлетворяла неравенству Это можно сделать в силу условия 5а. Для нижнего решения рассуждения полностью аналогичны. Доказательство асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарного решения с внутренним переходным слоем как решения соответствующей начально-краевой задачи и его локальной единственности проводится стандартно с использованием метода сжимающих барьеров (см., например, [14], [7]) и здесь не приводится. Таким образом, доказана следующая Теорема 1. При выполнении условий 1–4, 5а при достаточно малом \varepsilon>0 существует решение u_\varepsilon(x) задачи (1), для которого выполняется неравенство
\begin{equation*}
|u_\varepsilon(x)-U_n(x,\varepsilon)|<C\varepsilon^{n+1},\qquad x\in[-1,1],
\end{equation*}
\notag
где C – положительная константа. Кроме того, решение u_\varepsilon(x) асимптотически устойчиво по Ляпунову с областью устойчивости по крайней мере [\alpha_2(x,\varepsilon);\beta_2(x,\varepsilon)], и, следовательно, u_\varepsilon(x) – единственное решение задачи (1) в этой области. 3.2. Неустойчивые решенияДоказательство существования решения при выполненных условиях 1–4, 5б можно провести методом сшивания (см., например, [13], [12]). Слева от переходного слоя рассматривается вспомогательная задача
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u' -f^{(-)}(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(-1,x_0), \\ u'(-1,\varepsilon)=0,\qquad u(x_0,\varepsilon)=p_\delta(\varepsilon). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
Справа от переходного слоя рассматривается задача
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u' -f^{(+)}(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(x_0,1), \\ u(x_0,\varepsilon)=p_\delta(\varepsilon),\qquad u'(1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
Известно (см. [10]), что задачи (14) и (15) имеют соответственно решения u_\delta^{(-)} и u_\delta^{(+)}, обладающие пограничными слоями, для которых асимптотика
\begin{equation*}
\sum^n_{i=0}(\bar u_i^{(\pm)}(x)+Q_i^{(\pm)}(\tau,p_\delta(\varepsilon)) +\Pi_i^{(\pm)}(\xi))\varepsilon^i
\end{equation*}
\notag
является равномерным приближением соответственно на отрезках [-1,x_0] и [x_0,1]. На основе результатов [10] с учетом построенных в разделе 2 асимптотик и формулы (13) имеем представление
\begin{equation}
\varepsilon\biggl(\frac{du_\delta^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{du_\delta^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr) =\frac{\delta\varepsilon^{n+2}}{\tilde v(0,p_0)}\, \frac{d}{dp}\,K_1(p_0)+O(\varepsilon^{n+3}).
\end{equation}
\tag{16}
В то же время замена p_\delta на p_{-\delta} приводит к представлению
\begin{equation}
\varepsilon\biggl(\frac{du_{-\delta}^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{du_{-\delta}^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr) =-\frac{\delta\varepsilon^{n+2}}{\tilde v(0,p_0)}\, \frac{d}{dp}\,K_1(p_0)+O(\varepsilon^{n+3}).
\end{equation}
\tag{17}
В силу условия 5б при достаточно малых \varepsilon выражения (16) и (17) имеют разные знаки. Согласно рассуждениям, аналогичным рассуждениям работы [13], отсюда сразу же следует существование гладкого решения u_\varepsilon(x) задачи (1), причем для уровня p переходного слоя этого решения справедливо асимптотическое приближение p=p_n(\varepsilon)+O(\varepsilon^{n+1}). Естественно, аналогичные рассуждения могли бы быть применены для обоснования асимптотики и при выполнении условия 5а. Доказательство неустойчивости такого решения проводится с помощью следствия теоремы Крейна–Рутмана. Известно (cм., например, [15]), что вопрос об устойчивости решения u_\varepsilon(x) может быть решен с помощью исследования следующей задачи на собственные значения:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L_\varepsilon(w):=\mu w,\qquad x\in(-1,1), \\ \frac{dw}{dx}(\pm 1,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
где
\begin{equation*}
L_\varepsilon(w):=\varepsilon^2\biggl(\frac{d^2w}{dx^2} -a(u_\varepsilon,x,\varepsilon)\,\frac{dw}{dx}\biggr) -\biggl(f_u(u_\varepsilon,x,\varepsilon) +a_u(u_\varepsilon,x,\varepsilon)\,\frac{du}{dx}\biggr)w
\end{equation*}
\notag
– линеаризация оператора N_\varepsilon на решении u_\varepsilon(x). В частности, если \mu>0, то решение u_\varepsilon(x) неустойчиво. Рассмотрим вспомогательную задачу
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L_\varepsilon(w):=-h(x,\varepsilon),\qquad x\in(-1,1), \\ \frac{dw}{dx}(\pm 1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
Из известных результатов, основанных на теореме Крейна–Рутмана ([19], с. 20, теорема 7.3) и примененных к эллиптическому оператору (см., например, [20], глава 1), следует Утверждение 1. Если для некоторой всюду положительной на (-1,1)\times[0,\varepsilon_0) функции h(x,\varepsilon) задача (19) имеет решение w(x,\varepsilon) такое, что хотя бы в одной точке x^*\in (-1,1) выполнено неравенство w(x^*,\varepsilon)<0, то главное собственное значение \mu задачи (18) положительно. Пусть w(x,\varepsilon):=\beta_{n+2}(x,\varepsilon)-\alpha_{n+2}(x,\varepsilon), где \delta<0 выбрано достаточно большим по модулю. Нетрудно показать, что
\begin{equation*}
L_\varepsilon(w)=-2\varepsilon^{n+2}\gamma f_u(\bar u_0(x),x,0) +O(\varepsilon^{n+3})+O(\varepsilon^{2n+2}),
\end{equation*}
\notag
для этого нужно почти дословно повторить выкладки из работы [2]. В силу условия 2 L_\varepsilon(w)<0 при достаточно малом \varepsilon, если n\geqslant 0. В то же время при достаточно малых \varepsilon имеем
\begin{equation*}
w(x_0,\varepsilon)=2\delta\varepsilon^{n+1}+O(\varepsilon^{n+2})<0.
\end{equation*}
\notag
Чтобы утверждение 1 было справедливо, функция w должна быть дважды непрерывно дифференцируемой на интервале (-1,1) и удовлетворять однородным граничным условиям. Однако из построения следует, что на границе функция удовлетворяет неравенствам w'(-1,\varepsilon)>0, w'(1,\varepsilon)<0 и является негладкой в точке x=x_0. Эти незначительные трудности можно преодолеть, если действовать аналогично тому, как это было сделано в работе [21], применив одну итерацию из итерационного процесса, подобного описанному в [18]. Таким образом, справедлива Теорема 2. При выполнении условий 1–4, 5б при достаточно малом \varepsilon>0 существует функция u_\varepsilon(x), являющаяся неустойчивым решением задачи (1), для которого выполняется неравенство
\begin{equation*}
|u_\varepsilon(x)-U_n(x,\varepsilon)|< C\varepsilon^{n+1},\qquad x\in[-1,1],
\end{equation*}
\notag
где C – положительная константа. Из теорем 1, 2 следует, что в случае, когда у уравнения K_1(p)=0 имеется конечное число простых корней p_j на интервале (\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0)), у задачи (1) существует столько же соответствующих им решений c внутренним переходным слоем в \varepsilon-окрестности точки разрыва x_0, устойчивость которых определяется знаком производной \frac{dK}{dp}(p_j). Пример такой ситуации приведен в п. 4.1. 4. Примеры4.1. Дрейфо-диффузионная модель полупроводникаУравнения типа (1) находят применение в дрейфо-диффузионной модели полупроводника. В одномерном случае система уравнений, связывающая напряженность электрического поля E(x) и концентрацию электронов n(x), выглядит следующим образом (см. [17]):
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial n}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x} \biggl[nV(E)+D\,\frac{\partial n}{\partial x}\biggr]=0, \\ \frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{4\pi q}{\epsilon}(n-n_0).\\ \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
Здесь D – коэффициент диффузии, который предполагается независящим от напряженности E (правомерность этого ограничения обоснована в [17]), V(E) – скорость дрейфа электронов, n_0(x) – равновесная концентрация электронов, q – абсолютная величина заряда электрона, \epsilon – диэлектрическая проницаемость полупроводника. Исключая в системе (20) n(x) и интегрируя по координате x, приходим к уравнению
\begin{equation}
D\epsilon\,\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} -\epsilon\,\frac{\partial E}{\partial t} +\epsilon V(E)\,\frac{\partial E}{\partial x} =4\pi\biggl(-j+Dq\,\frac{\partial n_0}{\partial x}+qV(E)n_0\biggr),
\end{equation}
\tag{21}
где j – полный ток через образец. Нас интересует полупроводник, имеющий N-образную зависимость скорости дрейфа электронов V от поля E, а следовательно, N-образную вольт-амперную характеристику. Такие полупроводники обладают участком вольт-амперной характеристики с отрицательным дифференциальным сопротивлением, к ним относятся, например, GaAs, AlGaAs. Согласно [22] зависимость V(E) в случае двухдолинной модели имеет вид
\begin{equation}
V(E)=E(\mu_{e \Gamma}F(E)+\mu_{eL}[1-F(E)]),\qquad F(E)=[1+(E/E_c)^a]^{-b},
\end{equation}
\tag{22}
где \mu_{e\Gamma}=5000\,\text{см}^2/\text{Вс}, \mu_{eL}=300\,\text{см}^2/\text{Вс} – значения подвижности электронов в центральной и боковой долинах, E_c=3\,\text{кВ}/\text{см} – значение поля насыщения, a=5.6, b=0.25 – материальные параметры GaAs. Пусть L – длина образца, n_{00}, V_0 – характерные величины для n(x) и V(E) соответственно. Введем безразмерные функции: \tilde x=x/L, \widetilde E=E/E_c, \widetilde V(u)=V/V_0, \tilde j=4\pi \lambda jL/qn_{00}D, \tilde n(\tilde x)=n(x)/n_{00}, \tilde n_0(\tilde x)=n_0(x)/n_{00}. Параметр \tilde j можно задавать постоянным, подключая образец к источнику постоянного тока. В стационарном случае в безразмерных переменных уравнение (21) принимает вид
\begin{equation}
\varepsilon^2\lambda\,\frac{\partial^2\widetilde E}{\partial\tilde x^2} +\varepsilon^2\widetilde V(\widetilde E)\, \frac{\partial\widetilde E}{\partial\tilde x} =-\tilde j+4\pi\lambda\,\frac{\partial\tilde n_0}{\partial\tilde x} +4\pi\tilde n_0\widetilde V(\widetilde E),
\end{equation}
\tag{23}
где \varepsilon^2=\epsilon E_c/Lqn_{00}, \lambda=D/LV_0 – безразмерные параметры. Для дальнейшего расчета были приняты следующие значения: \epsilon=13, q=4.8\cdot 10^{-10} Фр, L= 10^{-5} см, n_{00}=3.7\cdot 10^{19}\,\text{см}^{-3}, V_0=10^7 м/c, D=100\,\text{см}^2/\text{с}. При этих значениях \lambda=1, а \varepsilon=0.027 – достаточно малая величина. Можно сделать \varepsilon еще меньше, повысив характерную величину концентрации n_{00}. Наконец, уравнение (23) принимает вид уравнения из задачи (1), если положить u=\widetilde E, a(u)=-\widetilde V(u), f(u,x):=-\tilde j+4\pi\tilde n_0'-4\pi\tilde n_0a(u) (здесь и далее опустим тильды над x и оставим в этом подразделе один аргумент у функции a и два – у функции f). Поставим для простоты на концах полупроводника граничные условия 2-го рода, так как они не влияют на положение внутреннего переходного слоя, являющегося главным объектом исследования настоящей работы. Отметим, что пространственная неоднородность реактивного слагаемого f(u,x) определяется только неоднородностью функции n_0(x) равновесной концентрации электронов, которую называют также профилем легирования полупроводника. Хорошо известно, что неоднородности профиля легирования могут существенно влиять на распределение поля в образце (см., например, [17], [23]). Если функция n_0(x) является гладкой (пример такого профиля см. в [24]), то для приведенной дрейфо-диффузионной модели полупроводника имеют место результаты работы [1]. В работе [1] при условии гладкости реактивного слагаемого и других условиях на входные данные показаны существование и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения, обладающего внутренним переходным слоем, соответствующим обедненному электронами слою в полупроводнике. В частности, эти результаты будут применимы, если в условиях настоящей работы вместо условия 1 потребовать достаточной гладкости функций a и f. Местоположение точки перехода в этом случае заранее неизвестно, и ее координата определяется как корень x=x_0 уравнения I(x)=0. Особенность случая разрыва производной \partial f/\partial x, рассмотренного в настоящей работе, заключается в том, что в малой окрестности точки разрыва x_0 могут возникать сразу несколько переходных слоев, что не наблюдалось при гладкой реакции. Более того, здесь наблюдается интересный с точки зрения динамики слоев случай односторонней блокировки слоя (см. ниже). На данный момент, по сведению автора, никем не было рассмотрено влияние недостаточной гладкости профиля легирования n_0(x) на распределение поля в образце. Однако известно, что с помощью неравномерного добавления доноров в полупроводник можно добиться практически любой зависимости n_0(x) [25]. Кроме того, примеси, как правило, распределяются в образце неравномерно, а потому важно учесть влияние неоднородностей указанного типа в модели полупроводника. Выберем профиль легирования \tilde n_0(x) таким образом, чтобы функция \tilde n_0'(x) (а следовательно, и функция f(u,x)) была негладкой в точке x_0=0, например
\begin{equation*}
\tilde n_0(x)=\begin{cases} 1-0.03x^2, &x\in[-0.4,0], \\ 1+0.03 x^2, &x\in[0,0.4]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Итак, имеем задачу
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u)u'=f(u,x,\varepsilon),\qquad x\in(-0.4,0.4), \\ u'(\pm 0.4,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
где
\begin{equation*}
f(u,x)=\begin{cases} -\tilde j+4\pi(-0.06 x-(1-0.03x^2)a(u)), &u\in I_u,\quad x\in[-0.4,0], \\ -\tilde j+4\pi(0.06 x-(1+0.03x^2)a(u)), &u\in I_u,\quad x\in[0,0.4]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Очевидно, условие 1 выполнено. Из вида функции f понятно, что существует такое значение тока \tilde j, что выполняются условия 2, 3. Это соответствует случаю, когда равны площади фигур, ограниченных графиками функции \widetilde V(\widetilde E) и горизонтальной прямой (\tilde j-4\pi\,\frac{\partial\tilde n_0}{\partial\tilde x}(0))/4\pi\tilde n_0(0) (см. рис. 1а). Численные расчеты показывают, что для этого нужно положить \tilde j=15.2.  Рис. 1.Участок кривой зависимости скорости дрейфа \widetilde V от напряженности u=\widetilde E, пересекаемый горизонтальной прямой (\tilde j-4\pi\frac{\partial\tilde n_0}{\partial\tilde x}(0))/4\pi\tilde n_0(0) так, чтобы площади закрашенных фигур были равны (а). Зависимость функции K_1 от p для задачи (24) (б). Зависимость интеграла энергии I от координаты x (в). Функция K_1(p) имеет ровно два корня на промежутке (\varphi^{(-)}(0),\varphi^{(+)}(0)): p_{01}=1.66, \frac{dK_1}{dp}(p_{01})>0 и p_{02}=4.49, \frac{dK_1}{dp}(p_{02})<0 (см. рис. 1б). Согласно теоремам 2, 1 корням p_{01} и p_{02} отвечают соответственно неустойчивое и устойчивое решения задачи (24) с внутренним переходным слоем вблизи точки x=0. Как нетрудно видеть, функция I(x) пропорциональна энергии, необходимой для перевода участка полупроводника с координатой x из состояния с электрическим полем \widetilde E=\phi^{(-)}(x) в состояние с полем \widetilde E=\phi^{(+)}(x). По этой причине функцию I(x) назовем интегралом энергии. Она оказывается негладкой и неотрицательной (см. рис. 1в). Известно, что ее положительный знак определяет направление движения слоя слева направо [26], [8] и наоборот. Это полностью соответствует динамике подвижных слоев в окрестности точки x=0, задаваемой полученными выше устойчивым и неустойчивым решениями (см. рис. 2).  Рис. 2.Зависимость напряженности поля u=\widetilde E от координаты x (а). Сплошные кривые – асимптотика нулевого порядка для устойчивого решения задачи (24) (верхняя кривая), отвечающего уровню p_{01}=4.49, и неустойчивого решения (нижняя кривая), отвечающего уровню p_{02}=1.66. Тонкие кривые показывают динамику подвижных слоев и представляют собой численные решения начально-краевой задачи, соответствующей задаче (24), взятые через равные промежутки времени, с тремя различными начальными условиями, которые обозначены штриховыми кривыми. Пунктирные кривые – решения \phi^{(-)}(x) и \phi^{(+)}(x) вырожденного уравнения f(u,x)=0. Для каждого из решений, изображенных на рис. 2а, приведен график соответствующей этому решению функции концентрации электронов \tilde n(x) (б). Все обозначения, кроме пунктирных линий, те же, что на рис. 2а. Пунктирной линией здесь обозначена равновесная концентрация электронов \tilde n_{0}(x). Как следует из второго уравнения системы (20), функция \tilde v=\frac{\partial \tilde u}{\partial\tau} имеет смысл избыточной концентрации электронов, показывающей отклонение их концентрации n(x) от равновесной концентрации n_0(x) в нулевом приближении по \varepsilon. Тогда из экспоненциального затухания \tilde v при \tau\to\pm\infty следует, что в нулевом приближении вдали от переходного слоя концентрация электронов стремится к равновесной, а вблизи точки x=0 возникает обедненный электронами слой (см. рис. 2б). Таким образом, приведенный пример показывает, что в полупроводнике можно создать условия, при которых \varepsilon-окрестность точки разрыва оказывается доступна для подвижных слоев, обедненных электронами, приближающихся к ней слева, и заблокирована для таких слоев, находящихся справа от нее. Это дает возможность управления динамикой подвижных слоев в полупроводниках. 4.2. Случай тождественного баланса реакции относительно пространственной координатыРассмотрим следующую задачу:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2(u''-A(x)u')=F(u,x),\qquad -0.5<x<0.5, \\ F(u,x):=\begin{cases} c^{(+)}(x)u(u^2-1), &u\in I_u,\quad x\geqslant 0, \\ c^{(-)}(x)u(u^2-1), &u\in I_u,\quad x\leqslant 0, \end{cases} \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(-0.5,\varepsilon)=0,\qquad \dfrac{\partial u}{\partial x}(0.5,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{25}
Пусть
\begin{equation}
c^{(\pm)}(x)>0,\qquad x\in[-0.5,0.5],\qquad \frac{dc^{(+)}}{dx}(0) -\frac{dc^{(-)}}{dx}(0)>0.
\end{equation}
\tag{26}
Очевидно, условия 1, 2 выполнены, причем Условие 3 также выполняется, причем I(x)\equiv 0, x\in[-0.5,0.5]. Такой случай называется случаем тождественного баланса реакции относительно пространственной координаты x. Подробнее остановимся на проверке условий 4, 5а. Функции K_1(p) и K'_1(p) принимают вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1(p)&=-A(0)\int_{-1}^1v(u)\,du +\biggl[\frac{dc^{(\pm)}}{dx}(0) \int_{\pm 1}^p(u^2-1)u\tau(u,p)\,du\biggr]^+_-, \\ K'_1(p)&=-\frac{1-p^2}{2\sqrt{2c^{(+)}(0)}} \biggl[\frac{dc^{(\pm)}}{dx}(0)\biggr]^+_-. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу (26) K'_1(p)<0 при любых p\in(-1,1). Таким образом, если у уравнения K_1(p)=0 есть решение p=p_0 на промежутке (-1,1), то оно единственно на этом промежутке. Положим A(x)=0.2, c^{(+)}(x)=1+x, c^{(-)}(x)=1, тогда вычисления дают p_0=0.13 (см. рис. 3а). Соответствующее устойчивое решение задачи (25) с динамикой подвижного слоя в его окрестности показано на рис. 3б.  Рис. 3.Зависимость K_1 от p для задачи (25) (а). Сплошная кривая – асимптотика нулевого порядка для задачи (25) (б). Тонкие кривые показывают динамику подвижных слоев и представляют собой численные решения начально-краевой задачи, соответствующей задаче (25), взятые через равные промежутки времени, с начальным условием, которое обозначено штриховой кривой. Пунктирные кривые – решения \phi^{(-)}(x)=-1 и \phi^{(+)}(x)=1 вырожденного уравнения F(u,x)=0. БлагодарностиАвтор выражает благодарность профессору Н. Н. Нефедову и профессору Д. А. Бандурину за плодотворные обсуждения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nik23}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|