| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Необходимые и достаточные условия продолжения функции до функции Каратеодори В. И. Буслаев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9611e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Классические критерии Каратеодори и ШураНапомним, что функция F(z), голоморфная в круге D:={|z|<1}, называется функцией Каратеодори, если ReF(z)⩾0, z∈D, и называется функцией Шура, если |F(z)|⩽1, z∈D. Множества функций Каратеодори и Шура будем обозначать соответственно через BC и BS. В множествах BC и BS функций Каратеодори и Шура обычно выделяют непересекающиеся подмножества BCN и BSN, N∈Z∞+:={∞,0,1,2,…}, где
BC0:={F(z)∈BC:F(z)≡λ,Reλ=0},BS0:={F(z)∈BS:F(z)≡γ,|γ|=1},BCN:={F(z)∈BC:F(z)=λ0+N∑k=1λktk−ztk+z,Reλ0=0,λk>0,|tk|=1,k=1,…,N,t1,…,tN попарно различны},BSN:={F(z)∈BS:F(z)=γN∏k=1z−ek1−z¯ek,|γ|=1,ek∈D,k=1,…,N}
(черта над символом означает комплексное сопряжение, N=1,2,…), Обозначим через T(z) дробно линейное преобразование T(z)=(1−z)/(1+z), переводящее единичный круг D в правую полуплоскость {Rez>0}, а правую полуплоскость в единичный круг. В [1; с. 229–230] показано, что (за исключением случая функции F(z)≡−1, принадлежащей BS0, для которой (T∘F)(z)≡∞).Положим Так как (T∘T)(z)=z, то (при F(z)≢−1) из (1) следует, что Пусть f(z)=∑∞k=0akzk – формальный степенной ряд, In – единичная (n×n)-матрица. Положим Отметим, что матрицы A_n^{f}, \widetilde{A}_n^{f} и определители M_n^{\zeta;f} зависят только от первых n коэффициентов a_0,\dots,a_{n-1} ряда f (z). В частности,
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_n^{f}=A_n^{f_m}, \quad\text{где }\ m\geqslant n, \\ f_m(z)=\sum_{k=0}^{m-1} a_kz^k \text{ - $(m-1)$-я частичная сумма ряда }f(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
В множестве формальных степенных рядов выделим при N\in\mathbb Z_+^\infty, \zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S} подмножества
\begin{equation}
{\mathscr A} ^{\zeta}_N :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0, \, p=1,\dots,N,\, M_{N+p}^{\zeta;f}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\}
\end{equation}
\tag{6}
(если N=0, то отсутствуют неравенства M_p^{\zeta;f} > 0, p=1,\dots,N, а если N=\infty, то отсутствуют равенства M_{N+p}^{\zeta;f} = 0, p=1,2,\dots). Если формальный степенной ряд f(z) является рядом Тейлора функции Каратеодори или функции Шура, то в этом случае будем писать f(z)\lessdot \mathfrak B ^{\mathtt{C}} и f(z)\lessdot \mathfrak B ^{\mathtt{S}} соответственно. Аналогичный смысл вкладывается в утверждения f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} и f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, N\in\mathbb Z_+^\infty . В [2] и [3] найдены необходимые и достаточные условия, при которых заданный формальный степенной ряд является рядом Тейлора функции Каратеодори. Аналогичный результат по отношению к функции Шура получен в [1]. Для краткости сформулируем критерии Каратеодори и Шура в виде единого критерия, в котором случай \zeta =\mathtt{C} совпадает с критерием Каратеодори, а случай \zeta =\mathtt{S} совпадает с критерием Шура. Критерий Каратеодори–Шура. Пусть f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k – формальный степенной ряд. Тогда в обозначениях (4), (5) В § 2 будет доказана следующая Теорема 1. Пусть f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k – формальный степенной ряд такой, что a_0\neq -1. Тогда в обозначениях (4), (5) имеют место равенства Из (7) получаем, что
\begin{equation*}
M_n^{t(\zeta );T\circ f}=0\quad \Longleftrightarrow\quad M_n^{\zeta;f}=0, \qquad \quad M_n^{t(\zeta );T\circ f}>0\quad \Longleftrightarrow\quad M_n^{\zeta;f}>0.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, при a_0\neq -1
\begin{equation}
f(z)\in{\mathscr A}_N^{\zeta}\quad\Longleftrightarrow\quad(T\circ f)(z)\in{\mathscr A}_N^{t(\zeta )}.
\end{equation}
\tag{8}
С учетом (3) и (8) теорема 1 означает, что (за исключением случая a_0=-1, который легко исследуется отдельно) критерий Каратеодори и критерий Шура эквивалентны друг другу в том смысле, что критерий Шура является непосредственным следствием критерия Каратеодори и теоремы 1 и, наоборот, критерий Каратеодори является непосредственным следствием критерия Шура и теоремы 1. В § 3 статьи будет сформулирован, а в § 4 доказан аналог критериев Каратеодори и Шура для функций, заданных с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, частным случаем которого применительно к функциям, заданным значениями своих производных в нуле (т.е. при e_1=e_2=\dots =0), является следующее Уточнение критерия Каратеодори–Шура при N\in\mathbb Z_+. Пусть f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k – формальный степенной ряд. Тогда
\begin{equation*}
f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)\in{\mathscr A}_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)\in\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)\in\breve{{\mathscr A}}_N^{\zeta},
\end{equation*}
\notag
где N\in\mathbb Z_+, \zeta ={\mathtt{C}}, {\mathtt{S}},
\begin{equation}
\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0,\, p=1,\dots,N, \,M_{N+1}^{\zeta;f}= M_{N+2p}^{\zeta;f}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\},
\end{equation}
\tag{9}
\begin{equation}
\breve{{\mathscr A}}^{\zeta}_N :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0,\, p=1,\dots,N, \, M_{N+1}^{\zeta;f}=M_{N+2p}^{\zeta;f_{N+p+1}}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\}
\end{equation}
\tag{10}
(неравенства M_p^{\zeta;f}>0, p=1,\dots,N, при N=0 считаются отсутствующими), f_{n}(z) – (n-1)-я частичная сумма ряда f(z), n=1,2,\dotsc . Обратим внимание на то, что в определении (9) множеств \hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} отсутствуют равенства
\begin{equation*}
M_{N+2p+1}^{\zeta;f} = 0, \qquad p=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+,
\end{equation*}
\notag
присутствующие в определении (6) множеств {\mathscr A} ^{\zeta}_N. Это означает, что достаточные условия в утверждении
\begin{equation*}
f(z)\lessdot \hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad f(z)\in \mathfrak B_N^{\zeta}
\end{equation*}
\notag
при N\in\mathbb Z_+ образуют подмножество достаточных условий в утверждении
\begin{equation*}
f(z)\lessdot {\mathscr A}_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad f(z)\in \mathfrak B_N^{\zeta}
\end{equation*}
\notag
критериев Каратеодори и Шура. Заметим также, что с вычислительной точки зрения определители M_{{N+2p}}^{\zeta;f_{N+p+1}}, фигурирующие в определении (10) множеств \breve{{\mathscr A}}^{\zeta}_N, чуть проще определителей M_{{N+2p}}^{\zeta;f}, фигурирующих в определении (9) множеств \hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta}, так как при вычислении M_{{N+2p}}^{\zeta;f_{N+p+1}} коэффициенты a_{N+p+1},\dots,a_{N+2p-1}, присутствующие в определителях M_{{N+2p}}^{\zeta;f}, p=2,3,\dots, заменяются нулями (или, как будет показано ниже, любыми другими значениями). В [4] предложено доказательство критерия Шура в терминах двухточечных ганкелевых определителей степенного ряда f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k (a_0\neq 0) с центром в точке z=0 и ассоциированного с ним ряда
\begin{equation*}
f^* (z):=\bigl(\overline{f(\overline{z^{-1}})}\bigr)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty a_k^* z^{-k}\,
\end{equation*}
\notag
с центром в точке z=\infty, возникающего как результат хорошо известной взаимосвязи между подходящими дробями с четными и нечетными номерами непрерывной дроби Шура, соответствующей ряду f(z). Оказалось, что двухточечные ганкелевы определители порядка n рядов f(z) и f^*(z) с точностью до множителя (-1)^n\overline{a}_0^{\,n} совпадают с определителями Шура M_n^{\mathtt{S};f}. С помощью этого факта и двухточечного аналога теоремы Полиа (см. [5], [6]) о верхней оценке емкости особенностей мероморфной функции в [7] проведено исследование свойств сходимости и граничного поведения предельно периодической непрерывной дроби Шура. Известно (см., например, [8]), что описанный в [1] классический алгоритм Шура имеет многоточечный аналог, позволяющий интерполировать заданную функцию \mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{S}} подходящими дробями многоточечной непрерывной дроби Шура в заданной последовательности точек единичного круга, а не в единственной точке z=0 (с кратностью). В [9] найдены величины M_{E_n}^{\mathtt{S};f}, где E_n:=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset \mathbb D (совпадающие с определителями Шура M_n^{\mathtt{S};f} в случае, когда e_1=\dots =e_n=0), в терминах которых удалось сформулировать многоточечный аналог критерия Шура. Доказательство сформулированного в [9] многоточечного аналога критерия Шура, опирающееся на многоточечный вариант алгоритма Шура, изложено в [10]. В настоящей статье найдены величины M_{E_n}^{\mathtt{C};f} (совпадающие с определителями Каратеодори M_n^{\mathtt{C};f} в случае, когда e_1=\dots =e_n=0), в терминах которых формулируется и доказывается многоточечный аналог критерия Каратеодори. Как и в классическом случае, многоточечный критерий Каратеодори и многоточечный критерий Шура оказываются эквивалентными друг другу в том смысле, что каждый из них является непосредственным следствием другого и равенств, связывающих между собой величины M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ f} и M_{E_n}^{\mathtt{S};f} (см. в § 2 теорему 2, частным случаем которой является теорема 1). Предлагаемое в § 4 доказательство многоточечного критерия Каратеодори с учетом имеющегося в [10] доказательства многоточечного критерия Шура опирается на выявленную эквивалентность критериев и сводится помимо доказательства теоремы 2 к проверке условий f(z)\neq -1, z\in E_n, n=1,2,\dots, присутствующих в предполагающей части теоремы 2. § 2. Многоточечные аналоги определителей Каратеодори и ШураПусть F(z) – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества E_n:=\{ e_1,\dots,e_n\}, т.е. в точке e_{j} определена (\nu_j-1)-я производная F ^{(\nu_j-1)}(e_{j}) функции F(z), где \nu_j – кратность точки e_j в множестве \{ e_1,\dots,e_j\}, j=1,\dots,n. Напомним, что если F(z) и G(z) – две функции, определенные с учетом кратностей в точках множества E_n, то с учетом кратностей определены и функции (F\pm G)(z), (FG)(z), (F/G)(z) (в последнем случае при условии G(z)\neq 0, z\in E_n). В частности, если F(z)\neq -1, z\in E_n, то наряду с F(z) определена с учетом кратностей и функция (T\circ F)(z)=(1-F(z))/ (1+F(z)), z\in E_n. Легко видеть, что всякая функция \mathbf{F}(z)\in H(E_n) (т.е. функция, голоморфная в некоторой окрестности E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}) является функцией, заданной с учетом кратностей в точках любого множества E^{j_1,\dots,j_p}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}, где e_{j_q}\in E_n, q=1,\dots,p, p\in\mathbb N, а для всякой функции F(z), заданной с учетом кратностей в точках множества E_n, существует функция \mathbf{F}(z)\in H(E_n), равная F(z) на E_n с учетом кратностей. В частности, существует многочлен \mathbf{F}_n(z) степени не выше n-1 (интерполяционный многочлен Лагранжа) такой, что
\begin{equation*}
\mathbf{F}_n^{(\nu_j-1)}(e_j)=F^{(\nu_j-1)}(e_j), \qquad j=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
где \nu_j – кратность точки e_j в множестве E_{n}. Для удобства последующих ссылок выделим следующее тривиальное Предложение 1. Пусть F(z) – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества E_n, такая, что F(z)\neq -1, z\in E_n, и пусть функция \mathbf{F}(z)\in H(E_n) интерполирует F(z) с учетом кратностей в точках множества E_n. Тогда функция (T\circ \mathbf{F})(z)\in H(E_n) интерполирует (T\circ F)(z) с учетом кратностей в точках множества E_n. Пусть
\begin{equation*}
E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, \qquad E^{j_1,\dots,j_p}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}, \quad 1\leqslant j_1<\dots <j_p\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
Сужением функции F(z), определенной с учетом кратностей в точках множества E_n на множество E^{j_1,\dots,j_p}, будем называть функцию, определенную в точках множества E^{j_1,\dots,j_p} с учетом кратностей при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа \mathbf{F}_n(z). Для интерполяционного многочлена Лагранжа \mathbf{F}^{j_1,\dots,j_p}(z) определенного таким образом сужения F(z) на E^{j_1,\dots,j_p} имеет место включение
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{F}^{j_1,\dots,j_p}(z)-\mathbf{F}_n(z)}{(z- e_{j_1})\dotsb(z-e_{j_p})}\in H(E^{j_1,\dots,j_p}).
\end{equation*}
\notag
Заметим, что определение сужения не требует вычисления многочлена Лагранжа \mathbf{F}_n(z) и может быть дано без его использования непосредственно по функции F(z). Использование многочлена Лагранжа помогает избавиться от словесного разъяснения некоторых возникающих нюансов, связанных с тем, что точки e_{j_q}, q=1,\dots,p, могут иметь различные кратности в множествах E_n и E^{j_1,\dots,j_p}. Полученный в статье многоточечный аналог критерия Каратеодори–Шура будет сформулирован в терминах величин M_{E_n}^{\mathtt{C};F} и M_{E_n}^{\mathtt{S};F}, для определения которых введем следующие Обозначения 1. Пусть n-точечное множество E_n=\{ e_1,\dots,e_n\} перестановкой элементов приводится к виду E_n:=\bigl\{\{ e_1\} ^{r_1},\dots,\{ e_k\} ^{r_k}\bigr\}, где e_1,\dots,e_k попарно различны, r_1+\dots +r_k=n, \{e\}^{r}:=\{\underbrace{e,\dots,e}_{r}\}. Пусть F(z) – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества E_n, \varphi_p (z):=z^p, p=0,1,\dots (z^0:=1, включая z=0). Учитывая, что (\varphi_pF)(z) – функции, определенные с учетом кратностей в точках множества E_n, p=0,1,\dots, обозначим через A_{E_n}^F и \widetilde{A}_{E_n}^F соответственно матрицы
\begin{equation}
{ \begin{pmatrix} \dfrac{(\varphi_0F)(e_1)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)^{(r_1-1)}(e_1)}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)(e_k)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)^{(r_k-1)}(e_k)}{(r_k{-}\,1)!} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{(\varphi_{n-1}F)(e_1)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)^{(r_1-1)}(e_1)}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)(e_k)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)^{(r_k-1)}(e_k)}{(r_k{-}\,1)!} \end{pmatrix}, }
\end{equation}
\tag{11}
\begin{equation}
{ \begin{pmatrix} \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)^{(r_k-1)}(e_k)}}{(r_k{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)(e_k)}}{0!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)^{(r_1-1)}(e_1)}}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)(e_1)}}{0!} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)^{(r_k-1)}(e_k)}}{(r_k{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)(e_k)}}{0!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)^{(r_1-1)}(e_1)}}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)(e_1)}}{0!} \end{pmatrix} }
\end{equation}
\tag{12}
и положим
\begin{equation}
W_{E_n}:=\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_n} \\ A_{E_n}^{\varphi_n} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{13}
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathtt{C};F}: =\dfrac{\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \\ -A_{E_n}^{F} & \widetilde{A}_{E_n}^{F} \end{pmatrix}}{W_{E_n}} ,\qquad M_{E_n}^{\mathtt{S};F}: =\dfrac{\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{F} \\ A_{E_n}^{F} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \end{pmatrix}}{W_{E_n}}.
\end{equation}
\tag{14}
Обратим внимание на то, что матрица \widetilde{A}_{E_n}^F получается из матрицы A_{E_n}^F комплексным сопряжением и записью строк и столбцов в обратном порядке (т.е. если A_{E_n}^F =(a_{k,j})_{k,j=1,\dots,n}, то \widetilde{A}_{E_n}^F =(\overline{a}_{n+1-k,n+1-j})_{k,j=1,\dots,n}), W_{E_n}\neq 0 (если E_n\subset\mathbb D), а каждая из величин M_{E_{n}}^{\mathtt{C};F}, M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F} вещественнозначна и инвариантна относительно перестановок точек множества E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}. Отметим также, что функцию F (z) в (11) и (12) можно заменить любой функцией, равной F (z) на множестве E_n с учетом кратностей (в частности, интерполяционным многочленом Лагранжа \mathbf{F}_n(z)), а постоянные 0!, \dots,(r_j-1)! можно заменить любыми другими отличными от нуля постоянными (например, единицами, как это сделано в [10] при определении величин M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}), так как эти постоянные выносятся за знак соответствующих определителей и присутствуют одинаковым образом в числителях и знаменателях вводимых в рассмотрение величин M_{E_n}^{\mathtt{C};F} и M_{E_n}^{\mathtt{S};F} при помощи равенств (14). Выбор постоянных 0!, \dots,(r_j-1)! в определениях (11) и (12) сделан ради удобства сравнения вводимых величин M_{E_n}^{\mathtt{C};F} и M_{E_n}^{\mathtt{S};F} в частном случае, когда E_n=\{ 0\} ^n (т.е. все точки n-точечного множества E_n равны нулю), F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k, с ранее введенными (перед критерием Каратеодори–Шура) величинами M_{n}^{\mathtt{C};F} и M_{n}^{\mathtt{S};F} (см. (5)) при помощи матриц A_n^F и \widetilde{A}_n^F (см. (4)). А именно, имеет место следующее Предложение 2. Пусть n\in\mathbb N, E_n=\{ 0\} ^n, F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k, \zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S} . Тогда M_{E_n}^{\zeta;F}=M_{n}^{\zeta;F}, где величины M_{E_n}^{\zeta;F} определены равенствами (11)–(14), а M_{n}^{\zeta;F} – равенствами (4), (5). Действительно, если E_n=\{ 0\} ^n, F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k, то из (11)–(14) и (4), (5) получаем равенства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{(\varphi_pF)^{(r)}(0)}{r!}= \begin{cases} 0,&0\leqslant r<p\leqslant n-1, \\ a_{r-p},& 0\leqslant p\leqslant r\leqslant n-1, \end{cases} \\ A_{E_n}^{F}=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} \\ 0 & a_0 & \dots & a_{n-2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_0 \end{pmatrix} {=}\,A_n^F, \qquad \widetilde{A}_{E_n}^{F} = \begin{pmatrix} \overline{a}_0 & 0 & \dots & 0 \\ \overline{a}_1 & \overline{a}_0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_{n-2} & \dots & \overline{a}_0 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{n}^{F}, \\ A_{E_n}^{\varphi_0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0}, \qquad A_{E_n}^{\varphi_n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_n}, \\ W_{E_n}=\det \begin{pmatrix} I_n & O_n \\ O_n & I_n \end{pmatrix} =1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где I_n и O_n – соответственно единичная и нулевая (n\times n)-матрицы,
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathtt{C};F}: =\det \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ -A_n^F & \widetilde{A}_n^F \end{pmatrix}=\det(A_n^F +\widetilde{A}_n^F)=:M_{n}^{\mathtt{C};F},
\end{equation}
\tag{15}
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathtt{S};F}: =\det \begin{pmatrix} I_n & \widetilde{A}_n^F \\ A_n^F & I_n \end{pmatrix}=\det(I_n-A_n^F \widetilde{A}_n^F)=:M_{n}^{\mathtt{S};F}.
\end{equation}
\tag{16}
В равенствах (15) и (16) использовано хорошо известное (см., например, [1; § 5]) равенство
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} =\det(PS-RQ),
\end{equation*}
\notag
выполняющееся для (n\times n)-матриц P,Q,R,S таких, что PR=RP. Весьма полезным вспомогательным утверждением является следующее Предложение 3. Пусть n\in\mathbb N, E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb D, F(z) – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества E_n, \mathbf{F}(z)\in H(E_n) – функция, интерполирующая F(z) в точках множества E_n с учетом кратностей, \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}. Тогда В [10; предложение 5] показано, что предложение 3 при \zeta =\mathtt{S} является простым следствием формулы Тейлора. При этом приведенные в [10] рассуждения практически дословно переносятся на случай \zeta =\mathtt{C} . Следующая теорема распространяет теорему 1 на многоточечный случай. Теорема 2. Пусть n\in\mathbb N, E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb D, F(z) – функция, заданная с учетом кратностей в точках множества E_n, такая, что F(z)\neq -1 при z\in E_n. Тогда в обозначениях (11)–(14) для определенной с учетом кратностей в точках множества E_n функции (T\circ F)(z) имеют место равенства В частности, Доказательство. Предположим сначала, что множество E_n состоит из попарно различных точек e_1,\dots,e_n, и положим для краткости
Имеет место следующая цепочка равенств:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &W_{E_n}M_{E_{n}}^{\mathtt{C};T\circ F} =\det \begin{pmatrix} e_1^0 & \dots & e_n^0 & \overline{e_n^{n-1}} & \dots & \overline{e_1^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} & \overline{e_n^{0}} & \dots & \overline{e_1^{0}} \\ -e_1^0G_1 & \dots & -e_n^0G_n & \overline{e_n^{n-1}G_n} & \dots & \overline{e_1^{n-1}G_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}G_1 & \dots & -e_n^{n-1}G_n & \overline{e_n^{0}G_n} & \dots & \overline{e_1^{0}G_1} \end{pmatrix} \\ &=\frac{\det { \begin{pmatrix} e_1^0(1+F_1) & \dots & e_n^0(1+F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1+F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1+F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}(1+F_1) & \dots & e_n^{n-1}(1+F_n) & \overline{e_n^{0}(1+F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1+F_1)} \\ -e_1^0(1-F_1) & \dots & -e_n^0(1-F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1-F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}(1-F_1) & \dots & -e_n^{n-1}(1-F_n) & \overline{e_n^{0}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1-F_1)} \end{pmatrix}}}{\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}} \\ &=\frac{\det { \begin{pmatrix} 2e_1^0 & \dots & 2e_n^0 & 2\overline{e_n^{n-1}F_n} & \dots & 2\overline{e_1^{n-1} F_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 2e_1^{n-1} & \dots & 2e_n^{n-1} & 2\overline{e_n^{0}F_n} & \dots & 2\overline{e_1^{0} F_1} \\ -e_1^0(1-F_1) & \dots & -e_n^0(1-F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1-F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}(1-F_1) & \dots & -e_n^{n-1}(1-F_n) & \overline{e_n^{0}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1-F_1)} \end{pmatrix}}}{\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}} \\ &=C_{E_n}^F\det \begin{pmatrix} e_1^0 & \dots & e_n^0 & \overline{e_n^{n-1}F_n} & \dots & \overline{e_1^{n-1}F_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} & \overline{e_n^{0}F_n} & \dots & \overline{e_1^{0}F_1} \\ e_1^0F_1 & \dots & e_n^0F_n & \overline{e_n^{n-1}} & \dots & \overline{e_1^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}F_1 & \dots & e_n^{n-1}F_n & \overline{e_n^{0}} & \dots & \overline{e_1^{0}} \end{pmatrix} =C_{E_n}^FW_{E_n}M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где C_{E_n}^F:=2^n/\prod_{k=1}^n|1+F(e_k)|^{2}.
Дадим некоторые пояснения к этой цепочке равенств. Первое равенство получаем из определения (11)–(14) величины M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ F}; второе равенство (с учетом неравенств F_k\neq -1 и равенств G_k=(1-F_k)/(1+F_k), k=1,\dots,n) получаем после умножения и деления на \prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}; третье – после вычитания из k-й строки определителя его (n+k)-й строки (k=1,\dots,n); четвертое – после выноса за знак определителя постоянного множителя 2 из первых n строк, определения постоянной C_{E_n}^F и добавления к {(n+k)}-й строке преобразованного таким образом определителя его k-й строки (k=1,\dots,n); пятое – из определения (11)–(14) величины M_{E_n}^{\mathtt{S};F}. Так как W_{E_n}\neq 0 при E_n\subset\mathbb D, то тем самым равенство (17) при \zeta =\mathtt{S} в случае попарно различных точек e_1,\dots,e_n доказано. В общем случае, обозначая через \mathbf{F}(z)\in H(E_n) функцию, интерполирующую F(z) в точках множества E_n с учетом кратностей, и пользуясь предложением 1 и предложением 3, в котором бесконечно малые \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n выбираем так, чтобы множество E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n} состояло из попарно различных точек, из уже доказанного равенства (17) при \zeta =\mathtt{S} для попарно различных точек получаем равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ F} &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0}M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathtt{C};T\circ \mathbf{F}} \\ &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0} C_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathbf{F}} M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathtt{S};\mathbf{F}} =C_{E_n}^FM_{E_n}^{\mathtt{S};F}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
совпадающее с равенством (17) при \zeta =\mathtt{S} в общем случае.
Заменяя в полученном равенстве (17) при \zeta =\mathtt{S} функцию F(z) на (T\circ F)(z) и учитывая, что
\begin{equation*}
(T\circ F)(z)\neq -1, \quad z\in E_n, \qquad (T\circ T\circ F)(z)=F(z), \qquad C_{E_n}^{T\circ F}=(C_{E_n}^{F})^{-1},
\end{equation*}
\notag
получим равенство
\begin{equation*}
M_{E_n}^{\mathtt{C};F}=C_{E_n}^{T\circ F}M_{E_n}^{\mathtt{S};T\circ F}=(C_{E_n}^{F})^{-1}M_{E_n}^{\mathtt{S};T\circ F},
\end{equation*}
\notag
совпадающее с равенством (17) при \zeta =\mathtt{C} .
Теорема 2 доказана. В силу предложения 2 теорема 1 является частным случаем E_n=\{ 0\} ^n теоремы 2. § 3. Многоточечный критерий Каратеодори–ШураПусть e_1,e_2,\dots – бесконечная последовательность точек круга \mathbb D, F(z) – функция, определенная с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dotsc . Для функции F(z) естественным образом определяются ее сужения F_n(z) на множества E_{n}:=\{ e_1,\dots,e_n\}, n=1,2,\dots , которые в свою очередь (при соответствующем выборе (достаточно большого) индекса n) определяют (см. § 2) сужения на любые множества \{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}, 1\leqslant j_1<\dots <j_p<\infty. Определение. Будем говорить, что функция F(z), заданная с учетом кратностей в бесконечной последовательности точек e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, допускает продолжение до функции класса \mathfrak B_N^\zeta (N\in\mathbb Z_+^\infty, \zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}), и писать F(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta, если существует функция \mathscr F_N^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta такая, что
\begin{equation}
(\mathscr F_N^\zeta)^{(\nu_n-1)}(e_n)=F^{(\nu_n-1)}(e_n) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{18}
где \nu_n – кратность точки e_n в множестве E_{n}=\{ e_1,\dots,e_n\}. Если функция F(z) такова, что F(e_n)\neq -1, n=1,2,\dots , то с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots определена также и функция (T\circ F)(z). При этом по предложению 1 равенства (18) эквивалентны равенствам
\begin{equation}
(T\circ \mathscr F_N^\zeta )^{(\nu_n-1)}(e_n)=(T\circ F)^{(\nu_n-1)}(e_n) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{19}
Учитывая, что
\begin{equation*}
F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad F(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S} \,
\end{equation*}
\notag
(за исключением случая \zeta ={\mathtt{S}}, F(z)\equiv -1), отсюда с учетом (19) и (3) получаем следующее Предложение 4. Пусть F(z)– функция, заданная с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D. Тогда при N\in\mathbb Z_+^\infty имеют место импликации
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad (T\circ F)(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \\ F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad F(z)\not\equiv -1 \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Наряду с определенными в § 2 величинами M_{E_n}^{\mathtt{C};F} и M_{E_n}^{\mathtt{S};F} для формулировки полученного в [10] многоточечного аналога критерия Шура и (доказываемого в § 4 статьи) многоточечного аналога критерия Каратеодори для функций, заданных с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, потребуются следующие Обозначения 2. Пусть n\in\mathbb N, N\in\mathbb Z_+, n\geqslant N+2, \nu_n – кратность в множестве E_n :=\{ e_1,\dots,e_n\} последней точки e_n. Положим
\begin{equation*}
E_{n,N}:=\begin{cases} \{ e_n\} ^{2\nu_n-N-2},&\text{если } \nu_n\geqslant N+2, \\ E^{j_1,\dots,j_{N+2}},&\text{если }\nu_n\leqslant N+2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где (фиксированные) индексы j_1,\dots,j_{N+2} таковы, что 1\leqslant j_1<\dots <j_{N+2}=n и кратность точки e_{j_{N+2}}=e_n в множестве E^{j_1,\dots,j_{N+2}} равна \nu_n (т.е. при \nu_n\leqslant N+2\leqslant n множество E_{n,N} получается удалением n-N-2 произвольных точек, отличных от e_n, из множества E_n). Легко видеть, что если n=N+2, то E_{N+2,N}=E_{N+2}. Пусть F(z) – функция, заданная с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, m\in\mathbb N, j_1,\dots,j_m – набор индексов таких, что 1\leqslant j_1<\dots <j_m<\infty, F_n(z) – сужение функции F(z) на множество E_n :=\{ e_1,\dots,e_n\}, n=1,2,\dots, F^{j_1,\dots,j_m}(z) – сужение F(z) на множество E^{j_1,\dots,j_m}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_m}\},
\begin{equation*}
{F}_{n,N}(z) \text{ - сужение }F_n(z)\text{ на множество } \begin{cases} E_{n,N}\subseteq E_n,&\nu_n\leqslant N+2\leqslant n, \\ \{ e_n\} ^{\nu_n}\subseteq E_n,& N+2\leqslant \nu_n\leqslant n, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
при этом в случае N+2\leqslant \nu_n\leqslant n функция {F}_{n,N}(z) доопределяется произвольным образом до функции, заданной с учетом кратностей в точках множества E_{n,N}=\{ e_n\} ^{2\nu_n-N-2} (т.е. сужение функции F_n(z) на множество \{ e_n\} ^{\nu_n}, заданное значениями производных F_n^{(0)}(e_n),\dots,F_n^{(\nu_n-1)}(e_n), доопределяется произвольными значениями производных F_n^{(\nu_n)}(e_n),\dots,F_n^{(2\nu_n-N-3)}(e_n)). Для более компактной записи последующих формулировок положим В множестве всех функций, заданных с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, выделим при N\in\mathbb Z_+^\infty, \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S} подмножества
\begin{equation}
\Phi ^{\zeta}_N :=\bigl\{ F(z)\colon M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0, \, p=1,\dots,N, \,M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0, \, p=1,2,\dots \bigr\}
\end{equation}
\tag{20}
(как и выше, если N=0, то отсутствуют неравенства M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0, p=1,\dots,N, а если N=\infty, то отсутствуют равенства M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0, p=1,2,\dots ). Для функций, заданных с учетом кратностей в точках круга \mathbb D, в § 4 будет доказан многоточечный аналог критериев Каратеодори и Шура. Теорема 3. Пусть F(z) – функция, заданная с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D. Тогда во введенных обозначениях Сделаем ряд замечаний, связанных с теоремой 3. Замечание 1. Необходимые условия утверждения F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} в теореме 3 можно записать в следующем усиленном виде:
\begin{equation}
F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta}\quad \Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\zeta;F^{j_1,\dots,j_m}}>0,&m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\zeta;F^{j_1,\dots,j_m}}=0,&m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\zeta;{F}_{n,N}} = 0,&n\geqslant N+1, \end{cases} \quad\Longrightarrow \quad F(z)\in\Phi_N^{\zeta}.
\end{equation}
\tag{21}
Замечание 2. Теорема 3 и импликации (21) при \zeta ={\mathtt{S}} доказаны в [10; теорема 1 и дополнение к ней]. Замечание 3. Теорема 3 не зависит от имеющегося произвола в определении значений производных F_n^{(\nu_n)}(e_n),\dots,F_n^{(2\nu_n-N-3)}(e_n) функции {F}_{n,N}(z) в случае \nu_n\geqslant N+2. Замечание 4. Теорема 3 может быть переформулирована в терминах формальных рядов Ньютона. Действительно, пусть F(z) – функция, заданная с учетом кратностей в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, \mathbf{F}_{k}(z) – интерполяционный многочлен Лагранжа сужения функции F(z) на множество E_k:=\{ e_1,\dots,e_k\}, k=1,2,\dots . Легко видеть, что \mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_k(z) – многочлен степени не выше k, обращающийся в нуль в точках множества E_{k} с учетом кратностей, и, следовательно, при некотором a_k\in\mathbb C имеет место равенство
\begin{equation*}
\mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_{k}(z)= a_k(z-e_1)\dotsb (z-e_k).
\end{equation*}
\notag
Это означает, что функции F(z) соответствует ряд Ньютона
\begin{equation*}
f(z)=\mathbf{F}_{1}(z)+\sum_{k=1}^{\infty}(\mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_{k}(z)) =a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-e_1)\dotsb (z-e_k)
\end{equation*}
\notag
такой, что его (n-1)-я частичная сумма совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа сужения функции F(z) на E_n. И наоборот, всякий ряд Ньютона f(z) с узлами в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D определяет функцию F(z), заданную в точках e_1,e_2,\dots с учетом кратностей равенствами
\begin{equation*}
F^{(\nu_n -1)}(e_n)=f_n^{(\nu_n -1)}(e_n), \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
где \nu_n – кратность точки e_n в множестве E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, f_n(z) – (n-1)-я частичная сумма ряда Ньютона f(z). Если ряду Ньютона f(z) с узлами в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D соответствует функция F(z), заданная в точках e_1,e_2,\dots с учетом кратностей, и F(e_n)\neq -1 при n=1,2,\dots, то через (T\circ f)(z) будем обозначать ряд Ньютона, которому соответствует функция (T\circ F)(z). В случае
\begin{equation*}
e_n=e, \quad n=1,2,\dots, \qquad f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(z-e)^k, \quad a_0\neq -1,
\end{equation*}
\notag
ряд (T\circ f)(z) совпадает с рядом, получаемым в результате формального деления степенного ряда 1-f(z) (с центром в точке e) на ряд 1+f(z). Определяя для ряда Ньютона f(z) утверждение f(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta через существование функции \mathscr F_N^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta такой, что имеют место включения
\begin{equation*}
\frac{\mathscr F_N^\zeta (z)-f_n(z)}{(z-e_1)\dotsb (z-e_n)}\in H(\mathbb D) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
где f_n(z) – (n-1)-я частичная сумма ряда Ньютона, заметим, что
\begin{equation*}
f(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta \quad \Longleftrightarrow \quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S},
\end{equation*}
\notag
где F(z) – функция, соответствующая ряду f(z). Формулировку теоремы 3 в терминах формальных рядов Ньютона получим, если символ F всюду в формулировке теоремы 3 и в определении (20) множеств \Phi ^{\zeta}_N заменим символом f и будем понимать под f(z) формальный ряд Ньютона с узлами в точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D, под f_n(z) – его (n-1)-ю частичную сумму, n=1,2,\dots, под f^{j_1,\dots,j_m}(z) – (любой фиксированный) многочлен такой, что
\begin{equation*}
\frac{f^{j_1,\dots,j_m}(z)-f_{n}(z)}{(z-e_{j_1})\dotsb (z-e_{j_m})}\in H(E^{j_1,\dots,j_m}), \qquad 1\leqslant j_1<\dots <j_m\leqslant n,
\end{equation*}
\notag
под {f}_{n,N}(z) – (любой фиксированный) многочлен такой, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{f_{n,N}(z)-f_n(z)}{(z-e_{n})^{\nu_n}}\in H(e_{n}), \quad \text{если }\ n\geqslant \nu_n\geqslant N+2, \\ \notag \frac{f_{n,N}(z)-f_n(z)}{\prod_{e\in E_{n,N}}(z-e)}\in H(E_{n,N}), \quad \text{если }\ \nu_n\leqslant N+2\leqslant n \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
(\nu_n и E_{n,N} определены перед теоремой 3). Замечание 5. Определения множеств E_{n,N} при N+2\leqslant n существенным образом отличаются друг от друга для случая попарно различных точек e_1,e_2,\dots и для случая, когда все точки e_1,e_2,\dots равны одной и той же точке e\in\mathbb D. В первом случае при n\geqslant N+2 имеем равенства E_{n,N}=E^{j_1,\dots,j_{N+2}}, где индексы 1\leqslant j_1<\dots <j_{N+1}<n фиксируются произвольным образом, j_{N+2}=n. В частности, при j_k=k, k=1,\dots,N+1, получаем, что
\begin{equation*}
E_{n,N}=E^{1,\dots,N+1,n}=\{ e_1,\dots,e_{N+1}, e_n\}, \qquad n\geqslant N+2.
\end{equation*}
\notag
Поэтому определение (20) имеет следующий вид:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Phi ^{\zeta}_N &:=\bigl\{ F(z)\colon M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0,\, p=1,\dots,N, \\ &\qquad M_{E_{N+1}}^{\zeta;{F}_{N+1}}= M_{\{ e_1,\dots,e_{N+1}, e_{N+p}\}}^{\zeta;F^{1,\dots,N+1, N+p}} =0,\, p = 2,3,\dots \bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
где F^{1,\dots,N+1, n}(z) – сужение F_n(z) на множество E^{1,\dots,N+1,n} \subseteq E_n, n\geqslant N+2. Во втором случае
\begin{equation*}
E_n=\{ e\} ^n, \quad \nu_n=n, \qquad E_{n,N}=\{ e\} ^{2n-N-2},
\end{equation*}
\notag
и в качестве многочлена f_{n,N}(z) (n\geqslant N+2), удовлетворяющего (22), естественно фиксировать либо многочлен f_{2n-N-2}(z), либо многочлен f_{n}(z). В частности, при e=0, учитывая, что по предложению 2 имеют место равенства M_{E_n}^{\zeta;f_n}=M_n^{\zeta;f}, получим, что множества \Phi_N^\zeta, N\in\mathbb Z_+ (см. (20) с заменой F на f) совпадают либо с \hat{\mathscr{A}}_N^\zeta (см. (9)), либо с \breve{{\mathscr A}}_N^\zeta (см. (10)). Это означает, что из теоремы 3, переформулированной в терминах формального степенного ряда f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k, следует сформулированное в § 1 уточнение критериев Каратеодори и Шура при N\in\mathbb Z_+. Замечание 6. В [10] показано, что для функции F(z), определенной в попарно различных точках e_1,e_2,\dots круга \mathbb D равенствами F(e_n)=\gamma при всех n\in\mathbb N\setminus\{ k\}, где |\gamma |=1, k\geqslant 3, имеют место равенства M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F_n}=0 при всех n=1,2,\dots и любом значении F(e_k) (аналогичный пример получится и при \zeta =\mathtt{C}, если условие |\gamma |=1 заменить условием \operatorname{Re} \gamma =0). Это означает, что в отличие от условий, указанных в (23) при N=0, условия недостаточны для утверждения F(z)\lessdot \mathfrak B_0^{\mathtt{S}}, если F(e_k)\neq\gamma.§ 4. Доказательство многоточечного критерия Каратеодори–ШураТеорема 3, дополненная импликацией (21), включает в себя два различных случая, \zeta =\mathtt{C} и \zeta =\mathtt{S}. Всюду в этом параграфе теорему 3 для случая \zeta = \mathtt{C} , соответствующего многоточечному варианту теоремы Каратеодори, будем именовать для краткости теоремой 3^{\mathtt{C}}, а для случая \zeta =\mathtt{S}, соответствующего многоточечному варианту теоремы Шура, – теоремой 3^{\mathtt{S}}. С учетом замечания 2, сделанного после формулировки теоремы 3, для доказательства теоремы 3 достаточно доказать только теорему 3^{\mathtt{C}}. Доказательство теоремы 3^{\mathtt{C}} будет получено путем ее сведения к уже доказанной в [10] теореме 3^{\mathtt{S}} при помощи теоремы 2, доказанной в § 2. Приступая к доказательству теоремы 3^{\mathtt{C}}, дополненной импликацией (21), заметим, что имеет место цепочка импликаций
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} &\quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad (T\circ F)(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \\ \notag &\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{S};T\circ F^{j_1,\dots,j_m}}>0,& m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{S};T\circ F^{j_1,\dots,j_m}}=0,& m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\mathtt{S};T\circ F_{n,N}}=0,& n\geqslant N+1, \end{cases} \\ & \quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{C};F^{j_1,\dots,j_m}}>0,&m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{C};F^{j_1,\dots,j_m}}=0,&m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\mathtt{C};F_{n,N}}=0,& n\geqslant N+1, \end{cases} \quad\Longrightarrow \quad F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
в которой первая импликация следует из предложения 4, вторая – из доказанной в [10] теоремы 3^{\mathtt{S}} для функции (T\circ F)(z), третья – из теоремы 2 и неравенств (T\circ F)(e_n)\neq -1, n=1,2,\dots, четвертая – из определения (20) множеств \Phi_N^{\mathtt{C}}. Таким образом, для завершения доказательства теоремы 3^{\mathtt{C}} достаточно показать, что
\begin{equation}
F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}.
\end{equation}
\tag{25}
Импликацию (25) докажем, опираясь на имеющие самостоятельный интерес леммы 1^{\mathtt{C}} и 2^{\mathtt{C}}, являющиеся аналогами доказанных в [10; леммы 3–5] лемм 1^{\mathtt{S}} и 2^{\mathtt{S}}. Сформулируем перечисленные леммы в виде единых лемм 1 и 2, добавив к ранее введенным следующее обозначение: при E_n=\{ e_1,\dots,e_n\} положим Лемма 1. Пусть F(z) – многочлен, n\in\mathbb N, E_{n}=\{ e_1,\dots,e_{n}\}\subset\mathbb D, \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}, и пусть
\begin{equation}
M_{E_1}^{\zeta;F}>0,\quad \dots,\quad M_{E_{n}}^{\zeta;F}>0.
\end{equation}
\tag{26}
Тогда существует функция \mathscr F_{n}^\zeta (z)\in \mathfrak B ^\zeta \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^\zeta ) такая, что
\begin{equation}
\frac{\mathscr F_{n}^\zeta (z)-F(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}).
\end{equation}
\tag{27}
В частности, F(z)\neq -1, z\in E_n. Лемма 2. Пусть F(z) – многочлен, N{\kern1pt}{\in}\,\mathbb Z_+, p\,{\in}\,\mathbb N, E_{N+p}{=}\,\{ e_1,\dots,e_{N+p}\}\,{\subset}\,\mathbb D, \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}, и пусть
\begin{equation}
M_{E_1}^{\zeta;F}>0,\quad \dots,\quad M_{E_{N}}^{\zeta;F}>0, \qquad M_{E_{N+1,N}}^{\zeta;F_{N+1,N}}=\dots = M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0,
\end{equation}
\tag{28}
где множества E_{N+j,N}(z) и многочлены F_{N+j,N}(z) определены при j=1,\dots,p перед теоремой 3. Тогда существует функция \mathscr F_{N}^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta такая, что
\begin{equation}
\frac{\mathscr F_{N}^\zeta (z)-F(z)}{\omega_{E_{N+p}}(z)}\in H({E_{N+p}}).
\end{equation}
\tag{29}
В частности, F(z)\neq -1, z\in E_{N+p} (за исключением случая N=0, \zeta ={\mathtt{S}}, \mathscr F_{N}^{\mathtt{S}} (z)\equiv -1). Доказательство леммы 1. Лемма 1^{\mathtt{S}} доказана в [10; лемма 3]. Далее, заметим, что лемма 1^{\mathtt{C}} при дополнительном предположении F(z)\neq -1, z\in E_{n}, сводится при помощи теоремы 2 к лемме 1^{\mathtt{S}}. Действительно, если выполнены условия (26) при \zeta =\mathtt{C} и F(z)\neq -1, z\in E_{n}, то по теореме 2 такие же условия выполнены для функции (T\circ F)(z) при \zeta =\mathtt{S}. Поэтому по лемме 1^{\mathtt{S}} существует функция \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}} (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}} \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^{\mathtt{S}} ) такая, что
\begin{equation*}
\frac{\mathscr F_{n}^{\mathtt{S}} (z)-(T\circ F)(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}).
\end{equation*}
\notag
Отсюда по предложению 1 получаем
\begin{equation*}
\frac{(T\circ \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}}) (z)-F(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, полагая \mathscr F_{n}^{\mathtt{C}} (z)=(T\circ \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}}) (z) и замечая, что по предложению 4 \mathscr F_{n}^{\mathtt{C}} (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}} \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^{\mathtt{C}} ), имеем требуемое включение (27) при \zeta =\mathtt{C}.
Таким образом, для завершения доказательства леммы 1 достаточно показать, что неравенства (26) при \zeta =\mathtt{C} влекут за собой неравенства F(z)\neq -1, z\in E_{n}, присутствующие в предполагающей части теоремы 2. Предположим противное, а именно предположим, что F(z)= -1 при некотором z\in E_{n}. С учетом неравенства F(e_1)\neq -1, являющегося следствием первого из неравенств в (26) (т.е. неравенства 0<M_{E_1}^{\mathtt{C};F}=2\operatorname{Re} F(e_1)), сделанное предположение означает, что n\geqslant 2 и найдется индекс k\in\{ 2,\dots,n\} такой, что
\begin{equation}
F(z)\neq -1, \quad z\in E_{k-1}:=\{ e_1,\dots,e_{k-1}\}, \qquad F(e_{k})=-1.
\end{equation}
\tag{30}
Из (30) следует, в частности, что e_k не совпадает ни с одной из точек множества E_{k-1} (для краткости будем писать e_{k}\notin E_{k-1}).
Введем в рассмотрение многочлен G_{k,\varepsilon}(z), равный F(z) при z\in E_{k-1} и равный F(e_k)+\varepsilon при z=e_{k}. Непосредственно из определения многочлена G_{k,\varepsilon}(z) и (30) видно, что
\begin{equation*}
G_{k,\varepsilon}\neq -1 \quad \text{при } \ z\in E_{k}, \quad \varepsilon\neq 0.
\end{equation*}
\notag
Так как в силу определений (11)–(14)
\begin{equation*}
M_{E_{1}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{1}}^{\mathtt{C};F}, \quad \dots,\quad M_{E_{k-1}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{k-1}}^{\mathtt{C};F}, \qquad \lim_{\varepsilon\to 0}M_{E_{k}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{k}}^{\mathtt{C};F},
\end{equation*}
\notag
то из (26) при \zeta =\mathtt{C} следует, что при всех достаточно малых \varepsilon выполняются неравенства M_{E_{j}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}>0, j=1,\dots,k. Таким образом, для многочлена G_{k,\varepsilon}(z) при \varepsilon\neq 0 выполнены все условия, при которых уже доказана лемма 1^{\mathtt{C}} (с заменой индекса n индексом k). Следовательно, при всех достаточно малых \varepsilon\neq 0 существуют функции \mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}} такие, что
\begin{equation}
\frac{\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}(z)-G_{k,\varepsilon}(z)}{\omega_{E_{k}}(z)}\in H(E_{k}).
\end{equation}
\tag{31}
Из (31) следует
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon \to 0}\mathscr F_{k,\varepsilon}(e_{k})=\lim_{\varepsilon \to 0}G_{k,\varepsilon}(e_{k})=\lim_{\varepsilon \to 0}(F(e_{k})+\varepsilon )=F(e_{k})=-1,
\end{equation*}
\notag
что невозможно, так как \mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}} и, следовательно, \operatorname{Re} \mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}} (e_{k})\geqslant 0. Это означает, что сделанное предположение F(e_{k})=-1 приводит к противоречию. Лемма 1^{\mathtt{C}}, а следовательно, и лемма 1 доказаны. Доказательство леммы 2. Заметим, что лемма 2^{\mathtt{S}} доказана в [10] в явно сформулированном виде при p=1,2 (см. [10; леммы 3 и 4]) и при p=3,4,{\dots} в неявном виде (см. в [10] лемму 5 и следующее за ней доказательство теоремы 1). Так как лемма 2^{\mathtt{C}} сводится к лемме 2^{\mathtt{S}} при дополнительном предположении F(z)\neq -1, z\in E_{N+p}, с помощью теоремы 2, то для доказательства леммы 2 достаточно доказать, что предположения леммы 2^{\mathtt{C}} влекут за собой неравенства
При N=0, p=1 неравенство F(e_1)\neq -1 тривиальным образом следует из имеющегося в (28) равенства 0=M_{E_1}^{\mathtt{C};F}=2\operatorname{Re} F(e_1). Докажем неравенства (32) при N\in\mathbb N, p=1. В этом случае рассуждения, использованные в доказательстве леммы 1, следует немного подправить, используя имеющееся равенство M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}=0 вместо использовавшегося в лемме 1 строгого неравенства M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}>0. Фиксируем некоторую существующую по уже доказанной лемме 1 при \zeta =\mathtt{C} (с заменой индекса n на N) функцию \mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}, для которой выполнено включение
\begin{equation}
\frac{\mathscr F ^{\mathtt{C}} (z)-F(z)}{\omega_{E_N}(z)}\in H({E_{N}}),
\end{equation}
\tag{33}
влекущее за собой, в частности, неравенства F(z)\neq -1, z\in E_{N}. Таким образом, для доказательства неравенств (32) при p=1 достаточно показать, что условия (28) (при \zeta =\mathtt{C}, N\in\mathbb N, p=1) влекут за собой неравенство F(e_{N+1})\neq -1.
Предполагая противное, получим
\begin{equation*}
e_{N+1}\notin E_N, \qquad G_{N+1,\varepsilon}\neq -1 \quad \text{при }\ z\in E_{N+1}, \quad \varepsilon\neq 0,
\end{equation*}
\notag
где G_{N+1,\varepsilon}(z) – многочлен, равный F(z) при z\in E_N и равный F(e_{N+1})+\varepsilon при z=e_{N+1}.
Покажем, что существует бесконечно малая последовательность отличных от нуля комплексных чисел \{\varepsilon_l\}_{l=1}^\infty такая, что
\begin{equation*}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_l}}\geqslant 0 \quad \text{при всех }\ l=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Так как \mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}, то в силу (24) M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};\mathscr F ^{\mathtt{C}}}\geqslant 0. Отсюда в силу определения многочлена G_{N+1,\varepsilon} (z) и (33) получаем неравенство
\begin{equation}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_0}}=M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};\mathscr F ^{\mathtt{C}}}\geqslant 0, \quad \text{где }\ \varepsilon_0:=\mathscr F ^{\mathtt{C}}(e_{N+1})-F(e_{N+1}).
\end{equation}
\tag{34}
Отметим, что \varepsilon_0\neq 0, так как \mathscr F ^{\mathtt{C}}(e_{N+1})\neq -1, а F(e_{N+1})=-1 по сделанному предположению.
Так как e_{N+1}\notin E_N, то из определений многочлена G_{N+1,\varepsilon} (z) и величин M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}} (см. (11)–(14)) следует, что
\begin{equation}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}=A|\varepsilon |^2+B\varepsilon +\overline{B\varepsilon}+C,
\end{equation}
\tag{35}
где A, B и C – некоторые зависящие от N и F коэффициенты, причем
\begin{equation*}
A \in\mathbb R, \qquad C =M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,0}}=M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}=0.
\end{equation*}
\notag
Если B=0, то выполняются неравенства M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}\geqslant 0 при всех \varepsilon\in\mathbb C, так как тогда в силу (35) и (34)
\begin{equation*}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}=A|\varepsilon|^2 = \frac{M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_0}}|\varepsilon|^2}{|\varepsilon_0|^2}\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Если B\neq 0, то равенства
\begin{equation*}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_l}}=A|\varepsilon_l|^2 +2\operatorname{Re} (B\varepsilon_l) = 0
\end{equation*}
\notag
выполняются для любой бесконечно малой последовательности отличных от нуля комплексных чисел \varepsilon_l=|\varepsilon_l|e^{i\theta_l}, где
\begin{equation*}
0<|\varepsilon_l|<2\biggl|\frac BA\biggr|, \qquad \cos (\arg B+\theta_l)=-\frac{A|\varepsilon_l|}{2|B|}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, для многочленов G_{N+1,\varepsilon_l}, l=1,2,\dots, выполнены все условия либо леммы 1^{\mathtt{C}} (при n=N+1), либо доказанной леммы 2^{\mathtt{C}}. Следовательно, при всех l=1,2,\dots существуют функции \mathscr F ^{\mathtt{C},l}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}} такие, что
\begin{equation}
\frac{\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(z)-G_{N+1,\varepsilon_l}(z)}{\omega_{E_{N+1}}(z)}\in H(E_{N+1}), \qquad l=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{36}
Из (36) следует
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{l\to \infty}\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(e_{N+1}) &=\lim_{l\to \infty}G_{N+1,\varepsilon_l}(e_{N+1}) \\ &=\lim_{l\to \infty}(F(e_{N+1})+\varepsilon_l )=F(e_{N+1})=-1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
что невозможно, так как \mathscr F ^{\mathtt{C},l}\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}, l=1,2,\dots . Это означает, что сделанное предположение F(e_{N+1})=-1 приводит к противоречию. Лемма 2^{\mathtt{C}} при N\in \mathbb Z_+, p=1, доказана.
Пусть p\geqslant 2. Сделаем индуктивное предположение, что неравенства (32) доказаны при всех N\in\mathbb Z_+ и всех натуральных индексах до p-1 включительно, и докажем эти неравенства для индекса p. В силу сделанного индуктивного предположения существует функция \mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}, для которой выполнено включение (29) (при \zeta =\mathtt{C} с заменой индекса p на p-1), влекущее за собой, в частности, неравенства F(z)\neq -1, z\in E_{N+p-1}. Таким образом, для доказательства неравенств (32) достаточно показать, что условия (28) (при \zeta =\mathtt{C}, N\in\mathbb N) влекут за собой неравенство F(e_{N+p})\neq -1. Предполагая противное, получим противоречие точно такими же рассуждениями (с заменой индекса N на N+p-1), какие были использованы при p=1. Лемма 2^{\mathtt{C}}, а следовательно, и лемма 2 доказаны. Завершая доказательство теоремы 3, заметим, что при наличии доказанных лемм 1, 2 и теоремы 2 импликация (25) следует из цепочки импликаций
\begin{equation*}
F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\in\Phi_N^{\mathtt{S}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}} \quad\Longrightarrow\quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}},
\end{equation*}
\notag
в которой первая импликация следует из определения (20) множеств \Phi_N^{\zeta}, \zeta = \mathtt{C},\mathtt{S}, и теоремы 2 с учетом неравенств являющихся следствиями лемм 1 и 2, вторая – из доказанной в [10] теоремы 3 при \zeta =\mathtt{S}, третья – из предложения 4. Таким образом, импликация (25), а следовательно, и теорема 3 доказаны. В заключение отметим, что приведенные в этом параграфе рассуждения показывают, что теорема 3^{\mathtt{C}} является следствием теоремы 2 и теоремы 3^{\mathtt{S}}. Легко видеть, что аналогичным образом теорема 3^{\mathtt{S}} является следствием теоремы 2 и теоремы 3^{\mathtt{C}}. Другими словами, теорема 2 выявляет эквивалентность многоточечных аналогов критериев Каратеодори и Шура точно таким же образом, как теорема 1 выявляет эквивалентность классических критериев Каратеодори и Шура, за исключением того, что проверка присутствующих в предполагающей части теоремы 2 неравенств F(e_n)\neq -1, n=1,2,\dots, не столь тривиальна, как в классическом случае. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus22}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|