| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Сообщения Московского математического общества Теорема об обратных функциях на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками О. С. Кудрявцеваab, А. П. Солодовa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики b Волгоградский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10042 
Реферативные базы данных:
     В данной работе решена задача о точной области обратимости на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками и условием на угловую производную в граничной неподвижной точке. Интерес к подобным экстремальным задачам связан, в первую очередь, со знаменитой теоремой Блоха [1] о том, что любая голоморфная в единичном круге D={z∈C:|z|<1} функция f обратима в некотором круге радиуса R|f′(0)|, где R – абсолютная постоянная. Поиск точной верхней грани B таких R, называемой константой Блоха, составляет одну из важнейших и до сих пор не решенных проблем геометрической теории функций. Сильнейшая по сути оценка снизу B⩾√3/4 была получена Альфорсом [2]. После длительного перерыва Бонк [3] с помощью доказанной им теоремы искажения на классе Блоха установил, что оценка Альфорса не является точной, т. е. B>√3/4. Впоследствии Чен и Готье [4], несколько улучшив технические детали доказательства Бонка, уточнили его наблюдение: B>√3/4+2⋅10−4. На наш взгляд, для получения новых оценок снизу константы Блоха продуктивным может стать подход Ландау. Рассматривая класс ограниченных постоянной M голоморфных отображений f круга D с внутренней неподвижной точкой z=0 и таких, что f′(0)=1, Ландау [5] установил существование единого круга однолистности на этом классе и точно вычислил его радиус. Кроме того, он обнаружил существование круга, в котором все функции из указанного класса обратимы, точно вычислив и его радиус. Используя эти результаты, Ландау получил одну из первых оценок константы Блоха. В то же время индивидуальная область обратимости каждой из функций класса, который изучал Ландау, значительно обширнее единого круга обратимости. В связи с этим возникает естественная задача отыскания точных областей однолистности и обратимости на подклассах этого класса. В определенном смысле в качестве таких подклассов естественно изучать важные в приложениях классы голоморфных отображений единичного круга D в себя с несколькими неподвижными точками (см. [6]). Обозначим через B совокупность голоморфных отображений круга D в себя. Полагая B[0]={f∈B:f(0)=0}, придадим результатам Ландау следующий вид: если f∈B[0] и |f′(0)|⩾1/M, M>1, то f однолистна в Z={z∈D:|z|<M−√M2−1} и обратима в W={w∈D:|w|<(M−√M2−1)2}. При этом не только круги большего радиуса, но и любые более обширные области иной структуры вместо Z и W выбрать нельзя. Доказательство этого результата основано на следующем неравенстве (см. [5]): если f∈B[0] и точки a,b∈D, a≠b, таковы, что f(a)=f(b)=c, то |c|⩽|a||b|. На классе B{1}={f∈B:∠limz→1f(z)=1} Беккер и Поммеренке [7] получили неравенство, в некотором смысле аналогичное неравенству Ландау. Они доказали, что если f\in \mathcal B\{1\} и точки a, b\in \mathbb D, a\ne b, таковы, что f(a)=f(b)=c, то
\begin{equation}
f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}- \frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1}
Заметим, что производная в граничной неподвижной точке понимается в смысле углового предела и принимает положительные значения. С помощью неравенства (1) Беккер и Поммеренке для функции f\in \mathcal B\{1\}, имеющей конечную угловую производную в граничной неподвижной точке, указали область, в которой эта функция однолистна. Горяйнов [8], изучая влияние угловой производной на поведение функции внутри круга, рассмотрел класс \mathcal B[0,1]=\mathcal B[0]\cap \mathcal B\{1\} и обнаружил, что при \alpha\in(1,2) имеет место вложение класса \mathcal B_{\alpha}[0,1]=\{f\in\mathcal B[0,1]\colon f'(1)\leqslant \alpha\} в класс, исследованный Ландау. Более того, Горяйнов показал, что любая функция f\in \mathcal B_{\alpha}[0,1], \alpha\in(1,2), однолистна в области \{z\in \mathbb{D}\colon{|1-z|}/{(1-|z|)}<1/\sqrt{\alpha-1}\,\}. В [9] найдена близкая к неулучшаемой двусторонняя оценка области однолистности на этом классе. В [10], [11] получено уточнение неравенства (1) в случае двух неподвижных точек: если f\in \mathcal B[0,1] и ненулевые точки a,b\in \mathbb D, a\ne b, таковы, что f(a)=f(b)=c, то
\begin{equation}
f'(1)\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}-\frac{1-|b|^2}{|1-b|^2} \geqslant \biggl|1-\frac{\lambda(c)}{\lambda(a)\lambda(b)}\biggr|^2 \biggl(1-\biggl|\frac{\lambda(c)}{\lambda(a)\lambda(b)}\biggr|^2\biggr)^{-1},
\end{equation}
\tag{2}
где \lambda(z)=-z(1-\overline{z})/(1-z). Неравенство (2) позволило найти (см. [10], [11]) точную область однолистности на классе \mathcal B_{\alpha}[0,1], \alpha\in(1,4]:
\begin{equation}
\{z\in \mathbb D\colon |1-2z+|z|^2|(1-|z|^2)^{-1}<(\alpha-1)^{-1/2}\}.
\end{equation}
\tag{3}
Нахождение точной области однолистности привело к дальнейшему выявлению геометрических характеристик класса \mathcal B_{\alpha}[0,1]. Выяснилось, что структура области (3) играет ключевую роль в доказательстве теоремы об обратных функциях на классе \mathcal B_{\alpha}[0,1]. Конечно, из вложения \mathcal B_{\alpha}[0,1], \alpha\in(1,2), в класс Ландау следует обратимость всех функций этого класса в некотором круге. На самом деле вместо круга можно взять существенно более обширную область, содержащую внутреннюю неподвижную точку и примыкающую к граничной. Имеет место следующий окончательный результат. Теорема. Пусть f\in \mathcal B_{\alpha}[0,1], \alpha\in(1,2). Существует функция, обратная к f и конформно отображающая область \mathcal Y=\{w\in \mathbb D \colon |1-w|/(1-|w|)<{\alpha}/(2\sqrt{\alpha-1}\,)\} на некоторую область \mathcal X\subset \mathbb D. Какова бы ни была область \mathcal V, \mathcal Y\subset \mathcal V \subset \mathbb D, \mathcal V\ne \mathcal Y, найдется функция f\in \mathcal B_{\alpha}[0,1], не имеющая обратной в области \mathcal V. При \alpha\geqslant 2 на классе \mathcal B_{\alpha}[0,1] нет непустых областей обратимости. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KudSol22}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|