| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сообщения Московского математического общества О крайних точках множества состояний с ограниченной энергией С. В. Вейсa, М. Е. Широковb a Bad Staffelstein, Germany b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9942 
Реферативные базы данных:
      Центральную роль в математической теории квантовых систем играет понятие квантового состояния – положительного ядерного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве H с единичным следом [1]. Множество S(H) всех квантовых состояний – это замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства T(H) всех ядерных операторов (со следовой нормой) [2], [3]. Важной характеристикой состояния ρ любой квантовой системы является средняя энергия TrρH, определяемая наблюдаемой энергии (гамильтонианом) H этой системы – положительно полуопределенным и, вообще говоря, неограниченным оператором в H (величина TrρH определяется как supnTrρHPn, где Pn – спектральный проектор оператора H, соответствующий интервалу [0,n]) – см. [1], [2]. Многие задачи квантовой теории информации требуют исследования свойств различных функций (в частности, нахождения их экстремальных значений) на множестве всех состояний со средней энергией, не превышающей заданной границы E⩾infσ(H), где σ(H) – спектр оператора H (см. [1], [4]–[10]). Нетрудно видеть, что SH,E – замкнутое выпуклое подмножество в S(H). Множество SH,E компактно тогда и только тогда, когда H – неограниченный оператор с дискретным спектром конечной кратности [5]. Для решения (или упрощения) указанной выше оптимизационной задачи необходимо изучить геометрию выпуклого множества SH,E. Следующая теорема дает описание крайних точек этого множества. Напомним, что крайними точками множества S(H) являются проекторы ранга 1, называемые чистыми состояниями.Теорема 1. Пусть H – произвольный положительный оператор и E>infσ(H). Тогда любая крайняя точка множества SH,E является чистым состоянием. Доказательство этой теоремы достаточно просто в конечномерном случае [8], поскольку в этом случае семейство относительных внутренностей всех граней выпуклого множества является разбиением этого выпуклого множества. В бесконечномерном случае мы строим аналогичное разбиение, используя лемму Куратовского–Цорна [11] (отметим, что в бесконечномерном случае относительная внутренность непустого выпуклого множества может быть пуста). Другой возможный способ доказательства теоремы 1 – использование двойственной теоремы Каратеодори [12; разд. III.9]. Если H – произвольный положительный оператор, то множество SH,E замкнуто, но не компактно. Однако оно μ-компактно (в терминах работы [13]) в силу предложения 2 из [6]. Предложение 5 в [13] дает обобщения теорем Крейна–Мильмана и Шоке на выпуклые μ-компактные множества. С помощью теоремы 1 утверждения этих теорем для множества SH,E можно сформулировать явно. Теорема 2. Пусть H – произвольный положительный оператор и E>infσ(H). Тогда множество крайних точек extSH,E=SH,E∩extS(H) непусто, замкнуто и справедливы следующие утверждения: (a) множество SH,E совпадает с выпуклым замыканием множества extSH,E; (b) любое состояние из SH,E является барицентром ∫σμ(dσ) некоторой вероятностной борелевской меры μ с носителем в extSH,E. Поскольку функция ρ↦TrρH неотрицательна, аффинна и полунепрерывна снизу, часть (b) теоремы 2 и неравенство Йенсена дают следующий результат о разложении любого состояния с конечной энергией в “непрерывную” выпуклую комбинацию чистых состояний с той же энергией. Следствие 1. Пусть H – произвольный положительный оператор в H. Тогда любое состояние ρ из S(H) такое, что TrρH=E<+∞, можно представить в виде ρ=∫σμ(dσ), где μ – вероятностная борелевская мера с носителем на множестве чистых состояний такая, что TrσH=E для μ-почти всех σ. В конечномерном случае аналогичное представление (с дискретной мерой μ) было получено в [7]. Сложность бесконечномерного случая связана, в частности, с тем, что множество всех состояний с заданной средней энергией не замкнуто (если оператор H является неограниченным). Именно поэтому нельзя сказать, что носитель меры μ в следствии 1 принадлежит множеству чистых состояний с энергией E. С помощью части (b) теоремы 2 и неравенства Йенсена получаем следующее. Следствие 2. Пусть H – произвольный положительный оператор в H и f – выпуклая функция на множестве SH,E, которая либо полунепрерывна снизу, либо полунепрерывна сверху и ограничена сверху. Тогда где HE={φ∈D(√H)∣‖ и \pi(\varphi) – чистое состояние, соответствующее вектору \varphi (проектор на подпространство, порожденное вектором \varphi).Если функция f полунепрерывна сверху, а оператор H имеет неограниченный дискретный спектр конечной кратности, то супремум в правой части (1) достигается на единичном векторе из \mathscr{H}_{E}. Основное утверждение следствия 2 – возможность брать супремум в левой части равенства (1) только по чистым состояниям из \mathfrak{S}_{H,E}. Доказательства всех приведенных выше результатов и их обобщения на случай нескольких ограничений энергетического типа представлены в [11], где рассмотрены также некоторые применения следствия 2 в квантовой теории информации.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{WeiShi21}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|