| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О проблеме делителей Карацубы В. В. Юделевич Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9270e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеВ ноябре 2004 г. А. А. Карацубой на семинаре “Аналитическая теория чисел и приложения” была поставлена задача изучения суммы Здесь τ(n) – функция делителей, a – фиксированное целое, а p пробегает подряд идущие простые числа.Данная задача возникла под влиянием ряда дискуссий А. А. Карацубы и В. И. Арнольда в свете двух классических теоретико-числовых проблем. Первая – так называемая проблема делителей Титчмарша – заключается в вычислении асимптотики при x→+∞ суммы вида В 1930 г. Э. Ч. Титчмарш [1] доказал оценку а также при условии справедливости обобщенной гипотезы Римана Асимптотика для этой суммы была впервые получена без предположения каких-либо гипотез Ю. В. Линником [2] и имела вид В дальнейшем этот результат неоднократно уточнялся целым рядом авторов (см. [3]–[7]).Вторая проблема состоит в нахождении асимптотики суммы Она восходит к Рамануджану [8], который доказал, что где an, n⩾0, – некоторые постоянные, в частности, Цель настоящей работы состоит в нахождении верхней оценки для суммы Φa(x).Поскольку и то естественно предположить, что В нашей работе мы получаем верхнюю оценку вида Более точно, мы доказываем следующий результат.Тем самым верхняя оценка совпадает с предполагаемым порядком роста функции Φa(x). Кратко опишем идейную сторону работы, которая использует метод решета Сельберга. Его суть заключается в следующем. Требуется оценить сумму где A=(an) – последовательность неотрицательных вещественных чисел и P(z)=∏p⩽zp – произведение всех простых до z. По основному свойству функции Мёбиуса имеем Таким образом, Зададимся произвольными вещественными числами ρd (здесь d⩽z, d|P(z)) такими, чтобы ρ1=1. Тогда ∑d|nμ(d)⩽(∑d|nρd)2 для любого n⩾1, так что где Далее, пусть Ad=Xg(d)+rd для рассматриваемых d, где функция g(d) мультипликативна, величина X не зависит от d, а величина rd “в среднем” мала. Коэффициенты ρd выбираются в дальнейшем так, чтобы минимизировать квадратичную форму В нашем случае величина Ad представляется в виде где gk(d) – некоторые функции (причем gk(d) при k⩾1, вообще говоря, не мультипликативны), а величины Xk не зависят от d. Коэффициенты ρd при этом строятся только по первой форме (1), соответствующей функции g=g0. При этом наблюдается следующий эффект: эти коэффициенты попутно решают задачи минимизации всех остальных форм, по крайней мере, в смысле порядка роста.Отметим, что возможность получения асимптотической формулы в проблеме делителей Титчмарша опирается на теорему Бомбьери–Виноградова. В нашей работе мы существенно опираемся на аналог теоремы Бомбьери–Виноградова, полученный М. А. Королёвым (см. [9; лемма 13]). Заметим также, что методы, использованные при оценке суммы Φa(x), могут успешно применяться и к оценке других сумм, родственных Φa(x). Так, для суммы где суммирование ведется по простым числам-близнецам, можно получить оценку вида§ 1. Вспомогательные леммы называются числами Грегори. Более точные оценки чисел Грегори см. в [10]. Доказательство. Если d=1 или d – простое, то утверждение очевидно. Пусть ω(d)⩾2, тогда при любом X⩾2 имеем
∑p|d1p1−ε=(∑p|d,p⩽X+∑p|d,p>X)1p1−ε⩽∑p|d,p⩽X1p1−ε+1X1−ε∑p|d1⩽∑2⩽n⩽x1n1−ε+ω(d)X1−ε⩽∫X1duu1−ε+ω(d)X1−ε⩽Xεε+ω(d)X1−ε,
откуда при X=ω(d)⩾2 получаем требуемое. Лемма доказана. Определим функцию Gd(s) равенством где при этом выбраны главные ветви корня и логарифма. Как известно (см. [11; гл. IV, § 3, теорема 1]), дзета-функция Римана не имеет нулей в области для некоторого c0>0, так что функция Gd(s) аналитична в области, заданной условием (7). Доказательство. Имеем, где коэффициенты ck определены в (2). Отсюда после раскрытия скобок находим где значок δ|d∞ означает суммирование по всем натуральным числам, в каноническом разложении которых присутствуют лишь простые, делящие d, а j(δ) – мультипликативная функция, принимающая на степенях простых чисел значения j(pk)=ck. Тогда получаем где s=σ+it. Заметим, что при ε>0, l⩾1 и δ⩾1. Отсюда, выбирая ε=εd/2 и используя неравенство σ⩾1−εd/2, находим Отметим, что полученная оценка верна и при l=0. Так как то в силу леммы 2 получаем Лемма доказана. Лемма 4. Пусть d⩽x – целое, m⩾0 – целое фиксированное, тогда
\begin{equation}
\sum_{\substack{k\leqslant x\\(k,d)=1}}\frac{1}{\tau(k)}=\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\,\frac{ G_d^{(k)}(1)}{(\ln x)^k}+R_m(x;d),
\end{equation}
\tag{9}
где функция G_d(s) определена в (5) и Доказательство. Пусть
\begin{equation*}
F_d(s)=\sum_{\substack{n=1\\(n,d)=1}}^{+\infty}\frac{1}{\tau(n)}\, n^{-s}.
\end{equation*}
\notag
Тогда будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_d(s) &=\prod_{p\,\nmid\, d} \biggl(1+\frac{1}{2}p^{-s}+\frac{1}{3}p^{-2s}+\cdots\biggr)=\prod_{p\,\nmid\, d} p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1} \\ &=\frac{\prod_{p}\bigl(p^s \ln(p^s/(p^s-1))(1-p^{-s})^{1/2} (1-p^{-s})^{-1/2}\bigr)}{\prod_{p\,|\,d}\bigl(p^s\ln(p^s/(p^s-1))\bigr)} \\ &=\frac{\sqrt{\zeta(s)}\,\prod_{p}\bigl(\sqrt{p^{2s}-p^s}\, \ln(p^s/(p^s-1))\bigr)}{\prod_{p\,|\,d}\bigl(p^s\ln(p^s/(p^s-1))\bigr)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где взята та ветвь корня, для которой \sqrt{z}>0 при z>0. Воспользовавшись формулой суммирования Перрона (см. [12; гл. IV, § 1, теорема 1]) при T, x \geqslant 2 и b=1+1/\ln x, будем иметь
\begin{equation*}
\sum_{\substack{k\leqslant x\\(k,d)=1}}\frac{1}{\tau(k)}=j+O\biggl(\frac{x\ln x}{T}\biggr),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, j=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT}F_d(s)\frac{x^s}{s}\, ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT}\frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds, \\ G_d(s)\,{=}\,\frac{1}{s}\sqrt{\zeta(s)(s\,{-}\,1)}\prod_{p} \biggl(\sqrt{p^{2s}\,{-}\,p^s}\ln\frac{p^s}{p^s\,{-}\,1}\biggr) \prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s\,{-}\,1}\biggr)^{-1} {=}\,H(s) J_d(s). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Возьмем где c_0 выбрано так, как в (7). Рассмотрим прямоугольный контур \Gamma с вершинами в точках a\pm iT, b\pm iT и горизонтальным разрезом, проведенным от точки a к точке 1. Тогда по теореме Коши
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds &=\frac{1}{2\pi i}\biggl(\int_{b-iT}^{b+iT}+\int_{b+iT}^{a+iT}+\int_{a+iT}^{a+i0} \\ &\qquad+\int_{a+i0}^{1+i0}+\int_{1-i0}^{a-i0}+\int_{a-i0}^{a-iT}+\int_{a-iT}^{b-iT}\biggr) \frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds \\ &=j+j_1+j_2+j_3+j_4+j_5+j_6=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
(где смысл обозначений j_1, \dots, j_6 очевиден), откуда Вычислим J=-(j_3+j_4). Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, j_3&=\frac{1}{2\pi i}\int_{a+i0}^{1+i0}\frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{a}^{1}\frac{G_d(\sigma)x^\sigma}{\sqrt{\sigma-1+i0}} \, d\sigma \\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{1-u}}{\sqrt{u}\, \sqrt{-1+i0}}\, du =-\frac{x}{2\pi}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогично находим
\begin{equation*}
j_4=-\frac{x}{2\pi}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du,
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
J=\frac{x}{\pi}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du.
\end{equation*}
\notag
Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получаем
\begin{equation*}
G_d(1-u)=\sum_{k=0}^m (-1)^k G_d^{(k)}(1)\frac{u^k}{k!} +O_m\bigl(G_d^{(m+1)}(\theta)u^{m+1}\bigr),\qquad a\leqslant1-u\leqslant\theta \leqslant1.
\end{equation*}
\notag
Отсюда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &=\frac{x}{\pi}\int_{0}^{1-a}\sum_{k=0}^m\frac{G_d^{(k)}(1)(-1)^k}{k!}\, \frac{u^k x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du +O_m\biggl(x G_{m+1} \int_{0}^{1-a}u^{m+1/2}x^{-u}\, du\biggr) \\ &=\frac{x}{\pi}\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k G_d^{(k)}(1)j_k(a)}{k!} +O_m\bigl(x G_{m+1} j_{m+1}(a) \bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_r = \max_{a\leqslant\theta \leqslant 1}|G_d^{(r)}(\theta)|,\qquad r\leqslant m+1, \\ j_k(a)\,{=} \int_{0}^{1-a}u^{k-1/2}x^{-u}\, du \,{=} \int_{0}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du- \int_{1-a}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du \,{=}\, J_k-r_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
В дальнейшем выберем параметр T в виде T = e^{(\ln x)^\alpha}, \alpha>0. Отсюда с учетом оценки \omega(d)\ll \ln x для x\geqslant x_0 выполняется неравенство a\geqslant 1-\varepsilon_d/2, где величина \varepsilon_d определена в (8). Следовательно, при a\leqslant \theta\leqslant 1 будем иметь
\begin{equation*}
G_d^{(r)}(\theta) = \sum_{l=0}^r\binom{r}{l}H^{(r-l)}(\theta)J_d^{(l)}(\theta) \ll_m \sum_{l=0}^r|J_d^{(l)}(\theta)|\ll_m \bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10},
\end{equation*}
\notag
так что при r\leqslant m+1 получаем Для величины J_k имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_k &=\int_{0}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du=\frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}} \int_{0}^{+\infty}w^{k-1/2}e^{-w}\, dw \\ &=\frac{\Gamma(k+1/2)}{(\ln x)^{k+1/2}}=\sqrt{\pi}\, \binom{2k}{k}\frac{k!}{4^k}\, \frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее,
\begin{equation*}
r_k=\int_{1-a}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du=\frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}}\int_{(1-a)\ln x}^{+\infty}w^{k-1/2}e^{-w}\, dw.
\end{equation*}
\notag
Пользуясь при \lambda >1 оценкой
\begin{equation*}
I_{k}(\lambda)=\int_{\lambda}^{+\infty}w^{k-1/2}e^{-w}\, dw\ll k!\, e^{-\lambda}\lambda^{k-1/2},
\end{equation*}
\notag
которая получается последовательным интегрированием по частям, находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_k &\ll \frac{k!}{(\ln x)^{k+1/2}}e^{(a-1)\ln x}(1-a)^{k-1/2}(\ln x)^{k-1/2} \\ &= \frac{k!\, x^{a-1}c_0^{k-1/2}}{(\ln T)^{(2/3)(k-1/2)}(\ln\ln T)^{(1/3)(k-1/2)}\ln x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где все постоянные в знаках \ll абсолютные. Таким образом,
\begin{equation*}
j_k(a)=\sqrt{\pi}\,\binom{2k}{k}\frac{k!}{4^k}\, \frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}}+O\biggl(\frac{k!\, x^{a-1}c_0^{k-1/2}}{(\ln T)^{(2/3)(k-1/2)}(\ln\ln T)^{(1/3)(k-1/2)}\ln x} \biggr)
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &=\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\, \frac{G^{(k)}(1)}{(\ln x)^{k}} \\ &\qquad+O_m\biggl(\frac{x^a}{\ln x}\sum_{k=0}^m\frac{|G^{(k)}(1)|}{(\ln T)^{(2/3)(k-1/2)}(\ln\ln T)^{(1/3)(k-1/2)}}\biggr) \\ &\qquad+O_m\biggl( G_{m+1}\frac{x}{(\ln x)^{m+3/2}} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Наконец, из оценки (10) находим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &=\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}} \sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\, \frac{G^{(k)}(1)}{(\ln x)^{k}} \\ &\qquad + O_m\biggl( \kappa_d\frac{x^a(\ln T)^{1/3}(\ln\ln T)^{1/6}}{\ln x} + \kappa_d\frac{x}{(\ln x)^{m+3/2}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Перейдем к оценке оставшихся интегралов j_1, j_2, j_5, j_6. Для некоторой постоянной c>0 в области \sigma\geqslant 1-c/(\ln t)^{2/3}, |t|\geqslant 10, имеет место оценка (см. [11; гл. IV, § 2, п. 3, теорема 2]). Пользуясь данной оценкой, леммой 3 и неравенством
\begin{equation*}
\prod_{p}\sqrt{p^{2s}-p^s}\, \ln\frac{p^s}{p^s-1} = \prod_{p}\biggl(1-\frac{1}{24p^{2s}}-\frac{1}{24p^{3s}}-\cdots \biggr) \ll 1,
\end{equation*}
\notag
выполненном при 3/4\leqslant \operatorname{Re} s\leqslant 2, оценим интеграл j_1 тривиально:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, j_1 &=\frac{1}{2\pi i} \int_{b+iT}^{a+iT}\frac{1}{s}\sqrt{\zeta(s)}\, \prod_{p}\biggl(\sqrt{p^{2s}-p^s}\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr) \prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr)^{-1}x^s\, ds \\ &\ll \bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}\,\frac{x(\ln T)^{1/3}}{T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогично находим
\begin{equation*}
j_6\ll\bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}\,\frac{x(\ln T)^{1/3}}{T}.
\end{equation*}
\notag
Далее,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, j_2+j_5 &=\frac{1}{2\pi i} \int_{a+iT}^{a-iT}\frac{1}{s}\sqrt{\zeta(s)}\, \prod_{p}\biggl(\sqrt{p^{2s}-p^s}\,\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr) \prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr)^{-1}x^s\, ds \\ &\ll\bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}(\ln T)^{1/3} x^a \int_{-T}^T\frac{dt}{\sqrt{a^2+t^2}}\ll \bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}(\ln T)^{4/3} x^a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Доказательство леммы завершается выбором T=e^{(\ln x)^{3/5}}. Лемма 4 доказана. Замечание. Пользуясь леммой 6 и некоторыми дополнительными оценками, следующими из неравенства (4), можно значительно улучшить зависимость от d в остаточном члене в (9). Обозначая через I(s) логарифмическую производную функции J_d(s), определенной в (6), будем иметь где
\begin{equation}
I(s) = \sum_{p\,|\,d} f(s;p) = \sum_{p\,|\,d}\biggl\{\frac{\ln p}{(p^s-1)\ln(p^s/(p^s-1))}-\ln p\biggr\}.
\end{equation}
\tag{12}
Лемма 5. Пусть функция f(s;p) определена в (12), тогда при m\geqslant 0 имеет место оценка Доказательство. Определим последовательность d_k из разложения
\begin{equation*}
\frac{-x}{(1-x)\ln(1-x)} = \sum_{k=0}^{+\infty}d_k x^k,\qquad |x|<1,
\end{equation*}
\notag
тогда d_0=1 и при k\geqslant 1 имеем d_k = c_0+c_1+\dots+c_k, где последовательность c_k определена в (2). Из равенства (3) находим оценку |d_k|\leqslant 2, справедливую при k\geqslant 1. Далее, имеем
\begin{equation*}
\frac{1}{(p^s-1)\ln(p^s/(p^s-1))} = \frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(-\ln(1-p^{-s}))} = \sum_{k = 0}^{+\infty}\frac{d_k}{p^{ks}}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда с учетом равенства d_1 = 1/2 получаем
\begin{equation*}
f(s;p) = \frac{\ln p}{2 p^s}+\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{d_k \ln p}{p^{ks}}.
\end{equation*}
\notag
Продифференцировав это равенство m\geqslant 0 раз, получим
\begin{equation*}
f^{(m)}(s;p) = (-1)^m\frac{(\ln p)^{m+1}}{2 p^s} + (-1)^m (\ln p)^{m+1}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{d_k k^m}{p^{ks}},
\end{equation*}
\notag
и при s=1 с учетом оценки |d_k|\leqslant 2 будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^{(m)}(1;p) &= (-1)^m\frac{(\ln p)^{m+1}}{2 p} + (-1)^m (\ln p)^{m+1}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{d_k k^m}{p^{k}} \\ &=(-1)^m\frac{(\ln p)^{m+1}}{2 p } +O_{m, \varepsilon}\biggl( \frac{1}{p^{2-\varepsilon}}\biggr)\ll_m\frac{(\ln p)^{m+1}}{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Лемма 6. Пусть функция J_d(s) определена в (6), а функция I(s) определена в (12), тогда при l\geqslant 1 имеет место следующее представление: где Q_l = Q_l(I, I', \dots, I^{(l-1)}) – многочлен от l переменных степени l c целыми коэффициентами. Доказательство. Докажем, что Q_l имеет вид где
\begin{equation*}
R_l = R_l(I, I', \dots, I^{(l-1)})\in\mathbb{Z}[I, I', \dots, I^{(l-1)}]
\end{equation*}
\notag
и \deg R_l\leqslant l-1.
При l = 1 согласно (11) имеем J_{d}'(s) = J_d(s)I. Отсюда получаем, что R_1 = 0, и утверждение леммы в этом случае выполнено. Пусть утверждение леммы доказано для l = r\geqslant 1, докажем его для l = r+1. Имеем
\begin{equation*}
J_d^{(r+1)}(s) = J_d(s)(I^{r+1} + IR_r + rI^{r-1}I' + R_{r}') = J_d(s)(I^{r+1} + R_{r+1}).
\end{equation*}
\notag
Поскольку \deg R'_r\leqslant r-1 , \deg I R_r\leqslant r и \deg I^{r-1}I' = r, получим Таким образом, индукцией по l утверждение доказано. Лемма доказана. Пусть g(n) – мультипликативная функция такая, что для любого простого p выполнено Далее, пусть h(n) – такая мультипликативная функция, что для простых p верно Определим теперь сумму H_a = H_a(z) для некоторых z\geqslant 2 и a\geqslant 1 так:
\begin{equation}
H_a = \sum_{\substack{k\leqslant z\\ (k,a) = 1}}\mu^2(k)h(k).
\end{equation}
\tag{15}
Наряду с этой суммой нам понадобится произведение P_a(z), определяемое следующим образом: Рассмотрим, наконец, последовательность чисел
\begin{equation}
\rho_d = \frac{\mu(d)h(d)}{H_a g(d)}\sum_{\substack{k\leqslant z/d\\ kd\,|\,P_a(z)}}\mu^2(k)h(k),\qquad d\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{17}
называемых коэффициентами Сельберга. В соответствии с процедурой решета Сельберга (см. [13; гл. 3], также см. [14; гл. 7]) выбранные таким способом коэффициенты минимизируют квадратичную форму
\begin{equation*}
B = \sum_{d_1,d_2\,|\,P_a(z)}\rho_{d_1}\rho_{d_2}g([d_1,d_2])
\end{equation*}
\notag
от вещественных переменных \rho_{d_1}, \rho_{d_2}, которые подчинены условию \rho_1 = 1. Для \rho_d вида (17) справедливы свойства: B = 1/H_a(z), |\rho_d|\leqslant 1, \rho_d = 0 при d>z или d\nmid P_a(z) Ниже мы докажем несколько утверждений об этих коэффициентах. Лемма 7. Пусть мультипликативные функции g(n) и h(n) таковы, что выполнены условия (13), (14), а величина H_a определена в (15). Далее, пусть число p простое, a\geqslant 1 целое. Тогда при (d, p)= 1 и (dp, a) = 1 справедливо равенство Доказательство. Из формулы (17) получаем
\begin{equation}
\rho_{dp} = -\frac{h(p)}{g(p)}\, \frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)}\sum_{\substack{l\leqslant z/(dp) \\(l, dp a) = 1}} \mu^2(l) h(l) = -\frac{h(p)}{g(p)}\, \frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)} S.
\end{equation}
\tag{18}
Для суммы S имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{\substack{l\leqslant z/d \\ (l, dpa) = 1}}\mu^2(l)h(l) - \sum_{\substack{z/(dp) <l\leqslant z/d \\ (l, dpa) = 1}}\mu^2(l)h(l) \\ &= \sum_{\substack{l\leqslant z/d \\ (l, da) = 1}}\mu^2(l)h(l) - \sum_{\substack{l\leqslant z/d \\ (l, da) = 1 \\ p\,|\,l}}\mu^2(l)h(l) - R, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
R = \sum_{\substack{z/(dp) < l \leqslant z/d\\(l, dp a) = 1}} \mu^2(l) h(l).
\end{equation*}
\notag
Теперь
\begin{equation*}
\sum_{\substack{l\leqslant z/d \\(l, d a) = 1 \\ p\,|\,l}} \mu^2(l) h(l) = h(p)\sum_{\substack{k\leqslant z/(dp) \\(kp,\,d a) = 1 \\ (k, p)= 1}} \mu^2(k) h(k) = h(p) \sum_{\substack{k\leqslant z/(dp)\\(k, dp a) = 1}} \mu^2(k) h(k) = h(p) S,
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
S = \frac{1}{1+ h(p)}\Biggl( \sum_{\substack{l\leqslant z/d\\(l, d a) = 1}} \mu^2(l) h(l) - R\Biggr).
\end{equation*}
\notag
Подставляя полученное выражение в (18) и пользуясь тем, что при простом p мы завершаем доказательство. Лемма 8. Пусть мультипликативные функции g(n) и h(n) таковы, что выполнены условия (13), (14), а величина H_a определена в (15). Далее, пусть p_1, \dots, p_k — различные простые числа, и при этом Тогда где Доказательство. Индукция по переменной k. При k=1 доказываемое утверждение совпадает с утверждением предыдущей леммы.
Пусть утверждение имеет место для некоторого k = r\geqslant 1, докажем его для k = r+1. Имеем
\begin{equation*}
\rho_{dp_1\dotsb p_{r+1}} = (-1)^r \biggl( \rho_{d p_1} + \frac{\mu(d)h(d)}{H_a g(d)}\, \frac{h(p_1)}{g(p_1)}R \biggr),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{h(p_1)}{g(p_1)}R &= \frac{h(p_1)}{g(p_1)}\sum_{m=1}^r\biggl( \prod_{i = 2}^{m}\frac{h(p_i)}{g(p_i)}\biggr)\sum_{\substack{z/(d\alpha_{m+1})< l \leqslant z/(d\alpha_{m}) \\ (l,d \alpha_{m+1} a) = 1}} \mu^2(l) h(l) \\ &=\sum_{m=2}^{r+1}\biggl( \prod_{i = 1}^{m-1}\frac{h(p_i)}{g(p_i)}\biggr) \sum_{\substack{z/(d \alpha_{m})< l \leqslant z/(d \alpha_{m-1}) \\ (l,\,d \alpha_{m} a) = 1}} \mu^2(l) h(l). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_{dp_1\cdots p_{r+1}} &= (-1)^{r}\Biggl( -\rho_d+\frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)}\sum_{\substack{z/(dp_1)<l\leqslant z/d\\(l, dp_1 a) = 1}}\mu^2(l)h(l) \\ &\qquad+\frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)}\sum_{m=2}^{r+1}\biggl( \prod_{i = 1 }^{m-1}\frac{h(p_i)}{g(p_i)}\biggr) \sum_{\substack{z/(d \alpha_{m})< l \leqslant z/(d \alpha_{m-1}) \\ (l,\,d \alpha_{m} a) = 1}} \mu^2(l) h(l)\Biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
что и доказывает лемму. Лемма 9. Пусть P, M, q, a, \delta – целые бесквадратные числа, для которых выполнены условия: (q,M) = 1; qM\,|\,P; (P,a) = (P, \delta) = 1. Пусть при этом h(n) – мультипликативная функция и q = r_1r_2\cdots r_s – разложение q на простые. Положим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_k(M,\delta) &= R_k(M,\delta,z,q,a) \nonumber \\ &=\sum_{\substack{d\leqslant z \\ (d,a) = 1 \\ (d, P) = M\\ d\equiv\, 0\,(\operatorname{mod}\delta)}}\mu(d)h(d) \sum_{\substack{z/(d\alpha_k)< l \leqslant z/(d\alpha_{k-1}) \\ (l, d\alpha_k a) = 1}} \mu^2(l) h(l),\qquad \alpha_k = \prod_{i = 1}^{k} r_i, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
тогда
\begin{equation*}
R_k(M,\delta)\ll\mu^2(M\delta)h(M\delta)\prod_{p\,|\,P}(1+h(p)).
\end{equation*}
\notag
В частности, если P = p_1p_2 \cdots p_m – произведение m различных простых чисел и h(p)\ll 1, то Доказательство. Поскольку (l,d)=1 в сумме (19), то вводя обозначение n=dl, будем иметь
\begin{equation*}
R_k(M,\delta) = \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1}}} \mu^2(n) h(n) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\leqslant z \\ (d,a)=1 \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )\\ (n/d, d \alpha_k a) = 1 }}\mu(d), \qquad \alpha_k = \prod_{i = 1}^{k} r_i.
\end{equation*}
\notag
Поскольку d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ), то n\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta) . Так как (d,a) = 1 и (n/d,a)=1, то (n,a)=1. Далее, так как (d,P) = M, то n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M) . Заметим, наконец, что (d, \alpha_k) = \bigl( d, \prod_{i=1}^{k} r_i \bigr) = 1. От противного, если r_i\,|\,(d,\alpha_k), то, с одной стороны, r_i\,|\,q и r_i\,|\,P, с другой стороны, r_i\,|\,(d,P) = M. Так как (M, q) = 1, то наше предположение неверное. Так как (n/d, \alpha_k) =1 , то (n, \alpha_k) = 1. Таким образом, получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_k(M,\delta) &= \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M\delta) \\ (n, a\alpha_k )= 1}} \mu^2(n) h(n) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\leqslant z \\ (d,a)=1 \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )\\ (n/d, d \alpha_k a) = 1 }}\mu(d) \nonumber \\ &=\sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M\delta) \\ (n, a\alpha_k )= 1}} \mu^2(n) h(n) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\mu(d) \nonumber \\ &= \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M\delta) \\ (n, a\alpha_k )= 1}} \mu^2(n) h(n) W_n(M,\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
Поскольку M\,|\,P и (\delta, P) = 1, то имеем
\begin{equation*}
W_n(M,\delta) = \sum_{\substack{d\,|\,n \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\mu(d) = \mu(M) \sum_{\substack{d\,|\,(n/M) \\ (d, P/M) = 1\\ (d, M)=1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ) }}\mu(d) = \mu(M)\sum_{\substack{d\,|\,n \\ (d, P) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ) }}\mu(d),
\end{equation*}
\notag
где при вычислении последней суммы мы воспользовались тем, что условие d\,|\,(n/M) равносильно условию d\,|\,n и (d,M) = 1. Отсюда получаем
\begin{equation*}
W_n(M,\delta)\,{=}\, \mu(M)\!\sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\mu(d)\sum_{\Delta\,|\,(d,P)}\mu(\Delta) =\mu(M) \!\sum_{\Delta\,|\,(n,P)} \mu(\Delta) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ) \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \Delta ) }}\mu(d).
\end{equation*}
\notag
Далее, так как \Delta\,|\,P и (\delta,P) = 1, получаем (\delta,\Delta) = 1, откуда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_n(M,\delta) &= \mu(M) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu(\Delta)\sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta\Delta ) }}\mu(d) \\ &= \mu(M) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu(\Delta)\sum_{d\,|\,(n/(\delta\Delta))}\mu(\delta\Delta d) \\ &= \mu(M\delta) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu^2(\Delta)\sum_{d\,|\,(n/(\delta\Delta))}\mu(d) \\ &=\mu(M\delta) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu^2(\Delta)\, \mathbf{1}\biggl( \Delta = \frac{n}{\delta}\biggr) = \mu(M\delta)\, \mathbf{1}\biggl( \frac{n}{\delta}\biggm|P\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где введено обозначение
\begin{equation*}
\mathbf{1}(A) = \begin{cases} 1, &\text{если условие }A\text{ выполнено}, \\ 0 &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Подставляя полученное выражение для W_n(M,\delta) в (20), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_k(M,\delta) &= \mu(M\delta) \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta M) \\ (n, a \alpha_k )= 1 \\ n/(\delta\,|\,P)}} \mu^2(n) h(n) \\ &=\mu(M\delta) h(M\delta) \sum_{\substack{z/(\delta M\alpha_k)< n \leqslant z/(\delta M\alpha_{k-1}) \\ (n, a \alpha_k \delta M)= 1 \\ n\,|\,(P/M)}} \mu^2(n) h(n) \\ &\ll\mu^2(M\delta) h(M\delta) \sum_{n\,|\,P}\mu^2(n)h(n) = \mu^2(M\delta) h(M\delta) \prod_{p\,|\,P}(1+h(p)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 9 доказана. Докажем теперь основную лемму. Лемма 10 (основная). Пусть m\geqslant 1 – произвольное целое фиксированное число. Далее, пусть \{f\}_{i=1}^m – набор функций такой, что для любого простого p имеет место f_i(p)\ll_m (\ln p)^{m+1}/p. Положим
\begin{equation*}
T_m(z;a) = \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\p_1\,\nmid\,a}}f_1(p_1) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z \\p_m\,\nmid\, a}}f_m(p_m) \sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z \\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} [p_1, \dots, p_m])}} \frac{\rho_{d_1}\rho_{d_2}}{\varphi([d_1,d_2])}J_{[d_1,d_2]}(1),
\end{equation*}
\notag
где функция J_d(s) определена в (6), коэффициенты \rho_d определены в (17), а произведение P_a(z) определено в (16). Тогда для суммы T_m(z;a) выполняется оценка где H_a(z) определена в (15). Доказательство. Обозначим g(d) = J_d(1)/\phi(d), тогда и при p\geqslant 3 верна оценка откуда получаем g(p)\leqslant 1/2 при p\geqslant 3. С учетом равенства g(2) = 1/(2\ln{2}), для любого простого p находим Далее, из определения g(d) имеем
\begin{equation*}
T_m(z;a) = \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\p_1\,\nmid\,a}}f_1(p_1) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z \\p_m\,\nmid\, a}}f_m(p_m) \sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z \\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} [p_1, \dots, p_m])}}{\rho_{d_1}\rho_{d_2}}g([d_1, d_2]).
\end{equation*}
\notag
Для функции h(d), определенной в (14), с учетом оценки (21) при p\geqslant 3 находим Согласно (14) получаем откуда для бесквадратного d следуют равенства
\begin{equation*}
\frac{1}{g(d)} = \prod_{p\,|\,d}\biggl(1+\frac{1}{h(p)}\biggr) = \sum_{\delta \,|\, d}\frac{1}{h(\delta)}.
\end{equation*}
\notag
В силу мультипликативности g(n) и бесквадратности d_1 и d_2 имеем
\begin{equation*}
g([d_1, d_2]) = \frac{g(d_1)g(d_2)}{g((d_1, d_2))} = g(d_1)g(d_2)\sum_{\delta \,|\, (d_1 , d_2)}\frac{1}{h(\delta )},
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &T_m(z;a) \\ &= \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\ p_1\,\nmid\,a}}f_1(p_1) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z \\ p_m\,\nmid\, a}}f_m(p_m)\sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z\\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} [p_1, \dots, p_m]) \\ d_1, d_2 \equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d_1}g(d_1)\rho_{d_2}g(d_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Не ограничивая общности, можно считать, что все p_1, p_2, \dots, p_m попарно различные. Так, если p_1 = p_2, то
\begin{equation*}
f_1(p_1)f_2(p_1)\ll\frac{(\ln p_1)^{2m+2}}{p_1^2}\ll_m\frac{\ln p_1}{p_1},\qquad [p_1,p_2,\dots,p_m] = [p_1, p_3, \dots, p_m],
\end{equation*}
\notag
и оценка суммы T_m(z;a) сводится к оценке суммы того же вида, но с меньшим значением параметра m. Таким образом,
\begin{equation}
T_m(z;a) = \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\ p_1\,\nmid\,a} }f_1(p_1) \sum_{\substack{p_2\leqslant z\\ p_2\,\nmid\,a \\ p_2\neq p_1} }f_2(p_2) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z\\ p_m\,\nmid\,a \\ p_m\notin \{p_1, p_2, \dots, p_{m-1}\}} }f_m(p_m)\times S,
\end{equation}
\tag{23}
где
\begin{equation*}
S = \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\\delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\,P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z\\ [d_1, d_2]\equiv\, 0\,(\operatorname{mod} p_1 \dotsb p_m) \\ d_1, d_2 \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d_1}g(d_1)\rho_{d_2}g(d_2).
\end{equation*}
\notag
Положим P_m = p_1\cdots p_m. Заметим, что условие равносильно тому, что Положим A = (d_1, P_m), B = (d_2, P_m). Тогда
\begin{equation*}
\sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z\\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} P_m) \\ d_1, d_2 \equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d_1}g(d_1)\rho_{d_2}g(d_2) = \sum_{A\,|\,P_m}\sum_{\substack{B\,|\,P_m \\ [A,B] = P_m}} S_{\delta}(A)S_{\delta}(B),
\end{equation*}
\notag
где для целого N мы положили
\begin{equation*}
S_{\delta}(N) = \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = N \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_d g(d).
\end{equation*}
\notag
Далее, пусть D=(A, B), тогда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\\delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\sum_{A\,|\,P_m}\sum_{\substack{B\,|\,P_m \\ [A,B] = P_m}} S_{\delta}(A)S_{\delta}(B) \\ &= \sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z)\\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)} S_\delta(A) S_{\delta}(B), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где величины A, B и D связаны соотношением A B = {D P_m}.
Заметим, что (\delta,P_m/D)=1. Действительно, если существует простое p такое, что p\,|\, (\delta,P_m/D), то p\,|\, \delta, p\,|\, P_m и (p, D)=1. Отсюда следует, что (p,A)\,{=}\,1 либо (p, B)=1. Не ограничивая общности, пусть (p,A)=1. Тогда все d, отвечающие слагаемым суммы S_\delta(A), делятся на p. Поскольку p\,|\,P_m, то из условия (d, P_m) = A в сумме S_\delta(A) следует, что p\,|\,A, противоречие. Таким образом,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,P_m/D) = 1}}\frac{1}{h(\delta)} S_\delta(A) S_{\delta}(B) \nonumber \\ &=\sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,P_m/D) = 1 \\ (\delta, D) = q}}\frac{1}{h(\delta)} S_\delta(A) S_{\delta}(B) \nonumber \\ &=\sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}\frac{1}{h(q)} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,P_m) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} S_{\delta q}(A) S_{\delta q}(B). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
Выразим величину S_{\delta q}(A) в терминах величины S_{\delta}(1). Имеем
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = A\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta q )}}\rho_d g(d) = \sum_{\substack{d\leqslant z/q \\ d\,|\,(P_a(z)/q) \\ (d, P_m/q) = A/q \\d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\rho_{dq} g(dq).
\end{equation*}
\notag
Так как \rho_d=0 при d>z и условие d\,|\,(P_a(z)/q) равносильно условию получаем
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m/q) = A/q\\ (d,q) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d q} g(d) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = A/q\\ (d,q) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d q} g(d).
\end{equation*}
\notag
Так как при (d,q) > 1 коэффициент Сельберга \rho_{dq} = 0, то условие (d,q) = 1 в последней сумме может быть опущено. Тем самым, получим
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = A/q \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d q} g(d).
\end{equation*}
\notag
Далее, поскольку (\delta, P_m) = 1 и в то же время Aq^{-1}\,|\,P_m, то (\delta,{A}{q}^{-1}) = 1, так что
\begin{equation}
S_{\delta q}(A) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z/(Aq^{-1}) \\ d\,|\,(P_a(z)/(Aq^{-1})) \\ (d, P_m/(Aq^{-1})) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d A} g(Aq^{-1}d) = g(A)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d A} g(d).
\end{equation}
\tag{25}
Пусть A>1 и A = r_1 r_2 \cdots r_s — разложение A на простые. В этом случае, (-1)^s = \mu(A). Так как (d,A) = (dA,a) = 1, то из леммы 8 получаем:
\begin{equation*}
\rho_{dA} = \mu(A)\biggl(\rho_d-\frac{\mu(d)h(d)}{H_a(z)g(d)}R\biggr),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
R = \sum_{k=1}^{\omega(A)}\biggl( \prod_{i = 1}^{k-1} \frac{h(r_i)}{g(r_i)}\biggr) \sum_{\substack{z/(d\alpha_k)< l \leqslant z/(d\alpha_{k-1}) \\ (l,d \alpha_k a) = 1}} \mu^2(l) h(l),\qquad \alpha_k = \prod_{i = 1}^{k} r_i.
\end{equation*}
\notag
Из (25) получаем
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = \mu(A)g(A)\biggl(S_{\delta}(1)-\frac{R'}{H_a(z)}\biggr),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
R' = \sum_{k=1}^{\omega(A)}\biggl( \prod_{i = 1}^{k-1}\frac{h(r_i)}{g(r_i)}\biggr) \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\mu(d)h(d) \sum_{\substack{z/(d\alpha_k)< l \leqslant z/(d\alpha_{k-1}) \\ (l,d \alpha_k a) = 1}} \mu^2(l) h(l).
\end{equation*}
\notag
Из леммы 9 и равенства h(p)/g(p)=1+h(p) находим оценку величины R':
\begin{equation*}
R'=\sum_{k=1}^{\omega(A)}\biggl( \prod_{i = 1}^{k-1}(1+h(r_i))\biggr) R_k(1,\delta)\ll\omega(A)\prod_{p\,|\,P_m}(1+h(p))^2\mu^2(\delta) h(\delta)\ll_m \mu^2(\delta) h(\delta).
\end{equation*}
\notag
Таким образом, при A>1 мы получаем
\begin{equation}
S_{\delta q}(A) = \mu(A)g(A)\biggl( S_{\delta }(1)+O_m\biggl( \frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a}\biggr) \biggr).
\end{equation}
\tag{26}
Из (25) при A = 1 получаем S_{\delta q} (1) = S_{\delta}(1), тем самым равенство (26) выполняется и при A = 1.
С учетом доказанного из (24) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}\frac{1}{h(q)} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,{P_m})=1}}\frac{1}{h(\delta)} \mu(A)g(A)\mu(B)g(B) \\ &\qquad\times\biggl( S_{\delta}(1)+O_m\biggl(\frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a(z)} \biggr) \biggr)^2 \\ &=\mu(P_m) g(P_m) \sum_{D \,|\, P_m}\mu(D) g(D) \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}\frac{1}{h(q)} \\ &\qquad \times \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} \biggl( S_{\delta}(1)+O_m\biggl(\frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a(z)} \biggr) \biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Так как для любого бесквадратного d справедливо неравенство то для суммы S получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S &\ll_m g(P_m)\sum_{D\,|\,P_m}\frac{g(D)}{h(D)}\sum_{\substack{A\,|\,P_m \\ A\equiv 0\, (\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}h\biggl(\frac{D}{q}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\times \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} \biggl( S_{\delta}(1)+\frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a(z)} \biggr)^2 \nonumber \\ &\ll_m g(P_m) W \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} \biggl( S_{\delta}^2(1)+\frac{\mu^2(\delta) h^2(\delta)}{H^2_a(z)} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
где сумма W определяется равенством
\begin{equation*}
W = \sum_{D\,|\,P_m}\sum_{\substack{A\,|\,P_m \\ A\equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{d\,|\,D}h(d).
\end{equation*}
\notag
Заметим, что W\ll 4^m. Действительно:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W &= \sum_{D\,|\,P_m}\prod_{p\,|\,D}(1+h(p))\sum_{\substack{A\,|\,P_m \\ A\equiv 0\, (\operatorname{mod} D)}}1 = \sum_{D\,|\,P_m} \prod_{p\,|\,D}(1+h(p)) \frac{\tau(P_m)}{\tau(D)} \\ &= \tau(P_m)\sum_{D\,|\,P_m}\prod_{p\,|\,D}\frac{1+h(p)}{2} = \tau(P_m)\prod_{p\,|\,P_m}\frac{3+h(p)}{2} = \prod_{p\,|\,P_m}(3+h(p))\ll 4^m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда из (27) с помощью равенства (15) находим
\begin{equation}
S\ll_m g(P_m)\Biggl( \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{S_{\delta}^2(1)}{h(\delta)}+\frac{1}{H_a(z)}\Biggr).
\end{equation}
\tag{28}
Заметим теперь, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{\delta}(1) &= \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = 1\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_d g(d) = \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\rho_d g(d)- \sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m\\ \Delta>1}} S_{\delta}(\Delta) \\ &=x_{\delta}-\sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m\\ \Delta>1}} \mu(\Delta)g(\Delta)\biggl( S_{\delta}(1)+ O_m\biggl( \frac{\mu^2(\delta)h(\delta)}{H_a(z)}\biggr) \biggr) \\ &=x_{\delta}-S_{\delta}(1)\sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m\\ \Delta>1}} \mu(\Delta)g(\Delta) + O_m\Biggl( \frac{\mu^2(\delta)h(\delta)}{H_a(z)}\sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m \\ \Delta > 1}}\mu^2(\Delta)g(\Delta)\Biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем
\begin{equation*}
S_{\delta}(1) \sum_{\Delta\,|\, P_m}\mu(\Delta)g(\Delta) = x_{\delta} + O_{m}\biggl(\frac{\mu^2(\delta)h(\delta)}{H_a(z)} \biggr).
\end{equation*}
\notag
Поскольку 0<g(p) \leqslant 1/(2\ln 2) для любого простого p, то
\begin{equation*}
\sum_{\delta\,|\, P_m}\mu(\Delta)g(\Delta) = \prod_{p\,|\,P_m}(1-g(p)) \gg_m 1,
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
S^2_{\delta}(1)\ll_m x^2_{\delta}+\frac{\mu^2(\delta) h^2(\delta)}{H_a^2(z)}.
\end{equation*}
\notag
Заметим теперь, что
\begin{equation*}
\sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)} x^2_{\delta} = \frac{1}{H_a(z)}.
\end{equation*}
\notag
Действительно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{H_a(z)} &= \sum_{d_1,d_2\,|\,P_a(z)} \rho_{d_1}\rho_{d_2}g(d_1)g(d_1)\frac{1}{g((d_1,d_2))} \\ &=\sum_{\substack{\delta\,|\,P_a(z)\\\delta \leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\Biggl( \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\rho_d g(d)\Biggr)^2 = \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)} x^2_{\delta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, из (28) получаем
\begin{equation*}
S\ll_m \frac{g(P_m)}{H_a(z)} = \frac{g(p_1)g(p_2)\cdots g(p_m)}{H_a(z)}\ll_m \frac{1}{p_1p_2\cdots p_m H_a(z)}.
\end{equation*}
\notag
Подставляя эту оценку в формулу (23), получаем
\begin{equation*}
T_m(z;a) \ll \sum_{p_1\leqslant z}\frac{f_1(p_1)}{p_1} \sum_{p_2\leqslant z}\frac{f_1(p_2)}{p_2} \cdots \sum_{p_m\leqslant z}\frac{f_m(p_m)}{p_m}\, |S|\ll_m \frac{1}{H_a(z)}.
\end{equation*}
\notag
Лемма 10 доказана. Лемма 11. Пусть для мультипликативной функции g(n) выполнены следующие два условия: – для некоторой постоянной A_1\geqslant 1 и любого простого p справедливо – для некоторых величин \kappa, L, A_2>0 имеют место неравенства
\begin{equation}
-L\leqslant \sum_{u\leqslant p<v}g(p)\ln p-\kappa\ln\biggl(\frac{v}{u}\biggr)\leqslant A_2.
\end{equation}
\tag{30}
Тогда для величины W(z) = \prod_{p<z}(1-g(p)) справедливо равенство
\begin{equation*}
W(z) = \prod_{p}(1-g(p))\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-\kappa}\frac{e^{-\gamma\kappa}}{(\ln z)^{\kappa}}\biggl(1+O\biggl(\frac{L}{\ln z}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
где \gamma – постоянная Эйлера–Маскерони. Лемма 12. Пусть g(n), h(n) – мультипликативные функции, причем для всякого простого p. Пусть далее выполнены условия (29) и (30), и пусть
\begin{equation}
H(z) = \sum_{k\leqslant z}\mu^2(k)h(k), \qquad W(z) = \prod_{p<z}(1-g(p)).
\end{equation}
\tag{31}
Тогда
\begin{equation*}
\frac{1}{H(z)} = W(z)e^{\gamma\kappa}\Gamma(\kappa+1)\biggl(1+O\biggl(\frac{L}{\ln z}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
где \gamma – постоянная Эйлера–Маскерони. Из лемм 11 и 12 для величины H(z), определенной в (31), получаем
\begin{equation}
\frac{1}{H(z)} = \prod_{p}(1-g(p)) \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-\kappa} \frac{\Gamma(\kappa+1)}{(\ln z)^{\kappa}}\biggl(1+O\biggl(\frac{L}{\ln z}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{32}
Нам понадобится основная лемма работы [9]. Лемма 13. Пусть d\geqslant 1 – фиксированное целое число, f(q) – положительная функция такая, что для некоторой постоянной \kappa > 0. Тогда для любого фиксированного B>0 найдется A(B) > 0 такое, что неравенство
\begin{equation*}
R = \sum_{q\leqslant Q}\frac{f(q)}{\varphi(q)}\sum_{\substack{\chi\,\operatorname{mod} q \\ \chi\neq\chi_0}}\,\Biggl|\sum_{\substack{n\leqslant N \\ (n, d) = 1}} \frac{\chi(n)}{\tau(n)}\Biggr| \ll x(\ln x)^{-B}
\end{equation*}
\notag
выполняется для всяких Q, N таких, что Q\leqslant \sqrt{x}\,(\ln x)^{-A}, N\leqslant x, причем константа в знаке \ll неэффективная и зависит от B, d и f. § 2. Доказательство теоремыИмеем
\begin{equation*}
\Phi_a(x)=\sum _{p \leqslant x} \frac{1}{\tau (p+a)}\leqslant \sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ (n,P_a(z))=1 }} \frac{1}{\tau (n+a)}+r_1,
\end{equation*}
\notag
где r_1=r_1(z;a) – количество тех n\leqslant z, для которых n+a простое, так что Далее, пусть \rho_d выбраны так, как в (17), тогда \rho_1 = 1, \rho_d = 0 при d>z или d\nmid P_a(z); и |\rho_d|\leqslant 1. Отсюда получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_a(x) &\leqslant\sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ (n,P_a(z))=1 }} \frac{1}{\tau (n+a)}+r_1 \leqslant \sum_{\substack{ n+a\leqslant x}} \frac{1}{\tau (n+a)}\biggl(\sum_{d\,|\,(n,P_a(z))}\rho_d\biggr)^2+ r_1 \\ &=\sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}{\lambda_d}\sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ n\equiv0\,(\operatorname{mod} d)}}\frac{1}{\tau(n+a)}+r_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \lambda_d = \sum_{[d_1, d_2] = d}\rho_{d_1}\rho_{d_2}. Отметим при этом, что
\begin{equation*}
|\lambda_d|\leqslant \sum_{[d_1, d_2] = d} 1 = 3^{\omega(d)}.
\end{equation*}
\notag
Так как (d,a) = 1, то
\begin{equation*}
\sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ n\equiv0\, (\operatorname{mod} d)}}\frac{1}{\tau(n+a)} = \sum_{\substack{ k\leqslant x \\ k\equiv a\,(\operatorname{mod} d)}}\frac{1}{\tau(k)} = \frac{1}{\varphi(d)}\sum_{\chi\, \operatorname{mod} d}\overline{\chi}(a)\sum_{k\leqslant x}\frac{\chi(k)}{\tau(k)},
\end{equation*}
\notag
где суммирование ведется по всем характерам Дирихле по модулю d. Выделяя вклад главного характера и обозначая через r_2 вклад от оставшихся, получим
\begin{equation*}
\Phi_a(x)\leqslant \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d}{\varphi(d)} \sum_{\substack{ k\leqslant x \\ (k, d) = 1}}\frac{1}{\tau(k)}+r_2+r_1,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
r_2 = r_2(x,z;a) \ll\sum_{d\leqslant z^2}\frac{|\lambda_d|}{\varphi(d)} \sum_{\substack{\chi\,\operatorname{mod} d \\ \chi\neq\chi_0}}\, \biggl|\sum_{\substack{ k\leqslant x}}\frac{\chi(k)}{\tau(k)}\biggr| \ll \sum_{d\leqslant z^2}\frac{3^{\omega(d)}}{\varphi(d)} \sum_{\substack{\chi\,\operatorname{mod} d \\ \chi\neq\chi_0}}\, \biggl|\sum_{\substack{ k\leqslant x}}\frac{\chi(k)}{\tau(k)}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
Зададимся целым числом m_0\geqslant 1. Тогда из леммы 4 будем иметь
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_a(x) &\leqslant \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d}{\varphi(d)}\biggl(\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^{m_0}\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\, \frac{G_d^{(k)}(1)}{(\ln x)^k}+R_{m_0}(x;d)\biggr)+r_2+r_1 \nonumber \\ &= \frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^{m_0}\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k(\ln x)^k} \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d G_d^{(k)}(1)}{\varphi(d)}+r_3+r_2+r_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_3 &\ll_{m_0}\frac{x}{(\ln x)^{m_0 + 3/2}}\sum_{d\leqslant z^2}\frac{|\lambda_d|}{\varphi(d)}(\omega(d)+2)^{10} \\ &\ll \frac{x}{(\ln x)^{m_0 + 3/2}}\sum_{d\leqslant z^2} \frac{(3+1/2)^{\omega(d)}}{\varphi(d)} \ll\frac{x(\ln z)^{3+1/2}}{(\ln x)^{m_0+3/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Подставив равенство
\begin{equation*}
G^{(k)}_d(s) = \sum_{l = 0}^k\binom{k}{l}H^{(k-l)}(s)J_d^{(l)}(s)
\end{equation*}
\notag
в (33) и поменяв порядок суммирования по переменным d и l, мы получим
\begin{equation}
\Phi_a(x)\leqslant \frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k = 0}^{m_0}\frac{a_k}{(\ln x)^k}\sum_{l = 0}^k b_l(k)S_l(z;a)+r_3+r_2+r_1,
\end{equation}
\tag{34}
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_k = \frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k},\qquad b_l(k) = \binom{k}{l} H^{(k-l)}(1), \\ S_l(z;a) = \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d J_d^{(l)}(1)}{\varphi(d)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Перейдем к оценке величин S_l(z;a). Положим g(d) = J_d(1)/\varphi(d), тогда при l = 0 получим
\begin{equation}
S_0(z;a) = \sum_{\substack{d_1,d_2 \,|\,P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z}}\rho_{d_1}\rho_{d_2}g([d_1,d_2]) = \frac{1}{H_a(z)}.
\end{equation}
\tag{35}
Пусть теперь l\geqslant 1, тогда из леммы 6 получим
\begin{equation}
S_l(z;a) = \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d}{\varphi(d)}J_d(1)Q_l,
\end{equation}
\tag{36}
где Q_l – многочлен степени l от переменных I(1), I'(1), \dots, I^{(l-1)}(1) с целыми коэффициентами:
\begin{equation*}
Q_l = \sum_{m=0}^l\sum_{\substack{ |\mathbf{i}| = m }}a_{\mathbf{i}}\prod_{\substack{r=1}}^l\bigl( I^{(r-1)}(1)\bigr)^{i_r} ,
\end{equation*}
\notag
здесь \mathbf{i} = (i_1,\dots, i_l) – набор целых неотрицательных чисел, |\mathbf{i}| = i_1+\dots+i_l, а I(s) – функция, определенная в (12). Для 1\leqslant r\leqslant l имеем где \mathfrak{f}_r(p)=f^{(r-1)}(1;p). В силу леммы 5 для простых p выполнены неравенства
\begin{equation*}
\mathfrak{f}_{r}(p)\ll_r\frac{(\ln p)^{r+1}}{p}\ll_{m_0}\frac{(\ln p)^{m_0+1}}{p}.
\end{equation*}
\notag
Для удобства обозначений при каждом r\geqslant 1 рассмотрим i_r тождественно равных между собой функций, снабженных разными индексами: Отсюда в силу введенных обозначений получим
\begin{equation*}
(I^{(r-1)}(1))^{i_r} \,{=} \sum_{p_{r1}\,|\,d}f_{r1}(p_{r1})\cdots \sum_{p_{ri_{r}}\,|\,d}f_{ri_r}(p_{ri_r})\,{=} \sum_{p_{r1},\,\dots,\, p_{ri_r}\,|\,d}{f}_{r1}(p_{r1})\cdots {f}_{ri_r}(p_{ri_r}).
\end{equation*}
\notag
Пусть j_1, j_2, \dots, j_R – последовательность индексов ненулевых координат вектора \mathbf{i}. Тогда j_1<j_2<\dots<j_{R}, R\leqslant l, и i_r \neq 0 тогда и только тогда, когда r\in \{j_1, j_2, \dots, j_R\} . Отсюда имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{\substack{r=1}}^l\bigl( I^{(r-1)}(1)\bigr)^{i_r} &= \prod_{\substack{r=1 \\ i_r \neq 0}}^l \sum_{p_{r1},\dots,p_{ri_r}\,|\,d}f_{r1}(p_{r1})\cdots f_{ri_r}(p_{ri_r}) \\ &=\sum_{p_{j_11}, \dots, p_{j_Ri_{j_R}}\,|\,d} f_{j_11}(p_{j_11})\cdots f_{j_Ri_{j_R}}(p_{j_Ri_{j_R}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поставим в соответствие каждой паре (j_\nu,t), где 1\leqslant t\leqslant i_{j_\nu}, число При такой нумерации выражение f_{j_\nu t}(p_{j_\nu t}) перейдет в f_i(p_i), где 1\leqslant i\leqslant m. Тогда получаем
\begin{equation*}
\prod_{\substack{r=1}}^l\bigl( I^{(r-1)}(1)\bigr)^{i_r} = \sum_{p_1,p_2,\dots,p_m \,|\, d}f_1(p_1)f_2(p_2)\cdots f_m(p_m).
\end{equation*}
\notag
Тем самым для величины Q_l имеем
\begin{equation}
Q_l = \sum_{m=0}^l \sum_{\substack{|\mathbf{i}| = m}}a_{\mathbf{i}}\,\sum_{p_1,p_2,\dots,p_m \,|\, d}f_1(p_1)f_2(p_2)\cdots f_m(p_m).
\end{equation}
\tag{37}
Подставляя выражение (37) в (36) и меняя порядок суммирования, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_l(z;a) &= \sum_{m=0}^l \sum_{\substack{|\mathbf{i}|=m}} a_{\mathbf{i}}\, \sum_{\substack{p_1 \leqslant z \\ p_1\nmid\, a}}f_1(p_1)\cdots\sum_{\substack{p_m \leqslant z \\ p_m\nmid\, a}}f_m(p_m) \\ &\qquad\times\sum_{\substack{d_1,d_2\,|\,P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z \\ [d_1,d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} P)}}\frac{\rho_{d_1}\rho_{d_2}}{\varphi([d_1,d_2])}J_{[d_1,d_2]}(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где P – наименьшее общее кратное простых чисел p_{1}, p_2, \dots, p_m. Применяя к полученной сумме при m=0 равенство (35), а при m\geqslant 1 лемму 10, получим оценку Выделим в сумме (34) слагаемое, соответствующее k = 0, а к остальной части суммы применим неравенство (38). В этом случае оценка \Phi_a(x) преобразуется к виду
\begin{equation*}
\Phi_a(x) \leqslant\frac{H(1)}{\sqrt{\pi}}\, \frac{x}{\sqrt{\ln x}\, H_a(z)}+r_4+r_3+r_2+r_1,
\end{equation*}
\notag
где Вычислим величину 1/H_a(z) асимптотически. Для этой цели применим равенство (32). Для простых p положим
\begin{equation*}
g_0(p) = \begin{cases} g(p), &\text{если } p\nmid a, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases} \qquad h_0(p) = \frac{g_0(p)}{1-g_0(p)},
\end{equation*}
\notag
и определим g_0(d), h_0(d) для бесквадратных d по мультипликативности. Из определения функции h_0 находим Найдем соответствующие функции g_0 параметры A_1, A_2, L, \kappa. Из оценки (22) следует, что можно взять A_1 = 4. Из оценки (21) при p\geqslant 2 следует равенство
\begin{equation*}
g(p) = \frac{1}{p}+\frac{\theta}{p(p-1)},\qquad |\theta| \leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Отсюда находим \kappa = 1 и A_2, L = O_a(1). Из (32) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{H_a(z)} &= \prod_{p}\biggl(1-g_0(p)\biggr) \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\frac{1}{\ln z}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\ln z}\biggr)\biggr) \\ &=\frac{C\beta(a)}{\ln z}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\ln z}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C = \prod_{p}(1-g(p))\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}, \\ \beta(a) = \prod_{p\,|\,a}\biggl( 1+\frac{1}{p(p-1)\ln(p/(p-1))-1}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем следующую оценку суммы \Phi_a(x):
\begin{equation}
\Phi_a(x) \leqslant K\beta(a)\frac{x}{\sqrt{\ln x}\,\ln z}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\ln z}\biggr)\biggr)+r_4+r_3+r_2+r_1,
\end{equation}
\tag{39}
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &= \frac{H(1)C}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_p\sqrt{p^2-p}\, \ln{\frac{p}{p-1}}\biggl(1-\frac{1}{p(p-1)\ln(p/(p-1))}\biggr) \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_{p}\sqrt{\frac{p}{p-1}}\biggl(p\ln\frac{p}{p-1} -\frac{1}{p-1}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Перейдем к финальной оценке остаточных членов. В лемме 13 возьмем
\begin{equation*}
f(q) = 3^{\omega(q)},\qquad B = \frac{5}{2},\qquad d = 1,\qquad Q = \frac{\sqrt{x}}{(\ln x)^A},\qquad N = x.
\end{equation*}
\notag
Выберем m_0 = 5 и z в виде тогда из леммы 13 получим r_2\ll x/(\ln x)^{5/2}. Для величин r_4, r_3, r_1 при таком выборе параметров получаем
\begin{equation*}
r_4\ll\frac{x}{(\ln x)^{5/2}},\qquad r_3\ll\frac{x}{(\ln x)^3},\qquad r_1\ll\sqrt[4]{x}.
\end{equation*}
\notag
В итоге, из (39) находим
\begin{equation*}
\Phi_a(x)\leqslant 4K\beta(a)\frac{x}{(\ln x)^{3/2}}\biggl(1+O\biggl(\frac{\ln\ln x}{\ln x}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство теоремы 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iud22}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|