| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Оценки Соломяка для оператора Бирмана–Швингера Ф. А. Сукочев, Д. В. Занин School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales, Sydney, Australia
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9732e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеОценки для оператора Mfg(∇) (здесь Mf – оператор умножения, а g(∇) – функция градиента) берут свое начало в изучении связанных состояний1 операторов Шрёдингера. Проблема описания функций f и g таких, что Mfg(∇) принадлежит некоторому (слабому) классу Шаттена Lp,∞, была сформулирована Саймоном (см. [34; гипотеза 1], а также [35; гл. 4]). Первый значительный результат в этом направлении принадлежит Цвикелю (см. [13]; также см. [9; теорема 6.5]). Он гласит, что Здесь квазинорма слабого шаттеновского идеала слева задается формулой где (\mu(k,T))_{k\geqslant0} – (убывающая) последовательность сингулярных чисел оператора T (см. [35], [24]).Мы называем оценки такого вида оценками Цвикеля (здесь функция g градиента произвольна). Оценки Цвикеля были усилены Вейдлем (см. [43]) следующим образом:
\begin{equation*}
\|M_fg(\nabla)\|_{p,\infty}\leqslant c_p\|f\otimes g\|_{p,\infty}, \qquad f\otimes g\in L_{p,\infty}(\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d), \quad 2<p\leqslant\infty.
\end{equation*}
\notag
В работе [22] дан более общий вариант этой оценки, пригодный для “некоммутирующих переменных” f и g. Постановка задачи, рассмотренная в [22], взята из так называемого “квантованного исчисления” и применима к конкретным проблемам в некоммутативной геометрии. В частности, оценки Цвикеля, полученные в [22], применимы к некоммутативным евклидовым пространствам (пространствам Мойяла) и к магнитным лапласианам. Следующий частный случай оценок Цвикеля наиболее важен в различных приложениях (как в математической физике, так и в некоммутативной геометрии). Определим и зафиксируем функцию g следующим образом:
\begin{equation*}
g(t)=(1+|t|^2)^{-d/(2p)}, \qquad t\in\mathbb{R}^d, \quad p>0,
\end{equation*}
\notag
и рассмотрим оператор M_fg(\nabla)=M_f(1-\Delta)^{-d/(2p)}. Нас интересует критическая экспонента, т.е. p=2. Физики были бы рады рассматривать функцию g(t)=|t|^{-d/p}, однако соответствующий оператор M_fg(\nabla) (в критическом случае, p=2) неограничен (это показано, например, в доказательстве предложения 7.4 в [35]) и потому выпадает из рассмотрения в настоящей работе. Наилучшие оценки для оператора M_f(1-\Delta)^{-d/4} (как на \mathbb{R}^d, так и на d-мерном торе \mathbb{T}^d) содержатся в фундаментальной работе Соломяка [37]. Эти оценки в [37] не сформулированы явно и даны только в случае четных размерностей. Статья [37] основана на длинной серии предшествующих работ Бирмана и Соломяка и их сотрудников (см. [5]–[7], [30], [8]), также мотивированных изучением дискретного спектра операторов Шрёдингера. Общая схема получения оценок квазинорм для оператора M_f(1-\Delta)^{-d/4}, сформулированная в этих работах, была в дальнейшем адаптирована в последующих работах Соломяка [38] и Шаргородского [33] к случаю четных размерностей и подходящих норм Орлича. Недавний препринт Розенблюма [31] основан на тех же идеях. Мы показываем следующую оценку для оператора (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4} на d-мерном торе \mathbb{T}^d и идеала \mathcal{L}_{1,\infty}. Теорема 1.1 реконструирует результаты Соломяка (см. [37; лемма 2.1 и теорема 2.1]) в явной форме и одновременно распространяет их на случай произвольной размерности. Ее доказательство хотя и смоделировано на основе работы [37], но содержит несколько технических модификаций, которые помогут читателю в ее освоении. Везде в статье символ c_d обозначает константу, зависящую только от размерности d. Пространство Орлича L_{\Phi}(\mathbb{T}^d), определенное посредством функции Орлича \Phi(t)=t\log(e+t), t>0, введено Зигмундом в 1928 г. (см. [3; п. 4.6]) и зачастую обозначается в литературе как L\log L(\mathbb{T}^d). Интересно следующее сравнение результата теоремы 1.1 с теоремой 1.2 из недавней работа С. Лорда и авторов [23]. Там с использованием техники тензорных мультипликаторов, взятой из теории банаховых пространств, показано, что если f \in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d), то
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \in\mathcal{M}_{1,\infty}(L_2(\mathbb{R}^d)),
\end{equation*}
\notag
где идеал (Диксмье–Мацаева) \mathcal{M}_{1,\infty}, определяемый как замыкание \mathcal{L}_{1,\infty} относительно субмажоризации, строго шире, чем \mathcal{L}_{1,\infty} (см., например, [12]). В настоящей работе мы применяем совсем иной подход и получаем более сильную оценку в теореме 1.1 для меньшего идеала \mathcal{L}_{1,\infty}. Наш подход основан на идеях Соломяка из [36], [37], примененных там для случая четных размерностей. Г. Розенблюм (в частной переписке) задал вопрос о возможности продолжения теоремы 1.1 на случай евклидова пространства. Мы показываем разительный контраст между оценками для идеала Диксмье–Мацаева \mathcal{M}_{1,\infty} и слабого идеала Шаттена–фон Неймана \mathcal{L}_{1,\infty}. Утверждение теоремы 1.1 становится ложным, если заменить \mathbb{T}^d на \mathbb{R}^d, для любого симметричного пространства функций на \mathbb{R}^d. Этот неожиданный результат установлен в теореме 1.2. Теорема 1.2. Для любого симметричного квазибанахова пространства функций E(\mathbb{R}^d) на \mathbb{R}^d существует 0\leqslant f\in E(\mathbb{R}^d) такая, что Наш третий основной результат, теорема 1.3, содержит альтернативную оценку и дает подходящее продолжение результата теоремы 1.1 для случая евклидова пространства \mathbb{R}^d. Эта оценка покрывает все известные в литературе результаты для слабых идеалов в критическом случае. Она также доставляет наилучшую (на сегодняшний день) оценку Соломяка для \mathbb{R}^d и слабого шаттеновского класса \mathcal{L}_{1,\infty}. Теорема 1.3. Пусть d\in\mathbb{N}. Пусть \Phi(t)=t\log(e+t), t>0, и f\in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d). Имеем при условии, что интеграл справа конечен.Как установлено в [23; п. 2.5], оператор, рассмотренный в теореме 1.3, ограничен для любой функции f из пространства Орлича2 L_{\Phi}(\mathbb{R}^d). В частном случае, когда d=2, f\geqslant0, выражение в правой части неравенства в теореме 1.3 может быть усмотрено в работе Шаргородского [33], где оно было использовано для получения точных оценок числа отрицательных собственных значений оператора Шрёдингера (плодотворная идея использовать инверсию, примененная в [33], восходит к [4]). Отметим, что оценки Соломяка не рассматривались в [33]. Доказательство теоремы 1.3 демонстрирует конформную инвариантность оценок Соломяка. В докритическом случае эта идея восходит к работе [16]. Франк (см. [14]) исследовал конформную инвариантность (для неравенства Рюмина, которое на самом деле эквивалентно оценкам Соломяка) в докритическом случае. Мы доказываем инвариантность оценок Соломяка в критическом случае в отношении инверсии (это по существу единственное нелинейное конформное отображение при d>2). Теорема 1.3 является новой в случае размерности d\neq 2. Если d=2, то ее результат с некоторыми усилиями может быть выведен из результатов Соломяка [36] и Шаргородского [33]. Доказательство, данное в § 8, принадлежит профессору Франку. В § 7 мы даем альтернативное описание величины, стоящей в правой части формулы из теоремы 1.3 (см. утверждение 5.1). 1.1. Стратегия доказательстваНаш подход к доказательству теоремы 1.1 базируется на теореме вложения Соболева и следует канону, разработанному в процитированных работах Бирмана и Соломяка с решающим улучшением, предложенным Соломяком (см. [36], [37]). Следует отметить, что даже ограниченность (в равномерной норме) оператора
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}
\end{equation*}
\notag
нетривиальна (для неограниченной измеримой функции f на \mathbb{T}^d). Действительно, оценка равномерной нормы этого оператора эквивалентна (см., например, [23; теорема 2.3]) критическому случаю в теореме вложения Соболева. В § 4 мы переформулируем теорему 1.1 следующим образом:
\begin{equation*}
\bigl\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty}\leqslant c_d\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}^{1/2}, \qquad 0\leqslant f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
Заметим что (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4} посылает L_2(\mathbb{T}^d) в пространство Соболева W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d). Нетрудно проверить, что вложение \operatorname{id}\colon W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d) является компактным оператором. Следовательно, хотя бы для ограниченной функции f оператор умножения M_{f^{1/2}} из W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d) в L_2(\mathbb{T}^d) также компактен. Мы перенимаем точку зрения Соломяка на теорему 1.1 как на оценку аппроксимационных чисел оператора M_{f^{1/2}} из W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d) в L_2(\mathbb{T}^d) (эта точка зрения объяснена ниже в лемме 4.3). Соломяк применяет методы, развитые Бирманом и Соломяком и изложенные, например, в книге [8] (см. теоремы 1.1–1.4 в [8] и последующие объяснения). Ключевыми инструментами в нашем доказательстве являются однородные неравенства Соболева на кубе (теорема 2.3) и лемма Безиковича о покрытиях (лемма 3.4). Использование покрытий вместо разбиений, применяемых ранее при построении аппроксимирующих операторов конечного ранга, было впервые предложено Розенблюмом; см. также комментарии, предшествующие доказательству теоремы 3.1. Решающее значение теоремы 2.3 становится очевидным в доказательстве леммы 4.1. Лемма Безиковича о покрытиях позволяет выбрать линейный оператор заданного ранга n, приближающий M_{f^{1/2}} с нужной точностью. Теорема вложения Соболева в критическом случае была доказана Ханссоном, Брезисом и Вайнгером, Цвикелем и Пустыльником и подвергнута дальнейшему анализу в работе [41], где оценки на норму заменены оценками на функцию распределения. Такой подход позволяет вычислять операторную норму оператора (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} и является незаменимым инструментом в доказательстве теоремы 1.2. Техника, использованная в доказательстве теоремы 1.3, основывается на инверсионном трюке, приписываемом в [33] Григоряну и Надирашвили (см. [18]; см. также [4] и [16]). Эта техника позволяет сравнивать операторы
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}, \qquad (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{Vf}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4},
\end{equation*}
\notag
где функция Vf определена в лемме 5.3. Решающее значение имеет тот факт, что если носитель функции f лежит вне единичного шара, то носитель функции Vf содержится в единичном шаре. Это наблюдение позволяет свести задачу к случаю, когда носитель функции f содержится в единичном шаре, т.е. к оценкам Соломяка на торе \mathbb{T}^d. Насколько нам известно, это первый случай использования инверсии в изучении оценок Соломяка. БлагодарностиАвторы благодарят профессоров Н. Трудингера и Э. Вальдиночи за полезные обсуждения теоремы вложения Соболева и профессора Г. Розенблюма за его интерес, проявленный к настоящей работе, и за обсуждения, приведшие к многочисленным улучшениям в изложении материала (как в математическом, так и в историческом плане). Авторы признательны профессору Р. Франку за доказательство, изложенное в § 8, и за его сообщение о работе [14]. § 2. Предварительные сведенияНа протяжении статьи считаем, что константы c_{x,y} зависят только от x, y. Точные значения этих констант могут меняться от строчки к строчке. Запись A\approx B означает, что существует абсолютная константа c>1 такая, что c^{-1}A\leqslant B\leqslant cA. Интеграл, записанный без точно указанной меры, означает, что интегрирование ведется относительно меры Лебега. 2.1. Симметричные пространства функцийПусть (\Omega,\omega) – это \sigma-конечное пространство с мерой. Пусть S(\Omega,\omega) – это множество всех \omega-измеримых функций на \Omega таких, что для некоторого n\in\mathbb{N} (n зависит от f) носитель функции |f|\chi_{\{|f|>n\}} имеет конечную меру. Для каждого f\in S(\Omega,\omega) функция распределения принимает конечные значения для всех достаточно больших t. Для каждой f\in S(\Omega,\omega) мы определяем понятие убывающей перестановки f (обозначаемой \mu(f)): это неотрицательная функция на \mathbb{R}_+, равноизмеримая с |f|. Свойства перестановок можно найти в [21].Пусть E(\Omega,\omega)\subset S(\Omega,\omega), и пусть \|\cdot\|_E – это квазибанахова норма на E(\Omega,\omega) такая, что:
Мы говорим, что (E(\Omega,\omega),\|\cdot\|_E) (или просто E) – симметричное квазибанахово пространство функций (для краткости – симметричное пространство). Если \Omega=\mathbb{R}_+, то функция называется фундаментальной функцией пространства E. Фундаментальная функция может быть определена аналогично, когда \Omega – это интервал или произвольное \sigma-конечное безатомное пространство с мерой (хотя мы будем использовать только простейшие случаи типа \mathbb{T}^d). Конкретные примеры пространств с мерой (\Omega, \omega), рассматриваемые в настоящей работе, – это \mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/(2\pi\mathbb{Z})^d (снабженные нормализованной мерой Хаара \nu), \mathbb{R}_+, \mathbb{R}^d (снабженные мерой Лебега \nu) и их измеримые подмножества.Среди конкретных симметричных пространств, использованных в настоящей работе, находятся L_p-пространства и пространства Орлича. Для данной выпуклой функции \Phi на [0,\infty) такой, что \Phi(0)=0, пространство Орлича L_{\Phi}(\Omega,\omega) определяется следующим образом:
\begin{equation*}
L_{\Phi}(\Omega,\omega)=\bigl\{f\in S(\Omega,\omega)\colon \Phi(\lambda|f|)\in L_1(\Omega,\omega) \text{ для любого }\lambda>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Мы снабдим это пространство нормой
\begin{equation}
\|f\|_{L_{\Phi}}=\inf\biggl\{\lambda>0\colon \biggl\|\Phi\biggl(\frac{|f|}{\lambda}\biggr)\biggr\|_1\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
В книге [20] можно найти дополнительную информацию о пространствах Орлича. Для функции \Phi(t)=t\log(e+t), t>0, имеем f\in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d), если и только если \mu(f)\chi_{(0,1)}\in L_{\Phi}(0,1) и f\in L_1(\mathbb{R}^d). Мы также определим операторы растяжения \sigma_r, r>0, которые действуют на S(\mathbb{R},\nu) (или на S(\mathbb{R}^d,\nu)), по формуле
\begin{equation*}
(\sigma_rf)(t)=f\biggl(\frac{t}{r}\biggr), \qquad f\in S(\mathbb{R},\nu).
\end{equation*}
\notag
Иногда удобно рассматривать растяжение функции f, определенной a priori только на некотором подмножестве (обычно на интервале или на кубе) \mathbb{R} или \mathbb{R}^d. В таком случае мы сначала продолжаем f до функции на \mathbb{R} (или \mathbb{R}^d), полагая f=0 вне начальной области определения f. 2.2. Следовые идеалыМатериал этого пункта стандартен; за деталями мы отсылаем читателя к [24], [35]. Пусть H – комплексное сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство; B(H) обозначает множество всех ограниченных операторов на H; K(H) – идеал всех компактных операторов на H. Для данного T\in K(H) последовательность сингулярных чисел \mu(T) = (\mu(k,T))_{k=0}^\infty задается формулой
\begin{equation*}
\mu(k,T) = \inf\bigl\{\|T-R\|_{\infty}\colon \mathrm{rank}(R) \leqslant k\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Здесь \|\cdot\|_{\infty} обозначает операторную норму. Зачастую удобно ассоциировать (\mu(k,T))_{k\geqslant0} со ступенчатой функцией \sum_{k\geqslant0}\mu(k,T)\chi_{[k,k+1)} на полуоси (0,\infty). Неравенства вида \mu(S)\leqslant\mu(T) далее следует понимать поточечно, т.е. \mu(k,S)\leqslant\mu(k,T) для всех k\geqslant0. Пусть p \in (0,\infty). Слабый класс Шаттена \mathcal{L}_{p,\infty} – это множество всех операторов T таких, что \mu(T) попадает в слабое L_p-пространство l_{p,\infty} с квазинормой:
\begin{equation*}
\|T\|_{p,\infty} = \sup_{k\geqslant 0} (k+1)^{1/p}\mu(k,T) < \infty.
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что \mathcal{L}_{p,\infty} – это идеал в B(H). Мы также отметим вариант неравенства Гёльдера
\begin{equation}
\|TS\|_{r,\infty} \leqslant c_{p,q}\|T\|_{p,\infty}\|S\|_{q,\infty},
\end{equation}
\tag{2.2}
где 1/r=1/p+1/q, для некоторой константы c_{p,q}. Это неравенство вытекает непосредственно из определения квазинорм и неравенства (см., например, [17; следствие 2.2]) Идеал \mathcal{L}_{1,\infty} представляет особый интерес. 2.3. Пространства Соболева на кубахПусть m\in\mathbb{Z}_+. Для каждого открытого куба \Pi\subset\mathbb{R}^d мы определим пространство Соболева W^{m,2}(\Pi) следующим образом:
\begin{equation*}
W^{m,2}(\Pi)=\bigl\{ u\in L_2(\Pi)\colon \nabla^{\alpha}u\in L_2(\Pi),\ |\alpha|_1\leqslant m \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Здесь |\alpha|_1=\sum_{k=1}^d|\alpha_k| для всякого \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb{Z}^d_+; смешанную производную \nabla^{\alpha}f следует понимать в смысле распределений. Мы снабдим W^{m,2}(\Pi) (неоднородной) нормой Соболева (см. [1]), заданной формулой
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{m,2}(\Pi)}^2=\sum_{|\alpha|_1\leqslant m}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi)}^2
\end{equation*}
\notag
для каждой u\in W^{m,2}(\Pi). Известно, что (W^{m,2}(\Pi),\|\cdot\|_{W^{m,2}(\Pi)}) – это гильбертово пространство (см., например, [1; теорема 3.5]). Пусть s>0, и пусть m=\lfloor s\rfloor. При s\neq m пространство Соболева W^{s,2}(\Pi) определяется так:
\begin{equation*}
W^{s,2}(\Pi)=\biggl\{ u\in W^{m,2}(\Pi)\colon \int_{\Pi}\int_{\Pi}\frac{|(\nabla^{\alpha}u)(x) -(\nabla^{\alpha}u)(y)|^2}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}\,d\nu(x)\,d\nu(y)<\infty \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Здесь |x|_2=(\sum_{k=1}^dx_k^2)^{1/2} для каждого x\in\mathbb{R}^d. Снабдим W^{s,2}(\Pi) (неоднородной) нормой Соболева (см. [1; теорема 7.48]), заданной формулой
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi)}^2=\|u\|_{W^{m,2}(\Pi)}^2+\sum_{|\alpha|_1\leqslant m}\int_{\Pi}\int_{\Pi} \frac{|(\nabla^{\alpha}u)(x)-(\nabla^{\alpha}u)(y)|^2}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}\,d\nu(x)\,d\nu(y)
\end{equation*}
\notag
для каждой u\in W^{s,2}(\Pi). Известно, что (W^{s,2}(\Pi),\|\cdot\|_{W^{s,2}(\Pi)}) – это гильбертово пространство (см., например, [1; теорема 7.48] для доказательства полноты; равенство параллелограмма проверяется напрямую). 2.4. Пространства Соболева на \mathbb{R}^d и на \mathbb{T}^dНапомним, что пространство Соболева W^{s,2}(\mathbb{R}^d) допускает более простое описание (см., например, [1; теорема 7.63])
\begin{equation*}
W^{s,2}(\mathbb{R}^d)=\bigl\{ u\in L_2(\mathbb{R}^d)\colon (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{s/2}u\in L_2(\mathbb{R}^d)\bigr\}, \qquad s>0,
\end{equation*}
\notag
с эквивалентной нормой
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{R}^d)}=\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{s/2}u\|_2,\qquad u\in W^{s,2}(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
Здесь \Delta_{\mathbb{R}^d} – это оператор Лапласа на \mathbb{R}^d. Нам также понадобится понятие пространства Соболева на торе
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W^{s,2}(\mathbb{T}^d)=\bigl\{ u\in L_2(\mathbb{T}^d)\colon (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{s/2}u\in L_2(\mathbb{T}^d)\bigr\}, \\ \|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}=\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{s/2}u\|_2, \qquad u\in W^{s,2}(\mathbb{T}^d). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Здесь, \Delta_{\mathbb{T}^d} – это оператор Лапласа на \mathbb{T}^d. Мы идентифицируем \mathbb{T}^d с кубом (-\pi,\pi)^d, противолежащие грани которого “склеены”. Снабдим \mathbb{T}^d нормированной мерой Хаара \nu. Расстояние между точками x,y\in\mathbb{T}^d задается формулой
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(x,y)=|x-y|_2, \qquad x,y\in\mathbb{T}^d,
\end{equation*}
\notag
где x-y рассматривается как элемент из (-\pi,\pi)^d. Доказательство. Пусть (e_n)_{n\in\mathbb{Z}^d} обозначает базис Фурье в L_2(\mathbb{T}^d). Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) \\ &\qquad=\sum_{m,n\in\mathbb{Z}^d}\widehat{u}(n)\overline{\widehat{u}(m)} \int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{(e_n(x)-e_n(y))\overline{(e_m(x)-e_m(y))}}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Понятно, что
\begin{equation*}
\frac{(e_n(x)-e_n(y))\overline{(e_m(x)-e_m(y))}}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}} =e_{n-m}(y)\frac{(e_n(x-y)-1)\overline{(e_m(x-y)-1)}}{\operatorname{dist}(x-y,0)^{d+2s}}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{(e_n(x)-e_n(y))\overline{(e_m(x)-e_m(y))}}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) \\ &\qquad=\delta_{n,m}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{(e_n(x)-1)\overline{(e_m(x)-1)}}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) =\sum_{n\in\mathbb{Z}^d}|\widehat{u}(n)|^2\int_{\mathbb{T}^d} \frac{|e_n(x)-1|^2}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x).
\end{equation*}
\notag
В последней сумме член, соответствующий n=0, обнуляется. Поэтому мы оценим (как сверху, так и снизу) члены, соответствующие n\neq0.
Как легко видеть,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{T}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x) &=(2\pi)^{-d}\int_{(-\pi,\pi)^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{|x|_2^{d+2s}}\,d\nu(x) \\ &=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{|x|_2^{d+2s}}\,d\nu(x)+O(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что именно в этом месте проявляется требование 0<s<1 (иначе интеграл расходится). Положим k=(1,0,\dots,0). Так как n\neq0, то существует такой элемент U\in \operatorname{SO}(d), что n=|n|_2\cdot Uk. Заменяя переменную в интеграле по формуле x=\dfrac1{|n|_2}Uy, получаем
\begin{equation*}
(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{|x|_2^{d+2s}}\,d\nu(x)=c_{d,s}|n|_2^{2s}, \qquad 0\neq n\in\mathbb{Z}^d.
\end{equation*}
\notag
Значит,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x)\in (c_{d,s}'|n|_2^{2s},c_{d,s}''|n|_2^{2s}), \qquad 0\neq n\in\mathbb{Z}^d.
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) \in \biggl(c_{d,s}'\sum_{n\in\mathbb{Z}^d}|n|_2^{2s}|\widehat{u}(n)|^2,c_{d,s}'' \sum_{n\in\mathbb{Z}^d}|n|_2^{2s}|\widehat{u}(n)|^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
Этого достаточно чтобы завершить доказательство.
Теорема 2.1 доказана. 2.5. Пространства Соболева на торических кубахНапомним, что под торическим кубом мы всегда понимаем декартово произведение (открытых) дуг3 равных длин. Из этого определения следует, что различные кубы всегда параллельны друг другу. Когда тор идентифицирован с (-\pi,\pi)^d, куб зачастую4 совпадает с (правильно ориентированным) евклидовым кубом в (-\pi,\pi)^d. Если при такой идентификации торический куб \Pi – это евклидов куб, то W^{s,2}(\Pi) определяется так же, как в п. 2.3. Если же это не так, то выберем некоторое t\in\mathbb{T}^d так, чтобы куб t+\Pi совпадал при этой идентификации с евклидовым кубом. Положим
\begin{equation*}
W^{s,2}(\Pi)=\{u\in L_2(\Pi)\colon u(\cdot-t)\in W^{s,2}(t+\Pi)\}.
\end{equation*}
\notag
Конечно же, это определение не зависит от выбранного t\in\mathbb{T}^d. Иными словами, предыдущее равенство выполнено для любого t\in\mathbb{T}^d. 2.6. Теорема вложения Соболева при s=d/2Следующий результат – это вариант хорошо известного неравенства Мозера–Трудингера (см. [42]); этот результат был независимо установлен Юдовичем (см. [44]) и в более явной форме Похожаевым (см. [28]). Результат Трудингера указывает, что пространство Соболева W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d) вложено в пространство Орлича \exp(L_2)(\mathbb{T}^d) (см. также теорему 2.2 ниже). Подробное доказательство можно найти в [23; лемма 2.2] и [27]. Далее через \exp(L_2) будем обозначать пространство Орлича, ассоциированное с функцией Орлича t\to e^{t^2}-1, t>0. 2.7. Однородные полунормы на пространствах СоболеваНам также потребуются однородные полунормы Соболева. При s=m\in\mathbb{Z}_+ они задаются формулой
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{m,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}^2 =\sum_{|\alpha|_1=m}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi)}^2.
\end{equation*}
\notag
Если s\notin\mathbb{Z}_+, m=\lfloor s\rfloor, то используется формула
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}^2 =\sum_{|\alpha|_1=m}\int_{\Pi}\int_{\Pi}\frac{|(\nabla^{\alpha}u)(x) -(\nabla^{\alpha}u)(y)|^2}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}\,d\nu(x)\,d\nu(y).
\end{equation*}
\notag
Очевидно,
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}\leqslant \|u\|_{W^{s,2}(\Pi)}, \qquad u\in W^{s,2}(\Pi).
\end{equation*}
\notag
Когда s – целое число, следующее утверждение – это теорема 1.1.16 в [25]. В [36] Соломяк использовал его (для четной размерности d и для s=d/2) без доказательства или ссылки. Доказательство, приведенное далее, предложено Г. Розенблюмом (по его словам, данный результат – это часть фольклора петербургской школы). Доказательство Розенблюма проще, чем наш оригинальный аргумент, и включено здесь с его любезного разрешения. Теорема 2.3. Пусть d\in\mathbb{N}, и пусть \Pi=(-\pi,\pi)^d. Если u\in W^{s,2}(\Pi), s>0, ортогонально (в L_2(\Pi)) каждому полиному степени строго меньше чем s, то Доказательство. Мы докажем утверждение только для нецелых s. Положим m=\lfloor s\rfloor.
Предположим противное и выберем последовательность (u_k)_{k\geqslant0}\subset W^{s,2}(\Pi) такую, что: 1) \|u_k\|_{W^{m,2}(\Pi)}=1 для каждого k\geqslant0; 2) \|u_k\|_{W^{s,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}\to0 при k\to\infty; 3) \langle u_k,p\rangle_{L_2(\Pi)}=0 для каждого k\geqslant0 и для каждого полинома p степени m. В частности, для каждого \alpha с |\alpha|_1=m имеем
\begin{equation}
\|\nabla^{\alpha}u_k\|_{W^{s-m,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}\to0, \qquad k\to\infty.
\end{equation}
\tag{2.3}
Важно помнить, что W^{s,2}(\Pi) компактно вложено в W^{m,2}(\Pi) (этот фундаментальный факт следует, например, из теоремы 3.27 в [26]). Переходя к подпоследовательности, если нужно, мы можем предполагать, что u_k\to u_{\infty} в W^{m,2}(\Pi). Для каждого \alpha с |\alpha|_1=m имеем \nabla^{\alpha}u_k\to \nabla^{\alpha}u_{\infty} в L_2(\Pi). Переходя к подпоследовательности, если нужно, мы можем предполагать, что \nabla^{\alpha}u_k\to \nabla^{\alpha}u_{\infty} почти всюду. Зафиксируем \alpha с |\alpha|_1=m. Положим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_k(x,y)=\frac{(\nabla^{\alpha}u_k)(x)-(\nabla^{\alpha}u_k)(y)}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}, \qquad x,y\in\Pi, \\ v_{\infty}(x,y)=\frac{(\nabla^{\alpha}u_{\infty})(x) -(\nabla^{\alpha}u_{\infty})(y)}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}, \qquad x,y\in\Pi. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Получаем, что v_k\to v_{\infty} почти всюду. С другой стороны, (2.3) означает, что v_k\to0 в L_2(\Pi\times\Pi). Получается, что v_{\infty}=0. Поэтому \nabla^{\alpha}u_{\infty} – константа.
Поскольку \nabla^{\alpha}u_{\infty} постоянна для каждого \alpha с |\alpha|_1=m, то u_{\infty} – это полином степени не выше m. Пусть p – полином степени не выше m. Поскольку отображение
\begin{equation*}
f\to \langle f,p\rangle_{L_2(\Pi)}, \qquad f\in W^{m,2}(\Pi),
\end{equation*}
\notag
– это непрерывный линейный функционал на W^{m,2}(\Pi), то
\begin{equation*}
\langle u_k,p\rangle_{L_2(\Pi)}\to \langle u_{\infty},p\rangle_{L_2(\Pi)}, \qquad k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Однако по выбору u_k таковы, что Таким образом, для любого полинома p степени не выше m. Учитывая, что u_{\infty} – это полином степени m, получаем u_{\infty}=0. Поэтому u_k\to0 в W^{m,2}(\Pi), что противоречит выбору \|u_k\|_{W^{m,2}(\Pi)}=1 при всех k\geqslant0.
Теорема 2.3 доказана. § 3. Теорема Соломяка о покрытияхФормально теорема 3.1 далее новая. Однако ее утверждение содержится в явной форме в статье [36]. Напомним, что \mathbb{T}^d снабжен нормированной мерой Хаара \nu. Для функции Орлича \Phi и для f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d) положим
\begin{equation*}
J_f^{\Phi}(A)=\nu(A)\bigl\|\sigma_{1/\nu(A)}\mu(f|_A)\bigr\|_{L_{\Phi}}, \qquad A\subset\mathbb{T}^d, \quad \nu(A)>0.
\end{equation*}
\notag
Это определение технически проще (хотя и эквивалентно), чем данное в [36] (см. там формулы (4) и (13)). Везде в настоящей статье мы рассматриваем тор \mathbb{T}^d как декартово произведение d экземпляров одномерного тора \mathbb{T}^1, а куб в \mathbb{T}^d – как декартово произведение дуг одинаковой длины. Теорема 3.1. Пусть L_{\Phi} – это сепарабельное пространство Орлича на (0,1). Для каждого f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d) и для каждого n\in\mathbb{N} существуют m(n)\leqslant c_dn и коллекция (\Pi_k)_{k=1}^{m(n)} торических кубов в \mathbb{T}^d таких, что:
Следующая лемма демонстрирует тот факт, что каждое пространство Орлича дистрибутивно вогнуто (подробное обсуждение этого понятия содержится в [2]). Использование этого понятия – главное отличие нашего доказательства от имеющегося в [36]. Обозначим дизъюнктную сумму функций (x_i)_{i\in\mathbb{I}} как \bigoplus_{i\in\mathbb{I}}x_i. Лемма 3.1. Пусть \Phi – функция Орлича, и пусть L_{\Phi} – соответствующее пространство Орлича на (0,1) или на (0,\infty). Имеем
\begin{equation*}
4\biggl\|\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}f_k\biggr\|_{L_{\Phi}}\geqslant \sum_{k\geqslant1}\lambda_k\|f_k\|_{L_{\Phi}}
\end{equation*}
\notag
для каждой последовательности (f_k)_{k\geqslant1}\subset L_{\Phi} и для каждой последовательности скаляров (\lambda_k)_{k\geqslant1}\subset(0,1) таких, что \sum_{k\geqslant1}\lambda_k=1. Доказательство. Для определенности мы рассмотрим пространство на (0,\infty). Пусть \Psi – это дополнительная функция Орлича. Имеем (см. [20; равенство (9.24)]) Здесь
Выберем g_k\in L_{\Psi} такую, что \|g_k\|_{L_{\Psi}}\leqslant 1 и Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k\geqslant1}\lambda_k\|f_k\|_{L_{\Phi}} & \leqslant 2\sum_{k\geqslant1}\lambda_k\langle f_k,g_k\rangle=2\sum_{k\geqslant1}\langle \sigma_{\lambda_k}f_k,\sigma_{\lambda_k}g_k\rangle \\ &=2\biggl\langle \bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}f_k,\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr\rangle\leqslant 4\biggl\|\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}f_k\|_{L_{\Phi}}\| \bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr\|_{L_{\Psi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку \|g_k\|_{L_{\Psi}}\leqslant1, то \|\Psi(g_k)\|_1\leqslant1. Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|\Psi\biggl(\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr)\biggr\|_1 =\sum_{k\geqslant1}\|\Psi(\sigma_{\lambda_k}g_k)\|_1 =\sum_{k\geqslant1}\lambda_k\|\Psi(g_k)\|_1\leqslant1, \\ \biggl\|\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr\|_{L_{\Psi}}\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Комбинируя эти оценки, получаем требуемое утверждение.
Лемма 3.1 доказана. Следующая лемма показывает субаддитивность функции J_f^{\Phi}. Она следует из леммы 3.1. Лемма 3.2. Пусть \Phi и f такие же, как в теореме 3.1. Если (A_k)_{k=0}^n – это произвольное измеримое по Лебегу разбиение \mathbb{T}^d, то Доказательство. Положим \lambda_k=\nu(A_k), 1\leqslant k\leqslant n, так что \sum _{k=1}^n \lambda_k=1, и пусть
\begin{equation*}
f_k=\sigma_{\lambda_k^{-1}}\mu(f|_{A_k}), \qquad 1\leqslant k\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation*}
\mu(f)=\mu\biggl(\bigoplus_{k=1}^n\sigma_{\lambda_k}f_k\biggr).
\end{equation*}
\notag
По лемме 3.1 имеем
Лемма доказана. Снабдим \sigma-алгебру всех измеримых по Лебегу множеств в \mathbb{T}^d обычной метрикой
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(A_1,A_2)=\nu(A_1\bigtriangleup A_2), \qquad A_1, A_2\subset \mathbb{T}^d.
\end{equation*}
\notag
Здесь симметрическая разность задается формулой
\begin{equation*}
A_1\bigtriangleup A_2=(A_1\setminus A_2)\cup(A_2\setminus A_1).
\end{equation*}
\notag
Для данной функции f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d) определим функцию F_f\colon [0,1]\to\mathbb{R}_+, полагая
\begin{equation*}
F_f(t)=2\|\mu(f)\chi_{(0,t)}\|_{L_{\Phi}}+2t^{1/2}\|f\|_{L_{\Phi}} +4t^{1/2}\|\sigma_{1/(2t^{1/2})}\mu(f)\|_{L_{\Phi}}, \qquad t\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
Следующее утверждение немного усиливает лемму 4 из [36] и приспосабливает ее к случаю \mathbb{T}^d. Лемма 3.3. Пусть L_{\Phi} – это сепарабельное5 пространство Орлича на (0,1). Для каждого f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d) отображение A\to J_f^{\Phi}(A) непрерывно в метрике \operatorname{dist}. Более точно, для любых измеримых множеств A_1,A_2\subset\mathbb{T}^d имеем Доказательство. Зафиксируем \epsilon\,{\in}\,(0,1) и считаем, что \nu(A_1\,{\bigtriangleup}\, A_2)\,{<}\,\epsilon^2. Рассмотрим следующие два логически возможных случая.
Случай 1. Пусть \nu(A_1)>\epsilon и \nu(A_2)>\epsilon. Положим A_3=A_1\cup A_2. Заметим, что
\begin{equation*}
\nu(A_1)\leqslant\nu(A_3)\leqslant (1+\epsilon)\nu(A_1), \qquad \nu(A_2)\leqslant \nu(A_3)\leqslant (1+\epsilon)\nu(A_2).
\end{equation*}
\notag
Применяя неравенство треугольника, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_f^{\Phi}(A_3) &=\nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_3})\|_{L_{\Phi}} \\ &\leqslant \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_2\setminus A_1})\|_{L_{\Phi}}+\nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_1})\|_{L_{\Phi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Очевидно,
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_2\setminus A_1})\|_{L_{\Phi}}\leqslant \|f|_{A_2\setminus A_1}\|_{L_{\Phi}}\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}}, \\ \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_1})\|_{L_{\Phi}}\leqslant \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_1)}\mu(f|_{A_1})\|_{L_{\Phi}}=\frac{\nu(A_3)}{\nu(A_1)}\cdot J_f^{\Phi}(A_1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Поскольку \nu(A_3)<(1+\epsilon)\nu(A_1), получаем
\begin{equation*}
0\leqslant J_f^{\Phi}(A_3)-J_f^{\Phi}(A_1)\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}} +\epsilon \cdot J_f^{\Phi}(A_1)\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}}+\epsilon\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Аналогично, имеем
\begin{equation*}
0\leqslant J_f^{\Phi}(A_3)-J_f^{\Phi}(A_2)\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}}+\epsilon\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
|J_f^{\Phi}(A_1)-J_f^{\Phi}(A_2)|\leqslant 2\|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_E+2\epsilon\|f\|_{L_{\Phi}}\leqslant F_f(\epsilon^2),
\end{equation*}
\notag
где последняя оценка следует из определения F_f. Доказательство в случае 1 завершено.
Случай 2. Пусть \nu(A_1)\leqslant\epsilon или \nu(A_2)\leqslant\epsilon. Поскольку \nu(A_1\bigtriangleup A_2)<\epsilon^2, получаем, что одновременно \nu(A_1)\leqslant2\epsilon и \nu(A_2)\leqslant2\epsilon. По определению J_f^{\Phi} получаем
\begin{equation*}
J_f^{\Phi}(A_k)\leqslant 2\epsilon\|\sigma_{1/(2\epsilon)}\mu(f)\|_{L_{\Phi}}, \qquad k=1,2.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
|J_f^{\Phi}(A_1)-J_f^{\Phi}(A_2)|\leqslant 4\epsilon\|\sigma_{1/(2\epsilon)}\mu(f)\|_{L_{\Phi}}\leqslant F_f(\epsilon^2).
\end{equation*}
\notag
Доказательство в случае 2 завершено.
Лемма 3.3 доказана. Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [15; приложение B] или [11; теорема II.18.1], где похожий результат установлен для покрытий замкнутыми кубами). Отметим, что рассуждения из [11] продолжаются практически дословно на случай покрытий, рассматриваемых здесь. Лемма 3.4 (лемма Безиковича о покрытиях). Для каждого x\in\mathbb{T}^d пусть \Pi_x\subset \mathbb{T}^d – это открытый торический куб с центром в x. Существуют число c_d\in\mathbb{N} и подмножества (S_l)_{l=1}^{c_d} в \mathbb{T}^d такие, что:
Здесь константа c_d зависит от d и не зависит от системы (\Pi_x)_{x\in\mathbb{T}^d}. Доказательство теоремы 3.1 повторяет приведенное в [36], но покрывает случай произвольной размерности d. Г. Розенблюм сообщил нам, что идея использовать покрытия вместо разбиений (в отличие от предшествующих работ Бирмана и Соломяка) принадлежит ему. В [36] (см. также более раннюю книгу [8]) лемма о покрытиях с доказательством Розенблюма была заменена леммой Безиковича о покрытиях. Доказательство теоремы 3.1. Зафиксируем f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d). Пусть \Pi_{x,t} – открытый куб с центром в x\in \mathbb{T}^d и стороной t\in (0,1). По лемме 3.3 функция непрерывна. По теореме о промежуточном значении существует t=t(x) такое, что Положим \Pi_x=\Pi_{x,t(x)}, x\in\mathbb{T}^d. Рассмотрим покрытие \{\Pi_x\}_{x\in \mathbb{T}^d}. Пусть c_d\in\mathbb{N} и множества (S_l)_{l=1}^{c_d} получены из леммы 3.4. Рассмотрим произвольное конечное подмножество A_l\subset S_l. Заметим, что
\begin{equation*}
\{\Pi_x\}_{x\in A_l}\cup\biggl\{\bigcap_{x\in A_l}(\Pi_x)^c\biggr\}
\end{equation*}
\notag
является разбиением \mathbb{T}^d. По (3.1) и лемме 3.2 имеем
\begin{equation*}
|A_l|\cdot\frac1n\|f\|_{L_{\Phi}}=\sum_{x\in A_l}J_f^{\Phi}(\Pi_x) \leqslant J_f^{\Phi}\biggl(\bigcap_{x\in A_l}(\Pi_x)^c\biggr)+\sum_{x\in A_l}J_f^{\Phi}(\Pi_x)\leqslant 4\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Иными словами, |A_l|\leqslant 4n для каждого конечного подмножества S_l. Таким образом, само множество S_l конечно и |S_l|\leqslant 4n.
Положим \Pi_k=\Pi_{x,t(x)}, где индекс k заменяет пару (l,x), когда x\in S_l. Как следует из изложенного выше, существует самое большее 4c_dn различных индексов k. Теорема 3.1 доказана. § 4. Доказательство теоремы 1.1Следующий факт считается стандартным и приводится только потому, что у нас нет подходящей ссылки. Утверждение состоит в том что однородные полунормы Соболева “хорошо ведут себя” при растяжениях. Факт 4.1. Пусть \Pi=(-\pi\epsilon,\pi\epsilon)^d, 0<\epsilon\leqslant 1. Имеем В частности,Доказательство следующей леммы распространяет лемму 2 из [36] на случай произвольной размерности; в доказательсте критически важен факт 4.1. Лемма 4.1. Пусть d\in\mathbb{N}. Пусть \Pi\subset\mathbb{T}^d – это открытый торический куб. Пусть \Phi(t)=t\log(e+t), t>0, и пусть f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d). Для каждого u\in W^{d/2,2}(\Pi), ортогонального (в L_2(\Pi)) каждому полиному степени <d/2, имеем Доказательство. Без потери общности считаем, что \Pi=(-\pi\epsilon,\pi\epsilon)^d. Применяя растяжение, имеем
\begin{equation*}
\int_{\Pi}|f|\cdot |u|^2\,d\nu=\epsilon^d\int_{\mathbb{T}^d}|\sigma_{1/\epsilon}f|\cdot |\sigma_{1/\epsilon}u|^2\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
В силу неравенства Гёльдера (см., например, [21; теорема II.5.2]) имеем
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}F|G|^2\,d\nu\leqslant c_{\mathrm{abs}}\|F\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}\||G|^2\|_{\exp(L_1)(\mathbb{T}^d)}= c_{\mathrm{abs}}\|F\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}\|G\|_{\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)}^2
\end{equation*}
\notag
для всех F\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d) и для всех G\in\exp(L_2)(\mathbb{T}^d). Таким образом,
\begin{equation*}
\int_{\Pi}|f|\cdot |u|^2\,d\nu\leqslant c_{\mathrm{abs}} \epsilon^d\|\sigma_{1/\epsilon}f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}\| \sigma_{1/\epsilon}u\|_{\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Очевидно, \sigma_{1/\epsilon}u ортогонально каждому полиному степени <d/2 на \mathbb{T}^d. По теореме 2.2 и теореме 2.3 имеем
\begin{equation*}
\|\sigma_{1/\epsilon}u\|_{\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)} \leqslant c_d\|\sigma_{1/\epsilon}u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}((-\pi,\pi)^d)}\stackrel{\text{факт }4.1}{=}c_d\|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}.
\end{equation*}
\notag
По определению J_f^{\Phi} Комбинируя три последние оценки, получаем требуемое утверждение.
Лемма 4.1 доказана. Следующий факт также стандартный и приводится для удобства читателя, поскольку у нас нет подходящей ссылки. Факт 4.2. Пусть \Pi\,{\subset}\,\mathbb{T}^d – открытый торический куб, и пусть P\colon L_2(\Pi)\,{\to} L_2(\Pi) – это проектор на подпространство, порожденное полиномами степени < d/2. (i) Для каждого u\in L_2(\Pi) функция u\,{-}\,Pu ортогональна (в L_2(\Pi)) каждому полиному v степени <d/2. (ii) Для каждого u\in W^{d/2,2}(\Pi) имеем \|u-Pu\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}=\|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}. Лемма 4.2. Пусть (\Pi_k)_{k=1}^K – это последовательность открытых торических кубов в \mathbb{T}^d. Предположим, что каждая точка в \mathbb{T}^d принадлежит самое большое C кубам из \Pi_k, 1\leqslant k\leqslant K. Имеем
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant c_{d,s}C^2\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2, \qquad u\in W^{s,2}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
Здесь константа c_{d,s} зависит только от d и s и не зависит от последовательности (\Pi_k)_{k=1}^K. Доказательство. Шаг 1. Предположим, что s целое. Имеем
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2=\sum_{|\alpha|_1\leqslant s}\sum_{k=1}^K\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
По предположению (для всех \alpha\in\mathbb{Z}^d_+ с |\alpha|_1\leqslant s)
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi_k)}^2 \leqslant C\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\sum_{|\alpha|_1\leqslant s}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c_{d,s}'C\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2, \qquad u\in W^{s,2}(\mathbb{T}^d),
\end{equation*}
\notag
где константа c_{d,s} зависит только от d и s.
Шаг 2. Предположим, что s\in(0,1). Идентифицируем \mathbb{T}^d и (-\pi,\pi)^d. Для 1\leqslant k\leqslant K зафиксируем точку t^k\in\mathbb{T}^d так, что куб t^k+\Pi евклидов. В силу определения пространства Соболева на евклидовом кубе имеем
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2=\|u\|_{L_2(\Pi_k)}^2 +\int_{t^k+\Pi_k}\int_{t^k+\Pi_k}\frac{|u(x-t^k)-u(y-t^k)|^2}{|x-y|_2^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y).
\end{equation*}
\notag
По определению расстояния6 на торе имеем
\begin{equation*}
|x-y|_2\geqslant \operatorname{dist}(x,y), \qquad x,y\in t^k+\Pi_k.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant \|u\|_{L_2(\Pi_k)}^2+\|v_s\|_{L_2(\Pi_k\times\Pi_k)}^2,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
v_s(x,y)=\frac{u(x)-u(y)}{\operatorname{dist}(x,y)^{d/2+s}}, \qquad x,y\in\mathbb{T}^d.
\end{equation*}
\notag
По предположению
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{L_2(\Pi_k)}^2\leqslant C\|u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2, \qquad \sum_{k=1}^K\|v_s\|_{L_2(\Pi_k\times\Pi_k)}^2\leqslant C^2\|v_s\|_{L_2(\mathbb{T}^d\times\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\|u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2+C^2\|v_s\|_{L_2(\mathbb{T}^d\times\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
По теореме 2.1
\begin{equation*}
\|v_s\|_{L_2(\mathbb{T}^d\times\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c''_{d,s}\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2,
\end{equation*}
\notag
где константа c_{d,s}'' зависит только от d и s. Поэтому
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\|u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2+c''_{d,s}C^2\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Шаг 3. Пусть теперь s произвольное нецелое. По определению пространства Соболева на кубе
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant\|u\|_{W^{\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2+\sum_{|\alpha|_1=\lfloor s\rfloor}\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
Благодаря шагу 1 имеем
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2\leqslant c'_{d,\lfloor s\rfloor}C\|u\|_{W^{\lfloor s\rfloor,2}(\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c'_{d,\lfloor s\rfloor}C\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Благодаря шагу 2 имеем
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}+c''_{d,s-\lfloor s\rfloor}C^2\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2 &\leqslant c'_{d,\lfloor s\rfloor}C\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2+C\sum_{|\alpha|_1=\lfloor s\rfloor}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)} \\ &\qquad +C^2\sum_{|\alpha|_1=\lfloor s\rfloor}\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c_{d,s}C^2\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 4.2 доказана. Следующее утверждение было доказано Соломяком для четных d (см. [36; теорема 1]). Мы докажем его для произвольных размерностей. Лемма 4.3. Пусть d\in\mathbb{N}. Пусть \Phi(t)=t\log(e+t), t>0, и пусть 0\leqslant f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d). Для каждого n\in\mathbb{N} существует оператор K_n\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d) такой, что \operatorname{rank}(K_n)\leqslant c_dn и
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu \leqslant\frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\mathbb{T}^d)}^2, \qquad u\in W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
Операторы K_n,K_n^{\ast}\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d) продолжаются до ограниченных операторов K_n,K_n^{\ast}\colon L_1(\mathbb{T}^d)\to L_{\infty}(\mathbb{T}^d). Доказательство. Пусть (\Pi_k)_{1\leqslant k\leqslant m(n)} – это последовательность торических кубов, построенная в теореме 3.1. Как обычно, \chi_{\Pi_k} – характеристическая функция множества \Pi_k, 1\leqslant k\leqslant m(n).
Пусть P_k\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d) – это проектор такой, что
\begin{equation*}
P_k=M_{\chi_{\Pi_k}}P_kM_{\chi_{\Pi_k}}, \qquad 1\leqslant k\leqslant m(n),
\end{equation*}
\notag
и такой, что P_k\colon L_2(\Pi_k)\to L_2(\Pi_k) – проектор на подпространство, порожденное полиномами степени <d/2.
Положим
\begin{equation*}
\Delta_k=\Pi_k\setminus\bigcup_{l<k}\Pi_l, \qquad 1\leqslant k\leqslant m(n).
\end{equation*}
\notag
По теореме 3.1, (i) последовательности (\Delta_k)_{k=1}^{m(n)} задают разбиение \mathbb{T}^d. Положим
Как следует из определения, K_n,K_n^{\ast}\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d) продолжаются до ограниченных операторов K_n,K_n^{\ast}\colon L_1(\mathbb{T}^d)\to L_{\infty}(\mathbb{T}^d). Поскольку m(n)\leqslant c_dn, то по теореме 3.1 получаем, что \operatorname{rank}(K_n)\leqslant c_dn (с иной константой c_d). Имеем
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu=\sum_{k=1}^{m(n)} \int_{\Delta_k}f|u-K_nu|^2\,d\nu=\sum_{k=1}^{m(n)}\int_{\Delta_k}f|u-P_ku|^2\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu\leqslant \sum_{k=1}^{m(n)}\int_{\Pi_k}f |u-P_ku|^2\,d\nu.
\end{equation}
\tag{4.1}
В силу факта 4.2, (i) функция u-P_ku удовлетворяет предположениям леммы 4.1. По лемме 4.1 и факту 4.2, (ii)
\begin{equation*}
\int_{\Pi_k}f|u-P_ku|^2\,d\nu\leqslant c_d J_f^{\Phi}(\Pi_k)\cdot \|u-P_ku\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2 =c_d J_f^{\Phi}(\Pi_k)\cdot \|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
Комбинируя последнюю оценку с теоремой 3.1, (iii), получаем
\begin{equation*}
\int_{\Pi_k}f|u-P_ku|^2\,d\nu\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\cdot \|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2,
\end{equation*}
\notag
и поэтому по (4.1)
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu\leqslant\frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}} \sum_{k=1}^{m(n)}\|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
Утверждение теперь вытекает из леммы 4.2.
Лемма 4.3 доказана. Аппроксимация, построенная в лемме 4.3, позволяет стандартным образом получить оценку на квазинорму, как в теореме 1.1 (см. схематическое изложение в [37] и некоторые более ранние результаты, например, теорему 3.3 в [5]). Мы приводим полное доказательство для удобства читателя. Замечание 4.1. В приведенном ниже доказательстве скалярное произведение понимается в следующем смысле: пусть \xi,\eta\in L_1(\mathbb{T}^d) таковы, что \xi\overline{\eta}\in L_1(\mathbb{T}^d), и обозначим \displaystyle\langle\xi,\eta\rangle=\int_{\mathbb{T}^d}\xi\overline{\eta}. Если операторы K,K^{\ast}\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d) продолжаются до ограниченных операторов K,K^{\ast}\colon L_1(\mathbb{T}^d)\to L_{\infty}(\mathbb{T}^d), то имеем \langle K\xi,\eta\rangle=\langle\xi,K^{\ast}\eta\rangle при условии, что \xi\overline{\eta}\in L_1(\mathbb{T}^d). Доказательство теоремы 1.1. Без потери общности считаем, что f\geqslant0.
Пусть c_d – константа из леммы 4.3 (можно считать, что эта константа целая). Возьмем m\in\mathbb{N} такое, что m\geqslant 3c_d. Пусть n\in\mathbb{N} таково, что m\in[3c_dn,3c_d(n+ 1)). Рассмотрим операторы K_n\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d), существование которых установлено в лемме 4.3. Имеем \operatorname{rank}(K_n)\leqslant c_dn и
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu\leqslant\frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}} \|u\|_{W^{d/2,2}}^2, \qquad u\in W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
Сразу имеем7
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu &=\langle f\cdot u,u\rangle-\langle f\cdot u,K_nu\rangle-\langle f\cdot K_nu,u\rangle+\langle f\cdot K_nu,K_nu\rangle \\ &=\langle M_fu,u\rangle-\langle K_n^{\ast}M_fu,u\rangle-\langle M_fK_nu,u\rangle+\langle K_n^{\ast}M_fK_nu,u\rangle \\ &=\langle T_nu,u\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
Таким образом,
\begin{equation*}
|\langle T_nu,u\rangle|\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{d/4}u\bigr\|_2^2, \qquad u\in W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
По определению (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{d/4} – биекция из W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d) в L_2(\mathbb{T}^d). Поэтому имеем
\begin{equation*}
|\langle T_n(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}v,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}v\rangle|\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\|v\|_2^2, \qquad v\in L_2(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
|\langle (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}T_n(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}v,v\rangle|\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\|v\|_2^2, \qquad v\in L_2(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
Поскольку T_n самосопряжен, мы выводим из определения операторной нормы, что
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}T_n(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{\infty}\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Используя обозначение
\begin{equation*}
L_n=(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\cdot(K_n^{\ast}M_f+M_fK_n-K_n^{\ast}M_fK_n)\cdot (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4},
\end{equation*}
\notag
перепишем последнее неравенство:
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}-L_n\bigr\|_{\infty}\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку ранг оператора K_n (и, следовательно, оператора K_n^{\ast}) не превышает c_dn, получаем \operatorname{rank}(L_n)\leqslant 3c_dn. Следовательно,
\begin{equation*}
\inf_{\operatorname{rank}(S)\leqslant 3c_dn}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4} M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}-S\bigr\|_{\infty}\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
То есть
\begin{equation*}
\mu\bigl(3c_dn,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4})\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку m+1\geqslant 3c_d(n+1), получаем, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \frac{c_d}{n}\leqslant\frac{6c_d^2}{m+1}, \\ \mu\bigl(m,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr)\leqslant \frac{6c_d^2}{m+1}\|f\|_{L_{\Phi}}, \qquad m\geqslant 3c_d. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
Наконец, для m\in\mathbb{Z}_+, m<3c_d, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu\bigl(m,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr) \leqslant \mu\bigl(0,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr) \\ &\qquad=\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{\infty} \leqslant c_d\|f\|_{L_{\Phi}}\leqslant\frac{3c_d^2}{m+1}\|f\|_{L_{\Phi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, (4.2) также выполнено при m<3c_d. Таким образом,
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}\leqslant 6c_d^2\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.1 доказана. § 5. Симметризованные оценки Соломяка для \mathcal{L}_{1,\infty} в \mathbb{R}^dЭтот параграф посвящен доказательству теоремы 1.3. 5.1. Носитель функции f содержится в единичном кубеКогда носитель f содержится в (-1,1)^d, мы можем продолжить f до функции на \mathbb{T}^d (например, идентифицируя \mathbb{T}^d с (-\pi,\pi)^d и полагая f=0 на (-\pi,\pi)^2\setminus(-1,1)^d). Лемма 5.1. Пусть 0\leqslant f\in L_{\infty}(\mathbb{R}^d) и носитель f содержится в (-1,1)^d. Имеем8
\begin{equation*}
M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}} \big|_{L_2((-1,1)^d)}=M_{f^{1/2}}a(\nabla_{\mathbb{T}^d})M_{f^{1/2}}\big|_{L_2((-1,1)^d)},
\end{equation*}
\notag
где последовательность a\in l_{\infty}(\mathbb{Z}^d) не зависит от f и такова, что Нужно просто сопоставить леммы 4.5 и 4.6 из [39]. Эти леммы установлены там для куба (0,1)^d, но замена его на куб (-1,1)^d не приводит ни к каким изменениям. Следующая лемма устанавливает утверждение теоремы 1.3 в частном случае, когда носитель f содержится в кубе (-1,1)^d. Напомним, что \Phi(t)=t\log(e+t), t>0. Лемма 5.2. Пусть f\,{\in}\, L_{\infty}(\mathbb{R}^d), и пусть носитель f содержится в (-1,1)^d. Имеем Доказательство. Без потери общности считаем, что f\geqslant0. Оператор
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}
\end{equation*}
\notag
ограничен. Используя стандартные равенства
\begin{equation*}
\mu(TT^{\ast})=\mu(T^{\ast}T), \qquad \|TT^{\ast}\|_{1,\infty}=\|T^{\ast}T\|_{1,\infty},
\end{equation*}
\notag
заключаем, что
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} =\bigl\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}}\bigr\|_{1,\infty}.
\end{equation*}
\notag
По лемме 5.1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}}\bigr\|_{1,\infty} =\|M_{f^{1/2}}a(\nabla_{\mathbb{T}^d})M_{f^{1/2}}\|_{1,\infty} \\ &\quad\leqslant c_d\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}}\|_{1,\infty} =c_d\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Утверждение теперь следует из теоремы 1.1.
Лемма доказана. 5.2. Носитель функции f содержится вне единичного кубаЗдесь мы рассматриваем единичный шар \mathbb{B}^d в \mathbb{R}^d с мерой Лебега.
\begin{equation*}
(U\xi)(t)=|t|^{-d}\cdot \xi\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr), \qquad \xi\in L_2(\mathbb{R}^d), \quad t\in\mathbb{R}^d\setminus\{0\},
\end{equation*}
\notag
является унитарным на L_2(\mathbb{R}^d). Следовательно, оператор V\colon L_1(\mathbb{R}^d)\to L_1(\mathbb{R}^d), определенный формулой является изометрией. Доказательство. Пусть s_k=t_k/|t|^2. Имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial s_k}{\partial t_l}=-\frac{2t_kt_l}{|t|^4}, \qquad k\neq l, \\ \frac{\partial s_k}{\partial t_k}=\frac{|t|^2-2t_k^2}{|t|^4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, можно выписать якобиан
\begin{equation*}
J=|t|^{-2}\cdot\biggl(1-2\biggl(\frac{t_k}{|t|}\cdot\frac{t_l}{|t|}\biggr)_{1\leqslant k,l\leqslant d}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что матрица
\begin{equation*}
\biggl(\frac{t_k}{|t|}\cdot\frac{t_l}{|t|}\biggr)_{1\leqslant k,l\leqslant d}
\end{equation*}
\notag
– это проектор на гильбертовом пространстве \mathbb{C}^d ранга 1. Иными словами, она эквивалентна матричной единице E_{11} (т.е. матрице, у которой (1,1)-компонента равна 1 и у которой все остальные компоненты равны нулю). Следовательно,
Отсюда следует, что
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\eta(s)\,d\nu(s)=\int_{\mathbb{R}^d}\eta\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr)\cdot |\operatorname{det}(J)(t)|\,d\nu(t)=\int_{\mathbb{R}^d}\eta\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr)\cdot |t|^{-2d}\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
Полагая \eta=|\xi|^2, мы можем записать
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}|\xi|^2(s)\,d\nu(s)=\int_{\mathbb{R}^d}|\xi|^2\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr) \cdot |t|^{-2d}\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
Иными словами,
\begin{equation*}
\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2=\|U\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Важно отметить, что U=U^{-1}. Следующая лемма может быть или установлена путем прямого (длинного) вычисления, или выведена из общих геометрических результатов (см., например, [19; п. III.7]). Символ \partial_k обозначает частную производную k-й координаты.
\begin{equation*}
U^{-1}\Delta_{\mathbb{R}^d} U=U\Delta_{\mathbb{R}^d} U^{-1}=\sum_{k=1}^dM_{h_d}\,\partial_kM_{h_{4-2d}}\,\partial_kM_{h_d}.
\end{equation*}
\notag
Здесь, h_z(t)=|t|^z, t\in\mathbb{R}^d. Следствие 5.1. Для каждого n\in\mathbb{N} имеем
\begin{equation*}
U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nU^{-1}=\sum_{|\gamma|_1\leqslant 2n}\partial^{\gamma}M_{p_{\gamma}}, \qquad \operatorname{deg}(p_{\gamma})\leqslant 4n.
\end{equation*}
\notag
Здесь полиномы p_{\gamma} с |\gamma|_1=2n имеют порядок 4n (на самом деле они являются скалярными кратными h_{4n}), а полиномы p_{\gamma} с |\gamma|_1<2n имеют порядок ниже, чем 4n. Доказательство. По лемме 5.4
\begin{equation*}
U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})U^{-1}=\Delta_{\mathbb{R}^d} M_{h_4}+c_d\sum_{k=1}^d\partial_k M_{\partial_kh_4}+c_d'M_{h_2}
\end{equation*}
\notag
является дифференциальным оператором порядка 2 с полиномиальными коэффициентами порядка 4 или ниже. Следовательно, U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nU^{-1} является дифференциальным оператором порядка 2n с полиномиальными коэффициентами порядка 4n или ниже. Степень полиномов p_{\gamma} оценивается по правилу Лейбница.
Следствие доказано. Действительно,
\begin{equation*}
\mu(TSS^{\ast}T^{\ast})=\mu^2(TS)\leqslant\|S\|_{\infty}^2\mu^2(T)=\|S\|_{\infty}^2\mu(TT^{\ast}).
\end{equation*}
\notag
Пусть C^n(\mathbb{R}^d) – это множество всех n раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций таких, что сами функции и все их производные порядка n и ниже ограничены. Действительно, имеем
\begin{equation*}
\partial^{\gamma}M_g=\sum_{\substack{\gamma_1+\gamma_2=\gamma\\ \gamma_1,\gamma_2\geqslant0}}c_{\gamma_1,\gamma_2} M_{\partial^{\gamma_1}g}\,\partial^{\gamma_2}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\|\partial^{\gamma}M_g(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty} \leqslant\sum_{\substack{\gamma_1+\gamma_2=\gamma\\ \gamma_1,\gamma_2\geqslant0}}|c_{\gamma_1,\gamma_2}|\, \|M_{\partial^{\gamma_1}g}\|_{\infty}\|\partial^{\gamma_2}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
Операторы \partial^{\gamma_2}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n} в правой части ограничены в силу функционального исчисления. По предположению имеем
\begin{equation*}
\|M_{\partial^{\gamma_1}g}\|_{\infty}\leqslant\|g\|_{C^{2n}(\mathbb{R}^d)},
\end{equation*}
\notag
и утверждение доказано. Следующая лемма (при z=d/4) – это важнейший технический инструмент в доказательстве теоремы 1.3. Ее доказательство опирается на теорему Адамара о трех прямых. Лемма 5.5. Для каждой вещественнозначной \phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d) оператор
\begin{equation*}
T_z=(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^zM_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}, \qquad z\in\mathbb{C}, \quad\operatorname{Re}(z)\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
корректно определен и ограничен на L_2(\mathbb{R}^d). Здесь h_z(t)=|t|^z, t\in\mathbb{R}^d. Доказательство. Сначала заметим, что оператор {M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}} ограничен на L_2(\mathbb{R}^d) (как композиция ограниченных операторов). Если \xi\in L_2(\mathbb{R}^d), то M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi опять принадлежит L_2(\mathbb{R}^d) и, значит, является распределением умеренного роста. Следовательно,
\begin{equation*}
T_z\xi=(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^zM_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi
\end{equation*}
\notag
также является распределением умеренного роста. Мы намереваемся показать, что это распределение на самом деле – элемент L_2(\mathbb{R}^d).
Пусть \eta\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d) (т.е. \eta – это функция Шварца). Рассмотрим функцию
\begin{equation*}
F\colon z\to\langle T_z\xi,\eta\rangle=\bigl\langle M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{\overline{z}}\eta\bigr\rangle, \qquad \operatorname{Re}(z)\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
Функция
\begin{equation*}
z\to M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi, \qquad \operatorname{Re}(z)\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
является L_2(\mathbb{R}^d)-значной аналитической (и непрерывной на границе). Функция
\begin{equation*}
z\to (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{\overline{z}}\eta, \qquad\operatorname{Re}(z)\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
является L_2(\mathbb{R}^d)-значной антианалитической (и непрерывной на границе). Таким образом, функция F аналитическая и непрерывная на границе.
Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(i\lambda)| &\leqslant\|M_{h_{4i\lambda}\phi}U^{-1} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-i\lambda}\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\| (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-i\lambda}\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогично,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(n+i\lambda)| &\leqslant\|T_{n+i\lambda}\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \|U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Обозначим для краткости \alpha(t)=t/|t|^2, t\in\mathbb{R}^d. В силу следствия 5.1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n} \\ &\qquad =U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nU^{-1}\cdot UM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1}\cdot (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n} \\ &\qquad =\sum_{|\gamma|_1\leqslant 2n}\partial^{\gamma}M_{p_{\gamma}}\cdot M_{h_{-4n-4i\lambda}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)}\cdot (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где последнее равенство следует из
\begin{equation*}
UM_{h_z\phi}U^{-1}=M_{h_{-z}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)}, \qquad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что \phi\mathbin{\circ}\alpha исчезает около 0. Зафиксируем \epsilon>0 такое, что {\phi\mathbin{\circ}\alpha=0} на \epsilon\mathbb{B}^d. Элементарное вычисление показывает, что
\begin{equation*}
p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\in C^{2n}(\mathbb{R}^d\setminus\epsilon\mathbb{B}^d)
\end{equation*}
\notag
и, более того,
\begin{equation*}
\|p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\|_{C^{2n}(\mathbb{R}^d\setminus\epsilon\mathbb{B}^d)}\leqslant c_{n,\gamma}(1+|\lambda|)^{2n}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)\in C^{2n}(\mathbb{R}^d), \\ \|p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)\|_{C^{2n}(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_{n,\gamma,\phi}(1+|\lambda|)^{2n}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Применяя неравенство треугольника и факт 5.2, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty} \\ &\qquad \leqslant \sum_{|\gamma|_1\leqslant 2n}c_{n,\gamma}c_{n,\gamma,\phi}(1+|\lambda|)^{2n} =c_{n,\phi}(1+|\lambda|)^{2n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Мы заключаем, что
\begin{equation*}
|F(n+i\lambda)|\leqslant c_{n,\phi}(1+|\lambda|)^{2n}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Далее мы утверждаем, что F ограничена на полосе \{0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n\}. Действительно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(z)| &\leqslant\|h_{4z}\cdot\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)} \|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\| (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{\overline{z}}\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant c_{n,\phi}'\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^n\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Положим Получаем
\begin{equation*}
|G(i\lambda)|\leqslant \|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad |G(n+i\lambda)|\leqslant c''_{n,\phi}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
В дополнение к этому функция G ограничена на полосе {\{0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n\}}, поскольку функция F там ограничена. Мы можем теперь применить теорему Адамара о трех прямых и получить
\begin{equation*}
|G(z)|\leqslant \max\{\|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)},c'_{n,\phi}\}\cdot \|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad 0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
|F(z)|\leqslant |e^{-z^2}|\cdot \max\{\|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)},c'_{n,\phi}\}\cdot \|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad 0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
Иными словами, функционал
\begin{equation*}
\eta\to \langle T_z\xi,\eta\rangle, \qquad \eta\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d),
\end{equation*}
\notag
продолжается до ограниченного функционала на L_2(\mathbb{R}^d) (и норма этого функционала ограничена сверху величиной c_z\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}). По лемме Рисса имеем T_z\xi\in L_2(\mathbb{R}^d) и
\begin{equation*}
\|T_z\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_z\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \xi\in L_2(\mathbb{R}^d) выбрано произвольно, получаем, что T_z корректно определен и ограничен на L_2(\mathbb{R}^d).
Лемма 5.5 доказана. Утверждение леммы 5.6 имеет решающее значение в доказательстве теоремы 1.3. Лемма 5.6. Предположим, что носитель функции f\in L_{\infty}(\mathbb{R}^d) содержится в множестве \mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d. Имеем Доказательство. Напомним обозначение \alpha(t)=t/|t|^2, t\in\mathbb{R}^d. Имеем
Зафиксируем вещественнозначную функцию \phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d) такую, что \phi=1 на \mathbb{B}^d. Поскольку носитель функции f\mathbin{\circ}\alpha содержится в \mathbb{B}^d, получаем
\begin{equation*}
f\mathbin{\circ}\alpha = (f\mathbin{\circ}\alpha)\cdot\phi=Uf\cdot h_d\phi.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{f\mathbin{\circ}\alpha} \cdot U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}U\cdot M_{f\mathbin{\circ}\alpha} \\ &\qquad=M_{Uf}\cdot M_{h_d\phi} U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}UM_{h_d\phi}\cdot M_{Uf}=TSS^{\ast}T^{\ast}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
T=M_{Uf}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}, \qquad S=(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4}M_{h_d\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}.
\end{equation*}
\notag
Комбинируя лемму 5.5 и факт 5.1, мы завершаем доказательство.
Лемма доказана. 5.3. Доказательство теоремы 1.3Доказательство следующего утверждения перенесено в § 7. Мы теперь в состоянии доказать теорему 1.3. Доказательство теоремы 1.3. Не ограничивая общности, считаем, что f\geqslant0. Сначала предположим, что f\in L_{\infty}(\mathbb{R}^d).
Очевидно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} &=(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \\ &\qquad+(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{R}^d \setminus\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу неравенства треугольника для квазинорм имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \leqslant2\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\qquad +2\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{R}^d \setminus\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
По лемме 5.6, примененной к функции f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} M_{f\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad=\bigl\|M_{f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2} \chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\!\!\quad \stackrel{\text{лемма }5.6}{\leqslant} c_{\mathrm{abs}}\bigl\|M_{U(f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d})} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{U(f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d \setminus\mathbb{B}^d})}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\leqslant c_{\mathrm{abs}}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{(U(f^{1/2} \chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}))^2}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad \leqslant c_{\mathrm{abs}}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{(Vf) \chi_{\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
По лемме 5.2 имеем
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \leqslant c_d\bigl(\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)} +\|(Vf)\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
Утверждение теоремы (для ограниченных f) следует из утверждения 5.1.
Теперь пусть f\in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d) выбрана произвольным образом. Положим Мы уже установили требуемое неравенство для любой ограниченной функции (и, в частности, для f_n). Для каждого n\in\mathbb{N} имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad \leqslant c_d\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
С другой стороны, в силу теоремы 2.3 из [23] (пространство Лоренца \Lambda_1(\mathbb{R}^d) из [23] совпадает с пространством L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}- (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{\infty} \\ &\qquad\leqslant c_d\|f-f_n\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что Используя свойство Фату пространства \mathcal{L}_{1,\infty}, получаем
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}\leqslant c_d\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr).
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.3 доказана. § 6. Оценки Соломяка для \mathcal{L}_{1,\infty} не выполняются в \mathbb{R}^dЭтот параграф посвящен доказательству теоремы 1.2. 6.1. Простые факты, использованные в доказательствеВ лемме 6.1 далее обозначение \bigoplus_{k\in\mathbb{Z}^d}T_k использовано как условное обозначение элемента \sum_{k\in\mathbb{Z}^d}T_k\otimes e_k из алгебры фон Неймана {B(H)\mathbin{\overline{\otimes}}l_{\infty}(\mathbb{Z}^d)}. Здесь e_k – это единичный вектор с единственной ненулевой компонентой в k-й позиции. Аналогично, A^{\oplus n} – это условное обозначение элемента \sum_{k=0}^{n-1}A\otimes e_k из алгебры фон Неймана B(H)\mathbin{\overline{\otimes}}l_{\infty}(\mathbb{Z}). Субмажоризация Харди–Литтлвуда определяется формулой
\begin{equation*}
S\prec\prec T, \quad\text{если и только если }\ \int_0^t\mu(s,S)\,d\nu(s)\leqslant\int_0^t\mu(s,T)\,d\nu(s), \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
где мы используем идентификацию последовательности сингулярных значений с соответствующей ступенчатой функцией. Факт 6.1. Если (p_k)_{k\in\mathbb{Z}^d} – это последовательность попарно ортогональных проекторов, то Следующие факты известны. Мы включаем их доказательства для удобства читателя. Действительно, для каждого t>0 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t\mu(t,S) &\leqslant\int_0^t\mu(s,S)\,d\nu(s)\leqslant\int_0^t\mu(s,T)\,d\nu(s) \\ &\leqslant\|T\|_{2,\infty}\int_0^ts^{-1/2}\,d\nu(s)=2t^{1/2}\|T\|_{2,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поделив на t^{1/2} и взяв супремум по t>0, получаем требуемое. Действительно, для каждого t>0 имеем
\begin{equation*}
\mu(t,A+B)\leqslant\mu\biggl(\frac{t}{2},A\biggr)+\mu\biggl(\frac{t}{2},B\biggr).
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|A+B\|_{2,\infty} &\leqslant \sup_{t>0}t^{1/2}\biggl(\mu\biggl(\frac{t}{2},A\biggr) +\mu\biggl(\frac{t}{2},B\biggr)\biggr) \\ &=2^{1/2}\sup_{t>0}t^{1/2}(\mu(t,A)+\mu(t,B))\leqslant 2^{1/2}\|A\|_{2,\infty}+2^{1/2}\|B\|_{2,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Действительно,
\begin{equation*}
\mu(A^{\oplus n})=\sigma_n\mu(A)\geqslant\sigma_n(\|A\|_{\infty}\chi_{(0,1)})=\|A\|_{\infty}\chi_{(0,n)}.
\end{equation*}
\notag
Здесь, первое равенство – это одно из равенств в (5) из [40]. В следующей лемме мы оцениваем произведение оператора (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2} с коммутатором \bigl[M_{\phi},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]. Лемма 6.1. Если \phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d), то оператор (изначально определенный как отображение из \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d))
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}\bigl[M_{\phi}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]
\end{equation*}
\notag
продолжается до ограниченного оператора на L_2(\mathbb{R}^d). Доказательство. Здесь (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} – это псевдодифференциальный оператор порядка -d/2; M_{\phi} – это псевдодифференциальный оператор порядка 0. По теореме 2.5.1 в [32] коммутатор – это псевдодифференциальный оператор порядка -d/2-1. Следовательно,
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}\bigl[M_{\phi}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]
\end{equation*}
\notag
– это псевдодифференциальный оператор порядка 0. По теореме 2.4.2 в [32] такой оператор ограничен.
Лемма доказана. 6.2. Доказательство теоремы 1.2Следующее утверждение играет ключевую роль в доказательстве теоремы 1.2. Оно доставляет конкретный пример функции, для которой оценка в теореме 1.2 выполнена.
\begin{equation*}
f_n=\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
то существует константа c_d' (зависящая только от d, но не от n) такая, что Доказательство. Пусть K=[-1/2,1/2]^d, и пусть p_k=M_{\chi_{k+K}}, k\in\mathbb{Z}^d. Применяя факт 6.1, получаем
\begin{equation*}
\bigoplus_{k\in\mathbb{Z}^d}M_{\chi_{k+K}}M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} M_{\chi_{k+K}}\prec\prec M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}.
\end{equation*}
\notag
Для n\geqslant 2 имеем Для n\geqslant2 мы выводим из факта 6.2 при что
Пусть функция \phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d) такая, что ее носитель содержится в K, и такая, что \phi=1 на K/2 с \|\phi\|_{\infty}=1. Пусть \phi_k(t)=\phi(t-k), t\in\mathbb{R}^d. Имеем
\begin{equation}
2\bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty} \geqslant\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\phi_k}\biggr\|_{2,\infty}.
\end{equation}
\tag{6.1}
Для n\geqslant4 имеем
\begin{equation*}
M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}=M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}M_{\phi_k}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}=\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d} M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\phi_k} \\ &\qquad\qquad+ \bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} \bigl[M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Обращаясь к неравенству треугольника для квазинорм (см. факт 6.3), получаем
\begin{equation*}
\|A+B\|_{2,\infty}\leqslant 2^{1/2}\|A\|_{2,\infty}+2^{1/2}\|B\|_2.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d} M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\biggr\|_{2,\infty} \\ &\qquad \leqslant 2^{1/2}\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\phi_k}\biggr\|_{2,\infty} \\ &\qquad\qquad +2^{1/2}\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d} M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}\bigl[M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]\biggr\|_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Используя (6.1), получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\biggr\|_{2,\infty}\leqslant 2^{3/2}\bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty} \nonumber \\ &\qquad\qquad +\biggl(2\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} [M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_2^2\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
Теперь мы оценим второе слагаемое в правой части (6.2):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} [M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_2^2 \\ &\qquad\leqslant \sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4-1/2}\bigr\|_2^2 \\ &\qquad\qquad\times \bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}[M_{\phi_k}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_{\infty}^2 \\ &\qquad= \biggl(\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4-1/2}\bigr\|_2^2\biggr) \\ &\qquad\qquad\times \bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}[M_{\phi}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_{\infty}^2 \\ &\qquad= \bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4-1/2} \bigr\|_2^2\cdot\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2} [M_{\phi},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_{\infty}^2 \\ &\ \, \stackrel{\text{лемма }6.1}{=}\frac12(c_d')^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Чтобы оценить (снизу) левую часть (6.2), остается заметить, что операторы
\begin{equation*}
\bigl\{M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\}_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}
\end{equation*}
\notag
попарно унитарно эквивалентны (при помощи оператора сдвига) и, значит,
\begin{equation*}
\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\biggr\|_{2,\infty} \stackrel{\text{факт }6.4}{\geqslant} n^{d/2}\bigl\|M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \bigr\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
Утверждение 6.1 доказано. Следующий важный результат установлен в [41; теорема 16]. Здесь
\begin{equation*}
\psi(t)= \begin{cases} \dfrac1{\log(e/t)},& t\in(0,1), \\ t,& t\geqslant 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
и \mathcal{M}_{\psi} – это соответствующее пространство Марцинкевича (см. [21]). Доказательство теоремы 1.2. Пусть n\geqslant 4, и пусть f_n такая же, как в утверждении 6.1. Имеем
\begin{equation*}
n^{d/2}\|M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\|_{\infty}\leqslant 2^{3/2}\bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty}+c_d', \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
В силу утверждения 6.2 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\|_{\infty} =\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\|_{\infty}^{1/2} \\ &\qquad\geqslant c_d^{1/2}\|\chi_{(0,n^{-d})}\|_{\mathcal{M}_{\psi}}^{1/2}\geqslant d^{1/2}c_d^{1/2} n^{-d/2}\log^{1/2}(n), \qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Комбинация этих неравенств дает Следовательно,
Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(f_n) &=\mu\biggl(\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}\biggr) =\mu\biggl(\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}\biggr) \\ &=\mu\bigl(\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}^{\oplus n^d}\bigr) =\sigma_{n^d}\mu(\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d})=\mu(\chi_{\mathbb{B}^d}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\mu(f_n)=\chi_{(0,\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d))}, \quad\|f_n\|_E=\|\chi_{(0,\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d))}\|_E, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
для каждого квазибанахова симметричного пространства E.
Пусть C_E – модуль вогнутости E (т.е. константа в квазинеравенстве треугольника). Выберем последовательность \{n_k\}_{k\geqslant1} такую, что
\begin{equation}
\bigl(d^{1/2}c_d^{1/2} \log^{1/2}(n_k)-c_d'\bigr)_+^2\geqslant k^3C_E^k, \qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{6.4}
Положим Мы утверждаем, что f\in E. Действительно, в силу квазинеравенства треугольника имеем
\begin{equation*}
\|f\|_E\leqslant\sum_{k\geqslant1}C_E^k\|k^{-2}C_E^{-k}f_{n_k}\|_E =\sum_{k\geqslant1}k^{-2}\|f_{n_k}\|_E=\frac{\pi^2}{6}\cdot \|\chi_{(0,\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d))}\|_E.
\end{equation*}
\notag
Поскольку каждая функция f_{n_k} положительна, получаем
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \geqslant k^{-2}C_E^{-k} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_{n_k}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\geqslant k^{-2}C_E^{-k}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_{n_k}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
По (6.3) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\geqslant k^{-2}C_E^{-k}\cdot \bigl(d^{1/2}c_d^{1/2} \log^{1/2}(n_k)-c_d'\bigr)_+^2 \stackrel{(6.4)}{\geqslant}k^{-2}C_E^{-k}\cdot k^3C_E^k=k, \qquad k\geqslant1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Это неравенство показывает, что
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\notin\mathcal{L}_{1,\infty}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.2 доказана. § 7. Доказательство утверждения 5.1В этом параграфе мы упростим выражения, использованные в доказательстве теоремы 1.3. Наши рассуждения продолжают использовавшиеся в теореме 3.1 из [33]. Доказательство. Без потери общности считаем, что f\geqslant0. Предположим, что
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\log(1+|s|)\,d\nu(s)\leqslant 1, \qquad \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d)}\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
По определению (2.1) нормы Орлича последнее неравенство эквивалентно
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(f(s))\,d\nu(s)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \Phi(t)\geqslant t, t>0, получаем
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\,d\nu(s)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Значит (здесь использована конкретная форма функции \Phi, а также выражение для якобиана инверсии, подсчитанное в лемме 5.3),
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{B}^d}\Phi((Vf)(u))\,d\nu(u) =\int_{\mathbb{B}^d}\Phi\biggl(|u|^{-2d}f\biggl(\frac{u}{|u|^2}\biggr)\biggr)\,d\nu(u) \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(|s|^{2d}f(s))|s|^{-2d}\,d\nu(s) =\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\cdot \log(e+|s|^{2d}f(s))\,d\nu(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Имеем Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log(e+|s|^{2d}f(s)) &\leqslant 1+\log(1+|s|^{2d})+\log(1+f(s)) \\ &\leqslant 1+2d\log(1+|s|)+\log(e+f(s)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
То есть
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{B}^d}\Phi((Vf)(t))\,d\nu(t) &\leqslant \int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\,d\nu(s) +2d\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\log(1+|s|)\,d\nu(s) \\ &\qquad+\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(f(s))\,d\nu(s)\leqslant 1+2d+1=2d+2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 7.1 доказана. Доказательство. Положим для краткости g=Vf и заметим, что f=Vg. Без потери общности считаем, что f\geqslant0. Утверждение однородно. Поэтому достаточно его доказать для случая, когда правая часть равна 1. Иными словами, мы предполагаем, что Тогда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(f(u))\,d\nu(u) =\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}M \biggl(|u|^{-2d}g\biggl(\frac{u}{|u|^2}\biggr)\biggr)\,d\nu(u) \\ &\qquad =\int_{\mathbb{B}^d}\Phi(|s|^{2d}g(s))|s|^{-2d}\,d\nu(s) =\int_{\mathbb{B}^d}g(s)\cdot \log(e+|s|^{2d}g(s))\,d\nu(s) \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbb{B}^d}g(s)\cdot \log(e+g(s))\,d\nu(s)\leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Доказательство. Положим для краткости g=(Vf)\chi_{\mathbb{B}^d} и заметим, что f= Vg. Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s) =\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|s|^{-2d}\, \biggl|g\biggl(\frac{s}{|s|^2}\biggr)\biggr|\log(1+|s|)\,d\nu(s) \\ &\qquad=\int_{\mathbb{B}^d}|g(u)|\log\biggl(1+\frac1{|u|}\biggr)\,d\nu(u) =\int_{\mathbb{B}^d}|g(u)|\,|h(u)|\,d\nu(u), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где h(u)=\log(1+1/|u|), u\in\mathbb{B}^d. Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s) \leqslant\int_0^{\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d)}\mu(t,g)\mu(t,h)\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что
\begin{equation*}
\mu(t,h)=\log\biggl(1+\biggl(\frac{t}{\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d)}\biggr)^{-1/d}\biggr), \qquad 0<t<\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d),
\end{equation*}
\notag
и, следовательно,
\begin{equation*}
\mu(t,h)\leqslant c_d\biggl(1+\log_+\biggl(\frac1t\biggr)\biggr), \qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\, d\nu(s)\leqslant c_d\int_0^{\infty}\mu(t,g)\biggl(1+\log_+\biggl(\frac1t\biggr)\biggr)\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
Справа стоит норма \|g\|_{\Lambda_1}, где \Lambda_1 – это пространство Лоренца из [23]. Поскольку пространство Орлича L_{\Phi} совпадает с пространством Лоренца \Lambda_1, мы получаем требуемое утверждение.
Лемма 7.3 доказана. Доказательство утверждения 5.1. По лемме 7.1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)} &\leqslant (2d+2)\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d)} +(2d+2)\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,ds \\ &\leqslant (2d+2)\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+(2d+2)\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что
\begin{equation*}
\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\leqslant \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}+\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\leqslant (2d+3)\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr).
\end{equation*}
\notag
С другой стороны, применяя неравенство треугольника и лемму 7.2, получаем
\begin{equation*}
\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\leqslant \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}+\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d)}\leqslant \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}+\|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}.
\end{equation*}
\notag
По лемме 7.3 имеем Таким образом, Комбинируя полученные неравенства, мы завершаем доказательство.
Утверждение 5.1 доказано. § 8. Доказательство теоремы 1.3 при d=2Этот параграф содержит короткое доказательство теоремы 1.3 при d=2. Доказательство передано нам профессором Р. Франком и приводится здесь с его любезного разрешения. Для (возможно, неограниченного) самосопряженного оператора S мы обозначим через N(I,S) число собственных значений S в интервале I. Это число считается равным +\infty, если спектр S на I отличен от дискретного. Доказательство базируется на основном результате из [33], который мы запишем следующим образом. Строго говоря, правая часть этого неравенства в [33] записана как
\begin{equation*}
1+\|f\|_{L_{\mathcal{B}}(\mathbb{R}^2)}+\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s),
\end{equation*}
\notag
где Эта величина эквивалента той, которая стоит в правой части утверждения теоремы, поскольку функции Орлича \Phi и \mathcal{B} эквивалентны при больших значениях t. Спектральные оценки для оператора Шрёдингера и оценки Соломяка связаны посредством принципа Бирмана–Швингера. Абстрактная форма принципа Бирмана–Швингера, пригодная для наших целей, содержится, например, в [35; предложение 7.2] (или в [29; предложение 2.3], или в [10; лемма 1.4]). Теорема 8.2. Пусть T – положительный самосопряженный оператор и его обратный ограничен. Пусть V положителен и ограничен. Предположим, что V^{1/2}T^{-1/2} компактен. Тогда Теперь мы можем доказать главный результат этого параграфа. Доказательство теоремы 1.3 при d=2. Предположим без потери общности, что функция f\geqslant0 имеет компактный носитель и ограничена. Требуемая аппроксимация, позволяющая получить результат в полной общности, дословно повторяет рассуждения в доказательстве теоремы 1.3.
Пусть t>0. По теореме 2.3 из [23] имеем
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f (1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr\|_{\infty}\leqslant c_1\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Немного более слабая оценка, которая тем не менее достаточна для доказательства теоремы 1.3, может также напрямую быть выведена из [36] и [33]. Поэтому
\begin{equation*}
N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
как только
Предположим теперь, что В силу принципа Бирмана–Швингера и теоремы 8.1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad=N\bigl((1,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_{t^{-1}f}(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad= N\bigl((-\infty,0),1-\Delta_{\mathbb{R}^d}-M_{t^{-1}f}\bigr) =N\bigl((-\infty,-1),-\Delta_{\mathbb{R}^d}-M_{t^{-1}f}\bigr) \\ &\qquad\leqslant N\bigl((-\infty,0),-\Delta_{\mathbb{R}^d}-M_{t^{-1}f}\bigr) \\ &\qquad\leqslant 1+\frac{c_2}{t}\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу предположения на t имеем Отсюда получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad\leqslant \frac{c_1+c_2}{t}\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Собирая оценки из предыдущих параграфов, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad \leqslant \frac{c_1+c_2}{t}\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr), \qquad t>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Полагая t=\mu(n,A)-\epsilon, заметим, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{t>0}tN((t,\infty),A)\geqslant \sup_{n\geqslant0}\sup_{\epsilon>0}\, (\mu(n,A)-\epsilon) N\bigl((\mu(n,A)-\epsilon,\infty),A\bigr) \\ &\qquad \geqslant\sup_{n\geqslant0}\mu(n,A)N\bigl((\mu(n,A)-0,\infty),A\bigr) \geqslant\sup_{n\geqslant0}\, (n+1)\mu(n,A)=\|A\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь мы мы можем заключить, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad \leqslant (c_1+c_2)\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.3 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SukZan22}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|