Формула для оптимального значения задачи Монжа–Канторовича с гладкой функцией стоимости и характеризация циклически монотонных отображений

Общая задача Монжа–Канторовича состоит в вычислении оптимального значения
$$\mathscr A(c,\rho):=\inf\biggl\{\int_{X\times X}c(x,y)\mu(d(x,y))\colon\mu\in V_+(X\times X),\ (\pi_1-\pi_2)\mu=\rho\biggr\},$$
где функция стоимости $c\colon X\times X\to \mathbf R^1$ и мера $\rho$ на $X$, $\rho X=0$, считаются заданными, $V_+(X\times X)$ обозначает конус конечных положительных борелевских мер на $X\times X$, $\pi_1$ и $\pi_2$ – проекторы на первую и вторую координаты, сопоставляющие мере $\mu$ соответствующие маргинальные меры.
Получена явная формула для $\mathscr A(c,\rho)$ в случае, когда $X$ – область в $\mathbf R^n$, $c$ ограничена, обращается в нуль на диагонали и непрерывно дифференцируема в окрестности диагонали.
Исследованы условия непустоты множества
$$Q_0(c):=\{u\colon X\to\mathbf R^1:u(x)-u(y)\leqslant c(x,y)\ \ \forall\,x,y\in X\}$$
и с их помощью получены новые характеризации циклически монотонных отображений.