Вик. С. Куликов, “Жесткие ростки конечных морфизмов гладких поверхностей и рациональные пары Белого”, Матем. сб., 212:9 (2021), 119–145; Vik. S. Kulikov, “Rigid germs of finite morphisms of smooth surfaces and rational Belyi pairs”, Sb. Math., 212:9 (2021), 1304

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Arrows.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 9, страницы 119–145
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9455 (Mi sm9455)

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Жесткие ростки конечных морфизмов гладких поверхностей и рациональные пары Белого

Вик. С. Куликов

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва

PDF полного текста (751 kB) PDF английской версии (715 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9455

Аннотация: В статье автора “О жестких ростках конечных морфизмов гладких поверхностей” (Матем. сб., 211:10 (2020), 3–31) было определено отображение

$\beta\colon \mathcal R\to\mathcal{B}el$ из множества

$\mathcal R$ классов эквивалентности жестких ростков конечных морфизмов, разветвленных в ростках кривых, имеющих

$ADE$ типы сингулярности, в множество

$\mathcal{B}el$ рациональных пар Белого

$f\colon \mathbb P^1\to\mathbb P^1$ , рассматриваемых с точностью до действия группы

$\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$ . В настоящей статье исследуются прообразы этого отображения в терминах монодромий пар Белого.
Библиография: 7 названий.

Ключевые слова: жесткие ростки конечных накрытий, пары Белого.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	19-11-00237
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00237).

Поступила в редакцию: 28.05.2020

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages 1304–1328
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9455

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 515.172.7

MSC: 14B05

Введение

В настоящей статье мы продолжаем исследование свойств ростков $F$ : $(U,o')\to (V,o)$ конечных морфизмов гладких поверхностей (далее, для краткости, ростков накрытий), начатое в [3], [4]. В [3] было введено понятие деформационной эквивалентности ростков накрытий. Росток накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$ является жестким, если любой деформационно эквивалентный ростку $F$ росток накрытия $F_1\colon (U_1,o'_1)\to (V,o)$ эквивалентен ему, т.е., коротко говоря, накрытия $F$ и $F_1$ отличаются друг от друга на замену координат в $(U,o')$ и $(V,o)$ . В [4] было доказано, что если росток $(B,o)\subset (V,o)$ кривой ветвления ростка накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$ имеет один из $ADE$ типов сингулярности, то $F$ является жестким ростком.

Обозначим через $\mathcal R=(\bigcup_{n\geqslant 1}\mathcal R_{\mathbf A_n})\,{\cup}\, (\bigcup_{n\geqslant 4}\mathcal R_{\mathbf D_n})\,{\cup}\, (\bigcup_{n\in\{6,7,8\}}\mathcal R_{\mathbf E_n})$ множество жестких ростков накрытий, разветвленных в ростках кривых, имеющих соответственно типы сингулярности $\mathbf A_n$ , $n\geqslant 1$ , $\mathbf D_n$ , $n\geqslant 4$ , и $\mathbf E_6$ , $\mathbf E_7$ , $\mathbf E_8$ .

Росток накрытия $F$ степени $\deg F=d$ определяет гомоморфизм $F_*$ : $\pi_1(V\setminus B,p)\to \mathbb S_d$ (монодромию ростка $F$ ), где $\mathbb S_d$ – симметрическая группа, действующая на слое $F^{-1}(p)$ . Группа $G_F=\operatorname{im} F_*\subset \mathbb S_d$ называется (локальной) группой монодромии ростка $F$ . Отметим, что $G_F$ является транзитивной подгруппой группы $\mathbb S_d$ . Согласно теореме Грауэрта–Реммерта–Римана–Штейна (см. [7]) гомоморфизм монодромии $F_*$ определяет накрытие $F$ однозначно с точностью до эквивалентности.

Обозначим через $\mathcal{B}el$ множество рациональных пар Белого, рассматриваемых с точностью до действия группы $\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$ на проективной прямой $\mathbb P^1$ . Накрытие $f\colon \mathbb P^1\to\mathbb P^1$ , определенное над алгебраическим замыканием $\overline{\mathbb Q}$ поля рациональных чисел $\mathbb Q$ , называется парой Белого, если оно разветвлено не более чем над тремя точками, $\mathcal{B}el=\mathcal{B}el_{2}\cup \mathcal{B}el_3$ , где $\mathcal{B}el_{2}$ – множество пар Белого, разветвленных не более чем над двумя точками, а пары Белого $f\in \mathcal{B}el_3$ разветвлены над тремя точками. В дальнейшем мы будем предполагать, что $f\in \mathcal{B}el_{2}$ в неоднородных координатах задаются функциями $z=x^n$ , $n\geqslant 1$ , и множество их точек ветвления (внизу) – это $B_f=\{ 0,\infty\}$ (если $n\geqslant 2$ ), а множество точек ветвления (внизу) накрытия $f\in \mathcal{B}el_{3}$ – это $B_f=\{ 0,1,\infty\}$ .

В [4] было определено отображение $\beta\colon \mathcal R\to\mathcal{B}el$ , а именно, пусть $F\colon (U,o')\to (V,o)$ – росток накрытия, разветвленный в ростке кривой $(B,o)\subset (V,o)$ , имеющем один из $ADE$ типов сингулярности, и пусть $\sigma\colon \widetilde V\to V$ – минимальная последовательность $\sigma$ -процессов с центрами в точках такая, что $\sigma^{-1}(B)$ является дивизором с нормальными пересечениями (но если тип сингулярности ростка $B$ – это $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$ , то $\sigma$ состоит из единственного $\sigma$ -процесса с центром в точке $o$ ). Обозначим через $E\subset \widetilde V$ исключительную кривую последнего $\sigma$ -процесса и через $\widetilde F\colon \widetilde U\to \widetilde V$ и $\tau\colon \widetilde U\to U$ – два естественных голоморфных отображения из нормализации расслоенного произведения $\widetilde U=U\times_V \widetilde V$ голоморфных отображений $F\colon (U,o')\to (V,o)$ и $\sigma\colon \widetilde V\to (V,o)$ . Легко показать, что $C=\widetilde F^{-1}(E)$ является неприводимой рациональной кривой и ограничение $f=\widetilde F_{\mid C}\colon C\to E$ отображения $\widetilde F$ на $C$ разветвлено не более чем в трех точках. По определению отображение $\beta$ отображает росток $F\in \mathcal R$ в пару Белого $f\in \mathcal{B}el$ ,

Аналогично двумерному случаю накрытие $f\in\mathcal{B}el$ определяет гомоморфизм $f_*\colon \pi_1(\mathbb P^1\setminus B_f,p) \to \mathbb S_n$ (монодромию накрытия $f$ ), где $n=\deg f$ . Образ $G_f=\operatorname{im} f_*\subset \mathbb S_n$ называется группой монодромии накрытия $f$ . Если $f\in\mathcal{B}el_{2}$ , то $G_f= \mu_n\subset\mathbb S_n$ является циклической группой порядка $n$ .

Группа $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{ 0,1,\infty\},p)$ является свободной группой, порожденной двумя простыми петлями $\gamma_0$ и $\gamma_1$ вокруг точек $0$ и $1$ таких, что петля $\gamma_{\infty}=\gamma_0\gamma_1$ является тривиальным элементом в $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{ 0,1\},p)$ . Для функции $f\in \mathcal{B}el_3$ обозначим через

$\begin{equation*} T_c(f)=\{ c_i=(m_{1,i},\dots ,m_{k_i,i})\}_{m_{1,i}+\dots + m_{k_i,i}=\deg f, \, i\in \{ 0,1,\infty\}} \end{equation*} \notag$

множество цикловых типов перестановок

$f_*(\gamma_i)$ . Тогда согласно формуле Гурвица, связывающей степень накрытия

$f\colon \mathbb P^1\to \mathbb P^1$ и порядки ветвления в критических точках накрытия

$f$ , имеем равенство

$\begin{equation} n+2=k_0+k_1+k_{\infty}. \end{equation} \tag{1}$

Обратно, если транзитивная группа

$G\subset \mathbb S_n$ порождается двумя перестановками

$\sigma_0$ и

$\sigma_1$ такими, что для их цикловых типов и циклового типа перестановки

$\sigma_{\infty}=\sigma_0\sigma_1$ выполнено равенство (1), то существует рациональная пара Белого

$f$ такая, что

$f_*(\gamma_i)=\sigma_i$ .

В [4] было показано, что для $F\in \mathcal R$ накрытия $\widetilde F$ и $F$ могут быть разложены в композиции двух конечных отображений (см. диаграмму (eq*) в п. 2.1), $\widetilde F=\widetilde H_2\circ\widetilde H_1$ и $F=H_2\circ H_1$ , где $\widetilde H_1\colon \widetilde U\to \widetilde W$ и $H_1\colon U\to W$ являются циклическими накрытиями (здесь $\widetilde W$ и $W$ – нормальные поверхности) такими, что $\widetilde H_{1\mid C}\colon C\to \widetilde H_1(C)$ является изоморфизмом, а $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ и $H_2\colon W\to V$ – такие накрытия, что гомоморфизмы монодромий $\widetilde H_{2*}$ и $H_{2*}$ накрытий $\widetilde H_2$ и $H_2$ могут быть отождествлены с гомоморфизмом монодромии $\beta(F)_*$ пары Белого $\beta(F)$ .

В § 2 (см. теорему 4) дано описание пересечения $\mathcal R_T\cap\beta^{-1}(f)$ для всех рациональных пар Белого $f\in \mathcal{B}el$ и ростков накрытий $\mathcal R_T\subset \mathcal R$ в терминах гомоморфизма монодромии $f_*$ . В частности, в § 3 доказана следующая

Теорема 1. Пусть $f\in \mathcal{B}el$ , $\deg f=n>1$ и $B_f\subset \{0,1,\infty\}$ , задано двумя взаимно простыми однородными от переменных $x_1,x_2$ формами $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_1,x_2)$ ,

$\begin{equation*} f\colon (x_1:x_2)\mapsto (h_1(x_1,x_2):h_2(x_2,x_2)), \end{equation*} \notag$

и пусть

$p_1=(0,1)$ и

$p_2=(1,0)$ – две точки такие, что

$\{ f(p_1), f(p_2)\}\cup B_f=\{ 0,1,\infty\}$ . Тогда росток накрытия

$F\colon (U,o')\to (V,o)$ , заданный функциями

$\begin{equation} u=h_1(z^{m_1},w^{m_2}), \qquad v=h_2(z^{m_1},w^{m_2}), \end{equation} \tag{2}$

принадлежит множеству

$\mathcal R_{\mathbf D_4}$ , где

$m_1, m_2\in \mathbb N$ такие, что

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ , и где

$m_1>1$ и

$f(p_1)=1$ , если

$f\in\mathcal{B}el_2$ .

Обратно, любой росток накрытия $F\in\mathcal R_{\mathbf D_4}$ эквивалентен ростку, заданному функциями вида (2), и его образ $\beta(F)$ – это рациональное отображение $f\colon (x_1,x_2)\mapsto (h(x_1,x_2):h_2(x_2,x_2))$ .

Полное описание множеств $\mathcal R_T\,{\cap}\,\beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ содержится в следующей теореме.

Теорема 2. Если $F\in \bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\bigr)\cup\mathcal R_{\mathbf E_6}\cup\mathcal R_{\mathbf E_8}$ , то $\beta(F)\in\mathcal{B}el_3$ .

Если $\beta(F)=f\in\mathcal{B}el_2$ , $\deg f=n$ , для $F\in \mathcal R\setminus\bigl(\bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\bigr)\cup\mathcal R_{\mathbf E_6}\cup\mathcal R_{\mathbf E_8}\bigr)$ , то $F$ эквивалентен одному из следующих накрытий:

$F\in \mathcal R_{\mathbf A_0}\colon \quad u=z^m$ , $v=w$ , где $m\geqslant 1$ , $n= 1$ ;

$F\in \mathcal R_{\mathbf A_1}\colon \quad u=z^{nm_1}$ , $v=w^{nm_2}$ , где $n\geqslant 1$ , $m_1\geqslant m_2\geqslant 1$ ;

$F\in \mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$ , $k\geqslant 1\colon \quad u=(z^m+w^{m_0})^n$ , $v=w$ , где $n,m,m_0>1$ , $k+1=nm_0$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$ , $k\geqslant 1\colon \quad u=z^{nm_1}$ , $v=z^{m_1}+w^{m_2}$ , где $m_1\geqslant 1$ , $n,m_2>1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$ , $k\geqslant 1\colon \quad u=(\omega_jz^{m_1}-w^{m_2})^n$ , $v=z^{m_1}-w^{m_2}$ , где $n, m_1,m_2>1$ , $\omega_j=\exp(2\pi j i/n)$ , $1\geqslant j\geqslant n-1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}$ , $k\geqslant 1\colon \quad u=z^{2m_1}$ , $v=z^{m_1(2k+1)}+w^{m_2}$ , где $m_1\geqslant 1$ , $m_2>1$ , $n=2$ , $\operatorname{\textrm{НОД}}(2k+1,m_2)=1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$ , $k\geqslant 2\colon \quad u=z^{n_1m_1}$ , $v=(z^{m_1k_2}+w^{m_2})^{n}$ , где $k=k_1k_2$ , $n=n_1k_1\,{\geqslant}\, 2$ , $m_1,m_2\geqslant 1$ , $\operatorname{\textrm{НОД}}(nm_2,k_2)=1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$ , $k\geqslant 2\colon \quad u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}$ , $v=z^{m_1n}$ , где $n=n_1k\geqslant 1$ , $m_1,m_2\geqslant 1$ ;

$F\in \mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$ , $k\geqslant 2\colon \quad u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}$ , $v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^{n}$ , где $n=n_1k\geqslant 2$ , $m_1,m_2\geqslant 1$ , $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$ , $j=1,\dots, n-1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf D_{4}}\colon \quad u=z^{m_1n}$ , $v=(z^{m_1}+w^{m_2})^n$ , где $n\geqslant 2$ , $m_1$ , $m_2\geqslant 1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf D_{4}}\colon \quad u=(z^{m_1}-w^{m_2})^n$ , $v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^n$ , где $n\geqslant 2$ , $m_1$ , $m_2\geqslant 1$ , $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$ , $1\leqslant j\leqslant n-1$ ;

$F\in\mathcal R_{\mathbf E_{7}}\colon \quad u=z^{3m_1}$ , $v=z^{2m_1}+w^{m_2}$ , где $m_1\geqslant 1$ , $m_2>1$ .

Во всех случаях $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ .

Доказательство теоремы 2 приведено в § 4.

§ 1. Предварительные результаты

1.1. О фундаментальных группах

Обозначим через $(X,o)$ росток нормальной поверхности и через $(B,o)=\bigcup_{j=1}^m B_j$ – объединение $m\geqslant 0$ неприводимых ростков кривых $(B_j,o)\subset (X,o)$ . Пусть $\sigma\colon \widetilde X\to (X,o)$ – минимальное разрешение особенностей пары $(X,B,o)$ , т.е. $\widetilde X$ является гладкой поверхностью и $\widetilde B=\sigma^{-1}(B)$ – дивизор с нормальными пересечениями, в котором каждая $(-1)$ -кривая пересекает по крайней мере три неприводимых компоненты кривой $\sigma^{-1}(B)$ . Ниже мы будем предполагать, что $\sigma^{-1}(o)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ является объединением рациональных кривых и двойственный граф прообраза $\sigma^{-1}(o)$ является деревом. Кроме того, если это не приводит к недоразумению, собственные прообразы $\sigma^{-1}(B_j)$ неприводимых ростков $B_j$ кривой $(B,o)$ будут обозначаться той же буквой $B_j$ .

Двойственный взвешенный граф $\Gamma(\widetilde B)$ кривой $\widetilde B$ является деревом, имеющим $m+k$ вершин $v_j$ . Вершины $v_j$ , $j=1,\dots, m$ , соответствуют росткам кривых $B_j$ и их веса – это $w_j=0$ , вершины $v_{m+j}$ , $j=1,\dots, k$ , соответствуют кривым $E_{j}$ и их веса $w_{m+j}\,{=}\,{-}(E_{j}^2)_{\widetilde X}$ . Для каждой пары вершин $v_i$ и $v_j$ графа $\Gamma(\widetilde B)$ определим

$\begin{equation*} \delta_{i,j}=\begin{cases} 1, & \text{если }v_i\text{ и }v_j\text{ соединены ребром в }\Gamma(\widetilde B), \\ 0, & \text{если }v_i\text{ и }v_j\text{ не соединены ребром в }\Gamma(\widetilde B), \\ 0, & \text{если }i=j. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Приведенная ниже теорема 3 позволяет задавать копредставление фундаментальной группы $\pi_1(\widetilde X\setminus \widetilde B)$ в терминах графа $\Gamma(\widetilde B)$ . Доказательство этой теоремы совпадает практически дословно с доказательством аналогичного утверждения в [6] (см. также [4]) и поэтому будет опущено.

Теорема 3. Элементы $b_1,\dots, b_m$ , находящиеся во взаимно однозначном соответствии с вершинами $v_1,\dots, v_m$ , и элементы $e_{m+1},\dots, e_{m+k}$ , находящиеся во взаимно однозначном соответствии с вершинами $v_{m+1},\dots ,v_{m+k}$ графа $\Gamma(\widetilde B)$ , порождают группу $\pi_1(\widetilde X\setminus \widetilde B)$ и связаны в ней следующими определяющими соотношениями:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, e_{m+i}^{-w_{m+i}}\cdot b_1^{\delta_{1,m+i}}\dotsb b_m^{\delta_{m,m+i}}\cdot e_{m+1}^{\delta_{m+i,m+1}}\dotsb e_{m+k}^{\delta_{m+i,m+k}}=1 \quad\textit{для }\ i =1,\dots, k, \\ \begin{alignedat}{3} &[b_j, e_{m+i}] =1, &\quad &\textit{если }\ \delta_{j,m+i}=1, \\ &[e_{m+i_1}, e_{m+i_2}] =1, &\quad &\textit{если }\ \delta_{m+i_1,m+i_2}=1. \end{alignedat} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Замечание 1. Порождающие элементы $b_1,\dots, b_m$ и $e_{m+1},\dots, e_{m+k}$ фундаментальной группы $\pi_1(\widetilde X\setminus \widetilde B)$ в теореме 3 представлены простыми петлями вокруг соответствующих им кривым (см. [4]).

Следующая лемма является хорошо известной (см., например, [5]).

Лемма 1. Пусть $(Y,o)$ – росток гладкой поверхности, $\sigma\colon X\to (Y,o)$ – это $\sigma$ -процесс с центром в точке $o$ , $(C_1,o)$ и $(C_2,o)$ – два гладких ростка кривых в $(Y,o)$ , пересекающихся трансверсально в точке $o$ . Тогда $\gamma_E=\gamma_1\gamma_2$ в группе

$\begin{equation*} \pi_1(Y\setminus (C_1\cup C_2))\simeq \pi_1(X\setminus \sigma^{-1}(C_1\cup C_2)), \end{equation*} \notag$

где

$\gamma_E$ – элемент в

$\pi_1(X\setminus \sigma^{-1}(C_1\cup C_2))$ , представленный простой петлей вокруг исключительной кривой

$E=\sigma^{-1}(o)$ , а

$\gamma_j$ ,

$j=1,2$ , – элементы, представленные простыми петлями вокруг

$C_j$ .

1.2. Графы разрешения особенностей $ADE$ типов сингулярности

Напомним, что уравнения ростков кривых $(B,o)$ , имеющих особенности одного из $ADE$ типов сингулярности (см. [1]), – это:

$\mathbf A_n\colon \quad u^2-v^{n+1}=0$ , $n\geqslant 0$ ;

$\mathbf D_n\colon \quad v(u^2-v^{n-2})=0$ , $n\geqslant 4$ ;

$\mathbf E_6\colon \quad u^3-v^4=0$ ;

$\mathbf E_7\colon \quad u(u^2-v^3)=0$ ;

$\mathbf E_8\colon \quad u^3-v^5=0$ .

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf A_{2k+1}$ , $k\geqslant 0$ , изображен на рис. 1 (если $k=0$ , то вес вершины $e_3$ равен $-1$ ).

Рис. 1.

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf A_{2k}$ , $k\geqslant 1$ , изображен на рис. 2.

Рис. 2.

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf D_{2k+2}$ , $k\geqslant 1$ , изображен на рис. 3.

Рис. 3.

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf D_{2k+3}$ , $k\geqslant 1$ , изображен на рис. 4.

Рис. 4.

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf E_{6}$ , изображен на рис. 5.

Рис. 5.

Рис. 6.

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf E_{7}$ , изображен на рис. 6.

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющий тип сингулярности $\mathbf E_{8}$ , изображен на рис. 7.

Рис. 7.

Замечание 2. Отметим, что во всех графах $\Gamma(\widetilde B)$ ростков кривых $(B,o)$ , имеющих один из $ADE$ типов сингулярности (за исключением типов сингулярности $\mathbf A_0$ и $\mathbf A_1$ ), существует единственная вершина $e$ валентности 3 (обозначим соответствующую ей кривую через $E$ ), и эта вершина имеет вес $w=-1$ .

Предложение 1 (см. [4; следствие 1]). Пусть $(B,o)$ – росток кривой, имеющий один из $ADE$ типов сингулярности, $E\subset \sigma^{-1}(o)\subset \widetilde V$ – исключительная кривая последнего раздутия в последовательности раздутий $\sigma\colon \widetilde V\to V$ , разрешающих особую точку ростка $(B,o)$ , и $e$ – элемент в $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$ , представленный простой петлей вокруг $E$ . Тогда $e$ принадлежит центру группы $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o):= \pi_1(V\setminus B)\simeq \pi_1(\widetilde V\setminus \widetilde B)$ .

Предложение 2 (см. [4; предложение 1]). Пусть $(B,o)$ – росток кривой, имеющий один из $ADE$ типов сингулярности. Если тип сингулярности ростка $(B,o)$ не $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$ , то группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$ порождается элементом $e$ и элементами $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ , соответствующими вершинам графа $\Gamma(\widetilde B)$ , соединенным ребром с вершиной $e$ (если тип сингулярности ростка $(B,o)$ – это $\mathbf A_1$ , то группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$ порождается элементами $b_1$ , $b_2$ и $e$ ).

Ниже, если тип сингулярности ростка $(B,o)$ – это $\mathbf A_{2n+1}$ или $\mathbf D_{2n+2}$ , то мы будем отождествлять элемент $\gamma_1$ с $e_{n+2}$ (см. рис. 1 и рис. 3); если тип сингулярности – это $\mathbf A_{2n}$ , то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{n+1}$ и $\gamma_2$ с $e_{n+3}$ (см. рис. 2); если тип сингулярности – это $\mathbf D_{2n+3}$ , то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{n+2}$ и $\gamma_2$ с $e_{n+4}$ (см. рис. 4); если тип сингулярности – это $\mathbf E_{6}$ , то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{2}$ и $\gamma_2$ с $e_{4}$ (см. рис. 5); если тип сингулярности – это $\mathbf E_{7}$ , то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{5}$ и $\gamma_2$ с $e_{3}$ (см. рис. 6); и если тип сингулярности – это $\mathbf E_{8}$ , то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{5}$ и $\gamma_2$ с $e_{3}$ (см. рис. 7).

Пусть $\overline{\widetilde B\setminus E}$ – замыкание кривой $\widetilde B\setminus E$ в $\widetilde V$ .

Определение 1. Если тип сингулярности ростка кривой $(B,o)$ не $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$ , то $\overline{\widetilde B\setminus E}$ является несвязным объединением трех цепей кривых, которые мы будем называть хвостами кривой $\widetilde B$ . Обозначим через $\widetilde B_j$ , $j=1,2,3$ , хвост, содержащий кривую, для которой элемент $\gamma_j$ представлен петлей вокруг этой кривой. Хвост является исключительным (соответственно полностью исключительным), если он содержит исключительную кривую, т.е. кривую, стягиваемую отображением $\sigma$ (соответственно содержит только исключительные кривые).

Обозначим через $Z_e$ подгруппу группы $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$ , порожденную элементом $e$ . Вложение $i_1\colon \widetilde V\setminus \widetilde B\hookrightarrow \widetilde V\setminus (\widetilde B_1\,{\cup}\,\widetilde B_2\,{\cup}\,\widetilde B_3)$ индуцирует эпиморфизм $i_{1*}$ : $\pi_1(\widetilde V\setminus \widetilde B)\to \pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3))$ , ядро которого – это $Z_e$ . Из теоремы 3 следует, что $e=\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ и

$\begin{equation} \pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3))\simeq (\langle \widetilde{\gamma}_1\rangle * \langle \widetilde{\gamma}_2\rangle * \langle \widetilde{\gamma}_3\rangle) / \langle \widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2\widetilde{\gamma}_3\rangle \end{equation} \tag{3}$

является факторгруппой свободного произведения трех циклических групп

$\langle \widetilde{\gamma}_j\rangle$ ,

$j=1,2,3$ , по нормальному замыканию

$(\langle \widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2\widetilde{\gamma}_3\rangle)$ циклической группы, порожденной произведением

$\widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2\widetilde{\gamma}_3$ , где

$\widetilde{\gamma}_j=i_{1*}(\gamma_j)$ . Из теоремы 3 следует, что группа

$\langle \widetilde{\gamma}_j\rangle$ является конечной тогда и только тогда, когда

$\widetilde B_j$ является полностью исключительным хвостом.

Легко видеть, что вложение $i_2\colon E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3)\hookrightarrow \widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3)$ индуцирует эпиморфизм

$\begin{equation} i_{2*}\colon \pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)\to \pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p) \end{equation} \tag{4}$

(здесь мы предполагаем, что

$p\in E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3)$ ).

Замечание 3. Отметим, что если тип сингулярности ростка кривой $(B,o)$ – это $\mathbf D_4$ , то $i_{2*}$ является изоморфизмом. Поэтому в этом случае мы будем отождествлять группы $\pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ и $\pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ .

Пусть $P_j=E \cap \widetilde B_j$ , и обозначим через $\overline{\gamma}_j\in \pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ петлю вокруг $P_j$ такую, что $i_{2*}(\overline{\gamma}_j)=\widetilde{\gamma}_j$ .

Определение 2. Если $\widetilde B_j$ – исключительный хвост, то через $\widetilde B^0_j$ будем обозначать объединение исключительных кривых, содержащихся в $\widetilde B_j$ , и положим $\widetilde{\pi}_j:=\pi_1(N_T\setminus \widetilde B_j)$ и $\widetilde{\pi}_j^0:=\pi_1(N_T\setminus \widetilde B^0_j)$ , где $N_T$ – достаточно малая трубчатая окрестность кривой $\widetilde B_j$ .

Замечание 4. Из теоремы 3 следует, что $\widetilde{\pi}_j$ и $\widetilde{\pi}_j^0$ являются циклическими группами.

1.3. Циклические факторповерхности

Пусть циклическая группа $\mu_m\simeq\mathbb Z_m$ порядка $m$ действует на ростке гладкой поверхности $(U,o')$ . Обозначим через $(W,o_1)=(U,o')/\mu_m$ факторповерхность и через $\xi\colon (U,o')\to (W,o_1)$ факторотображение. Согласно лемме Картана мы можем предполагать, что росток $(U,o')$ биголоморфен шару $\mathbb B_2\,{=}\,\{ (u_1,u_2)\,{\in}\, \mathbb C^2\mid |u_1|^2\,{+}\,|u_2|^2\,{<}\,1\}$ и порождающий элемент $g$ группы $\mu_m$ действует по правилу

$\begin{equation*} g\colon (u_1,u_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi p_1i}{m}\biggr)u_1, \exp\biggl(\frac{2\pi p_2i}{m}\biggr)u_2\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$p_j$ ,

$j=1,2$ , – это некоторые целые числа,

$1\leqslant p_j\leqslant m$ ,

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m,p_1,p_2)=1$ . Пусть

$m=m_1m_2m_0$ ,

$p_1=m_1t_1s$ ,

$p_2=m_2t_2s$ , где

$\begin{equation*} \operatorname{\textrm{НОД}}(m_1t_1,m_2t_2)=\operatorname{\textrm{НОД}}(st_1,m_0)=\operatorname{\textrm{НОД}}(st_2,m_0)=1. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, g^{m_1m_0}\colon (u_1,u_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi p_1i}{m_2}\biggr)u_1,u_2\biggr), \\ g^{m_2m_0}\colon (u_1,u_2)\mapsto \biggl(u_1,\exp\biggl(\frac{2\pi p_2i}{m_1}\biggr)u_2\biggr) \end{gathered} \end{equation*} \notag$

и подгруппа

$\mu_{m_1m_2}\subset \mu_m$ , порожденная элементами

$g^{m_1m_0}$ и

$g^{m_2m_0}$ , является циклической группой порядка

$m_1m_2$ . Отображение

$\xi$ может быть разложено в композицию двух отображений,

$\xi=\varphi\circ\vartheta_{m_1,m_2}$ , где

$\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (X,\widetilde o)$ – это факторотображение, определенное действием группы

$\mu_{m_1m_2}$ на

$(U,o')$ , и

$\varphi\colon (X,\widetilde o)\to (W,o_1)$ – факторотображение, определенное действием факторгрупппы

$\mu_m/\mu_{m_1m_2}\simeq \mu_{m_0}$ порядка

$m_0$ на

$(X,\widetilde o)$ .

Легко видеть, что $(X,\widetilde o)$ является ростком гладкой поверхности,

$\begin{equation*} (X,\widetilde o)\simeq \mathbb B_2=\{ (x_1,x_2)\in \mathbb C^2\mid |x_1|^2+|x_2|^2<1\}, \end{equation*} \notag$

и отображение

$\vartheta_{m_1,m_2}$ задается функциями

$x_1=u_1^{m_2}$ ,

$x_2=u_2^{m_1}$ . Образ

$\overline g$ в

$\mu_{m_0}$ порождающего элемента

$g\in\mu_m$ действует на

$(X,\widetilde o)$ по следующему правилу:

$\begin{equation*} \overline g\colon (x_1,x_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi st_1i}{m_0}\biggr)x_1, \exp\biggl(\frac{2\pi st_2i}{m_0}\biggr)x_2\biggr), \end{equation*} \notag$

и существует целое число

$r$ такое, что

$rst_2\equiv 1\ \operatorname{mod} m_0$ и

$rst_1\equiv q\ \operatorname{mod}m_0$ , где

$1\leqslant q<m_0$ , так как

$\operatorname{\textrm{НОД}}(st_j,m_0)=1$ для

$j=1,2$ . Поэтому

$\begin{equation*} \overline g^r\colon (x_1,x_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi qi}{m_0}\biggr)x_1, \exp\biggl(\frac{2\pi i}{m_0}\biggr)x_2\biggr), \end{equation*} \notag$

и легко показать, что

$(W,o_1)$ является нормализацией ростка поверхности в

$\mathbb B_3=\{ (z_1,z_2,z_3)\in \mathbb C^3\mid |z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2<1\}$ , заданной уравнением

$z_3^n=z_1z_2^{m_0-q}$ , где

$z_3=x_1x_2^{m_0-q}$ ,

$z_1=x_1^{m_0}$ и

$z_2=x_2^{m_0}$ , т.е. росток

$(W,o_1)$ имеет особенность Хирцебруха–Юнга

$A_{m_0,q}$ типа.

Отображение $\vartheta_{m_1,m_2}$ разветвлено в $L_1\,{=}\,\{ x_1\,{=}\,0\}$ (если $m_2\,{>}\,0$ ) и $L_2\,{=}\,\{ x_2\,{=}\,0\}$ (если $m_1>0$ ), а $\varphi$ не разветвлено вне точки $o_1$ (далее мы будем обозначать отображение $\varphi$ через $\theta_{m_0,q}$ ). Поэтому $\pi_1(W\setminus o_1)\simeq \mu_{m_0}$ и отображение $\theta_{m_0,q}$ : $X\setminus \widetilde o\to W\setminus o_1$ является неразветвленным универсальным накрытием.

Рис. 8.

Пусть $\tau\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – минимальное разрешение особой точки $o_1\subset W$ . Обозначим через $B_j=\tau^{-1}(\theta_{m_0,q}(L_j))$ , $j=1,2$ , собственный прообраз кривой $\theta_{m_0,q}(L_j)$ , и пусть $\tau^{-1}(o_1)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ . Хорошо известно (см., например, [2; гл. III, § 5]), что $E_j$ – это рациональные кривые и с точностью до перенумерации кривых $E_j$ двойственный взвешенный граф $\Gamma(\widetilde B)$ кривой $\widetilde B=(B_1\cup B_2)\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)$ является цепью, т.е. он имеет вид, как на рис. 8, где веса $\omega_j=-(E_j^2)_{\widetilde W}$ удовлетворяют равенству

$\begin{equation} \frac{m_0}{q}=\omega_1-\frac{1}{\omega_2-\dfrac{1}{\omega_3- \dfrac{1} {\dots -\dfrac{1}{\omega_k}}}}\stackrel{\mathrm{def}}{:=}[w_1;w_2,\dots,w_k]. \end{equation} \tag{5}$

Обратно, если $\tau\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – минимальное разрешение нормальной особенности такое, что $\tau^{-1}(o_1)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ является цепью рациональных кривых (см. рис. 8), то $(W,o_1)$ имеет особенность Хирцебруха–Юнга $A_{m_0,q}$ типа, где $m_0$ и $q$ можно найти, используя равенство (5).

Замечание 5. Представление особенности $(W,o_1)$ типа $A_{m_0,q}$ в виде циклической факторособенности однозначно определяется выбором дивизоров $B_1$ и $B_2$ (см. рис. 8) в $\widetilde W$ (см. [2; гл. III, § 5]).

Отметим, что если мы перенумеруем кривые $E_j$ и их веса $\omega_j$ по правилу $E'_j:=E_{k-j+1}$ и $\omega'_j:=\omega_{k-j+1}$ и подставим новые веса $\omega'_j$ вместо старых $\omega_j$ в правую часть равенства (5), то мы получим дробь ${m_0}/{q'}$ в левой части равенства (5) с $q'$ таким, что $qq'\equiv 1\ \operatorname{mod}m_0$ (см. [2; гл. III, § 5]). В частности, типы сингулярности $A_{m_0,q}$ и $A_{m_0,q'}$ – это один и тот же тип сингулярности.

Замечание 6. В обозначениях, использованных в теореме 3, из теоремы 3 следует, что группа $\pi_1\bigl(\widetilde W\,{\setminus}\, \bigr(B_1\cup B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)\bigr)\bigr)$ порождается элементами $b_1$ и $e_1$ , а группа $\pi_1\bigl(\widetilde W\setminus \bigl( B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)\bigr)\bigr)$ является свободной группой $\mathbb F_1$ , порожденной элементом $e_1$ .

Для особенности $(W,o_1)$ типа $A_{m_0,q}$ имеем

$\begin{equation*} \pi_1(W\setminus \{ o_1\})=\pi_1\biggl(\widetilde W\setminus \biggl(\bigcup_{j=1}^k E_j\biggr)\biggr)\simeq \mu_{m_0}, \end{equation*} \notag$

так как

$\theta_{m_0,q}\colon X\setminus \{\widetilde o\} \to W\setminus \{o_1\}$ является универсальным накрытием.

Лемма 2. Если $[\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_{k}]=[2,\dots,2]$ , $k\geqslant 1$ , то $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{k+1,k}$ и, в частности, $\pi_1(W\setminus \{o_1\})\simeq \mu_{k+1}$ .

Доказательство. Имеем

$\begin{equation} [\,\underbrace{2;2,\dots,2}_{k}\,]=\frac{k+1}{k}. \end{equation} \tag{6}$

Отметим, что типы сингулярности

$\mathbf A_{k}$ и

$A_{k+1,k}$ – это один и тот же тип сингулярности. Лемма доказана.

Лемма 3. Если $[\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_{k+1}]=[n,2,\dots,2]$ , $k\geqslant 0$ , то $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{n(k+1)-k,k+1}$ и, в частности, $\pi_1(W\setminus \{o_1\})\simeq \mu_{n(k+1)-k}$ .

Доказательство. Имеем

$\begin{equation} [\omega_1;\omega_2,\dots,\omega_{k+1}]=\omega_1-\frac{1}{[\omega_2;\dots,\omega_{k+1}]}. \end{equation} \tag{7}$

Поэтому

$[n;2,\dots,2]=n-\dfrac{k}{k+1}=\dfrac{n(k+1)-k}{k+1}$ . Лемма доказана.

Обозначим через $\mathbb D^2_{r_1,r_2}=\{ (y_1,y_2)\in \mathbb C^2\mid |y_1|<r_1, |y_2|< r_2 \}$ бидиск в $\mathbb C^2$ , где $(r_1,r_2)\in \mathbb R_+^2$ , и пусть $L_{y_j}=\{ y_j=0\}\subset \mathbb D^2_{r_1,r_2}$ , $j=1,2$ , – координатные оси в $\mathbb D^2_{r_1,r_2}$ .

Следующая лемма является прямым следствием из теоремы 5.1 в [2; гл. III].

Лемма 4. Пусть $Z$ – это неприводимый росток нормальной поверхности и $\xi\colon Z\to\mathbb D^2_{(r_1,r_2)}(y_1,y_2)$ – циклическое накрытие степени $n$ , разветвленное в $L_{y_1}\cup L_{y_2}$ . Тогда $n=n_1n_2n_3$ для некоторых $n_1\geqslant 1$ , $n_2\geqslant 1$ , $n_3\geqslant 1$ таких, что $\operatorname{\textrm{НОД}}(n_1,n_2)=1$ и $\xi$ разветвлено над $L_j$ с кратностью $n_jn_3$ для $j=1,2$ , и если $n_3>1$ , то тип сингулярности ростка $Z$ над началом координат $(0,0)\in \mathbb D^2_{r_1,r_2}$ – это $A_{n_3,q}$ для некоторого $q$ , $\operatorname{\textrm{НОД}}(n_3,q)=1$ , и $Z$ является ростком гладкой поверхности, если $n_3=1$ .

Пусть росток нормальной поверхности $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{n,q}$ , $\tau\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – минимальное разрешение особой точки $o_1\in W$ , $\tau^{-1}(o_1)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ – цепь рациональных кривых, $(E_j)^2=-\omega_j$ , и пусть $\widetilde B\subset \widetilde W$ – кривая, двойственный граф которой $\Gamma(\widetilde B)$ изображен на рис. 8.

Пусть $m$ – делитель числа $n$ , $n=mk$ . Обозначим через $\varphi_m \colon (X_m,\widetilde o)\to (W,o_1)$ циклическое накрытие степени $m$ , определенное естественным эпиморфизмом $\varphi_{m*}\colon \pi_1(W\setminus \{ o_1\})\simeq \mu_n\twoheadrightarrow \mu_m$ . Накрытие $\varphi_m$ не разветвлено вне точки $\widetilde o$ и $(X_m,\widetilde o)$ является нормальной поверхностью сингулярного типа $A_{k,q'}$ с некоторым $q'$ , если $k>1$ , и $(X_m,\widetilde o)$ – росток гладкой поверхности, если $k=1$ .

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

$(8)$

в которой

$\widetilde X_m$ – это нормализация расслоенного произведения

$\widetilde W\times_{(W,o_1)} (X_m,\widetilde o)$ и

$\varrho\colon \overline X_m\to \widetilde X_m$ – минимальное разрешение особых точек поверхности

$\widetilde X_m$ . Из леммы 4 следует, что

$\widetilde X_m$ может иметь особые точки (и их типы сингулярности – это

$A_{m',q'}$ с некоторыми делителями

$m'$ числа

$m$ ) только над точками пересечения соседних исключительных кривых

$E_j$ и

$E_{j+1}$ отображения

$\tau$ .

Обозначим через $\psi:=\rho\circ\varrho$ композицию отображений $\rho$ и $\varrho$ . Отметим, что $\psi$ является разрешением особой точки $\widetilde o\in X_m$ . и оно раскладывается в композицию двух отображений, $\psi=\varsigma\,{\circ}\,\sigma$ , где $\varsigma\colon \overline X_{m,\min}\to (X_m,\widetilde o)$ является минимальным разрешением особой точки $\widetilde o$ , если $m<n$ , а $\sigma\colon \overline X_m\to \overline X_{m,\min}$ является композицией $\sigma$ -процессов, $\sigma=\sigma_l\circ \dots\circ \sigma_1$ ( $\psi=\sigma$ , если $m=n$ ).

Пусть $\widetilde B=B_1\,{\cup}\, B_2\,{\cup}\,\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)\subset \widetilde W$ – объединение кривых и ростков кривых, двойственный взвешенный граф которого изображен на рис. 8. Обозначим одной и той же буквой $C_j$ собственный прообраз $(\tau\,{\circ}\,\widetilde{\varphi}_m)^{-1}(B_j)$ ростка $B_j$ , $j=1,2$ , и собственные прообразы $(\sigma_l\,{\circ}\,{\cdots}\,{\circ}\,\sigma_{l-s})^{-1}(C_j)$ при $1\leqslant s\leqslant l$ . Обозначим через $\Delta_m(n,q)$ число $\sigma$ -процессов, входящих в множество $\{\sigma_1,\dots,\sigma_{l}\}$ , которые раздувают точки, принадлежащие кривым $C_1$ , и назовем его $m$ -й прибавкой для сингулярного типа $A_{n,q}$ .

Лемма 5. Пусть росток $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{n,n-1}$ , $n\,{=}\,mk$ и $\varphi_m \colon (Z_m,\widetilde o)\to (W,o_1)$ – циклическое накрытие степени $m$ , определенное естественным эпиморфизмом $\varphi_{m*}\colon \pi_1(W\setminus \{ o_1\})\simeq \mu_n\twoheadrightarrow \mu_m$ . Тогда:

(i) сингулярный тип ¹ ростка $(Z_m,\widetilde o)$ – это $A_{k,k-1}$ ;
$\Delta_m(n,n-1)=m-1$ .

Доказательство. Чтобы доказать утверждение (ii), рассмотрим квадрику

$Q=\mathbb P^1\,{\times}\,\mathbb P^1$ , и пусть

$S_1$ ,

$S_2$ – это два слоя проекции

$\operatorname{pr}_2\colon Q\to \mathbb P^1$ на второй множитель, а

$L$ – слой проекции

$\operatorname{pr}_1\colon Q\to \mathbb P^1$ на первый множитель. Рассмотрим диаграмму

$(9)$

в которой:

$1)$ $\varphi_m$ определен эпиморфизмом $\varphi_{m*}\colon \pi_1(Q\setminus (S_1\cup S_2))\simeq \mathbb Z\to\mu_m\subset\mathbb S_m$ ;
$2)$ $\tau=\tau_1\circ\dots\circ\tau_n$ является композицией $n$ раздутий точки $p=S_1\cap L\in S_1$ ;
$3)$ $\widetilde X_m$ – нормализация расслоенного произведения $\widetilde Q\times_Q X_m$ ;
$4)$ $\varrho\colon \overline X_m\to \widetilde X_m$ – минимальное разрешение особых точек поверхности $\widetilde X_m$ .

Обозначим через $E_j\subset \widetilde Q$ , $j=1,\dots,n-1$ , собственный прообраз исключительной кривой раздутия $\tau_j$ , через $B_1\subset \widetilde Q$ – собственный прообраз слоя $L$ и через $B_2\subset \widetilde Q$ – исключительную кривую раздутия $\tau_n$ . Имеем

$\begin{equation*} (B_1^2)_{\widetilde Q}=(B_2^2)_{\widetilde Q}=-1, \qquad (E_j^2)_{\widetilde Q}=-2 \quad\text{для }\ j=1,\dots,n-1; \end{equation*} \notag$

двойственный граф

$\Gamma(\widetilde B)$ кривой

$\widetilde B=B_1\cup B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)$ изображен на рис. 8 (в котором

$\omega_j=-2$ для

$j=1,\dots, n-1$ ). Следовательно, мы можем отождествить

$\widetilde W$ с трубчатой окрестностью кривой

$\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j$ , а

$\widetilde Z_m$ с

$\widetilde{\varphi}^{-1}_m(\widetilde W)$ . Отметим, что двойственный взвешенный граф

$\Gamma\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)$ кривой

$\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j$ является центрально симметричным графом, т.е. для весов

$\omega_j$ вершин

$e_j$ выполнено равенство

$\omega_j=\omega_{n-j}$ .

Очевидно, $X_m\simeq \mathbb P^1\times\mathbb P^1$ , где $\varphi_m^{-1}(S_1)$ , $\varphi_m^{-1}(S_2)$ – это два слоя проекции $\operatorname{pr}_2$ : $X_m\to \mathbb P^1$ на второй множитель, а $\varphi_m^{-1}(L):=F$ – слой проекции $\operatorname{pr}_1\colon X_m\to \mathbb P^1$ на первый множитель.

Фундаментальная группа $\pi_1(Q\setminus (S_1\cup S_2))\simeq \pi_1\bigl(\widetilde Q\setminus \bigl(\tau^{-1}(S_1\cup S_2)\cup B_2\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)\bigr)$ порождается элементом $\gamma$ , представленным простой петлей вокруг кривой $S_1$ . Обозначим через $e_j$ , $j=1,\dots,n-1$ , и через $b_2$ элементы в фундаментальной группе $\pi_1\bigl(\widetilde Q\setminus \bigl(\tau^{-1}(S_1\cup S_2)\cup B_2\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)\bigr)$ , представленные простыми петлями соответственно вокруг кривых $E_j$ и кривой $B_2$ . Из леммы 1 следует, что

$\begin{equation} e_j=\gamma^j \quad\text{для }\ j=1,\dots, n-1 \quad\text{и }\ b_2=\gamma^n. \end{equation} \tag{10}$

Вначале рассмотрим случай, когда $m=n$ . Элемент $g_1=\varphi_{n*}(\gamma)$ порождает группу $\mu_n\subset \mathbb S_n$ и

$\begin{equation} \varphi_{n*}(e_j)=g_1^{j}, \end{equation} \tag{11}$

в частности,

$\varphi_{n*}(e_{n-1})=g_1^{n-1}:=g_2$ также порождает группу

$\mu_n$ и

$\varphi_{n*}(b_2)=g_1^n=\operatorname{id}$ . Следовательно,

$\varphi_n$ не разветвлено в кривой

$B_2$ и

$\widetilde X_n$ является гладкой поверхностью в окрестности кривых

$\varphi_n^{-1}(B_1)$ и

$\varphi_n^{-1}(B_2)$ . Ограничение накрытия

$\widetilde{\varphi}_n$ на

$\widetilde Z_n\subset \widetilde X_n$ определяется гомоморфизмом монодромии

$\varphi_{n*}$ :

$\pi_1\bigl(\widetilde W\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)\to\mu_n\subset\mathbb S_n$ , отображающим элементы

$e_j$ в

$g_1^j$ . Из теоремы 3 следует, что

$\pi_1\bigl(\widetilde W\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)$ порождается элементом

$e_{n-1}$ и

$e_j=e_{n-1}^{n-j}$ . Следовательно, если мы обозначим

$e'_{j}:=e_{n-j}$ , то

$\begin{equation} \varphi_{n*}(e'_j)=g_2^{j}. \end{equation} \tag{12}$

Прообраз

$(\varphi_n\circ\varrho)^{-1}\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)=\bigcup_{j=1}^{N}\overline E_j\subset \overline X_n$ является цепью рациональных кривых, которая может быть стянута в гладкую точку, кривые

$\overline B_j=(\varphi_n\circ \varrho)^{-1}(B_j)$ ,

$j=1,2$ , являются рациональными кривыми,

$\begin{equation*} (\overline B_j^2)_{\overline X_n}=\deg \widetilde{\varphi}_n\cdot (B_j^2)_{\widetilde X_n}=-n, \qquad (\overline B_1,\overline E_1)_{\overline X_n}=(\overline B_2,\overline E_N)_{\overline X_n}=1 \end{equation*} \notag$

$(\varphi_n\circ\rho\circ\varrho)^{-1}(L)=\overline B_1\cup\overline B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^{N}\overline E_j\bigr)$ – слой линейчатой поверхности

$\overline X_n$ .

Из центральной симметрии графа $\Gamma\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)$ и из равенств (11), (12) следует, что двойственный взвешенный граф $\Gamma\bigl(\bigcup_{j=1}^{N}\overline E_j\bigr)$ также центрально симметричен. Следовательно, если $\overline E_j$ является $(-1)$ -кривой, то $\overline E_{N-j+1}$ – также $(-1)$ -кривая и кривые $\overline E_j$ , $\overline E_{N-j+1}$ могут быть стянуты в неособые точки одновременно. После последовательного стягивания всех таких пар $(-1)$ -кривых и затем кривой $\overline E_{K+1}$ (легко видеть, что $N=2K+1$ должно быть нечетным числом и центральная кривая $\overline E_{K+1}$ стягивается на последнем шаге стягиваний) мы получим, что образы кривых $\overline B_1$ и $\overline B_2$ являются $(-1)$ -кривыми, так как объединение этих образов является слоем линейчатой структуры. Следовательно, $\Delta_{n}(n,n-1)=n-1$ , так как $(B_1^2)_{\overline X_n}=(B_2^2)_{\overline X_n}=-n$ .

Рассмотрим случай, когда $m<n$ . Элемент $g_1=\varphi_{m*}(\gamma)$ порождает группу $\mu_m\subset\mathbb S_m$ . Из (10) следует, что $\varphi_{m*}(e_{j+lm})=g_1^j$ для $j=1,\dots,m-1$ , $l=0,\dots,k-1$ и $\varphi_{m*}(e_{lm})=\varphi_{m*}(b_2)=\operatorname{id}$ для $l=1,\dots,k-1$ . Поэтому $\widetilde{\varphi}_m$ не разветвлено в кривых $E_{lm}$ , $l=1,\dots, k-1$ , и в кривых $B_1$ , $B_2$ . Следовательно, поверхность $\widetilde X_m$ неособа в окрестности кривой $\widetilde{\varphi}_m^{-1}\bigl(B_1\cup B_2\cup\bigl(\bigcup_{l=1}^{k-1}E_{lm}\bigr)\bigr)$ и

$\begin{equation*} (\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{lm}),\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{lm}))_{\widetilde X_m}=-2m, \qquad (\widetilde{\varphi}_m^{-1}(B_j),\widetilde{\varphi}_m^{-1}(B_j))_{\widetilde X_m}=-m \end{equation*} \notag$

для

$l=1,\dots,k-1$ и

$j=1,2$ .

Для каждого $l=0,\dots,k-1$ кривая $\bigcup_{j=1}^{m-1}\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{j+lm})$ может быть стянута в гладкую точку, и аналогично случаю $m=n$ легко видеть, что, во-первых, $\Delta_m(n,n-1)=\Delta_m(m,m-1)=m-1$ , во-вторых, после стягивания кривой $\bigcup_{l=0}^{k-1}\bigcup_{j=1}^{m-1}\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{j+lm})$ образы кривых $\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{lm})$ образуют цепь, состоящую из $k-1$ $(-2)$ -кривых, т.е. тип сингулярности ростка $(Z_m,\widetilde o)$ – это $A_{k,k-1}$ .

Лемма 5 доказана.

§ 2. Описание прообраза $\beta^{-1}(f)$ : общий случай

2.1. Необходимые условия

В этом параграфе мы используем обозначения, введенные в § 1.

Рассмотрим жесткий росток накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$ , разветвленный в ростке кривой $(B,o)$ , имеющей один из $ADE$ типов сингулярности в точке $o$ , $d=\deg F$ , и пусть $F_*\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)=\pi_1(V\setminus B, p)\twoheadrightarrow G_F\subset \mathbb S_d$ – его гомоморфизм монодромии. Напомним, что симметрическая группа $\mathbb S_d$ действует (справа) на слое $F^{-1}(p)=\{ q_1,\dots, q_d\}$ и группа монодромии $G_F$ является транзитивной подгруппой группы $\mathbb S_d$ . Обозначим через $G_F^1$ подгруппу в $G_F$ , оставляющую неподвижной точку $q_1$ . Тогда действие группы $G_F$ на $F^{-1}(p)$ можно отождествить с действием группы $G_F$ на множестве правых смежных классов подгруппы $G^1_F$ .

Согласно предложению 1 циклическая группа $F_*(Z_e)\subset G_F$ , порожденная элементом $F_*(e)$ , является центральной подгруппой в $G_F$ , и согласно предложению 13 в [4] группа $F_*(Z_e)$ действует на $(U,o')$ . Обозначим через $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)=(U,o')/F_*(Z_e)$ факторотображение, $\deg H_1=m=|F_*(Z_e)|$ , где $(W,o_1)$ – это росток нормальной поверхности. Согласно предложению 13 в [4] существует конечное отображение $H_2\colon (W,o_1)\to (V,o)$ такое, что $F=H_2\circ H_1$ , $\deg H_2=n={d}/{m}$ . Группа монодромии $G_{H_1}\subset\mathbb S_m$ накрытия $H_1$ изоморфна группе $F_*(Z_e)$ , и согласно замечанию 2 в [4] группа монодромии $G_{H_2}\subset\mathbb S_n$ накрытия $H_2$ изоморфна группе $G_F/N$ , где $N$ – максимальная нормальная подгруппа группы $G_F$ , содержащаяся в $G^1_F\times F_*(Z_e)\subset G_F$ .

Обозначим символом $\widetilde W$ нормализацию расслоенного произведения $\widetilde V\times_{(V,o)} (W,o_1)$ , где $\sigma\colon \widetilde V\to (V,o)$ – это минимальное разрешение особой точки $o\in V$ ростка кривой $(B,o)$ (если $(B,o)$ имеет тип сингулярности $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$ , то $\sigma$ состоит из единственного раздутия точки), и пусть $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ и $\varsigma\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – это проекции на множители. Кроме того, обозначим через $\widetilde U$ нормализацию расслоенного произведения $\widetilde W\times_{(W,o_1)} (U,o')$ , и пусть $\widetilde H_1\colon \widetilde U\to \widetilde W$ и $\tau\colon \widetilde U\to (U,o')$ – проекции на множители. Группа $G_{H_1}$ действует на $\widetilde U$ и $\widetilde H_1$ также является факторотображением.

Обозначим через $C=\widetilde H_2^{-1}(E)$ собственный прообраз исключительной кривой $E$ последнего $\sigma$ -процесса, и пусть $f\colon C\to E$ , $\deg f=\deg \widetilde H_2=n$ , – ограничение накрытия $\widetilde H_2$ на $C$ (по определению $f=\beta(F)$ ). Группа $F_*(Z_e)$ действует на $\widetilde U$ , и легко видеть, что $\widetilde H_1^{-1}(C)$ является неприводимой кривой. Поэтому кривая $C$ является компонентой кривой ветвления накрытия $\widetilde H_1$ и $\widetilde H_1$ разветвлено в $C$ с кратностью $m=\deg \widetilde H_1$ . По тем же причинам кривая ветвления накрытия $\widetilde H_2$ содержится в $\widetilde B\setminus E$ , где $\widetilde B=\sigma^{-1}(B)$ – это прообраз ростка $(B,o)$ . Двойственный граф кривой $\widetilde B$ изображен на одном из рис. 1–7.

Пусть $\widetilde B^0=\sigma^{-1}(o)$ , и пусть $\widetilde B_j\subset \widetilde B$ , $j=1,2,3$ , – хвосты кривой $\widetilde B$ (см. определение 1). Из замечания 4 и леммы 4 следует, что $\widetilde W$ может иметь особые точки (и их типы сингулярности – это $A_{k',q'}$ с некоторыми делителями $k'$ числа $n$ ) только над точками пересечения соседних неприводимых компонент хвостов кривой $\widetilde B$ , так как $\widetilde H_2$ не разветвлено в кривой $E$ . Обозначим через $\varsigma_r\colon \overline W\to \widetilde W$ разрешение особых точек поверхности $\widetilde W$ . Тогда $\varsigma\,{\circ}\,\varsigma_r\colon \overline W\to (W,o_1)$ является разрешением особой точки $o_1$ ростка $(W,o_1)$ .

Обозначим через $\varsigma_1\colon \overline W\to \overline W_m$ голоморфное бимероморфное отображение, где $\overline W_m$ является гладкой поверхностью и $\varsigma_1$ стягивает в точки максимальное число неприводимых компонент кривой $(\widetilde H_1\circ \varsigma_r)^{-1}\bigl(\bigcup_{j=1}^3\widetilde B_j\bigr)$ . Тогда $\varsigma\circ\varsigma_r= \varsigma_m\circ \varsigma_1$ , где $\varsigma_m\colon \overline W_{m}\to (W,o_1)$ также является разрешением особой точки $o_1$ ростка $(W,o_1)$ .

Положим $\overline B^{\,0}=\varsigma_m^{-1}(o_1)$ . Композиция $\overline H_1=\varsigma_m^{-1}\circ H_1\colon (U,o')\to \overline W_{m}$ является мероморфным отображением таким, что конечное накрытие $\overline H_1\colon U\setminus \{ o'\} \to \overline W_{m}\setminus \overline B^{\,0}$ естественным образом изоморфно накрытию $H_1\colon U\setminus \{ o'\}\to W\setminus \{o_1\}$ . Отметим, что $\overline C=\varsigma_1\circ \varsigma_r^{-1}(C)$ является компонентой кривой $\overline B^{\,0}$ .

Накрытие $H_1$ разветвлено не более чем в двух неприводимых ростках кривых в $(W,o_1)$ (см. п. 1.3). Обозначим через $\overline B=\overline B_1\cup\overline B_2\cup\overline B^{\,0}\subset \overline W_{m}$ прообраз этих ростков (конечно, один из ростков $\overline B_j$ или оба могут быть пустым множеством). Двойственный граф кривой $\overline B$ является цепью, аналогичной цепи, изображенной на рис. 8.

В результате мы получаем следующую коммутативную диаграмму:

$(*)$

Отображения $\widetilde H_1$ и $H_1$ в диаграмме ( $*$ ) являются факторотображениями относительно действия циклической группы. Поэтому $H_1$ является композицией двух отображений, $H_1=\theta_{n',q}\circ \vartheta_{m_1,m_2}$ (см. п. 1.3), где $m=n'm_1m_2$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ , и, следовательно, мы получаем следующую коммутативную диаграмму:

$(13)$

Гомоморфизм монодромии $f_*$ является композицией двух гомоморфизмов, $f_*=H_{2*}\circ i_{2*}$ (см. (3) и (4)).

Замечание 7. В силу замечания 3 мы будем отождествлять гомоморфизм монодромии $\widetilde H_{2*}$ с гомоморфизмом монодромии $\beta(F)_*=f_*$ в случае, когда $(B,o)$ имеет тип сингулярности $\mathbf D_4$ .

Группа монодромии $G_f$ пары Белого $f$ изоморфна группе $G_{H_2}\,{=}\,G_F/N\,{\subset}\, \mathbb S_n$ , порожденной элементами $f_*(\overline{\gamma}_j)\in \mathbb S_n$ , $j=1,2,3$ (определение элементов $\overline{\gamma}_j\in \pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ дано в п. 1.2). Пусть

$\begin{equation*} T_c(\widetilde H_2)=T_c(f)=\{c_1,c_2,c_3\}, \qquad c_j=(n_{j,1},\dots, n_{j,k_j}), \quad n=\sum_{l=1}^{k_j}n_{j,l}, \end{equation*} \notag$

– множество цикловых типов перестановок

$\widetilde H_{2*}(\widetilde {\gamma}_j)=f_*(\overline{\gamma}_j)$ . Для каждого

$j=1,2,3$ прообраз

$\widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_j)$ хвоста

$\widetilde B_j$ является несвязным объединением

$k_j$ связных компонент,

$\widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_j)=\bigsqcup_{l=1}^{k_j}\widetilde B_{j,l}$ . Свойства циклических накрытий, изложенные в п. 1.3, влекут следующее условие стягиваемости:

кривая $\widetilde B_{j,l}\cap \widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_j^{0})\subset\widetilde W$ может быть стянута в неособую точку тогда и только тогда, когда порядок $|\widetilde{\pi}^0_j|$ группы $\widetilde{\pi}^0_j$ является делителем числа $n_{j,l}$ , если $\widetilde B_j$ – исключительный хвост, и $|\widetilde{\pi}^0_j|=n_{j,l}$ , если $\widetilde B_j$ – полностью исключительный хвост,

так как $\widetilde B_j^0$ можно стянуть в точку сингулярного типа $A_{|\widetilde{\pi}^0_j|,q}$ . Отметим, что по той же причине числа $n_{j,l}$ являются делителями числа $|\widetilde{\pi}^0_j|$ , если $\widetilde B_j$ – полностью исключительный хвост.

Обозначим через $r_j(H_{2*})$ число циклов в перестановке $f_*(\overline{\gamma}_j)$ , длины которых не удовлетворяют условию стягиваемости, если $\widetilde B_j$ – исключительный хвост, и положим $r_j(H_{2*})=0$ , если хвост $\widetilde B_j$ не является исключительным. В итоге получаем, что имеет место неравенство

$\begin{equation} r_1(\widetilde H_{2*})+r_2(\widetilde H_{2*})+r_3(\widetilde H_{2*})\leqslant 2, \end{equation} \tag{14}$

так как двойственный граф кривой

$\overline B$ является цепью.

2.2. Достаточные условия

Обратно, пусть дана рациональная пара Белого $f\colon C\simeq \mathbb P^1\to\mathbb P^1$ степени $n$ , разветвленная в $B_f\subset \{0,1,\infty\}$ и монодромия которой имеет цикловой тип $T(f)=\{ c_1,c_2,c_3\}$ . Напомним, что мы рассматриваем множество рациональных пар Белого с точностью до действий группы $\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$ на $C$ и $\mathbb P^1$ и упорядоченный цикловой тип $T(f)=\{ c_1,c_2,c_3\}$ накрытия $f$ зависит от выбора базы в $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\})$ . Следовательно, мы можем упорядочить цикловой тип $T(f)$ таким образом, что цикловой тип перестановки $f_*(\overline{\gamma}_0)$ – это $c_1$ , цикловой тип перестановки $f_*(\overline{\gamma}_{\infty})$ – это $c_2$ и цикловой тип перестановки $f_*(\overline{\gamma}_1)$ – это $c_3$ , где $\overline{\gamma}_0$ , $\overline{\gamma}_1$ и $\overline{\gamma}_{\infty}$ – элементы группы $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\})$ , представленные простыми петлями соответственно вокруг точек $0$ , $1$ и $\infty$ и таких, что $\overline{\gamma}_0 \overline{\gamma}_1 \overline{\gamma}_{\infty}=\mathrm{id}$ в $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\})$ .

Определение 3. Скажем, что рациональная пара Белого $f$ имеет тип:

$\mathbf A_{2k+1}$ , $k\geqslant 1$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $k+1$ , $r_1\leqslant 2$ , а оставшиеся $r_1$ длин являются делителями числа $k+1$ ;

$\mathbf A_{2k}$ , $k\geqslant 1$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $2k+1$ , а оставшиеся $r_1$ длин являются делителями числа $2k+1$ , $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $2$ , а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$ ;

$\mathbf D_{2k+2}$ , $k\geqslant 2$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ кратны числу $k$ , $r_1\leqslant 2$ ;

$\mathbf D_{2k+3}$ , $k\geqslant 1$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ кратны числу $2k+1$ , $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $2$ , а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$ ;

$\mathbf E_{6}$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $4$ , а оставшиеся $r_1$ длин равны $2$ или $1$ , $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $3$ , а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$ ;

$\mathbf E_7$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ являются четными числами, $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $3$ , а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$ ;

$\mathbf E_8$ , если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $3$ , а оставшиеся $r_1$ длин равны $1$ , $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $5$ , а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$ .

Замечание 8. Отметим, что рациональная пара Белого $f$ может иметь несколько $ADE$ типов. Например, если $f$ имеет тип $\mathbf A_{2k+1}$ , $k\geqslant 1$ , то она имеет также тип $\mathbf D_{2k+4}$ . Кроме того, будем считать, что любое накрытие $f\in\mathcal{B}el$ имеет тип $\mathbf D_4$ .

Из лемм 2 и 3, условия стягиваемости и неравенства (14) следует, что необходимым условием для кривой ветвления $(B,o)$ накрытия $F\,{\in}\,\mathcal R_T\subset\mathcal R\,{\setminus}\,(\mathcal R_{\mathbf A_0}\,{\cup}\, R_{\mathbf A_1})$ принадлежать прообразу $\beta^{-1}(f)$ , $\deg f=n$ , является то, что $f$ имеет тип $T$ .

Если это необходимое условие выполнено, то мы можем рассмотреть гомоморфизм монодромии $H_{2*}\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)\simeq \pi_1(\widetilde V\setminus \widetilde B)\to \mathbb S_n$ , отображающий $\gamma_1$ в $f_*(\overline{\gamma}_0)$ , $\gamma_2$ в $f_*(\overline{\gamma}_{\infty})$ , $\gamma_3$ в $f_*(\overline{\gamma}_1)$ и $e$ в $\mathrm{id}$ . Гомоморфизм определяет конечные накрытия $H_2\colon (W,o_1)\to (V,o)$ и $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ , где $\sigma\colon \widetilde V\to (V,o)$ – минимальное разрешение особой точки ростка $(B,o)$ . Мы можем добавить к отображениям $H_2$ , $\widetilde H_2$ , $\sigma$ и $\varsigma\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ бимероморфные отображения $\varsigma_r\colon \overline W\to \widetilde W$ , $\varsigma_1\colon \overline W\to \overline W_m$ и $\varsigma_m\colon \overline W_{m}\to (W,o_1)$ и в результате получить нижнюю часть диаграммы ( $*$ ). Как и выше, обозначим через $C=\widetilde H_2^{-1}(E)$ собственный прообраз исключительной кривой $E$ последнего $\sigma$ -процесса. Очевидно, ограничение накрытия $\widetilde H_2$ на $C$ совпадает с парой Белого $f\colon C\to E$ , $\deg f=\deg \widetilde H_2=n$ .

Обозначим через $m_0$ порядок фундаментальной группы $\overline{\pi}_1=\pi_1(W\setminus \{o_1\})\simeq\pi_1(\overline W_m\setminus \overline B^{\,0})$ , где $\overline B^{\,0}=\varsigma_m^{-1}(o_1)$ . Мы получим следующую коммутативную диаграмму:

$(15)$

в которой

$\overline H_f\colon \overline U_{f,\min_T}\to\overline W_m$ и

$H_f\colon (U_{f,\min_T},o_2)\to (W,o_1)$ – циклические накрытия степени

$m_0$ ,

$H_f\colon U_{f,\min_T}\setminus \{o_2\}\to W\setminus \{ o_1\}$ – универсальное накрытие,

$\overline H_f$ разветвлен в

$\overline B^{\,0}$ ,

$\overline U_{f,\min_T}$ – нормальная поверхность,

$(U_{f,\min_T},o_2)$ – росток неособой поверхности и

$\overline{\varsigma}$ – бимероморфное голоморфное отображение.

Пусть $\gamma_{\,\overline C}\in\overline{\pi}_1$ – это элемент, представленный простой петлей вокруг кривой $\overline C=\varsigma_1\circ \varsigma_r^{-1}(C)$ . Назовем вторым необходимым условием следующее условие:

двойственный граф кривой $\overline B^{\,0}$ является цепью и $\gamma_{\,\overline C}$ порождает группу $\overline{\pi}_1$ .

Если $f$ имеет тип $T$ и второе необходимое условие выполнено для ростка $(B,o)$ , имеющего тип сингулярности $T$ , то $\overline H_f$ разветвлен в $\overline C$ с кратностью $m_0$ и легко видеть, что накрытие $F_{f,\min_T}:=H_2\circ H_f\colon (U_{f,\min_T},o_2)\to (V,o)$ степени $nm_0$ принадлежит прообразу $\beta^{-1}(f)$ . Назовем накрытие $F_{f,\min_T}\in \mathcal R_T$ минимальным накрытием в прообразе $\beta^{-1}(f)$ рациональной пары Белого $f$ типа $T$ .

Обозначим через $\chi\colon \overline U\to \overline U_{f,\min_T}$ минимальное разрешение особых точек поверхности $\overline U_{f,\min_T}$ . Тогда $\overline{\varsigma}\,{\circ}\, \chi\colon \overline U\to U_{f,\min_T}$ является композицией $\sigma$ -процессов с центрами в неособых точках. Отметим, что $(\overline{\varsigma}\circ \chi)^{-1}(o_2)$ является цепью, состоящей из исключительных кривых отображения $\overline{\varsigma}\circ \chi$ . Обозначим через $\overline C_r=\chi^{-1}(\overline C)$ собственный прообраз кривой $\overline C$ .

Рассмотрим росток кривой $B$ как дивизор в $(V,o)$ , и пусть $F^*_{f,\min_T}(B)=\sum r_jR_j$ – прообраз дивизора $B$ , где $R_j$ – его неприводимые компоненты. Обозначим через $S_1$ множество, состоящее из пар $(R_j,r_j)$ , в котором $R_j$ – это гладкие ростки и $(\overline{\varsigma}\circ \chi)^{-1}(R_j)$ являются цепями, состоящими из исключительных кривых и собственного прообраза ростка $R_j$ ; обозначим через $S_2$ множество, состоящее из упорядоченных пар $\{ (R_{j_1},r_{j_1}),(R_{j_2},r_{j_2})\}$ , где $(R_{j_l},r_{j_l})\in S_1$ для $l=1,2$ и ростки $R_{j_1}$ , $R_{j_2}$ пересекаются трансверсально в точке $o_2$ .

Фундаментальная группа $\pi_1(U_{f,\mathrm{min}_T}\,{\setminus}\, R_j)\simeq \pi_1(\overline U\setminus (\overline{\varsigma}\circ \chi)^{-1}(R_j))$ является свободной циклической группой, порожденной элементом $\gamma_j$ , представленным простой петлей вокруг $R_j$ . Тогда

$\begin{equation} \gamma_{\,\overline C}=\gamma_j^{a_j}, \end{equation} \tag{16}$

где $\gamma_{\,\overline C}$ – элемент, представленный простой петлей вокруг $\overline C_r$ , а $a_j$ можно вычислить, последовательно используя лемму 1.

Обозначим $M_{j}=\{ m\in \mathbb N\mid \operatorname{\textrm{НОД}}(m, a_j)=1\}$ для $(R_j,r_j)\in S_1$ и

$\begin{equation*} M_{j_1,j_2}=\{ (m_1,m_2)\in\mathbb N^2\mid \operatorname{\textrm{НОД}}(m_1m_2, m_1a_{j_1}+m_2a_{j_2})=1\} \end{equation*} \notag$

для $\{ (R_{j_1},r_{j_1}),(R_{j_2},r_{j_2})\}\in S_2$ и $a_j$ , определенных в (16) (отметим, что если $(m_1,m_2)\in M_2$ , то $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ ).

Для $\{ (R_{j_1},r_{j_1}),(R_{j_2},r_{j_2})\}\in S_2$ и $(R_{j_1},r_{j_1})\in S_1$ выберем координаты $(y_1,y_2)$ в $U_{f,\min_T}$ такие, что росток $R_{j_l}$ задается уравнением $y_l=0$ для $l=1,2$ (если $(R_{j_1},r_{j_1})\in S_1$ , то $R_{j_2}$ – любой гладкий росток кривой, пересекающийся трансверсально с $R_{j_1}$ ), и для каждой пары $(m_1,m_2)\in M_{j_1,j_2}$ (соответственно для каждого $m_1\in M_{j_1}$ и $m_2=1$ ) рассмотрим циклическое накрытие $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (U_{f,\min_T},o_2)$ , заданное функциями $x_1^{m_1}=y_1$ , $x_2^{m_2}=y_2$ . Легко видеть, что накрытие $F_{R_1,R_2,m_1,m_2}:=F_f\circ \vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (V,o)$ степени $\deg F_{R_1,R_2,m_1,m_2}=nm_0m_1m_2$ также принадлежит прообразу $\beta^{-1}(f)$ .

Пусть $\operatorname{Aut}(V,B,o)\,{=}\,\{ g\,{\in}\, \operatorname{Aut}(V)\mid g(B)\,{=}\,B,\, g(o)\,{=}\,o\}$ – группа автоморфизмов тройки $(V,B,o)$ и $\operatorname{Gal}(F_f)=\{ g\in \operatorname{Aut}(U_{f,\min_T},o_2)\mid F_f\circ g=F_f\}$ – группа автоморфизмов ростка $(U_{f,\min_T},o_2)$ над ростком $(V,o)$ . Группа $\operatorname{Aut}(V,B,o)\times \operatorname{Gal}(F_f)$ действует на множествах $S_1$ и $S_2$ . Обозначим через $\operatorname{orb}_j(f)$ число орбит действия группы $\operatorname{Aut}(V,B,o)\times \operatorname{Gal}(F_f)$ на $S_j$ , $j=1,2$ .

Полученные выше результаты могут быть сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть $T$ – это один из $ADE$ типов сингулярности, росток кривой $(B,o)$ имеет тип сингулярности $T$ в точке $o$ и $f\in \mathcal{B}el$ , $\deg f=n$ . Тогда пересечение $\mathcal R_T\,{\cap}\, \beta^{-1}(f)$ не пусто тогда и только тогда, когда $f$ имеет тип $T$ и $(B,o)$ удовлетворяет второму необходимому условию.

Если $\mathcal R_T\,{\cap}\, \beta^{-1}(f)\neq \varnothing$ , то $\mathcal R_T\,{\cap}\, \beta^{-1}(f)$ состоит из минимального накрытия $F_{f,\min_T}\colon (U_{f,\min_T},o_2)\to (V,o)$ степени $nm_0$ и $(\operatorname{orb}_1(f)+\operatorname{orb}_2(f))$ бесконечных серий накрытий $F_{R_1,R_2,m_1,m_2}$ , $\deg F_{R_1,R_2,m_1,m_2}=nm_0m_1m_2$ .

§ 3. Доказательство теоремы 1

Лемма 6. Пусть морфизм $f\colon C=\mathbb P^1\to \mathbb P^1$ , $\deg f=n>1$ , задан уравнениями $y_1=h_1(x_1,x_2)$ , $y_2=h_2(x_2,x_2)$ , где $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_2,x_2)$ – две взаимно простые однородные формы от переменных $x_1,x_2$ . Тогда дивизор ветвления (вверху) $R_f$ морфизма $f$ задан уравнением

$\begin{equation} \displaystyle J_f(x_1,x_2):= \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial h_1}{\partial x_1}, &\dfrac{\partial h_1}{\partial x_2} \\ \dfrac{\partial h_2}{\partial x_1}, & \dfrac{\partial h_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}= 0. \end{equation} \tag{17}$

Доказательство. Проективная прямая

$C$ покрывается четырьмя окрестностями

$\begin{equation*} U_{i,j}=\{ (x_1:x_2)\in C\mid x_i\neq 0,\,h_j(x_1,x_2)\neq 0\}, \qquad 1\leqslant i,j\leqslant 2, \end{equation*} \notag$

$\widetilde x_{i}={x_{i}}/{x_{\widehat i}}$ – координата в

$U_{\widehat i,j}$ , где

$\{i,\widehat i\}=\{1,2\}$ . Аналогично,

$\mathbb P^1$ покрыто двумя аффинными прямыми

$V_j=\{ (y_1:y_2)\in\mathbb P^1\mid y_j\neq 0\}$ ,

$j=1,2$ , и

$\widetilde y_{j}={y_{j}}/{y_{\widehat j}}$ является координатой в

$V_{\widehat j}$ . Морфизм

$f$ определяет четыре рациональные функции

$\widetilde y_j=f_{i,j}(\widetilde x_i)$ и, очевидно, ограничение дивизора

$R_f$ на

$U_{i,j}$ – это сумма критических точек функции

$f_{i,j}$ , считаемых с кратностями. В частности, если

$i=2$ и

$j=2$ (остальные случаи аналогичны), то дивизор

$R_f$ в

$U_{2,2}$ задан уравнением

${d\widetilde y_{1}}/{d\widetilde x_1}=0$ , где

$\widetilde y_1=f_{2,2}(\widetilde x_1)={h_1(\widetilde x_1,1)}/{h_2(\widetilde x_1,1)}$ . Следовательно,

$\begin{equation} \frac{d\widetilde y_{1}}{d\widetilde x_1}=\frac{h_{1x_1}'(\widetilde x_1,1)h_2(\widetilde x_1,1)-h_1(\widetilde x_1,1)h_{2x_1}'(\widetilde x_1,1)}{h_2(\widetilde x_1,1)^2}. \end{equation} \tag{18}$

Из формулы Эйлера

$nh(x_1,x_2)=x_1h'_{x_1}(x_1,x_2)+x_2h_{x_2}'(x_1,x_2)$ для однородных форм

$h(x_1,x_2)$ степени

$n$ следует, что

$\begin{equation} h_i(\widetilde x_1,1)=\frac{1}{n}[\widetilde x_1h'_{i\, x_1}(\widetilde x_1,1)+h_{i\, x_2}'(\widetilde x_1,1)] , \end{equation} \tag{19}$

и, применив (19), получаем, что числитель в правой части равенства (18) совпадает с

$\frac{1}{n}J_f(\widetilde x_1,1)$ .

Лемма доказана.

Прямые вычисления в неоднородных координатах, задающих $\sigma$ -процессы с центрами в точках, доказывают следующую лемму.

Лемма 7. Пусть конечное накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задано функциями

$\begin{equation} y_j=h_j(x_1,x_2)+\sum_{k=n_j+1}^{\infty}\sum_{m=0}^ka_{j,m}x_1^mx_2^{k-m}, \qquad j=1,2, \end{equation} \tag{20}$

где $h_j(x_1,x_2)$ – однородные формы степени $n_j$ от переменных $x_1$ и $x_2$ , и пусть $\tau\colon \widetilde U\to U$ и $\sigma\colon \widetilde V\to V$ – это $\sigma$ -процессы с центрами в точках $o'$ и $o$ , $\tau^{-1}(o')\,{=}\,\widetilde E$ и $\sigma^{-1}(o)=E$ . Тогда:

$\mathrm{(i)}$ $\sigma^{-1}\circ F\circ \tau\colon \widetilde U\to\widetilde V$ является голоморфным отображением тогда и только тогда, когда $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_1,x_2)$ являются взаимно простыми формами;
$\mathrm{(ii)}$ $\sigma^{-1}\circ F\circ \tau (\widetilde E)=E$ тогда и только тогда, когда $n_1=n_2$ и формы $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_1,x_2)$ линейно независимы;
$\mathrm{(iii)}$ если $n_1=n_2:=n$ и $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_1,x_2)$ – взаимно простые формы, то
- $\mathrm{(iii)}_1$ ограничение $f\colon \widetilde E\to E$ отображения $\sigma^{-1}\,{\circ}\, F\,{\circ}\, \tau$ на $\widetilde E$ задано формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_1,x_2)$ ,
- $\mathrm{(iii)}_2$ $\deg F=n^2$ и $\deg f=n$ .

Доказывая теорему 1, мы используем определения и обозначения, введенные в предыдущих параграфах, и будем полагать, что росток $(B,o)$ кривой ветвления накрытия $F\colon (U,o') \to (V,o)$ задан уравнением $uv(u-v)=0$ . Накрытие $\widetilde H_2$ (см. диаграмму ( $*)$ ) разветвлено только в несвязном объединении $B_1\,{\sqcup}\, B_2\,{\sqcup}\, B_3$ трех ростков гладких кривых, собственных прообразах неприводимых компонент кривой $B$ . Следовательно, $\widetilde W$ является гладкой поверхностью (т.е. $\widetilde W=\overline W_m$ ). Ограничение отображения $\widetilde H_2$ на $C=\widetilde H_2^{-1}(E)$ – это $\beta(F)$ , $\deg \beta(F)=\deg \widetilde H_2:=n'$ . Поэтому $(C^2)_{\widetilde W}=-n'$ и $\varsigma\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ является минимальным разрешением особой точки $o_1\in W$ сингулярного типа $A_{n',1}$ (т.е. $q=1$ ). Кроме того, в диаграмме (13) отображение $\overline{\varsigma}$ является раздутием точки $\widetilde o$ , $\overline{\sigma}^{-1}(\widetilde o)=\widetilde{\theta}_{n',1}^{-1}(C)=\widetilde E$ и $(\widetilde E^2)_X=-1$ , а $\tau$ является раздутием точки $o_1$ , $\tau^{-1}(o')=\widetilde{\vartheta}_{m_1,m_2}^{-1}(\widetilde E)=\overline E$ и $(\overline E^2)_{\widetilde U}=-1$ . В частности, все отображения в (13) являются голоморфными отображениями. Отметим также, что ограничение отображения $\widetilde{\theta}_{n',1}$ на $\widetilde E$ является изоморфизмом между кривыми $\widetilde E$ и $C$ , и поэтому мы можем отождествить ограничение отображения $F_{f,\min}:=\widetilde H_2\circ \widetilde{\vartheta}_{n',1}$ на $\widetilde E$ с $\beta(F)$ .

Пусть накрытие $F_{f,\min}\colon (X,\widetilde o)\to (V,o)$ задано уравнениями (20). Тогда из леммы 7 следует, что $f=\beta(F)$ задано однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$ степени $n$ . Следовательно, $n'=n$ . Кроме того, в соответствии с замечанием 7 отождествим гомоморфизм монодромии $\widetilde H_{2*}$ с гомоморфизмом монодромии $f_*$ .

Если накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задано уравнениями (2), то накрытие $F_{f,\min}$ задано однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$ . Поэтому, во-первых, мы можем рассматривать $F_{f,\min}$ как ограничение на шар $\mathbb B_2\subset \mathbb C^2$ морфизма $F_{f,\min}\colon \mathbb C^2\to \mathbb C^2$ , заданного теми же функциями. Во-вторых, мы можем отождествить прямую $C\simeq \mathbb P^1$ в рациональной паре Белого $f\colon C\to\mathbb P^1$ с факторпространством $\mathbb C^2/\{ (x_1,x_2)\sim (\lambda x_1,\lambda x_2)\,\,\text{для}\,\, \lambda\neq 0\}$ и прямую $\mathbb P^1$ с $\mathbb C^2/\{ (y_1,y_2)\sim (\lambda y_1,\lambda y_2)\,\,\text{для}\,\, \lambda\neq 0\}$ . Дивизор ветвления (вверху) $R_{F_{f,\min}}$ накрытия $F_{f,\min}$ задан уравнением (17). Следовательно, $R_{F_{f,\min}}$ является суммой прямых, проходящих через начало координат, таких, что

$\begin{equation*} R_{F_{f,\min}}/\{ (x_1,x_2)\sim (\lambda x_1,\lambda x_2) \text{ для }\lambda\neq 0\}=R_f, \end{equation*} \notag$

и из леммы 6 следует, что кривая ветвления

$B_{F_{f,\min}}$ накрытия

$F_{f,\min}$ задается уравнением

$uv(u-v)=0$ , если

$f\in \mathcal{B}el_3$ . Поэтому тип сингулярности кривой

$B_{F_{f,\min}}$ – это

$\mathbf D_4$ . Если

$f\in \mathcal{B}el_2$ , то кривая ветвления

$B_{F_{f,\min}}$ накрытия

$F_{f,\min}$ задана уравнением

$uv=0$ , и поэтому тип сингулярности кривой

$B_{F_{f,\min}}$ – это

$\mathbf A_1$ . Но в обоих случаях кривая ветвления

$B_{F}$ накрытия

$F$ задана уравнением

$uv(u-v)=0$ , так как кривая ветвления накрытия

$\vartheta_{m_1,m_2}$ содержится в объединении двух прямых, заданных уравнениями

$x_1=0$ ,

$x_2=0$ и

$\{ f(p_1), f(p_2)\}\cup B_f=\{ 0,1,\infty\}$ для

$p_1=(0,1)$ ,

$p_2=(1,0)\in C$ .

Обратно, если накрытие $F\in \mathcal R_{\mathbf D_4}$ задано уравнениями (20), то из вышеприведенных рассмотрений следует, что $f=\beta(F)$ задана однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$ . Рассмотрим накрытие $F'_{f,\min}\colon (X',\widetilde o)\to (V,o)$ , заданное теми же однородными формами $u=h_1(x_1,x_2)$ и $v=h_2(x_2,x_2)$ , и рассмотрим диаграмму (13) для $F'_{f,\min}$ , в которой $\vartheta_{m_1,m_2}=\vartheta_{1,1}$ и в которой мы обозначим поверхности $W$ , $\widetilde W$ , $\widetilde X$ и накрытия $H_2$ , $\widetilde H_2$ и т.д. теми же буквами с добавлением штриха ( $W'$ , $\widetilde H_2'$ и т.д.). Тогда из лемм 6 и 7 следует, что $f'=\beta(F'_{f,\min})\colon C'\to E$ задается теми же однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$ .

В соответствии с замечанием 7 накрытия $\widetilde H_2$ и $\widetilde H'_2$ имеют один и тот же гомоморфизм монодромии $f_*=f'_*$ . Поэтому из теоремы Грауэрта–Реммерта–Римана–Штейна следует, что существуют биголоморфные изоморфизмы $\varphi$ : $\widetilde W\to\widetilde W'$ и $\psi\colon W\to W'$ такие, что $\widetilde H_2=\widetilde H_2'\circ \varphi$ и $H_2=H_2'\circ \psi$ , и поэтому мы можем отождествить $\widetilde W$ с $\widetilde W'$ и $W$ с $W'$ с помощью этих изоморфизмов. Следовательно, существуют изоморфизмы $\widetilde{\varphi}\colon \widetilde X\to \widetilde X'$ и $\widetilde{\psi}\colon X\to X'$ такие, что $\varphi\mathbin{\circ}\widetilde{\theta}_{n,1}\,{=}\,\widetilde{\theta}'_{n,1} \mathbin{\circ}\widetilde{\varphi}$ и $\psi\mathbin{\circ}{\theta}_{n,1}\,{=}\,\theta'_{n,1}\,{\circ}\,\widetilde{\psi}$ , так как $\widetilde{\theta}_{n,1}\,{=}\,\theta_{n,1}\colon \widetilde X\setminus \widetilde E=X\setminus\widetilde o\to \widetilde W\,{\setminus}\, C\,{=}\,W\,{\setminus}\, o_1$ и $\widetilde{\theta}'_{n,1}=\theta'_{n,1}\colon \widetilde X'\,{\setminus}\, \widetilde E'=X'\,{\setminus}\,\widetilde o'\to \widetilde W'\,{\setminus}\, C'=W'\,{\setminus}\, o'_1$ – универсальные неразветвленные накрытия. Поэтому мы можем отождествить $\widetilde X$ с $\widetilde X'$ и $X$ с $X'$ . В результате получаем, что $F_{f,\min}\colon X\to W$ и $F'_{f,\min}\colon X'\to W'$ эквивалентны.

Если $m_1$ или $m_2$ , или оба из них больше $1$ в накрытии $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (X,\widetilde o)$ , то мы можем получить циклическое накрытие $\vartheta'_{m_1,m_2}\colon (U',o'')\,{\to}\,(X',\widetilde o')$ , разветвленное в образах кривых ветвления накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ при голоморфном изоморфизме $\widetilde{\psi}$ . Очевидно, накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ и $\vartheta'_{m_1,m_2}$ являются эквивалентными. Поэтому композиции $F=F_{f,\min}\circ\vartheta_{m_1,m_2}$ и $F'=F'_{f',\min}\circ\vartheta'_{m_1,m_2}$ эквивалентных накрытий также являются эквивалентными, и легко видеть, что существует замена координат в $(U',o'')$ такая, что накрытие $F'$ задается уравнениями (2).

§ 4. Доказательство теоремы 2

4.1.

Пусть $f=\beta (F)\in\mathcal{B}el_2$ , $\deg f=n$ , для накрытия $F$ , разветвленного в ростке кривой $(B,o)$ , имеющего один из $ADE$ типов сингулярности. Не ограничивая общности, мы можем предполагать, что $f$ в неоднородных координатах задана уравнением $y=x^n$ и ее множество точек ветвления $B_f=\{ 0,\infty\}\subset \{ 0,1, \infty\}$ . Тогда в общем случае накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ является циклическим накрытием, разветвленным в двух из трех хвостов кривой $\widetilde B$ , $\deg \widetilde H_2=n$ , а накрытие $\widetilde H_1=\widetilde{\theta}_{n,q}\circ\widetilde{\vartheta}_{m_1,m_2}\colon \widetilde U\to \widetilde W$ также является циклическим накрытием и $\widetilde{\vartheta}_{m_1,m_2}$ должно быть разветвлено по крайней мере в одной из неприводимых компонент прообраза третьего хвоста.

4.2. Случаи $\mathcal R_{\mathbf A_{0}}$ и $\mathcal R_{\mathbf A_{1}}$

Легко видеть, что если $F\in (\mathcal R_{\mathbf A_0}\cup\mathcal R_{\mathbf A_1})\cap\beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ , $\deg \beta(F)=n$ , то накрытие $F$ эквивалентно одному из следующих ростков накрытий степени $n^2m_1m_2$ , заданных функциями $u=z^{nm_1}$ , $v=w^{nm_2}$ с некоторыми $m_1\geqslant m_2\geqslant 1$ , $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ (если $F\in \mathcal R_{\mathbf A_0}$ , то $n=m_2=1$ ).

4.3. Случай $\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$ , $k\geqslant 1$

Не ограничивая общности, мы можем предполагать что росток кривой $(B,o)$ задан уравнением $u(u-v^{k+1})=0$ и $u=0$ – это уравнение неприводимой компоненты $B_1$ ростка $B$ . Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ , имеющего тип сингулярности $\mathbf A_{2k+1}$ , $k\geqslant 1$ , изображен на рис. 1 (в этом случае $E=E_{k+3}$ ). Перенумеруем хвосты кривой $\widetilde B$ следующим образом: $\widetilde B_1=B_1$ , $\widetilde B_2=B_2$ и $\widetilde B_3=E_{3}\cup\dots\cup E_{k+2}$ . Тогда $\widetilde H_2$ разветвлено либо в $B_1\cup B_2$ , либо в $B_l\cup \bigl(\bigcup_{j=3}^{k+2}E_j\bigr)$ , где $l=1$ или $l=2$ .

Покажем, что первый случай невозможен. Действительно, если $\widetilde H_2$ разветвлено в $B_1\cup B_2$ , то $n$ должно быть равно $2$ , так как $\widetilde H_2^{-1}\bigl(\bigcup_{j=3}^{k+3}E_j\bigr)$ должно быть цепью рациональных кривых, удовлетворяющих второму необходимому условию. Но если $n=2$ , то $\widetilde H_1$ должно ветвиться только в $\widetilde H_2^{-1}\bigl(\bigcup_{j=3}^{k+3}E_j\bigr)=\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j$ , где $\widetilde E_{k+1}=\widetilde H_2^{-1}(E_{k+3})=C$ . В этом случае $\widetilde W$ является неособой поверхностью и $(\widetilde E_j^2)_{\widetilde W}=-2$ для всех $j$ . Из леммы 2 следует, что $\pi_1\bigl(N_T\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j\bigr)\bigr)\simeq \mu_{2k+2}$ , где $N_T$ – это достаточно малая трубчатая окрестность кривой $\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j$ . Из теоремы 3 следует, что группа $\pi_1\bigl(N_T\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j\bigr)\bigr)$ порождается элементом $\gamma_{\widetilde E_1}$ , представленным простой петлей вокруг кривой $\widetilde E_1$ , и $\gamma_{C}=\gamma_{\widetilde E_1}^{k+1}$ , где $\gamma_C$ – элемент, представленный простой петлей вокруг кривой $\widetilde E_{k+1}$ . Следовательно, в этом случае второе необходимое условие не выполнено, так как $\gamma_{C}=\gamma_{\widetilde E_1}^{k+1}$ не порождает группу $\mu_{2k+2}$ .

Во втором случае, не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1= B_1$ и $\widetilde B_3=\bigcup_{j=3}^{k+2}E_j$ , а кроме того предполагать, что $n=\deg \widetilde H_2$ является делителем числа $k+1$ , $k+1=nm_0$ , так как $\widetilde{\pi}^0_3\simeq \mu_{k+1}$ .

Рассмотрим поверхность $\widetilde W_m$ и кривую $\overline B\subset \overline W_m$ (см. диаграмму ( $*$ )). Прообраз $(H_2\mathbin{\circ} \varsigma_m)^{-1}(B_2)=\bigsqcup_{j=1}^n\overline B_{2,j}$ является несвязным объединением $n$ ростков кривых, каждый из которых пересекается трансверсально с $\overline C$ , а $(H_2\mathbin{\circ}\varsigma_m)^{-1}(B_1)=\overline B_{1,1}$ является неприводимым ростком кривой. Согласно лемме 5 существует три возможности для кривой $\overline B^{\,0}\subset \overline W_m$ (см. обозначения, введенные в п. 2.1). Первая (в этом случае $m_0>1$ ) – это когда $\overline B^{\,0}=\overline C\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{m_0-1}\overline E_j\bigr)$ , кривая $\overline B_1$ является одной из неприводимых компонент прообраза $(H_2\mathbin{\circ} \varsigma_m)^{-1}(B_2)$ (скажем, $\overline B_{2,1}$ ) и $\overline B_2=\varnothing$ . В этом случае $(\overline E_j^{\,2})_{\overline W_m}=-2$ и $(\overline C^{\,2})_{\overline W_m}=-1$ . Во втором случае (в этом случае $m_0=1$ ) $\overline B_1=\overline B_{1,1}$ и $\overline B_2$ – одна из неприводимых компонент прообраза $(H_2\,{\circ}\, \varsigma_m)^{-1}(B_2)$ и $\overline B^{\,0}=\overline C$ , $(\overline C^{\,2})_{\overline W_m}\,{=}\,{-}1$ . В третьем случае (в этом случае $m_0=1$ ) $\overline B_1$ и $\overline B_2$ – это две неприводимые компоненты прообраза $(H_2\circ \varsigma_m)^{-1}(B_2)$ и $\overline B^{\,0}=\overline C$ , а $(\overline C^{\,2})_{\overline W_m}\,{=}\,{-}1$ .

Во всех трех случаях $(W,o_1)$ является ростком гладкой поверхности и накрытие $H_2$ задано функциями $u=y_1^n$ и $v=y_2$ , где $y_1$ , $y_2$ – координаты в $(W,o_1)$ . Имеем $H_2^{-1}(B_2)=\bigcup_{j=1}^nB_{2,j}$ , где ростки $B_{2,j}$ заданы уравнениями $y_1-\omega_jy_2^{m_0}=0$ , $\omega_j=\exp(2\pi j i/n)$ . Возможно, после скалярных замен координат в $(V,o)$ и $(W,o_1)$ мы можем считать, что одна из неприводимых ветвей прообраза $H_2^{-1}(B_2)$ , входящих в кривую ветвления накрытия $H_1$ , задается уравнением $y_1-y_2^{m_0}=0$ .

В первом случае положим $x_1=y_1-y_2^{m_0}$ и $x_2=y_2$ . Тогда легко видеть, что накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ задается функциями $z^m=x_1$ и $w=x_2$ , где $z$ , $w$ – координаты в $(U,o')$ и $m>1$ . Второе необходимое условие (ввиду леммы 1) влечет равенство $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_0,m)=1$ . Следовательно, $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями

$\begin{equation*} u=(z^m+w^{m_0})^n, \qquad v=w, \end{equation*} \notag$

где

$n,m,m_0>1$ и

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_0,m)=1$ .

Во втором случае положим $x_1=y_1$ и $x_2=y_2-y_1$ . Тогда легко видеть, что накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ задается функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$ , где $z$ , $w$ – координаты в $(U,o')$ , а $m_1\geqslant 1$ , $m_2>1$ , $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ . Следовательно, накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями

$\begin{equation*} u=z^{nm_1}, \qquad v=z^{m_1}+w^{m_2}, \end{equation*} \notag$

где

$m_1\geqslant 1$ ,

$n,m_2>1$ и

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ .

В третьем случае накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено в двух ростках кривых, заданных уравнениями $y_1-y_2=0$ и $y_1-\omega_jy_2=0$ при некотором $j$ , $1\leqslant j\leqslant n-1$ . Положим $x_1=(\omega_j-1)^{-1}(y_1-y_2)$ и $x_2=(\omega_j-1)^{-1}(y_1-\omega_jy_2)$ . Тогда накрытие $H_1\colon (W,o_1)\to (V,o)$ задано функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$ , где $z$ , $w$ – координаты в $(U,o')$ и $m_1$ , $m_2>1$ , $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ . Следовательно, накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями

$\begin{equation*} u=(\omega_jz^{m_1}-w^{m_2})^n, \qquad v=z^{m_1}-w^{m_2}, \end{equation*} \notag$

где

$n, m_1,m_2>1$ ,

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ и

$\omega_j=\exp(2\pi j i/n)$ ,

$1\geqslant j\geqslant n-1$ .

4.4. Случай $\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}$ , $k\geqslant 1$

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf A_{2k}$ , $k\geqslant 1$ , изображен на рис. 2 (в этом случае $E=E_{k+2}$ ). Покажем, что в этом случае $\bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\bigr)\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)=\varnothing$ . Действительно, предположим, что существует накрытие $F\in \mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ для некоторого $k\geqslant 1$ . Тогда (см. диаграмму ( $*$ )) $\widetilde H_2$ может быть разветвлено либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ , либо в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$ , где $\widetilde B_1=E_{k+3}$ , $\widetilde B_2=E_{2}\cup\dots\cup E_{k+1}$ и $\widetilde B_3=B_1$ .

Из лемм 2 и 3 следует, что $\widetilde{\pi}^0_1\simeq \mu_2$ и $\widetilde{\pi}_2\simeq \mu_{2k+1}$ . Следовательно, $\widetilde H_2$ не может быть разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , так как $\operatorname{\textrm{НОД}}(2, 2k+1)=1$ .

Предположим, что $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_2\cup \widetilde B_3$ . Тогда $\deg \widetilde H_2$ является дивизором числа $2k+1$ , и поэтому двойственный граф кривой $\widetilde H_2^{-1}(E_{k+2}\cup E_{k+3})$ не является деревом, т.е. не выполнено второе необходимое условие.

Предположим, что $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ . Тогда $\deg \widetilde H_2=2$ и двойственный граф кривой $\widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_{2}\cup E_{k+2})=\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j$ (здесь $\widetilde E_{k+1}=\widetilde H_2^{-1}(E)\,{=}\,C$ ) является деревом с весами $[\,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1},3,2,3,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1}\,]$ . Следовательно, $\overline B^{\,0}\,{=}\bigcup_{j=1}^{2k+1}\overline E_j\,{\subset} \overline W_m$ является деревом с весами $[\,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1},3,1,3,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1}\,]$ , так как $(\widetilde H_2^{-1}(E_{k+3}), \widetilde H_2^{-1}(E_{k+3}))_{\widetilde W}=-1$ . Из теоремы 3 следует, что $\gamma_{\,\overline C}=1$ в $\pi_1(\overline W_m\setminus \overline B^{\,0})$ , т.е. в этом случае также не выполнено второе необходимое условие.

4.5. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}$ , $k\geqslant 1$

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf D_{2k+3}$ , $k\geqslant 1$ , изображен на рис. 4 (в этом случае $E=E_{k+3}$ ). Мы можем предполагать, что росток $(B,o)$ задан уравнением $u(v^2-u^{2k+1})=0$ . Циклическое накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to\widetilde V$ (см. диаграмму ( $*$ )) может быть разветвлено либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ , либо в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$ , где $\widetilde B_1=B_1\cup E_{3}\cup\dots\cup E_{k+2}$ , $\widetilde B_2=E_{k+4}$ и $\widetilde B_3=B_2$ , но, используя те же самые аргументы, как и в п. 4.4, легко показать, что накрытие $\widetilde H_2$ не может быть разветвлено ни в $\widetilde B_1\cup\widetilde B_3$ , ни в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$ .

Из замечания 6 и лемм 2 и 3 следует, что $\widetilde{\pi}_1$ является бесконечной циклической группой, порожденной элементом $e_{k+2}$ , а $\widetilde{\pi}^0_1\simeq \mu_{2k+1}$ и $\widetilde{\pi}^0_2\simeq \mu_{2}$ . Поэтому если $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , то $\deg \widetilde H_2=2$ и $\widetilde H_{2*}(e_{k+2})$ порождает группу монодромии $G_{\widetilde H_2}\simeq \mu_2$ . Применяя копредставление группы $\widetilde{\pi}_1$ , полученное с помощью теоремы 3, нетрудно показать, что $\widetilde W$ имеет особые точки типа $\mathbf A_1$ над точками пересечения неприводимых компонент кривой $\widetilde B$ и кривая $\overline B^{\,0}\subset \overline W_m$ является цепью рациональных кривых, $\overline B^{\,0}=\overline C\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{2k}\overline E_j\bigr)$ , веса в ее двойственном графе – это $[\underbrace{2,\dots,2}_{2k},1]$ . Поэтому $(W,o_1)$ является ростком гладкой поверхности и накрытие $H_2\colon (W,o_1)\to (V,o)$ задано функциями $y_1^2=u$ и $y_2=v$ , где $y_1$ , $y_2$ – координаты в $(W,o_1)$ . Прообраз $H_2^{-1}(B_2)=B_{2,1}\cup B_{2,2}$ является объединением двух ветвей, заданных уравнениями $y_2-y_1^{2k+1}=0$ и $y_2+y_1^{2k+1}=0$ . Циклическое накрытие $H_2\colon ((U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено с кратностью $m_1$ в кривой $H_2^{-1}(B_1)$ , заданной уравнением $y_1=0$ , и разветвлено с кратностью $m_2$ в одной из неприводимых компонент прообраза $H_2^{-1}(B_2)$ . Не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что $H_1$ разветвлено в $B_{2,1}$ . Положим $x_1\,{=}\,y_1$ и $x_2\,{=}\,y_2\,{-}\,y_1^{2k+1}$ . Тогда $H_1$ задается функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$ . Следовательно, $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями

$\begin{equation*} u=z^{2m_1}, \qquad v=z^{m_1(2k+1)}+w^{m_2}, \end{equation*} \notag$

где

$k$ ,

$m_1\geqslant 1$ ,

$m_2>1$ и

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ . Заметим, что

$\varsigma_m\colon \overline W_m\to (W,o_1)$ является композицией

$2k+1$

$\sigma$ -процессов, раздувающих точку

$o_1$ и точки, лежащие в собственном прообразе кривой

$B_{2,2}$ , и таких, что

$\overline C$ является исключительной кривой последнего раздутия. Поэтому (в силу леммы 1) из второго необходимого условия следует, что

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_2,2k+1)=1$ .

4.6. Случаи $\mathcal R_{\mathbf E_{6}}$ и $\mathcal R_{\mathbf E_{8}}$

Графы $\Gamma(\widetilde B)$ ростков кривых $(B,o)$ сингулярных типов $\mathbf E_{6}$ и $\mathbf E_8$ изображены на рис. 5 и рис. 7. Покажем, что $\mathcal R_{\mathbf E_{6}}\,{\cap}\, \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)\,{=}\,\varnothing$ (доказательство того, что $\mathcal R_{\mathbf E_{8}}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)=\varnothing$ , аналогично и поэтому будет опущено). Предположим, что $F\in \mathcal R_{\mathbf E_{6}}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ . Тогда (см. диаграмму ( $*$ )) накрытие $\widetilde H_2$ может быть разветвлено либо $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , либо $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ , либо $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$ , где $\widetilde B_1=E_{2}$ , $\widetilde B_2=E_{4}\cup E_{5}$ и $\widetilde B_3=B_1$ .

Из теоремы 3 следует, что $\widetilde{\pi}^0_1\simeq \mu_4$ и $\widetilde{\pi}_2\simeq \mu_{3}$ . Поэтому $\widetilde H_2$ не может быть разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , так как $\operatorname{\textrm{НОД}}(4, 3)=1$ .

Если $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ или в $\widetilde B_2\cup \widetilde B_3$ , то легко видеть, что двойственный граф кривой $\overline B^{\,0}\subset \overline W_m$ не является деревом, т.е. второе необходимое условие не выполнено.

4.7. Случай $\mathcal R_{\mathbf E_{7}}$

Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf E_{7}$ , заданного уравнением $u(v^2-u^3)=0$ , изображен на рис. 6 (в этом случае $E=E_{4}$ ). Перенумеруем хвосты кривой $\widetilde B$ следующим образом: $\widetilde B_1=B_1\cup E_5$ , где росток $B_1$ задан уравнением $u=0$ , а $\widetilde B_2=E_3$ и $\widetilde B_3=B_2$ . Аналогично рассмотренным выше случаям легко показать, что накрытие $\widetilde H_2$ должно быть разветвлено в $B_1\cup B_2$ , $\deg \widetilde H_2=3$ , и в этом случае $(W,o_1)$ является ростком гладкой поверхности, а $H_2$ задается функциями $u=y_1^3$ и $v=y_2$ . Тогда $H_1^{-1}(B_2)=B_{2,1}\cup B_{2,2}\cup B_{2,3}$ , где ростки $B_{2,j}\subset W$ задаются в координатах $y_1$ , $y_2$ в $(W,o_1)$ уравнениями $y_2-\omega_jy_1^2=0$ , $\omega_j=\exp(2\pi ji/3)$ , $j=1,2,3$ . Накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено с кратностью $m_2>1$ в одной из неприводимых компонент прообраза $H_2^{-1}(B_2)$ и, возможно, в $H_2^{-1}(B_1)$ . Как и выше, не ограничивая общности изложения, мы можем предположить, что $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено в ростке $B_{2,3}$ . Положим $x_1=y_1$ и $x_2=y_2-y_1^2$ . Тогда $H_1$ задается функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$ , где $z$ , $w$ – координаты в $(U,o')$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ . Следовательно, накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями

$\begin{equation*} u=z^{3m_1}, \qquad v=z^{2m_1}+w^{m_2}, \end{equation*} \notag$

где

$m_1\geqslant 1$ ,

$m_2>1$ и

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ .

4.8. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{4}}$

Из доказательства теоремы 3 следует, что росток накрытия $F\in \mathcal R_{\mathbf D_4}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ эквивалентен одному из накрытий, заданных следующими парами функций:

$\begin{equation} u=z^{m_1n}, \qquad v=(z^{m_1}+w^{m_2})^n \end{equation} \tag{21}$

или

$\begin{equation} u=(z^{m_1}-w^{m_2})^n, \qquad v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^n, \end{equation} \tag{22}$

где

$n\geqslant 2$ ,

$m_1$ ,

$m_2\geqslant 1$ и

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ ,

$\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$ ,

$1\leqslant j\leqslant n-1$ .

4.9. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$ , $k\geqslant 2$

Не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что росток кривой $(B,o)$ задан уравнением $uv(v-u^{k})=0$ , где $u=0$ – уравнение неприводимой компоненты $B_1$ ростка $B$ и $v=0$ – уравнение неприводимой компоненты $B_2$ . Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf D_{2k+2}$ , $k\geqslant 2$ , изображен на рис. 3 (в этом случае $E=E_{k+3}$ ). Занумеруем хвосты кривой $\widetilde B$ следующим образом: $\widetilde B_1=B_1\cup E_4\cup \dots\cup E_{k+2}$ , $\widetilde B_2=B_2$ и $\widetilde B_3=B_{3}$ . Циклическое накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ разветвлено либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , либо в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$ (случай, когда $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ , совпадает со случаем, когда $\widetilde H_2$ разветвлен в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , так как эти случаи отличаются друг от друга на замену координат в $(V,o)$ ).

Как и в п. 4.3, легко показать, что случай, когда накрытие $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_2\cup \widetilde B_3$ , невозможен.

Рассмотрим случай, когда циклическое накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ (см. диаграмму ( $*$ )) разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$ , $\deg \widetilde H_2=n$ . Пусть $n=n_1k_1$ и $k=k_1k_2$ , где $k_1=\operatorname{\textrm{НОД}}(n,k)$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,k_2)=1$ . Группа $\widetilde{\pi}_1$ порождается элементом $\gamma_{E_{k+2}}$ , представленным простой петлей вокруг кривой $E_{k+2}$ , и из теоремы 3 следует, что $\gamma_{B_1}=\gamma^k_{E_{k+2}}$ , где $\gamma_{B_1}$ – элемент в $\widetilde{\pi}_1$ , представленный простой петлей вокруг ростка $B_{1}$ . Группа монодромии $G_{\widetilde H_2}\simeq \mu_n\subset\mathbb S_n$ порождается элементом $g=\widetilde H_{2*}(\gamma_{E_{k+2}})$ . Элемент $\widetilde H_{2*}(\gamma_{B_2})=g^{-1}$ также порождает группу $\mu_n$ , где $\gamma_{B_2}$ – это элемент в $\widetilde{\pi}_1$ , представленный простой петлей вокруг ростка $B_{2}$ , и порядок элемента $\widetilde H_{2*}(\gamma_{B_1})=g^{k}$ равен $n_1$ . Следовательно, накрытие $\widetilde H_2$ разветвлено в $B_1$ с кратностью $n_1$ и разветвлено в $B_2$ с кратностью $n$ . В результате мы получаем, что $H_2$ разветвлено только в $B_1$ с кратностью $n_1$ и в $B_2$ с кратностью $n$ .

В диаграмме (13) накрытие $\theta_{n',q}\colon (X,\widetilde o)\to (W,o_1)$ разветвлено только в точке $o_1$ . Поэтому накрытие $F_{f,\min}=H_2\circ \theta_{n',q}\colon (X,\widetilde o)\to (V,o)$ задается в некоторых координатах $(x_1,x_2)$ в $(X,\widetilde o)$ функциями

$\begin{equation*} u=x_1^{n_1}, \qquad v=x_2^n, \end{equation*} \notag$

так как $(X,\widetilde o)$ является ростком гладкой поверхности и $H_2\circ \theta_{n',q}$ разветвлено в дивизоре с нормальными пересечениями $B_1\cup B_2$ . Прообраз $F^{-1}_{f,\min}(B_3)=\bigcup_{j=1}^nB_{3,j}$ является объединением $n$ гладких кривых, заданных уравнением $x_2^n- x_1^{n_1k}=\prod_{j=1}^n(x_2-\omega_jx_1^{k_2})=0$ , где $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$ , $j=1,\dots, n$ .

Накрытие $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (X,\widetilde o)$ разветвлено не более чем в двух неприводимых кривых, одна из которых принадлежит прообразу $F^{-1}_{f,\min}(B_3)$ (не ограничивая общности, мы можем предполагать, что она задана уравнением $y_2\,{:=}\,x_2\,{-}\,x_1^{k_2}=0$ ). Если кривая ветвления накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ состоит из двух неприводимых компонент, то вторая компонента является неприводимой компонентой прообраза либо кривой $B_1$ , либо кривой $B_2$ , либо кривой $B_3$ . Поэтому мы имеем три возможности: вторая неприводимая компонента задана либо уравнением $y_1:=x_1=0$ , либо $y_1:=x_2=0$ (если $k_2=1$ ), либо $y_1:=x_2-\omega_jx_1^{k_2}\,{=}\,0$ для некоторого $j=1,\dots, n-1$ (если $k_2=1$ ), и накрытие $\vartheta_{m_1,m_2}$ задано функциями $y_1=z^{m_1}$ и $y_2=w^{m_2}$ . Применив лемму 1, получаем, что второе необходимое условие эквивалентно условию $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=\operatorname{\textrm{НОД}}(m_2,k_2)=1$ в первом случае и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ во втором и третьем случаях. В результате мы получаем, что накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ эквивалентно одному из следующих накрытий, заданных функциями:

$\begin{equation*} u=z^{n_1m_1}, \qquad v=(z^{m_1k_2}+w^{m_2})^{n_1k_1} \end{equation*} \notag$

в первом случае;

$\begin{equation*} u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}, \qquad v=z^{m_1n_1k_1} \end{equation*} \notag$

во втором случае;

$\begin{equation*} u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}, \qquad v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^{n_1k_1} \end{equation*} \notag$

в третьем случае, где

$k_1k_2\geqslant 2$ ,

$n=n_1k_1\geqslant 2$ ,

$m_1,m_2\geqslant 1$ ,

$\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$ ,

$j=1,\dots, n-1$ ,

$\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=\operatorname{\textrm{НОД}}(nm_2,k_2)=1$ .



Список литературы

1.	В. И. Арнольд, “Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля $A_k$ , $D_k$ , $E_k$ и лагранжевы особенности”, Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 3–25 ; англ. пер.: V. I. Arnol'd, “Normal forms for functions near degenerate critical points, the Weyl groups of $A_k$ , $D_k$ , $E_k$ and Lagrangian singularities”, Funct. Anal. Appl., 6:4 (1972), 254–272
2.	W. Barth, C. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 4, Springer-Verlag, Berlin, 1984, x+304 pp.
3.	Вик. С. Куликов, “О ростках конечных морфизмов гладких поверхностей”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Труды МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 100–131 ; англ. пер.: Vik. S. Kulikov, “On germs of finite morphisms of smooth surfaces”, Proc. Steklov Inst. Math., 307 (2019), 85–114
4.	Вик. С. Куликов, “О жестких ростках конечных морфизмов гладких поверхностей”, Матем. сб., 211:10 (2020), 3–31 ; англ. пер.: Vik. S. Kulikov, “On rigid germs of finite morphisms of smooth surfaces”, Sb. Math., 211:10 (2020), 1354–1381
5.	Вик. С. Куликов, Е. И. Шустин, “О $G$ -жестких поверхностях”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Труды МИАН, 298, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 144–164 ; англ. пер.: Vik. S. Kulikov, E. I. Shustin, “On $G$ -rigid surfaces”, Proc. Steklov Inst. Math., 298 (2017), 133–151
6.	D. Mumford, “The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 9 (1961), 5–22
7.	K. Stein, “Analytische Zerlegungen komplexer Räume”, Math. Ann., 132 (1956), 63–93

Образец цитирования: Вик. С. Куликов, “Жесткие ростки конечных морфизмов гладких поверхностей и рациональные пары Белого”, Матем. сб., 212:9 (2021), 119–145; Vik. S. Kulikov, “Rigid germs of finite morphisms of smooth surfaces and rational Belyi pairs”, Sb. Math., 212:9 (2021), 1304–1328

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kul21}

\by Вик.~С.~Куликов

\paper Жесткие ростки конечных морфизмов гладких поверхностей и рациональные пары Белого

\jour Матем. сб.

\yr 2021

\vol 212

\issue 9

\pages 119--145

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9455}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9455}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4324078}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1482.14038}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212.1304K}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47536488}

\transl

\by Vik.~S.~Kulikov

\paper Rigid germs of finite morphisms of~smooth surfaces and rational Belyi pairs

\jour Sb. Math.

\yr 2021

\vol 212

\issue 9

\pages 1304--1328

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9455}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000718597100001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85120774811}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9455

https://doi.org/10.4213/sm9455

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i9/p119

Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:

Вик. С. Куликов, Г. Б. Шабат, “Ленточные графы и пары Белого с частично заданным ветвлением”, Алгебра, арифметическая, алгебраическая и комплексная геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Алексея Николаевича Паршина, Труды МИАН, 320, МИАН, М., 2023, 177–188 ; Vik. S. Kulikov, G. B. Shabat, “Ribbon Graphs and Belyi Pairs with Partially Prescribed Branching”, Proc. Steklov Inst. Math., 320 (2023), 161–171
Вик. С. Куликов, “О локальной фундаментальной группе дополнения к кривой в нормальной поверхности”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:3 (2023), 149–174 ; Vik. S. Kulikov, “On the local fundamental group of the complement of a curve in a normal surface”, Izv. Math., 87:3 (2023), 562–585
Вик. С. Куликов, “Теорема Кизини для почти общих накрытий проективной плоскости”, Матем. сб., 213:3 (2022), 64–80 ; Vik. S. Kulikov, “A Chisini Theorem for almost generic covers of the projective plane”, Sb. Math., 213:3 (2022), 341–356

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	377
PDF русской версии:	56
PDF английской версии:	38
HTML русской версии:	155
Список литературы:	44
Первая страница:	5

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

Введение

§ 1. Предварительные результаты

1.1. О фундаментальных группах

1.2. Графы разрешения особенностей ADEADE типов сингулярности

1.3. Циклические факторповерхности

§ 2. Описание прообраза \beta^{-1}(f)\beta^{-1}(f): общий случай

2.1. Необходимые условия

2.2. Достаточные условия

§ 3. Доказательство теоремы 1

§ 4. Доказательство теоремы 2

4.1.

4.2. Случаи \mathcal R_{\mathbf A_{0}}\mathcal R_{\mathbf A_{0}} и \mathcal R_{\mathbf A_{1}}\mathcal R_{\mathbf A_{1}}

4.3. Случай \mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}, k\geqslant 1k\geqslant 1

4.4. Случай \mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}, k\geqslant 1k\geqslant 1

4.5. Случай \mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}\mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}, k\geqslant 1k\geqslant 1

4.6. Случаи \mathcal R_{\mathbf E_{6}}\mathcal R_{\mathbf E_{6}} и \mathcal R_{\mathbf E_{8}}\mathcal R_{\mathbf E_{8}}

4.7. Случай \mathcal R_{\mathbf E_{7}}\mathcal R_{\mathbf E_{7}}

4.8. Случай \mathcal R_{\mathbf D_{4}}\mathcal R_{\mathbf D_{4}}

4.9. Случай \mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}, k\geqslant 2k\geqslant 2

Список литературы

1.2. Графы разрешения особенностей $ADE$ типов сингулярности

§ 2. Описание прообраза $\beta^{-1}(f)$ : общий случай

4.2. Случаи $\mathcal R_{\mathbf A_{0}}$ и $\mathcal R_{\mathbf A_{1}}$

4.3. Случай $\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$ , $k\geqslant 1$

4.4. Случай $\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}$ , $k\geqslant 1$

4.5. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}$ , $k\geqslant 1$

4.6. Случаи $\mathcal R_{\mathbf E_{6}}$ и $\mathcal R_{\mathbf E_{8}}$

4.7. Случай $\mathcal R_{\mathbf E_{7}}$

4.8. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{4}}$

4.9. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$ , $k\geqslant 2$