| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О разрешимости интерполяционной проблемы Неванлинны–Пика В. И. Буслаев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9826e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ теории аналитических функций хорошо известна следующая интерполяционная проблема Неванлинны–Пика. Пусть Ω и Υ – односвязные области, {ep}p∈P и {hp}p∈P – множества точек, лежащих в Ω и ¯Υ соответственно. Требуется найти необходимые и достаточные условия существования функции f(z), голоморфной в Ω, принимающей значения в ¯Υ и такой, что f(ep)=hp, p∈P. При наличии у множества {ep}p∈P кратных точек условия f(ep)=hp, p∈P, модифицируются стандартным образом. В частности, если ep1=⋯=epk=e, где pj∈P, j=1,…,k, и индексы p1,…,pk попарно различны, то условия f(epj)=hpj, j=1,…,k, заменяются условиями f(j)(e)=h(j)e, задающими значения производных f(j)(e), j=0,…,k−1, функции f(z) в точке e порядков от нуля до k−1 включительно, которые эквивалентны условиям В случае ухода точки e кратности k на границу области Ω (с гладкой границей), точнее, в случае ep1=⋯=epk=e∈∂Ω, стремление z→e в равенстве (1) заменяется на zˆ→e, означающее, что z стремится к e некасательным образом, оставаясь внутри некоторого фиксированного угла, лежащего в Ω. При помощи теоремы Римана интерполяционную проблему можно свести к случаю, в котором области Ω и Υ совпадают с наперед заданными областями Ω∗ и Υ∗. Действительно, если φΩ,Ω∗(z) и φΥ,Υ∗(z) – голоморфные функции, взаимно однозначно отображающие области Ω и Υ соответственно в Ω∗ и Υ∗, то задача сводится к нахождению условий существования функции F(t), голоморфной в Ω∗, принимающей значения в ¯Υ∗ и такой, что F(dp)=gp, где dp=φΩ,Ω∗(ep), gp=φΥ,Υ∗(hp), p∈P. Однако в модифицированной проблеме Неванлинны–Пика (при наличии кратных точек) на этом пути возникают трудности с записью полученного решения, связанные с необходимостью пересчета значений производных. Чтобы придать решению читаемый вид в исходных терминах требуются дополнительные усилия (см., например, замечание 1 ниже). Пусть Ω и Υ – односвязные области, положим где H(Ω) – множество функций, голоморфных в области Ω. Наибольший интерес представляют множества где здесь и далееПервые три множества в (2) – это хорошо известные множества функций Неванлинны, Каратеодори и Шура соответственно. Четвертое множество в (2) использовано в [1] в связи с некоторыми прикладными задачами. Все четыре множества функций в (2) весьма близки между собой как по определению, так и по своим свойствам. В множествах функций Bζ, ζ=n,c,s,b, выделим непересекающиеся подмножества BζN, где N∈Z∞+:=Z+∪{∞}, определяемые следующим образом: где RζN – множество рациональных функций f(z) степени N∈Z+, удовлетворяющих условию Представление функций классов BcN и BsN, N∈Z+, в явном виде приведено в работах К. Каратеодори [2] и И. Шура [3]. В частности, Bs0 состоит из постоянных функций, по модулю равных 1, BsN при N∈N состоит из произведений Бляшке γ∏Nk=1((z−ek)/(1−z¯ek)), где |γ|=1, ek∈D, k=1,…,N. Обозначая через (f∘g)(z):=f(g(z)) композицию функций f(z) и g(z), имеем Предложение 1. Пусть t(z)=(z−i)/(z+i) и T(z)=(1−z)/(1+z) – дробно линейные преобразования, переводящие H в D и D в K соответственно, N∈Z∞+. Тогда Имеющиеся взаимосвязи между множествами функций Bn и Bs, а также между Bc и Bb в предложении 1 не формулируются, поскольку в дальнейшем на них не будет ссылок в статье. Кроме того, заметим, что преобразования t(z) и T(z) в предложении 1 можно заменить любыми другими дробно линейными преобразованиями, переводящими H в D и D в K соответственно. Для функций Каратеодори и Неванлинны имеются хорошо известные интегральные представления Рисса–Херглотца, см. [4]. Теорема Рисса–Херглотца. Функция f(z) является функцией Неванлинны тогда и только тогда, когда существует мера τ с носителем на (−∞,∞) такая, что где μ, ν – вещественные постоянные, μ⩾.Функция f(z) является функцией Каратеодори тогда и только тогда, когда существует мера \sigma с носителем на отрезке [0,2\pi] такая, что Из интегральных представлений (4) и (5) легко следуют необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Неванлинны и Каратеодори. Действительно, предполагая, что функция f(z), принадлежащая \mathfrak B^{\mathrm n}, является решением проблемы Неванлинны–Пика для заданных множеств точек \{ e_p\}_{p\in \mathcal P} (лежащих в \mathbb H) и \{ h_p\}_{p\in \mathcal P} (лежащих в \overline{\mathbb H}), из интегрального представления (4) при всех попарно различных p_1,\dots,p_n из индексного множества \mathcal P и всех (\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathbb C^n имеем импликацию
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n} \quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \\ \notag &\Longrightarrow\qquad \sum_{j,k=1}^n\frac{h_{p_j}-\overline{h}_{p_k}}{e_{p_j} -\overline{e}_{p_k}}\xi_{j}\overline{\xi}_{k} =\sum_{j,k=1}^n\frac{f(e_{p_j})-\overline{f(e_{p_k})}}{e_{p_j} -\overline{e}_{p_k}}\xi_{j}\overline{\xi}_{k} \\ \notag &\qquad =\sum_{j,k=1}^n\frac{\displaystyle\mu (e_{p_j}-\overline{e}_{p_k})+\int_{-\infty }^{\infty }\biggl(\frac{1+ue_{p_j}}{u-e_{p_j}}- \frac{1+u\overline{e}_{p_k}}{u-\overline{e}_{p_k}}\biggr)\,d\tau (u)}{e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}\xi_{j} \overline{\xi}_{k} \\ \notag &\qquad =\mu\sum_{j,k=1}^n\xi_{j}\overline{\xi}_{k} +\int_{-\infty }^{\infty }\sum_{j,k=1}^n\frac{(1+u^2)\xi_{j} \overline{\xi}_{k}}{(u-e_{p_j})(u-\overline{e}_{p_k})} \,d\tau (u) \\ &\qquad =\mu \biggl|\sum_{j=1}^n\xi_{j}\biggr|^2+ \int_{-\infty }^{\infty }\biggl|\sum_{j=1}^n\frac{\xi_{j}}{u-e_{p_j}}\biggr|^2(1+u^2)\,d\tau (u) \geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
Из необходимых условий (h_{p}-\overline{h}_{p})/(e_{p}-\overline{e}_{p}) \xi_{1}\overline{\xi}_{1}\geqslant 0 при n=1 и условия e_p\in\mathbb H, эквивалентного условию e_{p}-\overline{e}_{p}=2\operatorname{Im} e_p>0, следует, что h_{p}-\overline{h}_{p}=2\operatorname{Im} h_p\geqslant 0. Поэтому в формулировках можно заранее не требовать, чтобы h_p\in\overline{\mathbb H}, чему мы и будем следовать в дальнейшем в аналогичных ситуациях. При \{ e_p\}_{p\in \mathcal P}, лежащих в \mathbb D, необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Каратеодори могут быть получены по аналогии с импликацией (6) из интегрального представления (5). Однако в целях единого подхода к получению условий разрешимости проблемы в классах функций \mathfrak B^{\zeta}, \zeta = \mathrm c,\mathrm s,\mathrm b, укажем другой способ, основанный на эквивалентности проблем Неванлинны–Пика для различных классов функций, а именно, воспользуемся уже имеющейся импликацией (6), предложением 1 и явным видом дробно линейного преобразования t(z):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c} \quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)= i(f\circ t)(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n } \quad\text{и}\quad F(d_p)=g_p, \\ \notag &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{где }\ e_p=t(d_p), \quad h_p=i^{-1}g_p, \\ &\Longrightarrow\quad \sum_{j,k=1}^n\frac{h_{p_j}+\overline{h}_{p_k}} {1-e_{p_j}\overline{e}_{p_k}}\xi_{j}\overline{\xi}_{k} =\sum_{j,k=1}^n\frac{g_{p_j}-\overline{g}_{p_k}} {2(d_{p_j}-\overline{d}_{p_k})} \bigl((d_{p_j}+i)\xi_{j}\bigr)\bigl(\overline{(d_{p_k}+i)\xi}_{k}\bigr)\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
Аналогичным образом из предложения 1, явного вида преобразования T(z), импликации (6) и уже доказанной импликации (7) следуют также и необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классах функций \mathfrak B^{\mathrm s} и \mathfrak B^{\mathrm b}:
\begin{equation}
\nonumber f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}\quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)=(T\circ f)(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c}\quad\text{и}\quad F(e_p)=T(h_p)
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\Longrightarrow\ \, \sum_{j,k=1}^n\frac{1-h_{p_j}\overline{h}_{p_k}}{1-e_{p_j}\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k=\frac 12\sum_{j,k=1}^n\frac{T(h_{p_j})+\overline{T(h_{p_k})}}{1-e_{p_j}\overline{e}_{p_k}} (1+h_{p_j})\xi_j\overline{(1+h_{p_k})\xi_k}\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{8}
\begin{equation}
\nonumber f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm b}\quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)=i(T\circ f)(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n} \quad\text{и}\quad F(e_p)=iT(h_p)
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\Longrightarrow\ \, \sum_{j,k=1}^ni\frac{1-h_{p_j} \overline{h}_{p_k}}{e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k =\frac 12\sum_{j,k=1}^n\frac{iT(h_{p_j})-\overline{iT(h_{p_k})}} {e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}(1+h_{p_j})\xi_j\overline{(1+h_{p_k})\xi_k}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{9}
М. Г. Крейн и П. Г. Рехтман в [5] показали, что для произвольного (возможно, континуального) индексного множества \mathcal P приведенные в (6) необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Неванлинны являются также и достаточными. Ранее этот же результат был получен Г. Пиком в [6] в случае конечного индексного множества \mathcal P и Р. Неванлинной в [7] в случае счетного \mathcal P. Теорема Крейна–Рехтман. Для существования функции Неванлинны f(z), удовлетворяющей условиям f(e_p)=h_p, p\in \mathcal P, для заданных множеств точек \{ e_p\}_{p\in \mathcal P}, лежащих в \mathbb H, и \{ h_p\}_{p\in \mathcal P} необходимо и достаточно, чтобы все формы
\begin{equation}
\sum_{j,k=0}^n\frac{h_{p_j}-\overline{h}_{p_k}}{e_{p_j} -\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k
\end{equation}
\tag{10}
были ненегативны. Если какая-либо из форм (10) сингулярна, то функция f(z) единственна и является действительной рациональной дробью. По предложению 1 и теореме Крейна–Рехтман знак “\Longrightarrow ” в импликациях (6), (7) и (9) можно заменить знаком “\Longleftrightarrow”, после чего с учетом усиленного варианта (7) такую же замену можно сделать и в импликации (8). Это означает, что имеет место Расширенный вариант теоремы Крейна–Рехтман. Для существования функции f(z)\in \mathfrak B^{\zeta}, \zeta = \mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s, удовлетворяющей условиям f(e_p)=h_p, p\in \mathcal P, где \{ e_p\}_{p\in \mathcal P} и \{ h_p\}_{p\in \mathcal P} – заданные множества точек, точки \{ e_p\}_{p\in \mathcal P} лежат в \mathbb H при \zeta = \mathrm n,\mathrm b и лежат в \mathbb D при \zeta = \mathrm c,\mathrm s, необходимо и достаточно, чтобы были ненегативны все формы
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{j,k=0}^n\frac{h_{p_j}-\overline{h}_{p_k}} {e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k, \quad\textit{если }\ \zeta = \mathrm n, \\ \sum_{j,k=0}^ni\frac{1-h_{p_j}\overline{h}_{p_k}} {e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k, \quad\textit{если }\ \zeta = \mathrm b, \\ \sum_{j,k=0}^n\frac{h_{p_j}+\overline{h}_{p_k}}{1-e_{p_j} \overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k, \quad\textit{если }\ \zeta = \mathrm c, \\ \sum_{j,k=0}^n\frac{1-h_{p_j}\overline{h}_{p_k}}{1-e_{p_j} \overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k, \quad\textit{если }\ \zeta = \mathrm s. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Если какая-либо из этих форм сингулярна, то функция f(z) единственна и является рациональной дробью, удовлетворяющей условию (3). В работах И. В. Ковалишиной [8] и Г. Худайберганова [9] теорема Крейна–Рехтман распространена на случай голоморфных функций с матричным аргументом. В работе М. Абрахамса [10] теорема Крейна–Рехтман распространена на случай функций класса \mathfrak B^{\Omega,\mathbb D} , где \Omega – конечносвязная область. В работах Л. Баратшара, М. Оливи, Ф. Сейферта [1] и Д. Сарасона [11] рассмотрены некоторые вопросы, связанные с проблемой Неванлинны–Пика при уходе точек интерполяции на границу области. В работе автора [12] сформулирована (без доказательства) теорема, распространяющая теорему Крейна–Рехтман на случай, когда \mathcal P – счетное множество, среди точек \{ e_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ e_1,e_2,\dots\} имеются кратные точки, а проблема Неванлинны–Пика модифицирована заданием в кратных точках значений производных искомой функции. Частный случай модифицированной проблемы Неванлинны–Пика при наличии кратных точек исследован при e_1=e_2=\dots =0 для классов функций \mathfrak B^{\mathrm c} и \mathfrak B^{\mathrm s} в работах Каратеодори [2] и Шура [3] соответственно. В работах автора [13]–[17] результаты Каратеодори и Шура распространены на более общие ситуации. Для краткости сформулируем классические критерии Каратеодори и Шура в виде единого критерия, в котором случай \zeta =\mathrm c совпадает с критерием Каратеодори, а случай \zeta =\mathrm s – с критерием Шура. Также для краткости формулировок далее для всякой последовательности \{ M_n\}_{n=1}^\infty вещественных чисел будем писать \{ M_n\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, N\in\mathbb Z^\infty_+, если и только если (при N=0 отсутствуют неравенства M_1>0,\ \dots,\ M_N>0, а при N=\infty отсутствуют равенства M_{N+1}=M_{N+2}=\dots =0).Критерий Каратеодори–Шура. Пусть f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k – формальный степенной ряд, N\in\mathbb Z^\infty_+, I_n – единичная (n\times n)-матрица,
\begin{equation}
A_n^{f }: =\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} \\ 0 & a_0 & \dots & a_{n-2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{A}_n^{f}: =\begin{pmatrix} \overline{a }_0 & 0 & \dots & 0 \\ \overline{a }_1 & \overline{a }_0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a }_{n-1} & \overline{a }_{n-2} & \dots & \overline{a }_0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{11}
\begin{equation}
M_n^{\mathrm c;f }:= \det(A_n^{f}+\widetilde{A}_n^{f}), \quad M_n^{\mathrm s;f }:= \det(I_n-A_n^{f}\widetilde{A}_n^{f}), \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{12}
Тогда при \zeta =\mathrm c, \mathrm s формальный степенной ряд f(z) является рядом Тейлора некоторой функции класса \mathfrak B^\zeta_N, если и только если \{ M_n^{\zeta;f } \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N. Замечание 1. В процессе доказательства своего критерия И. Шур ввел в рассмотрение алгоритм разложения функции класса \mathfrak B^{\mathrm s} в непрерывную дробь специального вида (непрерывную дробь Шура, нашедшую впоследствии применения в исследованиях и многих других вопросов теории функций) и доказал критерий, никак не используя ранее доказанный критерий Каратеодори. Вместе с этим заметим, что в [17] показано, что для формального степенного ряда f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k такого, что a_0\neq -1, при всех n=1,2,\dots имеет место равенство
\begin{equation}
M_n^{\mathrm c;f}\,{=}\,\frac{|1+a_0|^{2n}}{2^n}M_n^{\mathrm s;F }, \quad \text{где }\ F(z)\,{=}\,\frac{1-f(z)}{1+f(z)}\,{=}\,\frac{1-a_0}{1+a_0}-\frac{2a_1}{(1+a_0)^2}z+\dotsb,
\end{equation}
\tag{13}
которое в совокупности с предложением 1 означает, что (за исключением случая a_0=-1, который легко исследуется отдельно) критерий Шура является следствием критерия Каратеодори и равенства (13), и наоборот, критерий Каратеодори является следствием критерия Шура и равенства (13). Напомним, что тригонометрическая проблема моментов состоит в нахождении вероятностной меры \sigma с носителем на отрезке [0,2\pi], отличным от конечного числа точек, и такой, что для заданной бесконечной последовательности комплексных чисел a_0=1,a_1,a_2,\dots имеют место равенства
\begin{equation}
\int_0^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\sigma (\theta)=a_n, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{14}
По теореме Рисса–Херглотца (см. (5))
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in \mathfrak B^{\mathrm c}, \quad f(0)=1 \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad f(z)=\int_0^{2\pi }\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}\,d\sigma (\theta) =1+2\sum_{n=1}^\infty z^n\int_0^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\sigma (\theta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \sigma – вероятностная мера с носителем на отрезке [0,2\pi]. Это означает, что для заданной бесконечной последовательности комплексных чисел a_0=1,a_1,a_2,\dots существование вероятностной меры \sigma с носителем на отрезке [0,2\pi], отличным от конечного числа точек, удовлетворяющей равенствам (14), эквивалентно существованию функции Каратеодори класса \mathfrak B^{\mathrm c }_\infty , ряд Тейлора которой совпадает с (заданным) рядом 1+2\sum_{n=1}^\infty a_nz^n. Другими словами, разрешимость тригонометрической проблемы моментов для последовательности a_0=1,a_1,a_2,\dots эквивалентна разрешимости (модифицированной) проблемы Неванлинны–Пика при e_1=e_2=\dots =0 для ряда a_0+2\sum_{n=1}^\infty a_nz^n в классе функций \mathfrak B^{\mathrm c }_\infty , которая, в свою очередь, по критерию Каратеодори разрешима тогда и только тогда, когда
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} \\ \overline{a}_1 & a_0 & \dots & a_{n-2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_1 & \dots & a_0 \end{pmatrix}>0, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Напомним также, что проблема моментов Гамбургера состоит в нахождении вероятностной меры \sigma с носителем на действительной оси, отличным от конечного числа точек, и такой, что для заданной бесконечной последовательности действительных чисел a_0=1,a_1,a_2,\dots имеют место равенства
\begin{equation}
\int_{\mathbb R}t^n\,d\sigma (t)=a_n, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{15}
В работах Г. Гамбургера [18] и Р. Неванлинны [19] установлена связь между разрешимостью проблемы моментов Гамбургера и разрешимостью проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Неванлинны вида с исходными данными e_1=e_2=\dots =\infty, лежащими на границе \mathbb H.Теорема Гамбургера–Неванлинны. Если мера \sigma с носителем на действительной оси имеет конечные моменты (15), то функция (16) является функцией Неванлинны, для которой при любом \delta\in (0,\pi /2) выполняются равенства
\begin{equation}
\lim_{z\widehat{\to }\infty }z^{2n+1}(f(z)+a_0z^{-1}+a_1z^{-2}+\dots +a_{2n-1}z^{-2n})=-a_{2n}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{17}
равномерно в угле \delta\leqslant \arg z\leqslant \pi -\delta, где 0<\delta <\pi /2. И наоборот, если для некоторой функции Неванлинны f(z) выполняются равенства (17) c действительными a_0=1,a_1,a_2,\dots хотя бы при z=iy, y\to\infty, то функция f(z) допускает представление (16), в котором мера \sigma имеет моменты (15). Так как равенства (17) эквивалентны равенствам
\begin{equation*}
\lim_{z\widehat{\to }\infty }z^{n}(f(z)+a_0z^{-1}+a_1z^{-2}+\dots +a_{n-1}z^{-n})=0, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
преобразование z\to -z^{-1} переводит верхнюю полуплоскость в себя, точку \infty переводит в 0, а проблемы моментов для последовательностей \{ a_n\}_{n=0}^\infty и \{(-1)^na_n\}_{n=0}^\infty эквиваленты между собой (так как одна следует из другой заменой меры \sigma мерой \sigma^*, определяемой для всякого K\subset\mathbb R равенством \sigma^*(K)=\sigma(K^*), где K^*=\{t\colon -t\in K\}), то теорему Гамбургера (см. [18]), дающую решение проблемы моментов, можно переформулировать в виде теоремы, дающей решение модифицированной проблемы Неванлинны–Пика при уходе всех точек интерполяции в точку 0\in\partial\mathbb H. Теорема Гамбургера. Пусть \sum_{k=0}^\infty a_kz^{k+1} – формальный степенной ряд, где a_0=1,a_1,a_2,\dots – вещественные числа. Тогда следующие утверждения эквивалентны. 1^\circ. Существует функция f(z)\in\mathfrak B_\infty^{\mathrm n} такая, что
\begin{equation*}
\lim_{z\widehat{\to }0}z^{-n}(f(z)-a_0z-\dots -a_{n-1}z^n)=0, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
равномерно в угле \delta\leqslant \arg z\leqslant \pi -\delta, где 0<\delta <\pi /2. 2^\circ. § 2. Формулировка результатаВ статье для классов функций \mathfrak B^\zeta_N, \zeta =\mathrm n, \mathrm b,\mathrm c, \mathrm s, N\in\mathbb Z^\infty_+, будет исследован вариант проблемы Неванлинны–Пика, в котором среди точек \{ e_p\}_{p\in \mathcal P} допускается наличие как различных между собой, так и кратных точек, а индексное множество \mathcal P счетно. Точнее, пусть
\begin{equation*}
\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ e_1,e_2,\dots\}\subset\Omega^\zeta :=\begin{cases} \mathbb H,&\zeta =\mathrm n, \mathrm b, \\ \mathbb D,&\zeta =\mathrm c, \mathrm s, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
и пусть \{ h_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ h_1,h_2,\dots\} – произвольное множество комплексных чисел. Исследуемый вариант проблемы Неванлинны–Пика состоит в нахождении необходимых и достаточных условий существования функции f(z)\in\mathfrak B_N^\zeta, \zeta =\mathrm n, \mathrm b, \mathrm c, \mathrm s, N\in\mathbb Z^\infty_+, такой, что где \nu_n – кратность точки e_n в n-точечном множестве E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, n=1,2,\dots, f^{(k)}(z) – k-я производная функции f(z), k=0,1,\dots . Кроме обозначений, введенных в предыдущем параграфе, для формулировки полученного результата потребуются дополнительные обозначения. Пусть E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, \nu_k – кратность точки e_k\in\mathbb C в множестве E_k:=\{ e_1,\dots,e_k\}, k=1,\dots,n; f(z)\in H(E_n), т.е. f(z) – функция, голоморфная в некоторой окрестности множества E_n; \psi_0(z)\equiv 1, \psi_k(z)=z^k, k=1,2,\dots . Положим
\begin{equation}
\nonumber f[E_n]:=\{ f^{(\nu_1-1)}(e_1),\dots,f^{(\nu_n-1)}(e_n)\},
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
A_{E_n}^{f[E_n]}:=\begin{pmatrix} (\psi_0f)[E_n] \\ \dots \\ (\psi_{n-1}f)[E_n]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (\psi_0f)^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots & (\psi_0f)^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \\ \dots & \dots & \dots \\ (\psi_{n-1}f)^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots &(\psi_{n-1}f)^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{18}
\begin{equation}
A_{E_n}:=\begin{pmatrix} \psi_0[E_n] \\ \dots \\ \psi_{n-1}[E_n]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \psi_0^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots & \psi_0^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \\ \dots & \dots & \dots \\ \psi_{n-1}^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots & \psi_{n-1}^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{19}
Если E_n=\{ e_1,\dots,e_n\} и H_n=\{ h_1,\dots,h_n\} – два n-точечных множества в \mathbb C, то, обозначая через \varphi_{E_n}^{H_n}(z) (любую) голоморфную на E_n функцию такую, что
\begin{equation}
\varphi_{E_n}^{H_n}[E_n]=H_n, \quad \text{т.е. }\ (\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_{k}-1)}(e_k)=h_{k}, \qquad k=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{20}
положим Отметим, что определение матрицы A_{E_n}^{H_n} не зависит от выбора интерполяционной функции \varphi_{E_n}^{H_n}(z) и может быть дано непосредственно по заданным множествам E_n=\{ e_1,\dots,e_n\} и H_n=\{ h_1,\dots,h_n\} без предварительного вычисления функции \varphi_{E_n}^{H_n}(z), которая вводится только лишь для упрощения записи и лучшего понимания сути определения. Явный вид правой части (21), не использующий функцию \varphi_{E_n}^{H_n}(z), приведен в [12]. Через \overline{A}_{E_n} и \overline{A}_{E_n}^{\,H_n} будем обозначать матрицы, получаемые из A_{E_n} и A_{E_n}^{H_n} заменой каждого их элемента на комплексно сопряженный. Через \widetilde{A}_{E_n} и \widetilde{A}_{E_n}^{H_n} будем обозначать матрицы, получаемые из \overline{A}_{E_n} и \overline{A}_{E_n}^{\,H_n} заменой порядка строк и порядка столбцов на обратный. Положим
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm n;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & i\,\overline{A}_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & i\,\overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \end{pmatrix}, \qquad M_{E_n}^{\mathrm b;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \overline{A}_{E_n} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{22}
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm c;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & -\widetilde{A }_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n}^{H_n } \end{pmatrix}, \qquad M_{E_n}^{\mathrm s;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \widetilde{A }_{E_n}^{H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{23}
Отметим, что \overline{M}_{E_n}^{\,\zeta;H_n}=M_{E_n}^{\zeta;H_n} и, следовательно, все введенные определители M_{E_n}^{\zeta;H_n}, \zeta =\mathrm n, \mathrm b, \mathrm c, \mathrm s, являются вещественными числами. Отметим также, что если точки e_1,\dots,e_n множества E_n попарно различны, то
\begin{equation}
A_{E_n}=\begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ e_1 & \dots & e_n \\ \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} \end{pmatrix}, \qquad A_{E_n}^{H_n}=\begin{pmatrix} h_1 & \dots & h_n \\ e_1h_1 & \dots & e_nh_n \\ \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_1 & \dots & e_n^{n-1}h_n \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{24}
Из (24) следует, что в случае попарно различных точек множества E_n тривиальным образом (в силу поэлементной сходимости) выполняется равенство
\begin{equation}
M_{E_n}^{\zeta;f[E_n]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}, \qquad \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s,
\end{equation}
\tag{25}
где f\in H(E_n), E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n \}. По понятным причинам при наличии у множества E_n кратных точек равенство (25) не выполняется (в ситуации общего положения). Однако для немного измененных величин M_{E_n}^{\zeta;f[E_n]} (за счет их умножения на положительный множитель |{\det A_{E_n}}|^{-2}) в § 3 будет сформулирован аналог равенства (25) (см. (41)), который выполняется и при наличии кратных точек в множестве E_n. Кроме того, при N\in\mathbb Z^\infty_+, n\leqslant N+2 положим При N\in\mathbb Z_+, n\geqslant N+3, \nu_n< N+2 положим
\begin{equation}
E_{n,N}:=\{ e_{j_{n,1}},\dots,e_{j_{n,N+2}}\}, \qquad H_{n,N}:=\{ h_{j_{n,1}},\dots,h_{j_{n,N+2}}\},
\end{equation}
\tag{27}
где возрастающие индексы 1\leqslant j_{n,1}<\dots <j_{n,N+2}=n фиксируются таким образом, чтобы кратность точки e_{j_{n,k}} в множестве \{ e_{j_{n,1}},\dots, e_{j_{n,k}}\} равнялась \nu_{j_{n,k}}, т.е. кратности этой же точки в множестве E_{j_{n,k}}=\{ e_{1},e_2,\dots, e_{j_{n,k}}\}, k=1, \dots,N+2. Это означает, что при указанной фиксации индексов j_{n,1},\dots,j_{n,N+2} множество E_{n,N} (при \nu_n< N+2< n) состоит из N+2 точек, ровно \nu_n из которых совпадают с точкой e_n (так как j_{n,N+2}=n), и имеет место равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}] =\varphi_{E_n}^{H_n}[\{ e_{j_{n,1}},\dots,e_{j_{n,N+2}}\} ] \\ &\qquad =\bigl\{ (\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_{j_{n,1}}-1)}(e_{j_{n,1}}),\dots, (\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_{j_{n,N+2}}-1)}(e_{j_{n,N+2}})\bigr\} \\ &\qquad=\{ h_{j_{n,1}},\dots,h_{j_{n,N+2}}\}=H_{n,N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что в фиксации N+2-\nu_n точек, отличных от e_n, допускается некоторый произвол. При N\in\mathbb Z_+, n\geqslant N+3, \nu_n\geqslant N+2 положим
\begin{equation}
E_{n,N}:=\{ e_{n}\}^{2\nu_n-N-2}, \qquad H_{n,N}:=\{ h_{j_{n,1}},\dots,h_{j_{n,\nu_n}},h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^*\},
\end{equation}
\tag{28}
где \{ e_{n}\}^{2\nu_n-N-2} – множество, состоящее из 2\nu_n-N-2 точек, каждая из которых равна e_n, набор из \nu_n индексов \{ j_{n,1},\dots,j_{n,\nu_n}\} однозначно определяется условиями
\begin{equation*}
1\leqslant j_{n,1}<\dots <j_{n,\nu_n}=n, \quad e_{j_{n,k}}=e_n, \qquad k=1,\dots,\nu_n,
\end{equation*}
\notag
h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^* – произвольные комплексные числа. Учитывая произвольность h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^* и произвольность значений производных в точке e_n интерполяционной функции \varphi_{E_n}^{H_n}(z) (см. (20)) порядка, больше или равного \nu_n, далее для удобства записи будем считать, что
\begin{equation}
h_{n,k}^*=(\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_n-1+k)}(e_n), \qquad k=1,\dots,\nu_n-N-2.
\end{equation}
\tag{29}
Таким образом, учитывая все вышесказанное, наряду с равенствами (20) имеем также и равенства
\begin{equation}
\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]=H_{n,N}, \qquad n=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z^\infty_+.
\end{equation}
\tag{30}
При этом возможная неединственность фиксации индексов j_{n,1},\dots,j_{n,N+2} при \nu_n< N+2, а также произвольность фиксации значений h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^* при \nu_n\geqslant N+2, N\in\mathbb Z_+, никак не влияют на формулируемую ниже теорему. Точнее, при любой фиксации верна Теорема 1. Пусть \zeta = \mathrm n, \mathrm b,\mathrm c, \mathrm s, N\in \mathbb Z^\infty_+, e_1,e_2,\dots – заданная последовательность точек, лежащих в \Omega^\zeta =\begin{cases} \mathbb H,&\zeta =\mathrm n, \mathrm b,\\ \mathbb D,&\zeta =\mathrm c, \mathrm s,\end{cases} h_1,h_2,\dots – заданная последовательность комплексных чисел, E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}. Тогда в вышеприведенных обозначениях для существования функции f(z)\in \mathfrak B_N^\zeta, удовлетворяющей условиям необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
\begin{equation}
\{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N.
\end{equation}
\tag{31}
При N\in\mathbb Z_+ функция f(z)\in \mathfrak B_N^\zeta единственна. Обратим внимание на то, что условия f^{(\nu_n-1)}(e_n)=h_n, n=1,2,\dots , эквивалентны условиям f[E_n]=H_n, n=1,2,\dots , а краткая запись условий (31) с учетом (26)–(28) означает, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{E_{1}}^{\zeta;H_{1}}>0,\ \dots,\ M_{E_{N}}^{\zeta;H_{N}} >0, \\ M_{E_{N+1}}^{\zeta;H_{N+1}} =M_{E_{N+2}}^{\zeta;H_{N+2}} = M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;H_{N+p,N}} =0, \qquad p=3,4,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{32}
В этой более подробной записи условий (31) в явном виде указывается момент появления параметра N и (в случае N<\infty) момент перехода от определителей вида M_{E_{n}}^{\zeta;H_{n}} к определителям вида M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}. При N<\infty первые N+1 условий в (32), а именно,
\begin{equation*}
M_{E_{1}}^{\zeta;H_{1}}>0,\ \dots,\ M_{E_{N}}^{\zeta;H_{N}} >0, \qquad M_{E_{N+1}}^{\zeta;H_{N+1}} =0,
\end{equation*}
\notag
единственным образом определяют функцию f(z)\in \mathfrak B_N^\zeta такую, что f[E_{N+1}]=H_{N+1}, при этом
\begin{equation*}
f[E_{N+p}]=H_{N+p} \quad\Longleftrightarrow\quad M_{E_{N+2,N}}^{\zeta;H_{N+2,N}} =\dots =M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;H_{N+p,N}}= 0, \qquad p=2,3,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что необходимость условий (32), указанных в теореме 1, может быть дополнена более сильным утверждением. Дополнение к теореме 1. Пусть f(z)\in\mathfrak B^\zeta, \zeta = \mathrm n, \mathrm b,\mathrm c, \mathrm s, n\in\mathbb N, E_n=\{ e_1,\dots e_n\}\subset \Omega^\zeta , N\in\mathbb Z_+^\infty. Тогда Далее, отметим, что и критерий Каратеодори–Шура, и теорема Крейна–Рехтман для счетного индексного множества \mathcal P являются следствиями двух крайних случаев теоремы 1, в первом из которых все точки e_1,e_2,\dots совпадают между собой, а во втором все точки e_1,e_2,\dots попарно различны. Это утверждение (более точная формулировка которого приводится ниже в виде утверждений 1 и 2) будет получено на основе лемм 1 и 2. В лемме 1 выявляются взаимосвязи между участвующими в формулировке критерия Каратеодори–Шура определителями M_{n}^{\zeta;f}, \zeta =\mathrm c,\mathrm s (см. (12)), и определителями M_{E_n}^{\zeta;H_n }, \zeta =\mathrm c,\mathrm s (см. (23)), при совпадающих с нулем точках e_1,e_2,\dots . В лемме 2 выявляются взаимосвязи между определителями матриц, соответствующих квадратичным формам (10), которые участвуют в формулировке теоремы Крейна–Рехтман, и определителями M_{E_n}^{\mathrm n;H_n } (см. (22)) при попарно различных точках e_1,e_2,\dots . Лемма 1. Пусть e_1=e_2=\dots =0, f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k – формальный степенной ряд, f_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n}a_kz^k,
\begin{equation}
E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}=\{ 0\}^n, \qquad H_n=f_{n-1}[E_n]=\{ 0!\,a_0,\dots,(n-1)!\,a_{n-1}\}.
\end{equation}
\tag{33}
Тогда
\begin{equation}
M_{E_n}^{\zeta;H_n }=C_nM_{n}^{\zeta;f}, \quad n=1,2,\dots, \qquad \zeta =\mathrm c,\mathrm s,
\end{equation}
\tag{34}
где C_n:=(0!\,\dotsb (n-1)!)^2>0, M_{E_n}^{\zeta;H_n } и M_{n}^{\zeta;f}, \zeta =\mathrm c,\mathrm s , определены равенствами (23) и (12) соответственно. Утверждение 1. Критерий Каратеодори–Шура следует из дополненного леммой 1 частного случая теоремы 1, в котором \zeta = \mathrm c,\mathrm s и e_1=e_2=\dots =0. Перед формулировкой леммы 2 положим где E_n=\{ e_1,\dots,e_{n}\} – произвольный набор точек в \mathbb C, и отметим, что если E_n\subset\mathbb H, то
\begin{equation*}
C_{E_n}=\biggl(i^{n}\prod_{j=1}^n(\overline{e}_{j}-e_j)\biggr) \prod_{1\leqslant j<k\leqslant n}|\overline{e}_{k}-e_j|^2>0.
\end{equation*}
\notag
Лемма 2. Пусть E_n=\{ e_1,\dots,e_{n}\} – набор попарно различных точек в \mathbb H, H_n=\{ h_1,\dots,h_{n}\} – произвольный набор комплексных чисел. Тогда
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}:=\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & i\,\overline{A}_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & i\,\overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \end{pmatrix} =C_{E_n}\det \biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_j-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n},
\end{equation}
\tag{36}
где матрицы A_{E_n} и A_{E_n}^{H_n} определены равенствами (24), C_{E_n} – положительная постоянная, определенная равенством (35). Утверждение 2. Теорема Крейна–Рехтман для счетного индексного множества \mathcal P следует из дополненного леммой 2 частного случая теоремы 1, в котором \zeta = \mathrm n, а точки e_1,e_2,\dots попарно различны. Завершая параграф, отметим, что сформулированная в конце § 1 теорема Гамбургера не следует из теоремы 1. Тем не менее наряду с леммами 1 и 2 определенный интерес представляет также и выявленная взаимосвязь между предельными значениями определителей M_{E_n}^{\mathrm n;H_n} при стремлении всех лежащих в \mathbb H точек множества E_n к точке 0\in\partial \mathbb H и определителями, фигурирующими в теореме Гамбургера. Точнее, имеет место Лемма 3. Пусть \varepsilon >0, n\in\mathbb N, e_1,\dots,e_n – произвольный набор точек, лежащих в \mathbb H, \varepsilon E_n=\{ \varepsilon e_1,\dots, \varepsilon e_n\}, f_{2n-2}(z)=\sum_{k=0}^{2n-2} a_kz^{k+1}, где a_0,\dots,a_{2n-2} – вещественные числа. Тогда
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to +0}\frac{M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_n]}}{\varepsilon^{n^2}|{\det A_{\varepsilon E_n}}|^2}=C_{E_n} \det \begin{pmatrix} a_0 & \dots & a_{n-1} \\ \dots & \dots &\dots \\ a_{n-1} & \dots & a_{2n-2} \end{pmatrix}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{37}
где A_{\varepsilon E_n} и M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_n]} определены соответственно в (19) и (22), C_{E_n} – положительная постоянная, определенная равенством (35). В частном случае попарно различных точек e_1,\dots,e_n равенство (37) имеет следующий вид:
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_n]}}{\varepsilon^{n(2n-1)} }= C_{E_n}|V_{E_n}|^2\det \begin{pmatrix} a_0 & \dots & a_{n-1} \\ \dots & \dots &\dots \\ a_{n-1} & \dots & a_{2n-2} \end{pmatrix}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{38}
где V_{E_n} – определитель Вандермонда точек e_1,\dots,e_n. § 3. Доказательство теоремыПриступая к доказательству теоремы 1, отметим, что теорема доказана автором в [16] для случая \zeta =\mathrm s и в [17] для случая \zeta =\mathrm c в терминах величин
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}:=\frac{M_{E_n}^{\zeta;H_n}}{W_{E_n}}, \quad \text{где }\ \zeta =\mathrm s,\mathrm c, \\ W_{E_n}:=\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \widetilde{A }_{E_n}^{\psi_n[E_n]} \\ A_{E_n}^{\psi_n[E_n]} & \widetilde{A}_{E_n} \end{pmatrix}, \qquad \psi_n(z)=z^n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
что не меняет сути теоремы при \zeta =\mathrm s, \mathrm c , так как W_{E_n}>0 при E_n\subset\mathbb D и, следовательно, при \{ e_1,e_2,\dots \}\subset\mathbb D
\begin{equation*}
\{ \widehat{M}_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \quad \zeta = \mathrm s,\mathrm c, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation}
\breve{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}:=\frac{M_{E_n}^{\zeta;H_n}}{|{\det A_{E_{n}}}|^{2}}, \qquad \zeta = \mathrm n,\mathrm b,\mathrm s,\mathrm c,
\end{equation}
\tag{39}
и заметим, что
\begin{equation}
\{ \breve{M}_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \quad \zeta = \mathrm n,\mathrm b,\mathrm s,\mathrm c, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty,
\end{equation}
\tag{40}
так как из определения (19) следует неравенство \det A_{E_n}\neq 0 при всех E_n\subset\mathbb C. По сравнению с определителями M_{E_n}^{\zeta;H_n}, отличающиеся от них положительным множителем |{\det A_{E_{n}}}|^{-2} величины \breve{M}_{E_n}^{\zeta;H_n} (см. (39)) немного усложнены в определении, но взамен получают весьма полезный (для процесса доказательства теоремы 1) аналог равенства (25) для множеств E_n с кратными точками (как отмечалось в § 2, этот аналог в общем случае отсутствует у исходных определителей M_{E_n}^{\zeta;H_n}). Точнее, имеет место Лемма 4. Пусть E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, f\in H(E_n). Тогда
\begin{equation}
\breve{M}_{E_n}^{\zeta;f[E_n]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}, \qquad \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s,
\end{equation}
\tag{41}
где E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n \}. Доказательство. Докажем сначала, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}, \\ \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s, \qquad \varepsilon_k\in\mathbb C, \qquad k=1,\dots,n-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{42}
Так как при \varepsilon_n=0 под знаком предела в (42) стоит величина, равная доказываемому пределу, то далее без потери в общности можно считать, что \varepsilon_n\neq 0. Поэтому e_n+\varepsilon_n\notin\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_{n-1}+\varepsilon_{n-1}\} при любых фиксированных \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1} и всех достаточно малых (ненулевых) \varepsilon_n. Следовательно, кратность точки e_n+\varepsilon_n в множестве E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}} равна 1. Так как все точки от первой до (n-1)-й включительно множества E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}} совпадают с соответствующими точками множества E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}, то все столбцы от первого до (n-1)-го включительно матрицы A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}} совпадают с соответствующими столбцами матрицы A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}, а все столбцы определителя M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}, за исключением n-го и (2n)-го, если \zeta =\mathrm n,\mathrm b , и за исключением n-го и (n+1)-го, если \zeta =\mathrm c,\mathrm s , совпадают с соответствующими столбцами определителя M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]} (см. определения (18), (19), (22), (23)). Пусть \widetilde{\nu }_n=\nu_{n}(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}) – кратность точки e_n в множестве E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}. Обозначая через j_1,\dots,j_{\widetilde{\nu }_n} возрастающие индексы 1\leqslant j_1<\dots <j_{\widetilde{\nu }_n}=n такие, что
\begin{equation*}
e_{j_1}+\varepsilon_1=\dots =e_{j_{\widetilde{\nu }_n-1}}+\varepsilon_{n-1}=e_{j_{\widetilde{\nu }_n}}=e_n,
\end{equation*}
\notag
добавим к n-му столбцу матрицы A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}, умноженному на {\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}/{(\widetilde{\nu }_n-1)!}, линейную комбинацию столбцов с номерами j_1,\dots,j_{\widetilde{\nu }_n-1}, умноженных соответственно на {\varepsilon_n^0}/{0!},\dots,{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-2}}/{(\widetilde{\nu }_n-2)!} (если \widetilde{\nu }_n=1, то над n-м столбцом никакие преобразования не производятся). В результате получим столбец, совпадающий с точностью до o(\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}) при \varepsilon_n\to 0 в силу формулы Тейлора с n-м столбцом матрицы A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}. Следовательно,
\begin{equation*}
\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}=\frac{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}{(\widetilde{\nu }_n-1)!}(\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}+o(1)), \qquad \varepsilon_n\to 0.
\end{equation*}
\notag
Далее доказательство равенства (42) в этом абзаце (и только в этом абзаце) будем излагать для случая \zeta =\mathrm n,\mathrm b (в случае \zeta =\mathrm c,\mathrm s доказательство такое же, но с учетом обратного порядка следования столбцов с номерами n+1,\dots,2n в определителях M_{E_n}^{\mathrm c;f[E_n]} и M_{E_n}^{\mathrm s;f[E_n]}). Добавляя к n-му и (2n)-му столбцам определителя M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}, \zeta =\mathrm n,\mathrm b , умноженным соответственно на {\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}/{(\widetilde{\nu }_n-1)!} и {\overline{\varepsilon }_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}/{(\widetilde{\nu }_n-1)!}, линейные комбинации столбцов с номерами j_1,\dots,j_{\widetilde{\nu }_n-1}, умноженных на {\varepsilon_n^0}/{0!},\dots,{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-2}}/{(\widetilde{\nu }_n-2)!} и соответственно линейные комбинации столбцов с номерами n+j_1,\dots,n+j_{\widetilde{\nu }_n-1}, умноженных на на {\overline{\varepsilon }_n^0}/{0!},\dots,{\overline{\varepsilon }_n^{\widetilde{\nu }_n-2}}/{(\widetilde{\nu }_n-2)!}, получим в результате столбцы, совпадающие с точностью до o(\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}) при \varepsilon_n\to 0 с n-м и (2n)-м столбцами определителя M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}}]}, \zeta =\mathrm n,\mathrm b . Таким образом,
\begin{equation*}
M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\frac{|\varepsilon_n|^{2(\widetilde{\nu }_n-1)}}{ ((\widetilde{\nu }_n-1)!)^2} \bigl(M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_{n-1},0}]}+o(1)\bigr), \qquad \varepsilon_n\to 0.
\end{equation*}
\notag
Поэтому, учитывая (39) и неравенство \det A_{E_{n}}\neq 0 при всех E_n\subset\mathbb C, имеем равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n}]} &=\frac{M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n}]}}{|{\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}}|^2} =\frac{\frac{|\varepsilon_n|^{2(\widetilde{\nu }_n-1)}}{((\widetilde{\nu }_n-1)!)^2} \bigl(M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_{n-1},0}]}+o(1)\bigr)}{\bigl|\frac{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}} {(\widetilde{\nu }_n-1)!} \bigl(\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}+o(1)\bigr) \bigr|^2} \\ &=\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}+o(1), \qquad \varepsilon_n\to 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
эквивалентное (42).
Далее, заметим, что величина \breve{M}_{E_n}^{\zeta;f[E_n]}, \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s, инвариантна по отношению к перестановкам точек множества E_n. Поэтому наряду с (42) имеют место также и равенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{\varepsilon_{n-1}\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}=\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-2},0,0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-2},0,0}]}, \\ &\qquad \dots, \quad\lim_{\varepsilon_{1}\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,0,\dots,0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,0,\dots,0}]}=\breve{M}_{E_{n}^{0,\dots,0}}^{\zeta;f[E_{n}^{0,\dots,0}]}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
последовательно пользуясь которыми и учитывая, что E_n^{0,\dots,0}=E_n, получаем (41). Лемма 4 доказана. Доказательство теоремы 1 для случая \zeta =\mathrm c проведено в [17] путем сведения этого случая к доказанному ранее в [16] случаю \zeta =\mathrm s при помощи предложения 1 и равенства
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm c;\phi [E_n]}=\frac{\prod_{k=1}^n|1+\phi (e_k)|^{2}}{2^n}M_{E_n}^{\mathrm s;\Phi [E_n] }, \quad \text{где }\ \phi (z)\in H(E_n), \quad \Phi (z)=\frac{1-\phi (z)}{1+\phi (z)},
\end{equation}
\tag{43}
выполняющегося в предположении \phi (z)\neq -1, z\in E_n, и распространяющего равенство (13), сформулированное при E_n=\{ 0\}^n, на случай произвольных множеств E_n\subset\mathbb D. При \phi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z) неравенства \phi (z)\neq -1, z\in E_n, как показано в [17], следуют из условий (31) при \zeta =\mathrm c. Доказательство теоремы 1 для двух других случаев \zeta =\mathrm b и \zeta =\mathrm n будет получено в статье сведением этих случаев соответственно к уже доказанным в [16] и [17] случаям \zeta =\mathrm s и \zeta =\mathrm c при помощи предложения 1 и леммы 5. В формулировке леммы 5 и далее будем использовать для множества точек E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb C и дробно линейного преобразования t(z) обозначение t(E_n) для множества точек \{ t(e_1),\dots,t(e_n)\}, отличное от ранее введенного обозначения t[E_n]:=\{ t^{(\nu_1-1)}(e_1),\dots,t^{(\nu_n-1)}(e_n)\} и совпадающее с ним в случае, когда \nu_1=\dots =\nu_n=1. Точно так же для множества точек H_n=\{ h_1,\dots,h_n\} и дробно линейного преобразования T(z) положим T(H_n):=\{ T(h_1),\dots,T(h_n)\}. Лемма 5. Пусть t(z)=(z-i)/(z+i), E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb H, \varphi (z)\in H(E_n). Тогда Следствие 1. Пусть N\in\mathbb Z_+^\infty, t(z)=(z-i)/(z+i), e_1,e_2,\dots – последовательность точек, лежащих в \mathbb H, h_1,h_2,\dots – произвольная последовательность комплексных чисел, E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}, D_n=t(E_n), G_n=(\varphi_{E_n}^{H_n} \circ t^{-1})[t(E_n)], n=1,2,\dots . Тогда определители M_{D_{n}}^{\mathrm s;G_n} и M_{E_{n}}^{\mathrm b;H_n} либо имеют одинаковые знаки, либо одновременно равны нулю; это же утверждение справедливо и по отношению к определителям M_{D_{n}}^{\mathrm c;i^{-1}G_n} и M_{E_{n}}^{\mathrm n;H_n}. Следовательно, Обратим внимание на то, что в случае попарно различных точек e_1,\dots,e_n точки t(e_1),\dots,t(e_n) тоже попарно различны, t^{-1}[t(E_n)]=E_n и, следовательно, G_n=H_n, однако в общем случае при наличии кратных точек в множестве E_n равенство G_n=H_n не выполняется. Следствие 2. Пусть E_{n}=\{ e_1,\dots,e_{n}\} – набор попарно различных точек, лежащих в \mathbb H, H_{n}=\{ h_1,\dots,h_{n}\} – набор точек, лежащих в \mathbb C\setminus\{ -i\}, Тогда определители M_{E_n}^{\mathrm n;H_n} и M_{t(E_n)}^{\mathrm s;T(i^{-1}H_n)} либо имеют одинаковые знаки, либо одновременно равны нулю. Доказательство леммы 5. Предположим сначала, что точки множества E_n попарно различны, i\notin E_n, и положим для краткости
При сделанных предположениях и обозначениях точки множества t(E_n)=\{ d_1,\dots,d_n\}=:D_n лежат в \mathbb D, попарно различны, не равны 0 и
\begin{equation}
(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)] =\varphi [E_n]=\{ \varphi (e_1),\dots,\varphi (e_n)\} =\{ h_1,\dots,h_n\}=:H_n,
\end{equation}
\tag{47}
\begin{equation}
\det A_{E_n}=V_{e_1,\dots,e_n}, \qquad \det A_{D_n}=V_{d_1,\dots,d_n},
\end{equation}
\tag{48}
где
\begin{equation}
V_{z_1,\dots,z_n}=\det \begin{pmatrix} z_1^0 & \dots & z_n^0 \\ \dots & \dots & \dots \\ z_1^{n-1} & \dots & z_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1\leqslant j<k\leqslant n}(z_k-z_j)
\end{equation}
\tag{49}
– определитель Вандермонда точек z_1,\dots,z_n.
Предположим также, что 0\notin H_n. При m=1,\dots,n положим
\begin{equation}
e_{n+m}:=\overline{e}_{m}, \qquad d_{n+m}:=\overline{d}_{m}^{-1}, \qquad h_{n+m}:=\overline{h}_{m}^{-1}
\end{equation}
\tag{50}
и заметим, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag d_{n+m}\neq\infty, \qquad h_{n+m}\neq\infty, \\ d_{n+m}=\overline{d}_{m}^{-1}=\frac{\overline{e}_m-i}{\overline{e}_m+i} =t(\overline{e}_m)=t(e_{n+m}), \qquad m=1,\dots,n,\end{gathered}
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
d_{k}-d_{j} =\frac{e_{k}-i}{e_{k}+i}-\frac{e_{j}-i}{e_{j}+i}=(e_{k}-e_{j})\frac{2i}{(e_{k}+i)(e_{j}+i)}, \qquad k,j=1,\dots,2n.
\end{equation}
\tag{51}
Из (49) и (51) следует, что при 1\leqslant p_1,\dots,p_n\leqslant 2n
\begin{equation}
V_{d_{p_1},\dots,d_{p_n}}=\prod_{1\leqslant j <k \leqslant n}(d_{p_k}-d_{p_j})=V_{e_{p_1},\dots,e_{p_n}}\frac{(2i)^{(n-1)n/2}}{\prod_{k=1}^n(e_{p_k}+i)^{n-1}}.
\end{equation}
\tag{52}
В частности, в силу (48) и (52) (при p_k=k, k=1,\dots,n) имеем равенство
\begin{equation}
\det A_{D_n}=L_{E_n}\det A_{E_n}, \quad \text{где }\ L_{E_n}:= \frac{(2i)^{(n-1)n/2}}{\prod_{k=1}^n(e_{k}+i)^{n-1}}.
\end{equation}
\tag{53}
Отметим, что из определения постоянной L_{E_n} (см. (53)) и первого из равенств в (50) следует, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |L_{E_n}|^2 &= \frac{2^{(n-1)n}}{\prod_{k=1}^n(e_{k}+i)^{n-1}(\overline{e}_{k}-i)^{n-1}} \\ &=\frac{2^{(n-1)n}}{\prod_{k=1}^n(e_{k}+i)^{n-1}(\overline{e}_{k}+i)^{n-1}} \prod_{k=1}^n\biggl(\frac{\overline{e}_{k}+i}{\overline{e}_{k}-i}\biggr)^{n-1} \nonumber \\ &=\frac{2^{(n-1)n}}{\prod_{k=1}^{2n}(e_{k}+i)^{n-1}} \prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
Для индексов p_1,\dots,p_n таких, что 1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n, обозначим через q_1,\dots,q_n возрастающие индексы 1\leqslant q_1<\dots <q_n\leqslant 2n, дополнительные к \{ p_1,\dots,p_n\} в множестве индексов \{ 1,\dots,2n\}. С учетом определения (47) множества H_n и определения (23) величины M_{E_n}^{\mathrm s;H_n} имеем цепочку равенств
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}=M_{D_n}^{\mathrm s;H_n}=\det \begin{pmatrix} A_{D_n} & \widetilde{A }_{D_n}^{H_n} \\ A_{D_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{D_n} \end{pmatrix} \\ &\qquad =(-1)^{(n-1)n/2} \begin{vmatrix} d_1^0 & \dots & d_{n}^0 & \overline{d_1^{n-1}h_1} & \dots & \overline{d_n^{n-1}h_n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & \overline{d_1^{0}h_1} & \dots & \overline{d_n^{0}h_n} \\ d_1^0h_{1} & \dots & d_{n}^0h_{n} & \overline{d_1^{n-1}} & \dots & \overline{d_n^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}h_{n} & \overline{d_1^{0}} & \dots & \overline{d_n^{0}} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{h_kd_k^{n-1}} \begin{vmatrix} d_1^{0} & \dots & d_{n}^{0} & d_{n+1}^{0} & \dots & d_{2n}^{0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & d_{n+1}^{n-1} & \dots & d_{2n}^{n-1} \\ d_1^0h_{1} & \dots & d_{n}^0h_{n} & d_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & d_{2n}^0h_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}h_{n} & d_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & d_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{h_kd_k^{n-1}}\sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n}\frac{V_{d_{p_1},\dots,d_{p_n}}h_{q_1}\dotsb h_{q_n}V_{d_{q_1},\dots,d_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = \frac{2^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{h_kd_k^{n-1}}}{\prod_{k=1}^{2n}(e_{k}+i)^{n-1}}\sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n}\frac{V_{e_{p_1},\dots,e_{p_n}}h_{q_1}\dots h_{q_n}V_{e_{q_1},\dots,e_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = \overline{h}_1\dots \overline{h}_n |L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & e_{n+1}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & e_{n+1}^{n-1} & \dots & e_{2n}^{n-1}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & e_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & e_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & e_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & e_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad = |L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & \overline{e_{1}^0h_1} & \dots & \overline{e_{n}^0h_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & \overline{e_{1}^{n-1}h_1} & \dots & \overline{e_{n}^{n-1}h_n}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & \overline{e}_{1}^0 & \dots & \overline{e}_{n}^0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & \overline{e}_{1}^{n-1} & \dots & \overline{e}_{n}^{n-1} \end{vmatrix} \\ &\qquad = |L_{E_n}|^2 \det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \overline{A}_{E_n}\end{pmatrix}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Дадим пояснения к этой цепочке равенств. В третьем равенстве мы, учитывая определения матриц \widetilde{A }_{D_n} и \widetilde{A }_{D_n}^{H_n}, изменили в определителе порядок последних n столбцов на обратный; в четвертом вынесли при m=1,\dots,n множитель \overline{d_{m}^{n-1}h_{m}} из (n+m)-го столбца определителя и воспользовались обозначениями (50) d_{n+m}=\overline{d}_m^{-1}, h_{n+m}=\overline{h}_m^{-1}; в пятом мы воспользовались формулой Лапласа раскрытия определителя (2n)-го порядка по минорам n-го порядка первых n строк и определением индексов q_1,\dots,q_n; в шестом – равенством (52) и равенством \{ p_1,\dots,p_n\}\sqcup \{ q_1,\dots,q_n\}=\{ 1,\dots,2n\}; в седьмом – равенством (54) и формулой Лапласа; в восьмом внесли при m=1,\dots,n множитель \overline{h}_{m} в (n+m)-й столбец определителя и воспользовались обозначениями (50) e_{n+m}=\overline{e}_m, h_{n+m}=\overline{h}_m^{\,-1}; девятом, десятом и одиннадцатом воспользовались соответственно определением матриц A_{E_n} и A_{E_n}^{H_n}, определением (22) величины M_{E_n}^{\mathrm b;H_n} и определением (47) множества H_n. Отсюда, из определения (39) величин \breve{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}, \zeta =\mathrm s,\mathrm b, и (53) получаем равенство
\begin{equation*}
\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}=\frac{M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}}{|{\det A_{t(E_n)}}|^2}= \frac{|L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]}}{|L_{E_n}\det A_{E_n}|^2}=\breve{M}_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]},
\end{equation*}
\notag
совпадающее с первым из равенств (44). Полагая h_{n+m}:=\overline{h}_{m} вместо ранее использованного в (50) обозначения h_{n+m}:=\overline{h}_{m}^{\,-1}, имеем аналогичным образом цепочку равенств
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}=M_{D_n}^{\mathrm c;i^{-1}H_n}=\det \begin{pmatrix} A_{D_n} & -\widetilde{A }_{D_n} \\ A_{D_n}^{i^{-1}H_n } & \widetilde{A}_{D_n}^{i^{-1}H_n }\end{pmatrix} \\ &\qquad =(-1)^{(n-1)n/2}\begin{vmatrix} d_1^0 & \dots & d_{n}^0 & -\overline{d_1^{n-1}} & \dots & -\overline{d_n^{n-1}}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & -\overline{d_1^{0}} & \dots & -\overline{d_n^{0}}\\ d_1^0i^{-1}h_{1} & \dots & d_{n}^0i^{-1}h_{n} & \overline{d_1^{n-1}i^{-1}h_1} & \dots & \overline{d_n^{n-1}i^{-1}h_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}i^{-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}i^{-1}h_{n} & \overline{d_1^{0}i^{-1}h_1} & \dots & \overline{d_n^{0}i^{-1}h_n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}i^n\prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1} \begin{vmatrix} d_1^{0} & \dots & d_{n}^{0} & d_{n+1}^{0} & \dots & d_{2n}^{0}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & d_{n+1}^{n-1} & \dots & d_{2n}^{n-1}\\ d_1^0h_{1} & \dots & d_{n}^0h_{n} & d_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & d_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}h_{n} & d_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & d_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}i^n\prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1} \sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n}\frac{V_{d_{p_1},\dots,d_{p_n}}h_{q_1} \dotsb h_{q_n}V_{d_{q_1},\dots,d_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = \frac{i^{n}2^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1}}{\prod_{k=1}^{2n}(e_{k}+i)^{n-1}}\sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n} \frac{ V_{e_{p_1},\dots,e_{p_n}}h_{q_1} \dotsb h_{q_n}V_{e_{q_1},\dots,e_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = i^{n}|L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & e_{n+1}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & e_{n+1}^{n-1} & \dots & e_{2n}^{n-1}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & e_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & e_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & e_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & e_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^n |L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & \overline{e_{1}^0} & \dots & \overline{e_{n}^0}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & \overline{e_{1}^{n-1}} & \dots & \overline{e_{n}^{n-1}}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & \overline{e_{1}^0h_1} & \dots & \overline{e_{n}^{0}h_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & \overline{e_{1}^{n-1}h_1} & \dots & \overline{e_{n}^{n-1}h_n} \end{vmatrix} \\ &\qquad = |L_{E_n}|^2 \det \begin{pmatrix} A_{E_n} & i\qquad \overline{A}_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & i\qquad \overline{A}_{E_n}^{\,H_n }\end{pmatrix}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm n;\varphi [E_n]}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
из которой в совокупности с (53) следует второе из равенств (44). Таким образом, оба равенства в (44) доказаны при сделанных выше предположениях.
От сделанных предположений i\notin E_n и 0\notin H_n избавимся, сделав в равенствах (44) в случае необходимости тривиальный предельный переход. При наличии кратных точек у множества E_n введем в рассмотрение множества E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n \}, где сколь угодно малые \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n таковы, что множества E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n} состоят из попарно различных точек. Пусть
\begin{equation*}
t(E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n})= \{ t(e_1+\varepsilon_1),\dots,t(e_n+\varepsilon_n)\} =\{ d_1+\delta_1,\dots,d_n+\delta_n \}=:D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n},
\end{equation*}
\notag
где \delta_k=t(e_k+\varepsilon_k)-t(e_k) и, следовательно, \lim_{\varepsilon_k\to 0}\delta_k=0, k=1,\dots,n. Тогда, пользуясь равенствами (44) и леммой 4 (см. (41)) применительно к множествам E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n} и D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n} при \zeta =\mathrm b и \zeta =\mathrm s соответственно, получаем равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\breve{M}_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathrm b;\varphi [E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{t(E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon _n})}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_{n}^{\varepsilon _1,\dots,\varepsilon _n})]} \\ &\qquad =\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0} \breve{M}_{D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}=\breve{M}_{D_n}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[D_n]}=\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
совпадающее с первым из равенств (44) в общем случае.
Аналогичным образом получаем и второе из равенств (44) в общем случае:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \breve{M}_{E_n}^{\mathrm n;\varphi [E_n]} &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathrm n;\varphi [E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{t(E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon _n})}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[t(E_{n}^{\varepsilon _1,\dots,\varepsilon _n})]} \\ &=\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0} \breve{M}_{D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}=\breve{M}_{D_n}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[D_n]} \\ &=\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 5 доказана. Чтобы убедиться в справедливости следствия 1 заметим, что из (44) при \varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z) вытекает, что в обозначениях следствия 1 при N\in\mathbb Z_+^\infty
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{ \breve{M}_{D_{n}}^{\mathrm s;G_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ \breve{M}_{E_{n}}^{\mathrm b;H_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \\ \{ \breve{M}_{D_{n}}^{\mathrm c;i^{-1}G_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ \breve{M}_{E_{n}}^{\mathrm n;H_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
В силу (39) в последних утверждениях “\breve{M}” можно заменить на “M”, что приводит к утверждениям (45) и (46). Чтобы убедиться в справедливости следствия 2 напомним, что из условия попарной различности точек множества E_n=\{ e_1,\dots,e_{n}\} следует равенство t^{-1}[t(E_n)]=E_n. С учетом (39), пользуясь сначала вторым из равенств (44) при \varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z), а затем равенством (43) (с заменой E_n на t(E_n)) и учитывая, что при \phi (z)=i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})(z)
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi (t(e_k))=i^{-1}h_k,\qquad k=1,\dots,n, \\ \phi [t(E_n)]=i^{-1}H_n, \qquad (T\circ \phi )[t(E_n)]=T(i^{-1}H_n), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
получаем равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}}{|{\det A_{E_n}}|^2} &=\breve{M}_{E_n}^{\mathrm n;\varphi_{E_n}^{H_n}[E_n]} =\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_n)]}= \frac{M_{t(E_n)}^{\mathrm c;\phi [t(E_n)]}}{|{\det A_{t(E_n)}}|^2} \\ &=\frac{\prod_{k=1}^n|1+i^{-1}h_k|^2}{2^n|{\det A_{t(E_n)}}|^2}M_{t(E_n)}^{\mathrm s;T(i^{-1}H_n)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем требуемое утверждение следствия 2. Доказательство теоремы 1 для случаев \zeta =\mathrm b,\mathrm n, как отмечалось, будет проведено при помощи предложения 1 и доказанной леммы 5 сведением этих случаев соответственно к уже доказанным в [16] и [17] случаям \zeta =\mathrm s,\mathrm c.
Пусть t(z)=(z-i)/(z+i). При n=1,2,\dots положим
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d_n:=t(e_n), \qquad D_n:=\{ d_1,\dots,d_n\}=t(E_n), \\ G_{n}=\{ g_1,\dots,g_n\}:= (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[D_n] \end{gathered}
\end{equation}
\tag{55}
и отметим, во-первых, что множество G_n не зависит от выбора интерполяционной функции \varphi_{E_n}^{H_n}(z) и, во-вторых, функция (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})(z) соответствует определению (20) интерполяционной функции для множеств D_n и G_n и, следовательно, можно считать, что
По предложению 1
\begin{equation}
f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm b}_N\ \ \Longleftrightarrow\ \ (f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s }_N,\quad f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N \ \ \Longleftrightarrow\ \ i^{-1}(f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c }_N.
\end{equation}
\tag{57}
Из отмеченной независимости множества G_n от выбора интерполяционной функции \varphi_{E_n}^{H_n}(z), равенства f[E_n]=H_n (означающего, что функция f(z) является интерполяционной функцией для множеств E_n и H_n) и определения в (55) множества G_n следует, что при F(z)=(f\circ t^{-1})(z)
\begin{equation*}
G_n=(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[D_n]=(f\circ t^{-1})[D_n]=F[D_n].
\end{equation*}
\notag
Заметим, что верно и обратное утверждение F[D_n]=G_n \Longrightarrow f[E_n]=H_n, т.е. Аналогичным образом при \Phi (z)=i^{-1}(f\circ t^{-1})(z)
\begin{equation}
f[E_n]=H_n \quad\Longleftrightarrow\quad \Phi [D_n]=i^{-1}G_n.
\end{equation}
\tag{59}
\begin{equation}
\nonumber \exists\, f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \exists\, F(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm s }, \quad F[D_n]=G_n, \quad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{60}
\begin{equation}
\nonumber \exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \exists\, \Phi (z)\in\mathfrak B^{\mathrm c }_N, \quad \Phi [D_n]=i^{-1}G_n, \quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{61}
Для утверждений, стоящих в правых частях (60) и (61), имеется уже доказанная в [16] и [17] теорема 1 соответственно для случаев \zeta =\mathrm s и \zeta =\mathrm c, из которой следует (см. необходимые и достаточные условия (31)), что (60) и (61) могут быть записаны в следующем виде:
\begin{equation}
\exists\, f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm s;G_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N,
\end{equation}
\tag{62}
\begin{equation}
\exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm c;i^{-1}G_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N.
\end{equation}
\tag{63}
Если N=\infty, то при всех n=1,2,\dots имеют место равенства (26) и аналогичные им равенства D_{n,\infty }=D_n, G_{n,\infty}=G_n. Поэтому при N=\infty в силу следствия 1 правые части в (62) и (63) можно заменить на правые части в (45) и (46) соответственно (в которых N=\infty, E_n=E_{n,\infty}, H_n=H_{n,\infty}), т.е.
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \exists\, f(z)\in\mathfrak B_\infty^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,\infty}}^{\mathrm b;H_{n,\infty}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_\infty, \\ \exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}_\infty, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,\infty}}^{\mathrm n;H_{n,\infty}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, теорема 1 для случаев \zeta =\mathrm b,\mathrm n доказана при N=\infty.
Рассмотрим теперь случай N\in \mathbb Z_+. Заметим, что при всех n=1,2,\dots кратность \nu_n точки e_n в множестве E_n=\{ e_1,\dots,e_n\} совпадает с кратностью точки d_n в множестве D_n=t(E_n). Поэтому, если E_{n,N} – множество точек, определенное перед теоремой 1 по последовательности e_1,e_2,\dots при n=1,2,\dots, N\in\mathbb Z, равенствами (26)–(28), то по последовательности d_1,d_2,\dots множество D_{n,N} можно определить соответствующим образом, а именно: при n\leqslant N+2 полагаем D_{n,N}:=D_n, а при n\geqslant N+3
\begin{equation*}
D_{n,N}:= \begin{cases} \{ d_{j_{n,1}},\dots,d_{j_{n,N+2}}\},&\text{если } \nu_n< N+2<n, \\ \{ d_n\}^{2\nu_n -N-2}, &\text{если }\nu_n\geqslant N+2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где индексы j_{n,1},\dots,j_{n,N+2} фиксируются совпадающими с индексами, фиксированными в равенстве (27). Это означает, что наряду с равенствами D_n=t(E_n) выполняются также и равенства
\begin{equation}
D_{n,N}=t(E_{n,N}), \qquad n=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+.
\end{equation}
\tag{64}
В соответствии с (27)–(29) и (55) положим
\begin{equation*}
G_{n,N}:=\begin{cases} \{ g_{j_{n,1}},\dots,g_{j_{n,N+2}}\}, &\text{если }\nu_n< N+2<n, \\ \{ g_{j_{n,1}},\dots,g_{j_{n,\nu_n}},g^{*}_{n,1},\dots,g^{*}_{n,\nu_n-N-2}\}, &\text{если }\nu_n\geqslant N+2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где g^{*}_{n,k}=(\varphi_{D_n}^{G_n})^{(\nu_n-1+k)}(d_n), k=1,\dots,\nu_n-N-2, и заметим, что наряду с (30) имеют место и равенства \varphi_{D_n}^{G_n}[D_{n,N}]=G_{n,N}, из которых с учетом (56) и (64) следует, что
\begin{equation}
G_{n,N} =\varphi_{D_n}^{G_n}[D_{n,N}]= (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_{n,N})], \qquad n=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+.
\end{equation}
\tag{65}
При наличии (40), (64) и (65) теми же рассуждениями, которые использовались при выводе утверждений (45) и (46), составляющих содержание следствия 1, получим как следствие леммы 5 (примененной при \varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z) к множествам E_{n,N}, а не к множествам E_n) также и утверждения (45) и (46) с заменой E_n, H_n, D_n, G_n соответственно на E_{n,N}, H_{n,N}, D_{n,N}, G_{n,N}. Точнее,
\begin{equation}
\nonumber \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm s;G_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N\quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{t(E_{n,N})}^{\mathrm s; (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n,N})]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm b;\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm b;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N,
\end{equation}
\tag{66}
\begin{equation}
\nonumber \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm c;i^{-1}G_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N\quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{t(E_{n,N})}^{\mathrm c;i^{-1} (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n,N})]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm n;\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N\quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm n;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N.
\end{equation}
\tag{67}
Поэтому при N=\mathbb Z_+ правые части в (62) и (63) можно заменить на правые части (66) и (67) соответственно, т.е.
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \exists\, f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots, \quad \Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm b;H_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \\ \exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots, \quad \Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm n;H_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, теорема 1 для случаев \zeta =\mathrm b и \zeta =\mathrm n доказана при N=\mathbb Z_+.
Таким образом, теорема 1, доказанная автором ранее в [16] и [17] при \zeta =\mathrm s,\mathrm c, доказана и при \zeta =\mathrm b,\mathrm n. Кроме того, в тех же обозначениях и теми же рассуждениями при помощи предложения 1, доказанных в [16] и [17] дополнений к теореме 1 при \zeta =\mathrm s, \mathrm c и леммы 5 при \varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z) получаем цепочку импликаций
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n \\ &\quad\Longrightarrow\quad (f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm s },\, (f\circ t^{-1})[t(E_n)]= (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_n)] \\ &\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_n)]}>0, & n\leqslant N, \\ M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_n)]}=0, & n>N, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}>0,&n\leqslant N, \\ M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}=0,&n>N, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
доказывающую дополнение к теореме 1 при \zeta =\mathrm b, а также цепочку импликаций
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm n }, \quad f[E_n]=H_n \\ &\quad\Longrightarrow\quad i^{-1}(f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm c }, \quad i^{-1}(f\circ t^{-1})[t(E_n)]= i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_n)] \\ &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n})]}>0,&n\leqslant N, \\ M_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n})]}=0,& n>N, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}>0,&n\leqslant N, \\ M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}=0,&n>N, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
доказывающую дополнение к теореме 1 при \zeta =\mathrm n. Таким образом, теорема 1 и ее дополнение доказаны для всех случаев \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s. § 4. Доказательство лемм 1, 2, 3 и утверждений 1, 2 Доказательство леммы 1. В обозначениях леммы 1 из ее условий следует, что при всех n=1,2,\dots кратность \nu_n точки e_n=0 в множестве E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}=\{ 0\}^n равна n, а в качестве интерполяционной функции \varphi_{E_n}^{H_n}(z) можно взять частичную сумму f_m(z) при любом m\geqslant n-1. Так как
\begin{equation*}
(z^kf_{n-1}(z))^{(j)}(0)= \begin{cases} 0,& j<k, \\ j!\,a_{j-k},&j\geqslant k, \end{cases} \qquad j,k=0,\dots,n-1,
\end{equation*}
\notag
и, следовательно, H_n\,{=}\,f_{n-1}[E_n]\,{=}\,\{ 0!\,a_0,1!\,a_1, \dots, (n-1)!\,a_{n-1}\}, (\psi_1f_{n-1})[E_n]=\{ 0, 1!\,a_0, \dots, (n-1)!\,a_{n-2}\} и т.д., то в силу (18) и (19)
\begin{equation*}
A_{E_n}^{H_n}=\begin{pmatrix} 0!\,a_0 & 1!\,a_1 & \dots & (n-1)!\,a_{n-1}\\ 0 & 1!\,a_0 & \dots & (n-1)!\,a_{n-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & (n-1)!\,a_{0} \end{pmatrix}, \quad A_{E_n}=\begin{pmatrix} 0! & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1! & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & (n-1)!\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, из определения постоянной C_n:=(0!\,\dotsb (n-1)!)^2 и определений (23) и (11) имеем равенства
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm c;H_n } =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & -\widetilde{A }_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n}^{H_n } \end{pmatrix} =C_n\det \begin{pmatrix} I_n & -I_n \\ A_{n}^{f} & \widetilde{A}_{n}^{f} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{68}
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm s;H_n } =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \widetilde{A }_{E_n}^{H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n} \end{pmatrix} =C_n\det \begin{pmatrix} I_n & \widetilde{A}_{n}^{f} \\ A_{n}^{f} & I_n \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{69}
Воспользовавшись равенством (см., например, [3; § 5])
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S\end{pmatrix}=\det (PS-RQ),
\end{equation*}
\notag
где P, Q, R, S – (n\times n)-матрицы такие, что PR=RP, из (68), (69) и определений (12) получаем равенства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{E_n}^{\mathrm c;H_n } =C_n\det (A_{n}^{f} + \widetilde{A}_{n}^{f})=C_nM_{n}^{\mathrm c;f}, \\ M_{E_n}^{\mathrm s;H_n } =C_n\det (I_n-A_{n}^{f} \widetilde{A}_{n}^{f})=C_nM_{n}^{\mathrm s;f}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
совпадающие с (34). Лемма 1 доказана. Доказательство утверждения 1. В обозначениях леммы 1 из (34) следует, что при N=\infty с учетом (26)
\begin{equation*}
M_{n}^{\zeta;f}>0, \quad n=1,2,\dots, \quad\Longleftrightarrow\quad M_{E_{n,\infty}}^{\zeta;H_{n,\infty}}\,{=}\,M_{E_n}^{\zeta;H_n}\,{=}\,C_nM_{n}^{\zeta;f}\,{>}\,0, \quad n\,{=}\,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Отсюда по теореме 1 при \zeta =\mathrm c,\mathrm s , N=\infty, получаем, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{n}^{\zeta;f}>0,\quad n=1,2,\dots, \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,\infty }}^{\zeta;H_{n,\infty }} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_\infty \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\, F(z)\in\mathfrak B_\infty^\zeta, \quad F[E_n]=H_n=\{ 0!\,a_0,\dots,(n-1)!\,a_{n-1}\}, \quad n=1,2,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Так как F[E_n]=\{ F(0),\dots,F^{(n-1)}(0)\}, то последнее утверждение означает, что формальный степенной ряд f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n является рядом Тейлора функции F(z)\in\mathfrak B_\infty^\zeta и, следовательно, критерий Каратеодори–Шура выполняется при N=\infty. Рассмотрим теперь случай N\in\mathbb Z_+. При n\leqslant N+2 имеем в силу (26) равенства E_{n,N}=E_n, H_{n,N}=H_n, а при n> N+2 в силу (28) с учетом того, что \nu_n=n, имеем равенства из которых, фиксируя m=2n-N-3> n-1 (т.е. полагая \varphi_{E_n}^{H_n}(z)=f_{2n-N-3}(z)), с учетом (30) и (33) получаем равенства
\begin{equation*}
H_{n,N}=\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]=f_{2n-N-3}[E_{2n-N-2}] =H_{2n-N-2}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из (34) следует, что
\begin{equation*}
M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}= \begin{cases} M_{E_n}^{\zeta;H_n}=C_nM_{n}^{\zeta;f},&n\leqslant N+2, \\ M_{E_{2n-N-2}}^{\zeta;H_{2n-N-2}}=C_{2n-N-2}M_{2n-N-2}^{\zeta;f}, &n>N+2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Поэтому по теореме 1 получаем, что
\begin{equation}
M_n^{\zeta;f } > 0 \quad \text{при }\ n=1,\dots,N, \qquad M_{N+1}^{\zeta;f } =M_{N+2}^{\zeta;f } = M_{N+4}^{\zeta;f } = M_{N+6}^{\zeta;f }=\dots = 0
\end{equation}
\tag{70}
\begin{equation}
\Longleftrightarrow\ \ \{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty \in \mathscr M_N \ \ \Longleftrightarrow\ \ \exists\, F(z)\in\mathfrak B_N^\zeta, \quad F[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\notag
Так как
\begin{equation*}
F[E_n]=\{ F(0),\dots,F^{(n-1)}(0)\}, \qquad H_n=\{ 0!\,a_0,\dots,(n-1)!\,a_{n-1}\},
\end{equation*}
\notag
то условия (70) являются необходимыми и достаточными условиями существования функции класса \mathfrak B_N^\zeta, ряд Тейлора которой совпадает с заданным степенным рядом f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n.
Отметим, что достаточные условия (70) не содержат условий присутствующих в необходимых и достаточных условиях \{ M_n^{\zeta;f } \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N критерия Каратеодори–Шура.Необходимость условий M_{N+3}^{\zeta;f } =M_{N+5}^{\zeta;f } =\dots =0 следует из дополнения к теореме 1 и равенств (34). Таким образом, утверждение 1 доказано, и более того, показано, что при N<\infty достаточные условия в критерии Каратеодори–Шура можно немного ослабить. Приступая к доказательству леммы 2, сформулируем и докажем лемму 6, являющуюся усиленным вариантом леммы 2. Лемма 6. Пусть e_1,\dots,e_{2n} – попарно различные точки, h_1,\dots,h_{2n} – произвольные комплексные числа. Тогда
\begin{equation}
\Delta_{\{ e_{1},\dots,e_{2n}\}}^{\{ h_{1},\dots,h_{2n}\} }=(-1)^{(n-1)n/2}\det \biggl( \frac{h_{n+k}-h_{j}}{e_{n+k}-e_j} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}\prod_{j,k=1}^n(e_{n+k}-e_j),
\end{equation}
\tag{71}
где
\begin{equation}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}:=\det\begin{pmatrix} e_{1}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_{1}^{n-1} & \dots & e_{2n}^{n-1} \\ e_{1}^0h_1 & \dots & e_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots \\ e_{1}^{n-1}h_1 & \dots & e_{2n}^{n-1}h_{2n}\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{72}
Доказательство. Так как при n=1 лемма 6 тривиальна, то далее будем считать, что n\geqslant 2. При 2\leqslant k\leqslant 2n и попарно различных натуральных p_1,\dots,p_k, не превосходящих 2n, положим
\begin{equation}
h_{p_1,\dots,p_k}:=\det\begin{pmatrix} e_{p_1}^0 & \dots & e_{p_k}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_{p_1}^{k-2} & \dots & e_{p_k}^{k-2} \\ h_{p_1} &\dots & h_{p_k}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_1},\dots,e_{p_k}},
\end{equation}
\tag{73}
где V_{z_1,\dots,z_k} – определитель Вандермонда точек z_1,\dots,z_k. Отметим, что h_{p_1,\dots,p_k} не меняется при перестановках (p_1,\dots,p_k), и покажем, что
При k=2 равенство (74) выполняется тривиальным образом, так как
\begin{equation}
h_{p_1,p_2}:=\det\begin{pmatrix} e_{p_1}^0 & e_{p_2}^0\\ h_{p_1} & h_{p_2}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_1},e_{p_2}} =\frac{h_{p_2}-h_{p_1}}{e_{p_2}-e_{p_1}}.
\end{equation}
\tag{75}
Предположим, что равенство (74) выполняется при всех натуральных индексах от 2 до k-1<2n, и докажем его для индекса k. Вычитая при j=k-1,\dots,2 из j-й строки определителя в (73) его (j-1)-ю строку, умноженную на e_{p_1}, а затем вычитая из k-й строки его первую строку, умноженную на h_{p_1}, начнем цепочку равенств
\begin{equation*}
h_{p_1,\dots,p_k}=\det\begin{pmatrix} e_{p_{1}}^0 & e_{p_{2}}^0 & \dots & e_{p_{k}}^0 \\ 0 & e_{p_{2}}^0(e_{p_2}- e_{p_1}) & \dots & e_{p_{k}}^0(e_{p_{k}}-e_{p_{1}})\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_{p_2}^{k-3}(e_{p_2}- e_{p_1}) & \dots & e_{p_{k}}^{k-3}(e_{p_{k}}-e_{p_{1}})\\ 0 & h_{p_2}-h_{p_1} & \dots & h_{p_{k}}-h_{p_1}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_1},\dots,e_{p_{k}}}.
\end{equation*}
\notag
Разложим полученный определитель по первому столбцу, учтем равенства h_{p_j}- h_{p_1}=h_{p_1,p_j}(e_{p_j}-e_{p_1}) (см. (75)) и сократим с учетом формулы (49) для определителей Вандермонда множители (e_{p_j}-e_{p_1}), j=2,\dots k, получим
\begin{equation*}
h_{p_1,\dots,p_k}=\det\begin{pmatrix} e_{p_2}^0 & \dots & e_{p_{k}}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_{p_2}^{k-3} & \dots & e_{p_{k}}^{k-3}\\ h_{p_1,p_2} & \dots & h_{p_1,p_{k}}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_2},\dots,e_{p_{k}}}.
\end{equation*}
\notag
Продолжим далее аналогичным образом, учитывая индуктивное предположение для доказываемого равенства (74), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{p_1,\dots,p_k} &=\frac{\det \begin{pmatrix} e_{p_{k-1}}^0 & e_{p_{k}}^0\\ h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k-1}} & h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k}} \end{pmatrix}}{V_{e_{p_{k-1}},e_{p_{k}}}} \\ &=\frac{h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k}}-h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k-1}}}{e_{p_{k}}-e_{p_{k-1}}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, равенство (74) доказано.
Докажем (71). Вычитая при j=2,\dots,n,n+2,\dots,2n из j-й строки определителя (72) его (j-1)-ю строку, умноженную на e_1, а затем вычитая из (n+1)-й строки первую строку, умноженную на h_1, начнем цепочку равенств
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_{1}^0 & e_{2}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ 0 & e_2^0(e_2-e_1) & \dots & e_{2n}^0(e_{2n}-e_1)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_2^{n-2}(e_{2}-e_1) & \dots & e_{2n}^{n-2}(e_{2n}-e_1) \\ 0 & h_{2}-h_{1} & \dots & h_{2n}-h_1\\ 0 & e_2^{0}h_2(e_{2}-e_1) &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}(e_{2n}-e_1)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_2^{n-2}h_2(e_{2}-e_1) &\dots & e_{2n}^{n-2}h_{2n}(e_{2n}-e_1)\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Разложим определитель по первому столбцу, учтем равенства h_j-h_1=h_{j,1}(e_j- e_1) (см. (75)) и вынесем множители e_j-e_1, j=2,\dots,2n, за знак определителя, получим
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_2^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_2^{n-2} & \dots & e_{2n}^{n-2} \\ h_{2,1} & \dots & h_{2n,1}\\ e_2^{0}h_2 &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots \\ e_2^{n-2}h_2 &\dots & e_{2n}^{n-2}h_{2n}\end{pmatrix}\prod_{j=2}^{2n}(e_j-e_1).
\end{equation*}
\notag
Вычтем при j=2,\dots,n-1,n+2,\dots,2n-1 из j-й строки (j-1)-ю строку, умноженную на e_2, затем вычтем из n-й и (n+1)-й строк первую строку, умноженную соответственно на h_{2,1} и h_2, и воспользуемся формулой (49),
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_{2}^0 & e_{3}^0 & \dots & e_{2n}^0 \\ 0 & e_3^0(e_3-e_2) & \dots & e_{2n}^0(e_{2n}-e_2)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_3^{n-3}(e_{3}-e_2) & \dots & e_{2n}^{n-3}(e_{2n}-e_2) \\ 0 & h_{3,1}-h_{2,1} & \dots & h_{2n,1}-h_{2,1}\\ 0 & h_{3}-h_{2} & \dots & h_{2n}-h_{2}\\ 0 & e_3^{0}h_3(e_{3}-e_2) &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}(e_{2n}-e_2)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_3^{n-3}h_3(e_{3}-e_2) &\dots & e_{2n}^{n-3}h_{2n}(e_{2n}-e_2)\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}} {V_{e_2,\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
Разложим определитель по первому столбцу, при j=3,\dots,2n вынесем множители e_j-e_2 из соответствующих столбцов за знак определителя и учтем (74), получим
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_3^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_3^{n-3} & \dots & e_{2n}^{n-3} \\ h_{3,2,1} & \dots & h_{2n,2,1}\\ h_{3,2} & \dots & h_{2n,2}\\ e_3^{0}h_3 &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots \\ e_3^{n-3}h_3 &\dots & e_{2n}^{n-3}h_{2n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_3,\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
Учитывая (74), продолжим равенство аналогичным образом, получим
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} h_{n+1,n,\dots,1} & \dots & h_{2n,n,\dots,1}\\ h_{n+1,n,\dots,2} & \dots & h_{2n,n,\dots,2}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
Вычтем из первой строки полученного определителя его вторую строку, умноженную на (e_2-e_1)^{-1}, учтем равенства
\begin{equation*}
h_{k,n,\dots,3,2,1}-\frac{h_{k,n,\dots,3,2}}{e_2-e_1}=-\frac{h_{k,n,\dots,3,1}}{e_2-e_1}, \qquad k=n+1,\dots,2n,
\end{equation*}
\notag
и вынесем из первой строки множитель -(e_2-e_1)^{-1}=-V_{e_1,e_2}^{-1} за знак определителя, получим
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\frac{(-1)}{V_{e_1,e_2}}\det\begin{pmatrix} h_{n+1,n,\dots,4,3,1} & \dots & h_{2n,n,\dots,4,3,1}\\ h_{n+1,n,\dots,4,3,2} & \dots & h_{2n,n,\dots,4,3,2}\\ h_{n+1,n,\dots,4,3} & \dots & h_{2n,n,\dots,4,3}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
Вычтем из первой и второй строк определителя третью строку, умноженную соответственно на (e_3-e_1)^{-1} и (e_3-e_2)^{-1}, учтем при k=n+1,\dots,2n равенства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_{k,n,\dots,4,3,1}-\frac{h_{k,n,\dots,4,3}}{e_3-e_1}=-\frac{h_{k,n,\dots,4,1}}{e_3-e_1}, \\ h_{k,n,\dots,4,3,2}-\frac{h_{k,n,\dots,4,3}}{e_3-e_2}=-\frac{h_{k,n,\dots,4,2}}{e_3-e_2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
и вынесем из первой и второй строк соответственно множители -(e_3-e_1)^{-1} и -(e_3-e_2)^{-1} за знак определителя, получим
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\frac{(-1)^{1+2}}{V_{e_1,e_2,e_3}}\det\begin{pmatrix} h_{n+1,n,\dots,5,4,1} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4,1}\\ h_{n+1,n,\dots,5,4,2} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4,2}\\ h_{n+1,n,\dots,5,4,3} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4,3}\\ h_{n+1,n,\dots,5,4} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
Учитывая (74), продолжим равенство аналогичным образом:
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\frac{(-1)^{1+2+\dots +(n-1)}}{V_{e_1,\dots,e_n}}\det\begin{pmatrix} h_{n+1,1} & \dots & h_{2n,1}\\ h_{n+1,2} & \dots & h_{2n,2}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда с учетом равенств h_{n+k,j}=(h_{n+k}-h_j)/(e_{n+k}-e_j), k,j=1,\dots,n, (см. (75)) и формулы (49) получаем требуемое равенство (71). Лемма 6 доказана. Доказательство леммы 2. В предположениях леммы 2 положим e_{n+k}{=}\,\overline{e}_k, h_{n+k}=\overline{h}_k, k=1,\dots,n. Так как e_1,\dots,e_{n} – попарно различные точки, лежащие в \mathbb H, то e_1,\dots,e_{2n} – попарно различные точки. Поэтому по лемме 6 имеет место равенство (71), которое с учетом определений (22), (72), (35) определителей M_{E_n}^{H_n}, \Delta_{\{ e_{1},\dots,e_{n}, \overline{e}_{1},\dots,\overline{e}_{n}\}}^{\{ h_{1},\dots,h_{n},\overline{h}_1,\dots,\overline{h}_n\}} и постоянной C_{E_n} влечет за собой равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}&=i^n\Delta_{\{ e_{1},\dots,e_{n}, \overline{e}_{1},\dots,\overline{e}_{n}\}}^{\{ h_{1},\dots,h_{n},\overline{h}_1,\dots,\overline{h}_n\} } =i^{n+(n-1)n}\det \biggl( \frac{\overline{h}_{k}-h_{j}}{\overline{e}_{k}-e_j} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}\prod_{j,k=1}^n(\overline{e}_{k}-e_j) \\ &=C_{E_n}\det \biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_j-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
совпадающее с равенством (36). Лемма 2 доказана. Доказательство утверждения 2. Пусть \{ e_p\}_{p\in\mathcal P} и \{ h_p\}_{p\in\mathcal P} – заданные множества точек, лежащие соответственно в \mathbb H и \mathbb C. Из дополнения к теореме 1 при \zeta =\mathrm n и леммы 2 следует, что при всех попарно различных p_1,\dots,p_n из индексного множества \mathcal P, E_n=\{ e_{p_1},\dots,e_{p_n}\}, H_n=\{ h_{p_1},\dots,h_{p_n}\} имеют место импликации
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n },\quad f[E_n]=H_n \\ &\quad\Longrightarrow\quad M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}\geqslant 0 \quad\Longrightarrow\quad \det \biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_j-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}\geqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
доказывающие необходимость ненегативности всех форм (10) для существования функции Неванлинны f(z), удовлетворяющей условиям f(e_p)=h_p, p\in \mathcal P.
Докажем, что в случае счетного индексного множества \mathcal P, т.е. в случае \{ e_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ e_1,e_2,\dots\} ненегативность всех форм (10) достаточна для существования функции Неванлинны f(z), удовлетворяющей условиям f(e_p)=h_p, p=1,2,\dots . Предположим сначала, что все формы (10) позитивны. В частности, при n=1,2,\dots в этом случае имеют место строгие неравенства
\begin{equation*}
\det\biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_{j}-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}>0, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
эквивалентные по лемме 2 строгим неравенствам
\begin{equation*}
M_{E_n}^{\mathrm n;H_n} >0, \quad \text{где }\ E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, \quad H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}, \quad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
из которых с учетом (26) по теореме 1 при \zeta =\mathrm n, N=\infty следует существование функции f(z)\in \mathfrak B_\infty^{\mathrm n}, удовлетворяющей условиям f(e_n)=h_n, n=1,2,\dots .
Рассмотрим теперь случай, когда среди ненегативных форм (10) имеются сингулярные формы. В этом случае найдется N\in\mathbb Z_+ такое, что все формы (10) порядка, не превосходящего N, позитивны (при N=0 это условие отсутствует), а все формы (10) порядков N+1 и N+2 ненегативны, причем по крайней мере одна из форм (10) порядка N+1 сингулярна. Следовательно, с учетом леммы 2 после соответствующей перенумерации индексного множества \mathcal P будут выполняться условия
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}>0,\quad n=1,\dots,N,\qquad M_{E_{N+1}}^{\mathrm n;H_{N+1}}=0, \\ M_{\{ E_{N+1} \cup e_{N+p}\} }^{\mathrm n;\{ H_{N+1}\cup h_{N+p}\} }\geqslant 0, \qquad p=2,3,\dots \end{gathered}
\end{equation}
\tag{76}
(при N=0 отсутствуют неравенства M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}>0).
Покажем, что условия (76) влекут за собой более сильные условия
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{E_{n}}^{\mathrm n;H_{n}}>0,\qquad n=1,\dots,N, \\ M_{E_{N+1}}^{\mathrm n;H_{N+1}}=M_{E_{N+1} \cup \{ e_{N+p}\} }^{\mathrm n;H_{N+1} \cup \{ h_{N+p}\} }= 0,\qquad p=2,3,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{77}
Так как точки e_1,\dots,e_n попарно различны и h_k\neq -i, k=1,2,\dots (в силу ненегативности форм (10) при n=1), то в силу следствия 2 из первых N+1 условий в (76) следует, что
\begin{equation}
M_{D_n}^{\mathrm s;G_n}>0 \quad \text{при }\ n=1,\dots,N, \qquad M_{E_{N+1}}^{\mathrm s;G_{N+1}}=0,
\end{equation}
\tag{78}
где
\begin{equation*}
D_n=t(E_n),\quad G_n=T(i^{-1}H_n),\quad t(z)=\frac{z-i}{z+i},\quad T(z)=\frac{1-z}{1+z}.
\end{equation*}
\notag
В [16; лемма 4] показано (без явной формулировки), что условия (78) влекут за собой неравенства
\begin{equation*}
M_{D_{N+1}\cup \{ d\}}^{\mathrm s;G_{N+1}\cup \{ g\}}\leqslant 0 \quad\text{при любых }\ d\in\mathbb D\setminus D_{N+1}, \quad g\in\mathbb C.
\end{equation*}
\notag
В силу следствия 2 это означает, что M_{E_{N+1} \cup \{ e\} }^{\mathrm n;H_{N+1}\cup \{ h\} }\leqslant 0 при любых e\in\mathbb H\setminus E_{N+1} и h\in\mathbb C. В частности,
\begin{equation*}
M_{E_{N+1} \cup \{ e_{N+p}\} }^{\mathrm n; H_{N+1}\cup \{ h_{N+p}\} }\leqslant 0 \quad\text{при всех }\ p=2,3,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует эквивалентность условий (76) и (77).
Так как попарная различность точек e_1,e_2,\dots означает, в частности, что \nu_n=1<N+2 при всех n=1,2,\dots, то в силу (27) в качестве (N+2)-точечных множеств E_{n,N} и H_{n,N} при n=N+3,N+4,\dots можно выбрать множества
\begin{equation*}
E_{N+p,N}=E_{N+1} \cup \{ e_{N+p}\}, \quad H_{N+p,N}=H_{N+1} \cup \{ h_{N+p}\}, \qquad p=3,4,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Поэтому с учетом (26) условия (77) совпадают с условиями (31) при \zeta =\mathrm n, из которых по теореме 1 при \zeta =\mathrm n следует существование и единственность функции Неванлинны f(z)\in \mathfrak B_N^{\mathrm n}, удовлетворяющей условиям f(e_n)=h_n, n=1,2,\dots . Таким образом, утверждение 2 доказано. Доказательство леммы 3. Для удобства последующей записи при \varepsilon >0 положим
Для произвольных комплексных чисел z_1,\dots,z_p введем следующее обозначение:
\begin{equation*}
S^0_{z_{1},\dots,z_{p}}:= 1, \quad S^k_{z_{1},\dots,z_{p}}:=\sum z_1^{t_1}\dots z_p^{t_p}, \qquad p,k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
где сумма берется по всем (t_1,\dots,t_p)\in\mathbb Z_+^p таким, что t_1+\dots +t_p=k.
Отметим, что S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p} не зависит от перестановок \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p. При m=0,1 и j=p+2,\dots,2n, где p=1,\dots,2n-2, имеют место равенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varepsilon_j^mS^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p,\varepsilon_j} -\varepsilon_{p+1}^mS^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1}} =\sum_{l=0}^kS^{k-l}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p}(\varepsilon_j^{l+m} -\varepsilon_{p+1}^{l+m}) \\ &\qquad=(\varepsilon_j-\varepsilon_{p+1})\sum_{l=1-m}^kS^{k-l}_{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_p}S^{l+m-1}_{\varepsilon_{p+1},\varepsilon_j} =(\varepsilon_j-\varepsilon_{p+1})S^{k+m-1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p\varepsilon_{p+1},\varepsilon_j}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{80}
Предполагая сначала, что точки e_1,\dots,e_n попарно различны, заметим, что в этом случае (в обозначениях леммы 3)
\begin{equation*}
f_{2n-2}[\varepsilon E_n]=\biggl\{ \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_1^{k+1},\dots,\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_n^{k+1}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
С учетом определения (24) матриц A_{\varepsilon E_{n}} и A_{\varepsilon E_{n}}^{f_{2n-2}[\varepsilon E_n]}, вещественности коэффициентов a_0,a_1,\dots и обозначений (79) имеет место цепочка равенств
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\det \begin{pmatrix} A_{\varepsilon E_{n}} & \overline{A}_{\varepsilon E_{n}} \\ A_{\varepsilon E_{n}}^{f_{2n-2}[\varepsilon E_n]} & \overline{A}_{\varepsilon E_{n}}^{f_{2n-2}[\varepsilon E_n]} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\det\begin{pmatrix} \varepsilon_1^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0 \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n-1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\\ \varepsilon_1^{0} \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_1^{k+1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{0} \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{2n}^{k+1} \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n-1} \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_1^{k+1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{2n}^{k+1} \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \det \begin{pmatrix} \varepsilon_1^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n-1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\\ \varepsilon_1^{n}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}\varepsilon_{1}^{k} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}\varepsilon_{2n}^{k}\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{1}^{k} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{2n}^{k} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\det \begin{pmatrix} \varepsilon_2^0(\varepsilon_2-\varepsilon_1) & \dots & \varepsilon_{2n}^0(\varepsilon_{2n}-\varepsilon_1)\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-2}(\varepsilon_2-\varepsilon_1) & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}(\varepsilon_{2n}-\varepsilon_1) \\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1} (\varepsilon_2^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1} (\varepsilon_{2n}^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k} (\varepsilon_2^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k} (\varepsilon_{2n}^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det \begin{pmatrix} \varepsilon_2^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-2} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}\\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_{2n}} \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_{2n}} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{3},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det \begin{pmatrix} \varepsilon_3^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_3^{n-3} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-3}\\ \varepsilon_3^{n-2}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_{2n}} \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_3^{n-2}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_{2n}} \end{pmatrix} \nonumber \\ \nonumber &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det \begin{pmatrix} \sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}} & \dots & \sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}} \\ \dots & \dots & \dots \\ \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}} & \dots & \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}} \end{pmatrix} \\ &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det ( {\mathscr A}_n\times {\mathscr L}_{\varepsilon,n}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{81}
где (n\times (2n-1))-матрица {\mathscr A}_n и ((2n-1)\times n)-матрица {\mathscr L}_{\varepsilon,n} определяются соответственно равенствами
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathscr A}_n:=\begin{pmatrix} a_{n-1} & \dots & a_{2n-2} & 0 & \dots & 0\\ a_{n-2} & \dots & a_{2n-3} & a_{2n-2} & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{0} & \dots & a_{n-1} & a_{n} & \dots & a_{2n-2}\end{pmatrix}, \\ {\mathscr L}_{\varepsilon,n}:=\begin{pmatrix} S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}} & \dots & S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}}\\ \dots & \dots & \dots \\ S_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}}^{2n-2} & \dots & S_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}}^{2n-2} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Дадим пояснения к этой цепочке равенств. Во втором равенстве мы вычли из (n+j)-й строки определителя при j=1,\dots,n-1 линейные комбинации первых n строк с соответствующими коэффициентами и переобозначили индексы суммирования. В третьем равенстве мы вычли из (n+j)-й строки определителя при j=1,\dots,n его n-ю строку, умноженную на \varepsilon_1\sum_{k=0}^{n-2+j}a_{k+n-j}\varepsilon_{1}^{k} , затем вычли при j=n,\dots,2 из j-й строки (j-1)-ю строку, умноженную на \varepsilon_1, и разложили полученный определитель по первому столбцу (все элементы которого, за исключением единичного первого элемента, равны нулю). В четвертом равенстве мы учли равенство \varepsilon_j^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1} =(\varepsilon_j-\varepsilon_1)S_{\varepsilon_1,\varepsilon_j}^{k}, вынесли при j=2,\dots,2n множители (\varepsilon_j-\varepsilon_1), стоящие в (j-1)-м столбце, за знак определителя и воспользовались формулой (49). В пятом равенстве мы вычли при j=1,\dots,n из (n-1+j)-й строки определителя его (n-1)-ю строку, умноженную на \varepsilon_{2}\sum_{k=0}^{n-2+j}a_{k+n-j}S_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}^{k} , вычли при j=n-1,\dots,2 из j-й строки (j-1)-ю строку, умноженную на \varepsilon_2, разложили полученный определитель по первому столбцу и, учитывая равенство \varepsilon_jS_{\varepsilon_1,\varepsilon_j}^{k}-\varepsilon_2S_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}^{k}=(\varepsilon_j-\varepsilon_2)S_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_j}^k (см. (80) при m=1, p=1, j=3,\dots,2n), вынесли множители (\varepsilon_j-\varepsilon_2), j=3,\dots,2n, за знак определителя. Затем, повторяя вышеприведенные рассуждения с использованием (80) при m=1, p=2,\dots,n-1, j=p+2,\dots,2n, продолжили цепочку равенств.
Элементарными преобразованиями столбцов (которые обычно используются при вычислении определителей Вандермонда) преобразуем матрицу {\mathscr L}_{\varepsilon,n} в матрицу \widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n} следующим образом. При j=2,\dots,n вычтем из j-го столбца матрицы {\mathscr L}_{\varepsilon,n} ее первый столбец и учтем равенства S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+j}}-S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}}=0,
\begin{equation*}
S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+j}}-S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}}=(\varepsilon_{n+j}-\varepsilon_{n+1})S_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1},\varepsilon_{n+j}}^{k-1}, \qquad k=1,2,\dots
\end{equation*}
\notag
(см. (80) при m=0, p=n, j=n+2,\dots,2n). Затем при j=3,\dots,n вычтем из j-го столбца преобразованной матрицы ее второй столбец, умноженный на (\varepsilon_{n+j}-\varepsilon_{n+1})/(\varepsilon_{n+2}-\varepsilon_{n+1}), и учтем равенство (80) при m=0, p=n+1, j=n+3,\dots,2n. Продолжая действовать аналогичным образом, в результате получим матрицу
\begin{equation*}
\widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}=\begin{pmatrix} S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & 0 & 0 & \dots & 0\\ S^{1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & {\mathscr V}_{n,2}S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+2}} & 0 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ S^{n-1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & {\mathscr V}_{n,2}S^{n-2}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+2}} & {\mathscr V}_{n,3}S^{n-3}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+3}} & \dots & {\mathscr V}_{n,n}S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ S^{2n-2}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & {\mathscr V}_{n,2}S^{2n-3}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+2}} & {\mathscr V}_{n,3}S^{2n-4}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+3}} & \dots & {\mathscr V}_{n,n}S^{n-1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
{\mathscr V}_{n,j}:=\prod_{k=1}^{j-1}(\varepsilon_{n+j}-\varepsilon_{n+k}), \qquad j=2,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Так как S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+j}}=1 и
\begin{equation}
S^{k}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+j}}=\varepsilon^kS^{k}_{e_1,\dots,e_{n+j}}=O(\varepsilon^k) \quad \text{при }\ \varepsilon\to 0, \quad j=1,\dots,n, \quad k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{82}
то
\begin{equation*}
\widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ O(\varepsilon ) & {\mathscr V}_{n,2} & 0 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ O(\varepsilon^{n-1}) & {\mathscr V}_{n,2}O(\varepsilon^{n-2}) & {\mathscr V}_{n,3}O(\varepsilon^{n-3}) & \dots & {\mathscr V}_{n,n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ O(\varepsilon^{2n-2}) & {\mathscr V}_{n,2}O(\varepsilon^{2n-3}) & {\mathscr V}_{n,3}O(\varepsilon^{2n-4}) & \dots & {\mathscr V}_{n,n}O(\varepsilon^{n-1}) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Учитывая, что после произведенных элементарных преобразований {\mathscr L}_{\varepsilon,n} определитель матрицы {\mathscr A}_n\times {\mathscr L}_{\varepsilon,n} не изменится и что в силу формулы(49) \prod_{j=2}^n{\mathscr V}_{n,j}= V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}}, из явного вида {\mathscr A}_n и \widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n} получаем равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\det ( {\mathscr A}_n\times {\mathscr L}_{\varepsilon,n})=\det ( {\mathscr A}_n\times \widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}) =\bigl(\det (a_{n-1+j-k})_{j,k=0,\dots,n-1} +O(\varepsilon ) \bigr)\prod_{j=2}^n{\mathscr V}_{n,j} \\ &\qquad =\bigl((-1)^{(n-1)n/2}\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} +O(\varepsilon )\bigr) V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{83}
С целью рассмотрения ниже общего случая с наличием в E_n кратных точек отметим здесь, что из первого появления O(\varepsilon) в (82) и последующих выкладок видно, что величина O(\varepsilon), фигурирующая в правой части равенства (83), по модулю не превосходит C_1\varepsilon, где зависящая от точек e_1,\dots,e_n и коэффициентов a_0,\dots,a_{2n-2} положительная постоянная C_1=C_1(e_1,\dots,e_n;a_0,\dots,a_{2n-2}) такова, что
\begin{equation}
C_2=\sup_{\{ \delta_1\leqslant |e_1|/2,\dots,\delta_n\leqslant |e_n|/2\} }C_1(e_{1}+\delta_1,\dots,e_{n}+\delta_n;a_0,\dots,a_{2n-2})<\infty.
\end{equation}
\tag{84}
Учитывая определение (22) величины M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n;f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]} для левой части (81) и равенство (83) для правой части (81), перепишем равенство (81) в следующем виде:
\begin{equation}
i^{-n}M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n;f_{2n-2}[\varepsilon E_{n} ]}=i^{(n-1)n}V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}\bigl(\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} +O(\varepsilon)\bigr).
\end{equation}
\tag{85}
Из обозначений (79), формулы (49) и определения (35) постоянной C_{E_n} следует, что
\begin{equation*}
V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}=\varepsilon^{n(2n-1)}V_{e_1,\dots,e_n,\overline{e}_1,\dots,\overline{e}_n} =\varepsilon^{n(2n-1)}i^{-n^2}C_{E_n}|V_{E_n}|^2.
\end{equation*}
\notag
Поэтому (85) совпадает с равенством
\begin{equation}
M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n;f_{2n-2}[\varepsilon E_{n} ]}=\varepsilon^{n(2n-1)}C_{E_n}|V_{E_n}|^2\bigl(\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1}+O(\varepsilon)\bigr),
\end{equation}
\tag{86}
эквивалентным равенству (38).
В общем случае при наличии кратных точек у множества E_n введем в рассмотрение множества
\begin{equation*}
E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}:=\{ e_1+\delta_1,\dots,e_n+\delta_n \}\,,\qquad \, \varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}=\{ \varepsilon (e_1+\delta_1),\dots,\varepsilon (e_1+\delta_1)\},
\end{equation*}
\notag
где сколь угодно малые \delta_1,\dots,\delta_n таковы, что множества E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n} состоят из попарно различных точек, лежащих в \mathbb H. Учитывая (84), равенство (86) применительно к множествам E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n} может быть записано в виде неравенства
\begin{equation}
\biggl|\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{\varepsilon^{n(2n-1)}C_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2}-\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} \biggr|\leqslant C_2\varepsilon,
\end{equation}
\tag{87}
где при достаточно малых \delta_1,\dots,\delta_n постоянная C_2<\infty не зависит от \delta_1,\dots,\delta_n.
Из равенства |{\det A_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}}|^2=\varepsilon^{(n-1)n}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2 (см. (24)) и определения (39) получаем, что
\begin{equation*}
\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{\varepsilon^{(n-1)n}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2} =\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{|{\det A_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}}|^2}= \breve {M}_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда по лемме 4 с учетом (39) имеем равенство
\begin{equation}
\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0}\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{\varepsilon^{(n-1)n}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2}=\breve {M}_{\varepsilon E_{n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}=\frac{M_{\varepsilon E_{n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}}{|{\det A_{\varepsilon E_{n}}}|^2} .
\end{equation}
\tag{88}
Кроме того, непосредственно из определения (35) следует, что
\begin{equation}
\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0}C_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}=C_{E_n}.
\end{equation}
\tag{89}
Переходя в (87) к пределу при \delta_k\to 0, k=1,\dots,n, и учитывая (88) и (89), получаем неравенство
\begin{equation*}
\biggl|\frac{M_{\varepsilon E_{n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}}{\varepsilon^{n^2}C_{E_{n}}|{\det A_{\varepsilon E_{n}}}|^2}-\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} \biggr|\leqslant C_2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
из которого следует (37) в общем случае. Таким образом, лемма 3 доказана. Автор благодарит рецензента статьи за прочтение рукописи и сделанные ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|