В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Об автоморфизмах квазигладких взвешенных полных пересечений”, Матем. сб., 212:3 (2021), 112–127; V. V. Przyjalkowski, С. A. Shramov, “On automorphisms of quasi-smooth weighted complete intersections”, Sb. Math., 212:3 (2021), 374

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 3, страницы 112–127
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9451 (Mi sm9451)

Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях)

Об автоморфизмах квазигладких взвешенных полных пересечений

В. В. Пржиялковский^ab, К. А. Шрамов^ac

^a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
^b Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
^c Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва

PDF полного текста (557 kB) PDF английской версии (526 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (6)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9451

Аннотация: Показано, что действие любой редуктивной подгруппы в группе автоморфизмов квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения размерности не меньше

$3$ индуцировано действием подгруппы в группе автоморфизмов объемлющего взвешенного проективного пространства. Приведены примеры, показывающие, что группа автоморфизмов квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения Фано может быть бесконечной и даже нередуктивной.
Библиография: 25 названий.

Ключевые слова: взвешенное полное пересечение, группа автоморфизмов, линейная алгебраическая группа.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство образования и науки Российской Федерации	14.641.31.0001 5-100
Фонд развития теоретической физики и математики БАЗИС
Программа фундаментальных исследований НИУ ВШЭ
Исследование В. В. Пржиялковского выполнено при поддержке Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ грантом Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований (договор № 14.641.31.0001), а также Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”. Исследование К. А. Шрамова выполнено при поддержке Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ и государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации “5-100”, а также Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”.

Поступила в редакцию: 21.05.2020 и 01.12.2020

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages 374–388
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9451

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.544.42+512.745

MSC: 14J50, 14M10

§ 1. Введение

Один из способов получения интересных примеров многообразий Фано – строить их как полные пересечения во взвешенном проективном пространстве. Читатель может найти определения и основные свойства взвешенных проективных пространств и полных пересечений в них в работах [7] и [12] (или в § 2 настоящей статьи). Эта конструкция дает возможность проследить за многими свойствами получающихся многообразий. В частности, известна следующая теорема о группе автоморфизмов взвешенных полных пересечений.

Теорема 1.1 (см. [2; теорема 1.3]). Пусть $X$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение размерности $n$ . Предположим, что либо $n\geqslant 3$ , либо $K_X\neq 0$ . Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ конечна, за исключением случаев, когда $X$ изоморфно $\mathbb{P}^n$ или квадрике в $\mathbb{P}^{n+1}$ .

Из теоремы 1.1, в частности, вытекает такое утверждение.

Следствие 1.2. Пусть $X$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 3$ , либо $K_X\neq 0$ . Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ редуктивна.

Несмотря на то, что гладкие многообразия являются наиболее естественным объектом для исследования, во многих случаях имеет смысл рассматривать взвешенные полные пересечения с немного более слабым свойством, а именно квазигладкие взвешенные полные пересечения (см. § 2). Основная цель настоящей статьи – доказать следующий результат о группах автоморфизмов квазигладких взвешенных полных пересечений.

Теорема 1.3. Пусть $\mathbb{P}$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, и пусть $X\subset\mathbb{P}$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение, не являющееся пересечением с линейным конусом. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 3$ , либо $\dim X=2$ и $K_X\neq 0$ , либо $X$ является рациональной кривой. Тогда $\operatorname{Aut}(X)$ – линейная алгебраическая группа. Далее, пусть $\Gamma$ – редуктивная подгруппа в $\operatorname{Aut}(X)$ . Тогда существует действие $\Gamma$ на $\mathbb{P}$ , индуцирующее действие $\Gamma$ на $X$ .

Отметим, что утверждение теоремы 1.3 не выполняется для кривых рода $1$ , являющихся полными пересечениями (см. пример 4.2).

Применяя следствие 1.2 и теорему 1.3, получаем следующее утверждение.

Следствие 1.4. Пусть $X\subset\mathbb{P}$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение, не являющееся пересечением с линейным конусом. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 3$ , либо $\dim X=2$ и $K_X\neq 0$ , либо $X$ является рациональной кривой. Тогда существует действие $\operatorname{Aut}(X)$ на $\mathbb{P}$ , индуцирующее действие $\operatorname{Aut}(X)$ на $X$ .

Было бы интересно получить ответ на следующий вопрос (ср. пример 5.2).

Вопрос 1.5. Выполняется ли второе утверждение теоремы 1.3 для всей группы автоморфизмов $\Gamma=\operatorname{Aut}(X)$ без предположения о редуктивности группы $\Gamma$ ?

План работы таков. В § 2 собраны вспомогательные факты о взвешенных полных пересечениях. В § 3 доказано несколько вспомогательных результатов о группах автоморфизмов взвешенных полных пересечений. В § 4 доказывается теорема 1.3. В § 5 приводятся примеры, показывающие, что группа автоморфизмов квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения Фано может быть бесконечной и даже нередуктивной (так что утверждение следствия 1.2 в этом случае не выполняется).

Благодарности

Мы благодарны Т. Окаде, Ю. Г. Прохорову, Д. А. Тимашеву, Р. Хартсхорну и И. А. Чельцову за полезные обсуждения. Также мы благодарим анонимного рецензента, который обнаружил несколько пробелов в первой версии статьи.

§ 2. Предварительные сведения

В этом параграфе собраны некоторые вспомогательные факты о взвешенных полных пересечениях. Положим $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)=\operatorname{Proj}\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]$ , где вес переменной $x_i$ равен $a_i$ . Без потери общности можно предполагать, что $a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$ . Мы будем использовать обозначение

$\begin{equation*} (a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})= (\underbrace{a_0,\dots,a_0}_{r_0},\dots,\underbrace{a_M,\dots,a_M}_{r_M}), \end{equation*} \notag$

где

$r_0,\dots,r_M$ – положительные целые числа. Если некоторые из чисел

$r_i$ равны

$1$ , то для простоты мы будем их опускать.

Подмногообразие $X\subset\mathbb{P}$ коразмерности $k\geqslant 1$ называется взвешенным полным пересечением мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$ , если его взвешенный однородный идеал в $\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]$ порождается регулярной последовательностью, состоящей из $k$ однородных элементов степеней $d_1,\dots,d_k$ . Регулярность такой последовательности эквивалентна требованию того, что коразмерность (каждой неприводимой компоненты) многообразия $X$ равна $k$ ; см., например, [20; § 2].

Мы наложим некоторые естественные ограничения на $\mathbb{P}$ и $X$ для того, чтобы избежать слишком плохих полных пересечений. Многообразие $X$ называется хорошо сформированным, если выполнены два следующих условия. Во-первых, само $\mathbb{P}$ является хорошо сформированным, т.е. наибольший общий делитель любых $N$ весов $a_i$ равен $1$ . Во-вторых, $\operatorname{codim}_X ( X\cap\operatorname{Sing}\mathbb{P})\geqslant 2$ .

Отметим, что особое множество пространства $\mathbb{P}$ является объединением некоторых координатных стратов.

Многообразие $X$ является пересечением с линейным конусом, если $d_j=a_i$ для некоторых $i$ и $j$ .

Замечание 2.1. Пусть $X\subset\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$ , где $a_0<\dots<a_M$ , – взвешенное полное пересечение, не являющееся пересечением с линейным конусом. Имеем $\mathbb{P}\cong\operatorname{Proj}(R(\mathbb{P}))$ , где

$\begin{equation*} R(\mathbb{P})= \mathbb{C}[x_{0,1},\dots,x_{0,r_0},\dots,x_{M,1},\dots,x_{M,r_M}], \end{equation*} \notag$

так что

$x_{i,p}$ является координатой веса

$a_i$ на

$\mathbb{P}$ . В частности, ни одна из координат

$x_{i,p}$ не равна тождественно нулю на

$X$ . Действительно, если

$x_{i,p}$ обращается в нуль на

$X$ , то она содержится во взвешенном однородном идеале

$I\subset R(\mathbb{P})$ многообразия

$X$ . С другой стороны,

$x_{i,p}$ не содержится в идеале

$I'\subset I$ , порожденном координатами

$x_{0,1},\dots,x_{i-1,r_{i-1}}$ меньших весов. Таким образом, одно из уравнений, определяющих

$X$ , должно иметь степень, равную

$a_i$ , что противоречит предположению. Сделав, если нужно, замену координат, из этого можно заключить, что если взвешенный однородный многочлен

$f$ взвешенной степени

$a_i$ обращается в нуль на

$X$ , то

$f$ зависит только от переменных

$x_{0,1},\dots,x_{i-1,r_{i-1}}$ весов, меньших

$a_i$ .

Каждому подмногообразию во взвешенном проективном пространстве естественным образом соответствует конус над ним. А именно, положим

$\begin{equation*} \mathbb{A}=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]\cong\mathbb{A}^N. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\mathbb{P}=(\mathbb{A}\setminus \{0\})/\mathbb{C}^*$ , где

$\mathbb{C}^*$ естественным образом действует с весами

$a_0, \dots,a_N$ . Обозначим проекцию

$\mathbb{A}\setminus \{0\}\to \mathbb{P}$ через

$\pi$ . Для подмногообразия

$X\subset\mathbb{P}$ определим

$C_X$ как замыкание в

$\mathbb{A}$ прообраза

$\pi^{-1}(X)\subset\mathbb{A}\setminus\{0\}$ многообразия

$X$ ; будем называть

$C_X$ аффинным конусом над

$X$ . Подмногообразие

$X$ называется квазигладким, если аффинный конус над ним гладок вне вершины.

Лемма 2.2 (ср. [10; теорема 3.4]). Пусть $X\subset\mathbb{P}$ – взвешенное полное пересечение положительной размерности. Тогда $X$ связно. Более того, если $X$ квазигладко, то оно неприводимо.

Доказательство. Докажем сначала утверждение о связности. Предположим, что

$X$ несвязно. Пусть

$X=X'\cap X''$ , где

$X'$ и

$X''$ – объединения неприводимых компонент многообразия

$X$ такие, что

$X'\cap X''=\varnothing$ . Тогда

$C_X=C_X'\cup C_X''$ , где

$C_X'$ и

$C_X''$ – конусы над

$X'$ и

$X''$ соответственно. С другой стороны, конус

$C_X$ является полным пересечением в аффинном пространстве

$\mathbb{A}$ . В частности, он коэн-маколеев; см. [8; п. 18.5]. Более того, он, являясь конусом, очевидно, связен. По теореме связности Хартсхорна (см. [8; теорема 18.12]) пересечение

$C_X'\cap C_X''$ имеет коразмерность

$1$ в

$C_X$ . Так как размерность каждой неприводимой компоненты конуса

$C_X$ равна

$\dim (X)+1\geqslant 2$ , то

$C_X'\cap C_X''$ содержит точки, отличные от вершины конуса

$C_X$ . Это значит, что

$X'\cap X''\neq\varnothing$ , что противоречит предположению.

Теперь предположим, что $X$ квазигладко. Предположим, что оно приводимо. Пусть $X_1$ – одна из его неприводимых компонент. Пусть $X_2$ – другая компонента, пересекающая $X_1$ в некоторой точке $P$ , существование которой гарантируется связностью $X$ . Пусть $C_{X_1}, C_{X_2}\subset C_X$ – конусы над этими компонентами. Тогда пересечение конусов $C_{X_1}$ и $C_{X_2}$ содержит аффинный конус над точкой $P$ и, таким образом, $C_X$ особо в точках этого конуса. Получаем противоречие с квазигладкостью. Лемма доказана.

Замечание 2.3. Альтернативное доказательство первого утверждения леммы 2.2 может быть получено из теоремы лефшецова типа; см. [14; предложение 1.4].

Заметим, что общее квазигладкое взвешенное полное пересечение размерности не меньше $3$ изоморфно квазигладкому хорошо сформированному взвешенному полному пересечению, не являющемуся пересечением с линейным конусом; см. [3; предложение 2.9].

Несложно описать особенности квазигладких хорошо сформированных взвешенных полных пересечений.

Предложение 2.4 (см. [6; предложение 8]). Особым множеством квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения $X\subset \mathbb{P}$ является его пересечение с особым множеством пространства $\mathbb{P}$ .

Замечание 2.5. В предложении 2.4 можно опустить предположение, что $X$ является взвешенным полным пересечением. Доказательство в этом случае буквально повторяет доказательство предложения 8 из [6].

Следствие 2.6. Квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение размерности $1$ гладко.

Обратное утверждение к следствию 2.6 верно в любой размерности.

Лемма 2.7 (см. [19; следствие 2.14]). Гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение $X\subset\mathbb{P}$ квазигладко.

Если взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}$ не хорошо сформировано, то утверждение леммы 2.7 может быть неверным.

Пример 2.8. Гиперповерхность $X$ в $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1,2^n)$ с координатами $x_0,\dots,x_n$ , заданная уравнением $x_0^2x_1+x_2^2+\dots+x_n^2=0$ , не квазигладка, так как конус над ней в $\mathbb{A}^{n+1}$ особ в точке $(0,1,0,\dots,0)$ . С другой стороны, гиперповерхность $X$ изоморфна квадрике в $\mathbb{P}^n\cong \mathbb{P}(1,2^n)$ с однородными координатами $z_0,\dots,z_n$ , заданной уравнением $z_0z_1+z_2^2+\dots+z_n^2=0$ , и, таким образом, гладко.

Представляется интересным вопрос: существует ли гладкое (но не хорошо сформированное) взвешенное полное пересечение $X$ в хорошо сформированном взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}$ такое, что $X$ не квазигладко? Следующий пример, предложенный нам И. А. Чельцовым и Ю. Г. Прохоровым, дает положительный ответ на этот вопрос.

Пример 2.9. Рассмотрим гиперповерхность $X$ в хорошо сформированном взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}=\mathbb{P}(2,3,5^n)$ с координатами $x_0,\dots, x_{n+1}$ , заданную уравнением $x_0^3=x_1^2$ . Очевидно, она не квазигладка (и не хорошо сформирована). Мы утверждаем, что она гладка. Действительно, это утверждение достаточно проверить в окрестности подмножества, определенного уравнениями $x_0=x_1=0$ . Это подмножество покрывается попарно изоморфными аффинными картами, заданными уравнениями $x_i=1$ . Поэтому рассмотрим карту $U\subset\mathbb{P}$ , где $x_{n+1}=1$ . Эта карта является фактором аффинного пространства $\mathbb{A}^{n+1}$ с координатами $u_0,\dots,u_n$ по группе $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ , порождающая которой умножает координаты $u_0$ и $u_1$ на $\varepsilon^2$ и $\varepsilon^3$ соответственно, где $\varepsilon$ – нетривиальный корень степени $5$ из 1, а на остальных координатах действует тривиально. Пересечение $X\cap U$ изоморфно фактору подмножества в $\mathbb{A}^{n+1}$ , определенного уравнением $u_0^3=u_1^2$ .

Алгебра инвариантов упомянутого выше действия на $\mathbb{A}^{n+1}$ порождена функциями $u_0^5, u_1^5, u_0u_1, u_2,\dots,u_n$ . Обозначая их через $v_0,\dots,v_{n+1}$ , мы видим, что $U\cong\mathbb{A}^{n+1}/(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ изоморфно гиперповерхности, заданной уравнением $v_0v_1\,{=}\,v_2^5$ в аффинном пространстве $\mathbb{A}^{n+2}$ с координатами $v_0,\dots,v_{n+1}$ , а $X\cap U$ изоморфно подмногообразию пространства $\mathbb{A}^{n+2}$ , заданному уравнениями $v_0-v_2^2=v_1-v_2^3=0$ . Эти уравнения, очевидно, определяют гладкое многообразие.

Хотя утверждение следствия 2.6 неверно в размерностях, больших $1$ , можно показать, что особенности квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения не так уж и плохи.

Предложение 2.10. Квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение $X$ нормально и имеет лишь факторособенности. В частности, его особенности логтерминальны.

Доказательство. Так как многообразие

$X$ квазигладко, то оно имеет лишь факторособенности; см., к примеру, [12; § 6]. Значит,

$X$ нормально. Более того, факторособенности логтерминальны по [13; предложение 1.7]. Предложение доказано.

Дивизориальный пучок $\mathscr{O}_\mathbb{P}(1)$ не обязательно является линейным расслоением. Описание всех линейных расслоений на $\mathbb{P}$ дается следующим утверждением; см. [22; предложение 8] или доказательство теоремы 3.2.4, (i) из [7].

Предложение 2.11. Группа Пикара $\operatorname{Pic}(\mathbb{P})$ хорошо сформированного взвешенного проективного пространства $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ является свободной группой, порожденной пучком $\mathscr{O}_\mathbb{P}(l)$ , где $l$ является наименьшим общим кратным весов $a_i$ .

Для взвешенного полного пересечения $X$ мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$ в $\mathbb{P}(a_0, \dots,a_N)$ положим $i_X=\sum a_j-\sum d_i$ . Пусть $\omega_X$ – дуализирующий пучок на $X$ .

Теорема 2.12 (см. [7; теорема 3.3.4], [12; п. 6.14]). Пусть $X$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Тогда $\omega_X\cong\mathscr{O}_X(-i_X)$ .

Теорема 2.12 позволяет изучать основные геометрические свойства взвешенных полных пересечений, если известны веса взвешенных проективных пространств и степени уравнений, определяющих пересечения. Мы продемонстрируем это следующим наблюдением. Напомним, что многообразие $X$ называется рационально связным, если для двух общих точек $P_1,P_2\in X$ существует рациональная кривая на $X$ , проходящая через $P_1$ и $P_2$ . Многообразие называется унилинейчатым, если оно покрывается рациональными кривыми.

Предложение 2.13. Пусть $X\subset\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Тогда:

если $i_X>0$ , то $X$ рационально связно;
если $i_X\leqslant 0$ и $i_X$ делится на все веса $a_i$ , то $X$ не унилинейчато;
если $i_X=0$ , то $X$ не унилинейчато.

Доказательство. По предложению 2.10 многообразие

$X$ имеет логтерминальные особенности. Предположим, что

$i_X>0$ . Тогда антиканонический дивизор

$-K_X$ обилен по теореме 2.12. Таким образом, утверждение (i) выполнено по [25].

Теперь предположим, что $i_X\leqslant 0$ и $i_X$ делится на все веса $a_i$ . Тогда пучок $\mathscr{O}_{\mathbb{P}}(-i_X)$ является линейным расслоением по предложению 2.11. Таким образом, по теореме 2.12 канонический класс $K_X$ является эффективным дивизором Картье. В частности, особенности многообразия $X$ горенштейновы, и поэтому все дискрепантности $X$ – целые числа. Так как особенности $X$ также логтерминальны, мы заключаем, что дискрепантности неотрицательны, т.е. особенности $X$ канонические. Значит, существует такое разрешение особенностей $\widetilde{X}\to X$ , что канонический дивизор $K_{\widetilde{X}}$ эффективен. Отсюда $\widetilde{X}$ (а значит, и $X$ ) не унилинейчато (см. [15]), что доказывает утверждение (ii).

Утверждение (iii) следует из утверждения (ii). Предложение доказано.

Нам не известно, является ли условие делимости в предложении 2.13, (ii) необходимым. Заметим, что без этого условия из теоремы 2.12 не следует, что особенности многообразия $X$ горенштейновы. С другой стороны, многообразие с негоренштейновыми логтерминальными особенностями и обильным каноническим классом может быть не унилинейчатым, что можно увидеть из следующего примера, указанного нам Ю. Г. Прохоровым и анонимным рецензентом.

Пример 2.14. Рассмотрим нодальную плоскую рациональную кривую $C\subset \mathbb{P}^2$ степени $d$ (скажем, общую проекцию рациональной нормальной кривой степени $d$ ). Она имеет $m=(d\,{-}\,1)(d\,{-}\,2)/2$ нодов. Пусть $f\colon \widetilde{X}\to \mathbb{P}^2$ – раздутие этих нодов, пусть $E_1,\dots, E_m$ – исключительные кривые, а $E=\sum_{i=1}^m E_i$ . Обозначим через $\widetilde{C}$ собственный прообраз кривой $C$ на $\widetilde{X}$ . Имеем

$\begin{equation*} \widetilde{C}\sim f^*C-2E, \end{equation*} \notag$

так что

$\begin{equation*} \widetilde{C}^2= C^2+4E=-d^2+6d-4. \end{equation*} \notag$

Отсюда получаем

$\widetilde{C}^2<0$ для

$d\geqslant 6$ . Предположим теперь, что

$d> 6$ , и обозначим

$\widetilde{d}=\widetilde{C}^2$ . Так как кривая

$\widetilde{C}$ гладкая и рациональная, существует стягивание

$g\colon \widetilde{X}\to X$ кривой

$\widetilde{C}$ на поверхность

$X$ с единственной особой точкой. Окрестность особой точки поверхности

$X$ локально изоморфна фактору пространства

$\mathbb{A}^2$ по циклической группе порядка

$\widetilde{d}$ , действующей с весами

$(1,1)$ ; в частности, эта особая точка логтерминальна. Имеем

$\begin{equation*} K_{\widetilde{X}} \sim f^* K_{\mathbb{P}^2}+E\sim_{\mathbb{Q}} -\frac{3}{d}f^*C+E\sim_{\mathbb{Q}} -\frac{3}{d}\widetilde{C}+ \biggl(1-\frac{6}{d}\biggr)E. \end{equation*} \notag$

Таким образом, после стягивания получаем

$\begin{equation*} K_X\sim g_*K_{\widetilde X}\sim_{\mathbb{Q}} \biggl(1-\frac{6}{d}\biggr)\sum_{i=1}^m g_*E_i. \end{equation*} \notag$

Так как

$d>6$ , канонический класс

$K_X$ эффективен.

Обозначим $L_i=g_*E_i$ и $L=\sum_{i=1}^m L_i$ , так что

$\begin{equation*} K_X\sim_{\mathbb{Q}} \biggl(1-\frac{6}{d}\biggr)L. \end{equation*} \notag$

Запишем

$E_i=g^*L_i-\alpha \widetilde{C}$ . Тогда

$2=E_i\cdot \widetilde{C}=-\alpha \widetilde{C}^2=-\alpha \widetilde{d}$ . По формуле проекции

$\begin{equation*} L_i\cdot L=g^*L_i\cdot E= (E_i+\alpha \widetilde{C})\cdot E= -1+2\alpha m=\frac{d^2}{d^2-6d+4}>0. \end{equation*} \notag$

В частности,

$L^2>0$ . Более того, мы утверждаем, что индекс пересечения любой неприводимой эффективной кривой

$F$ на

$X$ с

$L$ положителен. Действительно, по неравенству выше это верно для

$F=L_i$ . Пусть теперь

$F\neq L_i$ для всех

$i$ . Если

$F$ пересекает

$L_i$ для некоторого

$i$ , то ее индекс пересечения с

$L$ положителен. Таким образом, можно предполагать, что

$F$ не пересекает

$L_i$ для любого

$i$ . В частности, она не проходит через точку

$g(\widetilde{C})$ . Это значит, что собственный прообраз

$\widetilde F$ кривой

$F$ на

$\widetilde X$ не пересекает кривую

$\widetilde C$ . Кроме того, он не пересекает

$E_i$ для всех

$i$ . Таким образом,

$f(\widetilde{F})$ не пересекает

$C$ , что нереально. По критерию Накаи–Мойшезона это показывает, что класс кривой

$L$ , а значит, и

$K_X$ , обилен. Наконец, заметим, что

$X$ рационально по конструкции, что, в частности, показывает его унилинейчатость.

Группа классов дивизоров квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения обладает хорошими свойствами.

Теорема 2.15 (ср. [16; замечание 4.2], [17; предложение 2.3]). Пусть $X$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 2$ , либо $X$ является рациональной кривой. Тогда группа классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$ не имеет кручения. Более того, если $\dim(X)\,{\geqslant}\, 3$ , то группа $\operatorname{Cl}(X)\cong \mathbb{Z}$ порождена классом пучка $\mathscr{O}_X(1)$ .

Мы с некоторыми изменениями, предложенными нам Т. Окадой, воспроизведем доказательство (см. [16; замечание 4.2]).

Доказательство теоремы 2.15. Если

$X$ является рациональной кривой, то она гладка по следствию 2.6, так что утверждение теоремы очевидно. Пусть

$\dim X\geqslant 2$ . Рассмотрим аффинный конус

$C_X\subset\mathbb{A}$ над

$X$ и градуированную координатную алгебру

$R$ этого конуса. Имеется точная последовательность

$\begin{equation*} 0 \to\mathbb{Z} \xrightarrow{\theta} \operatorname{Cl}(X)\to \operatorname{Cl}(R) \to 0, \end{equation*} \notag$

где

$\theta$ отображает

$1$ в класс дивизоров, соответствующий

$\mathscr{O}_{X}(1)$ ; см., к примеру, [24; теорема 1.6].

Пусть $\mathfrak{m}$ – максимальный идеал вершины конуса $C_X$ . Тогда по [9; следствие 10.3] выполнено $\operatorname{Cl}(R)\cong \operatorname{Cl}(R_{\mathfrak{m}})$ . Если $\dim (X)\geqslant 3$ , то $R_\mathfrak{m}$ – локальное кольцо полного пересечения размерности не меньше $4$ , которое регулярно вне максимального идеала, так что $\operatorname{Cl}(R_{\mathfrak{m}})=0$ ; см. [9; § 18]. Таким образом, группа $\operatorname{Cl}(X)\cong \mathbb{Z}$ порождена классом, соответствующим $\mathscr{O}_X(1)$ .

Предположим теперь, что $\dim (X)=2$ . Положим $U = \operatorname{Spec}(R_{\mathfrak{m}}) \setminus \{\mathfrak{m}\}$ .

По [9; предложение 18.10, (b)] имеется изоморфизм $\operatorname{Pic} (U) \cong \operatorname{Cl} (R_{\mathfrak{m}})$ . Наконец, по утверждению (ii) основной теоремы работы [21] группа $\operatorname{Pic}(U)$ не имеет кручения. Поэтому группа $\operatorname{Cl}(R) \cong \operatorname{Cl}(R_{\mathfrak{m}}) \cong\operatorname{Pic}(U)$ , а значит, и группа $\operatorname{Cl}(X)$ , не имеет кручения.

Замечание 2.16. Утверждение теоремы 2.15, очевидно, неверно, когда $X$ является кривой положительного рода.

§ 3. Автоморфизмы

В этом параграфе собраны вспомогательные результаты о группах автоморфизмов взвешенных полных пересечений.

Заметим, что взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}$ является многообразием Фано (с логтерминальными особенностями). Поэтому $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ является линейной алгебраической группой. Это также можно вывести из того, что $\mathbb{P}$ – проективное торическое многообразие. Следующее утверждение хорошо известно специалистам.

Предложение 3.1. Предположим, что взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$ , $a_0<\dots<a_M$ , хорошо сформировано. Пусть $R_U$ – унипотентный радикал группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , так что $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})\cong R_U\rtimes\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$ , где группа $\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$ редуктивна. Тогда $R_U$ состоит из автоморфизмов

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &(x_{0,1}:\ldots:x_{0,r_0}:\ldots:x_{i,p}:\ldots:x_{M,1}:\ldots:x_{M,r_M}) \\ &\quad \mapsto (x_{0,1}:\ldots:x_{0,r_0}:\ldots:x_{i,p}+\Phi_{i,p}:\ldots:x_{M,1}+\Phi_{M,1}:\ldots:x_{M,r_M}+\Phi_{M,r_M}), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.1}$

где

$x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ – взвешенные однородные координаты на

$\mathbb{P}$ , а

$\Phi_{i,p}$ – однородный многочлен степени

$a_i$ от переменных

$x_{0,1},\dots,x_{i-1,r_{i-1}}$ . С другой стороны, имеется изоморфизм

$\begin{equation} \operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P}) \cong (\operatorname{GL}_{r_0}(\mathbb{C}) \times \dots \times \operatorname{GL}_{r_M}(\mathbb{C}))/\mathbb{C}^*, \end{equation} \tag{3.2}$

где

$\mathbb{C}^*$ вложено в прямое произведение отображением

$\begin{equation} t \mapsto (t^{a_0}\operatorname{Id}_{r_0},\dots,t^{a_M}\operatorname{Id}_{r_M}), \end{equation} \tag{3.3}$

$\operatorname{Id}_r$ обозначает единичную матрицу размера

$r\times r$ . Далее,

$(i+1)$ -й множитель в (3.2) действует линейными заменами координат

$x_{i,1},\dots,x_{i,r_i}$ при подходящем выборе

$x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ .

Доказательство. Утверждение о редуктивной части группы

$\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ можно найти в [18; предложение A.2.5]. Утверждение об унипотентной части также может быть получено из доказательства предложения A.2.5 из [18]. А именно, можно проверить, что группа

$\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ изоморфна фактору

$\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})/\mathbb{C}^*$ , где

$\mathbb{C}^*$ – тор, действие которого на

$\mathbb{A}=\mathbb{A}^{r_0+\dots+r_M}$ определяется весами

$a_0,\dots,a_M$ , и при этом

$\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ является нормализатором группы

$\mathbb{C}^*$ в стабилизаторе точки

$0\in\mathbb{A}$ в группе

$\operatorname{Aut}(\mathbb{A})$ . В частности,

$R_U$ изоморфен унипотентному радикалу группы

$\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ . Далее, группа

$\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ изоморфна группе однородных автоморфизмов кольца Кокса взвешенного проективного пространства

$\mathbb{P}$ , которое можно отождествить с координатной алгеброй аффинного пространства

$\mathbb{A}$ с градуировкой, определяемой весами

$a_0,\dots,a_M$ . Эта алгебра является алгеброй многочленов от

$r_0\,{+}\,{\cdots}\,{+}\,r_M$ , градуировка на которой определяется весами. Теперь структура унипотентного радикала группы

$\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ становится очевидной. Предложение доказано.

Отметим, что предложение 3.1 не работает без предположения, что $\mathbb{P}$ хорошо сформировано, как видно из примера проективной прямой $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1,2)\cong\mathbb{P}^1$ .

Чтобы работать с редуктивными подгруппами в группах автоморфизмов взвешенных проективных пространств, нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 3.2. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, причем $a_0<\dots<a_M$ . Пусть $\Delta$ – редуктивная подгруппа в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ . Тогда можно выбрать взвешенные однородные координаты $x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ на $\mathbb{P}$ так, что $\Delta$ содержится в подгруппе $\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$ группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , описанной в предложении 3.1.

Доказательство. Каждая редуктивная подгруппа линейной алгебраической группы содержится в максимальной редуктивной подгруппе, а все максимальные редуктивные подгруппы сопряжены друг другу; см., например, [1; теоремы 6.4.4 и 6.4.5]. Поэтому

$\Delta$ сопряжена подгруппе группы

$\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$ . Лемма доказана.

Покажем, что некоторые интересные подгруппы в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ действуют эффективно на взвешенных полных пересечениях в $\mathbb{P}$ .

Лемма 3.3. Пусть $\mathbb{P}$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, и пусть $X\subset\mathbb{P}$ – неприводимое взвешенное полное пересечение положительной размерности, не являющееся пересечением с линейным конусом. Пусть $\Delta$ – редуктивная подгруппа в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , сохраняющая каждую точку многообразия $X$ . Тогда группа $\Delta$ тривиальна.

Доказательство. Запишем

$\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$ , где

$a_0<\dots<a_M$ . По лемме 3.2 можно выбрать взвешенные однородные координаты

$x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ на

$\mathbb{P}$ так, что результат действия группы

$\Delta$ на координате

$x_{i,p}$ зависит только от координат

$x_{i,1},\dots,x_{i,r_i}$ того же веса

$a_i$ . Это дает

$\Delta$ -эквивариантные рациональные проекции

$\psi_i\colon \mathbb{P}\dashrightarrow \mathbb{P}_i=\operatorname{Proj}(\mathbb{C}[x_{i,1},\dots,x_{i,r_i}])\cong\mathbb{P}^{r_i-1}$ .

Так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, никакая из координат $x_{i,p}$ не обращается в нуль на $X$ ; см. замечание 2.1. Таким образом, $X$ содержит точки, где проекции $\psi_i$ регулярны. Пусть $Y_i\subset\mathbb{P}_i$ – замыкание образа $\psi_i(X)$ . Так как многообразие $X$ неприводимо, мы видим (снова применяя замечание 2.1), что $Y_i$ не содержится в гиперплоскости в проективном пространстве $\mathbb{P}_i$ . С другой стороны, действие группы $\Delta$ на многообразии $Y_i$ тривиально по предположению. Следовательно, действие $\Delta$ на $\mathbb{P}_i$ тоже тривиально.

Таким образом, каждый элемент $\delta\in\Delta$ действует на $\mathbb{P}$ преобразованием вида

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\delta\colon (x_{0,1}:\ldots:x_{0,r_0}:\ldots: x_{i,p}:\ldots: x_{M,1}:\ldots:x_{M,r_M}) \\ &\qquad \mapsto (\lambda_0 x_{0,1}:\ldots:\lambda_0 x_{0,r_0}:\ldots: \lambda_i x_{i,p}:\ldots: \lambda_M x_{M,1}:\ldots:\lambda_M x_{M,r_M}), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\lambda_0,\dots,\lambda_M$ – комплексные числа. Как мы показали выше, можно выбрать точку

$P$ на

$X$ , в которой не обращается в нуль ни одна из координат

$x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ . Поскольку

$\delta(P)=P$ по предположению, мы заключаем, что

$\lambda_0^{a_0}=\dots=\lambda_M^{a_M}$ . Это значит, что элемент

$\delta$ действует на

$\mathbb{P}$ тривиально; ср. (3.3). Лемма доказана.

Утверждение леммы 3.3 не выполняется без предположения о том, что $X$ не является пересечением с линейным конусом, даже в случае $\mathbb{P}\cong\mathbb{P}^N$ (где это предположение означает, что $X$ не содержится в гиперплоскости).

Лемма 3.4. Пусть $\mathbb{P}$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, и пусть $X\subset\mathbb{P}$ – неприводимое взвешенное полное пересечение мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$ , имеющее положительную размерность. Предположим, что для всех $i$ и $j$ выполнены неравенства $a_i<d_j$ . Пусть $\Delta$ – подгруппа унипотентного радикала группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , сохраняющая все точки многообразия $X$ . Тогда группа $\Delta$ тривиальна.

Доказательство. Пусть

$X$ задано в

$\mathbb{P}$ уравнениями

$f_1=\dots=f_k=0$ , причем

$d_j=\deg f_j$ . Можно считать, что

$a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$ и

$d_1\leqslant\dots\leqslant d_k$ . По предположению выполнено неравенство

$d_1>a_N$ .

Из предложения 3.1 нам известно, что группа $\Delta$ состоит из элементов вида (3.1). Если такой элемент сохраняет все точки многообразия $X$ , то в обозначениях (3.1) многочлены $\Phi_{i,p}$ должны содержаться в однородном идеале $I$ многообразия $X$ в алгебре $\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]$ . Идеал $I$ порожден элементами $f_1,\dots,f_k$ , степени которых больше, чем $a_N$ , в то время как степени многочленов $\Phi_{i,p}$ не превосходят $a_N$ . Это значит, что все многочлены $\Phi_{i,p}$ нулевые, и поэтому группа $\Delta$ тривиальна. Лемма доказана.

Утверждение леммы 3.4 не выполняется без предположения о степенях.

Пример 3.5. Рассмотрим взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1^N,m)$ со взвешенными однородными координатами $x_0,\dots,x_N$ , где $N\geqslant 3$ и $m\geqslant 2$ . Пусть $X$ – взвешенное полное пересечение в $\mathbb{P}$ , заданное уравнениями $f_2=f_{2m}=0$ , где $f_2$ и $f_{2m}$ – общие взвешенные однородные многочлены от переменных $x_i$ степеней $2$ и $2m$ соответственно. Тогда многообразие $X$ гладкое и хорошо сформированное. Более того, $X$ является многообразием Фано при $N\geqslant m+3$ . Рассмотрим однородный многочлен $g$ степени $m-2$ от переменных $x_0,\dots,x_{N-1}$ и (нетривиальный) автоморфизм

$\begin{equation*} (x_0:\ldots:x_N) \mapsto (x_0:\ldots:x_{N-1}:x_N+f_2g) \end{equation*} \notag$

взвешенного проективного пространства

$\mathbb{P}$ . Очевидно, что этот автоморфизм действует тривиально на многообразии

$X$ . Так как многочлены степени

$m-2$ от переменных

$x_0,\dots,x_{N-1}$ образуют

$\binom{N+m-3}{N-1}$ -мерное векторное пространство, то подгруппа в

$\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , состоящая из автоморфизмов, которые действуют тривиально на

$X$ , содержит подгруппу, изоморфную

$(\mathbb{C}^+)^{\binom{N+m-3}{N-1}}$ .

Выведем удобное следствие из леммы 3.4.

Следствие 3.6. Пусть $X\,{\subset}\,\mathbb{P}$ – квазигладкая хорошо сформированная взвешенная гиперповерхность положительной размерности, не являющаяся пересечением с линейным конусом. Тогда подгруппа унипотентного радикала группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , сохраняющая все точки многообразия $X$ , тривиальна.

Доказательство. Многообразие

$X$ неприводимо по лемме 2.2. Пусть

$X$ задается в

$\mathbb{P}$ уравнением

$f=0$ . Положим

$d=\deg f$ . Можно считать, что

$a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$ .

Предположим, что $d<a_N$ . Тогда многочлен $f$ не зависит от переменной $x_N$ . Поэтому точка $P=(0:\ldots:0:1)$ лежит на $X$ . Так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, многочлен $f$ не содержит мономов вида $\alpha x_i$ , где $x_i$ – одна из взвешенных однородных координат на $\mathbb{P}$ , а $\alpha\in\mathbb{C}$ . Следовательно, все частные производные многочлена $f$ обращаются в нуль в точке $P$ . Это значит, что многообразие $X$ не квазигладко. Полученное противоречие показывает, что $d\geqslant a_N$ . Более того, так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, выполнено неравенство $d>a_N$ . Теперь нужное нам утверждение следует из леммы 3.4. Следствие доказано.

§ 4. Ограничение автоморфизмов

В этом параграфе мы докажем теорему 1.3.

Доказательство теоремы 1.3. Будем (в основном) следовать доказательству леммы A.2.13 из [18].

Обозначим через $A$ класс пучка $\mathscr{O}_X(1)$ в группе $\operatorname{Cl}(X)$ . Если $\dim X\geqslant 3$ , то $A$ является обильным классом, порождающим $\operatorname{Cl}(X)$ по теореме 2.15; поэтому $A$ инвариантен относительно группы $\operatorname{Aut}(X)$ . Если размерность $X$ произвольная, заметим, что класс пучка $\omega_X$ в $\operatorname{Cl}(X)$ , т.е. канонический класс $K_X$ , инвариантен относительно $\operatorname{Aut}(X)$ . Поэтому в случае, если $\dim X=2$ и $K_X\neq 0$ или если $X$ – рациональная кривая, из теорем 2.15 и 2.12 следует, что $A$ тоже инвариантен относительно $\operatorname{Aut}(X)$ . Таким образом, в каждом из нужных нам случаев обильный класс $A$ инвариантен относительно $\operatorname{Aut}(X)$ . Отсюда следует, что $\operatorname{Aut}(X)$ – линейная алгебраическая группа.

Класс $A$ инвариантен относительно группы $\operatorname{Aut}(X)$ и, в частности, относительно ее подгруппы $\Gamma$ . Положим

$\begin{equation*} R(\mathbb{P})_m=H^0(\mathbb{P}, \mathscr{O}_{\mathbb{P}}(m)), \qquad R(X,A)_m=H^0(X, \mathscr{O}_X(mA)). \end{equation*} \notag$

Тогда на векторных пространствах

$\begin{equation*} R(\mathbb{P})=\bigoplus_{m=0}^{\infty} R(\mathbb{P})_m, \qquad R(X,A)=\bigoplus_{m=0}^{\infty} R(X,A)_m \end{equation*} \notag$

есть естественная структура градуированной алгебры. Так как

$\mathscr{O}_{\mathbb{P}}(1)$ и

$A$ обильны, алгебры

$R(\mathbb{P})$ и

$R(X,A)$ конечно порождены. Имеются изоморфизмы

$\begin{equation*} \mathbb{P}\cong\operatorname{Proj}(R(\mathbb{P})), \qquad X\cong\operatorname{Proj}(R(X,A)). \end{equation*} \notag$

Напомним, что отображение ограничения

$\rho_m\colon R(\mathbb{P})_m\to R(X,A)_m$ сюръективно при всех

$m\geqslant 0$ ; см. [2; следствие 3.3].

Для каждого натурального числа $K$ определим градуированные векторные подпространства

$\begin{equation*} R(\mathbb{P})_{\leqslant K}=\bigoplus_{m\leqslant K} R(\mathbb{P})_m\subset R(\mathbb{P}), \qquad R(X,A)_{\leqslant K}=\bigoplus_{m\leqslant K} R(X,A)_m\subset R(X,A). \end{equation*} \notag$

Пусть $U_m(\mathbb{P})\subset R(\mathbb{P})_m$ является пересечением векторного пространства $R(\mathbb{P})_m$ с подалгеброй в $R(\mathbb{P})$ , порожденной подпространством $R(\mathbb{P})_{\leqslant m-1}$ .

Аналогично, пусть $U_m(X)\subset R(X,A)_m$ обозначает пересечение $R(X,A)_m$ с подалгеброй в $R(X,A)$ , порожденной подпространством $R(X,A)_{\leqslant m-1}$ . Тогда

$\begin{equation*} \rho_m(U_m(\mathbb{P}))=U_m(X). \end{equation*} \notag$

Существуют центральное расширение $\widetilde{\Gamma}$ группы $\Gamma$ при помощи конечной циклической группы и действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(X,A)$ , которое индуцирует исходное действие $\Gamma$ на $X$ ; см. [18; лемма A.2.11]. В частности, группа $\widetilde{\Gamma}$ действует на каждом векторном пространстве $R(X,A)_m$ . При этом подпространство $U_m(X)$ по очевидным причинам $\widetilde{\Gamma}$ -инвариантно. Выберем $\widetilde{\Gamma}$ -инвариантное подпространство $V_m(X)\subset R(X,A)_m$ , для которого

$\begin{equation*} U_m(X)\oplus V_m(X)= R(X,A)_m. \end{equation*} \notag$

Это можно сделать, так как группа

$\Gamma$ редуктивна, а значит, группа

$\widetilde{\Gamma}$ тоже редуктивна и ее представление

$R(X,A)_m$ вполне приводимо. Пусть

$V_m(\mathbb{P})$ – векторное подпространство в

$R(\mathbb{P})_m$ , которое изоморфно отображается на

$V_m(X)$ при отображении

$\rho_m$ ; заметим, что

$U_m(\mathbb{P})\cap V_m(\mathbb{P})=0$ по построению. Так как

$X$ не является пересечением с линейным конусом, из замечания 2.1 следует, что

$\begin{equation*} R(\mathbb{P})_m=U_m(\mathbb{P})\oplus V_m(\mathbb{P}). \end{equation*} \notag$

Отметим, что при

$m\gg 0$ векторное пространство

$V_m(\mathbb{P})$ нулевое.

Определим действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $V_m(\mathbb{P})$ так, чтобы изоморфизм

$\begin{equation*} \rho_m\vert_{V_m(\mathbb{P})}\colon V_m(\mathbb{P})\stackrel{\sim}\longrightarrow V_m(X) \end{equation*} \notag$

был

$\widetilde{\Gamma}$ -эквивариантным. Так как векторное пространство

$U_m(\mathbb{P})$ является градуированной компонентой степени

$m$ в алгебре, порожденной векторным пространством

$R(\mathbb{P})_{\leqslant m-1}$ , мы получаем действие группы

$\widetilde{\Gamma}$ на

$U_m(\mathbb{P})$ и

$R(\mathbb{P})_m$ индукцией по

$m$ . Другими словами, мы отождествляем градуированную алгебру

$R(\mathbb{P})$ с симметрической алгеброй градуированного векторного пространства

$\begin{equation*} V(\mathbb{P})=\bigoplus_{m=1}^{\infty} V_m(\mathbb{P}), \end{equation*} \notag$

и действие группы

$\widetilde{\Gamma}$ на

$R(\mathbb{P})$ определяется ее действием на

$V(\mathbb{P})$ .

Таким образом, начав с действия группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(X,A)$ , соответствующего исходному действию $\Gamma$ на $X$ , мы определили такое действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(\mathbb{P})$ , что отображение ограничения $\rho\colon R(\mathbb{P})\to R(X,A)$ является $\widetilde{\Gamma}$ -эквивариантным. Из построения видно, что ядро проекции $\widetilde{\Gamma}\to\Gamma$ содержится в подгруппе в $\operatorname{Aut}(R(\mathbb{P}))$ , действующей, как в (3.3); это значит, что действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $\mathbb{P}$ пропускается через $\Gamma$ . Другими словами, мы определили такое действие группы $\Gamma$ на взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}$ , что вложение $X\hookrightarrow\mathbb{P}$ является $\Gamma$ -эквивариантным. Теорема доказана.

Утверждение теоремы 1.3 может не выполняться в случае, если $X$ является пересечением с линейным конусом.

Пример 4.1. Пусть $X$ – прямая на $\mathbb{P}=\mathbb{P}^2$ . И на $X$ , и на $\mathbb{P}^2$ существует эффективное действие группы четных перестановок $\mathfrak{A}_5$ . При этом действие группы $\mathfrak{A}_5$ на $X$ не индуцируется ее действием на $\mathbb{P}^2$ , так как последнее приходит из неприводимого представления $\mathfrak{A}_5$ . Отметим, что у этого представления есть квадратичный инвариант. Это значит, что на $\mathbb{P}^2$ существует гладкая $\mathfrak{A}_5$ -инвариантная коника $X'$ ; действия группы $\mathfrak{A}_5$ на $X'\cong\mathbb{P}^1$ и на $\mathbb{P}^2$ согласованы между собой.

Утверждение теоремы 1.3 также не выполняется для нерациональных одномерных взвешенных полных пересечений (ср. замечание 2.16).

Пример 4.2. Пусть $C$ – гладкая кубическая кривая на $\mathbb{P}^2$ . Тогда группа $\operatorname{Aut}(C)$ содержит конечные подгруппы сколь угодно большого порядка, в то время как стабилизатор кривой $C$ в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^2)$ конечен.

Отметим, что теорема 1.3 все же выполняется для гладких плоских кривых рода больше $1$ . Это следует из теоремы Нётера, которая утверждает, что для такой кривой линейная система, задающая вложение в $\mathbb{P}^2$ , единственна; см., например, [4; лемма 2.1] или [11; теорема 2.1]. Также теорема 1.3 выполняется для гладких кривых рода больше $1$ , являющихся полными пересечениями в $\mathbb{P}^3$ (и для некоторых кривых, являющихся полными пересечениями в $\mathbb{P}^4$ ); см. [5; следствие 2.5, теорема 2.6]. Мы не знаем, верно ли это для других гладких одномерных взвешенных полных пересечений рода больше $1$ . Точно так же мы не знаем, можно ли обобщить теорему 1.3 на случай двумерных взвешенных полных пересечений с тривиальным каноническим классом.

§ 5. Бесконечные группы автоморфизмов

В этом параграфе мы покажем на примерах, что квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано произвольной размерности может иметь бесконечную и даже нередуктивную группу автоморфизмов.

Пример 5.1. Пусть $a$ – натуральное число. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1^{N-1},a,a)$ , где $N>2$ . Рассмотрим взвешенную гиперповерхность $X$ , заданную в $\mathbb{P}$ уравнением

$\begin{equation*} x_{N-1}x_N+F(x_0,\dots,x_{N-2})=0, \end{equation*} \notag$

где

$F$ – общий многочлен степени

$2a$ от

$N-1$ переменных. Тогда многообразие

$X$ хорошо сформировано, квазигладко и не является пересечением с линейным конусом. Далее,

$X$ является многообразием Фано по теореме 2.12. Гиперповерхность

$X$ сохраняется подгруппой

$\mathbb{C}^*\subset\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , где действие элемента

$t\in\mathbb{C}^*$ задается формулой

$\begin{equation*} t\colon (x_0:\ldots:x_{N-2}:x_{N-1}:x_N)\mapsto (x_0:\ldots:x_{N-2}:tx_{N-1}:t^{-1}x_N). \end{equation*} \notag$

Теперь из леммы 3.3 следует (впрочем, это можно проверить и непосредственно), что группа

$\mathbb{C}^*$ действует на

$X$ эффективно.

Пример 5.2. Пусть $a$ – натуральное число. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1^{N-1},a,a)$ , где $N>2$ . Рассмотрим взвешенную гиперповерхность $X$ , заданную в $\mathbb{P}$ уравнением

$\begin{equation*} x_{N-3}x_{N-1}+x_{N-2}x_N+F(x_0,\dots,x_{N-4})=0, \end{equation*} \notag$

где

$F$ – общий многочлен степени

$a+1$ от

$N-3$ переменных. Тогда многообразие

$X$ хорошо сформировано, квазигладко и не является пересечением с линейным конусом; при этом

$X$ является многообразием Фано по теореме 2.12. Зафиксируем многочлен

$\Phi$ степени

$a-1$ от переменных

$x_0,\dots,x_{N-2}$ . На

$X$ действует группа

$\mathbb{C}^+$ ; действие элемента

$\alpha\in\mathbb{C}^+$ задается формулой

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\alpha\colon (x_0:\ldots:x_{N-2}:x_{N-1}:x_N) \\ &\qquad\mapsto (x_0:\ldots:x_{N-2}:x_{N-1}+\alpha x_{N-2} \Phi:x_N-\alpha x_{N-3} \Phi). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$X$ сохраняется подгруппой

$\Theta\subset\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , изоморфной

$(\mathbb{C}^+)^s$ , где

$s=\binom{a+N-3}{N-2}$ .

По предложению 3.1 группа $\Theta$ содержится в унипотентном радикале $R_U$ группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ . Значит, по следствию 3.6 действие группы $\Theta$ на $X$ эффективно. Пусть теперь $\Gamma\subset \operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ – подгруппа в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ , состоящая из всех автоморфизмов, сохраняющих $X$ . Так как $\Theta\subset \Gamma$ , пересечение $\Gamma$ с $R_U$ нетривиально, и поэтому группа $\Gamma$ нередуктивна. Отсюда следует, что группа $\operatorname{Aut}(X)$ тоже нередуктивна. Действительно, в противном случае по теореме 1.3 вся группа $\operatorname{Aut}(X)$ является фактором группы $\Gamma$ . Следовательно, унипотентный радикал группы $\Gamma$ должен действовать тривиально на $X$ , что противоречит эффективности действия группы $\Theta$ .

Как мы только что видели, образ стабилизатора квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения Фано $X\subset\mathbb{P}$ в группе $\operatorname{Aut}(X)$ может быть бесконечен. Это невозможно для гиперповерхностей Калаби–Яу.

Предложение 5.3. Пусть $X\subset\mathbb{P}$ – квазигладкая хорошо сформированная взвешенная гиперповерхность с $i_X=0$ . Пусть $\Gamma$ – стабилизатор $X$ в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ . Тогда образ $\Gamma$ в группе $\operatorname{Aut}(X)$ конечен.

Доказательство. Заметим, что

$\Gamma$ – линейная алгебраическая группа, и ее образ

$\overline{\Gamma}$ в

$\operatorname{Aut}(X)$ – тоже линейная алгебраическая группа. (На самом деле даже вся группа

$\operatorname{Aut}(X)$ линейная алгебраическая, если размерность

$X$ не меньше

$3$ , но это утверждение не нужно для нашего доказательства.) С другой стороны, многообразие

$X$ не является унилинейчатым по предложению 2.13, (iii). Следовательно, линейная алгебраическая группа

$\overline{\Gamma}$ конечна; см., например, [23; теорема 14.1]. Предложение доказано.

Мы не знаем, можно ли обобщить предложение 5.3 на случай $i_X<0$ ; ср. пример 2.14.



Список литературы

1.	Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, 2-е изд., УРСС, М., 1995, 344 с. ; англ. пер. 1-го изд.: A. L. Onishchik, E. B. Vinberg, Lie groups and algebraic groups, Springer Ser. Soviet Math., Springer-Verlag, Berlin, 1990, xx+328 с.
2.	В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Автоморфизмы взвешенных полных пересечений”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Тр. МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 217–229 ; англ. пер.: V. V. Przyjalkowski, C. A. Shramov, “Automorphisms of weighted complete intersections”, Proc. Steklov Inst. Math., 307 (2019), 198–209
3.	В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Взвешенные полные пересечения Фано большой коразмерности”, Сиб. матем. журн., 61:2 (2020), 377–384 ; англ. пер.: V. V. Przyjalkowski, C. A. Shramov, “Fano weighted complete intersections of large codimension”, Siberian Math. J., 61:2 (2020), 298–303
4.	А. Н. Тюрин, “О пересечении квадрик”, УМН, 30:6(186) (1975), 51–99 ; англ. пер.: A. N. Tyurin, “On intersections of quadrics”, Russian Math. Surveys, 30:6 (1975), 51–105
5.	C. Ciliberto, R. Lazarsfeld, “On the uniqueness of certain linear series on some classes of curves”, Complete intersections (Acireale, 1983), Lecture Notes in Math., 1092, Springer, Berlin, 1984, 198–213
6.	A. Dimca, “Singularities and coverings of weighted complete intersections”, J. Reine Angew. Math., 1986:366 (1986), 184–193
7.	I. Dolgachev, “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, BC, 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin, Springer, 1982, 34–71
8.	D. Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 150, Springer-Verlag, New York, 1995, xvi+785 pp.
9.	R. M. Fossum, The divisor class group of a Krull domain, Ergeb. Math. Grenzgeb., 74, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1973, viii+148 pp.
10.	R. Hartshorne, “Complete intersections and connectedness”, Amer. J. Math., 84:3 (1962), 497–508
11.	R. Hartshorne, “Generalized divisors on Gorenstein curves and a theorem of Noether”, J. Math. Kyoto Univ., 26:3 (1986), 375–386
12.	A. R. Iano-Fletcher, “Working with weighted complete intersections”, Explicit birational geometry of 3-folds, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 281, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, 101–173
13.	Y. Kawamata, “The cone of curves of algebraic varieties”, Ann. of Math. (2), 119:3 (1984), 603–633
14.	A. R. Mavlyutov, “Cohomology of complete intersections in toric varieties”, Pacific J. Math., 191:1 (1999), 133–144
15.	Y. Miyaoka, S. Mori, “A numerical criterion for uniruledness”, Ann. of Math. (2), 124:1 (1986), 65–69
16.	T. Okada, “Stable rationality of orbifold Fano 3-fold hypersurfaces”, J. Algebraic Geom., 28:1 (2019), 99–138
17.	M. Pizzato, T. Sano, L. Tasin, “Effective nonvanishing for Fano weighted complete intersections”, Algebra Number Theory, 11:10 (2017), 2369–2395
18.	Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan constant for Cremona group of rank 3”, Mosc. Math. J., 17:3 (2017), 457–509
19.	V. Przyjalkowski, C. Shramov, “Bounds for smooth Fano weighted complete intersections”, Commun. Number Theory Phys., 14:3 (2020), 511–553
20.	V. Przyjalkowski, C. Shramov, “Hodge level for weighted complete intersections”, Collect. Math., 71:3 (2020), 549–574
21.	L. Robbiano, “Some properties of complete intersections in “good” projective varieties”, Nagoya Math. J., 61 (1976), 103–111
22.	M. Rossi, L. Terracini, “Linear algebra and toric data of weighted projective spaces”, Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino, 70:4 (2012), 469–495
23.	K. Ueno, Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces, Notes written in collaboration with P. Cherenack, Lecture Notes in Math., 439, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1975, xix+278 pp.
24.	K. Watanabe, “Some remarks concerning Demazure's construction of normal graded rings”, Nagoya Math. J., 83 (1981), 203–211
25.	Qi Zhang, “Rational connectedness of $\log Q$ -Fano varieties”, J. Reine Angew. Math., 2006:590 (2006), 131–142

Образец цитирования: В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Об автоморфизмах квазигладких взвешенных полных пересечений”, Матем. сб., 212:3 (2021), 112–127; V. V. Przyjalkowski, С. A. Shramov, “On automorphisms of quasi-smooth weighted complete intersections”, Sb. Math., 212:3 (2021), 374–388

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{PrzShr21}

\by В.~В.~Пржиялковский, К.~А.~Шрамов

\paper Об автоморфизмах квазигладких взвешенных полных пересечений

\jour Матем. сб.

\yr 2021

\vol 212

\issue 3

\pages 112--127

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9451}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9451}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2354283}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1466.14050}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..374P}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46084904}

\transl

\by V.~V.~Przyjalkowski, С.~A.~Shramov

\paper On automorphisms of quasi-smooth weighted complete intersections

\jour Sb. Math.

\yr 2021

\vol 212

\issue 3

\pages 374--388

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9451}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701488400001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85106621781}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9451

https://doi.org/10.4213/sm9451

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i3/p112

Эта публикация цитируется в следующих 6 статьяx:

Michael Chitayat, “Rationality of weighted hypersurfaces of special degree”, Journal of Algebra, 665 (2025), 7
Louis Esser, “Automorphisms of weighted projective hypersurfaces”, Journal of Pure and Applied Algebra, 228:6 (2024), 107628
Louis Esser, Lena Ji, Joaquín Moraga, “Symmetries of Fano varieties”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2024
M. A. Ovcharenko, “On the existence of nef-partitions for smooth well-formed Fano weighted complete intersections”, Сиб. электрон. матем. изв., 20:2 (2023), 1405–1419
M. A. Ovcharenko, “The classification of smooth well-formed Fano weighted complete intersections”, Int. J. Math., 34:11 (2023), 2350064
В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Гладкие полные пересечения Фано основной серии в торических многообразиях”, Матем. заметки, 109:4 (2021), 590–596 ; V. V. Przyjalkowski, С. A. Shramov, “Smooth Prime Fano Complete Intersections in Toric Varieties”, Math. Notes, 109:4 (2021), 609–613

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	486
PDF русской версии:	66
PDF английской версии:	62
HTML русской версии:	176
Список литературы:	49
Первая страница:	11

Что такое QR-код?

Обратная связь:
math-net2025_04@mi-ras.ru

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы