| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Проблема делителей Карацубы и родственные задачи М. Р. Габдуллинa, С. В. Конягинa, В. В. Юделевичb a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9815e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ 2004 г. А. А. Карацуба на семинаре “Аналитическая теория чисел и приложения” поставил следующую задачу: найти асимптотику суммы при x→∞, где τ(n)=∑d∣n1 – функция делителей, а суммирование ведется по простым числам, не превосходящим x. Данная задача является естественным “гибридом” следующих двух классических задач теории чисел.Первая из них (проблема делителей Титчмарша) заключается в нахождении асимптотики суммы Хорошо известно (см. [1]–[4]), что где ζ(s) обозначает дзета-функцию Римана. Вторая задача состоит в нахождении асимптотики суммы и была решена С. Рамануджаном в [5]: он показал, что гдеСумма Φ(x) изучалась ранее. В недавней работе [6] получена оценка где Отметим, что оценку Φ(x)≪x/(logx)3/2 можно получить из следствия 1.2 работы [7], а также действуя аналогично доказательству верхней оценки теоремы 1.2 ниже. Мы предполагаем, что справедливо соотношение однако доказать это, по-видимому, трудно.В настоящей работе мы показываем, что упомянутая верхняя оценка для суммы Φ(x) является точной по порядку. Тем самым для Φ(x) найден порядок роста: что в первом приближении решает задачу, поставленную А. А. Карацубой.Наряду с Φ(x) мы рассматриваем сумму и доказываем следующую теорему.Обсудим основные идеи доказательств приведенных теорем. В сумме Φ(x) для каждого простого p⩽x мы записываем число p−1 в виде ab, где число a состоит из простых делителей, не превосходящих z, а число b – из простых делителей, больших z; при этом z=xε и ε>0 фиксировано. Тогда сумма Φ(x) перепишется в виде и так как τ(b)=Oε(1), получаем Внутренняя сумма оценивается снизу с помощью решета Бруна–Хооли величиной порядка где вкладом величины R(x;a) можно пренебречь. Отсюда получаем требуемый результат Заметим, что приведенные выше рассуждения не позволяют получить верхнюю оценку для Φ(x), поскольку оценка вклада в сумму (1.2) от a>x1−ε по сути равносильна исходной задаче.Аналогично выводится нижняя оценка суммы F(x). Верхняя оценка для F(x) следует из теоремы 1 работы [8]. Заметим, что эта же оценка получается из неравенства τ(n)⩾2ω(n) (здесь ω(n) – число простых делителей n без учета кратности) и оценки на количество чисел n⩽x с заданным значением ω(n2+1). Для полноты мы приводим необходимые рассуждения. Отметим, что методы, используемые в настоящей работе, можно применять и к другим функциям, родственным τ(n). Так, если τk(n) означает обобщенную функцию делителей, τk(n)=∑n=d1d2⋯dk1, то можно доказать, что § 2. ОбозначенияЧерез φ(n)=#{k⩽n:(k,n)=1} мы обозначаем функцию Эйлера, а через P+(n) и P−(n) – наибольший и наименьший простые делители числа n>1 соответственно; мы полагаем P+(1)=0 и P−(1)=∞. Далее, π(x) – количество простых чисел, не превосходящих x, а π(x;q,a) – количество простых чисел, не превосходящих x и принадлежащих прогрессии a (modq); при этом R(x;q,a)=π(x;q,a)−π(x)/φ(q). Запись f(x)≪g(x) или f(x)=O(g(x)) означает, что |f(x)|⩽Cg(x), где C>0 – абсолютная константа. Также мы пишем f(x)≍g(x), если f(x)≪g(x)≪f(x), и f(x)≪kg(x), если хотим подчеркнуть, что константа C зависит от k. Напомним теперь некоторые обозначения, принятые в методах решета. Пусть A – конечное подмножество натуральных чисел, P – конечное подмножество простых чисел. Положим P=∏p∈Pp и S(A,P)=#{a∈A:(a,P)=1}. Пусть Ad=#{a∈A:a≡0 (modd)}; будем предполагать, что при d∣P имеет место равенство где g(d) – мультипликативная функция такая, что 0<g(p)<1 при p∈P и g(p)=0 при p∉P.Далее, пусть множество P разбито на непересекающиеся подмножества P1,P2,…,Pt и Pj=∏p∈Pjp. Пусть, наконец, {kj}tr=1 – последовательность четных чисел. Положим
Vj=∏p∈Pr(1−g(p)),Lj=logV−1j,E=t∑j=1eLj(Lj)kj+1(kj+1)!,R=∑dj∣Pjω(dj)⩽kj|rd1⋯dt|,R′=t∑l=1∑dj∣Pjω(dj)⩽kj,j≠lω(dl)=kl+1|rd1⋯dt|.
§ 3. Вспомогательные утвержденияМы используем следующую версию решета Бруна–Хооли, принадлежащую К. Форду и Х. Халберстаму (см. [9]). Теорема 3.1. Пусть выполнено равенство (2.1). Тогда Доказательство см. в [9]. Доказательство леммы 3.2. Применим теорему 3.1 к множествам и P={p⩽z}, где z=x1/40 (остальные параметры выберем позже). Тогда Fa(x)=S(A,P) и при d∣P=∏p⩽zp имеем Запишем каждое d∣P в виде d=d1d2, где (d1,a)=1 и d2 составлено из простых чисел, делящих a. Тогда, так как φ(ad2)=ad2∏p∣a(1−1/p)=d2φ(a), имеем и, следовательно, равенство (2.1) выполнено при X=π(x)/φ(a), мультипликативной функции g, определяемой на простых числах равенствами и Кроме того, справедливо порядковое равенство причем подразумеваемая постоянная абсолютна.
Выберем теперь разбиение P и числа {kj}tj=1. Положим zj=z21−j и где t определяется из условия zt+1<2⩽zt. Пусть kj=b+2(j−1), где b⩾2 четное. Также положим В силу [10; теорема 7, формулы (3.26), (3.27)] при любом x>1 имеем где γ – постоянная Эйлера. Отсюда следует, что при любом z⩾√2 верно неравенство действительно, при z⩾4 данное неравенство следует из оценки (3.1), а при √2⩽z<4 проверяется непосредственно. Отсюда находим Тогда Lj=logV−1j⩽L=log5 иОценим теперь сумму R+R′. Для числа d, отвечающего слагаемому в R, имеем d=d1⋯dt, где dj∣Pj и ω(dj)⩽kj=b+2(j−1). Отсюда получаем Если же d отвечает слагаемому в R′, то аналогично имеем d⩽z2b+4z=z2b+5. Далее, так как числа d, участвующие в суммах R и R′, различны и не превосходят z2b+5, получаем Возьмем теперь b=4. Тогда 2b+5=13,Лемма 3.2 доказана. Пусть Как известно, a∈M в том и только том случае, когда 4∤ и p \nmid a для любого p \equiv 3\ (\operatorname{mod}4).Лемма 3.4. Пусть 2\leqslant a, z\leqslant x^{1/30}, a \in \mathcal{M} и P^{+}(a)\leqslant z. Положим Тогда Доказательство. Положим \mathcal{A}=\{k\colon ak=n^2+1 \text{ для некоторого } n\leqslant x\} и
\begin{equation*}
\mathcal{P}= \begin{cases} \{p \leqslant z\colon p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4)\} &\text{ в случае четного } a, \\ \{2\}\cup \{p \leqslant z\colon p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4)\} &\text{ в случае нечетного } a. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда W_a(x,z)=S(\mathcal{A}, \mathcal{P}). Запишем каждое d\mid P=\prod_{p\in\mathcal{P}}p в виде d=d_1d_2, где (d_1,a)=1 и d_2 составлено из простых чисел, делящих a. Пусть одно из чисел, d или a, четно. Тогда, используя китайскую теорему об остатках и тот факт, что сравнение x^2+1\equiv0\ (\operatorname{mod}p) имеет два решения при p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4) и одно решение при p=2, получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A}_d &=\#\{n\leqslant x\colon n^2+1 \equiv 0 \ (\operatorname{mod}ad) \} \\ &= \frac{x2^{\omega(ad)-1}}{ad}+O(2^{\omega(ad)}) =\frac{x2^{\omega(a)+\omega(d_1)-1}}{ad_1d_2}+O(2^{\omega(ad)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если же a и d одновременно нечетны, то, рассуждая аналогично, получим
\begin{equation*}
\mathcal{A}_d= \frac{x2^{\omega(a)+\omega(d_1)}}{ad_1d_2}+O(2^{\omega(ad)}).
\end{equation*}
\notag
Таким образом, в обоих случаях мы получаем
\begin{equation*}
\mathcal{A}_d=\frac{x2^{\omega(a)+\omega(d_1)-\mathbb I(2\mid ad)}}{ad_1d_2}+O(2^{\omega(ad)}) =\frac{x2^{\omega(a)-\mathbb I(2\mid a)}}{a}\frac{2^{\omega(d_1)-\mathbb I(2\mid d_1)}}{d_1d_2}+O(\tau(ad)),
\end{equation*}
\notag
где \mathbb I(2\mid l) равно единице при четном l и равно нулю при нечетном l. Таким образом, равенство (2.1) выполнено при X= (x2^{\omega(a)-\mathbb I(2\mid a)})/a, мультипликативной функции g, определяемой на нечетных простых числах из \mathcal{P} равенствами
\begin{equation*}
g(p)=\begin{cases} \dfrac{2}{p} &\text{при } p\nmid a, \\ \dfrac{1}{p} &\text{при } p\mid a \end{cases}
\end{equation*}
\notag
(а также g(2)=1/2 в случае нечетного a), и Как известно, справедливо порядковое равенство
\begin{equation}
\prod _{\substack{p\leqslant x \\ p\equiv 1\, (\operatorname{mod}4)}}\biggl(1-\frac{1}{p} \biggr)\asymp \frac{1}{\sqrt{\log x}}
\end{equation}
\tag{3.3}
(см. [11]). Отсюда в обоих случаях выбора \mathcal{P} получаем причем подразумеваемая постоянная абсолютна.
Выберем теперь разбиение \mathcal{P} и числа \{k_j\}_{j=1}^t. Вновь положим z_j=z^{2^{1-j }} и где t определяется из условия z_{t+1} < 2 \leqslant z_t, и {k_j=b+2(j-1)}, где b \geqslant 2 четное. Тогда из (3.2) следует
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_j^{-1} &=\prod_{z_{j+1} < p \leqslant z_j} (1 - g(p))^{-1} \leqslant 2\prod_{z_{j+1}<p\leqslant z_j, \, p\neq2}\biggl(1-\frac2p\biggr)^{-1} \\ &=2\prod_{z_{j+1}<p\leqslant z_j, \, p\neq2}\biggl(1-\frac1p\biggr)^{-2}\frac{(1-1/p)^2}{1-2/p} \leqslant 18C\leqslant 28; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
отсюда получаем L_j=\log V_j^{-1}\leqslant L=\log 28 и
\begin{equation*}
E=\sum_{j=1}^t \frac{e^{L_j} L_j^{k_j+1}}{(k_j+1)!} \leqslant e^L\sum_{j=1}^t\frac{L^{b+2j-1}}{(b+2j-1)!}.
\end{equation*}
\notag
Возьмем b=10; тогда E\leqslant 0.43 и 2b+5=25. Как и в доказательстве леммы 3.2, получаем
\begin{equation*}
R+R' \leqslant \sum_{d \leqslant z^{2b+5}} |r_d|\ll \tau(a)\sum_{d\leqslant z^{25}}\tau(d)\ll x^{1/30}z^{25} \ll x^{26/30},
\end{equation*}
\notag
при этом главный член оценивается снизу как
\begin{equation*}
X\prod_{p\in \mathcal{P}}(1-g(p)) \asymp\frac{x2^{\omega(a)}}{\varphi(a)\log z} \gg\frac{x^{1-1/30}}{\log x}.
\end{equation*}
\notag
В завершение применим теорему 3.1. Лемма 3.4 доказана. Утверждение следующей леммы – частный случай результата Ж. Тененбаума (см. [12]). Для полноты мы приводим доказательство нужного нам случая. Лемма 3.5. Пусть R>0 фиксировано. Тогда существуют положительные постоянные A=A(R) и B=B(R) такие, что для всех 1\leqslant k \leqslant R\log\log x Доказательство. Для m\geqslant 2 и y\geqslant2 определим “y-гладкую часть” числа m: Для каждого n\leqslant x представим число n^2+1 в виде произведения ab, где
\begin{equation*}
a=a(n)=\max\bigl\{d(n^2+1,y)\colon d(n^2+1,y)\leqslant x^{1/30} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
и b=b(n)=(n^2+1)/a; при этом (a,b)=1. Положим теперь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1 &=\bigl\{ n\leqslant x\colon a\leqslant x^{1/60},\, P^-(b)>x^{1/60},\, b>1\bigr\}, \\ A_2 &=\bigl\{ n\leqslant x\colon a\leqslant x^{1/60},\, P^-(b)\leqslant x^{1/60},\, b>1\bigr\}, \\ A_3 &=\bigl\{ n\leqslant x\colon x^{1/60}< a \leqslant x^{1/30},\, b>1 \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Так как количество тех n\leqslant x, для которых b(n)=1, не превосходит x^{1/60}, получаем где
Оценим сначала N_1. В этом случае 1\leqslant \omega(b)\leqslant 120; применяя лемму 3.4, имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag N_1 &\leqslant \sum_{l=k-120}^{k-1}\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/60}, \, a\in \mathcal{M} \\ \omega(a)=l }} W_a(x, x^{1/60}) \ll \sum_{l=k-120}^{k-1}\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/60}, \, a\in \mathcal{M} \\ \omega(a)=l }}\frac{x2^{\omega(a)}}{\varphi(a)\log x} \\ &\leqslant \frac{x}{\log x}\sum_{l=k-120}^{k-1}2^l\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/60}, \, a\in \mathcal{M} \\ \omega(a)=l }}\frac{1}{\varphi(a)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
Логарифмируя обе части равенства (3.3), получаем
\begin{equation*}
\sum _{\substack{p\leqslant x \\ p\equiv 1\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{1}{p}= \frac{1}{2}\log\log x+O(1).
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем, что внутренняя сумма в последнем выражении в (3.5) при l\geqslant 0 не превосходит
\begin{equation*}
\frac{1}{l!}\biggl(\sum_{p\leqslant x^{1/60},\, p\neq 3\, (\operatorname{mod}4)}\frac{1}{\varphi(p)}+\frac{1}{\varphi(p^2)}+\dotsb \biggr)^l \leqslant \frac{1}{l!}(0.5\log\log x+B_1)^l
\end{equation*}
\notag
для некоторого B_1>0. Поэтому
\begin{equation}
N_1\ll \frac{x(\log\log x+B_1)^{k-1}}{(k-1)!\,\log x}\biggl(1+R+\dots+R^{120} \biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
Оценим N_2. Заметим, что если p=P^-(b) входит в число b в степени r, то по определению числа a имеем ap^r>x^{1/30}. Поэтому для чисел n\in A_2 справедливо p^r> x^{1/60}, а так как к тому же p\leqslant x^{1/60}, то получим r\geqslant 2. Положим \nu=\min\{u\geqslant 1\colon p^u>x^{1/60}\}; тогда 2\leqslant \nu\leqslant r и p^{\nu-1}\leqslant x^{1/60}. Отсюда получаем p^\nu\leqslant x^{1/60}p\leqslant x^{1/30}. Тогда для каждого n\in A_2 число n^2+1 делится на число вида p^\nu, где p простое, \nu\geqslant 2 и x^{1/60}<p^\nu\leqslant x^{1/30}. Отсюда для величины N_2 получаем неравенство
\begin{equation*}
N_2\leqslant\sum_{x^{1/60}<p^\nu\leqslant x^{1/30},\,\nu\geqslant 2}\biggl( \frac{2x}{p^\nu}+O(1)\biggr)\ll \sum_{x^{1/60}<p^\nu \leqslant x^{1/30},\,\nu\geqslant 2}\frac{x}{p^\nu}.
\end{equation*}
\notag
Заметим теперь, что p^{\nu} \geqslant \max\{p^2, x^{1/60}\}, и поэтому p^{\nu}\geqslant px^{1/120}, откуда следует
\begin{equation}
N_2\ll \sum_{p\leqslant x^{1/30}}\frac{x}{px^{1/120}} \ll x^{1-1/120}\log\log x.
\end{equation}
\tag{3.7}
Наконец, оценим N_3. Положим q=P^+(a); тогда P^-(b)\geqslant q+1 и
\begin{equation}
\omega(b)\leqslant \frac{\log (x^2+1)}{\log (q+1)}\leqslant \frac{2\log x}{\log q}=:\eta.
\end{equation}
\tag{3.8}
Тогда по лемме 3.4 имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_3 &\leqslant \sum_{\substack{q\leqslant x^{1/30} \\ q\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\sum_{k-\eta\leqslant l\leqslant k-1}\sum_{\substack{x^{1/60}<a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}W_a(x,q) \nonumber \\ &\ll x\sum_{\substack{q\leqslant x^{1/30} \\ q\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{1}{\log q}\sum_{k-\eta\leqslant l\leqslant k-1}2^l\sum_{\substack{x^{1/60}<a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}\frac{1}{\varphi(a)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
Положим
\begin{equation}
\delta=\frac{C}{\log q}, \quad\text{где }\ C=120\log(R+2)+60.
\end{equation}
\tag{3.10}
Обозначим через N_3^{(1)} вклад от q\leqslant e^{2C} в сумме выше, а через N_3^{(2)} – вклад от оставшихся q. Пользуясь оценкой
\begin{equation*}
\varphi(a)\gg\frac{a}{\log\log a}\gg\frac{x^{1/60}}{\log\log x},
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation}
N_3^{(1)}\ll x^{59/60}\log\log x\sum_{q\leqslant e^{2C}}\sum_{1\leqslant l\leqslant \pi(q)}2^l\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q}}1 \ll x^{59/60}(\log x)^{c_R},
\end{equation}
\tag{3.11}
где c_R>0 зависит только от R. Далее, оценим величину N_3^{(2)}. При фиксированных q и l имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{q,l} &:=\sum_{\substack{x^{1/60}<a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}\frac{1}{\varphi(a)} \leqslant \sum_{\substack{a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}\biggl(\frac{a}{x^{1/60}}\biggr)^{\delta}\frac{1}{\varphi(a)} \\ &\leqslant x^{-\delta/60}\frac{1}{(l-1)!}\biggl(\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{p^{\delta}}{\varphi(p)} +\frac{p^{2\delta}}{\varphi(p^2)}+\dotsb \biggr)^{l-1}\biggl(\frac{q^{\delta}}{\varphi(q)} +\frac{q^{2\delta}}{\varphi(q^2)}+\dotsb\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим теперь, что
\begin{equation*}
\frac{q^{\delta}}{\varphi(q)}+\frac{q^{2\delta}}{\varphi(q^2)}+\dotsb \ll_R \frac1q \quad\text{при }\ q>e^{2C},
\end{equation*}
\notag
а сумма по простым p равна (так как e^u= 1+O_K(u) при 0\leqslant u\leqslant K)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{p^\delta}{p}+O_R(1) \\ &\qquad=\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{1}{p}+ O_R\biggl(\delta\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{\log p}{p}+1\biggr)\leqslant 0.5\log\log x+B, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где B=B(R)>0. Отсюда получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag S_{q,l}\ll_R \frac{x^{-\delta/60}}{q(l-1)!}(0.5\log\log x+B)^{l-1}, \\ \begin{split} N_3^{(2)} &\ll_R x\sum_{\substack{e^{2C}<q\leqslant x^{1/30} \\ q\not\equiv 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{x^{-\delta/60}}{q\log q}\sum_{k-\eta\leqslant l\leqslant k-1}\frac{2^l(0.5\log\log x+B)^{l-1}}{(l-1)!} \\ &\ll \frac{x(\log\log x+2B)^{k-1}}{(k-1)!}\sum_{q\leqslant x^{1/30}}\frac{x^{-\delta/60}}{q\log q}(1+R+\dots +R^{[\eta]}). \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.12}
Используя оценку и равенство которое следует из определений чисел \eta и \delta, данных в (3.8) и (3.10), получаем, что сумма по простым q в равенстве (3.12) не превзойдет
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(R+2) \sum_{q\leqslant x^{1/30}}\frac{(R+2)^{\eta}x^{-\delta/60}}{q\log q} \leqslant (R+2)\sum_{q\leqslant x^{1/2}}\frac{x^{-1/\log q}}{q\log q} \\ &\qquad\leqslant \frac{R+2}{\log x}\sum_{j\geqslant 1}\sum_{q\in (x^{2^{-(j+1)}}, \,x^{-2^j}]}\frac1q \,2^{j+1}\exp(-2^j) \ll_R \frac{1}{\log x}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Подставляя полученную оценку в (3.12), с учетом (3.11) находим
Собирая вместе (3.4), (3.6), (3.7) и (3.13), получаем требуемое. Лемма 3.5 доказана. § 4. Доказательство теоремы 1.1Положим p-1=ab, где P^+(a)\leqslant x^{1/40} и P^-(b)>x^{1/40}. Тогда
\begin{equation*}
\Phi(x)=\sum_{\substack{a \leqslant x \\ P^+(a) \leqslant x^{1/40}}} \frac{1}{\tau(a)} \sum_{\substack{b \leqslant (x-1)/a \\ P^-(b) > x^{{1}/{40}} \\ ab +1\text{ простое}}} \frac{1}{\tau(b)}.
\end{equation*}
\notag
Пусть b=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dotsb p_s^{\alpha_s} – каноническое разложение числа b. Тогда
\begin{equation*}
x^{ (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_s)/40} < b \leqslant x,
\end{equation*}
\notag
откуда получаем \alpha_1+\dots+\alpha_s < 40 и
\begin{equation*}
\tau(b)=(\alpha_1+1) \dotsb (\alpha_s+1) \leqslant 2^{\alpha_1+\dots+\alpha_s} < 2^{40}.
\end{equation*}
\notag
Тем самым получаем оценку
\begin{equation*}
\Phi(x) \geqslant 2^{-40} \sum_{\substack{a \leqslant x \\ P^+(a) \leqslant x^{1/40}}} \frac{1}{\tau(a)} \sum_{\substack{b \leqslant (x-1)/a \\ P^-(b) > x^{1/40} \\ ab +1\text{ простое}}} 1 \geqslant 2^{-40} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/40} \\ a \text{ четное}}} \frac{1}{\tau(a)}F_a(x) .
\end{equation*}
\notag
Из леммы 3.2 находим
\begin{equation*}
\Phi(x) \geqslant \frac{c_2 \pi(x)}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/40} \\ a \text{ четное}}} \frac{1}{\tau(a)\varphi(a)}-R_2,
\end{equation*}
\notag
где c_2>0 и
\begin{equation*}
0\leqslant R_2 \leqslant \sum_{a\leqslant x^{1/40}}\sum_{d\leqslant x^{13/40}}|R(x;ad,1)| \leqslant \sum_{q\leqslant x^{7/20}}\tau(q)|R(x;q,1)|.
\end{equation*}
\notag
Применяя оценку |R(x;q,1)|\ll x/q и неравенство Коши–Буняковского, получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_2 &\ll x^{1/2} \sum_{q \leqslant x^{0.35}} \frac{\tau(q)}{q^{1/2}} (|R(x; q, 1)|)^{1/2} \\ &\leqslant x^{1/2} \biggl(\sum_{q \leqslant x^{0.35}} \frac{\tau^2(q)}{q}\biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{q \leqslant x^{0.35}} |R(x; q, 1)|\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Воспользуемся оценкой которая получается из \sum_{n\leqslant x}\tau^2(n)\asymp x(\log x)^3 (см. [13; гл. III, упражнение 7]) с помощью преобразования Абеля. Тогда из теоремы Бомбьери–Виноградова для произвольного A>0 находим
\begin{equation*}
R_2 \ll_A x^{1/2}(\log x)^2 \frac{x^{1/2}}{(\log x)^{A/2}}= \frac{x}{(\log x)^{A/2-2}}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда при A=24 получим Перейдем теперь к сумме
\begin{equation*}
T_1=\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/40} \\ a \text{ четное}}} \frac{1}{\tau(a) \varphi(a)}=\sum_{l \leqslant 0.5x^{1/40}} \frac{1}{\tau(2l)\varphi(2l)}.
\end{equation*}
\notag
Так как \tau(mn) \leqslant \tau(m)\tau(n) и \varphi(n) \leqslant n, то Из соотношения (1.1) с помощью преобразования Абеля получаем Отсюда получим
\begin{equation*}
\Phi(x)\gg \frac{\pi(x)}{(\log x)^{1/2}}-O\biggl( \frac{x}{(\log x)^{10}}\biggr)\gg \frac{x}{(\log x)^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.1 доказана. § 5. Доказательство теоремы 1.2Сначала докажем нижнюю оценку. При любом z\geqslant2 имеем
\begin{equation*}
F(x)=\sum_{n \leqslant x} \frac{1}{\tau(n^2+1)}=\sum_{\substack{ab=n^2 + 1,\,n \leqslant x\\ P^+(a) \leqslant z,\, P^-(b) > z}} \frac{1}{\tau(ab)}.
\end{equation*}
\notag
Положим z=x^{1/30}; тогда \tau(b) \leqslant 2^{60} и по лемме 3.4
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x) &\geqslant 2^{-60} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{1}{\tau(a)} W_a(x, x^{1/30})\gg \frac{x}{\log x} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{2^{\omega(a)}}{\tau(a)\varphi(a)} \\ &\geqslant \frac{x}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M} \\ a\text{ бесквадратное}}}\frac{1}{a}= \frac{x}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{1}{a}\,\sum_{\delta^2\mid a}\mu(\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Меняя порядок суммирования и используя равенство получаем
\begin{equation}
F(x)\gg \frac{x}{\log x}\sum_{\substack{\delta \leqslant x^{1/60} \\ \delta \in \mathcal{M}}} \frac{\mu(\delta)}{\delta^2} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30}\delta^{-2} \\ a \in \mathcal{M} }} \frac{1}{a} \geqslant \biggl( 2-\frac{\pi^2}{6}\biggr)\frac{x}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{1}{a}.
\end{equation}
\tag{5.1}
Как известно (см. [14; § 183]), при y\geqslant 2 справедливо
\begin{equation*}
\# \{a\leqslant y\colon p\mid a \ \Rightarrow\ p\equiv 1\ (\operatorname{mod} 4)\} \asymp \frac{y}{(\log y)^{1/2}}.
\end{equation*}
\notag
Применяя преобразование Абеля, находим
\begin{equation*}
\sum_{\substack{a\leqslant y \\ p\mid a \ \Rightarrow\ p\equiv 1\, (\operatorname{mod} 4) }}\frac{1}{a}\asymp (\log y)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
Применяя полученное соотношение к (5.1), получаем что и требовалось. Теперь докажем оценку сверху. В силу леммы 3.5 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x)&\leqslant \sum_{n\leqslant x}\frac{1}{2^{\omega(n^2+1)}} \\ &=\sum_{k\leqslant 2\log\log x}\frac{\#\{n\leqslant x\colon \omega(n^2+1)=k\}}{2^k} + O\biggl(\sum_{k>2\log\log x}\frac{x}{2^k}\biggr) \\ &\ll \frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(0.5\log\log x+0.5B)^{k-1}}{(k-1)!} + O\biggl(\frac{x}{\log x}\biggr)\ll \frac{x}{(\log x)^{1/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GabKonIud23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|