В. Г. Бардаков, Д. В. Талалаев, “Расширения множеств Янга–Бакстера”, ТМФ, 215:2 (2023), 176–189; Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 609

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 215, номер 2, страницы 176–189
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10383 (Mi tmf10383)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Расширения множеств Янга–Бакстера

В. Г. Бардаков^abc, Д. В. Талалаев^de

^a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия
^b Новосибирский государственный аграрный университет, Новосибирск, Россия
^c Региональный научно-образовательный математический центр Томского государственного университета, Томск, Россия
^d Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
^e Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия

PDF полного текста (446 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10383

Аннотация: Сделан первый шаг в построении категории сплетеных множеств и ее ближайшего родственника – категории множеств Янга–Бакстера. Основной акцент делается на построении морфизмов и расширений множеств Янга–Бакстера. Важность такой проблемы обусловлена возможностью построения новых решений уравнения Янга–Бакстера и уравнения косы. Основным результатом является описание семейства решений уравнения Янга–Бакстера на

$B\otimes C$ и на

$B\times C$ , если заданы соответственно

$(B,R^B)$ и

$(C,R^C)$ – два линейных (теоретико-множественных) решения уравнения Янга–Бакстера на компонентах.

Ключевые слова: уравнение Янга–Бакстера, теоретико-множественное решение, алгебра Хопфа, квандл, расширение множеств Янга–Бакстера, произведение множеств Янга–Бакстера, твист Дринфельда.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	20-71-10110
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	075-02-2021-1392
Разделы 1 и 2 данной работы были выполнены при поддержке Российского научного фонда (грант 20-71-10110), который финансирует работу Д. Талалаева в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова. Работа над разделами 3 и 4 была выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (договор № 075-02-2023-943).

Поступило в редакцию: 13.10.2022
После доработки: 01.12.2022

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages 609–621
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050021

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

Решение квантового уравнения Янга–Бакстера (ЯБ) представляет собой линейное отображение $R\colon V\otimes V\to V\otimes V$ , удовлетворяющее уравнению

$\begin{equation} R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}, \end{equation} \tag{1.1}$

где

$V$ – векторное пространство над полем

$K$ и

$R_{ij}\colon V\otimes V\otimes V\to V\otimes V\otimes V$ действует как

$R$ на

$(i,j)$ -й тензорной компоненте и тривиально на остальных множителях. Бухштабер [1] назвал отображение

$R$ , которое удовлетворяет уравнению ЯБ отображением ЯБ. Пара

$(V,R)$ называется решением уравнения ЯБ или просто решением.

Уравнение ЯБ (уравнение 2-симплекса или уравнение треугольника) играет важнейшую роль в математической физике и маломерной топологии. Оно лежит в основе теории квантовых групп, точно решаемых моделей статистической механики, теории узлов, теории кос. Впервые оно появилось в статье Янга [2] в рамках проблемы многих тел. Затем Бакстер [3] ввел это уравнение как условие коммутативности трансферматриц для изучения точно решаемых вершинных моделей в статистической механике. Другим способом уравнение ЯБ выводится путем факторизации $S$ -матриц в $(1+1)$ -мерной квантовой теории поля (см. статьи Замолодчикова [4], [5]). Решения этого уравнения также важны в квантовом методе обратной задачи в теории интегрируемых систем [6], [7].

Дринфельд [8] предложил сосредоточиться на определенном классе решений: теоретико-множественных решениях, т. е. таких, для которых векторное пространство $V$ порождено множеством $X$ и $R$ является линейным оператором, индуцированным отображением $R\colon X\times X\to X\times X$ . В этом случае мы говорим, что $(X,R)$ – теоретико-множественное решение или просто решение уравнения ЯБ. Мы также называем пару $(X,R)$ множеством ЯБ. Теоретико-множественные решения непосредственно связаны, например, с группами I-типа, группами Бибербаха, биективными 1-коциклами, теорией Гарсайда и широким классом интегрируемых дискретных динамических систем [9]–[11].

Легко видеть, что для любого $X$ отображение $P(x,y)=(y,x)$ дает теоретико-множественное решение уравнения ЯБ. С другой стороны, если $R$ – решение уравнения ЯБ, то отображение $S=PR$ удовлетворяет уравнению косы

$\begin{equation*} (S\times \mathrm{id} )( \mathrm{id} \times S)(S\times \mathrm{id} )=( \mathrm{id} \times S)(S\times \mathrm{id} )( \mathrm{id} \times S) \end{equation*} \notag$

– определяющему соотношению в группе кос

$B_n$ . Топологически уравнение косы символизирует третье движение Рейдемейстера плоских диаграмм зацеплений. В 1980-х гг. Джойс [12] и Матвеев [13] ввели квандлы как инварианты узлов и зацеплений и доказали, что любой квандл дает элементарное теоретико-множественное решение уравнения косы.

В настоящей статье мы развиваем точку зрения на решения уравнения ЯБ или на плетения, согласно которой они рассматриваются как представители структуры PROP с морфизмами биарности $(2,2)$ [14]. Напомним, что PROP – это обобщение понятия операды с операциями высшей валентности, в частности с операцией, которая дает пару значений для заданных двух аргументов. Эти структуры имеют большое значение при изучении многозначных групп [15]. Алгебры над PROP с морфизмами биарности (2,2) дают интерполяцию между алгебрами и коалгебрами. По-видимому, именно поэтому уравнение ЯБ играет такую значительную роль в теории биалгебр Ли и алгебр Хопфа. В этом контексте большое значение имеют следующие вопросы: функторы и эквивалентности между такими структурами PROP, расширения таких категорий и их возможные классификации. Оказывается, что в отличие от понятия расширения, которое естественно в категории групп, здесь понятие, близкое к бискрещенному произведению групп, является более общим и значимым. С этим связан основной результат настоящей работы. Мы развиваем формализм расширений в категории векторных пространств в случае расширений квазитреугольных алгебр Хопфа и в теоретико-множественном случае.

Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем известные факты об алгебрах Хопфа и расширениях сплетеных множеств, связанных с групповыми структурами. В разделах 3 и 4 мы подробно описываем процедуры расширения алгебр Хопфа и расширения в теоретико-множественном случае соответственно.

2. Предварительные сведения

2.1. Алгебра Хопфа

Напомним некоторые обозначения теории алгебр Хопфа (см., например, [16]). Алгебра Хопфа $(H,m,\Delta,\varepsilon,S)$ над полем $K$ – это ассоциативная алгебра с умножением $m$ , коассоциативным коумножением

$\begin{equation*} \Delta\colon H\to H\otimes H, \end{equation*} \notag$

которое является гомоморфизмом алгебр, коединицей

$\varepsilon\colon H\to K$ , такой что

$\begin{equation*} \sum h_i^{(1)}\varepsilon(h_i^{(2)})=\sum\varepsilon(h_i^{(1)})h_i^{(2)},\quad\text{где}\quad \Delta(h)=\sum h_i^{(1)}\otimes h_i^{(2)}, \end{equation*} \notag$

антиподом, который является антигомоморфизмом

$S\colon H\to H$ , таким что

$\begin{equation*} \sum h_i^{(1)}\cdot S(h_i^{(2)})=\sum S(h_i^{(1)})\cdot h_i^{(2)}=\varepsilon(h)\cdot 1. \end{equation*} \notag$

Пример 2.1. Пусть $G$ – группа, $K[G]$ – ее групповая алгебра. Определим коумножение $\Delta$ , коединицу $\varepsilon$ и антипод $S$ на элементах из $G$ по формулам

$\begin{equation*} \Delta(g)=g\otimes g,\qquad\varepsilon(g)=1,\qquad S(g)=g^{-1} \end{equation*} \notag$

и продолжим их по линейности на

$K[G]$ . Получим кокоммутативную алгебру Хопфа.

Пример 2.2. Пусть $G$ – конечная группа. Алгебра Хопфа $K[G]^*$ имеет базис $P_g$ , $g\in G$ , на котором коумножение и умножение определены следующим образом:

$\begin{equation*} \Delta(P_g)=\sum_h P_h\otimes P_{h^{-1}g},\qquad P_g P_h=\delta_{g,h}P_g. \end{equation*} \notag$

Это значит, что

$\{P_g\mid g\in G\}$ – набор попарно ортогональных идемпотентов, сумма которых равна единице. Далее, коединица определена равенствами

$\begin{equation*} \varepsilon(P_1)=1,\qquad\varepsilon(P_g)=0,\quad g\in G,\quad g\neq 1, \end{equation*} \notag$

а антипод строится так:

$S(P_g)=P_{g^{-1}}$ .

2.2. Расширения множеств ЯБ

Пусть $X$ – непустое множество и отображение $R\colon X\times X\to X\times X$ есть решение уравнения ЯБ

$\begin{equation*} R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}. \end{equation*} \notag$

Обозначим компоненты решения

$R$ как

$R(x,y)=(\sigma_y(x),\tau_x(y))$ для

$x,y\in X$ . Пусть

$(X,R^X)$ и

$(Y,R^Y)$ – два множества ЯБ. Отображение

$f\colon X\to Y$ называется морфизмом, если следующая диаграмма коммутативна:

т. е. для любых

$x,x'\in X$ выполняется равенство

$R^Y (f\times f)(x,x')=(f\times f)R^X (x,x')$ . Для любого

$y\in Y$ мы можем рассмотреть прообраз

$\begin{equation*} f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}. \end{equation*} \notag$

Мы говорим, что отображение

$f$ однородно, если мощности всех прообразов

$f^{-1}(y)$ равны. В этом случае мы можем найти набор различных элементов

$y_i$ ,

$i\in I$ , таких что

$X$ имеет вид

$\begin{equation*} X=\coprod_{i\in I} f^{-1}(y_i). \end{equation*} \notag$

Если для некоторого

$k\in I$ выполняется включение

$\begin{equation*} R^X (f^{-1}(y_k)\times f^{-1}(y_k))\subseteq f^{-1}(y_k)\times f^{-1}(y_k), \end{equation*} \notag$

то мы говорим, что существует гомоморфизм решения

$(X,R^X)$ в решение

$((Y,y_k),R^Y)$ с ядром

$(f^{-1}(y_k),R_{f^{-1}(y_k)})$ .

В некоторых задачах возникают различные соотношения эквивалентности между решениями уравнения ЯБ. В случае со сплетенным множеством было найдено так называемое гитарное отображение, которое преобразует решение на множестве $X$ в решение особого вида

$\begin{equation*} R'(x,y)=(\sigma_y(\tau_{\sigma^{-1}_x(y)}(x)),y). \end{equation*} \notag$

Это преобразование было введено Соловьевым [17] и развито в работе Лебедь и Вендрамина [18].

2.3. Расширение сплетеных множеств, связанных с групповой структурой

Напомним некоторые идеи и результаты работы [19]. Решение $S$ уравнения косы

$\begin{equation} S_{12}S_{23}S_{12}=S_{23}S_{12}S_{23} \end{equation} \tag{2.1}$

может быть связано с решением вида

$R(x,y)=PS(x,y)$ для уравнения ЯБ. Напомним также, что

$X$ называется сплетенным множеством, если

$X$ снабжено отображением

$S\colon X^2\to X^2$ , являющимся решением уравнения косы (2.1).

Определение 2.1. Будем называть множество $X$ с бинарной операцией $\ast$ самодистрибутивным, если $\ast$ удовлетворяет равенству $(x\ast y)\ast z=(x\ast z)\ast(y\ast z)$ .

Предложение 2.1. Множество $(X,\ast)$ самодистрибутивно тогда и только тогда, когда отображение $S_\ast(x,y)\stackrel{\rm def}{=}(y,x\ast y)$ определяет на $X$ структуру сплетенного множества.

Пример 2.3. Любая группа $G$ с операцией сопряжения $x\ast y=y^{-1}xy$ является самодистрибутивным множеством. Мы называем такие самодистрибутивные множества групповыми.

Эти наблюдения позволяют ассоциировать группы со сплетеными множествами. В частности, это позволяет описывать расширения групповых сплетеных множеств на основе хорошо развитой теории расширений групп, определяемых соответствующими групповыми когомологиями [20]. Эта идея используется в [19] (см. также [21]) для описания решений параметрического уравнения ЯБ.

3. Расширение квазитреугольных алгебр Хопфа

Напомним, что квазитреугольной алгеброй Хопфа называется алгебра Хопфа $A$ , такая что существует обратимый элемент $R\in A\otimes A$ (квантовая $R$ -матрица), удовлетворяющий соотношению

$\begin{equation*} \Delta^{\mathrm{op}}(a)=R\Delta(a) R^{-1},\qquad a\in A, \end{equation*} \notag$

и условию совместности

$\begin{equation*} (\Delta\otimes \mathrm{id} )R=R_{23}R_{13},\qquad ( \mathrm{id} \otimes\Delta)R=R_{12}R_{13}. \end{equation*} \notag$

Отсюда следует, что

$R$ удовлетворяет квантовому уравнению ЯБ

$\begin{equation*} R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}. \end{equation*} \notag$

“Классический аналог” квазитреугольной алгебры Хопфа возникает в контексте алгебр Ли. Биалгебра Ли – это пара $(\mathfrak{g},\mathfrak{g}^*)$ алгебр Ли, для которых двойственное отображение к коммутатору на $\mathfrak{g}^*$ , $c\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}\land\mathfrak{g}$ , является коциклом относительно присоединенного представления. Биалгебра Ли называется квазитреугольной, если она оснащена элементом $r\in\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}$ (классической $r$ -матрицей), удовлетворяющим “инфинитезимальным версиям” условий для $R$ ; наиболее важным из них является классическое уравнение ЯБ

$\begin{equation*} [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{12},r_{23}]=0. \end{equation*} \notag$

Здесь мы считаем

$\mathfrak{g}$ подпространством в

$U(\mathcal{\mathfrak{g}})$ .

3.1. Произведение алгебр Хопфа

Напомним некоторые определения и конструкции теории алгебр Хопфа, которые можно найти в [22] (глава 4).

Алгебра Хопфа $A$ над коммутативным кольцом $k$ называется почти кокоммутативной, если найдется обратимый элемент $R\in A\otimes A$ , такой что $\Delta^{\mathrm{op}}(a)=R\Delta(a) R^{-1}$ для любого $a\in A$ .

Известная конструкция произведения алгебр Хопфа строится следующим образом. Пусть $B(\Delta^B,\varepsilon^B,S^B,R^B)$ и $C(\Delta^C,\varepsilon^C,S^C,R^C)$ – алгебры Хопфа над коммутативным кольцом $K$ и $R\in C\otimes B$ есть обратимый элемент, такой что

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} (\Delta^C\otimes \mathrm{id} )R&=R_{23}R_{13},&\qquad ( \mathrm{id} \otimes\Delta^B)R&=R_{12}R_{13}, \\ ( \mathrm{id} \otimes S^B)R&=R^{-1},&\qquad (S^C\otimes \mathrm{id} )R&=R^{-1}. \end{alignedat} \end{equation} \tag{3.1}$

Тогда тензорное произведение

$B\otimes C$ может быть наделено структурой алгебры Хопфа с умножением как на тензорном произведении алгебр, коумножением

$\begin{equation*} \Delta(b\otimes c)=R_{23}^{}\Delta_{13}^B(b)\Delta_{24}^C(c) R_{23}^{-1}, \end{equation*} \notag$

антиподом

$\begin{equation*} S(b\otimes c)=R_{21}^{-1}(S^B(b)\otimes S^C(c))R_{21}^{} \end{equation*} \notag$

и коединицей

$\begin{equation*} \varepsilon(b\otimes c)=\varepsilon^B(b)\varepsilon^C(c). \end{equation*} \notag$

Эта алгебра обозначается как

$B\mathop{\otimes}\limits_R C$ .

Теорема 3.1. Пусть в рамках предыдущей конструкции алгебры Хопфа $B$ , $C$ квазитреугольные, т. е. такие что коумножение является квазикоммутативным,

$\begin{equation*} (\Delta^B)^{\mathrm{op}}=R^B\Delta^B (R^B)^{-1},\qquad (\Delta^C)^{\mathrm{op}}=R^C\Delta^C (R^C)^{-1}, \end{equation*} \notag$

и, кроме того, выполняются следующие условия:

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} (\Delta^B\otimes \mathrm{id} )R^B&=R_{13}^B R_{23}^B,&\qquad ( \mathrm{id} \otimes\Delta^B)R^B&=R_{13}^B R_{12}^B, \\ (\Delta^C\otimes \mathrm{id} )R^C&=R_{13}^C R_{23}^C,&\qquad ( \mathrm{id} \otimes\Delta^C)R^C&=R_{13}^C R_{12}^C. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

В этом случае алгебра Хопфа

$B\otimes C$ также является квазитреугольной со структурным элементом (квантовой

$R$ -матрицей)

$\begin{equation*} \mathcal R=R_{41}^{}R_{13}^B R_{24}^C R_{23}^{-1}. \end{equation*} \notag$

Часть этой теоремы можно найти в [23].

Доказательство. Представим коумножение с обращенным порядком на

$B\otimes C$ в виде

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Delta^{\mathrm{op}}(b\otimes c)&= P_{13}^{}P_{24}^{}\Delta(b\otimes c)=R_{41}^{}(\Delta_{13}^B)^{\mathrm{op}}(b)(\Delta_{24}^C)^{\mathrm{op}}(c) R_{41}^{-1}= \\ &=R_{41}^{}R_{13}^B\Delta_{13}^B(b)(R_{13}^B)^{-1}R_{24}^C\Delta_{24}^C(c)(R_{24}^C)^{-1}R_{41}^{-1}= \\ &=R_{41}^{}R_{13}^B R_{24}^C R_{23}^{-1}\Delta(b\otimes c) R_{23}^{}(R_{13}^B)^{-1}(R_{24}^C)^{-1}R_{41}^{-1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$\begin{equation*} \Delta^{\mathrm{op}}(b\otimes c)=\mathcal R\Delta(b\otimes c)\mathcal R^{-1}. \end{equation*} \notag$

Теперь докажем, что эта алгебра Хопфа является квазитреугольной. Выведем несколько следствий из условий (3.1) на

$R$ , а именно, покажем, что

$\begin{equation} R_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{23}^{}R_{12}^C,\qquad R_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{12}^{}R_{23}^B. \end{equation} \tag{3.2}$

Мы будем использовать мультииндексы для обозначения внутренних компонент тензора, например,

$\mathcal R=R_{41}^{}R_{13}^BR_{24}^C R_{23}^{-1}$ индексируется как

$\mathcal R_{(12)(34)}^{}$ . Это подчеркивает, что

$\mathcal R$ – элемент пространства

$(B\otimes C)\otimes (B\otimes C)$ . Докажем, что

$\begin{equation} (\Delta_{(12)}\otimes \mathrm{id} )\mathcal R=\mathcal R_{(12)(56)}\mathcal R_{(34)(56)}. \end{equation} \tag{3.3}$

Правая часть этого выражения принимает вид

$\begin{equation} R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{25}^{-1}R_{63}^{}R_{35}^B R_{46}^C R_{45}^{-1}. \end{equation} \tag{3.4}$

Мы будем вычислять левую часть последовательно. Сначала применим операцию

$P_{23}(\Delta^B\otimes\Delta^C\otimes \mathrm{id} \otimes \mathrm{id} )$ к

$\mathcal R_{(12)(34)}$ . Получим

$R_{61}^{}R_{63}^{}R_{15}^B R_{35}^B R_{26}^C R_{46}^C R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}$ . Затем сопрягаем выражение с помощью

$R_{23}^{}$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, R_{23}^{}R_{61}^{}R_{63}^{}R_{15}^B R_{35}^B R_{26}^C R_{46}^C R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}&= R_{61}^{}\underbrace{R_{23}^{}R_{63}^{}R_{26}^C}\,\underline{R_{15}^B}R_{35}^B\underline{R_{46}^C}R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}, \\ R_{61^{}}\underline{R_{15}^B}\,\underbrace{R_{26}^C R_{63}^{}R_{23}^{}}R_{35}^B R_{25}^{-1}\underline{R_{46}^C}R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}&= R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{63}^{}\underbrace{R_{23}^{}R_{35}^B R_{25}^{-1}}R_{46}^C R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}, \\ R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{63}^{}\underbrace{R_{23}^{}R_{35}^B R_{25}^{-1}}R_{46}^C R_{45}^{-1}\underline{R_{23}^{-1}}&= R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{63}^{}\underbrace{R_{25}^{-1}R_{35}^B R_{23}^{}}\,\underline{R_{23}^{-1}}R_{46}^C R_{45}^{-1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Это выражение совпадает с (3.4). Здесь мы применили (3.2), соответствующие множители выделены нижней фигурной скобкой. Подчеркиванием мы выделили множители, которые можно свободно переставлять. Аналогично доказывается тождество

$\begin{equation*} ( \mathrm{id} \otimes\Delta_{(34)})\mathcal R=\mathcal R_{(12)(56)}\mathcal R_{(12)(34)}. \end{equation*} \notag$

Теорема доказана.

Замечание. Результат теоремы позволяет, в частности, строить новые решения уравнения ЯБ в случае $C=B$ следующим образом. Рассмотрим $R^C=R^B$ и возьмем $R=R^B_{21}$ . Условия (3.1) выполняются. Проверим второе условие. Мы можем переписать $R$ в виде $R^B_{21}=P_{12}^{}R^B P_{12}^{}$ . Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, ( \mathrm{id} \otimes\Delta^B) R&=( \mathrm{id} \otimes\Delta^B)P_{12}R^B P_{12}=P_{12}P_{23}(\Delta^B\otimes \mathrm{id} )R^B P_{23}P_{12}= \\ &=P_{12}^{}P_{23}^{}R^B_{13}R^B_{23}P_{23}^{}P_{12}^{}=R^B_{21}R^B_{31}=R_{12}^{}R_{13}^{}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Выражение для

$\mathcal R$ в этом случае принимает вид

$\mathcal R=R^B_{14}R^B_{13}R^B_{24}(R^B_{32})^{-1}$ . По нашей теореме этот оператор дает решение уравнения ЯБ, но при этом отличается от известного решения

$\widetilde{\mathcal R}=R^B_{14}R^B_{13}R^B_{24}R^B_{23}$ и совпадает с ним только в инволютивном случае.

Пример 3.1. Пусть $(X, *)$ – рэк, т. е. самодистрибутивный группоид, в котором имеется операция $\mathop{\bar{*}}\nolimits \colon X\times X\to X$ , такая что

$\begin{equation*} (x*y) \mathop{\bar{*}}\nolimits y=x=(x \mathop{\bar{*}}\nolimits y)*y,\qquad x,y\in X. \end{equation*} \notag$

Тогда отображение

$\begin{equation*} R\colon X\times X\to X\times X,\qquad R(x,y)=(x,y*x),\quad x,y\in X, \end{equation*} \notag$

дает элементарное (одна компонента фиксирована) обратимое решение уравнения ЯБ. Его обратное отображение

$R^{-1}$ определяется правилом

$R^{-1}(x,y)=(x,y \mathop{\bar{*}}\nolimits x)$ . Кроме того,

$R_{21}=P_{12}R P_{12}$ определяется по правилу

$R_{21}(x,y)=(x*y,y)$ . Также верны равенства

$\begin{equation*} R^{-1}_{21}(x,y)=(x \mathop{\bar{*}}\nolimits y,y),\qquad R_{12}^{}R_{21}^{}(x,y)=(x *y,y*(x*y)). \end{equation*} \notag$

Найдем действие отображения

$\mathcal R=R_{14}^{}R_{13}^{}R_{24}^{}R_{32}^{-1}$ на

$X^4$ . Имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal R(x_1,y_1,x_2,y_2)&=R_{14}^{}R_{13}^{}R_{24}R_{32}^{-1}(x_1,y_1,x_2,y_2)= R_{14}^{}R_{13}^{}R_{24}^{}(x_1,y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2,x_2,y_2)= \\ &=R_{14}R_{13}(x_1,y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2,x_2,y_2*(y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2))= \\ &=R_{14}(x_1,y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2,x_2*x_1,y_2*(y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2))= \\ &=(x_1,y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2,x_2*x_1,(y_2*(y_1 \mathop{\bar{*}}\nolimits x_2))*x_1). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Замечание. Есть и другая возможность определить решение на квадрате $X^2$ рэка $X$ . Мы можем определить операцию на $X^2$ и решение на $X^2$ так же, как в начале предыдущего примера. Но в этом случае получаем элементарное решение.

3.2. Твист Дринфельда

Пусть $T\in GL(V\otimes V)$ удовлетворяет соотношению косы

$\begin{equation*} T_{12} T_{23} T_{12}=T_{23} T_{12} T_{23}. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим

$F\in GL(V\otimes V)$ , а также элементы

$\Psi,\Phi\in GL(V\otimes V\otimes V)$ , такие что

$\begin{equation*} F_{12}\Psi=F_{23}\Phi,\qquad \Phi T_{23}=T_{23}\Phi,\qquad \Psi T_{12}=T_{12}\Psi. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\widehat T=F T F^{-1}$ также удовлетворяет уравнению косы:

$\begin{equation*} \widehat T_{12}\widehat T_{23}\widehat T_{12}=\widehat T_{23}\widehat T_{12}\widehat T_{23}. \end{equation*} \notag$

Такое преобразование называется твистом Дринфельда [24]. Эта конструкция была первоначально предложена в контексте деформаций квазитреугольных алгебр Хопфа. На самом деле построение теоремы 3.1 можно рассматривать как версию твиста Дринфельда. Действительно, перейдем к обозначениям кос с помощью транспозиций

$P^B$ и

$P^C$ в

$B\otimes B$ и

$C\otimes C$ соответственно:

$\begin{equation*} T^B=P^B R^B,\qquad T^C=P^C R^C,\qquad \widehat{\mathcal T}_{(12)(34)}=P^B_{13}P^C_{24}\mathcal R_{(12)(34)}^{}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\widehat{\mathcal T}_{(12)(34)}\mathcal{T}=R_{23}^{}T^B_{13}T^C_{24}R_{23}^{-1}$ может рассматриваться как сопряжение элементом

$R_{23}$ очевидного решения

$\mathcal T_{(12)(34)}^{}=T^B_{13} T^C_{24}$ для соотношения косы на тензорном произведении

$B\otimes C$ . Сравним это преобразование с твистом Дринфельда. В терминах

$T^B$ и

$T^C$ уравнения (3.2) принимают вид

$\begin{equation} T_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{23}^{}R_{13}^{}T_{12}^C,\qquad T_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{12}^{}R_{13}^{}T_{23}^B. \end{equation} \tag{3.5}$

Чтобы получить именно такой твист Дринфельда, мы должны найти подходящие элементы

$\Psi$ и

$\Phi$ в

$(B\otimes C)^{\otimes^3}$ , т. е. такие, которые удовлетворяют равенствам

$\begin{equation} \begin{aligned} \, F_{(12)(34)}\Psi_{(12)(34)(56)}&=F_{(34)(56)}\Phi_{(12)(34)(56)}, \\ \Phi_{(12)(34)(56)}^{}T_{35}^B T_{46}^C&=T_{35}^B T_{46}^C\Phi_{(12)(34)(56)}^{}, \\ \Psi_{(12)(34)(56)}^{}T_{13}^B T_{24}^C&=T_{13}^B T_{24}^C\Psi_{(12)(34)(56)}^{}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.6}$

Вследствие уравнений (3.5), если положить

$\Phi=R_{23}R_{25}$ и

$\Psi=R_{45}R_{25}$ , мы получим соотношения (3.6). Этот выбор был подсказан работой [25].

3.3. Инфинитезимальная версия в тензорном случае

В этом пункте мы получаем классический предел теоремы 3.1.

Теорема 3.2. Пусть $r^B$ и $r^C$ – решения классического уравнения ЯБ на алгебрах Ли $B$ и $C$ соответственно, а $r$ удовлетворяет уравнениям

$\begin{equation} [r_{12}^C,r_{13}^{}+r_{23}^{}] =[r_{23}^{},r_{13}^{}], \end{equation} \tag{3.7}$

$\begin{equation} [r_{12}^B,r_{12}^{}+r_{13}^{}] =[r_{12}^{},r_{13}^{}]. \end{equation} \tag{3.8}$

Тогда

$\begin{equation*} \tilde r_{(12)(34)}^{}=r^B_{13}+r^C_{24}+r_{41}^{}-r_{23}^{} \end{equation*} \notag$

является решением классического уравнения ЯБ на

$B\otimes C$ .

Доказательство. Классическое уравнение ЯБ в данном случае принимает вид

$\begin{equation*} [\tilde r_{(12)(34)},\tilde r_{(12)(56)}+\tilde r_{(34)(56)}]+[\tilde r_{(12)(56)},\tilde r_{(34)(56)}]=0. \end{equation*} \notag$

Это уравнение можно переписать как

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, [r_{13}^B+r_{24}^C+r_{41}^{}-r_{23}^{},r_{15}^B&+r_{26}^C+r_{61}^{}-r_{25}^{}+r_{35}^B+r_{46}^C+r_{63}^{}-r_{45}^{}]+{} \\ &+[r_{15}^B+r_{26}^C+r_{61}^{}-r_{25}^{},r_{35}^B+r_{46}^C+r_{63}^{}-r_{45}^{}]=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Все коммутаторы операторов

$r_{ij}^B$ и

$r_{kl}^B$ дают классическое уравнение ЯБ для

$r^B$ :

$\begin{equation*} [r_{13}^B,r_{15}^B]+[r_{13}^B,r_{35}^B]+[r_{15}^B,r_{35}^B]=0. \end{equation*} \notag$

То же самое мы получаем для коммутаторов

$r^C$ -операторов. Можно заметить, что коммутаторы между

$r^B$ - и

$r^C$ -операторами тривиальны из-за их локализации в разных тензорных компонентах. Рассмотрим подробно коммутаторы

$r_{13}^B$ с разными экземплярами матрицы

$r$ . Вследствие (3.8) мы имеем

$\begin{equation*} [r_{13}^B,r_{61}^{}+r_{63}^{}]+[r_{61}^{},r_{63}^{}]=0. \end{equation*} \notag$

Аналогичные формулы получаются при приведении других членов.

Замечание. Условия (3.7) и (3.8) для $r$ , которые необходимы для расширения в инфинитезимальном случае, могут быть выражены как условие Маурера–Картана в некоторой дифференциальной градуированной алгебре Ли. Мы полагаем, что в данном случае это содержательная версия когомологического описания расширений. Мы собираемся представить более точную формулировку этого подхода в следующей работе.

4. Расширения в теоретико-множественном случае

4.1. Произведение множеств ЯБ

Рассмотрим следующий вопрос. Пусть $B$ и $C$ – два непустых множества, $R^B\colon B\times B\to B\times B$ и $R^C\colon C\times C\to C\times C$ – отображения ЯБ на них. Это означает, что отображения удовлетворяют уравнениям

$\begin{equation*} R^B_{12}R^B_{13}R^B_{23}=R^B_{23}R^B_{13}R^B_{12},\qquad R^C_{12}R^C_{13}R^C_{23}=R^C_{23}R^C_{13}R^C_{12}. \end{equation*} \notag$

Какие отображения ЯБ можно определить на произведении

$B\times C$ ?

Есть очевидный способ: взять прямое произведение $R^B\times R^C$ , которое действует по правилу

$\begin{equation*} (R^B\times R^C)((b_1,c_1),(b_2,c_2))=((\sigma_{b_2}^B(b_1),\sigma_{c_2}^C(c_1)),(\tau_{b_1}^B(b_2),\tau_{c_1}^C(c_2))), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} R^B(b_1, b_2)=(\sigma_{b_2}^B(b_1),\tau_{b_1}^B(b_2)),\qquad R^C(c_1, c_2)=(\sigma_{c_2}^C(c_1),\tau_{c_1}^C(c_2)). \end{equation*} \notag$

Замечание. Если $B$ и $C$ – это не только множества, но и некоторые алгебраические системы (группы, рэки, бирэки, косые брэйсы), мы можем использовать расширения этих систем. Групповой случай более подробно описан в п. 2.3. Обычно в этих конструкциях роли множеств $B$ и $C$ несимметричны: одно из них является образом гомоморфизма, а второе – ядром.

Определим отображение $R\colon C\times B\to C\times B$ , $R(c,b)=(\mu(c, b),\nu(c, b))$ , такое что

$\begin{equation*} R^B_{23}R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{12}^{}R^B_{23},\qquad R^C_{12}R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{23}^{}R^C_{12}. \end{equation*} \notag$

Обе стороны первого равенства являются отображениями

$C\times B\times B\to C\times B\times B$ , второго – отображениями

$C\times C\times B\to C\times C\times B$ .

Очевидна следующая лемма.

Лемма 4.1. Имеют место следующие соотношения:

$\begin{equation} R_{15}^B R_{41}^{}R_{45}^{} =R_{45}^{}R_{41}^{}R_{15}^B, \end{equation} \tag{4.1а}$

$\begin{equation} R_{45}^{-1}R_{15}^B R_{41}^{} =R_{41}^{}R_{15}^B R_{45}^{-1}, \end{equation} \tag{4.1б}$

$\begin{equation} R_{35}^B R_{23}^{}R_{25}^{} =R_{25}^{}R_{23}^{}R_{35}^B, \end{equation} \tag{4.1в}$

$\begin{equation} R_{23}^{-1}R_{25}^{-1}R_{35}^B =R_{35}^B R_{25}^{-1}R_{23}^{-1}, \end{equation} \tag{4.1г}$

$\begin{equation} R^B_{13}R_{61}^{}R_{63}^{} =R_{63}^{}R_{61}^{}R^B_{13}, \end{equation} \tag{4.1д}$

$\begin{equation} R_{26}^C R_{63}^{}R_{23}^{} =R_{23}^{}R_{63}^{}R_{26}^C, \end{equation} \tag{4.1е}$

$\begin{equation} R_{23}^{-1}R_{26}^C R_{63}^{} =R_{63}^{}R_{26}^C R_{23}^{-1}, \end{equation} \tag{4.1ж}$

$\begin{equation} R_{24}^C R_{45}^{}R_{25}^{} =R_{25}^{}R_{45}^{}R_{24}^C, \end{equation} \tag{4.1з}$

$\begin{equation} R_{45}^{-1}R_{25}^{-1}R_{24}^C =R_{24}^C R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}, \end{equation} \tag{4.1и}$

$\begin{equation} R_{46}^C R_{61}^{}R_{41}^{} =R_{41}^{}R_{61}^{}R_{46}^C. \end{equation} \tag{4.1к}$

Докажем теоретико-множественный аналог теоремы 3.1.

Теорема 4.1. Пара $(B\times C,\mathcal R)$ , где $\mathcal R=R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}$ , есть множество ЯБ.

Доказательство. Мы должны проверить равенство

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}\mathcal R_{13}\mathcal R_{23}=\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим его правую часть:

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}R^C_{46}(R^{-1}_{45}\cdot R_{61}^{})R^B_{15}(R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R_{41}^{}) R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Используя соотношения коммутативности и лемму 4.1, мы можем переставить

$R_{41}$ налево. Поскольку

$R_{41}^{}$ коммутирует с

$R^{-1}_{25}$ и

$R^C_{26}$ , а

$R^{-1}_{45}$ коммутирует с

$R_{61}^{}$ , получаем

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}R^C_{46}R_{61}(R^{-1}_{45}R^B_{15}R_{41}^{})R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Как следствие тождества (4.1б) имеем

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}(R^C_{46}R_{61}^{}R_{41}^{}) R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Аналогично из (4.1к) получаем

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}(R^C_{46}R_{61}^{}R_{41}^{})R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63^{}}R_{41}^{}(R^B_{35}R_{61}^{})R^C_{46}R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23} \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= (R_{63}^{}R_{41}^{})R_{61}^{}R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}, \end{equation*} \notag$

что равно

$\begin{equation*} \mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{41}^{}R_{63}^{}R_{61}^{}R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим левую часть:

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}(R^{-1}_{23}\cdot R_{61}^{}R^B_{15})R^C_{26}(R^{-1}_{25}\cdot R_{63}^{})R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}. \end{equation*} \notag$

Используя соотношения коммутативности и лемму 4.1, переставим

$R_{63}$ налево. Поскольку

$R^{-1}_{23}$ коммутирует с

$R_{61}^{}R^B_{15}$ , а

$R_{63}^{}$ коммутирует с

$R^{-1}_{25}$ , получаем

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R_{61}^{}R^B_{15}(R^{-1}_{23}R^C_{26}R_{63}^{})R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}. \end{equation*} \notag$

Следствием уравнения (4.1ж) является

$R_{23}^{-1}R_{26}^C R_{63}=R_{63}R_{26}^C R_{23}^{-1}$ . Таким образом,

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R_{61}^{}(R^B_{15}R_{63}^{})R_{26}^C R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}. \end{equation*} \notag$

Используя условие коммутативности, имеем

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}(R^C_{24}R_{61}^{}R_{63}^{})R^B_{15}R^C_{26}R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$R^C_{24}$ коммутирует с произведением

$R_{61}^{}R_{63}^{}$ ,

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}(R^B_{13}R_{61}^{}R_{63}^{})R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}. \end{equation*} \notag$

Как следствие тождества (4.1д) имеем

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R_{63}^{}R_{61}^{}R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}. \end{equation*} \notag$

Сравнивая правую часть последнего равенства с соответствующим равенством для

$\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}$ , мы видим, что можно сократить обе его части слева на

$R_{41}R_{63}R_{61}$ . Следовательно, уравнение

$\begin{equation*} \mathcal R_{12}\mathcal R_{13}\mathcal R_{23}=\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12} \end{equation*} \notag$

принимает вид

$\begin{equation*} R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C(R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35})R^C_{46}R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}(R^{-1}_{45}R^C_{26})R^{-1}_{25}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Из тождества (4.1г) и соотношений коммутативности вытекает, что

$\begin{equation*} R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}(R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^C_{46})R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}(R^{-1}_{45}R^{-1}_{25}R^B_{13}) R^C_{24}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Аналогично получаем

$\begin{equation*} R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}R^B_{13}(R^{-1}_{45}R^{-1}_{25}R^C_{24})R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Тождество (4.1и) дает

$\begin{equation*} R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{25}R^{-1}_{45}R^{-1}_{23}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$R^{-1}_{45}$ коммутирует с

$R^{-1}_{23}$ , мы можем сократить обе стороны последнего равенства на

$R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^{-1}_{45}$ справа, получаем

$\begin{equation*} R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}R^C_{46}=R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}R^B_{13}R^C_{24}. \end{equation*} \notag$

Это эквивалентно равенству

$\begin{equation*} R^B_{13}R^B_{15}R^B_{35}\cdot R^C_{24}R_{26}^C R^C_{46}=R^B_{35}R^B_{15}R^B_{13}\cdot R^C_{46}R^C_{26}R^C_{24}, \end{equation*} \notag$

которое очевидно верно.

4.2. Теоретико-множественный твист Дринфельда

Пусть $(X, T)$ – теоретико-множественное решение уравнения косы и существуют $F\in Sym(X\times X)$ и $\Phi,\Psi\in Sym(X\times X\times X)$ , такие что

$\begin{equation} F_{12}\Psi=F_{23}\Phi,\qquad \Phi T_{23}=T_{23}\Phi,\qquad \Psi T_{12}=T_{12}\Psi. \end{equation} \tag{4.2}$

Тогда

$\widehat T=F T F^{-1}$ также удовлетворяет уравнению косы:

$\begin{equation*} \widehat T_{12}\widehat T_{23}\widehat T_{12}=\widehat T_{23}\widehat T_{12}\widehat T_{23}. \end{equation*} \notag$

Используя обозначения из предыдущего раздела, положим

$S^B=P R^B$ ,

$S^C=P R^C$ . Тогда соотношения

$\begin{equation*} R_{12}^B R_{13}^B R_{23}^B=R_{23}^B R_{13}^B R_{12}^B,\qquad R_{12}^C R_{13}^C R_{23}^C=R_{23}^C R_{13}^C R_{12}^C \end{equation*} \notag$

влекут соотношения косы

$\begin{equation*} S_{12}^B S_{23}^B S_{12}^B=S_{23}^B S_{12}^B S_{23}^B,\qquad S_{12}^C S_{23}^C S_{12}^C=S_{23}^C S_{12}^C S_{23}^C. \end{equation*} \notag$

Соотношения

$\begin{equation*} R_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{23}^{}R_{12}^C,\qquad R_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{12}^{}R_{23}^B \end{equation*} \notag$

приводят к

$\begin{equation*} S_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{23}^{}R_{13}^{}S_{12}^C,\qquad S_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{12}^{}R_{13}^{}S_{23}^B. \end{equation*} \notag$

В результате получаем

$R$ -матрицу

$\begin{equation*} \mathcal R=R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}=P_{12}^{}P_{24}^{}(R_{23}^{}S^B_{13}S^C_{24}R^{-1}_{23}) \end{equation*} \notag$

и элементы

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathcal R_{12}^{}=P_{12}^{}P_{24}^{}(R_{23}^{}S^B_{13}S^C_{24}R^{-1}_{23}),\qquad \mathcal R_{13}^{}=P_{15}^{}P_{26}^{}(R_{25}^{}S^B_{15}S^C_{26}R^{-1}_{25}), \\ \mathcal R_{23}^{}=P_{35}^{}P_{46}^{}(R_{45}^{}S^B_{35}S^C_{46}R^{-1}_{45}). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Несложно доказать следующую лемму.

Лемма 4.2. Соотношение $\mathcal R_{12}\mathcal R_{13}\mathcal R_{23}=\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}$ влечет тождество

$\begin{equation*} \mathcal S_{12}\mathcal S_{23}\mathcal S_{12}=\mathcal S_{23}\mathcal S_{12}\mathcal S_{23}, \end{equation*} \notag$

где

$\mathcal S_{12}=R_{23}^{}S^B_{13}S^C_{24}R^{-1}_{23}$ ,

$\mathcal S_{23}=R_{45}^{}S^B_{35}S^C_{46}R^{-1}_{45}$ .

Таким образом, мы показали, что если рассмотреть элемент $T=S_{13}^B S_{24}^C$ , который очевидно удовлетворяет уравнению косы, то при $F=F_{12}=R_{23}$ и $F_{23}=R_{45}$ элемент $\mathcal S=\widehat T=FTF^{-1}$ также удовлетворяет этому уравнению. Мы хотели бы интерпретировать $\mathcal S$ как частный случай твиста Дринфельда $T=S_{13}^B S_{24}^C$ .

Рассмотрим операторы $\Phi=R_{23}R_{25}$ , $\Psi=R_{45}R_{25}$ . Тогда первое равенство в (4.2) принимает вид

$\begin{equation*} R_{23}\cdot (R_{45}R_{25})=R_{45}\cdot (R_{23}R_{25}). \end{equation*} \notag$

Это соотношение справедливо вследствие коммутативности

$R_{23}$ и

$R_{45}$ . Из леммы 4.1 вытекает следующая лемма.

Лемма 4.3. Имеют место следующие соотношения:

$\begin{equation} S_{15}^B R_{41}^{}R_{45}^{} =R_{41}^{}R_{45}^{}S_{15}^B, \end{equation} \tag{4.3а}$

$\begin{equation} S_{35}^B R_{23}^{}R_{25}^{} =R_{23}^{}R_{25}^{}S_{35}^B, \end{equation} \tag{4.3б}$

$\begin{equation} S^B_{13}R_{61}^{}R_{63}^{} =R_{61}^{}R_{63}^{}S^B_{13}, \end{equation} \tag{4.3в}$

$\begin{equation} S_{26}^C R_{63}^{}R_{23}^{} =R_{63}^{}R_{23}^{}S_{26}^C, \end{equation} \tag{4.3г}$

$\begin{equation} S_{24}^C R_{45}^{}R_{25}^{} =R_{45}^{}R_{25}^{}S_{24}^C, \end{equation} \tag{4.3д}$

$\begin{equation} S_{46}^C R_{61}^{}R_{41}^{} =R_{61}^{}R_{41}^{}S_{46}^C. \end{equation} \tag{4.3е}$

Второе равенство в (4.2) можно записать как

$\begin{equation*} (R_{23}^{}R_{25}^{})(S_{35}^B S_{46}^C)=(S_{35}^B S_{46}^C)(R_{23}^{}R_{25}^{}). \end{equation*} \notag$

Преобразуем его левую часть, используя тождество (4.3б) и условие коммутативности, к виду

$\begin{equation*} (R_{23}^{}R_{25}^{}S_{35}^B) S_{46}^C=S_{35}^B R_{23}^{}R_{25}^{}S_{46}^C=S_{35}^B S_{46}^C R_{23}^{}R_{25}^{}. \end{equation*} \notag$

Третье равенство в (4.2) имеет вид

$\begin{equation*} (R_{45}^{}R_{25}^{})(S_{13}^B S_{24}^C)=(S_{13}^B S_{24}^C)(R_{45}^{}R_{25}^{}). \end{equation*} \notag$

Чтобы проверить это равенство, мы используем те же аргументы, что и выше.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	В. M. Бухштабер, “Отображения Янга–Бакстера”, УМН, 53:6 (1998), 241–242
2.	C. N. Yang, “Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction”, Phys. Rev. Lett., 19:23 (1967), 1312–1315
3.	R. J. Baxter, “Partition function of the eight-vertex lattice model”, Ann. Phys., 70:1 (1972), 193–228
4.	А. Б. Замолодчиков, “Уравнения тетраэдров и интегрируемые системы в трехмерном пространстве”, ЖЭТФ, 79:2 (1980), 641–664
5.	A. B. Zamolodchikov, “Tetrahedron equations and the relativistic $S$ -matrix of straight-strings in $2+1$ -dimensions”, Commun. Math. Phys., 79:4 (1981), 489–505
6.	Е. К. Склянин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Квантовый метод обратной задачи. I”, ТМФ, 40:2 (1979), 194–220
7.	Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Квантовый метод обратной задачи и $XYZ$ модель Гейзенберга”, УМН, 34:5(209) (1979), 13–63
8.	V. G. Drinfel'd, “On some unsolved problems in quantum group theory”, Quantum Groups, Lecture Notes in Mathematics, 1510, ed. P. P. Kulish, Springer, Berlin, Heidelberg, 1992, 1–8
9.	А. П. Веселов, “Интегрируемые отображения”, УМН, 46:5(281) (1991), 3–45
10.	A. P. Veselov, “Yang–Baxter map and integrable dynamics”, Phys. Lett. A, 314:3 (2003), 214–221
11.	V. V. Bazhanov, S. M. Sergeev, “Yang–Baxter maps, discrete integrable equations and quantum groups”, Nucl. Phys. B, 926 (2018), 509–543
12.	D. Joyce, “A classifying invariant of knots: the knot quandle”, J. Pure Appl. Algebra, 23:1 (1982), 37–65
13.	С. В. Матвеев, “Дистрибутивные группоиды в теории узлов”, Матем. сб., 119:1 (1982), 78–88
14.	M. Markl, “Operads and PROPs”, Handbook of Algebra, v. 5, Elsevier, North-Holland, Amsterdam, 2008, 87–140
15.	В. М. Бухштабер, Е. Г. Рисс, “Многозначные группы и $n$ -алгебры Хопфа”, УМН, 51:4 (1996), 149–150
16.	K. Кассель, Квантовые группы, Фазис, М., 1999
17.	A. Soloviev, “Non-unitary set-theoretical solutions to the quantum Yang–Baxter equation”, Math. Res. Lett., 7:5–6 (2000), 577–596
18.	V. Lebed, A. Vendramin, “Homology of left non-degenerate set-theoretic solutions to the Yang–Baxter equation”, Adv. Math., 304 (2017), 1219–1261
19.	М. М. Преображенская, Д. В. Талалаев, “Расширение групп, расслоения и параметрическое уравнение Янга–Бакстера”, ТМФ, 207:2 (2021), 310–318
20.	K. S. Brown, Cohomology of Groups, Graduate Texts in Mathematics, 87, Springer, New York, 1982
21.	V. Bardakov, B. Chuzinov, I. Emel'yanenkov, M. Ivanov, T. Kozlovskaya, V. Leshkov, Set-theoretical solutions of simplex equations, arXiv: 2206.08906
22.	V. Chari, A. Pressley, A Guide to Quantum Groups, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995
23.	N. Yu. Reshetikhin, M. A. Semenov-Tian-Shansky, “Quantum $R$ -matrices and factorization problem”, J. Geom. Phys., 5:4 (1988), 533–550
24.	В. Г. Дринфельд, “Квазихопфовы алгебры”, Алгебра и анализ, 1:6 (1989), 114–148
25.	P. P. Kulish, A. I. Mudrov, “On twisting solutions to the Yang–Baxter equation”, Czech. J. Phys., 50:1 (2000), 115–122

Образец цитирования: В. Г. Бардаков, Д. В. Талалаев, “Расширения множеств Янга–Бакстера”, ТМФ, 215:2 (2023), 176–189; Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 609–621

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BarTal23}

\by В.~Г.~Бардаков, Д.~В.~Талалаев

\paper Расширения множеств Янга--Бакстера

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 215

\issue 2

\pages 176--189

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10383}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10383}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4602479}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...215..609B}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 215

\issue 2

\pages 609--621

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923050021}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85160916123}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10383

https://doi.org/10.4213/tmf10383

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v215/i2/p176

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

А. Поуркиа, “Уравнение Янга–Бакстера во всех измерениях и универсальные кудитные вентили”, ТМФ, 219:1 (2024), 17–31 ; A. Pourkia, “Yang–Baxter equation in all dimensions and universal qudit gates”, Theoret. and Math. Phys., 219:1 (2024), 544–556

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	235
PDF полного текста:	34
HTML русской версии:	166
Список литературы:	40
Первая страница:	10

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы