Аннотация:
Пусть {aij(x)} (i,j=1,…,n) – эллиптическая матрица, aij(x) – почти-периодические функции Бора. В случае n⩾3 предполагается, что выполнено неравенство Бернштейна. Рассмотрены задачи об усреднении семейств эллиптических Aε=aij(ε−1x)DiDj и параболических операторов Lε=∂∂t−aij(ε−1x)DiDj, получен критерий поточечной и равномерной стабилизации для решения задачи Коши.
Ключевую роль в этих вопросах играет неотрицательное решение уравнения A∗p=DiDj(aijp)=0. Доказано, в частности, что это уравнение имеет единственное
(с точностью до множителя) решение из некоторого класса почти-периодических функций Безиковича. Доказана также более сильная теорема об эргодичности (или о единственности “стационарного распределения”): уравнение A∗f=0 имеет единственное (с точностью до множителя) решение из пространства, сопряженного к пространству почти-периодических функций Бора.
Рассмотрен также случай периодических коэффициентов (причем параболическое уравнение нестационарное), и доказаны теоремы об усреднении и стабилизации без неравенства Бернштейна.
Библиография: 17 названий.
Образец цитирования:
В. В. Жиков, М. М. Сиражудинов, “Усреднение недивергентных эллиптических и параболических операторов второго порядка
и стабилизация решения задачи Коши”, Матем. сб., 116(158):2(10) (1981), 166–186; V. V. Zhikov, M. M. Sirazhudinov, “The averaging of nondivergence second order elliptic and parabolic operators and the stabilization of solutions of the Cauchy problem”, Math. USSR-Sb., 44:2 (1983), 149–166
\RBibitem{ZhiSir81}
\by В.~В.~Жиков, М.~М.~Сиражудинов
\paper Усреднение недивергентных эллиптических и~параболических операторов второго порядка
и~стабилизация решения задачи Коши
\jour Матем. сб.
\yr 1981
\vol 116(158)
\issue 2(10)
\pages 166--186
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm2451}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=637859}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0502.35016|0472.35021}
\transl
\by V.~V.~Zhikov, M.~M.~Sirazhudinov
\paper The averaging of nondivergence second order elliptic and parabolic operators and the stabilization of solutions of the Cauchy problem
\jour Math. USSR-Sb.
\yr 1983
\vol 44
\issue 2
\pages 149--166
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM1983v044n02ABEH000958}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm2451
https://www.mathnet.ru/rus/sm/v158/i2/p166
Эта публикация цитируется в следующих 16 статьяx:
Andrey Muravnik, “Nonclassical dynamical behavior of solutions of partial differential-difference equations”, MATH, 10:1 (2025), 1842
М. М. Сиражудинов, “Оценки усреднения недивергентных эллиптических
операторов второго порядка”, Матем. заметки, 108:2 (2020), 260–284; M. M. Sirazhudinov, “Homogenization Estimates of Nondivergence Elliptic Operators of Second Order”, Math. Notes, 108:2 (2020), 250–271
М. М. Сиражудинов, С. П. Джамалудинова, “О G-компактности некоторых классов эллиптических операторов второго порядка”, Дагестанские электронные математические известия, 2018, № 10, 1–12
А. Б. Муравник, “Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши”, Уравнения в частных производных, СМФН, 52, РУДН, М., 2014, 3–141; A. B. Muravnik, “Functional differential parabolic equations: integral transformations and qualitative properties of solutions of the Cauchy problem”, Journal of Mathematical Sciences, 216:3 (2016), 345–496
М. М. Сиражудинов, С. П. Джамалудинова, “G-сходимость и усреднение одного класса эллиптических уравнений второго порядка с комплекснозначными коэффициентами”, Дагестанские электронные математические известия, 2014, № 2, 87–100
М. М. Сиражудинов, “О G-сходимости и усреднении обобщенных операторов Бельтрами”, Матем. сб., 199:5 (2008), 127–158; M. M. Sirazhudinov, “G-convergence and homogenization of generalized Beltrami operators”, Sb. Math., 199:5 (2008), 755–786
Iwaniec T., Giannetti F., Moscariello G., Sbordone C., Kovalev L., “On G-Compactness of the Beltrami Operators”, Nonlinear Homogenization and its Applications to Composites, Polycrystals and Smart Materials, NATO Science Series, Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 170, eds. Castaneda P., Telega J., Gambin B., Springer, 2004, 107–138
В. И. Богачев, М. Рёкнер, “Об Lp-единственности симметричных диффузионных
операторов на римановых многообразиях”, Матем. сб., 194:7 (2003), 15–24; V. I. Bogachev, M. Röckner, “On Lp-uniqueness of symmetric diffusion operators on Riemannian manifolds”, Sb. Math., 194:7 (2003), 969–978
В. И. Богачев, М. Рёкнер, В. Штаннат, “Единственность решений эллиптических уравнений
и единственность инвариантных мер диффузий”, Матем. сб., 193:7 (2002), 3–36; V. I. Bogachev, M. Röckner, W. Stannat, “Uniqueness of solutions of elliptic equations and
uniqueness of invariant measures of diffusions”, Sb. Math., 193:7 (2002), 945–976
Zhikov V., “Asymptotic Problems Related to Nondivergent Parabolic 2nd-Order Equation with Stochastically Uniform Coefficients”, Differ. Equ., 29:5 (1993), 735–744
Kamynin V., “Asymptotic-Behavior of Solutions of the Cauchy-Problem for Non-Divergence Parabolic Equations”, 316, no. 4, 1991, 807–811
Г. В. Сандраков, “Принципы осреднения уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами”, Матем. сб., 180:12 (1989), 1634–1679; G. V. Sandrakov, “Averaging principles for eguations with rapidly oscillatory coefficients”, Math. USSR-Sb., 68:2 (1991), 503–553
Zhikov V., Sirazhudinov M., “The Averaging of a System of Beltrami Equations”, Differ. Equ., 24:1 (1988), 50–56
Е. В. Царькова, “О некоторых асимптотических задачах для уравнения
диффузии”, УМН, 42:2(254) (1987), 249–250; E. V. Tsar'kova, “On certain asymptotic problems for the diffusion equation”, Russian Math. Surveys, 42:2 (1987), 305–306
С. М. Козлов, “Метод усреднения и блуждания в неоднородных средах”, УМН, 40:2(242) (1985), 61–120; S. M. Kozlov, “The method of averaging and walks in inhomogeneous environments”, Russian Math. Surveys, 40:2 (1985), 73–145
Krivenko E., “Averaging of Singularly Perturbed Parabolic Operators and the Stabilization of Cauchy-Problem Solution”, 266, no. 5, 1982, 1044–1048
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: