| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О локальной фундаментальной группе дополнения к кривой в нормальной поверхности Вик. С. Куликов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9357e 
Реферативные базы данных:
     Автор благодарен рецензенту за ценные замечания. ВведениеОбозначим через (S,C) пару, в которой S – это нормальная комплексная (не обязательно компактная) поверхность и C⊂S – эффективный приведенный (возможно обращающийся в нуль) дивизор Вейля на поверхности S (далее именуемый кривой, лежащей на поверхности S), удовлетворяющий следующим условиям: (i) C является связным множеством, (ii) если C – нулевой дивизор, то C=o∈S – это точка, (iii) если неприводимая компонента кривой C не является компактом (далее такие компоненты будем называть ростками кривых), то она гомеоморфна диску D1={z∈C∣|z|<1}, имеет не более одной особой точки и эта точка является образом центра диска D1 (будем называть образ центра диска D1 центром ростка кривой), (iv) каждый неприводимый росток кривой пересекается с другими неприводимыми компонентами кривой C только в его центре. Обозначим через C0 объединение всех неприводимых компактных компонент кривой C (если C не имеет одномерных компактных компонент, то C0 – это точка, общая для всех неприводимых компонент кривой C). Пусть U⊂S – некоторая открытая окрестность (в комплексно-аналитической топологии) кривой C0. Назовем собственное голоморфное отображение ν:X→U разрешением особенностей кривой C, если 1) X – неособая поверхность, и ν:X∖ν−1(C)→U∖C – биголоморфное отображение, 2) ˜C=ν−1(C) – дивизор с нормальными пересечениями в X, 3) каждая неприводимая компонента дивизора ˜C является неособой кривой, 4) любые две неприводимые компоненты дивизора ˜C пересекаются максимум в одной точке, 5) если C=o – это точка, или если все неприводимые компоненты кривой C не компактны, то ν:X→U не является биголоморфным отображением. Обозначим ˜C0=ν−1(C0)⊂X. Из 5) следует, что ˜C0 – непустое объединение компактных кривых, а из теоремы Штейна о факторизации (см. [1]), примененной к отображению ν, и связности множества C следует, что ˜C и ˜C0 также являются связными множествами. В [2] (см. также [3]) было определено понятие “трубчатой” окрестности кривой C0⊂S, основанное на существовании полиномиальной вещественнозначной функции α:X→R такой, что α(x)⩾0 для x∈X и α(˜C0)=0. В настоящей статье мы используем слегка измененное определение множества UC “трубчатых” окрестностей Uε⊂S кривой C0, основанное на существовании хороших (по отношению к кривой ˜C) эрмитовых метрик (т. е. положительно определенных эрмитовых квадратичных форм) (ds)2 на X, так что множество UC обладает следующими свойствами: – множество UC является базой открытых в S подмножеств, содержащих кривую C0, – фундаментальные группы π1(Uε∖C) изоморфны для всех Uε∈UC. Назовем группу πloc1(S,C):=π1(Uε∖C), Uε∈UC, локальной фундаментальной группой дополнения к кривой C в S. Скажем, что эрмитова метрика (ds)2, определенная в некоторой окрестности ˜U⊂X кривой ˜C0 является хорошей (по отношению к кривой ˜C), если для особых точек p кривой ˜C существуют окрестности Vp⊂˜U такие, что (i) в каждой Vp существуют локальные координаты (z1,z2) такие, что p=(0,0) и (ii) z1z2=0 – уравнение кривой ˜C∩Vp, (iii) метрика (ds)2 задана в Vp формулой (ds)2=dz1d¯z1+dz2d¯z2, (iv) Vp1∩Vp2=∅ для p1≠p2. Для того чтобы определить множество “рубчатых” окрестностей UC, рассмотрим окрестность U⊂S кривой C0 такую, что: во-первых, если p∈SingS∩U, то p∈C и, во-вторых, пара (U,U∩C) удовлетворяет условиям (i)–(iv). В п. 1.1 доказано существование хороших метрик в компактно вложенных в X окрестностей ˜U кривой ˜C0. В § 2 доказано, что для заданной хорошей метрики (ds)2 в ˜U⊂X существует положительное число ε0:=ε0((ds)2)≪1 такое, что множества ˜Uε1∖˜C0 и ˜Uε2∖˜C0 гомеоморфны друг другу, если ε1,ε2<ε0, где Обозначим через U˜C,ν,(ds)2:={˜Uε∣ε<ε0((ds)2)} множество всех окрестностей ˜Uε кривой ˜C0 с ε<ε0 и назовем ˜Uε∈U˜C,ν,(ds)2 (см. определение 2 в п. 1.2) трубчатой окрестностью кривой ˜C0⊂X (определенной с помощью хорошей метрики (ds)2). Обозначим через U˜C,ν:=⨆(˜ds)2U˜C,ν,(ds)2 дизъюнктное объединение множеств U˜C,ν,(ds)2, взятое по всем хорошим метрикам (ds)2, через U˜C:=⨆νU˜C,ν – дизъюнктное объединение множеств U˜C,ν, взятое по всем разрешениям ν:X→U особенностей кривой C⊂S. Открытые в S множества Uε, принадлежащие одному из множеств UC,ν:={Uε=ν(˜Uε)⊂S∣˜Uε∈U˜C,ν} назовем “трубчатыми” окрестностями кривой C0⊂S. Обозначим через UC:=⨆νUC,ν и через U:=⨆CU˜C дизъюнктное объединение множеств U˜C, взятое по всем парам (S,C).Граница ∂Uε⊂S окрестности Uε∈UC является связным компактным трехмерным C0-многообразием без границы. В § 2 доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть C⊂S – компактная кривая в нормальной комплексной поверхности S. Тогда 1) для Uε∈UC,ν,(ds)2 существует гомеоморфизм ρε:Uε∖C→∂Uε×(0,ε) (здесь (0,ε)={t∈R∣0<t<ε}) такой, что ρ−1ε(∂Uε×{ε1})=∂Uε1⊂Uε для 0<ε1<ε и, в частности, π1(Uε∖C)≃π1(∂Uε); 2) группы π1(Uε∖C) и π1(U′ε′∖C) изоморфны для всех Uε, U′ε′∈UC. Обозначим через Γ(˜C) двойственный частично двувзвешенный граф кривой ˜C=ν−1(C)=C1∪⋯∪Cm+k, где C1,…,Cm – неприводимые компактные компоненты кривой ˜C и Cm+1,…,Cm+k – ее неприводимые некомпактные компоненты. Множество вершин графа Γ(˜C) – это {v1,0,…,vm,0}∪{vm+1,1,…,vm+k,1}. Вершины vj,0, j=1,…,m, соответствуют компактным компонентам Cj, и их веса – это (w1,j,w2,j), где w1,j=(C2j)X – индекс самопересечения и w2,j=gj – род кривой Cj. Вершины vj,1, j=m+1,…,n=m+k, соответствуют некомпактным компонентам кривой ˜C и не имеют весов. Вершины vj1,δj1 и vj2,δj2 соединены ребром ej1,j2:=(vj1,δj1,vj2,δj2) тогда и только тогда, когда Cj1∩Cj2≠∅. Отметим, что Γ(˜C) является связным графом, так как ˜C – связное множество. Обозначим через G множество всех связных конечных частично двувзвешенных графов Γ, удовлетворяющих следующим условиям:
Нетрудно показать (см. п. 2.1), что имеет место следующее предложение. Обозначим через Γ0 подграф графа Γ∈G, множество вершин V(Γ0) которого – это V(Γ0)={v1,0,…,vm,0}, и множество ребер графа Γ0 – это множество ребер графа Γ, которые соединяют вершины из V(Γ0). Отметим, что фундаментальные группы π1(Γ(˜C),v1,0) и π1(Γ(˜C0),v1,0) являются свободными группами одного и того же ранга r⩾0, так как валентности vj вершин vj,1 равны 1 для j>m. Будем рассматривать граф Γ∈G как геометрический граф. Выберем r ребер E1,…,Er графа Γ0 так, что π1(Γ∖⋃sl=1El,v1,0) являются свободными группами ранга r−s для s=1,…,r. Пусть вершины vj(Es,1),0 и vj(Es,2),0 соединены ребрами Es. Для каждого s=1,…,r выберем две точки vj(Es,1),1 и vj(Es,2),1 на ребре Es так, что мы встречаем сначала точку vj(Es,2),1, если мы двигаемся от точки vj(Es,1),0 к vj(Es,2),0 вдоль ребра Es. Обозначим ˜E={E1,…,Er}, и пусть Γ˜E – граф (называемый деревом графа Γ), полученный из графа Γ после присоединения точек vj(Es,1),1 и vj(Es,2),1, s=1,…,r, к множеству вершин графа Γ и удаления ребер (vj(Es,2),1,vj(Es,2),1), соединяющих вершины vj(Es,2),1 и vj(Es,2),1 (см. рис. 1). По определению, вершины vj(Es,i),1 не имеют весов при i=1,2. Для каждой пары вершин vi,δi и vj,δj графа Γ˜E положим
Δ(i,δi),(j,δj)={1,если vi,δi и vj,δj соединены ребром в Γ˜E,0,если vi,δi и vj,δj не соединены ребром в Γ˜E,0,если vi,δi=vj,δj.
Обозначим через vj0:=v(vj0,0) валентность вершины vj0,0∈Γ˜E, и пусть есть множество вершин vj,δj∈Γ˜E, соединенных с vj0,0 ребрами. Обозначим через Ij0 множество индексов (j,δj) вершин vj,δj∈Υj0 и выберем биекцию Сопоставим вершинам vj,0, j=1,…,m, имеющим веса (w1,w2)=(kj,gj), слова в алфавите μj,1,λj,1,…,μj,gj,λj,gj, xj,0, x¯oj(1),…,x¯oj(vj), в которых [μj,i,λj,i]=μj,iλj,iμ−1j,iλ−1j,i.В следующем определении мы используем введенные выше обозначения. Определение 1. Для выбранного дерева Γ˜E графа Γ∈G обозначим через πw1(Γ˜E) группу, заданную копредставлением: она порождается m+k+3r+2∑mj=1gj элементами (g1) xj,0, μj,i, λj,i, 1⩽j⩽m, 1⩽i⩽gj, (g2) xm+1,1,…,xm+k,1, (g3) xj(Es,1),1, xj(Es,2),1, ys, 1⩽s⩽r, связанными определяющими соотношениями (r1) Wj=1, 1⩽j⩽m, (r2) [xj,0,μj,i]=[xj,0,λj,i]=1, 1⩽j⩽m, 1⩽i⩽gj, (r3) [xj1,δ1,xj2,δ2]=1, Δ(j1,δ1),(j2δ2)=1, (r4) x−1j(Es,1),0ysxj(Es,1),1y−1s=1, 1⩽s⩽r, (r5) x−1j(Es,2),1y−1sxj(Es,2),0ys=1, 1⩽s⩽r, где слова Wj определены в (1). Теорема 2. Пусть Γ˜E1 и Γ˜E2 – два дерева графа Γ∈G. Тогда πw1(Γ˜E1) и πw1(Γ˜E2) являются изоморфными группами. Пусть Γ˜E – дерево графа Γ∈G. Ввиду теоремы 2 назовем πw1(Γ):=πw1(Γ˜E) фундаментальной группой частично двувзвешенного графа Γ, а группу π1(Γ,v1,0) будем называть просто фундаментальной группой графа Γ. Теорема 3. Для Uε∈UC,ν и дерева Γ˜E(˜C) графа Γ(˜C), ˜C=ν−1(C), группа π1(Uε∖C) изоморфна группе πw1(Γ˜E). Группы π1(Uε∖C) и π1(U′ε′∖C) изоморфны для всех Uε, U′ε′∈UC. Ввиду предложения 1 легко видеть, что теорема 2 является прямым следствием теоремы 3. Когда C=o – это особая точка нормальной поверхности S и Γ(˜C) – дерево, теорема 3 была доказана Мамфордом в [2] для случая, когда ˜C – объединение рациональных кривых, и Вагрейхом в [4] для общего случая, т. е. когда неприводимые компоненты кривой ˜C не обязательно рациональны1. Доказательство теоремы 3 содержится также в [5] для случая, когда C – компактная кривая, и содержится в [6] для случая, когда C0 является особой точкой нормальной поверхности. Отметим, что теорема 3 была сформулирована и для случая, когда C0 является особой точкой нормальной поверхности, граф Γ(˜C) является деревом и ˜C0 – объединение рациональных кривых, и использована в [7] и [8] при описании связи между множеством рациональных пар Белого и множеством жестких ростков конечных морфизмов гладких поверхностей, разветвленных в ростках кривых, имеющих особенности ADE типов. Пусть S – подмножество множества G, и Πw(S)={πw1(Γ)∣Γ∈S} – множество фундаментальных групп частично двувзвешенных графов Γ∈S, рассматриваемых с точностью до изоморфизма групп. Следующая теорема (доказательство которой приведено в § 3) является следствием из теоремы 3. Теорема 4. 1. Пусть Ch0i⊂G, i=0,1,2, – множество частично двувзвешенных цепей с i вершинами, не имеющими весов, и вершины vj,0 которых имеют веса (kj,0). Тогда 2. Пусть L⊂G – множество частично двувзвешенных петель, вершины vj,0 которых имеют веса (kj,0). Тогда где \mathbb Z^2\ltimes_{M}\mathbb F_1=\langle (z_1,z_2),t\mid (z_1,z_2)\in \mathbb Z^2,\, t^{-1}(z_1,z_2)t=(z_1,z_2)M\rangle – полупрямые произведения групп \mathbb Z^2 и \mathbb F_1\simeq \mathbb Z, и M\in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z) действуют справа на \mathbb Z^2.3. Пусть \Gamma\in\mathcal G содержит n_i вершин v_{j,0} с весами (k_j,i), и i_0 – такое число, что n_i=0 для i>i_0, и пусть \pi_1(\Gamma,v_{1,0})\simeq \mathbb F_r – свободная группа ранга r, тогда существует эпиморфизм
\begin{equation*}
\pi^w_1(\Gamma)\to \biggl(\prod^{n_1}\mathcal R_1*\dots*\prod^{n_{i_0}}\mathcal R_{i_0}\biggr)*\mathbb F_r\to 1
\end{equation*}
\notag
на свободное произведение фундаментальных групп \mathcal R_g=\pi_1(R_g) римановых поверхностей R_g рода g и группы \mathbb F_r. Далее мы свободно используем введенные выше обозначения. § 1. Доказательство теоремы 31.1. Хорошие метрикиТак как кривая \widetilde C_0 является компактом, то мы можем выбрать разбиение единицы \{\rho_i\}, подчиненное конечному открытому в X покрытию \{ W_i\} кривой \widetilde C_0 такое, что \sum_i \rho_i(p)=1 для всех точек p\in\widetilde C_0. Пусть (z_{i,1},z_{i,2}) – локальные координаты в окрестности W_i. Тогда
\begin{equation*}
(d\widetilde s)^2 =\sum_{i}\rho_i(dz_{i,1}\, d\overline z_{i,1}+dz_{i,2}\, d\overline z_{i,2})
\end{equation*}
\notag
является эрмитовой метрикой в некоторой окрестности \widetilde U\subset \bigcup_iW_i кривой \widetilde C_0. Пусть W\subset \widetilde U – окрестность точки p\in \widetilde U с локальными координатами z_1, z_2 такими, что W биголоморфна шару \mathbb B_{r}=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C^2\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<r\} радиуса r, и p – это центр шара \mathbb B_{r}\simeq W. Тогда метрика (d\widetilde s)^2 в окрестности W задана равенством
\begin{equation}
(d\widetilde s)^2=h_{1}\,dz_1\, d\overline z_1+h_{2}\, dz_2\, d\overline z_2+(a+ib)\, dz_1\, d\overline z_2 +(a-ib)\, d\overline z_1\, dz_2,
\end{equation}
\tag{2}
где h_{1}:=h_{1}(z_1,z_2), h_{2}:=h_{2}(z_1,z_2), a:=a(z_1,z_2) и b:=b(z_1,z_2) – вещественнозначные функции в W. Кроме того, из критерия Сильвестра положительной определенности квадратичной формы следует, что форма, заданная равенством (2), является положительно определенной тогда и только тогда, когда h_{1}, h_{2}, a, b удовлетворяют неравенствам в каждой точке окрестности W. Не ограничивая общности изложения, мы можем считать, что r=4 и для \varepsilon\leqslant 4 будем рассматривать шары \mathbb B_{\varepsilon}=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C^2\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<\varepsilon\} как открытые подмножества в W\simeq \mathbb B_{4}. Доказательство. Выберем монотонные C^{\infty}-функции f_1(t) и g_1(t) такие, что
\begin{equation*}
f_1(t)= \begin{cases} 2, &\text{если }t\leqslant 3, \\ 1, &\text{если }t\geqslant \dfrac{7}{2}, \end{cases} \qquad g_1(t)= \begin{cases} 0, &\textrm{если }t\leqslant 3, \\ 1, &\textrm{если }t\geqslant \dfrac{7}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда, применяя (3), легко видеть, что
\begin{equation*}
(ds_1)^2= \begin{cases} f_1(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})(h_{1}\, dz_1\, d\overline z_2+h_{2}\, dz_2\, d\overline z_2) \\ \quad +\,g_1(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})((a+ib)\, dz_1\, d\overline z_2+(a-ib)\, d\overline z_1\, dz_2) &\text{в }\mathbb B_{7/2}\subset W, \\ (d\widetilde s)^2 &\text{в }\widetilde U\setminus \mathbb B_{7/2} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
есть эрмитова метрика в \widetilde U такая, что (ds_1)^2=2h_{1}\, dz_1\, d\overline z_1+2h_{2}\, dz_2\, d\overline z_2 в \mathbb B_{3}\,{\subset}\,W.
После этого выберем монотонные C^{\infty}-функции f_0(t) и g_0(t) такие, что
\begin{equation*}
f_0(t)= \begin{cases} 1, &\text{если }t\leqslant 2, \\ 0, &\textrm{если } t\geqslant \dfrac{5}{2}, \end{cases}\qquad g_0(t)= \begin{cases} 0, &\text{если }t\leqslant 2, \\ 1, &\text{если }t\geqslant \dfrac{5}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда
\begin{equation*}
(ds_0)^2= \begin{cases} \bigl(f_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})+2g_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})h_{1}\bigr)\, dz_1\, d\overline z_2 \\ \ \ +\,\bigl(f_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})+2g_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})h_{2}\bigr)\, dz_2\, d\overline dz_2 &\text{в }\mathbb B_{5/2}\subset W, \\ (ds_1)^2 &\textrm{в }\widetilde U\setminus \mathbb B_{5/2} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
есть эрмитова метрика в \widetilde U такая, что (d\widetilde s_0)^2=dz_1\, d\overline z_1+dz_2\, d\overline z_2 в \mathbb B_{2}\subset W. Лемма 1 доказана. Для точек p_{j_1,j_2}=C_{j_1}\cap C_{j_2}\subset \operatorname{Sing} \widetilde C, 1\leqslant j_1 < j_2\leqslant n, выберем попарно непересекающиеся окрестности W_{j_1,j_2}\subset \widetilde U\subset X точек p_{j_1,j_2}, биголоморфные шару \mathbb B_{4}=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C^2\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}< 4\}, и такие, что в координатах (z_1,z_2) в W_{j_1,j_2} кривая W_{j_1}:=C_{j_1}\cap W_{j_1,j_2} (соответственно кривая W_{j_2}:=C_{j_2}\cap W_{j_1,j_2}) задана уравнением z_1=0 (соответственно z_2=0). Применяя лемму 1, в каждой окрестности W_{j_1,j_2} заменим метрику (d\widetilde s)^2 на (ds_0)^2 и получим хорошую метрику (ds)^2 (относительно кривой \widetilde C) в \widetilde U\subset X. 1.2. Трубчатые окрестностиВыберем окрестность \widetilde U\subset X и в ней хорошую метрику (ds)^2. Для положительного \varepsilon\ll 1 и для j=1,\dots,m обозначим через
\begin{equation*}
U_{j,\varepsilon}= \{ p\in X\mid \operatorname{dist}_{(ds)^2}(C_j, p)<\varepsilon\}
\end{equation*}
\notag
\varepsilon-окрестность компактной кривой C_j, через \overline U_{j,\varepsilon} – ее замыкание в X и через
\begin{equation*}
\partial U_{j,\varepsilon}= \{ p\in X\mid \operatorname{dist}_{(ds)^2}(C_j, p)=\varepsilon\}
\end{equation*}
\notag
обозначим ее границу. Очевидно, существует положительное число \varepsilon_j\ll 1 такое, что если \varepsilon<\varepsilon_j, то \overline U_{j,\varepsilon}\subset \widetilde U и множество \{ U_{j,\varepsilon}\} является базой открытых в X подмножеств, содержащих кривую C_j. Рассмотрим ограничение T_{X\mid C_j} касательного расслоения T_X поверхности X на C_j как расслоение четырехмерных векторных пространств, определенных над \mathbb R. Тогда метрика (ds)^2 определяет расщепление расслоения T_{X\mid C_j} в прямую сумму T_{C_j}\bigoplus N_{C_j,(ds)^2} касательного расслоения T_{C_j} кривой C_j и нормального расслоения
\begin{equation*}
N_{C_j,(ds)^2}=\{ (p,v) \mid p\in C_j,\, v\in T_{X\mid C_j,p},\, v\perp T_{C_j,p}\}
\end{equation*}
\notag
над C_j векторных пространств, трансверсальных в T_{X\mid C_j,p} к касательным пространствам T_{C_j,p} относительно скалярного произведения
\begin{equation*}
(v_1,v_2)=\frac{1}{2}[(ds)^2(v_1+v_2)-(ds)^2(v_1)-(ds)^2(v_2)].
\end{equation*}
\notag
Обозначим через \operatorname{pr}_j\colon N_{C_j,(ds)^2}\to C_j проекцию расслоения N_{C_j,(ds)^2} на C_j, и через S_{j,0}=\{ (p,0)\in N_{C_j,(ds)^2}\mid p\in C_j\} – нулевое сечение. Для p\in C_j рассмотрим ограничение \operatorname{Exp}_{p\mid N_{C_j,(ds)^2}}\colon N_{C_j,(ds)^2}\to \widetilde U\subset X на N_{C_j,(ds)^2} экспоненциального отображения \operatorname{Exp}_p\colon T_{X,p}\to \widetilde U\subset X, отображающего сегменты одномерных векторных пространств в N_{C_j,(ds)^2} в геодезические линии, перпендикулярные кривой C_j в точке p. Хорошо известно, что для каждой точки p\in C_j существуют окрестности W_p\subset C_j точки p и V_p\subset \operatorname{pr}_j^{-1}(W_p)\subset N_{C_j,(ds)^2} точки S_{j,0}\cap \operatorname{pr}_j^{-1}(W_p) такие, что отображение \varphi_{j,p}\colon V_p \to \widetilde U, полученное в каждой точке (q,v)\in V_p с помощью экспоненциального отображения \operatorname{Exp}_{q\mid N_{C_j,(ds)^2}}\colon T_{X,q}\to \widetilde U, является диффеоморфизмом между V_p и ее образом \varphi_{j,p}(V_p). Так как для 1\leqslant j\leqslant m кривые C_j являются компактами, то легко видеть, что существуют окрестности V_j\subset N_{C_j,(ds)^2} нулевых сечений S_{j,0} такие, что \varphi_j\colon V_j\to \widetilde U, заданные формулой \varphi_j((p,v))=\varphi_{j,p}((p,v)), являются диффеоморфизмами окрестностей V_j и их образами. Не ограничивая общности изложения, можем предполагать, что U_{j,\varepsilon}\subset \varphi_j(V_j) при \varepsilon<\varepsilon_j. Обозначим N_{C_j,(ds)^2}(\varepsilon):=\varphi_j^{-1}(U_{j,\varepsilon}). Ниже мы будем отождествлять N_{C_j,(ds)^2}(\varepsilon)\subset N_{C_j,(ds)^2} с U_{j,\varepsilon}\subset X, если это не будет приводить к недоразумениям. В частности, проекция \operatorname{pr}_j определяет на \overline U_{j,\varepsilon} структуру C^{\infty}-локально тривиального расслоения на замкнутые диски радиуса \varepsilon и определяет на \partial U_{j,\varepsilon}\subset \overline U_{j,\varepsilon} структуру C^{\infty}-локально тривиального расслоения на окружности радиуса \varepsilon. Для p\in C_j множество \operatorname{pr}_j^{-1}(p)\cap \overline U_{j,\varepsilon} диффеоморфно диску \mathbb D_{\varepsilon}=\{ z\in\mathbb C\mid |z|\leqslant\varepsilon\}, оно является объединением отрезков длины \varepsilon геодезических линий в \overline {U}_{j,\varepsilon}, перпендикулярных кривой C_j и выходящих из точки p\in C_j. Введем следующие обозначения: d_0=\min_{1\leqslant j\leqslant m} \varepsilon_j> 0 и
\begin{equation*}
d_j = \operatorname{dist}_{ds^2}\biggl(C_j\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j} V_{j,o_j(i)}\biggr), \widetilde C\setminus C_j\biggr)>0
\end{equation*}
\notag
для 1\,{\leqslant}\, j\,{\leqslant}\, m, где V_{j,o_j(i)}:=V_{p_{j,o_j(i)}} – это окрестности точек p_{j,o_j(i)}\,{=}\, C_j\cap C_{o_j(i)}, участвующие в определении хорошей метрики (ds)^2 (см. введение); а также \varepsilon_0=\frac{1}{2}\min(1,d_0,d_1,\dots,d_m)>0. Определение 2. Открытые в X множества \widetilde U_{\varepsilon}=\bigcup_{j=1}^mU_{j,\varepsilon}, \varepsilon<\varepsilon_0, называются трубчатыми окрестностями кривой \widetilde C_0\subset X. Рассмотрим кривую C_j, j\leqslant m, и кривую C_{o_j(i)} с некоторым i\leqslant \operatorname{v}_j. По определению хорошей метрики (ds)^2, существует окрестность V:=V_{p_{j,o_j(i)}} точки p_{j,o_j(i)}=C_{j}\cap C_{o_j(i)}, биголоморфная шару \mathbb B_2\,{=}\,\{ (z_1,z_2)\,{\in}\,\mathbb C\mid \sqrt{|z_1|^2\,{+}\,|z_2|^2}\,{<}\,2\} и такая, что в координатах (z_1,z_2) в V_{p_{j,o_j(i)}} имеем (ds)^2= dz_1\, d\overline z_1+dz_2\, d\overline z_2, и, кроме того, кривая C_{j}\cap V_{p_{j,o_j(i)}} задана уравнением z_1=0, а C_{o_j(i)}\cap V_{p_{j,o_j(i)}} задана уравнением z_2=0. Замечание 1. Ниже, если j_1=o_j(i)\leqslant m, то мы будем предполагать, что V\,{=}\,V_{p_{j_1,j}}\,{=}\,V_{p_{j,j_1}}\subset X и отождествление окрестности V с шаром \mathbb B_2=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<2\} определяет биголоморфный автоморфизм шара \mathbb B_2, отображающий (z_1,z_2) в (z_2,z_1). Имеет место следующее утверждение. Утверждение 1. Для 1\leqslant j_i\leqslant m, i=1,2, и для \varepsilon<\varepsilon_0 имеем 1) U_{j_1,j_2,\varepsilon}:=U_{j_1,\varepsilon} \cap U_{j_2,\varepsilon}\subset V_{p_{j_1,j_2}}=V,
\begin{equation*}
U_{j_1,j_2,\varepsilon}\simeq \mathbb D^2_{\varepsilon}=\{\mathbb (z_1,z_2)\in \mathbb B_2\mid |z_1|<\varepsilon,\,\,|z_2|<\varepsilon\}\subset\mathbb B_2\simeq V_{p_{j_1,j_2}},
\end{equation*}
\notag
и в координатах (z_1,z_2) проекции \operatorname{pr}_{j_i\mid U_{j_1,j_2,\varepsilon}}\colon U_{j_1,j_2,\varepsilon}\to W_{j_i,\varepsilon}, i=1,2, заданы формулой \operatorname{pr}_{j_i\mid U_{j_1,j_2,\varepsilon}}\colon (z_1,z_2)\mapsto z_{\overline i}, где W_{j_i,\varepsilon}=C_{j_i}\cap U_{j_1,j_2,\varepsilon} и \{ i,\overline i\}=\{1,2\}, и, в частности, U_{j_i,\varepsilon}\cap C_{j_{\overline i}}= \operatorname{pr}_{j_i\mid U_{j_1,j_2,\varepsilon}}^{-1}(p_{j_1,j_2}); 2) отрезки геодезических линий, лежащих в V_{p_{j_1,j_2}} и перпендикулярных кривой C_{j_1} (соответственно C_{j_2}) и выходящих из точки p=(0,z_{2,0})\in C_{j_1} (соответственно p=(z_{1,0},0)\in C_{j_2}), есть
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{ (tz_1,z_{2,0})\mid 0\leqslant t< \sqrt{2-|z_{2,0}|^2}\} \\ \Bigl(\textit{соответственно } \Bigl\{ (z_{1,0},tz_2)\Bigm| 0\leqslant t< \sqrt{2-|z_{1,0}|^2}\Bigr\}\Bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где z_1\in\mathbb C, |z_1|=1 (соответственно z_2\in\mathbb C, |z_2|=1). 1.3. О нормальных расслоениях кривыхРассмотрим кривую \mathcal C:=C_{j}, соответствующую вершине v_{j,0}\in \Gamma(\widetilde C), j=1,\dots ,m. Если X и \mathcal C рассматриваются как комплексные многообразия, то T_X и T_{\mathcal C} являются определенными над \mathbb C векторными расслоениями, и нормальное расслоение N_{\mathcal C} кривой \mathcal C в X определяется с помощью точной последовательности
\begin{equation}
0\to T_{\mathcal C}\to T_{X \mid \mathcal C}\xrightarrow{\psi} N_{\mathcal C}\to 0.
\end{equation}
\tag{4}
Обозначим \operatorname{v}:=\operatorname{v}_j и p_i:=p_{j,o_{j}(i)}=C_{j}\cap C_{o_{j}(i)}. Пусть M:=M_j, K:=K_j – два неотрицательных целых числа таких, что (\mathcal C^2)_X=M-K и дивизор
\begin{equation*}
D:=D_j=(p_{\operatorname{v}+1}+\dots + p_{\operatorname{v}+M})-(p_{\operatorname{v}+M+1}+\dots+ p_{\operatorname{v}+M+K})\in \operatorname{Pic}(\mathcal C)
\end{equation*}
\notag
эквивалентен ограничению \mathcal C_{\mid \mathcal C} дивизора \mathcal C\in \operatorname{Pic}(X) на кривую \mathcal C. Тогда N_{\mathcal C}=L_{\mathcal C,D}, где L_{\mathcal C,D} – линейное расслоение, ассоциированное с дивизором D. Мы можем предполагать, что p_{i}\notin \operatorname{Supp}(D) для i=1,\dots, \operatorname{v}. Выберем окрестности W_i\subset \mathcal C точек p_i, i=1,\dots, \operatorname{v}+M+K, биголоморфные диску \mathbb D_2=\{ w\in\mathcal C\mid |w|< 2\} и такие, что W_{i_1}\cap W_{i_2}=\varnothing при i_1\neq i_2. Отождествим \mathcal C с нулевым сечением S_0 расслоения L_{\mathcal C,D}. Мы можем компактифицировать L_{\mathcal C,D}, добавив “бесконечно удаленное” сечение S_{\infty}, и получить относительно минимальную линейчатую поверхность \overline L_{\mathcal C,D} над кривой \mathcal C со слоями F_p=\operatorname{pr}^{-1}(p)\simeq\mathbb P^1 над точками p\in\mathcal C=S_0 проекции \operatorname{pr}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\to \mathcal C. В \operatorname{Pic}(\overline L_{\mathcal C,D}) имеет место равенство
\begin{equation}
S_0= S_{\infty}+ \sum_{i=1}^MF_{p_{\operatorname{v}+i}} -\sum_{i=1}^KF_{p_{\operatorname{v}+M+i}}.
\end{equation}
\tag{5}
Для \mathcal C=C_j добавим вложение \iota_j\colon N_{C_j,(ds)^2}\to T_{X\mid C_j} к точной последовательности (4): Тогда \psi_j\circ \iota_j\colon N_{C_j,(ds)^2}\to N_{C_j} является \mathbb R-линейным изоморфизмом линейных расслоений, \mathbb C-линейным над W_i для i=1,\dots,\operatorname{v}_j. Обозначим \widetilde U_{j,\varepsilon}:=\psi_j\circ \iota_j(N_{C_j,(ds)^2}(\varepsilon))\subset N_{C_j}. Очевидно, множество \widetilde{\mathcal U}_{j}=\{ \widetilde U_{j,\varepsilon}\mid \varepsilon< \varepsilon_0 \} является базой открытых (в комплексно-аналитической топологии) множеств в нормальном расслоении N_{C_j}, содержащих нулевое сечение S_{j,0}\subset N_{C_j}. Применяя утверждение 1, имеем следующее утверждение.Утверждение 2. Диффеоморфизмы \psi_j\circ \iota_j\circ \varphi_j^{-1}\colon U_{j,\varepsilon}\to \widetilde U_{j,\varepsilon} определяют диффеоморфизмы между U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C и \widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \bigl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\bigr). В частности, имеем изоморфизмы фундаментальных групп \pi_1(U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C)\simeq \pi_1\bigl(\widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \bigl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\bigr)\bigr). 1.4. Элементарные преобразованияДля точки p\in S_0 (соответственно \widetilde p=F_p\cap S_{\infty}) обозначим через \operatorname{elm}_{p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D'} (соответственно \operatorname{elm}_{\widetilde p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,\widetilde D'}) бирациональное преобразование (называемое элементарным преобразованием линейчатой поверхности \overline L_{\mathcal C,D}), состоящее из раздутия точки p (соответственно \widetilde p) и последующего стягивания собственного прообраза слоя F_p. Лемма 2. Пусть \operatorname{elm}_{p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D'} (соответственно \operatorname{elm}_{\widetilde p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,\widetilde D'}) – элементарное преобразование поверхности \overline L_{\mathcal C,D}. Тогда D'=D-p (соответственно \widetilde D'=D+p). Доказательство. Докажем лемму только в случае, когда элементарное преобразование – \operatorname{elm}_{p}, так как доказательство во втором случае аналогично. Не ограничивая общности изложения, можем считать, что p\not\in \operatorname{Supp} D.
Имеем \operatorname{elm}_{p}= \sigma\circ\sigma^{-1}_p\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D'}, где \sigma_p\colon Y\to \overline L_{\mathcal C,D} – это \sigma-процесс с центром в точке p= S_0\cap F_p и \sigma\colon Y\to \overline L_{\mathcal C,D'} – это \sigma-процесс, стягивающий собственный прообраз \sigma^{-1}_p(F_p) слоя F_p. Обозначим F'_p=\sigma^{-1}_p(p) и обозначим теми же буквами собственные прообразы (и соответственно образы при отображении \sigma) сечений S_0, S_{\infty} и слоев F_q над точками q\in \operatorname{Supp} D. Имеем \sigma^*_p(S_0)=S_0+F'_p и, учитывая равенство (5), получаем, что
\begin{equation*}
\sigma^*_p(S_0)=S_0+F'_p= S_{\infty}+\sum_{i=1}^MF_{p_{\operatorname{v}+i}} -\sum_{i=1}^KF_{p_{\operatorname{v}+M+i}}
\end{equation*}
\notag
в \operatorname{Pic}(Y) и
\begin{equation*}
\sigma_*(S_0)=S_0= S_{\infty}+\sum_{i=1}^MF_{p_{\operatorname{v}+i}} -\sum_{i=1}^KF_{p_{\operatorname{v}+M+i}}-F'_p
\end{equation*}
\notag
в \operatorname{Pic}(\overline L_{\mathcal C,D'}). Следовательно, D'=D-p\in \operatorname{Pic}(\mathcal C). Лемма 2 доказана. Применяя лемму 2, получаем бирациональное отображение
\begin{equation*}
T=\operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+1}}\cdots \operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+M}} \operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+M+1}}\cdots \operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+M+K}}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,0}\simeq \mathbb P^1\times \mathcal C
\end{equation*}
\notag
и обратное к нему отображение
\begin{equation}
T^{-1}=\operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+1}}\cdots \operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+M}} \operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+M+1}}\cdots \operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+M+K}}\colon \overline L_{\mathcal C,0}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D}.
\end{equation}
\tag{6}
Рассмотрим локальный случай элементарных преобразований, т. е. случай
\begin{equation*}
\operatorname{elm}_p\colon \mathbb P^1\times \mathbb D_2\dashrightarrow \mathbb P^1\times \mathbb D_2\quad (\text{соответственно} \operatorname{elm}_{\widetilde p}\colon \mathbb P^1\times \mathbb D_2\dashrightarrow \mathbb P^1\times \mathbb D_2),
\end{equation*}
\notag
где \mathbb D_2=\{ w\in \mathbb C\mid |w|< 2\} – это диск в \mathbb C и \mathbb P^1 – проективная прямая. Пусть (z_1:z_2) – однородные координаты в \mathbb P^1 и p=\{ (0,1)\}\times \{ w=0\} (соответственно \widetilde p=\{ (1,0)\}\times \{ w=0\}). Как и выше, обозначим через S_0=\{ z_1=0\}\times \mathbb D_2 нулевое сечение и через S_{\infty}=\{ z_2=0\}\times \mathbb D_2 – сечение в “бесконечности” проекции на \mathbb D_2. Отображение
\begin{equation*}
\operatorname{elm}_p \text{ (соответственно } \operatorname{elm}_{\widetilde p})\colon \mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)\to \mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)
\end{equation*}
\notag
является биголоморфным отображением. Следовательно, отображение \operatorname{elm}_p (соответственно \operatorname{elm}_{\widetilde p}) индуцирует изоморфизм
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{elm}_{p*} \text{ (соответственно } \operatorname{elm}_{\widetilde p*}) \colon \pi_1\bigl(\mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)\bigr) \\ &\qquad\qquad\qquad\to \pi_1\bigl(\mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть z=z_1/z_2 – координата в \mathbb C=\{ (z_1:z_2)\in \mathbb P^1\mid z_2\neq 0\}. Фундаментальная группа \pi_1(\mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p))=\pi_1(\mathbb C\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup F_p), q) является свободной абелевой группой, порожденной двумя элементами x_0, x_1, представленных соответственно петлями
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_0 &=\{ z=e^{2\pi\sqrt{-1}\, t},\, 0\leqslant t\leqslant 1 \}\times \{ w=1\}, \\ \gamma_1 &=\{ z=1 \}\times \{ w=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Доказательство прямо следует из [9; лемма 7]. 1.5. Копредставление фундаментальной группы неприводимой кривой с проколамиОбозначим, как и выше, N:=\operatorname{v}+M+K, и пусть есть попарно непересекающиеся N окрестностей точек p_i=\{ w_i=0\}\in W_i, i=1,\dots, N, в кривой \mathcal C=C_j. Кривая \mathcal C рода g, рассматриваемая как риманова поверхность, является сферой с g ручками. Хорошо известно, что мы можем выбрать g “меридиан” \widetilde{\mu}'_i:=\widetilde{\mu}'_{j,i} и g “параллелей” \widetilde{\lambda}'_i:=\widetilde{\lambda}'_{j,i}, i=1,\dots, g, т. е. \widetilde{\mu}'_1,\dots, \widetilde{\mu}'_g, \widetilde{\lambda}'_1,\dots, \widetilde{\lambda}'_g – это ориентируемые гладкие петли, пересекающиеся только в точке q'_0:=q'_{j,0}\in \mathcal C и такие, что если мы разрежем риманову поверхность \mathcal C вдоль этих петель, то получим 2g-угольник P_{\widetilde{\mu}',\widetilde{\lambda}'}(\mathcal C). Тогда фундаментальная группа \pi_1\bigl(\mathcal C\setminus \bigl(\bigcup_{i=1}^N p_i\bigr),q'_0\bigr) римановой поверхности \mathcal C с N проколами имеет следующее копредставление:
\begin{equation}
\pi_1\biggl(\mathcal C\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^N p_i\biggr),q'_0\biggr)= \biggl\langle \mu'_{1},\lambda'_{1},\dots,\mu'_g,\lambda'_{g},x'_{1},\dots,x'_{N} \biggm| \prod_{i=1}^{g}[\mu'_{i},\lambda'_{i}]\prod_{i=1}^{N}x'_{i}=1 \biggr\rangle,
\end{equation}
\tag{7}
где \mu'_i и \lambda'_i представлены петлями \widetilde{\mu'_i} и \widetilde{\lambda}'_i, а x'_{i} представлены петлями \widetilde x'_i, состоящими из путей l'_i от точки q'_0 до точек q'_i=\{ w_i=1\}\in W_i, обходов вдоль окружностей \gamma'_i=\{ w_i=e^{2\pi\sqrt{-1}\, t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\}\subset \mathbb D_2=\{ w_i\in \mathbb C\mid |w_i|<2\}\simeq W_i и возврата в точку q'_0 вдоль путей l'_i (см. рис. 2). 1.6. Копредставление фундаментальной группы дополнения к объединению нулевого сечения и слоев в нормальном расслоении неприводимой кривойПоверхность \overline L_{\mathcal C,0}\setminus \bigl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \bigl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\bigr)\bigr)\subset \overline L_{\mathcal C,0} изоморфна произведению \mathbb C^*_{z}\times \bigl(\mathcal C\setminus \bigl(\bigcup_{i=1}^N p_i\bigr)\bigr), где \mathbb C^*_{z}=\{ z\in\mathbb C \mid z\neq 0\}. Следовательно,
\begin{equation*}
\pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr)\simeq \pi_1(\mathbb C^*_{z},1)\times\pi_1\biggl(\mathcal C\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^N p_i\biggr),q'_0\biggr),
\end{equation*}
\notag
q_0=\{z=1\}\times q'_0, и группа \pi_1\bigl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \bigl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \bigl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\bigr)\bigr),q_0\bigr) имеет следующее копредставление:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \biggl\langle \mu_{1},\lambda_{1},\dots,\mu_g,\lambda_{g},x_0,x_{1},\dots,x_{N} \biggm| \prod_{i=1}^{g}[\mu_{i},\lambda_{i}]\prod_{i=1}^{N}x_{i}=1, \nonumber \\ &\qquad\qquad [x_0,\mu_j]=[x_0,\lambda_j]=1 \text{ для } 1\leqslant j\leqslant g, \ [x_0,x_i]=1 \text{ для }1\leqslant i\leqslant N \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
где элемент x_0 представлен петлей \widetilde x_0=\bigl\{ z=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\bigr\}\times q'_0; \mu_{i} и \lambda_i представлены петлями \widetilde{\mu}_i=\{ z=1\}\times \widetilde{\mu}'_i и \widetilde{\lambda}_{i}=\{ z=1\}\times \widetilde{\lambda}'_i, полученными в результате подъема в сечение S_1=\{ z=1\}\times \mathcal C\subset \overline L_{\mathcal C,0} петель, представляющих элементы \mu'_i и \lambda'_{i}; и x_i – это элементы, представленные петлями \widetilde x_i, состоящими из путей l_i=\{ z=1\}\times l'_i из точки q_0 до точек q_i=\{ z=1\}\times q'_i, обходов вдоль окружностей \gamma_i =\{ z=1\}\times \gamma'_i в \{ z=1\}\times W_i,
\begin{equation*}
\gamma_i =\{ z=1\}\times \bigl\{ w_i=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\bigr\}
\end{equation*}
\notag
и возвратов в точку q_0 вдоль путей l_i. Биголоморфное отображение (см. (6))
\begin{equation*}
T^{-1}\colon \overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr)\to \overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i})\biggr)
\end{equation*}
\notag
определяет изоморфизм
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &T^{-1}_*\colon \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr) \\ &\qquad \to \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),\widetilde q_0\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \widetilde q_0=T^{-1}(q_0). Положим \widetilde l_i=T^{-1}(l_i). В обозначениях, использованных в п. 1.4, отождествим окрестности W_i\subset\mathcal C с окрестностью W, рассмотренной в п. 1.4 (w_i:=w) и обозначим через
\begin{equation*}
y_i\in \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr),\qquad i=\operatorname{v}+1,\,\dots,\,\operatorname{v}+(M+K),
\end{equation*}
\notag
элементы, представленные петлями, состоящими из путей \widetilde l_i=T^{-1}(l_i), обходов вдоль окружностей \gamma_i =\{ z'=1\}\times \{ w_i=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\} в \mathbb C_{z'}\times W_i=\mathbb C_{z'}\times W и возвратов в точку \widetilde q_0 вдоль путей \widetilde l_i. Обозначим теми же буквами \mu_1,\lambda_1,\dots,\mu_g,\lambda_g и x_0,\dots, x_{\operatorname{v}} образы T_*^{-1}(\mu_i), T_*^{-1}(\lambda_i), T_*^{-1}(x_i) элементов
\begin{equation*}
\mu_1,\lambda_1,\dots,\mu_g,\lambda_g,x_0,\dots, x_{\operatorname{v}}\in \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr).
\end{equation*}
\notag
Тогда из леммы 3 следует, что T_*^{-1}(x_i)=x_0y_i при i=\operatorname{v}+1,\dots,\operatorname{v}+M и T_*^{-1}(x_i)=x_0^{-1}y_i при i=\operatorname{v}+M+1,\dots,\operatorname{v}+M+K. Применяя копредставление (8), группа \pi_1\bigl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \bigl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \bigl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\bigr)\bigr),\widetilde q_0\bigr) имеет следующее копредставление:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\langle \mu_{1},\lambda_{1},\dots,\mu_g,\lambda_{g},x_0,x_{1},\dots,x_{\operatorname{v}}, y_{\operatorname{v}+1},\dots, y_{\operatorname{v}+M+K} \biggm| \nonumber \\ &\qquad x_0^{\omega}\prod_{i=1}^{g}[\mu_{i},\lambda_{i}] \prod_{i=1}^{\operatorname{v}}x_{i}\prod_{i=1}^{M+K}y_{\operatorname{v}+i}=1,\ [x_0,\mu_j]=[x_0,\lambda_j]=1\text{ для }1\leqslant j\leqslant g, \nonumber \\ &\qquad [x_0,x_i]=1 \text{ для } 1\leqslant i\leqslant \operatorname{v},\ [x_0,y_{\operatorname{v}+i}]=1 \text{ для } 1\leqslant i\leqslant M+K \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
где \omega= M-K. Вложение
\begin{equation*}
i\colon \overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr)\hookrightarrow \overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}}F_{p_i}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
определяет эпиморфизм
\begin{equation*}
i_*\colon \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),\widetilde q_0\biggr)\twoheadrightarrow \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}}F_{p_i}\biggr) \biggr),\widetilde q_0\biggr).
\end{equation*}
\notag
Очевидно, ядро эпиморфизма i_* является нормальным замыканием в
\begin{equation*}
\pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),\widetilde q_0\biggr)
\end{equation*}
\notag
подгруппы, порожденной элементами y_{\operatorname{v}+1},\dots, y_{\operatorname{v}+M+K}. Поэтому, применяя копредставление (9) в случае, когда \mathcal C=C_j, мы получаем предложение 2, в котором использованы следующие обозначения: x_{j,0}=i_*(x_0), x_{o_j(l),1}=i_*(x_l) при l=1,\dots, \operatorname{v}_j, \mu_{j,l}=i_*(\mu_l) и \lambda_{j,l}=i_*(\lambda_l) при l=1,\dots,g_j. Предложение 2. Для N_{C_j}=L_{C_j,D} группа
\begin{equation*}
\pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0} \cup \biggl( \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr),\widetilde q_{j,0}\biggr)
\end{equation*}
\notag
имеет следующее копредставление:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0} \cup \biggl(\, \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr),\widetilde q_{j,0}\biggr) \nonumber \\ &\quad= \biggl\langle \mu_{j,1},\lambda_{j,1},\dots,\mu_{j,g_j},\lambda_{j,g_j}, x_{j,0},x_{o_j(1),1},\dots,x_{o_j(\operatorname{v}_j),1} \biggm| \nonumber \\ &\quad\qquad x_{j,0}^{k_{j}}\prod_{i=1}^{g_j}[\mu_{j,i},\lambda_{j,i}]\prod_{i=1}^{\operatorname{v}_j}x_{o_j(i),1} =1,\ [x_{j,0},\mu_{j,i}]=[x_{j,0},\lambda_{j,i}] =1 \textit{ при } 1\leqslant i\leqslant g_j, \nonumber \\ &\quad \qquad [x_{j,0},x_{o_j(i),1}] =1 \textit{ при } 1\leqslant i\leqslant \operatorname{v}_j \biggr\rangle,\quad \textit{где}\quad k_{j}= (C_j^2)_X. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
1.7. Копредставления фундаментальных групп дополнений к \widetilde C в трубчатых окрестностях ее компактных неприводимых компонентДля \varepsilon< \varepsilon_0 вложения i_{j,\varepsilon}\colon \widetilde U_{j,\varepsilon}\hookrightarrow N_{C_j} (см. п. 1.3) определяют гомоморфизмы
\begin{equation*}
i_{j,\varepsilon*}\colon \pi_1\biggl(\widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr)\to \pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
Предложение 3. Для каждого j и для каждого \varepsilon<\varepsilon_0 гомоморфизм
\begin{equation*}
i_{j,\varepsilon*}\colon \pi_1\biggl(\widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr)\to \pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
является изоморфизмом. Доказательство. Выберем конечное покрытие \{ W_{i}\} кривой C_j, C_j=\bigcup_iW_{i}, такое, что линейное расслоение N_{C_j} тривиально над каждой окрестностью W_{i}. Отождествим \operatorname{pr}_j^{-1}(W_{i})\subset N_{C_j} с N_{C_j\mid W_{i}}=\mathbb C_z\times W_{i} и положим N_{C_j\mid W_{i}}(\delta):=\{ (z,p)\in \mathbb C_z\times W_{i}\mid |z|<\delta\}\subset N_{C_j}. Тогда множество \bigl\{ N_{C_j}(\delta):=\bigcup_iN_{C_j\mid W_{i}}(\delta)\bigr\}_{\delta>0} является базой открытых в N_{C_j} множеств, содержащих нулевое сечение S_{j,0}. Очевидно, для каждого \varepsilon<\varepsilon_0 существует \delta_{\varepsilon}>0 такое, что N_{C_j}(\delta)\subset \widetilde U_{j,\varepsilon} для каждого \delta\leqslant\delta_{\varepsilon}.
Группа автоморфизмов \operatorname{Aut}(N_{C_j}) содержит подгруппу
\begin{equation*}
A_j=\{ a_{j,r}\in \operatorname{Aut}(N_{C_j})\mid a_{j,r}(z,w)=(rz,w) \text{ для } (z,w)\in\mathbb C_z\times \widetilde W_{j,i}\}.
\end{equation*}
\notag
Имеем a_{j,r}(N_{C_j}(\delta))=N_{C_j}(r\delta).
Согласно копредставлению (10) группа
\begin{equation*}
\Pi_j:=\pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr),\widetilde q_0\biggr)
\end{equation*}
\notag
является конечно представленной группой. Следовательно, для каждого соотношения \mathcal W(\overline{\mu}_j,\overline{\lambda}_j,\overline x_j)=1 в (10) существует такое непрерывное отображение \theta_{\mathcal W}\colon \overline{\mathbb D}_1\to N_{C_j}\setminus \bigl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\bigr) замкнутого диска \overline{\mathbb D}_1=\{ z\in \mathbb C\mid |z|\leqslant 1\}, что петля
\begin{equation}
\mathcal W\bigl(\widetilde{\mu}_{j,1}, \widetilde{\lambda}_{j,1},\dots, \widetilde{\mu}_{j,g_j}, \widetilde{\lambda}_{j,g_j}, \widetilde x_{j,0},\widetilde x_{o_j(1),1},\dots, \widetilde x_{o_j(\operatorname{v}_j),1}\bigr)=\theta_{\mathcal W}(\partial \overline{\mathbb D}_1)
\end{equation}
\tag{11}
является образом границы \partial \overline{\mathbb D}_1=\{ z=e^{2\pi \sqrt{-1}\, t}\mid 0\leqslant t\leqslant 1\} диска \overline{\mathbb D}_1 (здесь в случае \mathcal C=C_j петли \widetilde{\mu}_{j,i}:=\widetilde{\mu}_i, \widetilde{\lambda}_{j,i}:=\widetilde{\lambda}_i при i=1,\dots, g_j, \widetilde x_{j,0}:=\widetilde x_0 и \widetilde x_{o_j(i),1}:=\widetilde x_i при i=1,\dots, \operatorname{v}_j, где петли \widetilde{\mu}_{i}, \widetilde{\lambda}_{i}, \widetilde x_0 и \widetilde x_{i}, лежащие в \mathcal C, были определены в п. 1.6).
Так как \theta_{\mathcal W}(\overline{\mathbb D}_1) являются компактами, то существует константа r_{C_j}>0 такая, что
\begin{equation}
\theta_{\mathcal W}(\overline{\mathbb D}_1)\subset N_{C_j}(r_{C_j})
\end{equation}
\tag{12}
для всех соотношений \mathcal W в (10). Следовательно, если \delta<\delta_{\varepsilon}/r_{C_j}, то
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_{j,\delta}\bigl(\mathcal W\bigl(\widetilde{\mu}_{j,1}, \widetilde{\lambda}_{j,1},\dots, \widetilde{\mu}_{j,g_j}, \widetilde{\lambda}_{j,g_j}, \widetilde x_{j,0}, \widetilde x_{o_j(1),1},\dots, \widetilde x_{o_j(\operatorname{v}_j),1}\bigr)\bigr) \\ &\qquad\subset \widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
и из (11) и (12) легко следует, что i_{\varepsilon*} является изоморфизмом для \varepsilon<\varepsilon_0. Предложение 3 доказано. 1.8. Копредставление фундаментальной группы дополнения к \widetilde C в трубчатой окрестности кривой \widetilde C_0Пусть \widetilde{\mathcal U}_{\nu,\varepsilon}=\{ \widetilde U_{1,\varepsilon},\dots,\widetilde U_{m,\varepsilon}\} – множество окрестностей \widetilde U_{j,\varepsilon}\subset N_{C_j} нулевых сечений S_{j,0}\subset N_{C_j}. Обозначим через
\begin{equation*}
E'=\{ (v_{j_1,0},v_{j_2,0}) \mid 1\leqslant j_1<j_2\leqslant m, \, \Delta_{(j_1,0),(j_2,0)}=1\}
\end{equation*}
\notag
подмножество множества ребер графа \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C), и для (v_{j_1,0},v_{j_2,0})\in E' рассмотрим окрестности U_{j_1,j_2,\varepsilon}\subset U_{j_1,\varepsilon} и U_{j_2,j_1,\varepsilon}\subset U_{j_2,\varepsilon}, определенные в утверждении 1. Согласно замечанию 1 имеем равенство U_{j_1,j_2,\varepsilon}=U_{j_2,j_1,\varepsilon} как множеств в X. Поэтому, применяя отождествление U_{j,\varepsilon} с \widetilde U_{j,\varepsilon}, заданное диффеоморфизмами \psi_j\circ\iota\circ\varphi_j^{-1}\colon U_{j,\varepsilon}\to\widetilde U_{j,\varepsilon}, окрестности \widetilde U_{j_1,\varepsilon} и \widetilde U_{j_2,\varepsilon}, (v_{j_1,0},v_{j_2,0})\in E' могут быть склеены вдоль U_{j_1,j_2,\varepsilon}\subset U_{j_1,\varepsilon} и U_{j_2,j_1,\varepsilon}\subset U_{j_2,\varepsilon}, и в результате мы получим комплексную поверхность U'_{\varepsilon}. В обозначениях, использованных в доказательстве предложения 3 (и отождествляя \widetilde U_{j,\varepsilon} с U_{j,\varepsilon}), обозначим Q_{j,0}:=a_{j,\epsilon}(\widetilde q_{j,0}) и Q_{j,o_j(i)}:=a_{j,\epsilon}(\widetilde q_{j,o_j(i)})\in U_{j,\varepsilon}\subset U'_{\varepsilon}, i=1,\dots,\operatorname{v}_j. Кроме того, не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что Q_{j_1,j_2}=Q_{j_2,j_1}\in U_{j_1,j_2,\varepsilon}, если C_{j_1}\cap C_{j_2}\neq\varnothing. Обозначим также через L_{j,o_j(i)}:=a_{j,\epsilon}(\widetilde l_{j,o_j(i)}), i=0,1,\dots,\operatorname{v}_j, пути в U_{j,\varepsilon}, соединяющие точку Q_{j,0} с точками Q_{j,o_j(i)}. Так как \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C) является деревом, то мы можем предполагать, что пути \widetilde l_{j,o_j(i)} выбраны таким образом, что
\begin{equation*}
L=\bigcup_{j=1}^m\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}L_{j,o_j(i)}
\end{equation*}
\notag
является деревом. Для j=1,\dots,m и i=1,\dots, \operatorname{v}_j обозначим через L_{0,j,o_j(i)} пути в L из точки Q_{1,0} в точки Q_{j,o_j(i)}. Далее, если это не приводит к недоразумению, мы будем снова обозначать через \mu_{j,i}, \lambda_{j,i} и через x_{j,0} для j=1,\dots, m и i=1,\dots,g_j, а также мы обозначим через x_{o_j(i),1} при i=1,\dots \operatorname{v}_j элементы в \pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{1,0}), представленные петлями. 1. Идем из точки Q_{1,0} к Q_{j,0} вдоль пути L_{0,j,0}. 2. Один раз проходим вдоль a_{j,\epsilon}(\widetilde \mu_{j,i}) (соответственно a_{j,\epsilon}(\widetilde \lambda_{j,i}), a_{j,\epsilon}(\widetilde x_{j,0}) и a_{j,\epsilon}(\widetilde x_{j,o_j(i)}). 3. Возвращаемся к точке Q_{1,0} вдоль пути L_{0,j,0}. Выбор путей L_{0,j,0} и вложений \alpha_j\colon U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C\hookrightarrow U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C определяют гомоморфизмы
\begin{equation*}
\alpha_{j*}\colon \pi_1(U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{j,0}) \to \pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{1,0})
\end{equation*}
\notag
и равенства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(\mu_{j,i}))=\mu_{j,i},\qquad \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(\lambda_{ji}))=\lambda_{j,i},\qquad \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,0}))=x_{j,0}, \\ \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,o_j(i)}))=x_{o_j(i),1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что для U_{j,o_j(i),\varepsilon}\subset U_{j,\varepsilon} группа \alpha_{j*}(\pi_1(U_{j,o_j(i),\varepsilon}\setminus\widetilde C)) порождается элементами x_{j,0}=\alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,0})) и x_{o_j(i),1}=\alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,o_j(i)})), и легко видеть, что для 1\leqslant j_i\leqslant m, i=1,2, таких, что \Delta_{(j_1,0),(j_2,0)}=1, имеют место равенства
\begin{equation*}
\alpha_{j_1*}\bigl(\pi_1(U_{j_1,j_2,\varepsilon}\setminus\widetilde C)\bigr)=\alpha_{j_2*}\bigl(\pi_1(U_{j_2,j_1,\varepsilon}\setminus\widetilde C)\bigr),
\end{equation*}
\notag
x_{j_1,0}=x_{j_2,1} и x_{j_2,0}=x_{j_1,1}. Так как L является деревом, то, используя пути L_{0,j,o_j(i)} и применяя теорему Зайферта–ван Кампена (см. [10], [11]) последовательно m-1 раз, мы получим копредставление группы \pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C) в виде свободного произведения групп \alpha_{j*}(\pi_1(U_{j_,\varepsilon}\setminus\widetilde C,Q_{j,0})) с объединением групп
\begin{equation*}
\alpha_{j_1*}\bigl(\pi_1(U_{j_1,j_2,\varepsilon}\setminus\widetilde C, Q_{j_1,j_2})\bigr)=\alpha_{j_2*}\bigl(\pi_1(U_{j_2,j_1,\varepsilon}\setminus\widetilde C,Q_{j_2,j_1})\bigr),
\end{equation*}
\notag
\Delta_{(j_1,0),(j_2,0)}=1. В результате получаем предложение 4. Предложение 4. Группа \pi_1( U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{1,0}) имеет следующее копредставление: она порождается m+k+2\sum_{j=1}^mg_j+2r элементами
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &x_{j,0}, \ \mu_{j,i},\ \lambda_{j,i}, &\qquad &1\leqslant j\leqslant m,\quad 1\leqslant i\leqslant g_j, \\ &x_{j(E_s,1),1},\ x_{j(E_s,2),1}, &\qquad &s=1,\dots, r, \\ &x_{m+l,1}, &\qquad &1\leqslant l\leqslant k, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{13}
а определяющие соотношения – это (r_1)–(r_3) (здесь элементы x_{j,\delta} взаимно однозначно соответствуют вершинам v_{j,\delta} графа \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)). Чтобы из U'_{\varepsilon} получить поверхность \widetilde U_{\varepsilon}, мы должны последовательно склеить открытые множества U_{j(E_s,1),\varepsilon}\subset U'_{\varepsilon} с U_{j(E_s,2),\varepsilon}\subset U'_{\varepsilon} по их “пересечениям” U_{j(E_s,1),j(E_s,2),\varepsilon}=U_{j(E_s,1),\varepsilon}\cap U_{j(E_s,2)\varepsilon}\subset \widetilde U_{\varepsilon}, s=1,\dots,r. Пути L_{0,j(E_s,1),j(E_s,2)} и L_{0,j(E_s,2),j(E_s,1)} определяют два вложения
\begin{equation*}
\alpha_{j(E_s,i),j(E_s,\overline i),\varepsilon} \colon \pi_1(U_{j(E_s,1),j(E_s,2),\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{j(E_s,1),j(E_s,2)})\to \pi_1(\widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C, Q_{1,0}),
\end{equation*}
\notag
где i=1,2 и \{ i,\overline i\}=\{ 1,2\}. Поэтому, чтобы получить копредставление группы \pi_1(\widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C), достаточно последовательно применить r раз HNN-расширение группы of \pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C, Q_{1,0}) относительно этих вложений, т. е. достаточно добавить r порождающих элементов y_1,\dots, y_r и добавить соотношения (i_4), (r_5):
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} x_{j(E_s,1),0}^{-1}y_sx_{j(E_s,1),1}y_s^{-1} &=1 &\quad &\text{для} &\quad &1\leqslant s\leqslant r, \\ x_{j(E_s,2),0}^{-1}y_s^{-1}x_{j(E_s,2),1}y_s &=1 &\quad &\text{для} &\quad &1\leqslant s\leqslant r, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
к копредставлению, приведенному в предложении 4 (здесь y_s – элементы группы \pi_1(\widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C), представленные петлями L_{0,j(E_s,1),j(E_s,2)}\circ L^{-1}_{0,j(E_s,2),j(E_s,1)}). В результате мы получаем копредставление, существование которого утверждается в теореме 3. Поэтому, чтобы завершить доказательство теоремы 3, достаточно доказать, что группы \pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C) и \pi_1(U'_{\varepsilon'}\setminus C) изоморфны для всех U_{\varepsilon}, U'_{\varepsilon'}\in \mathcal U_{C}. 1.9. Завершение доказательства теоремы 3Отметим, что для всех U_{\varepsilon}\in \mathcal U_{C,\nu} и выбранного дерева {\Gamma}_{\widetilde E}(\widetilde{C}) для кривой \widetilde C=\nu^{-1}(C) копредставления фундаментальных групп \pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C), приведенных в теореме 3, не зависят от выбора окрестности \widetilde U\subset X, от хорошей метрики (ds)^2 в \widetilde U и от \varepsilon<\varepsilon_0. Кроме того, из доказанного выше вытекает следующее замечание. Замечание 2. Два копредставления, полученные с помощью выбора двух различных подмножеств \widetilde E=\{ E_1,\dots,E_r\} (участвующих в определении дерева \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)) в множестве ребер графа \Gamma(\widetilde C), являются копредставлениями одной и той же группы \pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C). Пусть \nu\colon X\to S – разрешение особенностей кривой C, и \sigma\colon X'\to X – \sigma-процесс с центром в точке p\in\widetilde C \subset X. Тогда \widetilde C'=(\nu\circ\sigma)^{-1}(C)=\sigma^{-1}(\widetilde C)\cup C_p, где C_p=\sigma^{-1}(p), а дерево \Gamma_{\widetilde E'}(\widetilde C') может быть получено из дерева \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C) следующим образом. Мы добавляем еще одну вершину v_{p,0} к множеству вершин графа \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C). Веса вершины v_{p,0} – это (w_{p,1},w_{p,2})=(-1,0). Затем, если p\in C_{j_0} и p\notin \operatorname{Sing}(\widetilde C), то мы добавляем одно ребро, соединяющее вершину v_{j_0,0}\in\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C) с v_{p,0}, и заменяем веса вершины v_{j_0,0} на (w_{j_0,1}-1,w_{j_0,2}). Если p=p_{j_1,j_2}=C_{j_1}\cap C_{j_2}, то согласно замечанию 2 мы можем предполагать, что ребро (v_{j_1,0},v_{j_2,0}) не принадлежит множеству \{ E_1,\dots,E_r\}, удаляем его, добавляем два ребра (v_{j_1,0},v_{p,0}) и (v_{p,0},v_{j_2,0}) и заменяем веса вершин v_{j_i,0} на (w_{j_i,1}-1,w_{j_i,2}), i=1,2. Пусть \langle \mathcal A \mid \mathcal R\rangle и \langle \mathcal A' \mid \mathcal R'\rangle (здесь \mathcal A и \mathcal A' – алфавиты, и \mathcal R и \mathcal R' – множества определяющих соотношений) – копредставления групп, полученных с помощью графов \Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C) и \Gamma_{\widetilde E'}(\widetilde C'). Тогда в первом случае \mathcal A'=\mathcal A\cup\{x_{p,0}\}, и множество определяющих соотношений \mathcal R' может быть получено из множества \mathcal R следующим образом: в \mathcal R мы заменяем соотношение x_{j_0,0}^{\omega_{j_0,2}}\mathcal W_{g_{j_0},\operatorname{v}_{j_0} }=1 на x_{j_0,0}^{\omega_{j_0,2}-1}\mathcal W_{g_{j_0},\operatorname{v}_{j_0} }x_{p,0}=1 и добавляем два соотношения x_{p,0}^{-1}x_{j_0,0}=[x_{j_0,0},x_{p,0}]\,{=}\,1. Очевидно, \langle \mathcal A \mid \mathcal R\rangle и \langle \mathcal A' \mid \mathcal R'\rangle являются изоморфными группами. Во втором случае \mathcal A'=\mathcal A\cup\{x_{p,0}\} и множество определяющих соотношений \mathcal R' может быть получено из множества \mathcal R следующим образом: в \mathcal R мы заменяем три соотношения
\begin{equation}
x_{j_1,0}^{\omega_{j_1,2}}\mathcal W_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1}} =x_{j_2,0}^{\omega_{j_2,2}}\mathcal W_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2}} =[x_{j_1,0},x_{j_2,0}]=1
\end{equation}
\tag{14}
на
\begin{equation}
x_{j_1,0}^{\omega_{j_i1,2}-1}\mathcal W'_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1}} =x_{j_2,0}^{\omega_{j_2,2}-1}\mathcal W'_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_i}} =[x_{j_1,0},x_{p,0}]=[x_{j_2,0},x_{p,0}]=1,
\end{equation}
\tag{15}
где слово \mathcal W'_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1} } получено из слова \mathcal W_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1} } заменой буквы x_{j_2,0} на x_{p,0}, а \mathcal W'_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2} } получено из \mathcal W_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2} } заменой буквы x_{j_1,0} на x_{p,0}, и, кроме того, мы добавляем еще одно соотношение Из (16) и (15) получаем равенства x_{p,0}=x_{j_1,0}x_{j_2,0}=x_{j_2,0}x_{j_1,0}, и легко видеть, что мы получим соотношения (14) из (15) и (16), если в (15) подставим x_{j_1,0}x_{j_2,0} в W'_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1} } и в \mathcal W'_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2} } вместо буквы x_{p,0}. Следовательно, во втором случае \langle \mathcal A \mid \mathcal R\rangle и \langle \mathcal A' \mid \mathcal R'\rangle также являются изоморфными группами. Для завершения доказательства теоремы 3 осталось заметить, что для любых двух разрешений особенностей \nu_1\colon X_1\to S и \nu_2\colon X_2\to S существуют X и две последовательности раздутий точек \widetilde{\nu}_1\colon X\to X_1 и \widetilde{\nu}_2\colon X\to X_2 такие, что \nu_i\circ\widetilde{\nu}_i\colon X\to S, i=1,2, являются разрешениями особенностей. § 2. Доказательства предложения 1 и теоремы 12.1. Доказательство предложения 1Рассмотрим граф \Gamma\in \mathcal G. Пусть
\begin{equation*}
\{ v_{1,0},\dots, v_{m,0}\}\cup \{ v_{{m+1},1},\dots, v_{n,1}\}
\end{equation*}
\notag
есть множество его вершин, и пусть (k_j,g_j) – это веса вершин v_{j,0} при j\leqslant m. Для каждой вершины v_{j,o}, j\leqslant m, с весами (k_j,g_j) обозначим через C_j нулевое сечение (и базу) комплексного линейного расслоения \operatorname{pr}_j\colon L_j:=L_{C_j,D}\to C_j, ассоциированного с дивизором D степени k_j на проективной кривой C_j рода g_j. Имеем (C_j^2)_{L_j}=k_j. Затем выберем \operatorname{v}_{v_{j,0}} слоев проекции \operatorname{pr}_j, обозначим их через F_{j,o_j(1)},\dots, F_{j,o_j(\operatorname{v}_j)}, и выберем эрмитову метрику (ds_j)^2 в L_j, являющуюся хорошей по отношению к кривой C_j\cup \bigl(\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{j,o_j(i)}\bigr). Пусть \varepsilon _j – положительное число такое, что множества
\begin{equation*}
U_{j,\varepsilon}= \{ p\in L_j\mid \operatorname{dist}_{(ds_j)^2}(C_j, p)<\varepsilon\leqslant\varepsilon_j\}
\end{equation*}
\notag
являются трубчатыми окрестностями кривой C_j. По определению хорошей метрики, для каждого i=1,\dots, \operatorname{v}_j существует окрестность V_{j,o_j(i)}\subset U_{j,\varepsilon} точки p_{j,o_j(i)}=C_j\cap F_{o_j(i)} такая, что (i) существуют локальные координаты z_1,z_2 в V_{j,o_j(i)} такие, что
\begin{equation*}
V_{j,o_j(i)}\simeq \{ (z_{j,1},z_{j,2})\in\mathbb C^2\mid |z_{j,1}|<\varepsilon,\, |z_{j,2}|<\varepsilon\};
\end{equation*}
\notag
(ii) z_{j,1}=0 является уравнением кривой C_j\cap V_{j,o_j(i)}, а z_{j,2}=0 – уравнение кривой F_{o_j(i)}\cap V_{j,o_j(i)}; (iii) метрика (ds_j)^2 в V_{j,o_j(i)} задана формулой (ds_j)^2=dz_{j,1}\,d\overline z_{j,1}+dz_{j,2}\,d\overline z_{j,2}. Обозначим \varepsilon_0=\min_{1\leqslant j\leqslant m} \varepsilon_j и C_{o_j(i)}=F_{o_j(i)}\cap V_{j,o_j(i)}\subset U_{j,\varepsilon_0}, если o_j(i)\,{>}\,m. Если для 1\leqslant j_1\neq j_2\leqslant m существуют i_1 и i_2 такие, что o_{j_1}(i_2)=j_2 и o_{j_2}(i_1)=j_1, то мы склеиваем U_{j_1,\varepsilon_0} с U_{j_2,\varepsilon_0}, отождествляя V_{j_1,j_2}\subset U_{j_1,\varepsilon_0} с V_{j_2,j_1}\subset U_{j_2,\varepsilon_0} с помощью биголоморфного изоморфизма окрестностей V_{j_1,j_2} и V_{j_2,j_1}, заданного отображением z_{j_1,1}\leftrightarrow z_{j_2,2}, z_{j_1,2}\leftrightarrow z_{j_2,1}. В результате всех таких склеиваний мы получим трубчатую окрестность \widetilde U_{\varepsilon_0}=\bigcup_{j=1}^mU_{j,\varepsilon_0} кривой \widetilde C=\bigcup_{j=1}^nC_j. Очевидно, двойственный частично двувзвешенный граф \Gamma(\widetilde C) кривой \widetilde C\subset \widetilde U_{\varepsilon_0} и частично двувзвешенный граф \Gamma\in\mathcal G изоморфны как частично двувзвешенные графы. 2.2. Доказательство теоремы 1В обозначениях, использованных в п. 1.2, для каждой точки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_{j_1,j_2} &=C_{j_1}\cap C_{j_2}\subset V_{p_{j_1,j_2}}\simeq \mathbb B_2 \\ &=\bigl\{ (z_1,z_2)\in \mathbb C^2\bigm| \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<2\bigr\}, \qquad 1\leqslant j_1,j_2,\leqslant m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
рассмотрим в V_{p_{j_1,j_2}}\cap \partial U_{\varepsilon} подмножество
\begin{equation*}
\partial U_{j_1,j_2,\varepsilon}\simeq \{ (z_1,z_2)\mid |z_1|= \varepsilon,\, \varepsilon\leqslant |z_2|\leqslant 1\}\cup \{ (z_1,z_2)\mid \varepsilon \leqslant |z_1|\leqslant 1,\, |z_2|=\varepsilon\},
\end{equation*}
\notag
и пусть M_{j_1,j_2,\varepsilon}\,{=}\,\{ (|z_1|,|z_2|)\in\mathbb R^2\mid (z_1,z_2)\in\partial U_{j_1,j_2,\varepsilon}\}\subset \mathbb R^2 – множество модулей координат точек, лежащих в \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon}. Для \varepsilon_1<\varepsilon_2<\varepsilon_0 рассмотрим отображение \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1},
\begin{equation*}
\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon (z_1,z_2)\in \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\mapsto \bigl(\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_1),\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_2)\bigr)\in \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1},
\end{equation*}
\notag
заданное следующим образом: \operatorname{arg}(\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_i))=\operatorname{arg}(z_i) для i=1,2, и индуцированное отображением \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} отображение |\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}|\colon M_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to M_{j_1,j_2,\varepsilon_1} является проекцией из точки (1,1)\in\mathbb R^2 множества M_{j_1,j_2,\varepsilon_2} в M_{j_1,j_2,\varepsilon_1} (см. рис. 3). Легко видеть, что \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} задается формулами
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_1,z_2) &= \biggl(\frac{(1-\varepsilon_1)(|z_1|-1)+(1-\varepsilon_2)}{(1-\varepsilon_2)|z_1|}z_1, \, \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}z_2\biggr), &\quad &\text{если } |z_2|=\varepsilon_2, \\ \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_1,z_2) &= \biggl(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}z_1, \, \frac{(1-\varepsilon_1)(|z_2|-1)+(1-\varepsilon_2)}{(1-\varepsilon_2)|z_2|}z_2\biggr), &\quad &\text{если } |z_1|=\varepsilon_2. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{17}
Очевидно, для C_{j_1}\cap C_{j_2}\neq \varnothing отображения \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1} являются гомеоморфизмами. Для того чтобы показать, что гомеоморфизмы \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1} продолжаются до гомеоморфизма \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial \widetilde U_{\varepsilon_2}\to \partial \widetilde U_{\varepsilon_1}, рассмотрим объединение \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon}, взятое по всем o_j(i) таким, что \overline o_j(i)=(o_j(i),0). Применяя утверждение 1, из (17) следует, что для точек q=(z_1,z_2)\in \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2} таких, что |z_1|=1 и |z_2|=\varepsilon_2 (соответственно |z_1|=\varepsilon_2 и |z_2|=1), образы \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(q) принадлежат геодезическим линиям \gamma\subset V_{j_1,j_2}, трансверсальным к кривой C_{j_2} (соответственно C_{j_1}) и проходящим через точки q. Поэтому гомеоморфизмы \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1} могут быть продолжены до гомеоморфизма \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial \widetilde U_{\varepsilon_2}\to \partial \widetilde U_{\varepsilon_1} такого, что его ограничения
\begin{equation*}
\rho_{j,\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j,\varepsilon_2}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_2}\to \partial U_{j,\varepsilon_1}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_1}
\end{equation*}
\notag
на \partial U_{j,\varepsilon_2}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_2} определяются следующим образом: гомеоморфизмы \rho_{j,\varepsilon_1,\varepsilon_2} отображают точки q\in \partial U_{j,\varepsilon_2}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_2} в точки \rho_{j,\varepsilon_1,\varepsilon_2}(q)=\gamma_q\cap \bigl(\partial U_{j,\varepsilon_1}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_1}\bigr), где \gamma_q – геодезические линии, трансверсальные к кривым C_j и проходящие через точки q. В результате мы получаем гомеоморфизм \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{\varepsilon_2}\simeq \partial \widetilde U_{\varepsilon_2}\to \partial \widetilde U_{\varepsilon_1}\simeq \partial U_{\varepsilon_1}. Для q\in \widetilde U_{\varepsilon} обозначим через d(q)=\operatorname{dist}_{(ds)^2}(q,\widetilde C) расстояние от точки q до кривой \widetilde C. Имеем гомеоморфизм U_{\varepsilon}\setminus C\simeq \widetilde U_{\varepsilon}\setminus\widetilde C, и легко видеть, что отображение
\begin{equation*}
\rho_{\varepsilon}\colon U_{\varepsilon}\setminus C\simeq \widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C \to \partial \widetilde U_{\varepsilon}\times (0,\varepsilon)\simeq \partial U_{\varepsilon}\times (0,\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
заданное формулой \rho_{\varepsilon}(q)=(\rho^{-1}_{d(q),\varepsilon}(q),d(q)) для q\in \widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C, является гомеоморфизмом. Следовательно, группы \pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C) и \pi_1(\partial U_{\varepsilon}) изоморфны, и утверждения 1) и 2) теоремы 1 следуют из теоремы 3.
§ 3. Доказательство теоремы 43.1. Расширенный алгоритм ЕвклидаПусть \mathbb Z[u_1,\dots,u_n,\dots] – кольцо многочленов от переменных u_1,\dots,u_n,\dots с коэффициентами в \mathbb Z, и \mathbb Q(u_1,\dots, u_n,\dots) – его поле частных. Рассмотрим рациональные функции
\begin{equation}
R_n(u_1,\dots, u_n)=u_n-\frac{1}{u_{n-1}-\cfrac{1}{u_{n-2}- \cfrac{1}{\dots -\cfrac{1}{u_1}}}}\in \mathcal R= \mathbb Q(u_1,\dots,u_n,\dots)
\end{equation}
\tag{18}
и R_0=P_0=1. Применяя индукцию, легко проверить, что R_n(u_1,\dots,u_n)=P_n(u_1,\dots,u_n)/P_{n-1}(u_1,\dots,u_{n-1}), где многочлены P_n(u_1,\dots,u_n) заданы рекурсивно:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_0:=1,\qquad P_1:=P_1(u_1)=u_1, \nonumber \\ P_2:=P_2(u_1,u_2)= u_2P_1-P_0=u_1u_2-1, \nonumber \\ P_3:=P_3(u_1,u_2,u_3)=u_3P_2-P_1=u_1u_2u_3-u_1-u_3, \nonumber \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots
\end{gathered}\end{equation}
\notag
Обозначим также Q_n:=P_{n-1}(u_2,\dots,u_n) и Q_{0}:=0, и рассмотрим множество (2\times 2)-матриц
\begin{equation*}
\mathcal M=\biggl\{ M_m=(-1)^m\begin{pmatrix} -Q_{m-1}, & Q_{m} \\ -P_{m-1}, & P_m \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2,\mathcal R) \biggm| m\in\mathbb N \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Обозначим
\begin{equation*}
M_1(u_m):=(-1)\begin{pmatrix} 0, & 1 \\ -1, & u_m \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2,\mathcal R),\qquad m\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
в частности, M_1=M_1(u_1). Лемма 4. Множество матриц \mathcal M=\{ M_m=M_1(u_1)\cdots M_1(u_m)\mid m\in \mathbb N\} \subset \operatorname{SL}(2,\mathcal R). Доказательство. Используя индукцию по m и применяя равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_m M_1(u_{m+1}) &= (-1)^{m+1} \begin{pmatrix} -Q_{m-1}, & Q_{m} \\ -P_{m-1}, & P_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0, & 1 \\ -1, & u_{m+1} \end{pmatrix} \\ &=(-1)^{m+1} \begin{pmatrix} -Q_{m}, & -Q_{m-1}+u_{m+1}Q_{m} \\ -P_{m}, & -P_{m-1}+u_{m+1}P_m \end{pmatrix} \\ &\!\!\stackrel{(19)}= (-1)^{m+1} \begin{pmatrix} -Q_{m}, & Q_{m+1} \\ -P_{m}, & P_{m+1} \end{pmatrix}=M_{m+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
получаем, что M_m=M_1(u_1)\cdots M_1(u_m).
Имеем M_m\in \operatorname{SL}(2,\mathcal R), так как \det M_1(u_n)=1. Лемма 4 доказана. Обозначим через \overline k^{\,m}=(k_1,\dots,k_m), k_j\in\mathbb Z, элементы решетки \mathbb Z^m. Матрицы M_m\in \mathcal M определяют отображения \mu_m \colon \mathbb Z^m\to \operatorname{SL}(2,\mathbb Z), заданные формулой
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu_m \colon \overline k^{\,m}=(k_1,\dots,k_m) \\ &\qquad\qquad\mapsto M_{\overline k^{\,m}}=(-1)^m\begin{pmatrix} -Q_{m-1}(k_2,\dots, k_{m-1}), & Q_{m}(k_2,\dots, k_m) \\ -P_{m-1}(k_1,\dots,k_{m-1}), & P_m(k_1,\dots, k_m) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Доказательство. Хорошо известно, что группа \operatorname{SL}(2,\mathbb Z) порождается матрицами
\begin{equation*}
T_{1,2}(m)=\begin{pmatrix} 1, & m \\ 0, & 1 \end{pmatrix},\qquad T_{2,1}(m)= \begin{pmatrix} 1, & 0 \\ m, & 1 \end{pmatrix},\qquad m\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
т. е. любая матрица A\in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z) является произведением A=T_1(m_1)\cdots T_n(m_n) для некоторого n\in\mathbb N, где каждая матрица T_i(m_i) – это либо T_{1,2}(m_i), либо T_{2,1}(m_i) и, если T_i(m_i)=T_{1,2}(m_i), то T_{i+1}(m_{i+1})=T_{2,1}(m_{i+1}), а если T_i(m_i)=T_{2,1}(m_i), то T_{i+1}(m_{i+1})=T_{1,2}(m_{i+1}). С другой стороны, согласно лемме 4 легко видеть, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{(0,0,0,-k_4)} &=M_1(0)^3M_1(k_4)=T_{1,2}(k_4)\in \mu_4(\mathbb Z^4), \\ M_{(k_1,0,0,0)} &=M_1(k_1)M_1(0)^3=T_{2,1}(k_1)\in \mu_4(\mathbb Z^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применяя еще раз лемму 4, получаем, что A=T_1(m_1)\cdots T_n(m_n)\in \mu_{4n}(\mathbb Z^{4n}). Предложение 5 доказано. 3.2. Доказательство утверждения 1) теоремы 4Рассмотрим частично двувзвешенный граф \Gamma_{m,2}\in\mathcal Ch_2^0, изображенный на рис. 4, где (k_j,0) – это веса вершин v_{j,0}. Согласно теореме 2 группа \pi_1^w(\Gamma_{m,2}) имеет следующее копредставление:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi_1^w(\Gamma_{m,2}) &=\langle x_{1,0},\dots,x_{m,0},x_{m+1,1},x_{m+2,1}\mid x_{1,0}^{k_1}x_{m+1,1}x_{2,0}=x_{2,0}^{k_2}x_{1,0}x_{3,0} \nonumber \\ &\qquad\qquad =\dots=x_{m-1,0}^{k_{m-1}}x_{m-2,0}x_{m,0}=x_{m,0}^{k_m}x_{m-1,0}x_{m+2,1}=1, \nonumber \\ &\qquad\qquad [x_{1,0},x_{m+1,1}]=[x_{1,0},x_{2,0}]=[x_{2,0},x_{3,0}] \nonumber \\ &\qquad\qquad=\dots=[x_{m-1,0},x_{m,0}]=[x_{m,0},x_{m+2,1}]=1\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
Из (20) получаем, что
\begin{equation*}
x_{2,0}=x_{m+1,1}^{-1}x_{1,0}^{-k_1}\quad\text{и}\quad [x_{2,0},x_{m+1,1}]=1,
\end{equation*}
\notag
так как [x_{1,0},x_{m+1,1}]=1. Затем получаем
\begin{equation*}
x_{3,0}=x_{1,0}^{-1}x_{2,0}^{-k_2}=x_{m+1,1}^{k_2}x_{1,0}^{k_1,k_2-1}\quad\text{и}\quad [x_{1,0},x_{3,0}]=[x_{m+1,1},x_{3,0}]=1
\end{equation*}
\notag
и так далее, получаем
\begin{equation}
x_{j,0}=x_{m+1,1}^{(-1)^{j-1}Q_{j-1}}x_{1,0}^{(-1)^{j-1}P_{j-1}},\qquad j=2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{21}
где P_j=P_j(k_1,\dots,k_j) и Q_{j}=P_{j-1}(k_2,\dots,k_j). Из (21) и (22) следует, что \pi_1^w(\Gamma_{m,2})=\langle x_{1,0},x_{m+1,1}\mid [x_{1,0},x_{m+1,1}]=1\rangle является свободной коммутативной группой ранга 2, и \Pi_w(\mathcal Ch^0_2)=\{ \mathbb Z\times\mathbb Z\}. Пусть \Gamma_{m,1}\in\mathcal Ch_1^0 – частично двувзвешенный граф, изображенный на рис. 5. Чтобы получить копредставление группы \pi_1^w(\Gamma_{m,1}), достаточно добавить соотношение x_{m+2,1}=1 к копредставлению (20) и получить, что
\begin{equation}
\pi_1^w(\Gamma_{m,1})=\bigl\langle x_{1,0},x_{m+1,1}\bigm| [x_{1,0},x_{m+1,1}]=x_{m+1,1}^{Q_{m}}x_{1,0}^{P_m}=1\bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{23}
Следовательно, \pi_1^w(\Gamma_{m,1})=\mathbb Z, так как согласно лемме 4 числа Q_m и P_m взаимно просты. Пусть \Gamma_{m,0}\in\mathcal Ch_0^0 – частично двувзвешенный граф, изображенный на рис. 6. Чтобы получить копредставление группы \pi_1^w(\Gamma_{m,}0), достаточно добавить соотношения x_{m+1,1}=x_{m+2,1}=1 в копредставление (20). Получим, что
\begin{equation*}
\pi_1^w(\Gamma_{m,0})=\bigl\langle x_{1,0}\bigm| x_{1,0}^{P_m}=1\bigr\rangle \simeq \mathbb Z/|P_m|\mathbb Z
\end{equation*}
\notag
является циклической группой. Если m=1, то P_1=k_1 и, следовательно, \Pi_w(\mathcal Ch^0_0)=\{ \mathbb Z/n\mathbb Z\mid n\geqslant 0\}. 3.3. Доказательство утверждения 2) теоремы 4Пусть \Gamma_{m}\in\mathcal L – частично двувзвешенная петля, множество вершин V(\Gamma_m) которой – это множество \{ v_{1,0},\dots,v_{m,0}\} (m\geqslant 3 согласно условию (G4)). Чтобы задать копредставление группы \pi_1^w(\Gamma_m), мы должны выбрать множество ребер \widetilde E и рассмотреть дерево \Gamma_{m,\widetilde E} графа \Gamma_m. Положим \widetilde E=\{ (v_{1,0},v_{m,0})\}. Тогда вершины дерева \Gamma_{m,\widetilde E} – \{ v_{1,0},\dots,v_{m,0}\}\cup \{v_{1,1},v_{m,1}\}, и граф \Gamma_{m,\widetilde E} совпадает с графом \Gamma_{m,2}, изображенном на рис. 4, где v_{1,1}=v_{m+2,1} и v_{m,1}=v_{m+1,1}. Поэтому, чтобы получить копредставление группы \pi_1^w(\Gamma_m), достаточно к копредставлению (20) добавить еще один порождающий элемент y и два определяющих соотношения y^{-1}x_{1,0}y=x_{m+2,1} и y^{-1}x_{m+1,1}y=x_{m,0}. Из (21) и (22) следует, что \pi_1^w(\Gamma_m) имеет копредставление
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_1^w(\Gamma_m) &=\bigl\langle x_{1,0}, x_{m+1,1}, y\bigm| [x_{1,0},x_{m+1,1}]=1, \\ &\qquad\qquad y^{-1}x_{1,0}y =x_{1,0}^{(-1)^{m}P_m}x_{m+1,1}^{(-1)^{m}Q_{m}}, \\ &\qquad\qquad y^{-1}x_{m+1,1}y=x_{1,0}^{(-1)^{m-1}P_{m-1}}x_{m+1,1}^{(-1)^{m-1}Q_{m-1}}\bigr\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
или, в аддитивной форме,
\begin{equation*}
\pi_1^w(\Gamma_m)\simeq\mathbb Z^2\ltimes_{M^t_{\overline k^{\,m}}}\mathbb F_1= \bigl\langle (z_1,z_2),t\bigm| (z_1,z_2)\in \mathbb Z^2,\, t^{-1}(z_1,z_2)t=(z_1,z_2)M^{\tau}_{\overline k^{\,m}}\bigr\rangle
\end{equation*}
\notag
есть полупрямое произведение групп \mathbb Z^2 и \mathbb F_1\simeq \mathbb Z, где (согласно предложению 5)
\begin{equation*}
M^{\tau}_{\overline k^{\,m}}= (-1)^m \begin{pmatrix} P_m, & Q_{m} \\ -P_{m-1}, & -Q_{m-1} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
есть произвольный элемент группы \operatorname{SL}(2,\mathbb Z), действующий на \mathbb Z^2 справа. 3.4. Доказательство утверждения 3) теоремы 4Рассмотрим копредставление группы \pi_1^w(\Gamma) графа \Gamma\in\mathcal G, данное в определении 1. Обозначим через N нормальное замыкание в \pi_1^w(\Gamma) подгруппы, порожденной элементами
\begin{equation*}
x_{1,0},\ \dots,\ x_{m,0},\ x_{m+1,1},\ \dots,\ x_{m+k,1},\ x_{j(E_1,1),1},\ x_{j(E_1,2),1},\ \dots,\ x_{j(E_r,1),1},\ x_{j(E_r,2),1}.
\end{equation*}
\notag
Тогда факторгруппа \pi_1^w(\Gamma)/N имеет следующее копредставление:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_1^w(\Gamma)/N &=\biggl\langle y_1,\dots, y_r, \mu_{j,i},\lambda_{j,i},\ 1\leqslant j\leqslant m,\, 1\leqslant i\leqslant g_j\biggm| \\ &\qquad\prod_{i=1}^{g_{j}}[\mu_{j,i},\lambda_{j,i}]=1,\ 1\leqslant j \leqslant m,\, 1\leqslant g_j \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
т. е. \pi_1^w(\Gamma)/N \simeq \bigl(\prod^{n_1}\mathcal R_1*\cdots*\prod^{n_{i_0}}\mathcal R_{i_0}\bigr)*\mathbb F_r.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|