И. А. Икромов, Д. И. Икромова, “О точных $L^p$-оценках преобразования Фурье поверхностных мер”, Матем. заметки, 115:1 (2024), 51–77; Math. Notes, 115:1 (2024), 44

Processing math: 59%

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2024, том 115, выпуск 1, страницы 51–77
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13987 (Mi mzm13987)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О точных

$L^p$ -оценках преобразования Фурье поверхностных мер

И. А. Икромов^ab, Д. И. Икромова^b

^a Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, г. Ташкент
^b Самаркандский государственный университет им. Ш. Рашидова, Узбекистан

PDF полного текста (735 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13987

Аннотация: В данной работе мы рассмотрим оценки преобразования Фурье мер, сосредоточенных на гладких поверхностях

$S\subset \mathbb{R}^3$ , заданных графиком гладкой функции, имеющей простые особенности Арнольда, причем в некоторой точке обе главные кривизны поверхности обращаются в нуль. Доказано, что если кратность критической точки функции, графиком которой является поверхность, не превосходит

$7$ , то для любого

$p>3$ преобразование Фурье соответствующих поверхностных мер принадлежит

$L^{p}(\mathbb{R}^3)$ . Заметим, что для любой гладкой поверхности преобразование Фурье нетривиальной поверхностной меры с компактным носителем не принадлежит

$L^3(\mathbb{R}^3)$ , т.е. полученная

$L^p(\mathbb{R}^3)$ -оценка точна. Более того, существует функция, имеющая особенность типа

$E_8$ (кратность критической точки функции равна

$8$ ), такая, что преобразование Фурье соответствующей поверхностной меры не принадлежит

$L^{22/7}(\mathbb{R}^3)$ , что показывает точность оценки для кратности критической точки.
Библиография: 19 названий.

Ключевые слова: мера, преобразование Фурье, гиперповерхность, кривизна, суммируемость.

Поступило: 14.04.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages 44–65
DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462401005X

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.518.5

PACS: 517.518.5

1. Введение

Пусть $S\subset \mathbb{R}^n$ – гладкая гиперповерхность, а $\varphi\in C_0^\infty(S)$ – неотрицательная гладкая функция с компактным носителем. Рассмотрим поверхностную меру $d\mu:=\varphi(x)\,dS(x)$ , где $dS(x)$ – индуцированная мера Лебега (т.е. стандартная поверхностная мера) на поверхности $S$ и $\varphi(x)$ – плотность меры. Преобразование Фурье меры определяется следующим интегралом:

$\begin{equation} \widehat{d\mu}(\xi)=\int_S e^{ix\xi}\,d\mu, \end{equation} \tag{1.1}$

где

$x\xi$ – скалярное произведение векторов

$x$ и

$\xi$ . Соотношение (1.1) соответствует преобразованию Фурье распределения, определенного мерой

$d\mu$ (см. [1], а также [2]).

В этой статье мы рассмотрим следующую задачу. Найти “infimum” (т.е. точную нижнюю грань) следующего множества:

$\begin{equation} \bigl\{p\geqslant 1\colon \widehat{d\mu}\in L^p(\mathbb{R}^n) \text{ для любого } \varphi\in C_0^\infty(S)\bigr\}, \end{equation} \tag{1.2}$

где мы обозначим через

$L^p(\mathbb{R}^n)$ ,

$1\leqslant p<\infty$ , пространство Лебега всех классов эквивалентности комплекснозначных борелевских измеримых функций

$f$ на

$\mathbb{R}^n$ таких, что

$\int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^p\,dx$ конечен. В предельном случае

$p= \infty$

$L^p(\mathbb{R}^n)$ состоит из всех измеримых, существенно ограниченных функций.

Точная нижняя грань множества (1.2), обозначаемая через $p_S$ , называется точным показателем интегрируемости функции $\widehat{d\mu}$ [3].

Разумеется, можно рассмотреть аналогичную задачу о точной нижней грани для поверхностей коразмерностью строго больше единицы, а также для фиксированной плотности $\varphi$ (см. [4]). Аналогичная задача для преобразования Фурье компактных областей рассмотрена в работе [5].

Проблема интегрируемости имеет несколько мотиваций. Одна из классических мотиваций связана с аналитической теорией чисел. Точнее, с проблемой Терри о числе решений диофантовых уравнений в области $\{n\in \mathbb{Z}^\nu\colon |n|\leqslant N\}$ (где $N$ – большое натуральное число, см. [3], [6], [7]).

Другие мотивации проблемы связаны с задачами математической физики [8] (см. также [9]) и с проблемой об ограничении преобразования Фурье на поверхностях в гармоническом анализе [10].

Так как $d\mu$ имеет компактный носитель, то $\widehat{d\mu}$ является ограниченной аналитической функцией в $\mathbb{R}^n$ . Так что $\widehat{d\mu}\in L^\infty(\mathbb{R}^n)$ для произвольной гиперповерхности $S$ . С другой стороны, если $S$ – гиперплоскость и $\varphi$ – произвольная нетривиальная функция на $S$ , то $\widehat{d\mu}$ не принадлежит $L^p(\mathbb{R}^n)$ , как только $p<\infty$ .

Однако, если $S$ удовлетворяет так называемому условию “кривизны” (см. [10] для более детального определения этого условия), то существует положительное вещественное число $p<\infty$ такое, что $\widehat{d\mu}\in L^p(\mathbb{R}^n)$ . Таким образом, поведение преобразования Фурье меры связано с геометрическими свойствами гиперповерхности $S$ .

Следует отметить, что задача об определении минимального числа $p$ , удовлетворяющего условию $\widehat{d\mu}\in L^p(\mathbb{R}^n)$ , является тонкой, открытой проблемой анализа. В статье [8] рассмотрена аналогичная задача в случае, когда $S\subset \mathbb{R}^3$ является аналитической гиперповерхностью с хотя бы одной ненулевой главной кривизной в каждой точке. В статье [11] рассмотрен более общий случай, когда $S \subset \mathbb{R}^{n}$ является аналитической гиперповерхностью с не менее чем $n-2$ ненулевыми главными кривизнами в каждой точке.

В настоящей работе рассматривается задача о точных $L^p$ -оценках преобразования Фурье поверхностной меры для более вырожденного случая, когда $S\subset \mathbb{R}^3$ является гладкой поверхностью, причем в некоторой точке обращаются в нуль обе главные кривизны. Задачи с такими особенностями встречаются в приложениях, например, в работе [8] рассмотрен случай, когда $\phi$ имеет особенности типа омбилики. Для соответствующей поверхности обе главные кривизны обращаются в нуль в некоторой точке. Эти обстоятельства объясняют актуальность поставленной задачи.

Поскольку $d\mu$ имеет компактный носитель, благодаря методу разбиения единицы можно считать, что мера $d\mu$ сосредоточена в достаточно малой окрестности фиксированной точки. Ради определенности предположим, что $S$ содержит начало координат, а касательная плоскость к поверхности в начале координат определяется равенством $T_0S=\{x_3=0\}$ , что не умаляет общности результата, ибо любая поверхность евклидовым движением приводится к таковой. Таким образом, плотность $\varphi$ сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат. Следовательно, мы можем предположить, что $S\subset \mathbb{R}^3$ задана в виде графика гладкой функции

$\begin{equation} S=\bigl\{(x_1,x_2,x_3)\colon x_3=\phi(x_1,x_2)\bigr\}, \end{equation} \tag{1.3}$

где

$\phi$ – гладкая функция, определенная в окрестности нуля

$U\subset\mathbb{R}^2$ , а также в силу нашего предположения о касательной плоскости

$\phi(0,0)=0$ и

$\nabla\phi(0, 0)=0$ .

Таким образом, $\phi$ имеет особенность в нуле, т.е. нуль является критической точкой для этой функции. Далее будем считать, что кратность этой критической точки конечное число.

Ради удобства читателей мы приведем определение кратности критической точки (см. [12; с. 121] для получения более подробной информации).

Пусть $\phi\colon (\mathbb{R}^n,a)\mapsto \mathbb{R}$ – росток гладкой функции $\phi$ в точке $a$ и $\nabla\phi$ (с условием $\nabla\phi(a)=0$ ) – росток градиента в точке $a$ . Рассмотрим алгебру $C_a\{x\}$ всех ростков гладких функций в точке $a$ . Ростки компонентов $\nabla\phi$ порождают идеал $I_{\nabla\phi}$ , (так называемый градиентный идеал) в этой алгебре:

$\begin{equation*} I_{\nabla\phi}:=\partial_1\phi C_a\{ x\}+\dots+ \partial_n\phi C_a\{ x\}; \end{equation*} \notag$

здесь и далее используются следующие стандартные обозначения, предполагающие

$F$ бесконечно-гладкой функцией

$\begin{equation*} \partial^\alpha F(x):=\partial_1^{\alpha_1}\dotsb \partial_\nu^{\alpha_\nu}F(x):= \frac{\partial^{|\alpha|}F(x)} {\partial x_1^{\alpha_1}\dotsb\partial x_\nu^{\alpha_\nu}}\,, \end{equation*} \notag$

где

$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_\nu)\in \mathbb{Z}^\nu_+$ мультииндекс, а также

$\mathbb{Z}_+:=\{0\}\cup \mathbb{N}$ , и

$|\alpha|:=\alpha_1+\dots+\alpha_\nu$ .

Определение 1 [12]. Кратность критической точки $a$ ростка $\phi$ определяется как размерность его локальной алгебры $Q_{\phi,a}$ , т.е.

$\begin{equation*} \mathfrak{m}_a(\phi)=\operatorname*{dim}_{\mathbb{R}}Q_{\phi,a}, \end{equation*} \notag$

где

$Q_{\phi, a}:=C_a\{x\}/I_{\nabla\phi}$ – фактор алгебра алгебры

$C_a\{x\}$ по идеалу

$I_{\nabla\phi}$ .

Рассмотрим задачу: пусть $S\subset \mathbb{R}^3$ гладкая поверхность, определенная равенством (1.3), такая, что в начале координат обе главные кривизны обращаются в нуль. Найти минимальную кратность критической точки функции $\phi$ такую, что для произвольной плотности с достаточно малым носителем имеет место включение $\widehat{d\mu}\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3):= \bigcap_{p>3}L^{p}(\mathbb{R}^3)$ .

Мы покажем, что если $\phi$ – гладкая функция, удовлетворяющая условиям

$\begin{equation*} \partial_1^{\alpha_1}\partial_2^{\alpha_2}\phi(0,0)=0 \end{equation*} \notag$

$\alpha_1+\alpha_2\leqslant2$ и

$\mathfrak{m}_0(\phi)\leqslant 7$ , то справедливо соотношение

$\widehat{d\mu}\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3)$ . Более того, существует функция, имеющая особенность типа

$E_8$ (для которой

$\mathfrak{m}=8$ ) такая, что соответствующий интеграл

$\widehat{d\mu}$ не лежит в

$L^{22/7}(\mathbb{R}^3)$ . Этот пример показывает точность оценки для кратности критической точки.

Далее, запишем $\widehat{d\mu}$ в виде следующего осцилляторного интеграла:

$\begin{equation} J(\xi)=\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i(\xi_1 x_1+\xi_2 x_2+ \xi_3\phi(x_1,x_2))\bigr)a(x_1,x_2)\,dx_1\,dx_2, \end{equation} \tag{1.4}$

где

$a\in C_0^\infty(U)$ гладкая функция с носителем в

$U$ . Точнее, функция

$a$ определяется следующим равенством:

$a(x):=\varphi(x,\phi(x))\sqrt{1+|\nabla\phi(x)|^2}$ . Так что функция

$J$ является преобразованием Фурье меры

$d\mu=\varphi(x)\,dS$ .

Заметим, что если гауссова кривизна поверхности $S$ не обращается в нуль или $\phi$ имеет особенности типа $A_k(k\leqslant 3)$ в $(0,0)\in \mathbb{R}^2$ , то $J\in L^p(\mathbb{R}^3)$ для произвольного $p>3$ , как только $U$ – достаточно малая окрестность начала координат. Более того, если $a(0,0)\ne0$ , то $J\notin L^3(\mathbb{R}^3)$ (см. [11]). Заметим, что если $\phi$ имеет особенность типа $A$ , то одна из главных кривизн поверхности $S$ не обращается в нуль. Но проблема суммируемости для случая, когда обе главные кривизны обращаются в нуль в начале координат, остается открытой. Настоящая работа посвящена решению этой задачи для случая, когда соответствующая функция имеет простые особенности Арнольда [12] коранга два.

Статья состоит из шести разделов. В разделе 2 мы приведем формулировку основных результатов статьи. В разделе 3 приведем техническое утверждение о нормальной форме функций относительно линейных преобразований. В разделе 4 приведены оценки осцилляторных интегралов с фазой, имеющей особенность типа $D$ . Интересно отметить, что точные $L^p$ -оценки этих интегралов не зависят от кратности критической точки. Этот феномен в остальных особенностях не наблюдается. В разделе 5 мы получим соответствующие оценки для особенностей из серии $E$ и завершим доказательство основной теоремы. Наконец, в разделе 6 мы обсудим точность полученных оценок.

В статье мы будем использовать множество констант, появляющихся в ходе наших рассуждений, часто обозначаемых через $c$ , $C$ , $\delta$ , $\varepsilon$ ; обычно они имеют разные значения в разных строках. Кроме того, мы будем использовать символы такие как $\sim$ , $\lesssim$ или $\ll$ , чтобы не записывать константы, как описано в [13; гл. 1]. Через $\chi_0$ будем обозначать гладкую функцию на $\mathbb{R}^\nu$ с типично небольшим компактным носителем такую, что $\chi_0(x)\equiv1$ в некоторой окрестности нуля, а $\chi_1(x):=\chi_0(x)-\chi_0(2x)$ . Эти функции также могут меняться от строки к строке и в некоторых случаях, когда несколько таких функций разных переменных входят в одну и ту же формулу, даже обозначать разные функции.

2. Формулировка основных результатов

В этой статье мы будем предполагать, что плотность $\varphi$ сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат $\mathbb{R}^3$ , а также, что поверхность $S$ на носителе плотности $\varphi$ задается в виде графика гладкой функции.

Основные результаты работы содержатся в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть $S\subset \mathbb{R}^3$ – гладкая гиперповерхность, заданная в виде графика функции $\phi(x_1,x_2)$ , т.е. $S:=\{x\in \mathbb{R}^3\colon x_{3}=\phi(x_1,x_2)\}$ , где $\phi$ – гладкая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

(i) для произвольного мультииндекса $(\alpha_1,\alpha_2)\in \mathbb{Z}_+^2$ , с условием $\alpha_1+\alpha_2\leqslant2$ выполняется равенство $\partial_1^{\alpha_1}\partial_2^{\alpha_2}\phi(0,0)=0$ ;
(ii) $\phi$ имеет особенность кратности не более 7 в нуле.

Тогда существует окрестность нуля

$U$ такая, что при любой плотности

$\varphi\in C_{0}^{\infty}(U)$ имеет место включение

$\widehat{d\mu}\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3)$ .

Замечание 1. Следует отметить, что если

$\begin{equation*} D^2\phi(0,0):=\begin{pmatrix} \partial_1^2\phi(0, 0) & \partial_1\partial_2\phi(0,0) \\ \partial_2\partial_1\phi(0, 0) & \partial^2_2\phi(0,0) \end{pmatrix} \ne 0, \end{equation*} \notag$

т.е. если хотя бы одна из главных кривизн поверхности не обращается в нуль в начале координат

$\mathbb{R}^3$ , то, вообще говоря, утверждение теоремы 1 не верно. Например, пусть

$\phi(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^5$ , для этой функции кратность критической точки равна

$4$ . Тогда легко показать, что

$J\notin L^{22/7}(\mathbb{R}^3)$ . Этим объясняется существенность условия, о том что обе главные кривизны обращаются в нуль в начале координат.

Замечание 2. С другой стороны, если кратность критической точки больше 7, то утверждение теоремы 1 не справедливо, как видно из примера функции, имеющей особенность типа $E_8$ . Точнее, если $\phi(x_1,x_2)=x_1^3+x_2^5$ , то $\mathfrak{m}(\phi)=8$ , при этом $J\notin L^{22/7}(\mathbb{R}^3)$ . Таким образом, мы имеем точную оценку для кратности критической точки, гарантирующую справедливость включения $J\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3)$ .

Точность основной теоремы следует из следующего предложения [11].

Предложение 1. Пусть $S\subset \mathbb{R}^{3}$ – $C^2$ -гладкая гиперповерхность, содержащая начало координат, $d\mu$ мера, определяемая равенством

$\begin{equation*} \widehat{d\mu}(\xi):=\int_{S}e^{ix\xi}\varphi(x)\,dS, \end{equation*} \notag$

и пусть

$\varphi$ – неотрицательная непрерывная функция, сосредоточенная в достаточно малой окрестности нуля такая, что

$\varphi(0)>0$ . Тогда

$\widehat{d\mu}\notin L^p(\mathbb{R}^{3})$ для любого

$1\leqslant p \leqslant 3$ .

3. О нормальной форме функций относительно линейных преобразований

Пусть $\phi$ удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда она разлагается по однородным полиномам в формальный ряд

$\begin{equation*} \phi(x_1,x_2)\sim \sum_{k=3}^\infty P_k(x_1,x_2), \end{equation*} \notag$

где

$P_k$ – однородный полином степени

$k$ .

Для однородного полинома $P_k$ неотрицательное целое число $n(P_k)$ означает максимум кратности корней этого полинома на единичной окружности с центром в начале координат. Очевидно, что $0\leqslant n(P_k)\leqslant k$ , причем, если $k$ нечетное число, то $1\leqslant n(P_k)\leqslant k$ .

Пусть $\phi$ гладкая функция такая, что все частные производные до второго порядка включительно обращаются в нуль в начале координат и $\mathfrak{m}_0(\phi)\leqslant 7$ . Известно, что такая функция имеет лишь простые особенности Арнольда [12].

Однако, в рассматриваемой задаче нам необходимо иметь вид этих функций относительно линейных преобразований.

При доказательстве основной теоремы существенно используется следующее техническое предложение.

Предложение 2. Предположим, что $\partial^{\alpha_1}\partial^{\alpha_2}\phi(0,0)=0$ для любого мультииндекса $\alpha\in \mathbb{Z}_+^2$ , удовлетворяющего условию $\alpha_1+\alpha_2\leqslant2$ . Тогда имеют место следующие утверждения.

а) Если $P_3$ , однородная часть степени $3$ полинома Тейлора функции $\phi$ , удовлетворяет условию $n(P_3) < 3$ , то после возможной линейной замены переменных функцию $\phi$ можно записать в следующем виде в достаточно малой окрестности начала координат:

$\begin{equation} \phi(x_1,x_2)=b(x_1,x_2)\bigl(x_2-\psi(x_1)\bigr)^2+b_0(x_1), \end{equation} \tag{3.1}$

где

$b$ ,

$b_0$ ,

$\psi$ гладкие функции, причем

$b(x_1,x_2)$ записывается в виде

$b(x_1,x_2)=x_1b_1(x_1,x_2)+x_2^2b_2(x_2)$ с гладкими функциями

$b_1$ и

$b_2$ . Кроме того,

$b_1(x_1, x_2)$ удовлетворяет условию

$b_1(0,0) \ne 0$ , а также

$\psi(x_1)=x_1^m\omega(x_1)$ с

$m\geqslant2$ и

$\omega(0) \ne 0$ , как только

$\psi$ не плоская функция.

Более того, выполняется либо (ai), либо (aii):

(ai) $b_0$ плоская функция в начале координат (особенность типа $D_\infty$ ) и $h(\phi)=2$ ;
(aii) $b_0(x_1)=x_1^n\beta(x_1)$ с $n\geqslant 3$ , где $\beta(0) \ne 0$ (особенность типа $D_{n+1}$ ) и $h(\phi)=2n/(n+1)$ ; здесь $h(\phi)$ – высота функции, определенная Варченко [14]. В этих случаях особенность функции $\phi$ назовем особенностью типа $D$ .

b) Если $n(P_3)=3$ и $h(\phi) < 2$ , то после возможного линейного преобразования функция $\phi$ записывается в следующем виде:

$\begin{equation*} \phi(x_1; x_2)=b_3(x_1;x_2)\bigl(x_2-x_1^m\omega(x_1)\bigr)^3+ x_2x_1^{k_1} b_1(x_1) + x_1^{k_0}b_0(x_1), \end{equation*} \notag$

где

$b_3$ ,

$b_1$ ,

$b_0$ – гладкие функции. Более того,

$b_3(0; 0)\ne 0$ и выполняется либо (bi) либо (bii) либо (biii):

(bi) $k_0=4$ с $b_0(0)\ne 0$ и $k_1\geqslant 4$ , т.е. $\phi$ имеет особенность типа $E_6$ и $h(\phi)=12/7$ ;
(bii) $k_1=3$ с $b_1(0)\ne 0$ и $k_0\geqslant 5$ , т.е. $\phi$ имеет особенность типа $E_7$ и $h(\phi)=9/5$ ;
(biii) $k_0=5$ с $b_0(0)\ne 0$ и $k_1\geqslant 4$ , т.е. $\phi$ имеет особенность типа $E_8$ и $h(\phi)=15/8$ .

В случаях (bi), (bii), (biii) говорят, что $\phi$ имеет особенность типа $E$ .

Предложение 2 доказывается методами, аналогичными доказательству предложения 2.11 книги [13].

4. Случай особенностей типа $D$

Теорема 2. Пусть $S\subset \mathbb{R}^3$ – гладкая гиперповерхность, заданная в виде графика, т.е. $S=\{x\in \mathbb{R}^3\mid x_{3}=\phi(x_1,x_2)\}$ , где $\phi$ гладкая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

(i) $\phi(0,0)=0$ , $\nabla\phi(0,0)=0$ ;
(ii) $\phi$ имеет особенность типа $D_{k+1}$ ( $k\geqslant3$ ) в начале координат $\mathbb{R}^2$ .

Тогда существует окрестность нуля

$U\subset \mathbb{R}^3$ такая, что при любой плотности

$\varphi\in C_{0}^{\infty}(U)$ имеет место включение

$\widehat{d\mu}\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3)$ .

Замечание 3. Интересно, отметить, что в случае особенностей класса $D$ точная $L^p$ -оценка преобразования Фурье меры не зависит от кратности (т.е. от $k$ ) критической точки. Однако это явление не наблюдается в других особенностях.

Доказательство. Рассмотрим осцилляторный интеграл

$\begin{equation} J(\lambda,s):=\int_{\mathbb{R}^2}a(x)e^{i\lambda\Phi(x,s)}\,dx, \end{equation} \tag{4.1}$

где

$\begin{equation*} \Phi(x,s):=\phi(x_1,x_2)+s_1x_1+s_2x_2. \end{equation*} \notag$

В силу предложения 2 без ограничения общности можем считать, что

$\phi$ – гладкая функция, имеющая вид

$\begin{equation*} \phi(x_1,x_2)=b(x_1,x_2)\bigl(x_2-x_1^m\omega(x_1)\bigr)^2+x_1^n\beta(x_1), \end{equation*} \notag$

где

$\beta$ – гладкая функция, причем

$\beta(0)\ne0$ и

$b(x_1,x_2)=x_1b_1(x_1,x_2)+x_2^2b_2(x_2)$ . Здесь

$b_1$ ,

$b$ – гладкие функции в окрестности нуля, при этом

$b_1(0,0)\ne0$ , а

$a$ – гладкая амплитудная функция, определенная в окрестности нуля, причем она имеет достаточно малый носитель.

Введем функцию

$\begin{equation*} \mathcal{M}(\omega):= \sup_{\lambda\ne0}|\lambda\,\widehat{d\mu}(\lambda\omega)|, \qquad\text{где}\quad \omega\in S^2; \end{equation*} \notag$

здесь

$S^2$ – единичная сфера с центром в начале координат

$\mathbb{R}^3$ . Измеримая в смысле Бореля функция

$\mathcal{M}$ называется максимальной функцией Рендола. Аналогичная функция была введена Б. Рендолом в статье [15] для оценки преобразования Фурье характеристической функции компактных выпуклых областей с аналитической границей. Также мы введем “локальную” максимальную функцию Рендола

$\begin{equation} M(s):=\sup_{\lambda\ne0}|\lambda J(\lambda,s)|, \qquad\text{где}\quad s\in \mathbb{R}^2. \end{equation} \tag{4.2}$

Далее, мы рассмотрим оценку локальной максимальной функции Рендола.

Утверждения следующей теоремы представляют независимый интерес.

Теорема 3. Если $\phi$ удовлетворяет условиям теоремы 2, то существует окрестность нуля $U$ такая, что для любой $a\in C_0^\infty(U)$ справедливо следующее включение: $M\in L^{(3n-1)/(n-1)-0}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^2)$ , за исключением случая $2m+1\ne n$ . Если $n=2m+1$ , то $M\in L^{3-0}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^2)$ .

Доказательство. Заметим, что если

$|s|>\delta$ (где

$\delta>0$ – фиксированное положительное число), то фазовая функция

$\Phi$ не имеет критических точек, при условии, что амплитудная функция

$a$ сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат. Поэтому мы можем использовать формулу интегрирования по частям и получим следующую оценку:

$\begin{equation*} |J(\lambda,s)|\lesssim \frac{1}{|s\lambda|}\,. \end{equation*} \notag$

Последняя оценка достаточна для требуемого результата.

Далее, будем считать, что $|s|\ll1$ . Достаточно получить следующий результат.

Лемма 1. Если $n\ne 2m+1$ , то существуют окрестности $U,V\subset \mathbb{R}^2$ начала координат, такие, что для любой $a\in C_0^\infty(U)$ имеет место следующее включение: $M\in L^{3+2/(n-1)-0}(V)$ . При этом, если $n=2m+1$ , то $M\in L^{3-0}(V)$ .

Замечание 4. Доказательство теоремы 3 непосредственно следует из леммы 1.

Доказательство леммы 1. Сначала используем замену переменных

$\begin{equation*} x_2-x_1^m\omega(x_1)\to x_2, \qquad x_1\to x_1. \end{equation*} \notag$

Тогда фазовая функция будет иметь вид

$\begin{equation*} \Phi_1(x_1,x_2,s_1,s_2):=b(x_1,x_2)x_2^2+x_1^n\beta(x_1)+ s_1x_1+s_2x_1^m\omega(x_1)+s_2x_2, \end{equation*} \notag$

где гладкие функции

$\beta$ ,

$\omega$ удовлетворяют условиям

$\omega(0)\ne0$ , а также

$\beta(0)\ne0$ , при этом

$b(x_1,x_2)$ записывается в виде

$\begin{equation*} b(x_1,x_2)=x_1b_1(x_1,x_2)+x_2^2b_2(x_2), \qquad b_1(0, 0)\ne0. \end{equation*} \notag$

Разумеется, гладкие функции

$b_1$ ,

$b_2$ отличаются от соответствующих функций предложения 2. Однако, чтобы не нагромождать обозначений, мы будем обозначать их теми же символами.

В дальнейшем нам понадобится следующее простое вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть $\phi_0(x_1, x_2):=x_1x_2^2\pm x_1^m$ , т.е. она имеет особенность типа $D_{m+1}^\pm$ в начале координат. Тогда функция $\phi_0(x)-c_1x_1-c_2x_2$ , где $(c_1,c_2)\ne(0,0)$ , имеет лишь особенности типа $A_k$ , $k\leqslant 2$ , т.е. она имеет либо невырожденную критическую точку, либо особенности типа $A_2$ .

Доказательство. Пусть

$a=(a_1,a_2)$ – критическая точка функции

$\phi_0(x)-c_1x_1-c_2x_2$ . Поскольку

$c\ne0$ , то

$a\ne0$ . Тогда непосредственные вычисления показывают, что

$\det D^2\phi_0(a)=-4a_2^2\pm2m(m-1) a_1^{m-1}$ . Следовательно, если

$m$ нечетное число и

$\phi_0$ имеет особенность типа

$D_{m+1}^-$ , то

$\det D^2\phi_0(a)<0$ и поэтому

$a\ne0$ – невырожденная критическая точка для функции

$\phi_0(x)-c_1x_1-c_2x_2$ . С другой стороны, если

$m$ четное число, то линейной заменой переменных

$\phi_0$ приводится к виду

$x_1x_2^2+x_1^m$ , с точностью до ненулевого множителя. Следовательно, для определенности мы можем предполагать, что

$\phi_0(x_1,x_2):=x_1x_2^2+x_1^m$ и

$\det D^2\phi_0(a)=-4a_2^2+2 m(m-1)a_1^{m-1}$ . Так как

$a\ne0$ , из

$a_1=0$ следует

$a_2\ne0$ . Итак, в этом случае мы имеем невырожденную критическую точку. Аналогично, критическая точка вида

$(a_1,0)$ c

$a_1\ne0$ также является невырожденной. Таким образом, если

$\det D^2\phi_0(a)=0$ , то имеем

$a_1\ne0$ , а также

$a_2\ne0$ . Предположим, что

$\det D^2\phi_0(a)=0$ ; тогда

$\phi_2(x_1,x_2)=a_1(x_2+(a_2/a_1)x_1)^2$ , где

$\phi_2(x_1, x_2)$ – квадратичная часть ряда Тейлора функции

$\phi_0(x)-c_1x_1-c_2x_2$ с центром в точке

$a$ .

Таким образом, мы имеем

$\begin{equation*} \phi_3\biggl(x_1,-\frac{a_2}{a_1}x_1\biggr)= x_1^3a_1^{m-3}\frac{m(m-1)}2\biggl(1+\frac{m-2}{3}\biggr)\ne0. \end{equation*} \notag$

Следовательно, фазовая функция имеет лишь особенность типа

$A_2$ (см. [12; с. 50]) в точке

$a$ при условии

$\det D^2\phi_0(a)=0$ .

Теперь возвратимся к доказательству леммы 1. Сначала, рассмотрим случай $2m+1> n$ . На самом деле, этот случай проще остальных. Мы предположим, что $s\in V$ , где $V$ – достаточно малая окрестность начала координат. В этом случае мы отдельно рассмотрим два случая.

Случай 1: $|s_2|/|s_1|^{(n+1)/(2(n-1))}\lesssim1$ . При этом, если $|\lambda|\,|s_1|^{n/(n-1)}\lesssim1$ , то используем равномерную оценку Дейстермаата [16] и получим

$\begin{equation*} |J(\lambda,s)|\lesssim \frac{1}{|\lambda|^{\frac{n+1}{2n}}} \lesssim \frac{1}{|\lambda|\,|s_1|^{\frac 12}}\,. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} |\lambda|\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr\}} (s_2)|J(\lambda, s)|\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr\}}(s_2)}{|s_1|^{\frac 12}} \in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Далее, будем считать, что

$|\lambda|\,|s_1|^{n/(n-1)}\gg 1$ .

Сначала используем замену переменных, заданную растяжением

$\begin{equation*} x_1=|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1, \qquad x_2=|s_1|^{\frac 12}y_2. \end{equation*} \notag$

В результате получим

$\begin{equation*} J(\lambda,s)=|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_1|^{\frac{n}{n-1}}\Phi_2(y,s)\bigr) a\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1,|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\,dy, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_2(y,s)&:=\Bigl(y_1b_1\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1,|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)+ |s_2|^{\frac{n-2}{n-m}}y_2^2b_2\bigl(|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\Bigr)y_2^2 \\ &\qquad+y_1^n\beta\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1\bigr)- \frac{s_2}{|s_1|^{\frac{n-m}{n-1}}}y_1^m\omega\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1\bigr) -\operatorname{sgn}(s_1)y_1-\frac{s_2}{|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}}y_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пусть $\kappa_1=1/(n-1)$ и $\kappa_2=1/2$ , а также для положительного числа $r$ и веса $(\kappa_1,\kappa_2)$ определим дилатации $\delta_r$ по формуле $\delta_r(x):=(r^{\kappa_1}x_1,r^{\kappa_2}x_2)$ . Также введем $\kappa$ -квазирасстояние следующей формулой:

$\begin{equation*} \rho_\kappa(x_1,x_2):=|x_1|^{\frac 1{\kappa_1}}+|x_2|^{\frac1{\kappa_2}}. \end{equation*} \notag$

Пусть

$\chi_0$ ,

$\chi_k$ – гладкие функции, определяемые равенствами

$\begin{equation*} \chi_0(x)=\begin{cases} 1&\text{при}\ |x|\leqslant 1, \\ 0&\text{при}\ |\delta_{2^{-1}}(x)|\geqslant1, \end{cases} \qquad \chi_k(x)=\chi_0(\delta_{2^{-k}}(x))- \chi_0(\delta_{2^{-k-1}}(x)). \end{equation*} \notag$

Легко видеть справедливость следующей формулы разбиения единицы:

$\begin{equation} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\chi_k(x)=1 \qquad \text{для любого}\quad x\ne 0. \end{equation} \tag{4.3}$

Для произвольного натурального числа $N$ мы можем записать соотношение

$\begin{equation*} \chi_0(\delta_{2^{-N}}(x))+\sum_{k=N}^{\infty} \chi_k(x)=1. \end{equation*} \notag$

В дальнейшем предполагается, что

$N$ достаточно большое фиксированное натуральное число. Соответственно разложим интеграл

$J(\lambda,s)$ :

$\begin{equation*} J(\lambda,s):=J_0(\lambda,s)+\sum_{k=N}^{N_s}J_k(\lambda,s). \end{equation*} \notag$

здесь

$N_s$ – натуральное число, удовлетворяющее условию

$2^{N_s}|s_1|\ll1$ . Поскольку амплитуда

$a$ сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат, при

$2^k|s_1|\gtrsim1$ имеем соотношение

$J_k(\lambda,s)\equiv0$ .

Интегралы $J_k(\lambda,s)$ , $k=0,N,\dots,N_s$ , определяются по формулам

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0(\lambda,s)&=|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda |s_1|^{\frac{n}{n-1}}\Phi_2(y,s)\bigr) a\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1,|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\chi_0(\delta_{2^{-N}}(z))\,dz, \\ J_k(\lambda,s)&=|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda |s_1|^{\frac{n}{n-1}}\Phi_2(y, s)) a\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1,|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\chi_k(y)\,dy. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Сначала оценим

$J_{k}(\lambda,s)$ . Используем замену переменных, заданную растяжением

$z=\delta_{2^k}(y)$ , получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &J_{k}(\lambda,s)=|2^ks_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda(2^k|s_1|)^{\frac{n}{n-1}} \Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\qquad\times a\bigl((2^k|s_1|)^{\frac1{n-1}}z_1,(2^k|s_1|)^{\frac 12}z_2\bigr) \chi_0\bigl((2^k|s_1|)^{\frac1{n-1}}z_1, (2^k|s_1|)^{\frac 12}z_2\bigr)\chi_1(z)\,dz, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,2^k):=z_1z_2^2b_1\bigl((2^k|s_1|)^{\frac1{n-1}}z_1, (2^k|s_1|)^{\frac 12}z_2\bigr) \\ &\qquad+(2^k|s_1|)^{\frac{n-2}{n-1}} z_2^4b_2\bigl((2^k|s_1|)^{\frac 12}z_2\bigr)+z_1^n\beta\bigl((2^k|s_1|)^{\frac1{n-1}}z_1\bigr) \\ &\qquad -\frac{s_2}{(2^k|s_1|)^{\frac{n-m}{n-1}}} z_1^m\omega\bigl((2^k|s_1|)^{\frac1{n-1}}z_1\bigr) -\frac{\operatorname{sign}(s_1)}{2^k}z_1-\frac{s_2} {(2^k|s_1|)^{\frac{n+1}{2(n-1)}}}z_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как $k\gg 1$ , функцию $\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,2^k)$ можно рассмотреть как малую деформацию функции $\phi_4(z):=z_1z_2^2b_1(0,0)+z_1^n\beta(0)$ .

Заметим, что $0\notin D:=\{1/2\leqslant |x|\leqslant 2\}$ и, следовательно, функция $\phi_4(z)$ не имеет критических точек в $D$ . Также $\Phi_4(z)$ не имеет критических точек на носителе амплитуды, если $k$ велико, а $|s_2|/|s_1|^{(n+1)/(2(n-1))}$ ограничено. Следовательно, мы можем использовать формулу интегрирования по частям и тогда получим

$\begin{equation*} |J_{k}(\lambda, s)|\lesssim \frac{1}{|\lambda|(2^k|s_1|)^{\frac 12}}\,, \end{equation*} \notag$

откуда имеем

$\begin{equation*} |\lambda|\chi_{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}}(s_2)\sum_{k\gg1}|J_{k}(\lambda,s)|\lesssim \frac{\chi_{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}}(s_2)} {|s_1|^{\frac 12}}\in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим оценку интеграла

$J_{0}(\lambda,s)$ . Так как

$n<2m+1$ , согласно лемме 2 фазовая функция в худшем случае имеет особенности типа

$A_2$ . Следовательно, существует функция

$\Psi(s_1,\xi_2)$ , удовлетворяющая условиям (см. [11], а также [17])

$\begin{equation*} \int_{|\xi_2|\lesssim 1}|\Psi_2(s_1,\xi_2)|^p\,d\xi_2\lesssim 1 \qquad \text{при}\quad 1<p<4 \end{equation*} \notag$

и выполняется оценка

$\begin{equation*} \chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr\}}(s_1) |\lambda|\,|J_{0}(\lambda, s)| \lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr\}}(s_1) \Psi\bigl(s_1,s_2/|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr)}{|s_1|^{\frac 12}}\,. \end{equation*} \notag$

Очевидно, что имеет место следующее включение:

$\begin{equation*} \frac{\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr\}}(s_1) \Psi\bigl(s_1,s_2/|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\bigr)}{|s_1|^{\frac 12}}\in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим случай 2: $|s_1|\ll|s_2|^{2(n-1)/(n+1)}$ .

Если $|\lambda|\,|s_2|^{2n/(n+1)}\lesssim1$ , то мы, используя равномерные оценки, полученные Дейстермаатом [16], получим

$\begin{equation*} |J(\lambda,s)|\lesssim \frac{1}{|\lambda|^{\frac{n+1}{2n}}}\lesssim \frac{1}{|\lambda|\,|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}}\,. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \chi_{\bigl\{|s_1|\ll|s_2|^{\frac{2n}{n+1}}\bigr\}}(s_1)|\lambda |J(\lambda,s)|\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\ll|s_2|^{\frac{2(n-1)}{n+1}}\bigr\}}(s_1)} {|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}} \in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Далее, будем считать, что

$\begin{equation*} |\lambda|\,|s_2|^{\frac{2n}{n+1}}\gg 1. \end{equation*} \notag$

В этом случае воспользуемся заменой переменных

$\begin{equation*} x_1=|s_2|^{\frac2{n+1}}y_1, \qquad x_2=|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2 \end{equation*} \notag$

и получим

$\begin{equation*} J(\lambda,s):=|s_2|\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_2|^{\frac{2n}{n+1}}\Phi_5(y_1,y_2,s_1,s_2)\bigr) a\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1,|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2\bigr)\,dy, \end{equation*} \notag$

где

$\Phi_5(y,\xi_1,s_2)$ определяется формулой

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_5(y,s,\sigma)&:=y_1y_2^2b_1\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1, |s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2\bigr) + |s_2|^{\frac{2n-4}{n+1}}y_2^4b_2\bigl(|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2\bigr) +y_1^n\beta\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1\bigr) \\ &\qquad-\operatorname{sgn}(s_2) |s_2|^{\frac{2m+1-n}{n+1}}y_1^m\omega\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1\bigr) - \xi_1y_1-\operatorname{sgn}(s_2)y_2, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\xi_1:=s_1/|s_2|^{2(n-1)/(n+1)}$ . Как и прежде, основной вклад в интеграл дает окрестность начала координат

$\begin{equation*} J_{0}(\lambda,s):=|s_2|\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_2|^{\frac{2n}{n+1}}\Phi_4(y_1,y_2,\xi_1,s_2)\bigr) a\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1,|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2\bigr) \chi_0(\delta_{2^{-N}}(z))\,dy. \end{equation*} \notag$

Фазовую функцию

$\Phi_5(y_1,y_2,\xi_1,s_2)$ можно рассмотреть как малую, гладкую деформацию функции

$\phi_5(y):=y_1y_2^2b_1(0,0)+y_1^n\beta(0)-y_2$ , так как

$\xi_1$ меняется в достаточно малой окрестности нуля. Тогда

$\det \operatorname{Hess}\phi_5(y)=2b_1(0,0) \beta(0)n(n-2)y_1^{n-1}\ne0$ , если

$y$ является критической точкой. Таким образом, в этом случае все критические точки являются невырожденными. Поэтому справедлива следующая оценка:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \chi_{\bigl\{|s_1|\ll |s_2|^{\frac{2(n-1)}{n+1}}\bigr\}}(s_1)|\lambda|J(\lambda,s)| \lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\ll|s_2|^{\frac{2(n-1)}{n+1}}\bigr\}}(s_1)} {|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}}\in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Итак имеет место включение

$M\in L^{3+2/(n-1)-0}(V)$ , если

$n<2m+1$ . Таким образом, мы получили требуемую оценку в случае, когда

$n<2m+1$ .

Теперь рассмотрим случай $n>2m+1$ .

Случай 1. Допустим, что $|s_2|/|s_1|^{(n-m)/(n-1)}\ll 1$ , а также $n\geqslant 2m+1$ , т.е. здесь мы включим также случай $n=2m+1$ .

Далее, предположим $|\lambda|\,|s_1|^{n/(n-1)}\gg1$ (в противном случае искомый результат легко следует из равномерной оценки Дейстермаата [16]). В этом случае сделаем замену переменных, заданную растяжением $x_1=|s_1|^{1/(n-1)}y_1,x_2=|s_1|^{1/2}y_2$ , и получим

$\begin{equation*} J(\lambda, s)=|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\int_{\mathbb{R}^2} e^{i\lambda |s_1|^{\frac{n}{n-1}}\Phi_2(y,s)} a\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1,|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\,dy, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_2(y,s)&:=\Bigl(y_1b_1(\bigl|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1,|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)+ |s_1|^{\frac{n-2}{n-1}}y_2^2b_2\bigl(|s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\Bigr)y_2^2 \\ &\qquad +y_1^n\beta\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1\bigr)- \frac{s_2}{|s_1|^{\frac{n-m}{n-1}}}y_1^m\omega\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1\bigr) -\operatorname{sgn}(s_1)y_1- \frac{s_2}{|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}}y_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Точно также, как в предыдущем случае, основной вклад, в интеграл дает интеграл в окрестности нуля. Поэтому рассмотрим оценку интеграла

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0(\lambda,s)=|s_1|^{\frac{n+1}{2(n-1)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_1|^{\frac{n}{n-1}}\Phi_2(y,s)\bigr)a\bigl(|s_1|^{\frac1{n-1}}y_1, |s_1|^{\frac 12}y_2\bigr)\chi_0(y)\,dy, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\chi_0$ – срезающая функция, сосредоточенная в достаточно большой окрестности начала координат.

Фазовая функция является малой деформацией функции $y_1y_2^2b_1(0,0)+y_1^n\beta(0)-\operatorname{sgn}(s_1)y_1$ . Легко видеть, что последняя функция имеет лишь невырожденные критические точки, так как если $(y_1^0,y_2^0)$ – критическая точка, то $y_1^0\ne0$ , $y_2^0=0$ . Следовательно, эта функция заменой переменных приводится к виду $\pm z_2^2+z_1^n-\operatorname{sgn}(s_1)z_1$ . Очевидно, что она имеет лишь невырожденные критические точки.

Поэтому справедлива следующая оценка:

$\begin{equation*} \chi_{|s_2|/|s_1|^{\frac{n-m}{n-1}}\ll 1}(s_2)|J_0(\lambda,s)|\lesssim \frac{\chi_{|s_2|/|s_1|^{\frac{n-m}{n-1}}\ll 1}(s_2)} {|\lambda|\,|s_1|^{\frac 12}}\,. \end{equation*} \notag$

Поскольку $n\geqslant 2m+1$ , выполняется следующее включение:

$\begin{equation*} \frac{\chi_{|s_2|/|s_1|^{\frac{n-m}{n-1}}\ll 1}(s_2)} {|\lambda|\,|s_1|^{\frac 12}}\in L^{3+\frac{n-2m-1}{n-1}+\frac2{n-1}-0}(V) \subset L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Случай 2. Предположим, что $|s_1|/|s_2|^{(n-1)/(n-m)}\lesssim 1$ . В этом случае мы предположим, что $n>2m+1$ . Случай $n=2m+1$ будет рассмотрен в самом конце.

Заметим, что если $|s_2|^{n/(n-m)}|\lambda|\lesssim1$ , то можно использовать хорошо известную равномерную оценку, доказанную Дейтермаатом [16] и тогда получим

$\begin{equation} |J(\lambda,s)|\lesssim \frac{1}{|\lambda|^{\frac{n+1}{2n}}}\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\ll 1\bigr\}}(s_1)} {|\lambda|\,|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}}\,. \end{equation} \tag{4.4}$

Легко видеть, что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\ll 1\bigr\}}(s_1)} {|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}}\in L^{3+\frac{n-2m+1}{n-1}-0}(V)\subset L^{3+\frac2{n-1}-0}(V), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

поскольку

$n> 2m+1$ и, следовательно,

$\begin{equation*} 3+\frac{n-2m+1}{n-1}>3+\frac{2}{n-1}\,, \end{equation*} \notag$

$V$ имеет конечную меру.

Далее, будем считать, что $|s_2|^{n/(n-m)}\lambda\gg 1$ .

В этом случае воспользуемся заменой переменных

$\begin{equation*} x_1=|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1,\qquad x_2=|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2 \end{equation*} \notag$

и получим

$\begin{equation*} J(\lambda,s)=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda |s_2|^{\frac{n}{n-m}}\Phi_2(y,s)\bigr) a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr)\,dy, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_2(y,s)&:=\Bigl(y_1b_1\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1,|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr) +|s_2|^{\frac{n-2}{n-m}}y_2^2b_2\bigl(|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr)\Bigr)y_2^2 \\ &\quad +y_1^n\beta\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1\bigr)- y_1^m\omega\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1\bigr) -\frac{s_1}{|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}}y_1 -\operatorname{sign}(s_2)|s_2|^{\frac{n-(2m+1)}{2(n-m)}}y_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пусть $\kappa_1=1/(n-m)$ и $\kappa_2=(n-1)/2(n-m)$ , а также для положительного числа $r$ и для пары $\kappa:=(\kappa_1,\kappa_2)$ растяжение $\delta_r$ , определяется следующей формулой: $\delta_r(x):=(r^{\kappa_1}x_1,r^{\kappa_2}x_2)$ .

Используя разбиение единицы (4.3), получим соответствующее разложение для интеграла:

$\begin{equation*} J(\lambda,s):=J_0(\lambda,s)+\sum_{k=N}^{N_s}J_k(\lambda,s), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0(\lambda,s)&=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_2|^{\frac{n}{n-m}}\Phi_2(y,s)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr)\chi_0(\delta_{2^{-N}}(y))\,dy, \\ J_k(\lambda,s)&=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_2|^{\frac{n}{n-m}}\Phi_2(y,s)\bigr) a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr)\chi_k(y)\,dy, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

$k=N,\dots,N_s$ ; здесь

$N_s$ – натуральное число, удовлетворяющее условию

$2^{N_s}|s_2|\ll 1$ , в предположении, что амплитуда сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат.

Сначала оценим $J_k(\lambda,s)$ . Используя замену переменных, заданную растяжением $z=\delta_{2^k}(y)$ , получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_k(\lambda,s)&=(2^k|s_2|)^{\frac{n+1}{2(n-m)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda(2^k|s_2|)^{\frac{n}{n-m}}\Phi_3(z,s,2^k)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl((2^k|s_2|)^{\frac{1}{n-m}}z_1, (2^k|s_2|)^{\frac{n-1}{2(n-m)}}z_2\bigr)\chi_1(z)\,dz, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_3(z,s,2^k)&:=z_1z_2^2b_1\bigl((2^k|s_2|)^{\frac{1}{n-m}}z_1, (2^k|s_2|)^{\frac{n-1}{2(n-m)}}z_2\bigr) \\ &\qquad+(2^k|s_2|)^{\frac{n-2}{n-m}} z_2^4b_2\bigl((2^k|s_2|)^{\frac{n-1}{2(n-m)}}z_2\bigr) +z_1^n\beta\bigl((2^k|s_2|)^{\frac{1}{n-m}}z_1\bigr) \\ &\qquad -z_1^m\omega\bigl((2^k|s_2|)^{\frac{1}{n-m}}z_1\bigr) -\frac{s_1}{(2^k|s_2|)^{\frac{n-1}{n-m}}}z_1- \operatorname{sign}(s_2)(2^k|s_2|)^{\frac{n-(2m+1)}{2(n-m)}}z_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Обратим внимание, что

$2^k|s_2|\ll1$ и

$z\in D:=\{1/2\leqslant |z|\leqslant 2\}$ . Поэтому

$\Phi_3(z,s,2^k)$ может быть рассмотрена как малая, гладкая деформация функции

$\begin{equation*} \phi_0(z):=z_1z_2^2b_1(0, 0)+z_1^n\beta(0)+ z_1^m\omega(0). \end{equation*} \notag$

Заметим, что последняя функция

$\phi_0$ имеет только невырожденные критические точки в кольце

$D$ . Действительно, если

$z^0\in D$ является критической точкой, то имеем

$z_1^0\ne0$ и

$z_2^0=0$ , поскольку

$m\geqslant2$ , а также

$n(z_1^0)^ {n-1}+m(z_1^0)^{m-1}=0$ . Следовательно,

$n(n-1)(z_1^0)^{n-1}+m(m-1)(z_1^0)^{m-1}\ne0$ . С другой стороны, имеем

$\det \operatorname{Hess}\phi_0(z^0)=2n(n-1)(z_1^0)^{n-1}+ 2m(m-1)(z_1^0)^{m-1}\ne0$ . Следовательно, мы можем использовать лемму Морса и получить следующую оценку (см. [18]):

$\begin{equation*} |J_k(\lambda, s)|\lesssim \frac{(2^k|s_2|)^{\frac{n+1}{2(n-m)}}}{|\lambda|(2^k|s_2|)^{\frac{n}{n-m}}}= \frac{1}{|\lambda|(2^k|s_2|)^{\frac{n-1}{2(n-m)}}}\,. \end{equation*} \notag$

Суммируя полученные оценки, имеем

$\begin{equation*} \sum_{k=N}^{N_s}|\lambda|\chi_{\bigl\{|s_1|/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\ll 1\bigr\}} (s_1)|J_k(\lambda,s)| \lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\ll 1\bigr\}} (s_1)}{|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}}\in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим оценку интеграла $J_0(\lambda, s)$ . Далее, используем обозначения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sigma_1=\frac{s_1}{|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}}\,, \qquad \sigma_2:=\operatorname{sign}(s_2)|s_2|^{\frac{n-(2m+1)}{2(n-m)}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Обратим внимание, что

$\sigma_2\backsim 0$ и

$|\sigma_1|\lesssim1$ .

Сначала запишем интеграл $J_0(\lambda,s)$ в виде суммы двух интегралов: для этого берем гладкую функцию $\chi_0(x)$ с достаточно малым носителем такую, что $\chi_0(x)\equiv1$ в окрестности начала координат. Тогда имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0(\lambda, s)&:=\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i|s_2|^{\frac{n}{n-m}}\lambda \Phi_2(y,s)\bigr) \\ &\qquad\qquad\times a\bigl( |s_2|^{\frac{1}{n-m}} y_1,|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr) \chi_0(\delta_{2^{-N}}(y))(1-\chi_0(y))\,dy \\ &\quad +\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i|s_2|^{\frac{n}{n-m}}\lambda\Phi_2(y,s)\bigr) a\bigl( |s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1,|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr) \chi_0(\delta_{2^{-N}}(y))\chi_0(y)\,dy \\ &=:J_{01}(\lambda, s)+J_{00}(\lambda, s). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Заметим, что носитель амплитуды осцилляторного интеграла

$J_{01}(\lambda,s)$ не содержит начало координат. Поэтому если

$|\sigma_1|\ll1$ , то фазовая функция

$\Phi_2(y,s)$ имеет лишь невырожденные критические точки. Следовательно, имеем оценку

$\begin{equation*} \chi_{\bigl\{|s_1|/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\ll 1\bigr\}} (s_1)|\lambda|\,|J_{01}(\lambda,s)| \lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\ll 1\bigr\}}(s_1)} {|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}} \in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим случай $|\sigma_1|\backsim 1$ . В этом случае фазовая функция является малой, гладкой деформацией функции

$\begin{equation*} \phi_2(z):=y_1y_2^2b_1(0,0)+y_1^n\beta(0)+y_1^m\omega(0)+c_1y_1, \end{equation*} \notag$

где

$c_1\ne 0$ фиксированное вещественное число. Легко видеть, что эта функция имеет лишь особенности типа

$A_k(k\leqslant2)$ . Точнее, если

$(y_1^0,y_2^0)$ – критическая точка, то либо

$y_1^0=0$ и

$y_2^0\ne0$ , либо

$y_2^0=0$ и

$y_1^0\ne0$ . Если

$y_1^0=0$ и

$y_2^0\ne0$ , то

$\det \operatorname{Hess}\phi_2(y^0)\ne0$ , т.е. эта критическая точка невырождена. Если

$y_2^0=0$ и

$y_1^0\ne0$ , то функция

$\phi_2(z)$ может иметь особенность типа

$A_2$ в точке

$y^0$ . Следовательно, существует функция

$\Psi(\xi_1,s_2)$ , удовлетворяющая условиям

$\begin{equation*} \int_{|\xi_1|\backsim 1}|\Psi_2(\xi_1,s_2)|^p\,d\xi_1\lesssim 1 \qquad \text{при}\quad 1<p<4 \end{equation*} \notag$

и выполняется оценка

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\chi_{\bigl\{|s_1|\backsim|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\bigr\}}(s_1)|\lambda|\, |J_{01}(\lambda,s)| \\ &\qquad \lesssim\frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\backsim |s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\bigr\}}(s_1)\Psi\bigl(s_1/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}},s_2\bigr)} {|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}} \in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теперь перейдем к оценке интеграла

$\begin{equation*} J_{00}(\lambda,s):=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_2|^{\frac{n}{n-m}}\Phi_2(y,s)\bigr) a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}y_1,|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}y_2\bigr) \chi_0(y)\,dy, \end{equation*} \notag$

где

$\chi_0$ гладкая функция, сосредоточенная в достаточно малой окрестности начала координат. Фазовую функцию

$\Phi_2(y,s)$ можно рассмотреть как малое возмущение функции

$\phi_0(z)$ . Она имеет особенность

$D_{m+1}$ для случая, когда

$m>2$ . Для случая

$m=2$ она имеет в нуле особенность типа

$A_3$ .

Если $\sigma_1\backsim 1$ , то мы имеем дело с особенностями типа $A_2$ . Действительно, в этом случае фазовая функция $\Phi_2(y,s)$ являет малым гладким возмущением функции

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \phi_2(y):= y_1y_2^2b_1(0, 0)+y_1^n\beta(0)+ \operatorname{sgn}(s_2)y_1^m\omega(0)+c_1y_1, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$c_1\ne0$ – ненулевая константа. Если

$(y_1^0,y_2^0)$ является критической точкой, то имеем

$y_1^0\ne 0$ и

$y_2^0=0$ . В частности, начало координат не является критической точкой функции. Следовательно, функция

$\phi_2$ в худшем случае имеет особенность типа

$A_2$ . Следовательно, согласно результатам работы [11] существует функция

$\Psi(\xi_1,s_2)$ , удовлетворяющая условиям

$\begin{equation*} \int_{|\xi_1|\backsim1 }|\Psi_2(\xi_1, s_2)|^p\,d\xi_1\lesssim 1 \qquad \text{при}\quad 1<p<4 \end{equation*} \notag$

и выполняется оценка

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\chi_{\bigl\{|s_1|\backsim|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\bigr\}}(s_1) |\lambda|\, |J_{00}(\lambda,s)| \\ &\qquad\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\backsim|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}}\bigr\}}(s_1) \Psi\bigl(s_1/|s_2|^{\frac{n-1}{n-m}},s_2\bigr)}{|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}} \in L^{3+\frac2{n-1}-0}(V). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Далее будем считать, что $|\sigma|\ll 1$ и амплитуда интеграла $J_{00}(\lambda,s)$ сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат.

Для малых параметров $\sigma_1$ , $\sigma_2$ рассмотрим два случая.

Случай 1: $|\sigma_2|/|\sigma_1|^{(m+1)/2(m-1)}\lesssim 1$ . Это условие эквивалентно следующему: $|s_2|/|s_1|^{(m+1)/(2m)}\lesssim 1$ . Если $|\sigma_1|^{m/(m-1)}|s_2|^{n/(n-m)}|\lambda|\lesssim 1$ , то используем равномерную оценку, полученную Дейстермаатом [16]:

$\begin{equation*} |J_{00}(\lambda,s)|\lesssim \frac{|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}} {(|\lambda|\,|s_2|^{\frac{n}{n-m}})^{\frac{m+1}{2m}}} \lesssim \frac{|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}}{|\lambda|\,|s_2|^{\frac{n}{n-m}} |\sigma_1|^{\frac 12}}=\frac1{|\lambda|\,|s_1|^{\frac 12}}. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &|\lambda|\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{m+1}{2m}}\bigr\}} (s_2)|J_{00}(\lambda,s)| \\ &\qquad \lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim|s_1|^{\frac{m+1}{2m}}\bigr\}}(s_2)}{|s_1|^{\frac 12}} \in L^{3+\frac 1m-0}(V)\subset L^{3+\frac2{n-1}-0}(V) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

(потому что неравенство

$2m+1\leqslant n$ влечет

$1/m\geqslant 2/(n-1)$ и

$V$ имеет конечную меру).

Далее будем считать, что $|\sigma_1|^{m/(m-1)} |s_2|^{n/(n-m)}|\lambda|\gg1$ . В этом случае используем замену переменных $x_1=|\sigma_1|^{1/(m-1)}y_1$ , $x_2=|\sigma_1|^{1/2}y_2$ и получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_{00}(\lambda,s)&:=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}} \int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda |s_2|^{\frac{n}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac{m}{m-1}} \Phi_3(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac 12}y_2\bigr) \chi_0\bigl(|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |\sigma_1|^{\frac 12}z_2\bigr)\,dz, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\Phi_3(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)$ определяется следующей формулой:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\Phi_3(z,s,\sigma):=z_1z_2^2b_1\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}} |\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac 12}z_2\bigr) \\ &\qquad\qquad +|s_2|^{\frac{n-2}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac{m-2}{m-1}}z_2^4b_2 \bigl(|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac 12}z_2\bigr) +|\sigma_1|^{\frac{n-m}{m-1}} z_1^n\beta\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1\bigr) \\ &\qquad\qquad -z_1^m\omega\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1\bigr)- \operatorname{sign}(\sigma_1)z_1- \frac{\sigma_2}{|\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}}}z_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пусть $\kappa_1=1/(m-1)$ и $\kappa_2=1/2$ . Тогда, используя разбиение единицы (4.3), получим

$\begin{equation*} J_{00}(\lambda, s):=J_{000}(\lambda,s)+ \sum_{k=N}^{N_\sigma} J_{00k}(\lambda,s), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_{000}(\lambda,s)&=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}} \int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda |s_2|^{\frac{n}{n-m}}|\sigma_1^{\frac{m}{m-1}} \Phi_3(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac 12}y_2\bigr) \chi_0\bigl(|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1,|\sigma_1|^{\frac 12}z_2\bigr) \chi_0(z)\,dz, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

$N_\sigma$ удовлетворяет условию

$2^{N_\sigma}|\sigma_1|\ll 1$ , если амплитуда сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат и

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_{00k}(\lambda,s)&=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}} \int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i|s_2|^{\frac{n}{n-m}}|\sigma_1^{\frac{m}{m-1}}\lambda \Phi_3(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_1|^{\frac 12}y_2\bigr) \chi_0\bigl(|\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |\sigma_1|^{\frac 12}z_2\bigr)\chi_k(z)\,dz. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Сначала оценим

$J_{00k}(\lambda,s)$ . Используя замену переменных путем растяжения

$u=\delta_{2^k}(z)$ , получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_{00k}(\lambda,s)&=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}|2^k\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}} \int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i|s_2|^{\frac{n}{n-m}}|2^k\sigma_1^{\frac{m}{m-1}} \lambda \Phi_3(z_1, z_2, s_1, s_2, \sigma_1, \sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|2^k\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|2^k\sigma_1|^{\frac 12}y_2\bigr) \\ &\qquad\times \chi_0\bigl(|2^k\sigma_1|^{\frac1{m-1}}z_1, |2^k\sigma_1|^{\frac 12}z_2\bigr)\chi_k(z)\,dz, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,2^k) :=z_1z_2^2b_1\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}} (2^k|\sigma_1|)^{\frac1{m-1}}z_1,(|s_2|)^{\frac{n-1}{2(n-m)}} (2^k|\sigma_1|)^{\frac 12}z_2\bigr) \\ &\qquad\qquad+|s_2|^{\frac{n-2}{n-m}}(2^k|\sigma_1|)^{\frac{m-2}{m-1}} z_2^4b_2\bigl(|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}(2^k|\sigma_1|)^{\frac 12}z_2\bigr) \\ &\qquad\qquad+(2^k|\sigma_1|)^{\frac{n-m}{m-1}}z_1^n \beta\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}(2^k|\sigma_1|)^{\frac1{m-1}}z_1\bigr) \\ &\qquad\qquad-z_1^m\omega\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}} (2^k|\sigma_1|)^{\frac1{m-1}}z_1\bigr)- \frac{\operatorname{sign}(\sigma_1)}{2^k}z_1- \frac{\sigma_2}{(2^k|\sigma_1|)^{\frac{m+1}{2(m-1)}}}z_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как

$k\gg 1$ , функцию

$\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,2^k)$ можно рассмотреть как малое возмущение (деформацию) функции

$x_1x_2^2b_1(0,0)+x_1^m\omega(0)$ . Заметим, что

$0\notin D$ и, следовательно, функция

$\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,2^k)$ не имеет критических точек на носителе амплитуды, если

$k$ велико, а

$\sigma$ мало. Следовательно, мы можем использовать формулу интегрирования по частям и тогда получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |J_{00k}(\lambda,s)|&\lesssim \frac{|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}} |2^k\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}}}{|s_2|^{\frac{n}{n-m}} (2^k|\sigma_1|)^{\frac{m}{m-1}}|\lambda|} =\frac{1}{|\lambda|2^{\frac k2}|s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}} |\sigma_1|^{\frac 12}}=\frac{1}{|\lambda|\,|s_1|^{\frac 12}}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, имеем

$\begin{equation*} |\lambda|\chi_{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{m+1}{2m}}}(s_2) \sum_{k\gg 1}|J_{0k}(\lambda,s)|\lesssim \frac{\chi_{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{m+1}{2m}}(s_2)}} {|s_1|^{\frac 12}}\in L^{3+\frac1m-0}(V). \end{equation*} \notag$

Теперь рассмотрим оценку интеграла $J_{000}(\lambda,s)$ . Мы используем обозначение

$\begin{equation*} \xi_2:=\frac{\sigma_2}{|\sigma_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}}}\,. \end{equation*} \notag$

Сначала, предположим, что

$\xi_2$ меняется в достаточно малой окрестности нуля. Мы утверждаем, что фазовая функция

$\Phi_3(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)$ имеет только невырожденные критические точки при достаточно малом числе

$\xi_2$ . Действительно, фазовую функцию можно рассматривать как малое возмущение функции:

$\phi_3(z):=z_1z_2^2b_1(0,0)-z_1^m\omega(0)- \operatorname{sgn}(\sigma_1)z_1$ . Пусть

$(z_1^0,z_2^0)$ – критическая точка функции

$\phi_3$ . Тогда либо

$z_1^0=0$ и

$z_2^0\ne0$ , либо

$z_2^0=0$ и

$z_1^0\ne0$ . Если

$z_2^0=0$ , то имеем

$z_1^0\ne0$ , потому что

$m\geqslant2$ . Тогда легко видеть, что

$\det\operatorname{Hess}\phi_3(z^0)\ne0$ и мы имеем невырожденную критическую точку. Предположим,

$z_2^0\ne0$ . Тогда имеем

$z_1^0=0$ . Таким образом, снова имеем невырожденную критическую точку. Следовательно,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |\lambda|\chi_{|\xi_2|\ll1}(s_1, s_2)|J_{000}(\lambda, s)|&\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_2|\lesssim |s_1|^{\frac{m+1}{2m}}\bigr\}}(s_2)}{|s_1|^{\frac 12}} \\ &\in L^{3+\frac1m-0}(V)\subset L^{3+2/(n-2)-0}(V). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Далее предположим, что

$|\xi_2|\backsim 1$ . Тогда по лемме 2 функция

$\Phi_3$ является

$\mathbb{R}_+$ -версальной деформацией особенностей типа

$A_2$ (см. [12], а также [11]). Поэтому существует функция

$\Psi(s_1,\xi_2)$ такая, что

$\Psi(s_1,\,\cdot\,)\in L^{4-0}(-\Delta,-\delta)\cup (\delta,\Delta))$ и при этом справедлива следующая оценка:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\chi_{|s_1|\backsim |s_2|^{\frac{m+1}{2m}}}(s_1)|J_{000}(\lambda,s)| \\ &\qquad\lesssim \frac{\chi_{|s_1|\backsim |s_2|^{\frac{m+1}{2m}}}(s_1) \Psi\bigl(s_1,\operatorname{sgn}(s_2)|s_2|^{\frac{m}{m+1}}/ |s_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}}\bigr)}{|\lambda|\,|s_1|^{\frac 12}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Покажем справедливость включения

$\begin{equation*} \chi_{|s_1|\backsim |s_2|^{\frac{m+1}{2m}}}(s_1) \frac{\Psi\bigl(s_1,\operatorname{sgn}(s_2)|s_2|^{\frac{m}{m+1}}/ |s_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}}\bigr)}{|s_1|^{\frac 12}}\in L^{3+\frac1m-0}(V). \end{equation*} \notag$

Действительно, в интеграле

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{|s_1|\backsim |s_2|^{\frac{m+1}{2m}}} \Psi\biggl(s_1, \frac{\operatorname{sgn}(s_2)|s_2|^{\frac{m}{m+1}}} {|s_1|^{\frac{m+1}{2(m-1)}}}\biggr)^p\,ds_1\,ds_2 \end{aligned} \end{equation*} \notag$

используем замену переменных

$s_2=\xi_2^{(m-1)/m}\xi_1^{(m+1)/(2m)}$ ,

$s_1=\xi_1$ . Тогда получим

$\begin{equation*} \int_{|\xi_2| \backsim 1}(\Psi(s_1,\xi_2))^p\,ds_1\,ds_2 =\int_{|\xi_1|\ll1}\int_{|\xi_2|\backsim 1} \frac{\Psi(\xi_1,\xi_2)^p\,d\xi_2} {|\xi_1|^{\frac p2-\frac{m+1}{2m}}|\xi_2|^{\frac 1m}} \lesssim \int_{|\xi_1|\ll 1} \frac{d\xi_1}{|\xi_1|^{\frac p2-\frac{m+1}{2m}}}<\infty, \end{equation*} \notag$

как только

$p<3+2/(n-1)\leqslant 3+1/m<4$ . Здесь мы существенно использовали тот факт, что

$|\xi_2|\backsim 1$ .

Случай 2: $|\sigma_1|/|\sigma_2|^{(2(m-1))/(m+1)}\ll 1$ . Это условие эквивалентно следующему: $|s_1| /|s_2|^{(2m)/(m+1)}\ll 1$ . Если $|s_2|^{n/(n-m)}|\sigma_2|^{2m/(m+1)}|\lambda|\lesssim 1$ , то снова используем равномерную оценку, полученную Дейстермаатом [16] и имеем

$\begin{equation*} |J_{00}(\lambda,s)|\lesssim \frac{|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}} {(|\lambda|\,|s_2|^{\frac{n}{n-m}})^{\frac{m+1}{2m}}} \lesssim \frac{|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}} {|\lambda|\,|s_2|^{\frac{n}{n-m}}|\sigma_2|^{\frac{m-1}{m+1}}} =\frac1{|\lambda|\,|s_2|^{\frac{m}{m+1}}}\,. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |\lambda|\chi_{\bigl\{|s_1|\ll |s_2|^{\frac{2m}{m+1}}\bigr\}}(s_1) |J_{00}(\lambda,s)|&\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\ll |s_2|^{\frac{2m}{m+1}}\bigr\}}(s_1)} {|s_2|^{\frac{m}{m+1}}}\in L^{3+\frac1m-0}(V). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Далее будем считать, что

$|s_2|^{n/(n-m)}|\sigma_2|^{2m/(m+1)}|\lambda|\gg 1$ . В этом случае воспользуемся заменой переменных

$\begin{equation*} y_1=|\sigma_2|^{\frac2{m+1}}z_1, \qquad y_2=|\sigma_2|^{\frac{m-1}{m+1}}z_2 \end{equation*} \notag$

и получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_{00}(\lambda,s)&:=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}|\sigma_2| \int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda |s_2|^{\frac{n}{n-m}} |\sigma_2|^{\frac{2m}{m+1}}\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_2|^{\frac2{m+1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_2|^{\frac{m-1}{m+1}}z_2\bigr) \chi_0\bigl(|\sigma_2|^{\frac2{m+1}}z_1, |\sigma_2|^{\frac{m-1}{m+1}}z_2\bigr)\,dz; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

здесь

$\Phi(z,s,\sigma):=\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)$ определяется формулой

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_4(z,s,\sigma)&:=z_1z_2^2b_1\bigl(|s_2|^{\frac1{m+1}}z_1, |s_2|^{\frac{m}{m+1}}z_2\bigr) +|s_2|^{\frac{2m-1}{m+1}}z_2^4b_2\bigl(|s_2|^{\frac{m}{m+1}}z_2\bigr) \\ &\qquad+|\sigma_2|^{\frac{2(n-m)}{m+1}}z_1^n\beta\bigl(|s_2|^{\frac1{m+1}}z_1\bigr) -z_1^m\omega\bigl(|s_2|^{\frac1{m+1}}z_1\bigr)-\xi_1z_1 -\operatorname{sgn}(\sigma_2)z_2, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\xi_1:=\sigma_1/|\sigma_2|^{2(m-1)/(m+1)}$ .

Как и прежде, основной вклад в интеграл дает окрестность начала координат:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &J_{000}(\lambda,s):=|s_2|^{\frac{n+1}{2(n-m)}}|\sigma_2| \int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i\lambda|s_2|^{\frac{n}{n-m}} |\sigma_2|^{\frac{2m}{m+1}}\Phi_4(z_1,z_2,s_1,s_2,\sigma_1,\sigma_2)\bigr) \\ &\qquad\qquad\times a\bigl(|s_2|^{\frac{1}{n-m}}|\sigma_2|^{\frac2{m+1}}z_1, |s_2|^{\frac{n-1}{2(n-m)}}|\sigma_2|^{\frac{m-1}{m+1}}z_2\bigr) \chi_0\bigl(|\sigma_2|^{\frac2{m+1}}z_1, |\sigma_2|^{\frac{m-1}{m+1}}z_2\bigr)\chi_0(z)\,dz. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Поэтому рассмотрим оценку интеграла

$J_{000}(\lambda,s)$ . Так как

$\xi_1$ – малое число, фазовая функция представляет собой гладкое возмущение

$\phi_4(z):=b_10, 0)z_1z_2^2-z_1^m\omega(0)- z_2$ . Легко видеть, что

$z_1^0\ne0$ ,

$z_2^0\ne0$ , как только

$(z_1^0,z_2^0)$ является критической точкой функции

$\phi_4$ . Функция имеет только невырожденные критические точки. Действительно, имеем

$\det\operatorname{Hess}\phi_4(z)= -2b_1(0,0)\omega(0)z_1^{m-1}m^2\ne0$ при условии, что

$z$ критическая точка функции

$\phi_4$ . Таким образом, мы имеем соотношение

$\begin{equation*} |\lambda|\chi_{\bigl\{|s_1|\ll |s_2|^{\frac{2m}{m+1}}\bigr\}}(s_1) |J_{000}(\lambda,s)|\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\ll |s_2|^{\frac{2m}{m+1}}\bigr\}}(s_1)}{|s_2|^{\frac{m}{m+1}}} \in L^{3+\frac1m-0}(V). \end{equation*} \notag$

Наконец, рассмотрим случай $n=2m+1$ . Тогда фазовая функция имеет вид

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi_4(y,s,\sigma)&:=y_1y_2^2b_1\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1, |s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2\bigr) +|s_2|^{\frac{2n-4}{n+1}}y_2^4b_2\bigl(|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}y_2\bigr) \\ &\qquad+y_1^n\beta\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1\bigr) -\operatorname{sgn}(s_2)y_1^m\omega\bigl(|s_2|^{\frac{2}{n+1}}y_1\bigr) -\xi_1y_1-\operatorname{sgn}(s_2) y_2; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

$\Phi_4(y,s,\sigma)$ можно рассмотреть как малое, гладкое возмущение функции

$\begin{equation*} \phi_4(y)=y_1y_2^2b_1(0,0)+y_1^n\beta(0)- \operatorname{sgn}(s_2)x_1^m\omega(0)+c_1y_1- \operatorname{sgn}(s_2)y_2. \end{equation*} \notag$

Предположим, что $(y_1^0,y_2^0)$ – критическая точка функции $\phi_4(y)$ . Тогда необходимо имеет место $y_1^0\ne0$ и $y_2^0\ne0$ . Функция $\phi_4(y)$ может быть записана как

$\begin{equation*} \phi_4(y)=y_1^n\beta(0)-\operatorname{sgn}(s_2)x_1^m\omega(0)+ c_1y_1-\frac{\operatorname{sgn}(s_2)}{4b_1(0,0)y_1}+y_1b_1(0,0) \biggl(y_2-\frac{\operatorname{sgn}(s_2)}{4b_1(0,0)y_1}\biggr)^2. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\phi_4$ может иметь особенность типа

$A_3$ для случая

$c_1\ne0$ . Если

$c_1=0$ , то особенность типа

$A_2$ . В этом случае согласно результатам работы [11] существует функция

$\Psi(\xi_1,s_2)\in L^{3-0}([-\Delta, \Delta])$ (

$\Delta$ – некоторое фиксированное число) такая, что справедлива следующая оценка:

$\begin{equation*} \chi_{\bigl\{|s_1|\lesssim|s_2|^{\frac{2(n-1)}{n+1}}\bigr\}}(s_1)|\lambda| J(\lambda,s)|\lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_1|\lesssim |s_2|^{\frac{2(n-1)}{n+1}}\bigr\}}(s_1) \Psi(s_1/|s_2|^{\frac{2m}{m+1}},s_2)} {|s_2|^{\frac{n-1}{n+1}}} \in L^{3-0}(V). \end{equation*} \notag$

Наконец, рассмотрим случай $|s_1|\gg|s_2|^{(n-1)/(n-m)}=|s_2|^{2m/(m+1)}$ .

В этом случае соответствующая функция имеет лишь невырожденные критические точки и, следовательно, имеем

$\begin{equation*} \chi_{\bigl\{|s_2|\ll|s_1|^{\frac{m+1}{2m}}\bigr\}}(s_2)|\lambda|J(\lambda,s)| \lesssim \frac{\chi_{\bigl\{|s_2|\ll|s_1|^{\frac{m+1}{2m}}\bigr\}}(s_2)} {|s_1|^{\frac 12}}\in L^{3+\frac1m-0}(V). \end{equation*} \notag$

Заметим, что аналогичные $L^p$ -оценки справедливы также для максимальной функции Рендола $\mathcal{M}$ .

Теперь мы в состоянии доказать теорему 1. Сначала предположим, что $n\ne 2m+1$ .

Пусть $V\subset S^2$ – достаточно малая окрестность точки $(0,0,1)$ и пусть $3<p<3+2/(n-1)$ фиксированное число. Заметим, что вне $V$ функция $\widehat{d\mu}$ быстро убывает при условии, то носитель гладкой плотности $\varphi$ находится в достаточно малой окрестности нуля. Используем сферическую систему координат и получим

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^3}|\widehat{d\mu}(\xi)|^p\,d\xi= C +\int_1^\infty r^2\,dr\int_{S^2}|\widehat{d\mu}(r\omega))|^p\,dS =C+\int_1^\infty r^{2-p}\,dr\int_{V}M(s)^p\,ds<\infty. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\widehat{d\mu}$ – ограниченная функция, получим доказательство теоремы 2 для случая, когда

$n\ne 2m+1$ .

Наконец, рассмотрим случай $n=2m+1$ . В этом случае в силу равномерной оценки Дейстермаата [16], имеем

$\begin{equation*} |\widehat{d\mu}(\xi)|\lesssim \frac{1}{|\xi|^{\frac{n+1}{2n}}}\,. \end{equation*} \notag$

Интерполируем последнюю оценку с оценкой типа Рендола и получим

$\begin{equation*} |\widehat{d\mu}(\xi)|\lesssim \frac{\mathcal{M}(\omega)^\alpha} {|\xi|^{\alpha+\frac{(n+1)(1-\alpha)}{2n}}}\,, \end{equation*} \notag$

где

$0\leqslant\alpha<1$ . Если

$p> 6n/(n+1)$ , то можем взять

$\alpha=0$ и получим включение

$\widehat{d\mu}\in L^p(\mathbb{R}^3)$ . Предположим, что

$3<p< 6n/(n+1)$ . Легко видеть, что

$\begin{equation*} \frac{6n}{p(n-1)}-\frac{n+1}{n-1}<\frac{3}{p}\,. \end{equation*} \notag$

Поэтому мы можем выбрать

$\alpha$ из условия

$\begin{equation*} \frac{6n}{p(n-1)}-\frac{n+1}{n-1}<\alpha<\frac{3}{p}\,. \end{equation*} \notag$

Тогда получим

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^3}|\widehat{d\mu}(\xi)|^p\,d\xi= C+\int_1^\infty r^{2-\frac{((n-1)\alpha+n+1)p}{2n}}\,dr \int_{S^2}\mathcal{M}(\omega)^{\alpha p}\,dS<\infty. \end{equation*} \notag$

Заметим, что $\widehat{d\mu}$ ограниченная функция. Следовательно, для любого $p>3$ выполняется соотношение $\widehat{d\mu}\in L^p(\mathbb{R}^3)$ .

5. Случай особенностей типа $E$

Теорема 4. Пусть $S\subset \mathbb{R}^3$ – гладкая гиперповерхность, заданная в виде графика функции $x_{3}=\phi(x_1,x_2)$ , где $\phi$ гладкая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

(i) $\phi(0,0)=0$ , $\nabla \phi(0,0)=0$ ;
(ii) $\phi$ имеет особенность типа $E_6$ или $E_{7}$ в начале координат $\mathbb{R}^2$ .

Тогда существует окрестность нуля

$U$ такая, что для любой плотности

$\varphi\in C_{0}^{\infty}(U)$ имеет место включение

$\widehat{d\mu}\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3)$ .

Докажем локальную интегрируемость соответствующей максимальной функции Рендолла, в случае когда фазовая функция имеет особенность типа $E_7$ . В случае когда фаза имеет особенность типа $E_6$ , теорема 4 доказывается совершенно аналогичными методами.

Лемма 3. Предположим, что $\phi$ имеет особенность типа $E_7$ в начале координат, а $\varphi$ – гладкая функция, сосредоточенная в достаточно малой окрестности нуля. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) максимальная функция Рендола $\mathcal{M}$ принадлежит $L^{13/4-0}(S^2)$ ;
(ii) справедливо включение $\widehat{d\mu}\in L^{3+0}(\mathbb{R}^3)$ .

Доказательство. Пусть

$J(\lambda,s)$ – осцилляторный интеграл вида

$\begin{equation} J(\lambda,s):=\int_{\mathbb{R}^2}a(x,s)e^{i\lambda\Phi(x,s)}\,dx, \end{equation} \tag{5.1}$

где фазовая функция

$\Phi(x,s)$ определяется формулой

$\begin{equation} \Phi(x, s):=b(x_1,x_2)(x_2-x_1^m\omega(x_1))^3+ x_2x_1^3\beta_1(x_1)+x_1^{k_0}\beta_0(x_1)+s_1x_1+s_2x_2. \end{equation} \tag{5.2}$

Кроме того, согласно предложению 2

$\beta_1(0)\ne0$ и

$k_0\geqslant5$ . Для определенности предположим, что носитель амплитуды осцилляторного интеграла

$J(\lambda,s)$ содержится в множестве

$\{\rho_\kappa(x)<2^{-\nu_0-1}\}\times V$ , где

$V\subset \mathbb{R}^2$ – достаточно малая окрестность нуля,

$\kappa_1=2/9$ ,

$\kappa_2=1/3$ и

$\rho_\kappa$ соответствующее

$\kappa$ -расстояние,

$\nu_0$ – достаточно большое натуральное число. Затем, используя разбиение единицы (4.3), получим следующее разложение:

$\begin{equation} J(\lambda,s)=\sum_{k=\nu_0}^{\infty}J_{k}(\lambda,s), \qquad\text{где}\quad J_{k}(\lambda,s)=\int a(x,s)\chi_{k}(x)e^{i\lambda\Phi(x,s)}\,dx. \end{equation} \tag{5.3}$

В интеграле

$J_k(\lambda,s)$ сделаем замену переменных, заданную растяжением

$\delta_{2^k}(x)\to x$ , и получим

$\begin{equation*} J_k(\lambda, s):=2^{-k|\kappa|}\int_{\mathbb{R}^2} a(\delta_{2^{-k}}(x),s)\chi_1(x) e^{i\lambda 2^{-k} \Phi_k(x,\sigma)}\,dx, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} |\kappa|:=\kappa_1+\kappa_2,\qquad \Phi_k(x,\sigma):=\phi_k(x_1,x_2)+\sigma_1x_1+\sigma_2x_2; \end{equation*} \notag$

здесь

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \phi_k(x_1,x_2)&:=b(\delta_{2^{-k}}(x)) \bigl(x_2- 2^{(\kappa_2-m\kappa_1)k}x_1^m\omega(2^{-\kappa_1k}x_1)\bigr)^3 \\ &\qquad+2^{(1-\kappa_2-4\kappa_1)k)}x_2x_1^4\beta_1 (2^{-\kappa_1k}x_1)+x_1^4\beta_0(2^{-\kappa_1k}x_1), \\ \sigma_j&:=2^{(1-\kappa_j)k}s_j, \qquad j=1,2. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Заметим, что носитель амплитудной функции находится в кольце

$D=\{1/2\leqslant|x|\leqslant 2\}$ и

$k\geqslant \nu_0$ , причем

$\nu_0$ – достаточно большое натуральное число. Следовательно, мы можем предположить, что функция

$\phi_k(x_1,x_2)$ представляет собой малую, гладкую деформацию функции

$b(0, 0)x_2^3+x_2x_1^3\beta_1(0)$ , она не имеет критических точек в кольце

$D$ . Поэтому, существуют положительные константы

$C_1$ и

$\nu_0$ , такие, что при

$|\sigma|> C_1$ и

$k\geqslant \nu_0$ , имеет место следующее неравенство:

$\begin{equation} \|J_k(\lambda,s)\|\leqslant \frac{C2^{-k|x|}}{|2^{-k}\lambda|(|\sigma_1|+|\sigma_2|)}\,. \end{equation} \tag{5.4}$

Аналогично, существует положительное число $\varepsilon>0$ такое, что при $|\sigma|<\varepsilon$ справедлива следующая оценка:

$\begin{equation} |J_k(\lambda,s)|\leqslant \frac{C2^{-k|x|}}{|2^{k}\lambda|}\,. \end{equation} \tag{5.5}$

Теперь рассмотрим оценку интеграла $J_k(\lambda,s)$ при условии

$\begin{equation*} \sigma\in \Sigma:=\{\varepsilon\leqslant |\sigma|\leqslant C_1\}. \end{equation*} \notag$

В этом случае используется стандартный метод конечного покрытия компакта

$\Sigma$ .

Лемма 4. Существует положительное число $\nu_0$ такое, что для всех $k\geqslant \nu_0$ существует функция $\psi_k\in L^{13/4-0}(\Sigma)$ , при которой выполняется следующая оценка:

$\begin{equation} |J_k(\lambda,s)|\leqslant \frac{C2^{(1-|\kappa|)k}\psi_k(\sigma)\|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^2}} {|\lambda|}\,. \end{equation} \tag{5.6}$

Более того, для любого фиксированного

$1\leqslant p<4$ ,

$L^p(\Sigma)$ – норма функции

$\psi_k$ равномерно ограничена относительно

$k\geqslant \nu_0$ .

Доказательство. Пусть

$\sigma^0=(\sigma_1^0$ ,

$\sigma_2^0) \in \Sigma$ фиксированная точка. Тогда фазовая функция

$\phi_{k}(x,\sigma)$ может быть рассмотрена как малая, гладкая деформация функции

$\begin{equation*} \phi^{a}(x)=b(0,0)x_{2}^{3}+x_2x_{1}^{3}\beta_1(0)+\sigma_{1}^0x_1+ \sigma_{2}^{0}x_2, \end{equation*} \notag$

где

$x\in D$ . Зафиксируем

$x^{0}\in D$ , рассмотрим срезающую функцию

$\chi^{x^{0}}$ с носителем в достаточно малой окрестности точки

$x^{0}$ и определим интеграл

$\begin{equation*} J_{k}^{x^0}(\lambda, S)=2^{-k|x|}\int_{\mathbb{R}^2} a(\delta_{2^{-k}}(x))\chi_{1}(x)\chi^{x^0} e^{i2^{-k}\lambda\phi_{k}(x,\sigma)}\,dx. \end{equation*} \notag$

Если $x^{0}$ не является критической точкой, то мы можем использовать формулу интегрирования по частям; имеем

$\begin{equation} |J_{k}^{x^{0}}(\lambda,s)|\leqslant \frac{C2^{-k|\chi|}\|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^{1}}}{|2^{-k}\lambda|} \end{equation} \tag{5.7}$

при условии

$k\geqslant \nu_{0}$ и

$|\sigma-\sigma^{0}|\ll 1$ .

Предположим, что $x=x^{0}$ – критическая точка. Если $x^{0}=(x^{0}_{1},x_{2}^{0})$ и $x_{1}^{0}\ne 0\ne x_{2}^{0}$ , то, используя растяжение, мы можем предполагать, что $b(0,0)=\beta_{1}(0)=1$ . Таким образом, мы получим $\det\operatorname{Hess}\phi^{0}(x)=9x_1(4x_{2}^{2}-x_{1}^{3})$ . Если $\det \operatorname{Hess}\phi^{0}(x^{0})\ne 0$ , то, с помощью леммы Морса с параметрами и методом стационарной фазы, получим оценку (5.7) (см. [18]).

Предположим, что $x_{1}^{0}=0$ ; тогда $x_{2}^{0}\ne 0$ , и функция $\phi^{0}$ имеет не более двух критических точек типа $A_2$ , и они отделены друг от друга. Следовательно, существуют положительные числа $\delta_1$ , $\delta_2$ , $\nu_0$ такие, что для всех $k\geqslant \nu_0$ имеется функция $\psi_{k0}\in L^{4-0}((-\delta_1,\delta_1)\times (\sigma_2^0-\delta_2,\sigma_2^0+\delta_2))$ такая, что для любого фиксированного $1\leqslant p<4$ интеграл

$\begin{equation} \int_{\{|\sigma_1|<\delta_1\}} (\psi_{k\sigma^0}(\sigma_1,\sigma_2))^p\,d\sigma_1 \end{equation} \tag{5.8}$

равномерно ограничен относительно

$k\geqslant \nu_0$ ,

$\sigma_2\in (\sigma_2^0-\delta_2,\sigma_2^0+\delta_2)$ . При этом справедлива следующая оценка:

$\begin{equation*} |J_k(\lambda,s)|\leqslant\frac{2^{(1-|\kappa|)k} \psi_{k\sigma^0}(\sigma_1,\sigma_2) \|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^2}}{|\lambda|}\,. \end{equation*} \notag$

Так как

$[-C_1,-\delta]\cup [\delta,C_1]$ – компактное множество, существует функция

$\psi_{k0}(\sigma)$ , удовлетворяющая вышеприведенным условиям при

$\sigma\in (-\delta_1,\delta_1)\times ([-C_1,-\delta]\cup [\delta,C_1])$ и

$k\geqslant \nu_0$ .

Наконец, предположим $4(x_{2}^{0})^2-(x_{1}^{0})^3=0$ и $x_1^0\ne0\ne x_2^0$ . Тогда $\sigma_1^0\ne0\ne\sigma_2^0$ и мы используем замену переменных, заданную сдвигом $y_{1}=x_1-x_{1}^{0}$ , $y_{2}=x_{2}-x_{1}^{0}$ . В результате получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \phi^{0}(x^{0}+y)&=\phi^{0}(x^{0})+ \frac{1}{2}6 x_{2}^{0}x_{1}^{0}y_{1}^{2}+3(x_{1}^{0})^2y_{1}y_{2}+ \frac{1}{2} 6 x_{2}^{0}y_{2}^{2}+ \frac{1}{3!}6x_{2}^{0}y_{1}^3 \\ &\qquad+\frac{1}{2!}6x_{1}^{0}x_{2}^{0}y_{1}^{2}y_{2}+y_{2}^{3}+ y_{2}y_{1}^{3} \\ &=3x_{2}^{0}x_{1}^{0} \biggl(y_1+\frac{x_{1}^{0}}{2x_{2}^{0}}y_{2}\biggr)^{2}+ x_{2}^{0}y_{1}^{3}+3x_{1}^{0}x_{2}^{0}y_{1}^{2}y_{2}+ y_{2}^{3}+y_{2}y_{1}^{3}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Видно, что квадратичная и кубическая части ряда Тейлора функции $\phi^{0}(x^{0}+y)$ не имеют общих корней на единичной окружности при условии, что квадратичная часть имеет кратный корень, поэтому функция имеет особенность типа $A_2$ в точке $x^0$ . Таким образом, для любой точки $x^0 \in D$ фазовая функция имеет либо невырожденную критическую точку, либо особенность типа $A_{2}$ .

Так как $\{([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])\times ([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])\}$ – компактное множество, существуют положительное число $\nu_0$ и функция $\psi_{k1}\in L^{4-0}(([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])\times ([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1]))$ такие, что при любом фиксированном $1\leqslant p<4$ интеграл

$\begin{equation*} \int_{([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])\times ([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])}(\psi_{k1}(\sigma_1,\sigma_2))^p\,d\sigma \end{equation*} \notag$

равномерно ограничен относительно

$k\geqslant \nu_0$ . При этом справедлива следующая оценка:

$\begin{equation*} |J_k(\lambda,s)|\leqslant \frac{2^{(1-|\kappa|)k}\psi_{k1}(\sigma_1,\sigma_2) \|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^2}}{|\lambda|} \end{equation*} \notag$

при

$\sigma\in ([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon, C_1]) \times ([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])$ . Очевидно, что функция

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \psi_k(\sigma)&:=C\chi_{\mathbb{R}^2\setminus[\delta_1,C_1]^2} (\sigma)\|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^2}+\chi_{(-\delta_1,\delta_1)\times ([-C_1,-\delta]\cup [\delta,C_1])}(\sigma)\|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^2} \psi_{k0}(\sigma) \\ &\qquad+\chi_{([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])\times ([-C_1,-\varepsilon]\cup [\varepsilon,C_1])}(\sigma) \|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^2}\psi_{k1}(\sigma) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

удовлетворяет утверждениям леммы 4. Здесь

$\chi_A$ – характеристическая функция множества

$A$ .

Завершение доказательства леммы 3. Предположим, что $V\subset \mathbb{R}^2$ достаточно малая окрестность нуля и $p(1\leqslant p<4)$ – фиксированное число. Тогда у нас имеется оценка

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_V(\psi_k(2^{(1-\kappa_1)k}s_1,2^{(1-\kappa_2)k}s_2))^p\, ds_1\,ds_2&=2^{(|\kappa|-2)k}\int_{\mathbb{R}^2} (\psi_k(\sigma_1,\sigma_2))^p\,d\sigma_1\,d\sigma_2 \\ &\leqslant C_p2^{(|\kappa|-2)k}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Наконец, положим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Psi_k(s)&:=2^{(1-|\kappa|)k}C\chi_{|(2^{(1-\kappa_1)k}s_1, 2^{(1-\kappa_2)k}s_2)|<\varepsilon}(s)\|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^1} \\ &\qquad+\frac{C\chi_{|(2^{(1-\kappa_1)k}s_1, 2^{(1-\kappa_2)k}s_2)|>C_1}(s)\|a(\,\cdot\,,s)\|_{C^1}}{|\sigma|}+ \psi_k(2^{(1-\kappa_1)k}s_1,2^{(1-\kappa_2)k}s_2). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Очевидно, что при

$2<p<13/4$ выполняется следующее соотношение:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_V(\Psi_k(s_1,s_2))^p\,ds_1\,ds_2&=2^{(1-|\kappa|)kp+ (|\kappa|-2)k}\int_{\mathbb{R}^2}(\psi_k(\sigma_1,\sigma_2))^p\, d\sigma_1\,d\sigma_2 \\ &\leqslant C_p2^{(1-|\kappa|)kp+(|\kappa|-2)k}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как

$|\kappa|=5/9$ , то ряд

$\begin{equation*} \Psi(s_1,s_2):=\sum_{k=\nu_0}^\infty\Psi_k(s_1,s_2) \end{equation*} \notag$

сходится в пространстве

$L^p$ при

$2<p<13/4$ . Более того,

$V$ имеет конечную меру и, следовательно,

$\Psi\in L^{13/4-0}(V)$ , что завершает доказательство леммы 3.

Из леммы 3 непосредственно следует доказательство теоремы 4 с использованием сферической системы координат.

Доказательство теоремы 1 непосредственно следует из теорем 2 и 4.

6. О точности результатов

В этом разделе покажем точность оценки для кратности. Рассмотрим следующий осцилляторный интеграл с фазой, имеющей особенность типа $E_8$ (кратность этой критической точки равняется $8$ ):

$\begin{equation*} J(\xi):=\int_{\mathbb{R}^2} \exp\bigl(i(\xi_3(x_2^3+x_1^5)- \xi_1x_1-\xi_2 x_2)\bigr)a(x_1, x_2)\,dx_1\,dx_2, \end{equation*} \notag$

где

$a=\chi_0(x_1)\chi_0(x_2)$ ; здесь

$\chi_0\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ срезающая функция, которая удовлетворяет условию

$\chi_0(y)\equiv1$ при

$|y|\leqslant 1/2$ .

Предложение 3. Справедливо соотношение $J\notin L^{22/7}(\mathbb{R}^3)$ .

Доказательство. Определим множество

$\begin{equation*} \Omega:=\bigl\{\xi\in \mathbb{R}^3_+\mid\xi_3\gg 1,\, 0.1\xi_2\leqslant \xi_3\leqslant 0.2 \xi_3,\, \xi_1\ll \xi_3^{1/5}\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Покажем справедливость соотношения $J\notin L^{22/7}(\Omega)$ , из которого вытекает доказательство предложения 3. Сначала рассмотрим следующий одномерный осцилляторный интеграл:

$\begin{equation*} J_1(s_2,\xi_3)):=\int_{\mathbb{R}} e^{i\xi_3(x_2^3-s_2 x_2)}\chi_0(x_2)\,dx_2, \end{equation*} \notag$

где

$s_2:=\xi_2/\xi_3$ . По нашему предположению

$0.1\leqslant s_2\leqslant 0.2$ , как только

$\xi\in \Omega$ .

Поэтому функция $x_2^3-s_2 x_2$ имеет две невырожденные критические точки $x_2^\pm:=\pm \sqrt{s_2/3}$ и они отделены друг от друга. Поэтому мы можем применить метод стационарной фазы (см. [19])

$\begin{equation*} J_1(s_2,\xi_3))=\frac{\pi e^{-\pi i/4}(1+i)\sqrt{2}\, \sin(\xi_3(2s_2/3)\sqrt{s_2/3}+\pi/4)}{\sqrt{\xi_3}}+ R(\xi_2,\xi_3), \end{equation*} \notag$

где

$R$ – остаточный член, удовлетворяющий условию

$|R(\xi_2,\xi_3)|\lesssim 1/\xi_3^{3/2}$ . Очевидно, что имеет место соотношение

$R\in L^{22/15+0}(\Omega)$ .

С другой стороны, при $\xi\in \Omega$ , имеет место следующая оценка снизу:

$\begin{equation*} \biggl|\int_{\mathbb{R}}e^{i(\xi_3x_1^5-\xi_1 x_1)} \chi_0(x_1)\,dx_1\biggr|\geqslant \frac{c}{\xi_3^{1/5}} \end{equation*} \notag$

с некоторым положительным числом

$c>0$ . Таким образом, при

$p>22/15$ имеем следующую оценку снизу:

$\begin{equation*} \int_\Omega |J(\xi)|^p\,d\xi\geqslant c \int_{\lambda}^\infty \frac{d\xi_3}{\xi_3^{7p/10-6/5}}\int_{0.1}^{0.2} \biggl|\sin{\biggl(\xi_3\frac{2s_2}3\sqrt{\frac{s_2}3}+ \frac{\pi}4\biggr)}\biggr|^p\,ds_2-C, \end{equation*} \notag$

где

$\lambda$ – достаточно большое фиксированное положительное число и

$c>0$ некоторое положительное число. Легко показать справедливость следующего соотношения:

$\begin{equation*} \int_{0.1}^{0.2}\biggl|\sin{\biggl(\xi_3\frac{2s_2}{3} \sqrt{\frac{s_2}{3}}+\frac{\pi}{4}\biggr)}\biggr|^p\,ds_2= C_p+O(\xi_3^{-1}) \qquad \text{при}\quad \xi_3\to\infty, \end{equation*} \notag$

где

$C_p$ – некоторое фиксированное положительное число.

Отсюда следует, что при $22/15<p\leqslant 22/7$ интеграл по $\Omega$ расходится, что завершает доказательство предложения 3, ибо $J(\xi)$ ограниченная функция.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	В. П. Паламодов, “Обобщенные функции и гармонический анализ”, Коммутативный гармонический анализ – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 72, ВИНИТИ, М., 1991, 5–134
2.	L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, v. 1, Grundlehren Math. Wiss., 256, Distribution Theory and Fourier Analysis, Springer-Verlag, Heidelberg, 1983
3.	Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков, “Тригонометрические интегралы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:5 (1979), 971–1003
4.	И. А. Икромов, “Суммируемость осцилляторных интегралов по параметрам и проблема об ограничении преобразования Фурье на кривых”, Матем. заметки, 87:5 (2010), 734–755
5.	В. В. Лебедев, “О преобразовании Фурье характеристических функций областей с $C^1$ -гладкой границей”, Функц. анализ и его прил., 47:1 (2013), 33–46
6.	И. М. Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Наука, М., 1980
7.	Hua Loo-keng, “On the number of solutions of Tarry's problem”, Acta Sci. Sinica, 1:1 (1952), 1–76
8.	L. Erdös, M. Salmhofer, “Decay of the Fourier transform of surfaces with vanishing curvature”, Math. Z., 257:2 (2007), 261–294
9.	M. Sugimoto, “Estimates for hyperbolic equations of space dimension 3”, J. Funct. Anal., 160:2 (1998), 382–407
10.	E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton Math. Ser., 43, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993
11.	Д. И. Акрамова, И. А. Икромов, “Максимальные функции Рендола и суммируемость преобразования Фурье мер”, Матем. заметки, 109:5 (2021), 643–663
12.	В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-заде, Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982
13.	I. A. Ikromov, D. Müller, Fourier Restriction for Hypersurfaces in Three Dimensions and Newton Polyhedra, Ann. of Math. Stud., 194, Princeton Univ. Press, Princeton, 2016
14.	А. Н. Варченко, “Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов”, Функц. анализ и его прил., 10:3 (1976), 13–38
15.	B. Randol, “On the Fourier transform of the indicator function of a planar set”, Trans. Amer. Math. Soc., 139 (1970), 271–278
16.	J. J. Duistermaat, “Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities”, Comm. Pure. Appl. Math., 27 (1974), 207–281
17.	Д. А. Попов, “Замечания о равномерных составных оценках осциллирующих интегралов с простыми особенностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:4 (2008), 173–196
18.	М. В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977
19.	A. Iosevich, E. Liflyand, Decay of the Fourier Transform. Analytic and Geometric Aspects, Birkhauser, Springer, Basel, 2014

Образец цитирования: И. А. Икромов, Д. И. Икромова, “О точных

$L^p$ -оценках преобразования Фурье поверхностных мер”, Матем. заметки, 115:1 (2024), 51–77; Math. Notes, 115:1 (2024), 44–65

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{IkrIkr24}

\by И.~А.~Икромов, Д.~И.~Икромова

\paper О~точных $L^p$-оценках преобразования~Фурье

поверхностных мер

\jour Матем. заметки

\yr 2024

\vol 115

\issue 1

\pages 51--77

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13987}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13987}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4734342}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2024

\vol 115

\issue 1

\pages 44--65

\crossref{https://doi.org/10.1134/S000143462401005X}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85190832602}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13987

https://doi.org/10.4213/mzm13987

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v115/i1/p51

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

Min Zhong, Peng Duan, Zhengyan Hu, Xiaolong Chen, Weiwei Cao, “Optical 3D Surface Vertical Measurement Based on 2D Generalized S-Transform”, J. Phys.: Conf. Ser., 2872:1 (2024), 012034

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	197
PDF полного текста:	9
HTML русской версии:	28
Список литературы:	49
Первая страница:	22

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Формулировка основных результатов

3. О нормальной форме функций относительно линейных преобразований

4. Случай особенностей типа DD

5. Случай особенностей типа EE

6. О точности результатов

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

4. Случай особенностей типа $D$

5. Случай особенностей типа $E$