Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 1(469), страницы 207–208 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10096 (Mi rm10096)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10096

Финансовая поддержка	Номер гранта
Engineering and Physical Sciences Research Council	EP/V050451/1
Второй автор благодарит EPSRC за поддержку (грант EP/V050451/1).

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages 205–207
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10096e

Реферативные базы данных:

Пусть $\mathcal{A}$ – ассоциативная $\mathbb{C}$-алгебра с единицей 1 и $\mathcal{M}$ – некоторое $\mathbb{C}$-линейное пространство, $\dim\mathcal{M}\geqslant 1$.

Примеры: 1) $\mathcal{M}=\mathcal{A}$ и $\Phi(A,B)=AB-BA=[A,B]$; 2) $\mathcal{A}$ – коммутативная алгебра со скобкой Пуассона $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$, $\mathcal{M}=\mathcal{A}$ и $\Phi(A,B)=\{A,B\}$; 3) $\operatorname{CF}$-алгебры, у которых $\mathcal{M}$ – поле, получаются из конструкций алгебр в [1], [5].

Введем $\mathbb{C}$-линейное подпространство $\operatorname{Span}\subset\mathcal{A}$, натянутое на все коммутаторы $[A,B]\in \mathcal{A}$, и проекцию $\pi\colon \mathcal{A}\to \mathcal{A}/\operatorname{Span}$. Положим $A\approx B$, если $A-B\in\operatorname{Span}$.

Положим $\mathcal{K}=\{B\in\mathcal{A}\colon\Phi(A,B)=0 \text{ для всех } A\in\mathcal{A}\}$. Из определения 1 следует, что $\mathcal{K}$ – подкольцо в $\mathcal{A}$, $1\in \mathcal{K}$ и $\Phi(A,bC)=\Phi(Ab,C)$ для всех $A,C \in\mathcal{A}$ и $b\in\mathcal{K}$.

Пусть $\mathfrak{A}=\mathbb{C}\langle u_0,u_1,\ldots\rangle= \textstyle\bigoplus_{k=0}^\infty\mathfrak{A}_k$ – свободная ассоциативная градуированная алгебра с оператором дифференцирования $D$, $|u_k|=k+2$, $D(u_k)=u_{k+1}$, $k=0,1,\dots$ . Введем алгебру $\mathfrak{A}^D= \{A=\sum_{i\leqslant m}a_iD^i,\, a_m\ne 0,\, m\in \mathbb{Z},\, a_i\in \mathfrak{A}_{|a_m|+m-i}\}$, где $[D,u_k]=u_{k+1}$, $[D^{-1},u_k]=\sum_{i\geqslant 1}(-1)^i u_{k+i}D^{-i-1}$. Пусть $A_++A_-=A \in \mathfrak{A}^D$, где $A_+= \sum_{0\leqslant i\leqslant m} a_iD^{i}$ при $m\geqslant 0$ и $A_+=0$ при $m<0$. Имеем $\operatorname{res}[D,A]=D(\operatorname{res}A)$, где $\operatorname{res} A=a_{-1}$. Введем однородную $\mathbb{C}$-билинейную кососимметрическую форму $\sigma(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)\colon \mathfrak{A}^D\otimes\mathfrak{A}^D \to \mathfrak{A}$, $|\sigma(A,B)|=|A|+|B|$, полагая

Положим $L=D^2-u$ и $\mathcal{L}=D+ \sum_{i\geqslant1} I_{i}D^{-i}$, $I_{i}\in \mathfrak{A}_{i+1}$, где $\mathcal{L}^2=L$. Получаем последовательность рядов $\mathcal{L}^{2k-1}$, $k\in\mathbb{N}$. Положим

Введем дифференцирования $D_{2k-1}$, $k\in\mathbb{N}$, кольца $\mathfrak{A}$ такие, что

Пусть $u=u(t_1,t_3,\dots)$. Положим $\partial_{t_{2k-1}}(u)=D_{2k-1}(u)$.

Следуя [3], для $N\in \mathbb{N}$ положим $F_{2N+2}(u)=\rho_{2N+2}+\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_{2(N-k+1)}\rho_{2k}$, где $\rho_0= 1$ и $\alpha_4,\dots,\alpha_{2N+2}$ – свободные параметры. Уравнение $F_{2N+2}(u)=0$ называется $N$-уравнением Новикова. Пусть $J(F)$ – двусторонний $D$-дифференциальный идеал в $\mathfrak{A}$, порожденный полиномом $F_{2N+2}(u)$. Так как $2^{2k+1}\rho_{2k+2}=u_{2k}+f(u_{2k-2},\dots,u)$ и $u_{k+1}=D^k(u)$, то на факторалгебре $\mathfrak{A}/J(F)=\mathbb{C}\langle u,\dots,u_{2N-1}\rangle$ иерархия КдФ (см. теорему 2) сводится к $N$-иерархии Новикова, где первая система представляет $N$-уравнение Новикова в виде $D(u_k)=u_{k+1}$ для $0\leqslant k< 2N-1$, $D(u_{2N-1})=-f(u_{2k-2},\dots,u)$. В [3] показано, что в терминах формы $\Phi$ (см. теорему 1) полиномы

Мы благодарим С. П. Новикова и В. Н. Рубцова за стимулирующие обсуждения результатов этой заметки.

Список литературы
1.	M. Aguiar, J. Algebra, 244:2 (2001), 492–532
2.	В. М. Бухштабер, А. В. Михайлов, УМН, 76:4(460) (2021), 37–104
3.	V. M. Buchstaber, A. V. Mikhailov, KdV hierarchies and quantum Novikov's equations, 2021, 21 pp., arXiv: 2109.06357
4.	И. М. Гельфанд, Л. А. Дикий, УМН, 30:5(185) (1975), 67–100
5.	А. В. Одесский, В. Н. Рубцов, В. В. Соколов, ТМФ, 171:1 (2012), 26–32
6.	V. Sokolov, Algebraic structures in integrability, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2020, xviii+327 pp.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BucMik23}
\by В.~М.~Бухштабер, А.~В.~Михайлов
\paper Циклические фробениусовы алгебры
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 1(469)
\pages 207--208
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10096}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10096}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634799}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07745489}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..205B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 1
\pages 205--207
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10096e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001057003200005}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85167924629}


1

CITATION

1 Total citation

1 Recent citation

1.47 Field Citation Ratio

n/a Relative Citation Ratio